ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KONGRÜANSLARIN DİFERENSİYEL GEOMETRİSİ. Ufuk ÖZTÜRK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2011

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ EN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KONGRÜANSLARIN DİERENSİYEL GEOMETRİSİ Ufuk ÖZTÜRK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 0 He hakkı saklıdı

2 ÖZET Doktoa Tezi KONGRÜANSLARIN DİERENSİYEL GEOMETRİSİ Ufuk ÖZTÜRK Ankaa Ünivesitesi en Bilimlei Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Pof. D. H. Hilmi HACISALİHOĞLU Bu doktoa tezi altı bölümden oluşmaktadı. Biinci bölüm, giiş kısmına ayılmıştı. İkinci bölüm de, geekli kavamla veilmiş ve bazı sonuçla da elde edilmişti. Üçüncü bölümde ise egle yüzey kavamı ve egle yüzeyle için temel özelikle veilmişti. Dödüncü bölümde, doğu kongüansı, Hamilton fomülü ve okal yüzey tanımlaı veilmişti. Ayıca bu bölümde doktoa çalışmasının oijinal kısmı olan doğu kongüansının doğulaı ile taban yüzeyindeki eğilele elde edilen egle yüzeylein açılım uzunluğu, dağılma paametesi ve açılım açılaı aaştııldı. Beşinci bölümde, doğu kongüansını kullanaak üçlü otogonal sistemi tanımlandı ve ( α, ) doğu kongüansında sıasıyla u, u vet paametelei sabit alınaak elde edilen i paametik yüzeylein biinci temel fom ve ikinci temel fom katsayılaı bulundu. Altıncı bölümde ise bu doktoa çalışmasında elde edilen oijinal kısımlaın özeti veilmişti. Temmuz 0, 54 sayfa Anahta Kelimele: Regle yüzey, Doğu kongüansı, Hamilton fomülü, okal yüzey, Üçlü otogonal sistem. i

3 ABSTRACT Ph.D. Thesis DIERENTIAL GEOMETRY O CONGRUENCES Ufuk ÖZTÜRK Ankaa Univesity Gaduate School of Natual and Applied Sciences Depatment of Mathematics Supeviso: Pof.D. H. Hilmi HACISALİHOĞLU This thesis consists of six chaptes. The fist chapte has been devoted to the intoduction. In the second chapte, some main concepts fo this study have been given and some esults have been obtained. In the thid chapte, we give the definitions of the uled suface and basic concepts of uled sufaces wee given. In The fouth section, the definetion of line conguence, Hamilton fomula and ocal suface wee given. Also in this section, it is investigated, the oiginal wok of PhD, lines of the line conguence with uled suface which ae obtained fom cuves of based suface. And it is investigate expansion lengths, expansion angles and distibüsyon paamete of this uled sufaces and line conguence. In the fifth section, with using line conguence tiple othogonal system denfined and in the ( α, line conguence taking the u ), u and t paemate as a constand we fined fist fundamental and second fundamental foms coefficients of paametic sufaces. In the final section, some summey of the oiginal pat of this study and some impotand definitions wee given. i July 0, 54 pages Key Wods: Ruled suface, Line conguence, Tiple othogonal system. Hamilton fomula, ocal suface, ii

4 TEŞEKKÜR Doktoa çalışmalaımın yönetimini kabul edeek bana bu tezi hazılama olanağı sağlayan, çalışmalaımı yönlendien, aaştımalaımın he aşamasında bilgi, önei ve yadımlaını esigemeyeek akademik otamda olduğu kada beşei ilişkilede de engin fikileiyle yetişmeme ve gelişmeme katkıda bulunan danışman hocam sayın Pof. D. H. Hilmi HACISALİHOĞLU (Bilecik Ünivesitesi en-edebiyat akültesi) na, çalışmalaım süesince destekleini esigemeyen değeli hocalaım sayın Pof. D. Baki KARLIGA (Gazi Ünivesitesi en-edebiyat akültesi) ya, Pof. D. Yusuf YAYLI (Ankaa Ünivesitesi en akültesi) ya ve Doç. D. Nejat EKMEKCİ (Ankaa Ünivesitesi en akültesi) ye teşekküleimi bi boç biliim. Çalışmalaım süesince biçok fedakalıkla gösteeek beni destekleyen ve yadımlaını esigemeyen eşim Esa Betül KOÇ ÖZTÜRK e ve annem Rahime ÖZTÜRK e dein duygulala teşekkü edeim. Ufuk ÖZTÜRK Ankaa, Temmuz 0 iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER DİZİNİ... v ŞEKİLLER DİZİNİ... vi. GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR.... Dual Öklid Uzayı Linee Işın Kompleksi Linee Işın Kongüansı 4.4 Dual Öklid Uzayında Regle Yüzey..4 Eğile Teoisi Üçlü Otogonal Sistem REGLE YÜZEY DOĞRU KONGRÜANSLARI Açılım Uzunluğu Açılım Açısı Dağılma (Distibüsyon) Paametesi Boğaz Noktası Hamilton omüllei okal Yüzey ÜÇLÜ ORTOGONAL DOĞRU SİSTEMİ SONUÇ 7 KAYNAKLAR... 5 ÖZGEÇMİŞ... 5 iv

6 SİMGELER DİZİNİ M n n-boyutlu Reel Vektö Uzayı C Manifold, Nom Kovayant Tüev [, ] Lie Paantez Opeatöü R( XYZ, ) Eğilik Tensö Alanı δ g L V m Γ is η D % κ τ H Ricci eğilik opeatöü Metik tensö Lie tüevi Chistoffel sembollei -fom Dış çapma opeatöü Öklid anlamında koneksiyon Gadient fonksiyonu Laplace opeatöü Biinci eğilik İkinci eğilik Otalama eğilik M Difeensiyellenebili eel manifold M ( ) T P P M noktasındaki tanjant uzay γ Difeensiyellenebili ve biim hızlı eği v

7 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil. Dual açı. 8 Şekil. Linee ışın kompleksinin ekseni... Şekil. Kongüansın küesel esmi... 7 Şekil.4 Dual küesel esim Şekil.5 Regle yüzey... 6 n Şekil.6 E uzayı içinde bi eği... 8 Şekil.7 Paamete değişimi 9 Şekil.8 Üç düzlem ailesinin üçlü otogonal sistemi... 6 Şekil.9 İki düzlem ailesi ve bi silindi ailesinin üçlü otogonal sistemi.. 6 Şekil.0 Bi düzlemle ailesi, bi çembele ailesi ve bi konile ailesinin üçlü otogonal sistemi.. 7 Şekil. Regle yüzey Şekil. Silindiik egle yüzeyi Şekil. Silindiik olmayan egle yüzeyi 45 Şekil.4 Seme yüzeyi. 46 Şekil.5 Plücke konisi 46 Şekil.6 Kapalı egle yüzeyin açılım uzunluğu.. 5 Şekil.7 Regle yüzeyin açılım açısı 54 Şekil 4. Doğu kongüansı.. 55 Şekil 4. Paalel doğu kongüansı.. 56 Şekil 4. Paalel olmayan doğu kongüansı 56 Şekil 4.4 ( α doğu kongüansının,e) { et,, T} otonomal çatı alanı 60 Şekil 4.5 Kongüansın açılım uzunluğu.. 6 Şekil 4.6 ( α, ) 6 Şekil 4.7 Kongüansın açılım uzunluğu.. 66 Şekil 4.8 enet çatısı Şekil 4.9 Biim teğet vektöü olan ( ) u olan ( ) u stiksiyon çizgisinin teğeti 68 Şekil 4.0 Biim teğet vektöü u stiksiyon çizgisinin teğeti Şekil 4. enet çatısı. 7 Şekil 4. Biim teğet vektöü olan ( ) u olan ( ) Şekil 4. Biim teğet vektöü u stiksiyon çizgisinin teğeti.. 7 u stiksiyon çizgisinin teğeti. 75 vi

8 Şekil 4.4 Kongüansın açılım açısı. 78 Şekil 4.5 Kongüansın açılım açısı. 8 Şekil 4.6 enet çatısı Şekil 4.7 Biim teğet vektöü olan ( ) u olan ( ) u stiksiyon çizgisinin teğeti.. 8 Şekil 4.8 Biim teğet vektöü u stiksiyon çizgisinin teğeti Şekil 4.9 enet çatısı. 89 Şekil 4.0 Biim teğet vektöü olan ( ) u olan ( ) u stiksiyon çizgisinin teğeti Şekil 4. Biim teğet vektöü u stiksiyon çizgisinin teğeti. 9 Şekil 4. enet çatısı Şekil 4. Biim teğet vektöü olan ( ) u olan ( ) u stiksiyon çizgisinin teğeti.. 00 Şekil 4.4 Biim teğet vektöü u stiksiyon çizgisinin teğeti. 0 Şekil 4.5 enet çatısı. 06 Şekil 4.6 Biim teğet vektöü olan ( ) u olan ( ) u stiksiyon çizgisinin teğeti.. 07 Şekil 4.7 Biim teğet vektöü u stiksiyon çizgisinin teğeti. 0 Şekil 4.8 Komşu ana doğula Şekil 4.9 Komşu ana doğulaın otak dikmesi.. Şekil 4.0 Komşu ana doğulaın otak dikme ayaklaı... 4 Şekil 4. Mekezi ojin ve ekseni Oz-ekseni olan çembe. 7 Şekil 4. Daboux çatısı. Şekil 6. ( α doğu kongüansının,e) { et,, T} otonomal çatı alanı... 8 Şekil 6. Kongüansın açılım uzunluğu Şekil 6. Kongüansın açılım açısı... 4 Şekil 6.4 ( α, ) Şekil 6.5 Kongüansın açılım uzunluğu Şekil 6.6 Kongüansın açılım açısı vii

