T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R, S E R K A N A L İ D Ü Z C E K A L K U L Ü S N O B E L

Transkript

1 T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R, S E R K A N A L İ D Ü Z C E K A L K U L Ü S N O B E L

2

3 Contents 1 Analiz Öğretimi İki Milenyum Süren Sorunlar Mantık ve Matematik Tümdengelim Tümevarım Matematik Dili I Ön Bilgiler 31 2 Ön Bilgiler (Pre Kalkulüs) Ön KalKulus Önermeler Cebiri İki-değerli Mantık Matematiksel Mantık Boole Cebiri Önermeler Yalın Önermeler Bileşik Önermeler Denk Önermeler Önermeler Cebiri Operatörler Operatörü Operatörü Değilleme Bir Önermenin Değili İse Bağlacı Koşullu Önerme Sonuçları Operatörünün Özelikleri nin Eşgüçlülüğü nin Yer Değişim Özeliği nin Birleşimi Dağılma Bileşik Önermelerin Değillenmesi De Morgan Kuralları : Ancak ve Ancak Operatörü

4 Hepdoğru ve Hepyanlış Karşıt Ters Alıştırmalar Alıştırmalar Kümeler Cebiri Kümeler Cebiri Kapsama Evrensel Küme Venn Çizenekleri Tümleyen Küme Boş Küme Tek öğeli küme Eşit Kümeler Has Alt Küme Kuvvet Kümesi Simetrik Fark Bağıntılar Kartezyen Çarpım Grafik Kartezyen Çarpımın Özelikleri Analitik Düzlem Bağıntılar Bağıntıların Gösterimi Grafik Bağıntı Türleri Denklik Bağıntıları Eşitlik Denklik Bağıntısı Nedir? Denk Öğeler Denklik Sınıfları Ters Bağıntı Simetrik Bağıntı Sayılar Sayıların Kuruluşu Sayıların Sıralanması Doğal Sayılar Doğal Sayıların Kuruluşu Peano Belitleri Sonlu Tüme Varım İlkesi Nicelik Sayıları Eşgüçlülük Sayılabilirlik Sayılamayan Sonsuz Kümeler Gerçel Sayıların Tamlığı Alıştırmalar

5 5 6 Rasyonel Üslü İfadeler Tamsayı Üsler Üslü İfadelerin Özelikleri: Negatif Üsler Benzer Üslü İfadeler Rasyonel Kuvvetler Üslü Denklemler Alıuştırmalar Üslü Denklemler Alıuştırmalar Köklü İfadeler Alıştırmalar e Sayısı Analitik Geometri n-sıralılar Kartezyen Çarpım İkili ve Çoklu sıralılar n-sıralılar Analitik Geometri Kartezyen Çarpımın Genelleşmesi ALIŞTIRMALAR Denklemler Doğru deklemleri İki noktası bilinen doğru Denklemi: Bir noktası ve eğimi bilinen doğru Denklemi: Doğrunun Genel Denklemi İkinci Dereceden Denklemler ax 2 = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü ax 2 + bx = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü ax 2 + c = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü ax 2 + bx + c = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü Değişken değiştirme Köklü denklemler Mutlak Değer Alıştırmalar Köklerle Katsayılar Arasındaki Bağıntılar Köklerin Toplamı: Köklerin Çarpımı: Köklerin Farkının Mutlak Değeri: Alıştırmalar İkinci Dereceden Denklemlerin İncelenmesi Denklem Sistemleri Eşitsizlikler Eşitsizlik Sistemleri Alıştırmalar İkinci Dereceden Fonksiyonlar Parabol Çizimi

6 Alıştırmalar Eşitsizlik Sistemlerinin Grafikle Çözümü Örnekler: Doğrusal denklem sistemleri Parametrik denklemeler Eğrinin yönü kapalı Eğri Çember in Parametrik Denklemleri Elips in Parametrik Denklemleri Cycloid Matrisler Matrisler Satır ve Kolon Matrisin Bileşenleri Matris İşlemleri Matrislerin Toplamı Matrislerde Çıkarma Matrisin Sayı ile Çarpımı Matrislerin Çarpımı Çarpımın Sırası Değişemez İkiden çok matrisin Çarpımı Matrisin Devriği (transpose) Matrislerin Çarpımının Devriği Matrislerde Bölme Matris Türleri Kare Matris Sıfır Matris Kare Matrisin Köşegenleri Kare Matrisin Kuvveti Birim Matris Simetrik Matris Anti Simetrik Matris Ters Matris Üçgensel Matris Matrisin İzi (trace) Örnekler Matrisin Uzunluğu (size) Determinantlar Determinant Nedir? Matrislerin determinantı Matrislerinin determinantı Matrislerinin determinantı Sarrus Yöntemi Başka Yöntemler Yüksek Boyutlu Matrislerin Determinantları Laplace Yöntemi

