Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU.0.05 Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 0 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır. Hesap makinesi kullanmak yasaktır. Sınav boyunca cep telefonlarınızı kapalı tutunuz. Cep telefonunuzun açık olması sınavınızın geçersiz sayılmasına neden olacaktır. Hesaplamalarınız için soru kağıdındaki boş yerleri kullanınız. Değerlendirmede yanlış doğruyu götürecektir. Toplam 0 adet soru vardır. Sınav süresi 0 dakikadır. Sınavda her türlü ders notunun kullanımı yasaktır. Başarılar dilerim. SORULAR Prof. Dr. Emrah AKYAR. Herhangi bir G çizgesi için aşağıdaki önermelerden hangi(ler)si her zaman doğrudur? i. Derecesi tek olan köşe noktalarının sayısı çifttir. ii. Derecesi çift olan köşe noktalarının sayısı çifttir. iii. Tüm köşe noktalarının dereceleri toplamı çifttir. A) Yalnız ii. B) Yalnız ii., iii. C) i., ii., iii. D) Yalnız i., ii. E) Yalnız i., iii.. evli çift bir partiye katılmıştır. Partiye katılan kişilerden bazıları birbirleriyle tokalaşmış, ancak eşler birbirleriyle tokalaşmamıştır. Partinin sonunda ev sahibi kendi dışındaki 7 kişiye kaçar kişi ile tokalaştığını sormuş ve 7 farklı cevap almıştır. Bunlara göre ev sahibinin eşi kaç kişi ile tokalaşmıştır? A) B) C) D) E) 5. K 7 tam çizgesinde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? A) 0 B) 5 C) D) 90 E) 0. En az köşe noktası olan bir T ağacı için aşağıdaki önermelerden hangi(ler)si her zaman doğrudur? i. T nin köşe noktalarının sayısı n ise n tane kenarı vardır. ii. T nin en az iki tane derecesi olan köşe noktası vardır. iii. T de uzunluğu tek olan bir döngü bulunmaz. A) Yalnız i., iii. B) Yalnız i. C) Yalnız i., ii. D) i., ii., iii. E) Yalnız ii., iii. Bütünleme Sınavı 0 05 Bahar Dönemi
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU.0.05 5. Yanda verilen çizge için aşağıdaki önermelerden hangi(ler)si doğrudur? i. Tek parçadır. ii. İki kümelidir. iii. Düzlemseldir. A) Yalnız i., iii. B) i., ii., iii. C) Yalnız ii. D) Yalnız i., ii. E) Yalnız i. 8. K 9 tam çizgesinin köşe noktaları,,..., 9 olarak adlandırılsın. u, v {,,..., 9} için uv kenarının maliyeti u+v olsun. Buna göre K 9 tam çizgesinin minimal ağacının maliyeti nedir? (Örneğin, ile 5 köşe noktalarını birleştiren kenarın maliyeti + 5 = 8 olur). A) 8 B) 9 C) 50 D) 5 E) 5. Bir çekmecede çift siyah, 5 çift beyaz, 5 çift kırmızı ve çift de yeşil çorap vardır. Çekmeceden en az kaç tek çorap alınırsa, alınan çoraplardan iki tanesi her zaman aynı renk olur? A) 9 B) 0 C) 5 D) E) 7. K, iki kümeli tam çizgesi için yandaki önermelerden hangi(ler)si her zaman doğrudur? A) i., ii., iii. B) Yalnız i., ii. C) Yalnız i., iii. D) Yalnız i. E) Yalnız ii., iii. i. Tek parçadır. ii. Euler döngüsü bulundurur. iii. Hamilton döngüsü bulundurur. 9. 8 şehir için i şehri ile j şehrini birleştiren bir yolun yapım maliyeti aşağıdaki tablonun i. satır j. sütunundaki eleman ile verilmiştir. 5 7 8 0 9 9 9 7 9 0 9 9 5 9 0 5 7 8 8 9 0 5 5 9 9 5 0 7 7 5 7 5 0 9 8 7 7 8 7 9 0 8 8 7 8 0 Buna göre tüm şehirleri birinden diğerine ulaşılabilir yapan en düşük maliyetli yol sisteminin maliyeti nedir? A) 0 B) C) 9 D) E) Bütünleme Sınavı 0 05 Bahar Dönemi