9 . GİRİŞ Uzayda -paameteli doğulaın ailesi, doğusal kongüans veya doğu kongüansı olaak adlandıılı. de doğu konüanslaı, doğu geometisinin klasik bi alanıdı. Bununla bilikte son zamanlada pojektif difeensiyel geometi, hesaplama ve göüntüleme tekniklei, gibi faklı alanlada da kullanıldığı göülmektedi (Gacia ve Sotomoya 000). Ayıca günümüzde doğulaın difeensiyel geometisi geniş olaak üünlein dizaynı, imalatı, haeket analizleinde, katı cisim simülasyonlaında ve objelein modellenmesinde kullanılmaktadı (Gay 006) Doğu kongüansındaki tüm doğulaı kesen yüzeye taban yüzey yada efeans yüzey deni. Yüzey üzeinde alınan bi eği boyunca devam eden doğu kongüansının doğulaı uzayın ya da elde edilen egle yüzeyin doğulaının -paameteli ailesidi. Taban yüzeyinin nomalleini, doğu kongüansındaki doğulaın doğultmanlaı yeine alısak elde edilen doğu kongüansına, nomalle kongüansı deni. Bundan dolayı nomalle kongüansı, doğu kongüanslaının özel bi sınıfını oluştuu. Ayıca nomalle kongüanslaı yüzeylein klasik difeensiyel geometisinde önemli ol oynala. Doğu kongüanslaı üzeine ilk çalışma Kumme in Allgemeine Theoie de Gandlinigen Stahen System isimli kitabında veilmişti. Diğe yandan doğulala bi yüzeyi diğe bi yüzeye dönüştümek için kullanılan klasik metodlada doğu kongüansı kullanılmaktadı (Blaschke 945). 875 yıllaında Backlund and Bianchi böyle bi dönüşümü doğu kongüanslaı ile vemişti ve buna Backlund Dönüşümü denilmişti (Blaschke 945).

10 . TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde, ileleyen bölümlede sıkça kullanacağımız bazı temel tanım ve sembollei tanıtacağız.. Dual Öklid Uzayı Tanım.. He u aa, için A= ( a, a ) ikilisine bi sıalı eel sayı ikilisi adı veili. Buadan sıalı eel sayı ikilileinin cümlesi {( aa ) aa } ID= =, :, ile tanımlı olup ID cümlesi üzeinde iki iç işlem (toplama ve çapma) ve eşitlik aşağıdaki şekilde tanımlanı. u =, ID iç işlemi A ( a a ) ve B ( b b ) :ID ID ID u =, ID olmak üzee u u A B= a a b b = a+ b a + b şeklinde tanımlanı ve ID deki toplama olaak isimlendiili. u =, ID iç işlemi A ( a a ) ve B ( b b ) :ID ID ID u =, ID olmak üzee u u A B = a a b b = ab ab + a b şeklinde tanımlanı ve ID deki çapma olaak isimlendiili. u u A= a, a ID B= b, b ID için ( ) ve ( ) a= b ve a = b ise u A ve B u u u eşitti deni ve A= B şeklinde gösteili (Hacısalihoğlu 98). Tanım.. eel sayıla cümlesi olmak üzee, ID= cümlesi üzeinde toplama, çapma ve eşitlik işlemlei yukaıdaki gibi tanımlanmış ise

11 ID cümlesine dual sayıla sistemi ve he ( ) (Hacısalihoğlu 98). aa, ID elemanına da bi dual sayı deni Teoem.. ( ID,, ) üçlüsü biimli ve değişimli bi halkadı (Hacısalihoğlu 98). Teoem.. ( ID,, ) üçlüsü bi cisim değildi (Hacısalihoğlu 98). u u u u Tanım.. A X = A denkleminin çözümü olaak tanımlanan X dual sayısına ID 0= 0,0 ile gösteili (Hacısalihoğlu 98). nin sıfıı deni ve ( ) Teoem.. ID dual sayıla halkası, eel sayıla cümlesine izomof bi alt cümleyi alt cisim olaak kapsa (Hacısalihoğlu 98). u =, ID Tanım..4 He A ( a a ) dual sayısında a eel sayısına A u nın eel kısmı, a eel sayısına da u u u A nın dual kısmı deni ve sıasıyla Re A= a, DuA = a yazılı (Hacısalihoğlu 98). şeklinde Tanım..5 (,0) = dual sayısına ID deki çapma işleminin biim elemanı veya ID deki eel biim ve ( 0,) = ε dual sayısı da ID deki dual biim olaak adlandıılı (Hacısalihoğlu 98). Tanım..6 Biimi olan değişmeli bi halka H ve S de bi abel gup olmak üzee H S S ( a, α ) dış işlemi, he ab, Hve he α, S için i) ( ) a α + = aα + a, ii) ( a+ b) α = aα + bα, iii) ( ab) α a( bα ) =, aα

12 iv) α = α, özelikleini sağlıyo ise S ye H üzeinde bi modül adı veili (Hacısalihoğlu 98). Tanım..7 ID dual sayıla halkası olmak üzee, { A ( A A A) A A A } ID ID ID = ID = =,, :,, ID cümlesi üzeindeki, sıasıyla, toplama, skalala çapma ve eşitlik aşağıdaki şekilde tanımlanı. i A= A, B= B ID ve λ ID olmak üzee, için ( ) % ( ) i i Toplama: + :ID ID ID Çapma: ( AB, %) A + B % = ( A B i + i) :ID ID ID Eşitlik : A= B% A = B (Hacısalihoğlu 98). uu ( λ, A ) λ A = ( λ A i ) i i Teoem..4 ( ID,+) bi abel gubudu (Hacısalihoğlu 98). Teoem..5 ( ID,,ID,,, ) modüldü (Hacısalihoğlu 98). + sistemi ID dual sayıla halkası üzeinde bi Tanım..8 Dual sayıla halkası üzeinde modül olan ID = ID ID ID cümlesi ID - Modül olaak isimlendiili ve ID -Modül ün elemanlaı olan sıalı dual sayı üçlüleine, dual vektöle adı veili (Hacısalihoğlu 98). Teoem..6 uu aa, biçiminde yazılı (Hacısalihoğlu 98). u olmak üzee ID -Modül de he bi A u uu A= a+ε a ε = 0, ID ( ), ( ) dual vektöü 4

13 u uu uu Teoem..6 A= a+ ε a ( ) = a, a dı (Hacısalihoğlu 98). dual vektöünün λ ID skalaı ile çapımı uu λa= λa λa u uu u uu =, ID Teoem..7 A= ( a, a ), % B ( b b ) için uu uu A= B% a= b ve a = b dı (Hacısalihoğlu 98). Teoem..8 vektö uzayı, ID -Modül ün elemanlaı ( a,0 ) şeklinde olan bi alt cümlesine izomoftu (Hacısalihoğlu 98). Tanım..9 u uu u A= a+ε a, % uu B= b+ ε b ID dual vektöleinin iç çapımı f :ID ID ID şeklinde bi dönüşümdü ve f ( A, B% ) = A, B% uu uu = a+ εa, b+ εb uu uu = ab, + ε ab, + a, b olaak tanımlanı (Hacısalihoğlu 98). u uu Tanım..0 Bi A= a+ ε a ID dual vektöünün nomu, a 0 olmak üzee uu u u u aa, A = A, A = a, a olaak tanımlanan bi dual sayıdı, buada olmak üzee, a = a ve a = uu aa, a 5

14 u A = a+ε a olaak yazılabili (Hacısalihoğlu 98). Tanım.. Nomu (,0 ) eel biimine kaşılık gelen dual vektöe biim dual vektö deni (Hacısalihoğlu 98). u uu uu = + =, ID Teoem..9 A a ε a ( a a ) dı (Hacısalihoğlu 98). a = dual vektöü, biim dual vektö ise, ve uu aa =, 0 u uu =, ID Teoem..0 A ( a a ) olmak üzee u u A U = u A bi biim dual vektödü (Hacısalihoğlu 98). u uu uu u { } Tanım.. X = x+ ε x : x, x, X = (,0 ) dual küe adı veili (Hacısalihoğlu 98). cümlesine ID -Modül de biim u Teoem.. A ( a) 0, ID -Modül olmak üzee, ID -Modül de denklemi u A = (,0) olan biim dual küenin dual noktalaı, (Study 90) deki yönlü doğulaa biebi kaşılık geli Tanım.. u uu A= a+ ε a ID olmak üzee, 6