7 Minör Eşçarpan (cofactor) Determinant için Laplace Açılımı Determinantların Özelikleri Sarrus Yöntemiyle Hesap: Laplace Yöntemiyle Hesap: Gauss Eleme Yöntemi Ters Matris Matrisler Üzerinde İlkel Satır işlemleri Gauss Eleme Yöntemi ile Ters Matrisi Bulma Ekli Matris Eşçarpan İle Matrisin tersini Bulma Doğrual Denklem Sistemleri Eşçarpan ve Determinant Kullanılarak Ters Matrisin Bulunuşu Ters Matris Kullanılarak Denklem Sisteminin Çözümü Doğrusal Denklem Sisteminin Cramer Yöntemiyle Çözümü Doğrual Denklem Sistemleri Sonsuz Çözüm Tek çözüm Matrislerle Çözüm Denk Sistmler İndirgenmiş Satır Eşolon Biçimi Eşçarpan ve Determinant Kullanılarak Ters Matrisin Bulunuşu Ters Matris Kullanılarak Denklem Sisteminin Çözümü Doğrusal Denklem Sisteminin Cramer Yöntemiyle Çözümü İki Bilinmeyen için Cramer Formülü Üç Bilinmeyen için Cramer Formülü Alıştırmalar Polinomlar Bir Belirsizli Polinomlar Çok Belirsizli Polinomlar Terimleri Kuvvetlerine Göre Sıralama İki Polinomun Eşitliği Uygulamalar Polinomlar Kümesi Üzerinde İşlemler Toplama Uygulamalar Çıkarma Uygulamalar Çarpma Sayıl (skalerle) Çarpma Uygulamalar Başlıca Özdeşlikler İki Terim Toplamının Karesi İki Terimin Farkının Karesi İki Terimin Toplamı İle Farkının Çarpımı

8 Üç Terim Toplamının Karesi İki Terim Toplamının Küpü İki Terim Farkının Küpü İki Küp Toplamı İki Terimlinin Kuvvetleri Alıştırmalar Polinomlarda Bölme Uygulamalar Bölme Algoritması Çarpan Teoremi Uygulamalar Uygulamalar Horner Yöntemi ile Bölme Bir Polinomun (x a)(x b) İle Bölünmesinden Elde Edilen Kalan Uygulamalar Alıştırmalar Polinomların Çarpanlara Ayrılması Karmaşıkları Basite İndirgemek! ebob, ekok Cebirsel İfadeleri Çarpanlara Ortak Çarpan Parantezine Alma Uygulamalar Uygulamalar Özdeşlikler Uygulamalar Uygulamalar Özdeşlikleri Kullanma Uygulamalar Uygulamalar Uygulamalar Alıştırmalar Başlıca Özdeşlikler Fonksiyonlar Foksiyonun Grafiği Tek Değerli Fonksiyonlar Alıştrmalar Fonksiyon Türleri Eşit Foksiyonalar İçine Fonksiyon Örten Fonksiyon Bire Bir Fonksiyon Bire Bir İçine Fonksiyon Bire Bir Örten Fonksiyon Sabit Fonksiyon Sıfır Fonksiyon Özdeşlik Fonksiyonu

9 Kapalı Fonksiyon Örnekler Alıştırmalar Fonksiyonların Bileşkesi Bileşke İşleminin Özelikleri Yer Değişim Özeliği Yoktur Birleşme Özeliği Ters Fonksiyon Ters Foksiyonun Grafiği Rasyonel İfadeler Alıştırmalar Rasyonel İfadelerin Toplamı Rasyonel İfadelerin Çarpımı Rasyonel İfadelerde Bölme Polinom Denklemler Birinci Dereceden Polinom Denklemlerin Çözümü Kombinason Ve Permütasyon Kombinasyon (Combination) Permütasyon (permutation) Combinatorics Kombinarik in temel formülü Sayma Pascal Üçgeni 9 16 Ön Trigonometri Yönlü Açılar Yönlü yaylar Birim Çember Açı Ölçü Birimleri Derece Grad Radyan Trigonometrik Fonksiyonlar Simetrik Açılar Simetriler Trigonometrik Fonksiyonların Özelikleri Özel Açılar Trigonometrik Fonksiyonları Grafikleri Cosinus Grafiği Sinus grafiği Tanjant Grafiği Ters Trigonometrik Fonksiyonlar Arcsinus Fonksiyonu ArcCosinus Fonksiyonu