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU.0.05 0. K 5 tam çizgesinin köşe noktaları v, v, v, v, v 5 şeklinde adlandırılsın. Buna göre K 5 içinde bitiş noktası v ve uzunluğu en az olan kaç farklı yol vardır? A) B) 5 C) 8 D) E). çizgesi n için n renk ile (komşu noktalar farklı renklerde olmak üzere) kaç farklı şekilde boyanabilir? A) n(n )(n )(n ) B) n C) (n ) + n D) (n ) E) n(n ). K 5 tam çizgesinin köşe noktaları v, v, v, v, v 5 şeklinde adlandırılsın. Buna göre K 5 içinde v köşe noktasından geçmeyen ve uzunluğu en az olan kaç farklı yol vardır? (Not: Başlangıç ve bitiş noktaları farklı olduğundan a b c yolu ile c b a yolu farklı yollardır) A) B) C) 0 D) E) 58. Pascal üçgeninin n. satırının. elemanı. elemanın katı ise n kaçtır? A) 5 B) C) 7. D) 8 E) 9 0. satır, 0. eleman. satır, 0. eleman. satır,. eleman. Bir G çizgesinin tüm köşe noktalarının derecesi aynı ve r ise G çizgesine r-regüler çizge denir. Buna göre köşe noktası olan, -regüler düzlemsel tekparça çizgenin düzlemde belirlediği bölgelerin sayısı nedir? A) 8 B) C) D) E) 5 5. Yandaki satırlar çalıştırılırsa cevap değişkeninin son değeri ne olur? A) B) 9 C) 0 D) 0 E) #include <stdio.h> main() { int p,q,r,s; int cevap = 0; for (p = ; p <= 5; p++) for (q = ; q <= 5; q++) for (r = ; r <= 5; r++) for (s = 0; s <= 5; s++) if (p+q+r+s == 5) cevap++; printf("%d\n",cevap); return(0); } Bütünleme Sınavı 0 05 Bahar Dönemi
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU.0.05. Aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur. A) p a p ise p asaldır. B) 7 7 C) a p a (mod p) ise p asaldır. D) 0 0 E) p p ise p asal sayıdır. 7. Aşağıdaki ifadeler açıldığında hangisinin terim sayısı en fazladır? A) (x + x ) 7 B) (x + x + x + x + x 5 ) C) (x + x + x ) D) (x + x + x + x + x 5 + x ) E) (x + x + x + x ) 5 8. Her birinden yeterli sayıda bulunan 5 çeşit kartpostal ve 5 de arkadaşınız olsun. Her arkadaşınıza kartpostal göndermek zorunda değilseniz ancak, kartpostal gönderdiğiniz arkadaşlarınız aynı kartpostaldan birden fazla sayıda almayacak olursa, bu kartpostalları kaç farklı şekilde gönderebilirsiniz? A) 5 5 ( ) 5 B) 5 C) 75 D) 5 k=5 E) (5 5 ) 5! ( ) 5 k 9. zar aynı anda atıldığında zarlardan en az birisi gelirse oyuncu kaybetmektedir. Buna göre oyuncunun kaybetmeme olasılığı nedir? A) 5 9 B) 9 C) 70 9 D) 8 9 E) 5 9 0. ü beyaz, ü siyah olmak üzere özdeş kale (rook R) bir satranç tahtası üzerine birbirlerini yemeyecek biçimde kaç farklı şekilde yerleştirilebilir? (Aynı satır ya da aynı sütunda bulunan iki kale birbirini yer. Satranç tahtası yandaki gibi 8 8 lik bir karedir.) ( ) 8 A)! B) (!) ( ) 8! C)! ( 8 7 5 D)! E)!!! ) 8 0Z0Z0s0Z 7 Z0Z0Z0Z0 0Z0S0Z0Z 5 Z0Z0S0Z0 0S0Z0Z0Z Z0Z0Z0Z0 0Z0Z0Z0s s0z0z0z0 a b c d e f g h Bütünleme Sınavı 0 05 Bahar Dönemi
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU.0.05 ÇÖZÜMLER d c h g a b. Eşler birbiriyle tokalaşmadığına göre, herkes en fazla kişi ile tokaşabilir (kendisiyle de tokalaşamadığından) Ev sahibini e ile kalan 7 kişiyi de tokalaştıkları kişi sayısına göre 0,,,..., ile gösterelim. ile 0 tokalaşmamaıştır (çünkü 0 kimseyle tokalaşmamış). O zaman geriye kalan e,,,...,5 kişileriyle tokalaşmalıdır. Bu duruda ile tokalaşmayan tek kişi 0 olduğundan ile 0 eş olmalıdır. kişisi sadece ile tokalaşmıştır. O zaman 5 kişisi sadece e,,,, kişileri ile tokalaşmış olabilir. Yani 5 sadece 0 ya da ile eş olabilir. 