MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin TİN MATEMATİK I DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin TİN İZMİR - 2012
ÖNSÖZ Mühendislik Fakültesinin tüm bölümlerinde temel ders kitabı olarak okutulan MATEMATİK I ders kitabımızın eski baskıları tükenmiş olduğundan, düzeltilmiş yeni baskısının yazılmasına gerek duyduk. Ancak basımdan önce, kitap yeniden gözden geçirilerek yer yer bazı yeni ilaveler yapıldı. Ayrıca önceki baskıda fark edilen yazım hataları düzeltilerek yeni baskıya hazırlandı. Ancak yine de gözden kaçan hataların olacağı kanısındayız. Bu tür hatalar için bizi uyaran okuyuculara şimdiden teşekkür ederiz. Analiz I düzeyinde olan ders kitabımız; sayılar, kümeler, fonksiyonlar, limit, süreklilik, türev, belirsiz ve belirli integral, diziler ve seriler konularını içermektedir. Öğrencilerimizin, mühendislik ve mimarlıkta gerek duydukları matematik bilgileri, dikkate alarak hazırladığımız ders kitabı, pek çok çözülmüş problem ile alıştırma niteliğinde çözülecek problem içerir. Kitabımızda yer verilen teoremlerin çoğu kanıtlanmış olup, bazılarının kanıtı da öğrencilerimize bırakılmıştır. Bunun amacı, öğrencilerin araştırma ve problem çözme tekniğini geliştirmektir. Kitabımızın basımı için karar veren, Dokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik fakültesi basım yayın komisyonuna ve basımı titizlikle gerçekleştiren basım ünitesi çalışanlarına teşekkür ederiz. 20 Eylül 2012 Ali Tekin TİN, A. Nihat BADEM
Ç NDEK LER 1. KÜMELER VE SAYILAR 1.1 Giri ve Tanımlar.. 1 1.2 Kümeler Üzerine lemler... 3 1.2.1 Küme Cebri lgili Yasalar.... 4 1.2.2 Kümelerin Kartezyen Çarpımı.. 5 1.3 Venn Diyagramları.... 5 1.4 Sayılar. 7 1.4.1 Do al Sayılar.. 7 1.4.2 Tamsayılar 7 1.4.3 Rasyonel Sayılar. 7 1.4.4 Gerçel Sayılar. 8 Gerçel Sayıların Ondalık Gösterimi 8 Gerçel Sayıların Geometrik Gösterimi. 8 Gerçel Sayılar Üzerine lemler... 9 E itsizlikler. 9 Kuvvetler ve Kökler.. 10 Logaritmalar. 11 Nokta Kümeleri ve Aralıklar 12 1.4.5 Karma ık Sayılar. 12 Karma ık Sayılarda Dört lem 13 Karma ık Sayıların Trigonometrik Gösterimi 14 Trigonometrik Gösterimde Çarpma ve Bölme lemi. 16 De Moivre Formülü 16 Karma ık Sayıların Üstel Gösterimi 17 Karma ık Sayıların Kökleri 18 ALI TIRMALAR 20 2. FONKS YONLAR 2.1 Giri. 25 2.2 Fonksiyon Türleri 26 2.3 Cebirsel Fonksiyonlar 32 2.3.1 Rasyonel Fonksiyonlar. 32
ii 2.3.2 rrasyonel Fonksiyonlar.. 32 2.4 Transandant Fonksiyonlar 33 2.4.1 Trigonometrik Fonksiyonlar 33 2.4.2 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar. 37 2.4.3 Üstel Fonksiyonlar. 39 2.4.4 Logaritmik Fonksiyonlar.. 40 2.4.5 Hiperbolik Fonksiyonlar.. 41 2.4.6 Ters Hiperbolik Fonksiyonlar 44 ALI TIRMALAR... 47 3. L M T VE SÜREKL L K 3.1 Limit 51 3.1.1 Giri ve Tanımlar. 51 3.1.2 Sa dan ve Soldan Limitler 54 3.1.3 Sonsuz Limitler 55 3.1.4 Limit Teoremleri. 57 3.1.5 Belirsizlik Halleri. 57 3.2 Süreklilik 62 3.2.1 Giri ve Tanımlar 62 3.2.2 Süreklilik Teoremleri. 66 3.2.3 Sa dan ve Soldan Süreklilik.. 67 ALI TIRMALAR 70 4. TÜREV 4.1 Giri 79 4.1.1 Önbilgiler ve Tanımlar 79 4.1.2 Yüksek Mertebeden Türevler 81 4.1.3 Türevin Geometrik ve Fiziksel Anlamları 81 4.2 Türev Alma Kuralları. 