10 Arctanjant Fonksiyonu Arccotanjant Fonksiyonu Örnekler Periyodik Fonksiyonlar Alıştırmalar Limit Fonksiyonun Limiti Soldan ve Sağdan Yaklaşım Soldan Limit Sağdan Limit Limit Uç Noktalarda Limit Karl Weierstrass ın Tanımı Örnekler: Limit Kuralları belirsiz Biçemler Sonsuzdaki Limit Çözümlü Örnekler Rasynel Fonksiyonlarda Limit Sonsuzda Limitin Olmadığı Durum Köklü İfadelerin Sonsuzdaki Limiti Çözümlü Prolemler İntegral Alma Yöntemeleri Belirsiz İntegral Belirsiz İntegral Formülleri Değişken Değiştirme Trigonometrik İntegraller Ters Trigonometrik Konumlar Çözümlü Problemler Rasyonel Fonksiyonların İntegralleri Payda nın Türevi Pay a Eşitse Basit Kesirlere ayırma Payda da Gerçel Kökü Olmayan Çarpan Varsa Karma problemler Alıştırmalar İlkel Fonksiyon Biliniyorsa Sürekli Fonksiyonların İntegrali Değişken Değiştirme tan θ 2 Konumu Kısmi İntegrasyon Polinomların Çarpanlara Ayrılması Basit Kesirlere Ayırma Rasyonel Fonksiyonların İntegrallenmesi Rasonel Fonksiyonların Kesirlere Ayrılması Rasyonelleştirme Köklü İfadelerin İntegrali

11 İndirgenme Yöntemleri Bazı İndirgeme Formülleri Bağlantılı Oranlar Belirsiz İntegral Belirsiz İntegral Formülleri Değişken Değiştirme Trigonometrik İntegraller Ters Trigonometrik Konumlar Çözümlü Problemler Rasyonel Fonksiyonların İntegralleri Payda nın Türevi Pay a Eşitse Basit Kesirlere ayırma Payda da Gerçel Kökü Olmayan Çarpan Varsa Belirli İntegral Belirsiz İntegral Kuralları Calculus un Birinci Temel Teoremleri Calculus un 1.Teoremi Calculus un İkinci Temel Teoremi Belirsiz İntegral Belirsiz İntegral Formülleri Alan Hesabı İki Katlı İntegral İle Düzlemsel Alan Hesabı İntegral İntegral Kavramı ve Tanımı Belirli İntegral Belirli İntegral Kuralları Calculus un Temel Teoremleri Calculus un 1.Temel Teoremi Calculus un İkinci Temel Teoremi Belirsiz İntegral Belirsiz İntegral Formülleri Değişken Değiştirme Trigonometrik İntegraller Ters Trigonometrik Konumlar Çözümlü Problemler Rasyonel Fonksiyonların İntegralleri Payda nın Türevi Pay a Eşitse Basit Kesirlere ayırma Payda da Gerçel Kökü Olmayan Çarpan Varsa Alıştırmalar Belirli İntegral Kuralları Sayısal İntegraller Düzlemsel Eğrilerin Uzunluğu

12 12 30 İntegral Alma teknikleri İlkel Fonksiyon Biliniyorsa İntegral Alma Yöntemeleri Değişken Değiştirme tan θ 2 Konumu Kısmi İntegrasyon Logaritmik integraller Köklü İfadelerin İntegrali İntegral Alma teknikleri İlkel Fonksiyon Biliniyorsa İntegral Alma Yöntemeleri R(si nx,cosx) biçimindeki İntegraller İndirgenme Yöntemleri Bazı İndirgeme Formülleri İlkel Fonksiyon Biliniyorsa Ters Trigonometrik Fonksiyonlar Arcsinus Fonksiyonu ArcCosinus Fonksiyonu Arctanjant Fonksiyonu Arccotanjant Fonksiyonu Örnekler R(si nx,cosx) biçimindeki İntegraller Logaritmik integraller Dönel Cisimleri Hacimleri Silindirik Kabuklar Yöntemi Dilimleme Yöntemiyle Hacim Bulma Örnek Hacim Hesapları Doğal Logaritma Fonksiyonu Doğal Logaritma Fonksiyonunun Tanımı Tanım bölgesini Genişletme Doğal Logaritma Fonksiyonunun Özelikleri Doğal Logaritma Fonksiyonunun Grafiği Logaritmik Türev Logaritmik Türevin İntrgrali Üstel Fonksiyon a tabanlı Üstel Fonksiyon a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Davranışı a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Türevi a Tabanlı Üstel Fonksiyonun İntegrali a Tabanına Göre Logaritma l og a x fonksiyonunun özelikleri l og a x fonksiyonunun Türevi Çözümlü Problemler

