PARABOLİK KALINLIKLI DÖNEN DİSKLERİN ELASTİK DEFORMASYONU: ANALİTİK ÇÖZÜMLER

Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. J. Fac. Eng. Ach. Gazi Univ. Cilt 18, No, 115-135, 003 Vol 18, No, 115-135, 003 PARABOLİK KALINLIKLI DÖNEN DİSKLERİN ELASTİK DEFORMASYONU: ANALİTİK ÇÖZÜMLER Tunç APATAY * ve Ahmet N. ERASLAN ** * Makina Mühendisliği Bölümü, Mühendislik-Mimalık Fakültesi, Gazi Ünivesitesi, Maltepe, 06570, Ankaa, jtempest@hotmail.com ** Mühendislik Bilimlei Bölümü, Mühendislik Fakültesi, Ota Doğu Teknik Ünivesitesi, 06531, Ankaa, aeaslan@metu.edu.t ÖZET Bu çalışmada, yüksek hızlada dönen değişken kalınlıklı diskle için iki paameteli, paabolik fomda yeni bi kalınlık fonksiyonu öneilmişti. Bu kalınlık fonksiyonu kullanılaak dönen içi dolu ve içi boş disklein elastik analitik çözümlei hipegeometik fonksiyonla cinsinden elde edilmişti. İçi boş diskle için sebest, adyal bağımlı ve basınçlandıılmış sını koşullaı ayı ayı incelenmişti. Disk kalınlığının geometik paametelein ayalanmasıyla sabit kalınlıklı diske yaklaştığı limit duumunda, elde edilen çözümün sabit kalınlıklı disk çözümüne indigenebildiği matematiksel olaak ispatlanmıştı. Geilme ve ye değiştime dağılımlaı hesaplanmış ve bu dağılımla aynı açısal hızda sabit kalınlıklı disk için bulunan dağılımlala kaşılaştıılmıştı. Aynı koşullada paabolik diskle içeisinde geilme ve ye değiştimelein sabit kalınlıklı diskleden çok daha az olduğu gösteilmişti. Von Mises akma kitei kullanılaak çeşitli paametelein elastik limit açısal hız üzeine etkisi aaştıılmıştı. Hesaplanan limit açısal hızlaın disk ucunun incelmesiyle önemli ölçüde değiştiği saptanmışı. Anahta Kelimele: Dönen diskle; değişken kalınlık; von Mises akma kitei ELASTIC DEFORMATION OF ROTATING PARABOLIC DISCS: ANALYTICAL SOLUTIONS ABSTRACT A new thickness pofile in paabolic fom containing two geometic paametes is poposed fo otating vaiable thickness disks. Using this pofile function analytical solutions ae obtained in tems of hypegeometic functions fo the elastic defomation of otating solid and annula disks. In the case of annula disks, fee, adially constained and pessuized bounday conditions ae teated. It is shown

T. Apatay ve A.N. Easlan Paabolik Kalınlıklı Dönen Disklein Elastik Defomasyonu: Analitik... mathematicaly that in the limiting case the vaiable thickness solution educes to the solution of constant thickness disk. The distibutions of stess and displacement ae obtained and compaed to those in the unifom thickness disks at the same angula velocity. It is shown that the stesses in paabolic disks ae lowe in magnitute than those in unifom thickness disks unde the same conditions. Using the von Mises yield citeion the effect of vaious paametes on the elastic limit angula velocities is investigated. The calculated elastic limit angula velocities ae found to be affected significantly by the eduction in the edge thickness of the disk. Keywods: Rotating disks; vaiable thickness, von Mises citeion 1. GİRİŞ Yüksek hızlada dönen disklein mühendislikte biçok uygulaması bulunmaktadı [1-3]. Bu uygulamala içeisinde dişli çakla, otola ve volanla sayılabili. Dönen disklein mühendislikteki önemi nedeniyle bu elemanla içeisinde opeasyon sıasında geilme ve ye değiştimelein teoik ve deneysel analizi bilim dünyasının uzun yılladı ilgisini çekmektedi. Sabit kalınlıklı ve içi dolu dönen disklein ilk doğu elastik-plastik analitik çözümü 1984 yılında Game [4-5] taafından elde edilmişti. Game in bu çözümü düzlem geilme vasayımına dayalıdı ve elastik-plastik defomasyon için linee şekil değiştime pekleşmesi esas alınmıştı. Tesca akma kitei ve ilgili akma kualı kullanılaak tüm defomasyon adımlaının kapalı çözümlei yapılmıştı. Game in bu çalışmasından yola çıkaak daha sona biçok aaştımacı değişken kalınlıklı disklein elastik ve elastik-plastik çözümleini elde etmek için çaba hacamışladı. Güven [6-7] içi dolu dönen diskle için bii eksponensiyel ve bi diğeide kuvvet fonksiyonu tipinde iki değişik kalınlık fonksiyonu öne sümüş ve kalınlıklaı bu fonksiyonlala değişen disklein analitik çözümlei Easlan, Oçan [8] ve Oçan, Easlan [9] taafından elde edilmişti. Konkav kalınlıklı içi dolu dönen disklein kapalı çözümlei Easlan ve Oçan [10] taafından sunulmuştu. Yazala bu çalışmalaında konkav disklein elastik ve elastik-plastik davanışlaının sabit kalınlıklı diskleden tamamen faklı olduğunu göstemişledi. Otasından ijid bi şafta monte edilmiş hipebolik kalınlıklı dönen bi diskin teoik analizi Güven [11] taafından yapılmıştı. Değişken kesitli dönen disklele ilgili kapsamlı bi çalışmada Easlan ve Ageşo [1] taafından geçekleştiilmişti. Aaştımacıla bu çalışmalaında kalınlığı bi kuvvet fonksiyonuyla tanımlanan dönen bi diskin elastik ve plastik limit açısal hızlaına disk kalınlığını belileyen fonksiyonun geometik paameteleinin etkisini aaştımışladı. Bu çalışmada plastik limit açısal hızla için von Mises akma kitei kullanılmış ve bilgisaya çözümlei bulunmuştu. Değişken kalınklıklı diskle ile ilgili son yıllada yapılan tüm aaştımala, bu diskle içeisinde geilme ve ye değiştimelein aynı hızda dönen sabit kalınlıklı disklee 116 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 18, No, 003