15 u biim dual vektöüne A u uu u uu U = u = u+ εu = + ε A a a A a a ka vektöünün ekseni deni (Hacısalihoğlu 98). u uu Tanım..4 A= a+ ε a ID olmak üzee, uu aa, k = a u uu eel sayısına, A= a+ε a dual vektöünün adımı veya yükselişi deni (Hacısalihoğlu 98). u Teoem..0 den A= veya u u A U şeklinde yazılabili. Bu ifadenin, u uu A= a+ a u+ u ( ε )( ε ) uu au ε ( au a u) = + + a = k a = ka olduğundan u u A= a( +ε k) U u u yazılabili. Buadan A= a( +ε k) U dual vektöünde uu u i) k =sonlu bi sayı ise a 0 ve a 0 dı ve A dual vektöüne has dual vektö veya vida deni. u u u u ii) k = 0 A= au dı. Bu halde A dual vektöü U ekseni ile çakışık bi doğu göstei. iii) k = a = 0 dı. Bu duumda uu uu uu aa, a a cosθ a cosθ k = = = a a a 7

16 u olup A dual vektöü bi sıf dual vektödü. Yani, u uu A= 0, a ( ) uu şeklindedi. Bu tip vektölee çift (double) deni. Çift dual vektöle için a noktasının seçilişine bağlı değildi (Hacısalihoğlu 98). başlangıç u Tanım..5 A u ve B % iki biim dual vektö ve bu dual vektölee de kaşılık gelen yönlü doğula, sıasıyla, d ve d olsunla. d doğusunun yönü a uu, yei a ve d doğusunun yönü b uu, yei de b ile belilidi. a ve b aasındaki açı ϕ olmak üzee u u AB, = cosφ = cos ϕ+ εϕ di. % ( ) = cosϕ εϕ sin ϕ, 0 ϕ π, ϕ Şekil. Dual açı Buada u Φ= ϕ + εϕ dual sayısına A u ve B % biim dual vektölei aasındaki dual açı deni (Hacısalihoğlu 98). u u u u AB,% = A B% cosφ fomülünden yaalanaak deki yönlü doğulaın bibiine göe duumlaı incelenebili. u u i) AB, % π = sıf dual cosϕ = 0 ϕ = ve u ϕ 0 ise A u ve B % biim dual vektöleinin belittiklei yönlü doğula dik duumlu fakat aykııdıla. 8

17 u u ii) AB, % = sıf eel ϕ = 0 olsun. Bu duumda yönlü iki doğu kesişi ve uu uu ab a b, +, = 0 ifadesi bu iki doğunun kesişme koşuludu. u u iii) AB, % π = 0 cosϕ = 0 ϕ = ve ϕ = 0 ise yönlü doğula bibiini dik olaak kese. u u AB, =,0 ϕ = 0 ise yönlü doğula paalel ve aynı yönlüdüle. Eğe ϕ = 0 iv) % ( ) ise bu iki doğu aynı zamanda çakışıktı. u u AB, =,0 ϕ = π ise yönlü doğula paalel ve zıt yönlüdüle. Eğe ϕ = 0 v) % ( ) ise doğula çakışıktı (Hacısalihoğlu 98). u Tanım..6 A u, % B ID dual vektöleinin dış çapımı u u uu uu A B= a b+ ε a b + a b % ( ) olaak tanımlanan şeklinde bi işlemdi (Hacısalihoğlu 98). u Teoem.. A u, % B ID uu u di. Buada, N, hem A u u u u A= A U ve B % uu = B % V u %B :ID ID ID dual vektölei için u u u u uu A B % = A B % sin ΦN aasındaki açıdı (Hacısalihoğlu 98). u ve hem de B % ye dik bi biim dual vektödü. Ayıca, uu u u u olmak üzee, N = U V di, buada Φ dual açısı, A ile sin Φ u Tanım..7 A olmak üzee, u, B %, u C ID has dual vektöle ve i için uu u uu u uu u Λ A+Λ B% +Λ C = 0 uu Λ = λ + ελ ID i i i 9

18 uu eşitliği he Λ i = 0 u için sağlanıyosa A, i bağımsızdı deni (Hacısalihoğlu 98). u, B % u ve C has dual vektölei linee u u u uu Tanım..8 A, B %, C ID has dual vektöle, i için Λi 0 ve uu Λ i = λi + ελi ID olmak üzee, uu u uu u uu u Λ % A+Λ B+Λ C = 0 uu u u eşitliği en az bi Λi 0 için sağlanıyosa A, B % u ve C has dual vektölei linee bağımlıdı deni (Hacısalihoğlu 98).. Linee Işın Kompleksi u uu Tanım.. ID - Modül de biim dual X = x+ε x vektöüne de kaşılık gelen yönlü doğunun yönünü x= { x, x, x} biim eel vektöü ve O noktasına göe, x in uu vektöel momenti x = { x, x, x } vektöü olsun. Bu duumda, u uu X = x+ ε x = x, x, x ; x, x, x ( ) biim dual vektöünün (,, ;,, ) Plücke doğu koodinatlaı aasında xx, = x + x + x = i) uu xx, = xx + xx + xx = 0 ii) ( ) x x x x x x nomlanmış homojen olmayan altı x, x, x ; x, x, x = 0 u bağıntılaı vasa X biim dual vektöü u u uu X= Xuvw (,, ) = xuvw (,, ) +ε x( uvw,, ) u şeklinde olup X doğusunun bağımsız eel paamete sayısı, olu. Böylece uv ve w olmak üzee üç u doğulaının de üç bağımsız eel paameteye bağlı ( ) sayıda X cümlesine ışın kompleksi adı veili (Hacısalihoğlu 98). 0

19 Tanım.. u A ID bi has dual vektö olmak üzee, uu uu ax, + a, x = 0 u uu denklemini sağlayan X = x+ε x doğulaın cümlesine bi linee ışın kompleksi deni (Hacısalihoğlu 98). u uu Tanım.. A= a+ ε a ID bi has dual vektö olmak üzee, u uu u A uu a a ka U = u = u+ εu = + ε A a a u ile tanımlı A vektöünün eksenine, linee ışın kompleksinin ekseni deni (Hacısalihoğlu 98). Tanım..4 u uu A= a+ ε a ID bi has dual vektö olmak üzee, uu aa, k = a u ile tanımlı A vektöünün adımına (yükselişine), linee ışın kompleksinin adımı (yükseklişi veya paametesi) deni (Hacısalihoğlu 98). u U a u = a M P m u p O uu uu u = a a ka Şekil. Linee ışın kompleksinin ekseni

20 u Şimdi U u ekseni üzeinde bi nokta M ve U hangi bi noktası P olsun. olduğundan dönme hız vektöü uuuu uuu uuuu MP = OP OM u vd = a ( p m) ekseni etafında helisel haeket yapan he ve kayma hız vektöü dı. Ayıca v k = ka uu u u a u = m u= m a ve uu uu u = a a ka olduğundan uu u uu u a ka= m a a = ka a m dı. Bu duumda P noktasında v u hız vektöü, U u vektöü ile U boyunca meydana gelen sıf kaymanın v k ekseni etafında sıf dönmenin v d hız vektöünün bileşiminden oluşu. O halde, v= vd + vk u = a ( p m) + ka u = a p 44 a m+ ka uu a uu = a p+ a u uu dı. X = x+ε x doğusu P noktasının helisel yöüngesinin bi nomali olaak alınısa uu x = p x hız ve vx, = 0 olduğundan

21 bulunu. Buadan şu teoemi veebiliiz. uu vx a p a x uu a p x + a x =, = +, = 0 uu ap, x + a, x = 0 { uu x,, 0 uu uu ax + a x =,, 0 Teoem.. u A ID denklemini sağlayan bi has dual vektö olmak üzee, uu uu ax, + a, x = 0 u uu X = x+ε x zamanda bi helis haeketidi (Hacısalihoğlu 98). doğulaın cümlesi, linee bi ışın kompleksi aynı Sonuç.. Linee bi ışın kompleksinin ekseni, helisin ekseni ile çakışı (Hacısalihoğlu 98). Sonuç.. Linee bi ışın kompleksinin adımı ile helis haeketinin adımı eşitti (Hacısalihoğlu 98). Sonuç.. Linee bi ışın kompleksinin ( ) sayıdaki ışınlaı, helis haeketindeki noktalaın yöünge nomalleine kaşılık gelile (Hacısalihoğlu 98). Tanım..5 u uu A= a+ ε a ID bi has dual vektö ve k = 0 olmak üzee, uu uu ax, + a, x = 0 u uu deklemini sağlayan X = x+ε x doğulaın cümlesine bi dejenee (veya singüle) u linee ışın kompleksi veya A ekseninin ışın demeti deni (Hacısalihoğlu 98).

