Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi

Transkript

1 Afyon Kocatee Ünivesitesi Fen ve Mühendislik Bilimlei Degisi Afyon Kocatee Univesity Jounal of Science and Engineeing AKÜ FEMÜBİD 7 (207) 0330 ( ) AKU J. Sci. Eng. 7 (207) 0330 ( ) DOI: /fmbd acunay I σ -Asimtotik Denklik Uğu Ulusu Afyon Kocatee Ünivesitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Afyonkaahisa. e-osta: ulusu@aku.edu.t Geliş Taihi: ; Kabul Taihi: Anahta kelimele Asimtotik denklik; İstatistiksel yakınsaklık; acunay dizi; I-yakınsaklık; İnvayant yakınsaklık. Özet Bu çalışmada, eel sayı dizilei için lacunay I σ -asimtotik denklik, lacunay σ-asimtotik denklik ve -kuvvetli lacunay σ-asimtotik denklik kavamlaı tanımlandı. Ayıca, bu yeni denklik kavamlaı aasındaki ilişkile veileek, bu kavamlaın Savaş ve Patteson (2006) taafından çalışılmış olan S σθ -asimtotik denklik kavamı ile ilişkisinden bahsedildi. acunay I σ -Asymtotic Equivalence Keywods Asymtotic equivalence; Statistical convegence; acunay sequence; I-convegence; Invaiant convegence. Abstact In this ae, the concets of lacunay I σ -asymtotically equivalence, lacunay σ-asymtotically equivalence and -stongly lacunay σ-asymtotically equivalence fo eal numbe sequences ae defined. Also, by giving elationshis among these new tye equivalence concets, we talked about the elationshi of these concets with the concet of S σθ -asymtotically equivalence which is studied by Savaş and Patteson (2006). Afyon Kocatee Ünivesitesi. Giiş σ, ozitif tamsayılada bi dönüşüm olsun. Sınılı eel sayı dizi uzayı l üzeinde süekli bi linee φ fonksiyoneli aşağıdaki şatlaı sağlıyosa, invayant otalama veya σ-otalama olaak adlandıılı; ) He n için x n 0 şatını sağlayan x = (x n ) dizisi için φ(x) 0, 2) e = (,,, ) olmak üzee, φ(e) = ve 3) He x l için φ(x σ(n) ) = φ(x n ). σ dönüşümünün n deki m. ötelemesi σ m (n) ile gösteilmek üzee, he n ve m ozitif tamsayılaı için σ m (n) n şatını sağlayan biebi dönüşüm olduğu kabul edili. Böylece, φ yakınsak dizile uzayı c üzeindeki limit fonksiyonelinin bi genişlemesidi, yani x c için φ(x) = lim x olu. σ dönüşümü, σ(n) = n + olaak alındığında σ-otalama genellikle Banach limiti olaak adlandıılı. İnvayant yakınsaklık kavamı başta Musaleen (979, 983), Musaleen ve Edely (2009), Nuay ve Savaş (994), Nuay vd. (20), Pancaoğlu ve Nuay (203), Raimi (963), Savaş (989a, 989b), Savaş ve Nuay (993), Schaefe (972) ve Ulusu ve Nuay olmak üzee ek çok yaza taafından çalışılmıştı. 2. Temel Kavamla θ = {k } dizisi, k 0 = 0 ve iken h = k k olacak şekilde atan bi tamsayı dizisi ise, lacunay dizi olaak adlandıılı. θ lacunay dizisi taafından belilenen aalıkla I = (k, k ] ile gösteili (Fidy and Ohan 993). Savaş (989b) taafından lacunay kuvvetli σ-yakınsaklık kavamı; θ = {x = (x k ): lim x h σ k (m) = 0} k I (m ye göe düzgün) şeklinde veilmişti.