Paabolik Kalınlıklı Dönen Disklein Elastik Defomasyonu: Analitik... T. Apatay ve A.N. Easlan göe çok daha düşük olduğunu göstemektedi. Böylece, daha az malzeme kullanaak daha dayanıklı diskle tasalamak mümkün olmaktadı. Bu çalışmanın amacı iki paameteli yeni bi kalınlık fonksiyonu önemek ve kalınlığı bu fonksiyonla değişen içi dolu ve içi boş dönen disklein elastik çözümleini elde etmekti. Kalınlık fonksiyonunu h () ile gösteilise, bu fonksiyon k h( ) = h0 1 n (1) b şeklinde ifade edilebili. Buada h 0 diskin mekez = 0 da kalınlığını, n ve k diskin kalınlığını ve şeklini belileyen geometik paametelei ( 0 n < 1, k 0 ), b ise diskin yaıçapını göstemektedi. (1) denklemi boyunca paabolik fomda değişen süekli nonlinee bi kalınlığı ifade etmektedi. Bu fonksiyonla değişik pofille elde etmek mümkündü. n = 0 alındığında sabit kalınlıklı disk elde edili. Ayıca, k = 1 için linee olaak azalan kalınlık, k < 1 değelei için konkav ve k > 1 için ise konveks disk kalınlıklaı tasalanabili. Önek olaak, tipik konkav ve konveks içi dolu disk kalınlık pofillei Şekil 1 de gösteilmektedi. Şekil 1a da veilen pofil n = 0. 4 ve k =. 4, Şekil 1b de ise n = ve k = 0. 7 değelei kullanılaak çizilmişledi. Bu şekillede boyutsuz kalınlık ve sıasıyla h = h / h0 ve = / b tanımlaı kullanılaak hesaplanmışladı. boyutsuz disk kalınlığı ( 0.5 boyutsuz boyutsuz disk kalınlığı 0. ( boyutsuz adyal koodiant Şekil 1. Paabolik disk kalınlık pofillei ( n = 0.4, k =. 4, ( n = 0.4, k = 0. 7 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 18, No, 003 117

T. Apatay ve A.N. Easlan Paabolik Kalınlıklı Dönen Disklein Elastik Defomasyonu: Analitik.... TEMEL DENKLEMLER Disk kalınlığının yaıçapa oanla küçük olduğu kabulüyle simeti ekseni doğultusundaki geilme bileşeni, σ z, ihmal edileek poblem için düzlem geilme duumu ele alınabili. Diskin dönme eksenine göe simetik olmasından dolayı geilmele θ -yönünden bağımsızdı ve yine simeti nedeniyle τ θ = 0 olu. Ayıca disk ağılığından kaynaklanan geilmele diğeleine oanla küçük olduğundan disk ağılığı ihmal edilebili. Böylece sadece adyal doğultudaki kuvvetlein dengesinden kalınlığı h () fonksiyonuyla değişen ve ω açısal hızıyla (ad/s) dönen disk için denge denklemi; d d ( hσ ) hσθ + hρω = 0 () şeklinde olu [1]. Buada ρ disk malzemesinin kütle yoğunluğu, σ adyal doğultudaki geilme bileşeni, σ teğetsel doğultudaki geilme bileşenidi. θ Pola koodinatladaki şekil değiştime ye değiştime bağıntılaı şu şekildedi: du ε = d (3) u ε θ = (4) Düzlem geilme duumu, eksenel simeti ile pola koodinatlada Hooke Kanunu ise ε 1 E = ( σ ) νσ θ ( σ νσ ) εθ = 1 E θ (5) γ θ = 0 olaak veili. Bu denklemlede, ε ve ε θ sıasıyla adyal ve teğetsel şekil değiştime bileşenleini, u adyal ye değiştimeyi, E elastisite modülünü ve ν ise Poisson oanını ifade etmektedi. (3), (4) ve (5) denklemlei yadımıyla geilme bileşenlei ye değiştimele cinsinden yazıldığında; 118 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 18, No, 003