22 Buada k = 0 olması linee ışın kompleksinin uu uu ax, + a, x = 0 denklemi, yönlü iki doğunun kesişme koşulu olan uu uu ab, + a, b = 0 u ifadesine kaşılık geli. Bu nedenle dejenee veya singüle linee bi ışın kompleksi A eksenini kesen bütün doğuladan oluşu.. Linee Işın Kongüansı u Tanım.. ID - Modül de X = x+ ε x = ( x, x, x; x, x, x ) vektöünün (,, ;,, ) uu biim dual x x x x x x nomlanmış homojen olmayan altı Plücke doğu koodinatlaı aasında xx, = x + x + x = i) uu xx, = xx + xx + xx = 0 x, x, x ; x, x, x = 0 ii) ( ) iii) ( x x x x x x ) Φ,, ;,, = 0 u bağıntılaı vasa X biim dual vektöü u u uu X = X( u, v) = x( u, v) +ε x ( u, v) u şeklinde olup X olu. Böylece doğusunun bağımsız eel paamete sayısı u ve v olmak üzee iki u doğulaının de iki bağımsız eel paameteye bağlı ( ) sayıda X cümlesine ışın kongüansı adı veili (Hacısalihoğlu 98). u u Tanım.. % AB, ID has dual vektöle olmak üzee, K uu uu ax a x, +, = 0 ve 4

23 ΦK u uu denklemleini sağlayan X = x+ε x deni (Hacısalihoğlu 98). uu uu bx b x, +, = 0 doğulaının cümlesine bi linee ışın kongüansı Tanım.. = 0 ve Φ= 0 iki linee ışın kompleksi olmak üzee + vφ= ifadesine linee ışın kompleks demeti deni (Hacısalihoğlu 98). 0 Buada v µ = olaak alınısa linee ışın kompleks demetini λ uu uu uu λ a+ µ b, x + λ a + µ b, x = 0 olaak da yazılabili. u u Tanım..4 % AB, ID has dual vektöleinin, sıasıyla, adımlaı k ve k olmak üzee, k = 0 ve k = 0 olduğunda dejenee (veya singüle) iki linee bi ışın kompleksinin eksenleine ışın kongüansının kılavuz hatlaı deni (Hacısalihoğlu 98). u u Tanım..5 % AB, ID has dual vektöleinin, sıasıyla, adımlaı k = 0 ve k = 0 olsun. O halde linee ışın kongüansı, iki kılavuz hattını kesen doğuladan oluşacağından kongüansa ışın ağı deni (Hacısalihoğlu 98). u u Tanım..6 % AB, ID has dual vektöle olmak üzee, uu uu λ a+ µ b, λ a + µ b k = λ a+ µ b ifadesine, linee ışın kompleks demetinin adımı deni. 5

24 Ayıca linee ışın kompleks demetinin, dejenee komplekslei için k = 0 olacağından uu uu λ a+ µ b, λ a + µ b = 0 dı. Buadan uu uu uu uu λ aa, + λµ ab, + a, b + µ bb, = 0 olup he iki taafı λ ya bölesek µ ya göe ikinci deecenden λ uu aa, µ uu uu + ab, + a, b + µ uu bb, = 0 λ λ denklemi elde edili. Bu denklemin diskiminantı alınısa dı. O halde, uu uu uu uu = ab, + a, b 4 aa, bb,. > 0 ise µ oanı iki tane olacağından ışın ağına, eliptik ışın ağı deni. Bu duumda λ ışın ağının klavuz hatlaı daima aykıı doğuladı,. = 0 ise µ oanı bi tane olacağından ışın ağına, paabolik ışın ağı deni. Bu λ duumda ışın ağının klavuz hatlaı hem çakışık hem de eeldi,. < 0 ise µ oanı olmayacağından ışın ağına, hipebolik ışın ağı deni. Bu duumda λ ışın ağının klavuz hatlaı daima aykıı doğuladı, (Hacısalihoğlu 98). Tanım..7 İki bağımsız paamete ile tanımlanmış doğulaın ailesine kongüans u veya ışınla sistemi deni. Yani; ID - Modül de X biim dual vektöünün iki bağımsız eel paametesi u ve u olmak üzee u uu X = x( u, u ) +ε x ( u, u ) ile tanımlı doğulaın ailesidi (Hacısalihoğlu 98). (..) 6

25 u ile u paametelei aasındaki ilişki bi eği ve bi egle yüzeyle belileni. Çünkü, u uu ID - Modül de X = x( u, u ) +ε x ( u, u ) doğulaı, biim dual küe u uu { ( )} : uu u X = x+ ε x x, x, X =,0 üzeinde bi dual noktaya kaşılık gelile ve u ile u eel paametelei değiştikçe biim dual küe üzeinde sonsuz sayıda eği elde edili. Böylece bi kongüansın, küesel temsili elde edilmiş olu. Ayıca, he bi u ve u bağımsız paametesine kaşılık gelen biim dual küe üzeinde sonsuz sayıda eğiye, E de egle yüzeyle kaşılık geli. u Xu (, u u = sab u = sab O Şekil. Kongüansın küesel esmi Küesel esmin, dual yay elemanı u u dφ = X, X olup ve i =, için xui olu, buadan u uu X = x+ ε x uu uu x x x x = ( du + du) + ε( du + du) u u u u uu x uu x = ve x u i = olaak alısak ui ui u uu uu X = xu du + xu du + ε( x u du + x u du ) ( ) 7

26 uu uu uu uu dφ = x du + x du + ( x du + x du ), x du + x du + ε( x du + x du ) olup ( ) ε ( ) u u u u u u u u uu uu ( ) = x du + x du, x du + x du + ε x du + x du, x du + x du u u u u u u u u e x x = u, u, f x, u x u uuu uuu e = x, x u u, =, g= x u, x u, uuuuuu uuuuuu f = x, x + x, x u u u u, uuu uuu g = x, x u u, E= e+ ε e, = f + ε f, G= g+ ε g, olaak alınısa dφ = xu, x u du + xu, x u du du + xu, x u du uuu uuu uuuuuu uuuuuu uuuuuu + ε xu, x u du + ( xu, x, u + x u x u ) dudu + xu, x u du = edu + fdudu + gdu + ε e du + f dudu + g du = ( e+ ε e ) du + ( f + εf ) dudu + ( g + εg ) du = Edu + du du + Gdu yazabiliiz. Ayıca = + + I edu fdu du gdu II = e du + f du du + g du (..) olmak üzee yazılabili. dφ = I+ ε II Tanım..8 ID - Modül de u uu X = x( u, u ) +ε x ( u, u ) doğulaından oluşan kongüansın,, he bi u ve u bağımsız paameteleine biim dual küe üzeinde gelen eğilee, E de kaşılık gelen egle yüzeylein u ve u bağımsız eel paametelei uu değiştikçe değişmeyen x, x ve x, x eel büyüklein oanı uu x, x II = = (..) d x, x I olup kongüansın dağılma paametesi veya dal i deni (Blaschke 945). 8

27 Buada, ve x, x = x du + x du, x du + x du u u u u uu uu uu x, x = x du + x du, x du + x du u u u u olduğundan (..) denklemini uu x, x = d x, x uu uu xu du + xu du, x u du + x u du = xu du + xu du, xu du + xu du uuu uuu uuuuuu uuuuuu uuuuuu xu, x u du + ( xu, x, u + x u x u ) du du + xu, x u du = xu, xu du + xu, xu du du + x u, x u du e du + f du du + g du = edu fdu du gdu + + olaak yazabiliiz. Ayıca, d dağılma paametesi, du du du nin bi fonksiyonu olup du (..4) oanının iki değei için maksimum yada minimum değeini alı. Bu değelei bulmak için (..4) ifadesini düzenlesek ( ) ( ) ( ) edu + 4fdu du + gdu = du + du du + du de e du + df f du du + dg g du = 0 (..5) şeklinde ikinci deeceden bi denklem elde edili. (..5) denkleminin du ve du göe tüevlei alısa ( ) ( ) de e du + df f du = 0 ( ) ( ) df f du + dg g du = 0 du bağıntılaı elde edili. Bu iki denklemden, d ile du du İlk olaak (..5) den du yi otadan kaldıısak, değelei elde edili. 9

28 de e df f df f dg g = 0 (..6) yada ( e g f ) d ( eg ff ge ) d ( eg f ) = 0 (..7) olup bu denklemin köklei d nın maksimum ve minimum değeleidi. Bu değelein dı. Ayıca eg ff + ge Toplamı = + = d d eg f e g f Çapımı = = d d 4 eg f + = K d d ve d d = H (..8) olup K, yüzeyin gauss eğiliği ve H de yüzeyin otalama eğiliği di. Öyleyse (..7) denklemi olaak yazılabili. Buada ID - Modül de Kd u uu X = x( u, u ) +ε x ( u, u ) Hd + = 0 (..9) doğulaına, he bi u ve u bağımsız eel paametesine kaşılık biim dual küe gelen sonsuz sayıda eğiye, kaşılık gelen egle yüzeyin silindiik, yani ifadele tanımlıdı. E de eg f = 0, olmadığında (..8) deki Şimdi de (..5) den d yi otadan kaldıısak, edu + fdu e du + f du fdu + gdu f du + g du = 0 (..0) olu. I = edu + fdu du + gdu du fomu pozitif tanımlı olduğundan (..0) denklemi du ye göe ikinci deeceden olup egle yüzey için daima eeldi. Eğilik çizgileine kaşılık gelen bu egle yüzeylee esas yüzeyle deni. 0