13 13 25 İntegral Alma Yöntemleri Belirsiz İntegral İlkel Fonksiyon Biliniyorsa Sürekli Fonksiyonların İntegrali Değişken Değiştirme tan θ 2 Konumu Kısmi İntegrassyon Polinomların Çarpanlara Ayrılması Basit Kesirlere Ayırma Rasyonel Fonksiyonların İntegrallenmesi Rasyonel Fonksiyonların Kesirlere Ayrılması Rasyonelleştirme Köklü İfadelerin İntegrali Alıştırmalar İndirgenme Yöntemleri Bazı İndirgeme Formülleri Bağlantılı Oranlar Kutupsal Koordinatlar Kutupsal Koordinatlarda Grafik Alıştırmalar Kutupsal Koordinatlarda Grafik Çizimi Örnekleri Merkeze Göre Simetri Ox Eksenine Göre Simetri O y Eksenine Göre Simetri Grafik Çiziminde İzlenecek Yol: Alıştırmalar Kutupsal Sistemde Teğetin Eğimi Kutupsal Kordinatlarda Alan hesabı İki kutupsal eğri arasında kalan alan Kutupsal Koordinatlarda Yay Uzunluğu Kutupsal Koordinatlarda Dönel Yüzeyler Alıştırmalar Parametrik Fonksiyonların Türevi İkinci Basamaktan Türev Alıştırmalar Sayısal İntegraller Dikdörten Yöntemi Yamuk Kuralı Pappus teoremleri Alıştırmalar Dairesel Simit in Yüzeyi Dairesel Simit in Hacmi Simpson Yöntemi Alıştırmalar Alan Hesabı İki Katlı İntegral İle Düzlemsel Alan Hesabı

14 14 27 Diziler Örnekler Yakınsak Dizi Aritmetik Dizi Geometrik Dizi Monoton Dizi Alt dizi Sınırlı dizi Dizilerde Limit Özelikleri Alıştırmalar Seriler Kısmi Toplam Yakınsak Seriler Rasyonel Terimli Seriler Özel Seriler Aritmetik Seri Geometrik Seri Binom Serisi Genelleşmiş Binom Teoremi Serilerin Özelikleri Alıştırmalar Kuvvet Serilerinin Yakınsaklığı Yakınsaklık Aralığı Kuvvet Serileri Üzeinde Cebirsel İşlemler Toplama ve Çıkarma Kuvvet Serilerin Çarpımı Kuvvet Serilerinin Bölümü Alterne Seriler Alıştırmalar Caucy Dizi ve Serileri Seriler İçin Yakınsaklık Testleri p-serisi Oran Testi Kök Testi İntegral Testi: p-serisi p-serisi Karşılaştırma Testleri Limit Karşılaştırma Testi Oran Testi Newton Metodu Değişken Terimli Seriler Kuvvet Serilerinin Yakınsaklığı Yakınsaklık Aralığı Kuvvet Serileri Üzeinde Cebirsel İşlemler

15 Toplama ve Çıkarma Kuvvet Serilerin Çarpımı Kuvvet Serilerinin Bölümü Maclaurin Serisi Uygulamaları Düzgün Yakınsama Fonksiyon Dizileri Fonksiyon Serileri Fonksiyon Dizileri İçin Cauchy Kriteri Fonksiyon Serileri İçin Cauchy Kriteri Alıştırmalar Fonksiyon Dizi ve Serilerinin İntegrali Dirichlet ve Abel Testleri Dirichlet Testi Fonksiyon Dizi ve Serilerinin Türevlenmesi Alıştırmalar Kuvvet Serilerinin Türevlenmesi Alıştırmalar Kuvvet Serilerinin İntegrali Çözümlü Kuvvet Serisi Problemleri Alıştırmalar Serilerin Yaklaşık Toplamı Alıştırmalar Vektörler Vektör Uzayı Simgeler Denk Vektörler Vektörlerin Gösterimi Vektör Uzayında İşlemler Sıfır Vektörü Vektörlerin Toplamı Toplamanın Özelikleri Vektörlerde Çıkarma İşlemi Vektörün Sayı ile Çarpımı Birim Vektör Doğrultu Açıları Analitik Geometriye Giriş Alıştırmalar Bileşenlerle İşlemler Nokta Çarpım İzdüşüm İzdüşümün Genellenmesi İki Vektör Arasındaki Açı İki Vektör Arasındaki Açının Ölçümü İki Vektörün Birbirine Dikliği Üçgen Eşitsizliği Uzayda Doğru ve Düzlem İki noktası Verilen Doğru Denklemi

16 Noktanın Doğruya Uzaklığı Düzlem Denklemi Üç Noktadan geçn Düzlem Denklemi Noktanın Düzleme Uzaklığı Alıştrmalar Vektörel Çarpım Vektörel Çarpımın Özelikleri VektörelÇarpımı Geometrik Yorumları Diklik Alan Üçlü Çarpım Alıştırmalar Uzayda Doğru ve Düzlem İki noktası Verilen Doğru Denklemi Noktanın Doğruya Uzaklığı Düzlem Denklemi Üç Noktadan Geçen Düzlem Denklemi Noktanın Düzleme Uzaklığı Alıştırmalar Katlı İntegral İki Katlı İntegralin Özelikleri Ardışık İntegral Katlı İntegral Uygulamaları Alıştırmalar Katlı integralde değişken değiştirme Alıştırmalar İki Katlı İntegral İle Düzlemsel Alan Hesabı Alıştırmalar İki Katlı İntegral İle Hacim hesapları Kutupsal Koordinatlarda İki Katlı İntegraller Alıştırmalar Üç Katlı İntegraller Hacim Alıştırmalar Üç Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Alıştırmalar Silindirsel Koordinatlar Silindir Nedir? Alıştırmalar Üç Katlı İntegrallerde Küresel Koordinatlar Alıştırmalar Eğrisel İntegraller Düzlemde Eğrisel İntegral Uzayda Eğrisel İntgral