Paabolik Kalınlıklı Dönen Disklein Elastik Defomasyonu: Analitik... T. Apatay ve A.N. Easlan E νu du σ ( ) = + 1 ν d (6) E u du σ θ ( ) = + ν 1 ν d (7) denkliklei elde edili. 3. ELASTİK ÇÖZÜM Radyal ye değiştime u () cinsinden ifade edilen geilmele (6)-(7), h () kalınlık fonksiyonu (1) ile bilikte denge denkleminde () yeleine yazıldığında geekli sadeleştimele yapılaak k d u 1 n + 1 n b d b du d ( 1+ k) 1 n( 1 kν ) ( 1 ν ) b u = k 1 n b 3 ρω E difeansiyel denklemi elde edili. Bu denklemin homojen kısmı değişkeni ve u ( ) = y( z) dönüşümü ile k k z ) (8) k = n( / b yeni d y + k (1 + k) z dy ν 1 z(1 z) + + = 0 y (9) dz k dz k haline geli. Bu denklem özel bi difeansiyel denklem tüü olan hipegeometik difeansiyel denkleminin genel fomudu ve çözümü; / k y( z) = C1F ( α, β, γ, z) + Cz F( α γ + 1, β γ + 1, γ, z) (10) şeklindedi [13]. Buada C i keyfi bi integasyon sabiti ve F( α, β, γ, z) ise hipegeometik fonksiyon olup aşağıdaki şekilde veilmektedi [13]. αβ α( α + 1) β ( β + 1) α ( α + 1)( α + ) β ( β + 1)( β + ) 3 F( α, β, γ, z) = 1+ z + z + z + (11) γ 1! γ ( γ + 1)! γ ( γ + 1)( γ + )3! Bu denklemden göüldüğü gibi F( α, β, γ, z) fonksiyonu aslında bi sonsuz sei olup 1 < z < 1 aalığında çok yavaş yakınsamaktadı. Ancak buada ele alınan poblem fiziksel bi poblem olduğundan (11) seisi he zaman yavaş da olsa yakınsa. (10) denklemindeki hipegeometik fonksiyonun agumanlaı ise, Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 18, No, 003 119

T. Apatay ve A.N. Easlan Paabolik Kalınlıklı Dönen Disklein Elastik Defomasyonu: Analitik... 1 1 k + 4(1 kν ) α = + (1) k k 1 1 k + 4(1 kν ) β = + + k k (13) γ =1+ k (14) olaak bulunu. (8) difeansiyel denkleminin homojen çözümü y(z) çözümünün u ( ) = y( z) dönüşümünde yeine yazılmasıyla u ( ) = C1P( ) + CQ( ) (15) olaak elde edili. Buada; k P ( ) = F α, β, γ, n (16) b k 1 Q ( ) = F α γ + 1, β γ + 1, γ, n (17) b tanımlamalaı yapılmıştı. Diğe taaftan, (8) denkleminin genel çözümü ise, u ( ) = C1P( ) + CQ( ) + R( ) (18) şeklinde ifade edili. Buada R () özel çözümü göstemektedi ve paametelein değişimi yöntemiyle aşağıdaki şekilde hesaplanı. R ) = P( ) U ( ) + Q( ) U ( ) (19) ( 1 Bu denklemde Q( ξ ) f ( ξ) U1 ( ) = dξ (0) W ( ξ ) a P( ξ ) f ( ξ ) U ( ) = dξ (1) W ( ξ ) a 1 ν f ( ) = ρω () E Yukaıdaki integallein alt limiti a elastik bölgenin başlangıç koodinatı ve integalle içeisindeki W () ise difeensiyel denklemin Wonskianı olup; 10 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 18, No, 003