29 II = e du + f du du + g du = 0 olduğunda 0 d = olup ID - Modül de kongüansın doğusuna, E de kaşılık gelen egle yüzeyin ana doğulaı kesişi. Böyle egle yüzeye tos veya açılabili egle yüzey deni. Tanım..9 ID - Modül de u uu X = x( u, u ) +ε x ( u, u ) biim dual vektöün belittiği E de egle yüzeylein bütün ana doğulaını dik kesen eğiye, kongüansın otogonal yöünge eğisi deni ve u uu Xx, ( u, u) = 0 ifadesiyle bulunu. Tanım..0 ID - Modül de u uu X = x( u, u ) +ε x ( u, u ) biim dual vektöünün belittiği E deki egle yüzeylede xu ( + π, u + π) = xu (, u) ise xu (, u) eğisine kapalı eği ve kongüansa, kapalı kongüans deni. Tanım.. ID - Modül de u uu X = x( u, u ) +ε x ( u, u ) biim dual vektöünün belittiği E deki kapalı egle yüzeyle için, uu l= dv= x, x büyüklüğüne, kongüansın açılım uzunluğu deni. Tanım.. Biim doğultman vektöü uu x u u u olan X kongüansının doğulaına dik bi doğultunun bi peiyot sona ilk konumu ile yaptığı açıya kongüansın açılım açısı deni Yani, ID - Modül de u uu X = x( u, u ) +ε x ( u, u ) deki kapalı egle yüzeyle için açılım açısı biim dual vektöünün belittiği E

30 I = x, x olmak üzee, ρ = x, x eğisel integaliyle hesaplanı..4 Dual Öklid Uzayında Regle Yüzey u Tanım.4. ID - Modül de X = x+ ε x = ( x, x, x; x, x, x ) vektöünün (,, ;,, ) uu biim dual x x x x x x nomlanmış homojen olmayan altı Plücke doğu koodinatlaı aasında xx, = x + x + x = i) uu xx, = xx + xx + xx = 0 x, x, x ; x, x, x = 0 ii) ( ) iii) ( x x x x x x ) Φ,, ;,, = 0 Ψ,, ;,, = 0 u bağıntılaı vasa X biim dual vektöü u u uu X = X() t = x() t +ε x () t u şeklinde olup X iv) ( x x x x x x ) doğusunun bağımsız eel paamete sayısı bidi. Böylece E de bi u doğulaının cümlesine egle yüzey bağımsız eel paameteye bağlı ( ) sayıda X veya ışın yüzeyi adı veili (Hacısalihoğlu 98). u uu Diğe bi ifadeyle % ABC,, ID has dual vektöle olmak üzee, K ΦK uu uu ax a x, +, = 0 uu uu bx b x, +, = 0

31 ΨK uu u cx c x, +, = 0 şeklinde veilen ışın kompleksleinin üçünde de otak olan ( ) sayıda doğunun cümlesi egle yüzey beliti (Hacısalihoğlu 98). ID - Modül de t için u uu { ( )} : uu u X = x+ ε x x, x, X =,0 u uu X = x t +ε x t () () biim dual vektöü, biim dual küe üzeinde bi dual noktaya kaşılık geli ve t paametesine göe difeensiyellenebilen biim dual küe üzeinde bi ( X ) dual eğisini çize. Bu eğiye, E. STUDY dönüşümüne göe, geli. Eğe dual küesel eği kapalı ise, E de bi egle yüzey kaşılık E de kaşılık gelen egle yüzey de kapalıdı. u Xt () u dx u Xt ( + dt) dφ ( X ) Şekil.4 Dual küesel esim Tanım.4. ID - Modül de u uu X = x t +ε x t () () biim dual vektöü, biim dual küe üzeinde t paametesi değiştikçe elde edilen ( X ) eğisine, egle yüzeyin dual küesel emi deni (Hacısalihoğlu 98).

32 u Tanım.4. Biim dual küe üzeindeki bi ( X ) dual eğisinde alınan Xt () ve u Xt ( + dt) komşu noktalaının dual küesel uzaklığına dual yay elementi deni, Φ= ϕ + ε ϕ ile gösteili ve d d d u u u u dφ = dx, dx = X, X dt di (Hacısalihoğlu 98). u u Buada dφ nin dϕ eel ve dϕ dual kısımlaına, sıası ile, Xt () ve Xt ( + dt) komşu iki ana doğu aasındaki açı ile en kısa uzaklık kaşılık geli. Ayıca, dϕ = dx, dx ve dϕ = uu dx, dx di. u uu Tanım.4.4 ID - Modül de X = x() t +ε x () t biim dual vektöünün belittiği E deki uu egle yüzey de t paametesi değiştikçe değişmeyen dx, dx ve dx, dx eel büyükleinin uu, dx dx dϕ = = d dx, dx dϕ u oanına egle yüzeyin t paametesine ait olan X ana doğusu boyunca dağılma paametesi veya dal i deni. Ayıca bu oan, egle yüzeyin bi difeensiyel değişmezidi (Hacısalihoğlu 98). Tanım.4.5 Komşu ana doğulaı kesişen egle yüzeye tos veya açılabili egle yüzey deni (Hacısalihoğlu 98). Teoem.4. ID - Modül de egle yüzey için u uu X = x t +ε x t () () biim dual vektöünün belittiği E deki 4

33 i) = 0 dϕ = o ise egle yüzeyde komşu ana doğula aykııdı, dolayısıyla, egle d yüzey açılabili bi egle yüzeydi. ii) 0 ise egle yüzeyde komşu ana doğula aykııdı, yani bi düzlem belitmez. d (Hacısalihoğlu 98). u u Tanım.4.6 Bi egle yüzeyde Xt () ana doğusu ile Xt ( + dt) komşu ana doğusunun u otak dikmesinin Xt () üzeindeki ayağına egle yüzeyin boğaz noktası veya mekez noktası veya stiksiyon noktası deni. Bu noktanın geometik yeine de boğaz çizgisi veya stiksiyon çizgisi deni (Hacısalihoğlu 98). Tanım.4.7 Bi egle yüzey üzeinde bütün ana doğulaı kesen ( C ) eğisine yüzeyin dayanak eğisi (efeans eğisi) deni (Hacısalihoğlu 98). Tanım.4.8 ID - Modül de u uu X = x t +ε x t () () biim dual vektöünün belittiği E deki egle yüzeyin bütün ana doğulaını dik kesen eğiye, egle yüzeyin otogonal yöünge eğisi deni ve ifadesiyle belileni (Hacısalihoğlu 98). u uu dx x t =, ( ) 0 Tanım.4.8 ID - Modül de u uu X = x t +ε x t () () biim dual vektöünün belittiği E deki egle yüzey de ise xt () 975). xt ( + π ) = xt ( ) eğisine kapalı eği ve egle yüzeye de, kapalı egle yüzey deni (Hoschek Tanım.4.9 ID - Modül de bi kapalı egle yüzey için, u uu X = x t +ε x t () () biim dual vektöünün belittiği E deki 5

34 uu l= dv= dx, x büyüklüğüne, kapalı egle yüzeyin açılım uzunluğu deni (Hoschek 975). Buadan, uu x ana doğusunun, x = x() t kapalı eğisine dayanaak kapalı egle yüzey çizdiğinde, kendi doğultusunda bi peiyot sona ki konumu ile ilk konumu aasındaki uu uzaklık l= dv dı. Bu nedenle x ana doğusunun bi P noktasından başlayan otogonal yöünge, bi peiyot sona aynı noktasını kese. uu x ana doğusunu P den faklı bi P Tanım.4.0 Regle yüzeyin ana doğulaına dik bi doğultunun bi peiyot sona ki konumu ile ilk konumu aasındaki açıya egle yüzeyin açılım açısı deni. u uu Yani, ID - Modül de X = x() t +ε x () t biim dual vektöünün belittiği E deki kapalı egle yüzey için açılım açısı dϕ = dx, dx olmak üzee, ρ = dϕ eğisel integaliyle belileni (Hoschek 975). ( C) u A x a Y uu x O Şekil.5 Regle yüzey y 6