17 Alıştırmalar Vektör Alanlarının Eğrisel İnteralleri Divergence Vector Alanını Eğrisel İntegrali Eğrisel İntegralle iş Alıştrmalar İntegralin Yoldan Bağımsızlığı Alıştırmalar Üç Boyutlu Uzayda Korunumlu Vektör Alanı Green Teoremi Green teoemi İle Alan Hesabı Aıştrmalar Yüzey İntegralleri Paramertrik Yüzeyin Alanı Yüzey İntegrali Yönlendirilmiş Yüzey Üzerinde İntegral Vektör Alanlarının İntegrali Stokes Teoremi Divergence Teoremi Alıştırmalar Vektör Değerli Fonksiyonlar Vektör Değerli Fonksiyonlar ve Uzay Eğrileri Vektör Değerli Fonksiyonların Limiti Limit Vektör değerli Fonksiyonların Sürekliliği Süreklilik Türev Türev Kuralları Vektör değerli Fonksiyonların Teğeti Düzgün Eğri Düzgün Eğriler Vektör Değerli Fonksiyonların integrali Belirsiz İntegral Belirli İntegral Alıştırmalar Eğri Uzunluğu Eğrilik Eğrilik Çemberi Normal ve İkinci Normal Vektörler Alıştırmalar Uzayda Hareket Kepler Yasaları Alıştırmalar Konikler Koniklerin Adlandırılması Koniklerin Kutupsal Sistemdeki Denklemleri

18 Koniklerin Kartezyen Denklemi Alıştırmalar İkinci Dereceden Yüzeyler Elipsoid Elipsoid Hiperboloid Eliptik Paraboloid Eliptik Koni Alıştırmalar Fiziksel uygulamalar Düzlemsel bölgelerin kütle merkzi Ağırlık Merkezi Bulma Problemleri Alıştırmalar Yay ın Kütle merkezi Alıştırmalar Yoğunluk Moment Noktaya Göre Moment Doğru üzerinde Moment Kütle Merkezi Noktanın Eksene Göre Momenti Düzleme Göre Moment Bir Düzlem Parçasının Bir Eksene Göre Momenti Bir Yayın Momenti Uygulamalar Üç Katlı İntegral İle Moment Düzlemsel Bölgelerin Kütle Merkezi Ağırlık Merkezi Bulma Problemleri Alıştırmalar Yay ın Kütle merkezi Alıştırmalar Yoğunluk Work (İş) Diferensiyel denklemler Birinci basamaktan birinci dereceden Diferensiyel denklemler Özel ve Genel Çözüm Tek Değişkenli Diferensiyel Denklemler Denklemin Doğrusala Dönüşmesi Diferensiyel Denklemler Tek Değişkenli Diferensiyel Denklemler Tam Diferensiyel Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler Alıştırmalar İntegral Çarpanı

19 Alıştırmalar Birinci Basamaktan Homojen denklemeler Alıştırmalar Birinci Basamaktan Doğrusal Diferensiyel Denklemler Alıştırmalar Tam Diferensiyel Alıştırmalar Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler Alıştırmalar İntegral Çarpanı Alıştırmalar Birinci Basamaktan Homojen denklemeler Alıştırmalar Birinci Basamaktan Doğrusal Diferensiyel Denklemler Alıştırmalar Bernoulli Diferensiyel Denklemi Bernoulli Diferensiyel Denkleminin Çözümü Çözümlü Örnekler Alıştırmalar Riccati Diferensiyel Denklemi Clairaut Diferensiyel denklemleri Lagrange Diferensiyel Denklemi Alıştrmalar Üç Katlı İntegraller Hacim Alıştırmalar Üç Katlı İntegrallerde Değişken Değiştirme Alıştırmalar Silindirsel Koordinatlar Üç Katlı İntegrallerde Küresel Koordinatlar Alıştırmalar Düzensiz İntegraller Aralığın Sonsuz Olması Durumu [a, ) aralığında integral (, a] aralığında integral (, ) aralığında integral Aralığın uç noktalarında fonksiyonun sınırsız olması durumu: Sol Uç Sağ Uç Aralığın içinde fonksiyonun sınırsız olması durumu: Düzensiz intgralleri karşılaştırma: Alıştırmalar Düzlemsel bölgelerin kütle merkzi Ağırlık Merkezi Bulma Problemleri Alıştırmalar Yay ın Kütle merkezi Alıştırmalar