Paabolik Kalınlıklı Dönen Disklein Elastik Defomasyonu: Analitik... T. Apatay ve A.N. Easlan dq dp W ( ) = P Q (3) d d denkliğinden hesaplanı. (18) ile veilen ye değiştime genel çözümü, (6) ve (7) ile veilen geilme denklemleinde yeine yazıldığında adyal ve teğetsel geilme bileşenlei için σ E P dp Q dq R dr ( ) = C1 ν + + C ν + + ν + ν d (4) 1 d d σ E P dp Q dq R dr ( ) = C + ν + C + ν + + ν 1 1 ν d d d (5) eşitliklei elde edili. (16)-(17) eşitlikleiyle tanımlanan P () ve Q () fonksiyonlaının tüevini almak için hipegeometik fonksiyonun tüevinin alınması geekmektedi, bu ise aşağıdaki tüev kualı [13] d αβ dz F( α, β, γ, z( )) = F( α + 1, β + 1, γ + 1, z( )) (6) d γ d kullanılaak elde edili. Yukaıda sunulan elastik çözüm limit duumunda sabit kalınlıklı diskin elastik çözümünü vemektedi. n = 0 değei alınısa (1) denkleminden h ( ) = h0, (16) denkleminden P ( ) =, (17) denkleminden ise Q ( ) = 1/ olaak bulunu. Bu bulunanla yadımıyla (19)-() denklikleinden özel çözüm a = 0 alınaak kolayca (1 ν ) ρω 3 R( ) = (7) 8E olaak belileni. P, Q ve R değelei genel çözüm ifadesinde (18) yeine konulaak elastik çözüm için 3 C (1 ν ) ρω u( ) = C1 + (8) 8E ifadesi elde edili. Bu ise sabit kalıklı diskin bilinen elastik çözümüdü [1,4]. Elastik çözüm 1 C ve C integasyon sabitleinin belilenmesiyle tamamlanı. Bunun için çeşitli sını koşullaı söz konusudu ve bu koşulla içeisinde mühendislikte en yaygın uygulamalaı olanla aşağıda ayı ayı ele alınacaktı. Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 18, No, 003 11

T. Apatay ve A.N. Easlan Paabolik Kalınlıklı Dönen Disklein Elastik Defomasyonu: Analitik... 3.1. İçi Dolu Disk Teknikde içi dolu bi diskin hiçbi uygulaması olmamasına ağmen böyle bi diskin çözümü teoinin gelişmesi açısından önemlidi. İçi dolu dönen bi diskin simeti ekseninde, yani = 0 da geilmele sonlu olmalıdı. (4) ve (5) denklemleiyle veilen geilme ifadeleinde Q () fonksiyonunun tanımı da gözönüne alındığında integal sabitleinden C sıfı olmalıdı. Diskin sebest ucu geilme bileşeni sıfıdı, yani ( = 0 = b de ise adyal σ. Radyal koodinat ye göe tüevlei φ () şeklinde gösteeek, bu sını koşulu yadımıyla diğe integal sabiti; νr( + br ( C1 = (9) ν P( + bp ( olaak hesaplanı. Ayıca simeti ekseninde ( = 0 ) adyal ve teğetsel geilme bileşenlei (4) ve (5) denklemleinden geekli limitle alınaak hesap edilise, bu eksende geilme bileşenleinin bibiine eşit olduğu ve E σ ( 0) = σθ (0) = C1 (30) 1 ν denkliğiyle elde edilebileceği bulunu. 3.. İçi Boş Diskle Otasında a yaıçapında bi delik bulunan dönen bi disk için çok değişik sını koşullaı mümkün olabili. Bunladan bazılaı aşağıda incelenmektedi. 3..1. Uçlaı Sebest Disk İki taafı sebest bi disk için sını koşullaıσ ( = σ ( = 0 şeklindedi. Bu sını koşullaının (4) ile veilen adyal geilme bileşeni ifadesinde yeine yazılmasıyla integasyon sabitlei; C 1 = [ νq( + aq ( ][ νr( + br ( ] T + L [ νp( + ap ( ][ νr( + br ( ] C = T + L olaak elde edili, buada )[ νq( + aq ( ] + bq ( [ P( + ap ( )] [ νp( + ap ( ] bp ( [ Q( + aq ( )] T = ν P( b ν a (33) L = ν Q( ν a (34) tanımlaı kullanılmıştı. (31) (3) 1 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 18, No, 003

Paabolik Kalınlıklı Dönen Disklein Elastik Defomasyonu: Analitik... T. Apatay ve A.N. Easlan 3... Rijid Şafta Sabitlenmiş Disk Otasından ijid bi şafta sabitlenmiş bi disk gözönüne alındığında diskin iç çapında defomasyon olamıyacağı için adyal ye değiştime u ( = 0 olmalıdı. Diskin sebest ucunda ise sını koşulu daha önce olduğu gibi σ ( = 0 şeklindedi. Buna göe integal sabitlei C = Q( K (35) 1 C = P( K (36) olaak belileni. Buada νr( + br ( K = Q( şeklinde tanımlanmıştı. [ νp( + bp ( ] P( [ νq( + bq ( ] (37) 3..3. Sıkı Geçme ile Şafta Monte Edilmiş Disk Bi şafta otasından sıkı geçme yöntemiyle monte edilmek için ısıtılan disk soğuduğunda iç kısmında p kada bi basınca mauz kalı, böylece diskin iç kısmı için sını koşulu σ ( = p şeklinde yazılabili. Diğe sını koşulu ise σ ( = 0 olmalıdı. Buna göe C 1 ve C a b EQ'( R'( p(1 ) Q'( EQ'( R( p(1 ) Q( ν + ν ν C 1 = / M + E Q( R( b Q( R'( ν + ν ( [ '( R'( p(1 ν ) P'( ] + ν[ EP'( R( p(1 ν ) P( ]) + E[ ν P( R( + bνp( R'( ] a b EP C = olaak belileni, buada '( [ ap'( + νp( ] aq'( [ bp'( + νp( ] ( Q( [ bp'( + νp( ] Q( [ ap'( + νp( ]) bq M = E ν olaak tanımlanmıştı. / M (38) (39) (40) Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 18, No, 003 13