2 acunay I σ -Asimtotik Denklik, Ulusu Pancaoğlu ve Nuay (203) taafından lacunay invayant tolanabilme kavamı ve [V σθ ] q uzayı aşağıdaki biçimde tanımlanmıştı: x = (x k ) bi dizi olmak üzee, eğe lim x h σ m (n) = m I limiti n ye göe düzgün ise, x dizisi ye lacunay invayant tolanabilidi deni. x = (x k ) bi dizi ve 0 < q < olmak üzee, eğe lim x h σ m (n) q = 0 m I limiti n ye göe düzgün ise, x dizisi ye kuvvetli lacunay q-invayant yakınsaktı deni. Bu duum x k ([V σθ ] q ) biçiminde gösteili. İstatistiksel yakınsaklık kavamı Fast (95) taafından tanıtılmış ve biçok aaştımacı taafından çalışılmıştı. x = (x k ) bi dizi olmak üzee, eğe he ε > 0 için lim n {k n: x k ε} = 0 n ise x dizisi ye istatistiksel yakınsaktı deni. Buada dikey çizgile, içeisinde bulunan kümenin eleman sayısını belitmektedi. acunay σ-istatistiksel yakınsak dizi kavamı Savaş ve Nuay (993) taafından aşağıdaki şekilde tanımlanmıştı: θ = {k } bi lacunay dizi olsun. Eğe ε > 0 için lim {k I h : x σ k (n) ε} = 0 limiti n ye göe düzgün ise x = (x k ) dizisi ye S σθ -yakınsaktı deni ve S σθ lim x = veya x k (S σθ ) biçiminde gösteili. Doğal sayıla kümesi N nin altkümeleinin I idealinin yaısı üzeine kuulan ve istatistiksel yakınsaklık kavamının bi genelleştiilmesi olan I-yakınsaklık kavamı Kostyko vd. (2000) taafından tanıtılmıştı. Bu kavam üzeine Kostyko vd. (2005) ve Nuay vd. (20) de çalışmala yamışladı. Aşağıdaki şatlaı sağlayan I 2 N kümesi bi ideal olaak adlandıılı; ) I, 2) He bi E, F I için E F I, 3) He bi E I ve he bi F E için F I. Eğe I ideali; N I şatını sağlıyosa non-tivial ideal ve non-tivial bi ideal he bi n N için {n} I şatını sağlıyosa admissible ideal olaak adlandıılı. Bu çalışmadaki bütün idealle admissible ideal olaak kabul edilecekti. x = (x k ) bi dizi olmak üzee, eğe he ε > 0 için, A(ε) = {k N: x k ε} kümesi I idealine ait ise x dizisi ye I-yakınsaktı deni. Bu duum I lim x = biçiminde gösteili. Aşağıdaki şatlaı sağlayan F 2 N kümesi bi süzgeç olaak adlandıılı; ) F, 2) He bi E, F F için E F F, 3) He bi E F ve he bi F E için F F. He bi I ideali için F(I) = {M N: ( A I)(M = N\A)} şeklinde tanımlanan bi süzgeç vadı. N nin bi A altkümesinin σθ-düzgün yoğunluğu kavamı ve bununla ilişkili olaak eel sayı dizilei için I σθ -yakınsaklık kavamı Ulusu ve Nuay taafından veilmişti. θ = {k } bi lacunay dizi, A N, ve s = min n A {σ m (n): m I } 900

3 acunay I σ -Asimtotik Denklik, Ulusu olsun. Eğe S = max n A {σm (n): m I } s S V θ (A) = lim, V h θ (A) = lim h limitlei mevcut ise bunlaa sıasıyla A kümesinin alt lacunay σ-düzgün (alt σθ-düzgün) yoğunluğu ve üst lacunay σ-düzgün (üst σθ-düzgün) yoğunluğu deni. Eğe V θ (A) = V θ (A) ise, V θ (A) = V θ (A) = V θ (A) ifadesi A kümesinin lacunay σ-düzgün yoğunluğu veya σθ-düzgün yoğunluğu olaak adlandıılı. V θ (A) = 0 şatını sağlayan A N kümeleinin sınıfı I σθ ile gösteili. Şimdi lacunay σ-düzgün yoğunluk kavamı yadımıyla hehangi bi x = (x k ) eel sayı dizisinin I σθ -yakınsaklığı kavamını veelim. Eğe he ε > 0 için A ε = {k I : x k ε} kümesi I σθ ya ait, yani V θ (A ε ) = 0 ise, x dizisi ye I σθ -yakınsaktı deni. Bu duum I σθ lim x k = biçiminde gösteili. Maouf (993) eel sayı dizileinin asimtotik denkliği ve asimtotik egüle matisle için bazı temel tanımla vedi. Daha sona asimtotik denklik kavamı başta Patteson (2003), Patteson ve Savaş (2006), Savaş (203), Savaş ve Başaı (2006), Savaş ve Patteson (2006) ve Ulusu olmak üzee ek çok aaştımacı taafından geliştiilmişti. olmak üzee, eğe lim k x k y k = ise, x ve y dizileine asimtotik denkti deni. Bu duum x~y biçiminde gösteili. θ = {k } bi lacunay dizi olsun. x = (x k ) ve y = (y k ) negatif olmayan iki dizi olmak üzee, he ε > 0 için lim {k I h : xσk (m) ε} = 0 limiti m =,2, ye göe düzgün ise, x ve y dizileine katlı S σθ -asimtotik denkti deni. Bu duum x S σθ ~ y ile gösteili. = olması duumunda S σθ -asimtotik denklik elde edili. θ = {k } bi lacunay dizi olsun. x = (x k ) ve y = (y k ) negatif olmayan iki dizi olmak üzee, eğe lim xσk (m) = 0 h y limiti m =,2, ye göe düzgün ise, x ve y dizileine katlı kuvvetli σ-asimtotik lacunay denkti deni. Bu duum x [N σθ ] ~ y ile gösteili. = olması duumunda kuvvetli σ-asimtotik denklik elde edili. olmak üzee, eğe he ε > 0 için A ε = {k N: x k y k ε} I σ, yani V(A ε ) = 0 ise, x ve y dizileine katlı asimtotik I σ -denkti deni. Bu duum x I σ ~ y ile gösteili. = olması duumunda asimtotik I σ -denklik elde edili. 3. acunay I σ -Asimtotik Denklik Bu kısımda, eel sayı dizilei için bazı asimtotik denklik kavamlaı tanımlandı. Ayıca, bu yeni denklik kavamlaı aasındaki ilişkile veileek, bu kavamlaın S σθ -asimtotik denklik kavamı ile ilişkisinden bahsedildi. Tanım 3. θ = {k } bi lacunay dizi olsun. olmak üzee, eğe he ε > 0 için A ε : = {k I : x k y k ε} I σθ, yani V θ (A ε ) = 0 ise, x ve y dizileine katlı lacunay I σ -asimtotik denkti deni. Bu duum x I σθ ~ y ile gösteili. = için lacunay I σ -asimtotik denklik elde edili. 90