35 Dayanak eğisi a= a() t denklemi ile tanımlanan ( C ) eğisi ve ana doğulaı x = x() t biim vektöüne paalel olan egle yüzeyin denklemi uuu uuu y(, tu) = OA+ uay uuu uuu olup OA = a() t ve AY = x() t olduğundan y(, tu) = at () + uxt () uu dı. Buada x = a x olup he iki taafı x ile vektöel çapasak uu x x = x ( a x) = xx, a axx, { = a a, x x uu olu ve buadan a= x x + a, x x olaak bulunu. Bunu egle yüzey denkleminde yazasak olu ve v= a, x + u ytu (, ) = a+ ux uu = x x + a, x x+ ux uu = + + x x a x u x desek egle yüzeyin denklemi uu y(, tv) = x x+ vx olaak yazabiliiz..5 Eğile Teoisi Tanım.5. V n-boyutlu bi eel vektö uzayı olsun. V üzeinde Öklid iç çapım aşağıdaki aksiyomla ile tanımlanan bi, : V V n (.5.) ( uv, ) uv, = uv i i dönüşümü (eel değeli fonksiyon) üne deni. i. Simeti Aksiyomu: uv, V için uv, = vu, i= 7

36 ii. Bi-lineelik Aksiyomu: ab, ve x, yz, Viçin ax + by, z = a x, z + b y, z x, ay + bz = a x, y + b x, z iii. Pozitif Tanımlılık Aksiyomu: u V için uu, 0 uu, = 0 u= 0 (Hacısalihoğlu 000). Tanım.5. V bi eel vektö uzayı olsun. V üzeinde bi u vektöünün uzunluğu veya boyu u ile gösteili ve u = u, u (.5.) olaak tanımlanı. Ayıca bu değee u vektöünün nomu da deni (Hacısalihoğlu 000). Tanım.5. I, nin bi açık alt aalığı olmak üzee, n α : I E t α t = α t α t K α t () ( (), (),, n ()) biçiminde düzgün(c sınıfından) bi α dönüşümüne, (Hacısalihoğlu 000). n E uzayı içinde bi eği deni I bi açık aalık olmak üzee, ( I, α ) koodinat komşuluğu ile tanımlanan n ( I ) E α eğisini bundan sona α ile gösteeceğiz. Buadaki I aalığına α eğisinin paamete aalığı ve t I değişkenine de α eğisinin paametesi deni α α ( t) α I n E t Şekil.6 n E uzayı içinde bi eği 8

37 Tanım.5.4 M bi C manifold ve I bi açık aalık olmak üzee, α : I M E dönüşümü difeensiyellenebili ise α ya M üzeinde difeensiyellenebili bi eği deni (Hacısalihoğlu 000). n Tanım.5.5 n E de bi M eğisi için iki koodinat komşuluğu I α ve I olsun. h= α o : J I difeensiyellenebili fonksiyonuna M nin bi paamete değişimi ( daha doğusu M nin I daki paameteesinin J deki paamete ile değişimi) deni (Hacısalihoğlu 000). ( s) = α( t) J h α I s Şekil.7 Paamete değişimi t Tanım.5.6 n E de bi M eğisi I α koodinat komşuluğu ile veilsin. α : I E n fonksiyonunun Öklidiyen koodinat fonksiyonlaı α, α, α, L, αn olmak üzee, ve (,,, L, ), ( ) α = α α α αn α t M α t () t =, = M α n t ' α α α t t ' α α α () t =, L, n t t t t (.5.) 9

38 ( α t, α t ) T n ( α() t ) ' di. () ( ) tanjant vektöüne, M eğisinin t I paametesine E kaşılık gelen α ( t) noktasında hız vektöü deni (Hacısalihoğlu 000). Tanım.5.7 M eğisi( I, α ) koodinat komşuluğu ile veilmiş olsun. Eğe s I için, ( s) ' α = (.5.4) ise M eğisine ( I, α ) koodinat komşuluğuna göe biim hızlı eği deni. Bu duumda, s I paametesine eğinin yay-paametesi adı veili (Hacısalihoğlu 000). Tanım.5.8 M eğisi( I, α ) koodinat komşuluğu ile veilmiş olsun. ab, I için a dan b ye α eğisinin yay uzunluğu diye, eğinin α ( a) ve ( b) uzunluğa kaşılık gelen () α noktalaı aasındaki b ' α t dt, t I (.5.5) a n eel sayısına deni. Bundan dolayı α : I E eğisinin I tanım aalığındaki değişkenine yay uzunluğu paametesi deni (Hacısalihoğlu 000). Tanım.5.9 α : I E n eğisi veildiğinde t I için α( t+ p) = α( t) (.5.6) olacak şekilde en az bi p pozitif sayısı vasa α eğisine kapalıdı deni. Tanım.5.0 He noktasındaki hız vektöü sıfıdan faklı olan eğiye egüle eği deni (Hacısalihoğlu 000). n Teoem.5. E de egüle he eğinin, biim hızlı olacak şekilde bi koodinat komşuluğu vadı (Hacısalihoğlu 000). n Tanım.5.0 M E eğisi( I, α ) koodinat komşuluğu ile veilsin. Bu duumda, ' ( ) {, '', ''',, } ( k ψ = α α α L α sistemi linee bağımsız ve α ), k >, için; ( k ) α Sp { ψ } 0

39 olmak üzee, ψ den elde edilen { V, V,, V } L otonomal sistemine, M eğisinin { } Seet-enet -ayaklı alanı ve hehangi bi m M için V ( m), V ( m), L, V ( m) ye ise m M noktasındaki Seet-enet -ayaklısı deni. He bi i için V i ye i-yinci Seet-enet vektöü adı veili (Hacısalihoğlu 000). Özel Hal: n = özel halinde, E, -boyutlu Öklid uzayında enet -ayaklısı ve enet -ayayklısı elde edili. Bu özel halde; M eğisi( I, α ) koodinat komşuluğu ile veilmiş ise s I yay-paametesi olmak üzee, u T = ' α (.5.7) ve di. Böylece, uu N = α (.5.8) α u u uu B= T N u uu u { T ( s ), N ( s ), B ( s )} sistemi, α ( s) noktasında, M eğisinin enet -ayaklısıdı (Hacısalihoğlu 000). (.5.9) Teoem.5. M E eğisi( I, α ) koodinat komşuluğu ile veilsin. t I için α ( t) T u t uu, N t u, B t ise { } noktasındaki enet -ayaklısı, () () () u Tt = α α () t ' () () t ' uu u u Nt () = Bt () Tt () (.5.0) (.5.) ve di (Hacısalihoğlu 000). u B() t = () t () t α t α t ' '' () () ' '' ( α α ) (.5.)

40 Tanım.5. M E eğisi I α koodinat komşuluğu ile veilsin. s I paametesine kaşılık gelen α ( s) noktasındaki enet -ayaklısı { V ( s), V ( s),, V ( s) } L olsun. Buna göe, k : I, i i s k s = V s V s ' i () i (), i+ () (.5.) şeklinde tanımlı k i fonksiyonuna M eğisinin i-yinci eğilik fonksiyonu ve s I için k () s eel sayısına da α ( s) noktasında ki M eğisinin i-yinci eğiliği deni i (Hacısalihoğlu 000). Teoem.5. M E eğisi paametesi olmak üzee, ( s) { V ( s), V ( s),, V ( s) } L ise ' i. V ( s) = k () s V ( s) ' ii. ( ) ( ) ( ) i i i i i+ I α koodinat komşuluğu ile veilsin. s I yay α noktasındaki i-yinci eğiliği k () s ve enet -ayaklısı V s = k () s V s + k () s V s,< i< ' iii. V ( s) = k () s V ( s) {,,, } di. V ( s) V ( s) V ( s) L enet -ayaklısının vektöleinin eği boyunca kovayant tüevlei ile ilgili eşitliklei, matis fomunda ' V 0 k 0 0 L V ' k 0 k V L V ' V 0 k V L M = M M M M M M M M M ' V k 0 V L ' V k 0 k V L ' V k 0 V L i (.5.4) biçiminde yazılabili. (.5.4) eşitlikleine enet fomüllei deni (Hacısalihoğlu 000). Özel Hal: n = özel halinde (.4.4) eşitliği

41 ' V 0 k 0 V ' V = k 0 k V veya ' V 0 k 0 V u ' T 0 0 T k uu ' uu N = k 0 k N u ' 0 k 0 u B B şeklindedi. Bu halde -inci eğilik olan k () s değei sadece eğilik adıyla ve -inci eğilik olan k () s değei de buulma (tosiyon) adıyla bilini (Hacısalihoğlu 000). u Tanım.5.. den k () s eğilikleinin hesabı yapılabili. Ancak eğiliklei aşağıdaki i teoem yadımıyla hesaplamanın patik bakımdan değei vadı. Teoem.5.4 M E eğisi paametesi olmak üzee, ( s) { V ( s), V ( s),, V ( s) } L ve I α koodinat komşuluğu ile veilsin. s I yay α noktasındaki i-yinci eğilik k () s ve enet -ayaklısı i olmak üzee di (Hacısalihoğlu 000). E s = s s V s V s i (.5.5) () i () i i () α () α (), j () j (), j< i E () i+ s ki () s =, i (.5.6) E () s i Teoem.5.5 M ya kaşılık gelen ( t) { V () t, V () t,, V () t } E eğisi I α koodinat komşuluğu ile veilsin. Bu duumda t I α noktasındaki i-yinci eğiliği k () t ve enet -ayaklısı L ve i olmak üzee di (Hacısalihoğlu 000). t = t t V t V t i (.5.7) () i () i i () α () α (), j () j (), j< i i + () t ki () t =, i (.5.8) () t () t i