T. Apatay ve A.N. Easlan Paabolik Kalınlıklı Dönen Disklein Elastik Defomasyonu: Analitik... 4. SAYISAL SONUÇLAR VE TARTIŞMA Bu bölümde elde edilen sonuçla aşağıdaki boyutsuz büyüklükle kullanılaak sunulacaktı. Açısal hız (ad cinsinden): Ω = ω b Geilmele: Ye değiştime: σ σ j j = σ 0 u = ue bσ 0 ρ σ 0 Bu tanımlada kullanılan σ 0 sabiti malzemenin akma geilmesinin başlangıcını göstemektedi. Düzlem geilme duumunda deviyatoik geilme tensöü aşağıdaki foma indigeni: σ σ m 0 0 [ S ] ij = 0 σθ σ m 0 (41) 0 0 σ m buada, σ m hidostatik geilme olup, σ m = ( σ + σ θ ) / 3 denkliğinden hesaplanı. Plastik defomasyonun başlamasını belileyen akma geilmesi von Mises akma kiteine göe deviyatoik geilme bileşenlei cinsinden; 3 σ Y = SijSij (4) şeklinde veilmektedi [14]. i ve j indislei üzeinden geekli toplamala yapılısa, von Mises akma kitei = σ σ σ Y σ θ + σ θ (43) şeklinde elde edili [1,14]. (41) denklemi yadımıyla hesaplanan boyutsuz akma geilmesi σ Y = σ Y / σ 0 = 1 olduğu açısal hızda ve adyal konumda akma başla. 4.1. İçi Dolu Disk ν = 0.3 alınaak faklı pofillee sahip bazı diskle için plastik defomasyonun başladığı kitik açısal hızla hesaplanmıştı. Kalınlık pofili Şekil 1a da gösteilen ve geometik paametelei n = 0. 4 ve k =. 4 olan diskin kitik açısal hızı Ω = 1.6886 olaak hesaplanı. Bu açısal hızda elde edilen geilme ve ye değiştime 14 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 18, No, 003

Paabolik Kalınlıklı Dönen Disklein Elastik Defomasyonu: Analitik... T. Apatay ve A.N. Easlan dağılımlaı ise Şekil a da gösteilmektedi. Bu şekil [4] nolu efeansda veilen gafiklele kaşılaştııldığında bu diskin defomasyon davanışının sabit kalınlıklı diskin davanışına çok benze olduğu anlaşılı. Geilmele tüm disk içeisinde σ θ σ > 0 eşitsizliğini sağlamaktadı. Böylece, plastik akma geilmelein en büyük olduğu disk mekezinde başlamakta ve buada oluşan plastik bölge atan açısal hızlala diskin sebest ucuna doğu yayılmaktadı. Kalınlık pofili Şekil 1b de gösteilen konkav kalınlıklı diskin geometik paametelei n = 0. 4 ve k = 0. 7 kullanılaak elastik limit açısal hız Ω = 1. 73 olaak belileni. Bu kitik hızda hesaplanan geilme ve ye değiştimele Şekil b de çizilmişti. Bu şekilde göüldüğü gibi, konkav diskin geilme duumu bi önceki diskten faklıdı. Bu diskde geilmele diskin mekeze yakın bölgesinde σ σ θ > 0 ve gei kalan kısmında ise σ θ σ > 0 eşitsizlikleini sağlamaktadıla. Bu duum Easlan ve Oçan [10] taafından ele alınan konkav eksponensiyel diskin davanışını anımsatmaktadı. Plastik defomasyon diskin içeisinde bi konumda başlamakta ve atan açısal hızlada bu plastik bölgenin he iki yönede yayılacağı anlaşılmaktadı. Şekil b de M ile gösteilen akmanın başladığı noktanın ı = 0.1818 olaak hesaplanmıştı. M Göüldüğü gibi bazı n ve k değelei için adyal geilme bileşeni diskin tamamında teğetsel geilme bileşeninden küçük, diğe bazı n ve k değelei için ise diskin mekez bölgesinde teğetsel geilme bileşeninden büyük olmaktadı ve buna göe de diskin plastik defomasyon kaaktei değişmektedi. Şekil a ve b dikkatlice 1. 1. geilme ve ye değiştime 0. u σ σ θ σ y geilme ve ye değiştime 0. M u σ σ θ σ y 0. 0.5 ( ( Şekil. İçi dolu disklede geilme ve ye değiştimele ( n = 0.4, k =. 4, ( n = 0.4, k = 0. 7 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 18, No, 003 15