4 acunay I σ -Asimtotik Denklik, Ulusu katlı lacunay I σ -asimtotik denk dizilein sınıfı I σθ ile gösteili. Tanım 3.2 θ = {k } bi lacunay dizi olsun. olmak üzee, eğe lim xσk (m) = h y limiti m ye göe düzgün ise, x ve y dizileine lacunay σ-asimtotik denkti deni. Bu duum x N σθ ~ y ile gösteili. = olması duumunda lacunay σ-asimtotik denklik elde edili. Teoem 3. x = (x k ) ve y = (y k ) sınılı dizile olmak üzee, eğe x ve y dizilei katlı lacunay I σ -asimtotik denk ise, o zaman bu dizile katlı lacunay σ-asimtotik denkti. İsat: θ = {k } bi lacunay dizi, m N keyfi ve ε > 0 olsun. Şimdi, t(m, ) h y ifadesini hesalayalım. ve t () (m, ) h k I ε t (2) (m, ) h olmak üzee k I <ε t(m, ) t () (m, ) + t (2) (m, ) di. Buada, he θ = {k } lacunay dizi ve he m =,2, için t (2) (m, ) < ε olduğu elde edili. x = (x k ) ve y = (y k ) dizilei sınılı olduğundan he k I, m =,2, için M olacak şekilde bi M > 0 sayısı vadı. Bu duum ise t () (m, ) M {k I h : ε} M max {k I : m y ε} σ k (m) h = M S h olmasını geektii. Böylece, x ve y dizileinin katlı lacunay σ-asimtotik denk olduklaı elde edili. Teoem 3. in kaşıtı genelde doğu değildi. Öneğin, x = (x k ) ve y = (y k ) dizilei aşağıdaki şekilde tanımlansın; x k y k 2, 0, { k < k < k + [ h ] ve k çift tamsayı ise, k < k < k + [ h ] ve k tek tamsayı ise. σ dönüşümü, σ(m) = m + olaak alınısa, bu dizile lacunay σ-asimtotik denkti fakat lacunay I σ -asimtotik denk değildi. Tanım 3.3 θ = {k } bi lacunay dizi ve 0 < < olsun. x = (x k ) ve y = (y k ) negatif olmayan iki dizi olmak üzee, eğe lim xσk (m) h y = 0 limiti m ye göe düzgün ise, x ve y dizileine katlı -kuvvetli lacunay σ-asimtotik denkti deni. Bu [N σθ] duum x ~ y ile gösteili. = olması duumunda -kuvvetli lacunay σ-asimtotik denklik elde edili. 902