0, ile eş olduğuna göre 5 ile eş demektir. Benzer şekilde ile ün eş olduğu da söylenir. Bu durumda e ile eş O halde ev sahibinin eşi kişi ile tokalaşmıştır.. Bir K n tam çizgesinde mükemmel eşleme olması için n nin çift tamsayı olması gerekir. Buradan K 7 tam çizgesinde bir mükemmel eşleme yoktur.. El sıkışma teoremine göre tüm köşe noktalarının dereceleri toplamı kenar sayısının iki katına eşittir. Yani tüm köşe noktaların dereceleri toplamı çift sayıdır. Buradan derecesi tek olan köşe noktaların sayısı çift olmalıdır. Ancak derecesi çift olanların a b c sayısı çift olmak zorunda değildir. Örneğin, çizgesinde sadece b köşe noktasının derecesi, a ve c köşe noktalarının derecesi ise dir.. Verilenlerin hepsi doğrudur. En az iki noktası olan keyfi bir T ağacı, ağacın tanımı gereği zaten döngü bulundurmaz. Ayrıca bu ağacın köşe noktalarının sayısı n ise n tane kenarı ve en az tane de yaprağı (derece olan köşe noktası) vardır. 5. Verilen çizge aşağıdaki şekillerde de çizilebileceğinden düzlemsel ve iki kümelidir. Ayrıca verilen çizgenin tek parça olduğu da hemen görülmektedir. Yani verilenlerin hepsi doğru a h b e f g a d e f c b c f. farklı renk (güvercin yuvası) olduğundan iki aynı renk çorap için 5 çorap (güvercin) seçmek yeterlidir. (Bkz. Ders Kitabı Alıştırma.5.8) 7. Bir K m,n iki kümeli tam çizgesi, her m, n pozitif tam sayıları için tek parça Eğer m ve n sayılarının her ikisi de çift ise çizgenin tüm noktalarının derecesi çift olacağından Euler turu vardır. Verilen çizgede m ve n çifttir. Yine Hamilton döngüsü olması için m = n olması gerekir. Verilen çizgede m = n = olduğundan Hamilton döngüsü de vardır. 8. Çizgenin kenarlarını maliyetlerine göre sıralayacak olursak, Maliyet Kenarlar 5, 5, 7, 5, 8 7,, 5 9 8, 7,, 5 0 9, 8, 7, Çizge 9 köşe noktalı olduğuna göre optimal ağaç 8 kenarlı olacaktır. Kruskal algoritmasına göre maliyeti düşük olan kenarlardan başlayacak olursak tablonun. ve. satırlarındaki kenarları almalıyız.. satırdan ise sadece kenarı alabiliriz. Aynı şekilde geriye kalan tüm satırlardan ancak birer kenar alabiliriz (aksi halde döngü oluşur). Buna göre optimal ağacın maliyeti ++5++7+8+9+0 = 5 h d e g Bütünleme Sınavı 5 0 05 Bahar Dönemi
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU.0.05 elde edilir. Yukarıdaki yöntem K n için genellenirse ++ +n+(n+) = (n+)(n+) 9. Kruskal algoritması ile döngü oluşmayacak şekilde maliyeti en düşük olan yolları inşaa edilirse aşağıdaki ağaç elde edilir. Bu ağacın maliyeti de 7 5 8 ++++++ = 9 0. K 5 tam çizgesinde herhangi iki noktayı birleştiren bir kenar var olduğundan ve istenen yolların bitiş noktası v olacağından geriye kalan köşe noktasından k tane (k =,,, olabilir) seçilmesi gerekir. Seçilen bu k köşe noktasının her farklı dizilimi bize bir başka yol vereceğinden cevap k= k! = k!+!+ =+ + + =+++ =!+!. v köşe noktasını K 5 den çıkarırsak geriye K tam çizgesi kalır. K içerisinde uzunluğu en az olan yolların sayısını bulmalıyız. köşe noktasından herhangi k (k =,, ) tanesini seçer ve sıralarsak v den geçmeyen bir yol elde etmiş oluruz. Böylece cevap k= k! = k!+!