T. Apatay ve A.N. Easlan Paabolik Kalınlıklı Dönen Disklein Elastik Defomasyonu: Analitik... kaşılaştıılısa a diskinde disk simeti ekseninde σ < 0, b de ise σ > 0 olduğu göülü. Diskin mekezinde σ = 0 sağlıyan n ve k değelei bulunaak bu iki faklı davanış aasındaki sını çizilebili. Bu sını eğisi Şekil 3 de veilmektedi. Bu şekilde I bölgesine düşen n ve k değelei kullanılaak elde edilen diskle Şekil b deki disk gibi, II bölgesine düşen geometik paametelele elde edilen diskle ise sabit kalınlıklı disk gibi davanmaktadı. Şekil 4 de ise I bölgesinde bulunan diskle için plastik defomasyonun başladığı M nin n ve k paametelei ile değişimi hesaplanaak çizilmişti. Göüldüğü gibi kullanılan tüm k paametelei n değelei 0.9 0.7 0.5 0.3 0. 0.1 0.7 I. 1. 1.6.0.4.8 3. k değelei Şekil 3. Mekez = 0 da σ ( 0) = 0 değeini veen n - k eğisi II. n paametesi 0.5 0.3 0. 0.1 1.1 k = 5 0.1 0. 0.3 Şekil 4. Plastik defomasyonun başladığı M ının n ile değişimi 16 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 18, No, 003

Paabolik Kalınlıklı Dönen Disklein Elastik Defomasyonu: Analitik... T. Apatay ve A.N. Easlan için n attıkça, yani diskin ucu inceldikçe plastik defomasyonun başladığı adyal konum mekezden uzaklaşmaktadı. Bu bölümde son olaak, değişken kalınlıklı diskle içeisindeki geilmele sabit kalınlıklı disk geilmelei ile kaşılaştıılacaktı. Bu amaçla önce n = 0 alınaak sabit kalınlıklı disk için elastik limit açısal hız hesaplanmış ve daha sona aynı açısal hızda k = 0. 8 ve değişik n değelei için geilmele bulunmuştu. Tüm bu hesaplamalaın sonuçlaı Şekil 5a ve 5b de sunulmuştu. Bu şekilleden göüldüğü gibi kalınlığı sabit diskde plastik defomasyonun başladığı hızda değişken kalınlıklı diskle elastik davanmakta ve en büyük geilmele sabit kalınlıklı disklede meydana gelmektedi. Ayıca, diskin ucu inceldikçe geilme bileşenlei de küçülmektedi. 1. 1. adyal geilme bileşeni n = 0. teğetsel geilme bileşeni n = 0. 0. 0. 0. 4.. İçi Boş Diskle 4..1. Uçlaı Sebest Disk İçi dolu disklede olduğu gibi ν = 0. 3 ve iç yaıçap a = 0. alınaak n = 0.4, k =.4 değelei için, iki ucu sebest içi boş diskde elastik limit açısal hız hesaplanmış ve bu hızda geilme ve ye değiştime dağılımlaı Şekil 6 da veilmişti. Bu şekilde göüldüğü gibi, bu diskde teğetsel geilme bileşeni he yede adyal geilme bileşeninden büyüktü ve plastik defomasyon, teğetsel geilme bileşeninin en büyük değeini aldığı disk iç yüzeyinde başla. Çeşitli k değelei için elastik 0. ( ( Şekil 5. Değişik n değelei için içi dolu disklede ( adyal, ( teğetsel geilmele Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 18, No, 003 17

T. Apatay ve A.N. Easlan Paabolik Kalınlıklı Dönen Disklein Elastik Defomasyonu: Analitik... 1. geilme ve ye değiştime 0. a = 0. σ σ y u σ θ 0. Şekil 6. Uçlaı sebest disklede n = 0.4, k =. 4 için geilme ve ye değiştimele limit açısal hızın n paametesi ile değişimi Şekil 7 de gösteilmektedi. Göüldüğü gibi elastik limit açısal hız ile k paametesi aasında düzgün bi ilişki yoktu, ancak he k değei için n attıkça elastik limit açısal hız da atmaktadı. k paametesine bağlı olmaksızın n = 0 değeine kaşılık gelen hız sabit kalınlıklı diske ait limit hızdı. Sabit kalınlıklı diskin elastik limit açısal hızı tüm değişken kalınlıklı disklein hızlaından çok daha düşüktü. Diğe taaftan, diskin iç yaıçapı attıkça elastik limit açısal hız azalmaktadı. 1.45 1.40 elastik limit açısal hız 1.35 1.30 1.5 1.15 1.10 k = 0.98 k =. 4 k = 0.5 5 0. n paametesi Şekil 7. Uçlaı sebest diskde elastik limit açısal hızın n paametesi ile değişimi 18 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 18, No, 003