42 .6 Üçlü Otogonal Sistem Yüzeylein üçlü otogonal sistemlei, yüzeylein eğilik çizgileini bulmakta çok kullanışlıdı. Teoem.6. (Joachimsthal Teoemi ) M E ve M E egüle yönlediilebili iki yüzey ve N ile N, sıasıyla, M ile M yüzeyleinin biim nomal vektö alanlaı olsun. M M α = eğisi boyunca N( ( s) ) N( ( s) ) α, α = sabit olmak üzee, α eğisi M yüzeyinin temel (pincipal) eğilik çizgisidi geek ve yete koşul α eğisi M yüzeyinin temel (pincipal) eğilik çizgisidi. İspat: α eğisi boyunca N( ( s) ) N( ( s) ) α, α = 0 ve T = α () t olsun. α eğisi, M yüzeyinde olup α nın Daboux çatısı ( ) T = kg, N T + km,n ( N T) = kg, T + τ g,n N = km, T τ g,( N T) olup matis olaak yazasak T T 0 k k g, m, ( N T) = kg, 0 τ g, ( N T) N km, τ g, 0 N (.6.) (.6.) olaak yazılabili. Buada α eğisinin geodezik tosiyonu (buulması) τ, g, geodezik eğiliği k g, ve M yüzeyinin temel (pincipal) eğiliği km, di. Ayıca α eğisi M yüzeyinin eğilik çizgisi olduğundan τ, = 0 di. Aynı zamanda α eğisi, M yüzeyinde de olup α nın Daboux çatısı g 4

43 ( ) T = kg, N T + kn,n ( N T) = kg, T + τ g,n N = kn, T τ g,( N T) olup matis olaak yazasak T T 0 k k g, n, ( N T) = kg, 0 τ g, ( N T) N kn, τ g, 0 N (.6.) (.6.4) olaak yazılabili. Buada α eğisinin geodezik tosiyonu (buulması) τ g, nomal eğiliği k n, ve geodezik eğiliği k g, dı. α eğisi boyunca N, N = 0 ve T, N = 0 olduğundan N =± N T olaak alabiliiz. Biz N = N T olaak alalım. (.6.) ve (.6.) denklemleinden N = N T olduğunu kullanaak τ k k = τ = 0 = k = k g, g, g, m, m, g, olaak buluuz. Buada k m,, M yüzeyinin temel (pincipal) eğiliğidi. Buadan α eğisi M yüzeyinin temel (pincipal) eğilik çizgisidi Tanım.6. U E açık bi alt cümle ve yönlendimeyi kouyan bi dönüşüm olsun. Eğe, i) i =,, için H ii) i j için H, H = 0 ui u i i H : U E E ( u, u, u ) H( u, u, u ) H = linee bağımsız u uj oluyosa i =,, için u = sabit alaak elde edilen üç yüzeyin ailesine, üçlü otogonal yüzey deni (Gacia 000). i 5

44 Önek.6. E de x0y, x0z ve y0z düzlemleine paalel düzlemle ailesi, bi üçlü otogonal sistemi oluştuu. Şekil.8 Üç düzlem ailesinin üçlü otogonal sistemi Önek.5. E de silindiik koodinatla cümlesi { } ( ) ( ) ( ) H u, u, u = u, u, u E u, u (0,0) tanımlı olup i =,, için u = sabit alaak elde edilen iki düzlem ailesi ve daiesel silindi ailesi, bi üçlü otogonal sistemi oluştuu. i Şekil.9 İki düzlem ailesi ve bi silindi ailesinin üçlü otogonal sistemi Önek.6. E de küesel koodinatla cümlesi (,, ) = ( cos cos, cos sin, sin ) H u u u u u u u u u u u 6

45 tanımlı olup i =,, için u = sabit alaak elde edilen x0z-düzlemi, x0y-düzlemi ve i y0z-düzleminden oluşan otogonal düzlemle ailesi, bu düzlemledeki mekezi ojin olan çembele ailesi ve tepe noktası ojin olan konile ailesi, bi üçlü otogonal sistemi oluştuu. Şekil.0 Bi düzlemle ailesi, bi çembele ailesi ve bi konile ailesinin üçlü otogonal sistemi Teoem.6. U E açık bi alt cümle ve bi yönlendimeyi kouyan H : U E E ( u, u, u ) H( u, u, u ) dönüşümü ile bi üçlü otogonal sitem tanımlansın. O halde, = H u olmak üzee, p = H u, q = H u ve ) ) ) 4) 5) pq H H = H u u u q H H = H p u u u p H H = H q u u u H, H = H, H = H, H = 0 u uu u uu u uu H, H H = pq u u u yazılabili (Gacia 000). 7

46 İspat: Hu H u H dönüşümü ile tanımlanan biim nomal vektö alanlaı N = H = p, N = Hu H u H = q ve Hu H u N = H = dı. u u He bi i =,, için u = sabit alaak elde edilen yüzeyle, üçlü otogonal yüzey olduğundan i u yazılabili. Buadan N, N = 0 N, N = 0 N, N = 0 N N = N, N N = N, N N = N, yazılabili. Ayıca, N, N N =, N, N N =, N, N N = Hu, H u = 0 H u,, 0 u H u + H u H uu = (.6.5) { { Huu H uu Hu, H u = 0 H,, 0 uu H u + H u H uu = (.6.6) { Huu dı. ) ) Hu, H u = 0 H,, 0 uu H u + H u H uu = (.6.7) { pq H H = pn qn = pqn N = pqn = H u u u q H H = qn N = qn N = qn = H p u u u Huu ) 4) p H H = N pn = pn N = pn = H q u u u H, H = 0 u uu? 8

47 (.6.5) den H, H = 0 H, H + H, H = 0 u u uu u u uu H, H = H, H u uu uu u ( ) (.6.6) den H, H = H, H u uu uu u H, H = H, H u uu uu u (.6.7) den H, H = H, H u uu uu u Hu, H u, 0 u + H = uu H u { u uu u uu Huu Hu, H u +, = 0 u H uu H u 44 H, H = 0 H, H = 0 Hu, H uu H, H = 0 u uu? (.6.6) den H, H = 0 H, H + H, H = 0 u u uu u u uu H, H = H, H u uu uu u ( ) (.6.7) den H, H = H, H u uu uu u H, H = H, H u uu uu u (.6.5) den H, H = H, H u uu uu u Hu, H u, 0 u + H = uu H u { u u uu Huu Hu, H u +, = 0 u H uu H u 44 H, H = 0 H, H uu = 0 Hu, H uu H, H = 0 u uu? (.6.7) den H, H = 0 H, H + H, H = 0 u u uu u u uu 9

48 H, H = H, H u uu uu u ( ) (.6.5) den H, H = H, H u uu uu u H, H = H, H u uu uu u (.6.6) dan H, H = H, H u uu uu u Hu, H u, 0 u + H = uu H u { u uu u uu Huu Hu, H u +, = 0 u H uu H u 44 H, H = 0 H, H = 0 Hu, H uu 5) (.6.6)dan q H, H H = H, H p u u u u u = q H p, H u u = = = q H p q p p pq u Teoem.6. U E açık bi alt cümle ve bi yönlendimeyi kouyan H : U E E ( u, u, u ) H( u, u, u ) dönüşümü ile i =,, için u i = sabit alaak elde edilen paametik yüzeyle S i olsun. O halde i =,, için S i yüzeyleinin biinci temel fom katsayılaı ve ikinci temel fom katsayılaı aşağıdaki gibidi (Gay 006). 40

49 Yüzey E G e f g S u u q 0 qq u 0 p u p S u u 0 p u 0 q pp u q S u u p 0 q pp u 0 qq u İspat: i =,, için u = sabit alaak elde edilen paametik yüzeylein pozitif biim nomal i vektö alanlaı sıasıyla N, N, N di. Şimdi i = için sabit u = alaak elde edilen fomlaının katsayılaını hesaplasak ve I.temel fom I ds S, S olduğundan olaak yazılabili. Ayıca, S u u yüzeyinin biinci ve ikinci temel = = = S S S S = du + du, du + du u u u u S S S S S S = + + u u u u u u ( du ) du du ( du ),,, E G ( ) ( ) = E du + du du + G du Teoem.6.den S S E =, = Hu, H u = q u u H üçlü otogonal sistem S S =, = Hu, H = 0 u u u Teoem.6.den S S G =, = Hu, H = u u u ( ) ( ) ( ) ( ) I.temel fom = I = ds = E du + du du + G du = q du + du 4