+! = 0. El sıkışma teoremine göre G = (V, E) çizgesi için v V d(v) = E olduğundan ve çizgenin tüm köşe noktalarının dereceleri aynı ve olduğundan kenar sayısı E = = Çizge tek parça ve düzlemsel olduğu için Euler formülünden bölge sayısı elde edilir. + f = + f =. Çizgeyi köşe noktalarını adlandırarak yeniden çizelim. a b c d boyamaya en soldaki a köşe noktasından başlayalım. n rengin herhangi bi tanesi ile a köşe noktasını boyayabiliriz. b köşe noktasını ise kalan (n ) renkten birisi ile boyayabiliriz. c köşe noktasını da b köşe noktasını boyadığımız renk hariç geriye kalan(n ) renkle, benzer olarak d köşe noktasını da c yi boyadığımız rengin dışında kalan (n ) renk ile boyayabiliriz. Buradan cevap n(n ). Pascal üçgeninin n. satırının k. elemanı ( n k ) olduğuna göre (n k ) = ( n k+ ) denklemini çözmeliyiz. k = verildiğinden ) ( ) n ( n = n = n = 5 Bütünleme Sınavı 0 05 Bahar Dönemi
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU.0.05 5. Bu bir dağılım problemidir. Problemi p+q+r+s = 5, p, q, r, s 0 denkleminin tamsayılarda kaç farklı çözümü vardır şeklinde ya da 5 özdeş obje p kişisi en az, q kişisi en az ve r kişisi en az obje alma koşuluyla kaç farklı şekilde paylaştırılabilir şeklinde ele alabiliriz. Bunun için önce p kişisine, q kişisine ve r kişisine obje verip kalan 9 özdeş objeyi ise bu dört kişiye dağıtalım. O halde cevap ( ) ( ) 9+ = = 0. Fermat ın küçük teoremine göre, p asal ve a ile p aralarında asal ise p a p O halde p = ve a = 0 alınırsa, 0 0. 7. Her bir ifadenin terim sayısını hesaplayalım: (x + x ) 7 ( 7+ ) = (8 ) = 8 (x + x + x ) ( + ) = (8 ) = 8 (x + x + x + x ) 5 ( 5+ ) = (8 ) = 5 (x + x + x + x + x 5 ) ( +5 5 ) = (8 ) = 70 (x + x + x + x + x 5 + x ) ( + ) = (8 5 ) = 5 olduğundan en fazla terim (x + x + x + x + x 5 ) ifadesinde yer alır. 8. Kartpostalları K = {k, k, k, k, k 5 } kümesi ile gösterelim. Her bir arkadaşa bu K kümesinin bir alt kümesini gönderirsek istenilen elde edilmiş K kümesinin alt ( kümelerinin sayısı 5, 5 te arkadaş olduğundan cevap 5) 5 = 75 bulunur. (Bkz. Ders Kitabı Çözümlü Alıştırma:.5.) zarların olduğu sonuçların kümesi C ile gösterilirse C = Böylece içerme dışlama prensibinden C C C C = ( )+( ( )+ = 5 olduğundan cevap 5 = 5 9 bulunur. 0. İlk kaleyi yerleştirmek için 8 satır, 8 sütun olmak üzere 8 8 mümkün yer vardır. İlk kaleyi yerleştirdikten sonra ikinci kaleyi ilk kalenin bulunduğu satıra ve sütuna yerleştiremeyiz. Bu durumda ikinci kale için 7 7 yerimiz vardır. Böyle devam edersek sırasıyla.,.,5. ve. kaleler için, 5 5, ve yerimiz vardır. Ayrıca siyah ve beyaz kalelerin kendi arasında yer değiştirmesi bir şeyi değiştirmeyeceğinden cevap 8 7 5!! ( ) 8 7 5 = [= 8900]! II. Yol: kale için 8 satırdan sı ( 8 ) ve 8 sütundan sı (8 ) farklı şekilde seçilir. Bu satır ve sütun içerisine kaleler! biçimde yerleştirilebilir. Bu pozisyondan ü siyah ü beyaz kale için (, ) şekilde seçilebileceğinden cevap ( ) 8 ( ) ( ) ( ) 8 8!! =!,!!!!! = bulunur. (Bkz. Ders Kitabı Çözümlü Alıştırma:..) ( 8 7 5! ) 9. Oyuncunun kazanması için zarların dördünün de hariç diğer 5 rakamdan herhangi biri olması gerektiğinden cevap 5 = 5 9 [= 0.8508] II: Yol: Zar aynı anda atıldığında ortaya çıkabilecek tüm sonuçların kümesini S ile gösterelim. Bu durumda S = C i ile sadece (i =,,, ) i. zarın olduğu sonuçların kümesini gösterelim. O zaman C i = C ij (i, j =,,, i j) ise i. ve j. zarların olduğu sonuçların kümesi ise C ij = Benzer şekilde C ijk aynı anda i., j. ve k. zarların olduğu sonuçların kümesi ise C ijk = ve tüm Bütünleme Sınavı 7 0 05 Bahar Dönemi