20 Yoğunluk Sıvı Basıncı Work (İş) Pappus teoremleri Alıştırmalar Simpson Yöntemi Yamuk Kuralı Moment Noktaya Göre Moment Doğru üzerinde Moment Kütle Merkezi Noktanın Eksene Göre Momenti Düzleme Göre Moment Bir Düzlem Parçasının Bir Eksene Göre Momenti Bir Yayın Momenti Uygulamalar Belirli İntegral Uygulamaları Düzlemsel Eğrilerin Uzunluğu Alan hesapları Foksiyonun Orta Değeri Index 20

21 T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R, S E R K A N A L İ D Ü Z C E K A L K U L Ü S N O B E L

22

23

24 32 Doğal Logaritma Fonksiyonu Rasyonel üsleri kullanarak üslü ve köklü ifadelerle ilgili cebirsel işlemleri yapmayı biliyoruz. Ama üs bir rasyonel sayı olmak yerine bir irrasyonel sayı olduğunda elimizde, şu ana hadar, bir tanım yoktur. Örneğin, = olduğunu biliyoruz. Ama 2 π ifadesini bilmiyoruz. Tabii, 2,2 3,2 3.1,2 3.14, , ,... dizinin limiti olarak 2 π sayısını tanımlamak mümkündür. Böyle bir yöntenme başvurulduğunda her r irrasonel sayısına yakınsayan bir {r n } dizisi bulmak gerekecektir. Kuramsal olarak bu mümkündür ama, pratikte zor olur. Onun yerine bildiklerimize dayalı daha kolay bir yöntem izlemeliyiz. Üslü ve köklü ifadelerin irrasyonel üslere genelleşmesi matematiğin ve uygulamasının çok önemli bir problemidir. Önce doğal logaritme fonksiyonunun tanımı ile başlayalım.

25 488 Doğal Logaritma Fonksiyonu 32.1 Doğal Logaritma Fonksiyonunun Tanımı Tanım x 1 ln x = 1 t d t fonksiyonuna doğal logaritna fonksiyonu denilir. Eşitliğin sağındaki belirli integral tanımlıdır. Dolayısıyla eşitliğin solundaki y = ln x fonksiyonu kesinlikle belirlenmiş olur. Ayrıca eşitliğin iki yanının türevini alırsak, d d x ln x = 1 x 0 < x elde edilir. Teorem ln1 = 0 dır. Bunun kanıtı belirli integralde alt ve üst sınırların eşit kılınması halinde alanın 0 olduğu gerçeğinden çıkar. Doğal logaritma fonksiyonunu ne olduğunu algılamak için, onu görsel halae getiten Figure () e bakmak yetecektir. Bu fonksiyon Ox eksenini x = 1 noktasında keser. Her x R için tanımlı ve sonludur. x için integral sınırsız olarak büyür ve + e gider Tanım bölgesini Genişletme Şekil 32.2: ln( x) Tanım bölgesini (0,1] aralığına genişletme: x [0,1] aralığında doğal logaritma fonksiyonunu tanımlamak için integral sınırlarını yer değiştirmek yetecektir: x 1 1 ln x = 1 t d t = ln x = 1 x t d t olur. Bu durumu görselleştiren Figure (32.2) e bakınız. Tanım bölgesini R\{0} = (, 0) (0, a genişletme: Bunu yapmak için d x 1 ln x = 1 t d x ln x = 1 x x 0 olduğunu görmek kolaydır. Gerçekten x > 0 ise x = x olduğundan (0, ) aralığında eşitlik sağlanır. (,0) aralığında ise x = -x olduğundan d d x ln x = d d x ln( x) = 1 x d d x ln( x) = 1 x dir. Pozitif ve negatif x değerleri için tüğrevleri eşit olduğundan, belirsiz integral ifadesiyle yazılabilir. 1 d x = ln x +C t