83 4.2.1 Temel Türev Kuralları. 83 4.2.2 Bile ik Fonksiyonların Türevi 86 4.2.3 Kapalı Fonksiyonların Türevi. 88 4.2.4 Ters Fonksiyonların Türevi 88 4.2.5 Parametrik Fonksiyonların Türevi. 89 4.2.6 Mutlak De er Fonksiyonunun Türevi. 90 4.2.7 Tam De er Fonksiyonunun Türevi.. 91 4.3 Transandant Fonksiyonların Türevi 96 4.3.1 Trigonometrik Fonksiyonların Türevi 96 4.3.2 Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi 98 4.3.3 Logaritmik Fonksiyonların Türevi 99 4.3.4 Üstel Fonksiyonların Türevi 102 4.3.5 Hiperbolik Fonksiyonların Türevi 103 4.3.6 Ters Hiperbolik Fonksiyonların Türevi 104 4.4 Diferensiyel. 106
iii 4.4.1 Tanım ve Önbilgiler... 106 4.4.2 Diferensiyelin Geometrik Anlamı.. 108 4.4.3 Diferensiyel Yardımıyla Hata Hesapları 109 4.5 Leibniz Formülü 113 4.6 Türevlenebilir Fonksiyonlar Üzerine Genel Teoremler. 114 4.7 Te et ve Normal Denklemleri, Te et ve Normal Uzunlukları, Te et Altı ve al Altı Uzunlukları. 121 4.8 Artan ve Azalan Fonksiyonlar... 124 4.9 Bir Fonksiyonun Ekstremum Noktaları. 126 ALI TIRMALAR... 132 TÜREV TABLOSU... 141 5. BEL RS Z NTEGRAL 5.1 Önbilgiler ve Tanımlar.. 143 5.2 Belirsiz ntegralin Özellikleri 144 5.3 Elemanter ntegral Kuralları... 145 5.4 ntegrasyon Yöntemleri. 146 5.4.1 De i ken Dönü ümü. 146 5.4.2 Rasyonel Fonksiyonların ntegralleri. 149 5.4.3 Kısmi ntegrasyon 158 5.4.4 Trigonometrik Fonksiyonların ntegralleri 161 5.4.5 Hiperbolik Fonksiyonların ntegralleri.. 162 5.4.6 kinci Derece Üç Terimlisini çeren ntegraller 163 5.4.7 Do rusal fadeleri çeren rrasyonel Fonksiyonların ntegralleri.. 168 5.4.8 Trigonometrik Fonksiyonları çeren ntegraller 170 5.4.9 Kuvvet Serileri ile ntegral Alma 172 ALI TIRMALAR 174 6. BEL RL NTEGRAL 6.1 Giri 183 6.1.1 Önbilgiler ve Tanımlar 183 6.1.2 Belirli ntegralin Geometrik Anlamı 185 6.1.3 Belirli ntegralin Özellikleri 186 6.2 Düzlemsel Bir Bölgenin Alanı 186 6.2.1 Dik Koordinatlarda Alan Hesabı 186 6.2.2 ki E ri Arasında Kalan Bölgenin Alanı 192 6.2.3 Kutupsal Koordinatlarda Alan Hesabı. 195 6.2.4 Parametrik Denklemlerde Alan Hesabı 198 6.3 Yay Uzunlu u 201 6.3.1 Dik Koordinatlarda Yay Uzunlu u.. 201 6.3.2 Kutupsal Koordinatlarda Yay Uzunlu u. 205 6.3.3 Parametrik Denklemlerle Verilen E rilerin Yay Uzunlu u. 207 6.4 Dönel Cisimlerin Hacimleri 209 6.5 Dönel Cisimlerin Yüzey Alanları.. 217
iv 6.6 Belirli ntegralin Fiziksel Uygulamaları 221 6.6.1 Düzlemsel Bir Bölgenin Alan Momenti ve A ırlık Merkezi... 221 6.6.2 Dönel Bir Cismin Hacim Momenti ve A ırlık Merkezi 225 6.7 Genelle tirilmi ntegraller 229 6.7.1 Birinci Tür Genelle tirilmi ntegraller.. 229 6.7.2 kinci Tür Genelle tirilmi ntegraller. 231 6.7.3 Üçüncü Tür Genelle tirilmi ntegraller. 233 ALI TIRMALAR 235 7. D Z LER VE SER LER 7.1 Diziler. 241 7.1.1 Önbilgiler. 241 7.1.2 Limit Teoremleri 248 7.1.3 Sonsuz Dizilerde Üst ve Alt Limitler 248 7.1.4 Özel Diziler 249 7.2 Seriler 250 7.2.1 Tanım ve Teoremler... 250 7.2.2 Önemli Özel Seriler 252 7.2.3 Pozitif Terimli Seriler çin Yakınsaklık Testleri.. 253 7.2.4 Alterne Seriler 260 7.2.5 Mutlak Yakınsaklık 261 7.3 Kuvvet Serileri.. 262 7.3.1 Önbilgiler. 262 7.3.2 Bir Kuvvet Serisinin Yakınsaklık Yarıçapı ve Yakınsaklık Aralı ı 262 ALI TIRMALAR 265 KAYNAKLAR 269