Paabolik Kalınlıklı Dönen Disklein Elastik Defomasyonu: Analitik... T. Apatay ve A.N. Easlan Şekil 8 de değişik iç yaıçapa sahip, linee azalan kalınlıklı k = 1, diskle için hesaplanan limit hızlaın n ile değişimi veilmişti. Göüldüğü gibi aynı n değeindeki diskleden iç yaıçapı küçük olanın elastik limit açısal hızı daha büyüktü. Buadan aynı disk pofiline sahip diskle için kütlesi az olanın limit açısal hızının da küçük olacağı sonucu çıkaılabili. Değişken kalınlıklı içi boş ve uçlaı sebest diskle içeisindeki geilmele k = 0. 8 alınaak ve aynı açısal hız 1.55 elastik limit açısal hız 1.45 1.35 1.5 1.15 a = 0. a = 0.1 a = 0.3 5 0. n paametesi Şekil 8. Uçlaı sebest diskde iç yaıçapın elastik limit açısal hıza etkisi adyal geilme bileşeni 0.35 0.30 0.5 0.15 0.10 5 a = 0. n = teğetsel geilme bileşeni 1. 0. a = 0. n = 0 0. 0. ( ( Şekil 9. Değişik n değelei için uçlaı sebest disklede ( adyal, ( teğetsel geilmele Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 18, No, 003 19

T. Apatay ve A.N. Easlan Paabolik Kalınlıklı Dönen Disklein Elastik Defomasyonu: Analitik... kullanılaak Şekil 9 da sabit kalınlıklı disk geilmelei ile kaşılaştımalı olaak veilmektedi. Bu gafikleden de anlaşılacağı gibi en büyük geilmele sabit kalınlıklı diskde ( n = 0 ) meydana gelmektedi ve diskin ucu inceldikce geilmele azalmaktadı. 4... Rijid Şafta Sabitlenmiş Disk ν = 0.3, a = 0., n = 0. 4 ve k = 0. 8 değelei kullanılaak elastik limit açısal hızda ijid şafta sabitlenmiş değişken kalınlıklı bi disk içeisinde geilme ve ye değiştime pofillei Şekil 10 da veilmişti. 1. geilme ve ye değiştime 0. a = 0. σ y σ σ θ u 0. Şekil 10. Rijid şafta sabitlenmiş disklede n = 0.4, k = 0. 8 değiştimele için geilme ve ye İki ucu sebest diskdeki geilme dağılımının aksine bu disk içinde geilmele σ σ θ < 0 ve σ θ σ < 0 eşitsizlikleini sağlıyan iki ayı bölge oluştumaktadıla. Şekil 10 da akma geilmesini gösteen σ Y dağılımı takip edildiğinde plastik defomasyonun uçlaı sebest diskde olduğu gibi diskin iç yüzeyinde başladığı göülü. Değişik k değelei için elastik limit açısal hızın n paametesi ile değişimi Şekil 11 de veilmektedi. He k paametesi için n attıkça elastik limit açısal hızın attığı göülmektedi. k = 1 değei kullanılaak iç yaıçapla elastik limit açısal hız ilişkisi Şekil 1 de çizilmişti. 130 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 18, No, 003

Paabolik Kalınlıklı Dönen Disklein Elastik Defomasyonu: Analitik... T. Apatay ve A.N. Easlan.0 1.9 elastik limit açısal hız 1.8 1.7 1.6 1.5 k = 0.98 k = 0.5 k =.4 1.4 1.3 0. n paametesi Şekil 11. Rijid şafta sabitlenmiş diskde elastik limit açısal hızın n paametesi ile değişimi. elastik limit açısal hız.0 1.8 1.6 1.4 a = 0.1 0. 0.3 1. 0. n paametesi Şekil 1. Rijid şafta sabitlenmiş diskde iç yaıçapın elastik limit açısal hıza etkisi Şekil 13 ise kalınlığı unifom diskle için hesaplanan elastik limit açısal hızda k = ve değişik n değelei kullanılaak elde edilen adyal ve teğetsel geilme dağılımlaının değişimi göülmektedi. En büyük geilmele aynı hız için kalınlığı sabit disklede meydana gelmektedi. Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 18, No, 003 131

T. Apatay ve A.N. Easlan Paabolik Kalınlıklı Dönen Disklein Elastik Defomasyonu: Analitik... 1. 0.7 adyal geilme bileşeni 0. a = 0. n = teğetsel geilme bileşeni 0.5 0.3 0. 0.1 a = 0. n = 0. ( ( Şekil 13. Değişik n değelei için ijid şafta sabitlenmiş disklede ( adyal, ( teğetsel geilmele 4..3. Sıkı Geçme ile Şafta Monte Edilmiş Disk ν = 0.3, a = 0., iç yaıçapta oluşan basınç değei p = p / σ 0 = 0. 5 ve geometik paametele n = 0.4, k = 0. 8 alınaak elastik limit açısal hızda elde edilen geilme ve ye değiştime dağılımlaı Şekil 14 de veilmişti. 0. 1. geilme ve ye değiştime 0. u σ y σ θ -0. a = 0. σ - 0. Şekil 14. Sıkı geçme ile ijid şafta bağlanan disklede n = 0.4, k = 0. 8 ve ye değiştimele için geilme 13 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 18, No, 003