26 32.3 Doğal Logaritma Fonksiyonunun Özelikleri Doğal Logaritma Fonksiyonunun Özelikleri Teorem Kanıtlar: (i): d d x (i ) ln ab = ln a + lnb (i i ) ln 1 a = ln a (i i i ) ln a = ln a lnb b (i v) ln x r = r ln x (r Q, x > 0) 1 d ln ax = ax d x ax = a ax = 1 x, d d x ln x = 1 x dir. Tüğrevleri eşit olan fonksiyonlar bir sabişt farkıyla birbirlerine eşit olacaklarından ln ax = ln x +C yazılabilir. Şimdi C sabitinin ne olduğunu belirlemeliyiz. Önceki ifadede x = 1 koyarsak ln a = ln1 +C = C elde edilir ki bu C = ln a olması demektir. Bunu yukarıdaki eşitlikte kullanırsak ln ab = ln a + lnb bağıntısını elde ederiz. (ii): (i) eşitliğinin tersinden gidersek, ln a + ln 1 ( a = ln a. 1 ) = ln1 = 0 ln 1 b a = ln a çıkar., (iii): ln a ( b = ln a. 1 ) = ln a + ln 1 b b ln a = ln a lnb b çıkar. (iv): Kanıtlanacak eşitliğin iki yanının türfevlerini alalım: d d x ln xr = 1 d x r d x xr = 1 x r r xr 1 = r x d d x (r ln x) = r x çıkar. Yine türevleri eşit olan iki fonksiyonun bire sabit farkıyla birbirlerine eşit olduğuj gerçeğini kullanırsak, ln x r = r ln x +C eşitliğini elde ederiz. C sabitini belirlemek için x = 1 koyalım: ln1 = r ln1 + C eşitliği bulunur. Buradan C = 0 çıkar. O halde son ifadeden istenen, ln x r = r eşitliği elde edilir. Teorem lim ln x = x lim ln x = x 0 + dur.

27 490 Doğal Logaritma Fonksiyonu Kanıt: x = 2 ve r = n koyarsak Teorem (32.3) un (i v)-üncü ifadesi ln2 n = n ln2 biçimini alır. ln2 > 1 2 olduğundan, ( ) 1 ln2 n = n ln2 > n = n 2 2, ln2 2 n ln2 < n ( 1 2 ) = n 2 olur. ln x artan bir fonksiyon olduğu için her n için x > n 2 seçebiliriz. n sonsuza giderken limit alırsak, lim ln x = x olur. Benzer şekilde he n için x < n 2 olacak şekilde x değeri seçilebilir. Buradan da elde edilir. lim ln x = n Doğal Logaritma Fonksiyonunun Grafiği Şekil 32.3: lnx in grafiği y = lnx fonksiyonunun davranışını incelemek için birinci ve ikinci basamakatan türevleri alınabilir. Asıl y = ln x fonksiyonunun tanım bölgesi (0, ) aralığı, değer bölşgesi bütün R dir. Fonksiyon artan bir fonksiyondur. Kolları aşağı doğru bükeydir. O y ekseninin negatif tarafına de asimptottur. Ox eksenini x = 1 noktasında keser. x < 1 için fonksiyon değerleri negatif, x > 1 için pozitiftir Logaritmik Türev eşitliğinde x = ukoyarsak d x = ln x +C x du = ln u +C u çıkar. Buradan türev alırsak du u = 1 u d d x u = u u, u 0 bağıntısı yazılablir. Bu eşitliği bir formül olarak kullanabiliriz Logaritmik Türevin İntrgrali biçi,mindeki ifadelerin integralini hessaplayabili- eşitliğini kullanarak, u u riz. d d x ln u = u u Örnek tan xd x integraqlini hesaplayınız. Çözüm: u = cos x,du = sin x dersek, integral sin x tan x = cos x d x = du u d x = lnu +C = lncos x +C

28 32.7 Üstel Fonksiyon 491 Teorem eşitlikleri sağlanır. Kanıt: d x (x + a)(x + b) = 1 b a ln x + a +C (a b) x + b d x (x 2 a 2 = 1 2a ln x a +C (a 0) x + a ln f (x) = ln x + a x + b ln x + a +C (a b) x + b eşitliği çıkar. İki tarafı b a ile bölersek iatenen formül ortaya çıkar. a ne0 kabulü altında b = a konumu ikinci formülü verecektir Üstel Fonksiyon y = ln x doğal logaritma fonksiyonu (0, ) aralığında artan, sürekli bir fonksiyondur. Değer bölgesi bütün R diar. Bire-bir ve örten olduğu için ters fonksiyonu vardır. Bu ters fonksiyon f (x) = e x ya da f (x) = e(x) ile gösterilir ve üstel fonksiyon diye anılır. Fonksiyon ve tersi y = x doğrusuna göre simetrik olduğundan üstel fonksiyonun grafiğini y = ln fonksiyonunun grafiğinden hemen elde edebiliriz. Üstel Fonksiyonun Özelikleri Teorem Kanıt: (i ) ln(e x ) = x, e ln x = x (x > 0) (i i ) e 0 = 1, e 1 = e (i i i ) e (x+y) = (e x )(e y ) (i v) exp(ln x) = x (x > 0), ln ( exp(x) ) = x (v) exp(x + y) = exp(x)exp(y) (vi ) e x = 1 e x (vi i ) (vi i i ) lim e x = lim exp(x) = x x lim e x = lim exp(x) = 0 x x Kanıtlar, y = e x ile y = ln x fonksiyonlarının birbirlerinin tersi olduğu ve grafiklerinin y = x doğrusuna göre simetrik olduğu gerçeğinden çıkar. Şekil 32.4: Üstel Fonksiyon 32.8 a tabanlı Üstel Fonksiyon y = expx = e x fonksiyonu her x R için vardır. Dolayısıyla, yalnızca rasyonel üsler için bildiğimiz işlemleri e tabanı için bütün gerçel sayılara taşımaktadır. Tabii burada bir eksikliği hemen hissediyoruz. Neden yalnızca e tabanı için genelleme yapılıyor? Acaba bütün gerçel syılara bu genelleme yapılamaz mı?