5 acunay I σ -Asimtotik Denklik, Ulusu katlı -kuvvetli lacunay σ-asimtotik denk dizilein sınıfı [ℵ σθ ] ile gösteili. Teoem < < olsun. Bu duumda, di. x [N σθ] ~ y x I σθ ~ y [N σθ] İsat: x ~ y ve ε > 0 olsun. O zaman, he θ = {k } lacunay dizi ve he m N için x σ k (m) y k I ε ε {k I : ε} ε max {k I : xσk (m) ε} m ve buadan xσk (m) h k I ε max {k I : m y ε} σ k (m) h = ε S h elde edili. Bu ise S lim = 0 h olmasını geektii. O halde x I σθ ~ y di. Teoem 3.3 x = (x k ), y = (y k ) sınılı dizile ve 0 < < olsun. O zaman, di. x I σθ σθ] ~ y x[n ~ y İsat: x, y l, x I σθ ~ y ve ε > 0 olsun. Kabulümüzden dolayı V θ (A ε ) = 0 dı. x = (x k ) ve y = (y k ) sınılı dizile olduğundan he k I, m =,2, için M olacak şekilde bi M > 0 sayısı vadı. Buada θ = {k } nin lacunay dizi ve m N olduğuna dikkat edilise, xσk (m) h k I = h k I ε + h M k I <ε max {k I : m h ε} + ε M S h + ε di. Böylece, m ye göe düzgün olaak lim x σk (m) = 0 h y elde edeiz ki bu da isatı tamamla. Teoem 3.2 ve Teoem 3.3 den aşağıdaki sonuç elde edili. Sonuç 3. 0 < < olsun. Bu duumda, du. I σθ l = [ℵ σθ ] l 903

6 acunay I σ -Asimtotik Denklik, Ulusu Şimdi, lacunay I σ -asimtotik denklik kavamı ile Savaş ve Patteson (2006) taafından çalışılmış olan S σθ -asimtotik denklik kavamı aasındaki ilişkiyi veelim. Teoem 3.4 x = (x k ) ve y = (y k ) dizileinin katlı lacunay I σ -asimtotik denk olması için geek ve yete şat bu dizilein katlı S σθ -asimtotik denk olmasıdı. Sonuç 3.2 Savaş ve Patteson (2006) taafından yaılan çalışmadaki Teoem 3.6, Ulusu taafından yaılan çalışmadaki Teoem 2.9 ve bu çalışmadaki Teoem 3.4 dikkate alındığında, < lim inf q < lim su q < şatını sağlayan he θ = {k } lacunay dizi için Musaleen, M., 983. Matix tansfomation between some new sequence saces. Houston Jounal of Mathematics, 9, Musaleen, M. and Edely, O. H. H., On the invaiant mean and statistical convegence. Alied Mathematics ettes, 22(), Nuay, F. and Savaş, E., 994. Invaiant statistical convegence and A-invaiant statistical convegence. Indian Jounal of Pue and Alied Mathematics, 25(3), Nuay, F., Gök, H. and Ulusu, U., 20. I σ -convegence. Mathematical Communications, 6, elde edeiz. x I σθ ~ y x I σ ~ y Pancaoğlu, N. and Nuay, F., 203. Statistical lacunay invaiant summability. Theoetical Mathematics and Alications, 3(2), Kaynakla Fast, H., 95. Su la convegence statistique. Colloquium Mathematicum, 2, Fidy, J. A. and Ohan, C., 993. acunay statistical convegence. Pacific Jounal of Mathematics, 60(), Kostyko, P., Macaj, M., Šalát, T. and Sleziak, M., I-Convegence and Extemal I-limits oints. Mathematica Slovaca, 55, Kostyko, P., Šalát, T. and Wilczyński, W., I-Convegence. Real Analysis Exchange, 26(2), Maouf, M., 993. Asymtotic equivalence and summability. Intenational Jounal of Mathematics and Mathematical Sciences, 6(4), Musaleen, M., 979. On finite matices and invaiant means. Indian Jounal of Pue and Alied Mathematics, 0, Patteson, R. F., On asymtotically statistically equivalent sequences. Demostatio Mathematica, 36(), Patteson, R. F. and Savaş, E., On asymtotically lacunay statistically equivalent sequences. Thai Jounal of Mathematics, 4(2), Raimi, R. A., 963. Invaiant means and invaiant matix methods of summability. Duke Mathematical Jounal, 30(), Savaş, E., 989a. Some sequence saces involving invaiant means. Indian Jounal of Mathematics, 3, --8. Savaş, E., 989b. Stongly σ-convegent sequences. Bulletin of Calcutta Mathematical Society, 8, Savaş, E., 203. On I-asymtotically lacunay statistical equivalent sequences. Advances in Diffeence Equations, (203), 7 ages. doi:0.86/

7 acunay I σ -Asimtotik Denklik, Ulusu Savaş, E. and Nuay, F., 993. On σ-statistically convegence and lacunay σ-statistically convegence. Mathematica Slovaca, 43(3), Savaş, E. and Patteson, R. F., σ-asymtotically lacunay statistical equivalent sequences. Cental Euoean Jounal of Mathematics, 4(4), Savaş, R. and Başaı, M., (σ, λ)-asymtotically statistical equivalent sequences. Filomat, 20(), Schaefe, P., 972. Infinite matices and invaiant means. Poceedings of the Ameican Mathematical Society, 36, Ulusu, U., (yayın aşamasında). Asymtotically ideal invaiant equivalence. Ulusu, U. and Nuay, F., (yayın aşamasında). acunay I σ -convegence. 905