Paabolik Kalınlıklı Dönen Disklein Elastik Defomasyonu: Analitik... T. Apatay ve A.N. Easlan Bu geilim dağılımı uçlaı sebest diskledekine benze olmakla beabe buada adyal geilme bileşeni disk aayüzünde kompesif olmaktadı. Plastik defomasyon bu disklede de iç yüzeyden başlamakta ve daha yüksek açısal hızlada diskin içeisine doğu yayılmaktadı. Şekil 15 de elastik limit açısal hızın n paametesi ile değişimi üç değişik k değei için veilmişti. Şekil 16 da ise diskin değişen iç yaıçapının elastik limit açısal hıza etkisi k = 1 için elde edilmişti. elastik limit açısal hız 0 0.98 0.96 0.94 0.9 0.90 8 6 4 k = 0.98 k =.4 k = 0.5 0. n paametesi Şekil 15. Sıkı geçme ile ijid şafta bağlanan diskde elastik limit açısal hızın n paametesi ile değişimi elastik limit açısal hız 1.15 1.10 5 0 0.95 0.90 5 a = 0.1 a = 0. a = 0.3 0 0. n paametesi Şekil 16. Sıkı geçme ile ijid şafta bağlanan diskde iç yaıçapın elastik limit açısal hıza etkisi Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 18, No, 003 133

T. Apatay ve A.N. Easlan Paabolik Kalınlıklı Dönen Disklein Elastik Defomasyonu: Analitik... k = için adyal ve teğetsel geilme dağılımlaı değişik n değelei için hesaplanaak sıasıyla Şekil 17a ve 17b de sunulmuştu. Diğe disklede olduğu gibi en büyük geilmele aynı hız için kalınlığı sabit disklede meydana gelmektedi. adyal geilme bileşeni 0.15 0.10 5 0-5 -0.10-0.15 - -0.5-0.30 a = 0. n = 0. teğetsel geilme bileşeni 0.9 0.7 0.5 0.3 0. 0.1 a = 0. n = 0. ( ( Şekil 17. Değişik n değelei için sıkı geçme ile ijid şafta bağlanan disklede ( adyal, ( teğetsel geilmele KAYNAKLAR 1. Timoshenko, S.P. and Gooide, J.N., Theoy of Elasticity, 3d Edition, McGaw Hill, New Yok, 1970.. Rees, D.W.A., The Mechanics of Solids and Stuctues,, McGaw Hill, New Yok, 1990. 3. Uğual, A.C. and Fenste, S.K., Advanced Stength and Applied Elasticity, 3d Edition, Pentice Hall Intenational, London, 1995. 4. Game, U., Elastic-Plastic Defomation of the Rotating Solid Disk, Ingeniu- Achiv, 54, 345-354, 1984. 5. Game, U., Stess Distibution in the Rotating Elastic-Plastic Disk, ZAMM, 65, 4, 136-137, 1985. 6. Güven, U., On the applicability of Tesca s Yield Condition to the Linea Hadening Rotating Solid Disk of Vaiable Thickness, ZAMM, 75, 397-398, 1995-a. 7. Güven, U., Tesca s Yield Condition and the Linea Hadening Rotating Solid Disk of Vaiable Thickness, ZAMM, 75, 805-807, 1995-b. 8. Easlan, A.N. and Ocan, Y., Elastic-Plastic Defomations of a Rotating Solid Disk of Exponentially Vaying Thickness, Mechanics of Mateials 34, 43-43, 00. 134 Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 18, No, 003

Paabolik Kalınlıklı Dönen Disklein Elastik Defomasyonu: Analitik... T. Apatay ve A.N. Easlan 9. Ocan, Y. and Easlan, A.N., Elastic-Plastic Stesses in Linealy Hadening Rotating Solid Disks of Vaiable Thickness, Mechanics Reseach Communications, 9, 69-81, 00. 10. Easlan, A.N. and Ocan, Y., On the Rotating Elastic-Plastic Solid Disks of Vaiable Thickness Having Concave Pofiles, Intenational Jounal of Mechanical Sciences, 44, 1445-1466, 00. 11. Güven, U., Elastic-Plastic Stess Distibution in a Rotating Hypebolic Disk With Rijid Inclusion, Intenational Jounal of Mechanical Sciences, 40, 97-109, 1998. 1. Easlan, A.N. and Ageso, H., Limit Angula Velocities of Vaiable Thickness Rotating Disks, Intenational Jounal of Solids and Stuctues, 39, 3109-3130, 00. 13. Abamowitz, M. and Stegun A.I. (Eds.), Handbook of Mathematical Functions. US Govenment Pinting Office. Fifth Pinting. Washington, 1966. 14. Mendelson, A., Plasticity: Theoy and Application, The Macmillan Company, New Yok, 1968. Gazi Üniv. Müh. Mim. Fak. De. Cilt 18, No, 003 135