29 492 Doğal Logaritma Fonksiyonu Sorunun yanıtı "evet" tir. Şimdi genellemeyi bütün R üzerine yapacağız. Tanım a bir gerçel sayı ise exp a x = a x = exp(x ln a) = e x ln a diye tanımlanır. Eşitliğin sağındaki terim her gerçel x sayısı için vardır. Bir tanımı daha büyük bir kümeye genelleştiriken, küçük küme için var olan bütün özeliklerin korunması gerekir. Aksi halde yapılan iş bir genelleme olmaz. Yukarıdaki tanım tabanı rasyonel sayılardan gerçel sayılara taşıyan bir genelleme ise, rasyonel sayılar için varlığını bildiğimiz özeliklerin korunması gerekir. Gerçekten r bir rasyonel sayı ise ln A r = r ln a, exp a r = exp(r ln a) = exp(ln a r ) = a r dır. Dolayısyla yapytığımız tanın rasynel saylar için de geçerlidir. Yaptığımız genellemeyi biraz daha görsel kılmak için yazabiliriz. a x = exp a x = e x ln a (a > 0) a x üstel fnksiyonu ne x fonksiyonunun sağladığı bütün özelikleri sağlar. Başka bir deyişle, a x fonksiyonu üslü çokluklar için bildiğimiz bütüğn cebirsel işlemlere uyar. BU özelikleri,n bazılarını listeleyebiliriz. Teorem özelikleri sağlar. a > 0 olmak üzere y = a x üstel fonksiyonu aşağıdaki (i ) a x = e x ln a = (i i ) a 0 = 1, a 1 = a (i i i ) a (x+y) = a x.a y (i v) ln a x = x ln a (v) (vi ) (vi i ) (a x ) y a x y a x a y = ax y (ab) x = a x.b x 1 e x ln a, a x = 1 a x çıkar. Kanıt: Rasyonel üslü çokluklar için bildiğimiz bu özelikler tanımdan 32.9 a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Davranışı Şekil 32.5: Üstel Fonksiyonların Davranışı y = a x fonksiyonunun davranışı öteki fonksiyonlar için yaptığımız gibi birinci ve gerekiyorsa ikinci basmakatan türevlerine bakarak incelenebilir. Ama o kadar ileriye gitmeden, üstel fonksiyonun tanım bölgesinin bütün R, değer bölgesinin (0, ) olduğunu, a > 1 ise fonksiyonujn artan, a < 1 ise fonksiyonun azalan olduğunu y = e x ln a fonksiyonundan söyleyebiliriz. Buna göre fonksiyonun grafiğini a tabanının farklı bir kaç değeri için çizmek için üstel fonksiyonun davranışı hakkında bir algı oluşturacaktır.

30 32.10 a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Türevi a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Türevi y = e x fonksiyonunun türevinden y = a x = e x ln a fonksiyonunun türevi kolayca elde edilir: olur. d d x ax = d d x e x ln a = e x ln a d (x ln a) d x a Tabanlı Üstel Fonksiyonun İntegrali Yukarıdaki türev formülünden y = a x fonksiyonunun integrali için, formülü elde edilir. a x d x = ax ln a +C a Tabanına Göre Logaritma Tanım y = a x fonksiyonunun ters fonksiyonuna a tabanlı logaritma fonksiyonu denilir ve y = log a x ile gösterilir. Ters fonksiyonun y = x doğrusuna göre simetrik olacağını düşünürek, y = l og a x fonksiyonunun davranışını belirleyebiliriz. Buna göre, fonksiyonun tanım bölgesi (0, ) aralığı, değer bölgesi bütünr dir. a > 1 ise fonksiyon artar, a < 1 ise azalır. Farklı tabanlara göre y = log a x fonksiyonunun grafiği yandaki şekillrden görülebilir log a x fonksiyonunun özelikleri Teorem Şekil 32.6: Lolgaritma Fonksiynmları (i ) a x = e x ln a (i i ) a log a x = x e log a x.ln a=x (i i i ) log a x.x ln a = ln x (i v) log a x = ln x ln a (v) log a a x = x (vi ) log a b = 1 log b a Şekil 32.7: Farklı tabanlara göre logaritma fonksiyonları dır. Kanıt: Rasyonel üslü ifadelerde yapıldığı gibidir log a x fonksiyonunun Türevi Teorem dır. d d x log a x = 1 x log a e