50 S S S II. temel fom= II=, N ( du ) +, N du du +, N du ( u) u u ( u 4444 ) ve ( u ) e ( ) S H e= N = H N = H = H H u, uu, uu, uu, u H u H u Hu, H u = O H uu, H u + H, 0 u H uu = = H Huu, H, Hu u = H u H uu { H Hu, H u = H,, u H uu H u + H u H uu = u q Hu, H uu = u =, = Hu H uu q u f q u Hu, H uu = qq u p g qq, H u uu u p S H f = N = H N = H = H H u u H H ( u ) u, uu, uu, uu, u u u Teoem.6.den S H g = N = H N = H = H H u, uu, uu, uu, u H u H u H,,, 0 u H u = O H uu H u + H u H = uu = H Huu, H =, u H u H H uu u { H Hu, H u = H,, u H + = uu H u H u H uu u H, u H = uu u = Hu H uu u, = H, H u u u = u u = p u p 0, H u uu 4

51 olduğundan olaak yazılabili. qq u u II. temel fom= II= ( du ) ( du ) Benze işlemle i = ve i = için de yapılaak diğe yüzeylein de biinci ve ikinci temel fomlaı hesaplanabili p p Teoem.6.4 (Dupin) Bi üçlü otogonal sistem oluştuan yüzeylein aakesit eğileinin, he bii bi yüzeyin eğilik çizgisidi (Gay 006) İspat: Bi yüzeyin eğilik çizgisi, yüzeyin = 0 ve f = 0 olduğunda kendi paamete çizgisi ile çakışı. Dolayısıyla Teoem.5.den Üçlü otogonal sistem oluştuan yüzeylein he bii için = f = 0 olduğundan yüzeylein aakesit eğilei, he bi yüzeyin eğilik çizgileidi 4

52 . REGLE YÜZEY Tanım. α : I E düzgün egüle eği üzeinde biim uzunluklu bi e vektö alanı veilsin. e, I aalığının he bi t elemanına kaşılık, α () t noktasında et ( ) vektöünü kaşılık getien dönüşünü ile tanımlı e: I E E uzayında şeklinde düzgün bi dönüşümdü. O halde, : I E ( α, e) (.) tu, tu, = α t + uet ( ) ( )( ) () () α, e α yüzeyine bi egle yüzey veya doğusal ( ) ( t, u ), e yüzey deni. Buada, α eğisine egle yüzeyin dayanak eğisi adı veili. et ( ) vektöüne de doğusal yüzeyin α ( t) noktasındaki doğultmanı deni. α ( t) noktasından geçen ve et () ana doğu deni (Izumiya 00). vektöüne paalel olan doğuya, α () t noktasından geçen Ayıca, (.) deki egle yüzeyin he hangi bi noktasında et ( ) 0 olu ise ( ) ( t, u ) = α ( t ) et () = 0 α, e bi yüzey değil bi uzay eğisi beliti. olmalıdı. Çünkü, y ( α,e) et ( ) α ( t) ( ) ( t, u ) α, e u ( tu, ) (α ) 0 t x Şekil. Regle yüzey 44

53 Tanım. i. et () e() t = 0 ( α egle (doğusal) yüzeyi için eğe,,e) u ise ( α yüzeyi, silindiikti deni.,e) e(t) 0 x ı (t) 0 x(t) Şekil. Silindiik egle yüzey u ise ( α yüzeyi, silindiik değildi deni.,e) ii. et () e() t 0 e(t) 0 x ı (t) 0 x(t) Şekil. Silindiik olmayan egle yüzey Yukaıdaki tanıma göe, ( α egle yüzeyi silindiik değil ise et,e ) () u ve e () t linee bağımsızdı diyebiliiz. Bu ise bize egle yüzeyin ana doğulaının, doğultmanlaının daima değiştiğini söyle. Ayıca, genelliği kaybetmeden; t I için et () = olduğunu kabul edesek, ( α egle yüzeyinin silindiik olmaması için geek ve yete,e ) u koşulun e () t 0 olmasıdı diyebiliiz (Izumiya 00). 45

54 Önek. Dayanak eğisi ( t) ( t,0,0) t et () = 0,, olan egle yüzeyin denklemi + t + t t, u t ue = α + t α = ve doğultman vektöü ( ) ( ) ( ) ( ) α, e olup bu yüzeye Seme (eğe) Yüzeyi deni. u ut t,, + t + t = Şekil.4 Seme yüzeyi Önek. 0 θ π α( t ) = 0,0, cosθsinθ dayanak eğisi ve et () = cos θ,sin θ,0 doğultman vektöü olan egle yüzeyin denklemi ( ) olmak üzee ( ) t u t ue t olup bu yüzeye Plücke Konisi deni. ( ) = α ( ) + ( ) α, e = ( ucos θ, usin θ,cosθsinθ) Şekil.5 Plücke konisi 46

55 Teoem. ( α egle yüzeyinin,e) ( ) ( t, u ) α, e noktasından geçen ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = t, u+ = t + u+ e ( t ) λ λ α λ α, e (.) ile tanımlı paamete eğisi, bu yüzey için hem asimtotik, hem de jeodezik eğidi (Sabuncuoğlu 006). Teoem. u σ, = 0 () t e () t paametize edileek ( α silindiik olmayan bi egle yüzey olsun. t I için,e) olacak şekilde öyle bi σ eğisi bulunabili ki ( α yüzeyi teka,e ) olaak yazılabili. Buada, σ () α() t u t ue t ( ) = σ ( ) + ( ) σ, e u α (), t e () t t = t u e () t eğisine, e t () (.) ( α yüzeyinin,e) stiksiyon (boğaz) çizgisi (eğisi) deni. α ( t) noktasından geçen ana doğu üstündeki σ () t noktasına, doğusal yüzeyin bu ana doğuya ilişkin mekez noktası adı veili (Izumiya 00). İspat: ( α bi yüzey olduğundan t I için et,e) ( ) 0 dı ve genelliği bozmayacağı için et = et, et = alabiliiz. Buada he iki taafın t ye göe tüevi alınısa () () () bulunu. t I u u u e () t, et () + et (), e () t = 0 et (), e () t = 0 u et, = 0 için () t e () t () e () t u σ, = 0 olacak şekilde öyle bi σ eğisini σ ( t) = α( t) + v( t) e( t) olaak alalım ve tüevi alınısa σ u u e t ile iç çapasak, olu ve he iki taafı ( ) ( t) = α ( t) + v ( t) e( t) + v( t) e ( t) 47

56 için () t e () t ve t I olu. u e t () (,e) u u u σ () t, e () t = α () t + v () t e() t + v() t e () t, e () t u σ, = 0 olduğundan u u α () t + v () t e() t + v() t e () t, e () t = 0 u u u u α () t, e () t + v () t e() t, e () t + v() t e () t, e () t = u e t () u u α, + = 0 () t e () t v() t e () t u α silindiik olmayan bi egle yüzey ve et ( ) e ( t) 0 olduğundan et ( ) linee bağımsızdı. Dolayısıyla e ( t) 0 olaak bulunu. Dolayısıyla, u dı. Öyleyse (.4) ifadesinden u α () t, e () t v() t = u e t () t u t v t u ( ) = ( ) (, ( ) + ) σ, e α, e = α () t + ( v() t + u) e() t = α () t + v() t e() t + ue() t 4444 σ () t = σ + () t ue() t (.4) ve yazılabili. Buadaki ve aynı yüzeylei beliti ( σ, e) ( α, e) u Teoem. e () t vektöü, ( σ, e ) egle yüzeyinin ( t ) σ noktasındaki σ eğisinin teğetine dik olan vektöe paaleldi (Izumiya 00). Teoem.4 ( α silindiik olmayan egle yüzey olsun.,e) ( α yüzeyinin stiksiyon,e ) çizgisi, dayanak eğisinin seçiminden bağımsızdı (Izumiya 00). Teoem.5 ( σ dayanak eğisi stiksiyon çizgisi olan silindiik olmayan bi egle,e) yüzey olsun. O halde ( α egle yüzeyinin distibüsyon (dağılma) paametesi,e) 48

57 ρ () t u u σ () t e() t, e () t det t, e t, e t = u = u (.5) e t () ile tanımlı fonksiyondu (Izumiya 00). ( σ () () ()) e () t Teoem.6 Dayanak eğisi stiksiyon çizgisi olan silindiik olmayan bi egle yüzey ( σ, e) olsun. O halde (, e) dı (Izumiya 00). egle yüzeyinin singüle noktası P = σ 0 ( t, u ) ise u = 0 σ e İspat: (, tu) I için u ( σ, e) (, tu) = σ () t + ue. () t t ( σ, e) (, tu) = et () u olup u ( σ, e) ( σ, e) (, tu) (, tu) = ( σ () t + ue. () t) ( et ()) t u u = ( σ () t e() t ) + u( e () t e() t ) u dı. Ayıca et () biim vektö olduğundan e (), t e() t = 0 ve σ yüzeyin stiksiyon u çizgisi olduğundan σ (), t e () t = 0olup u σ () t e() t = µ () t e () t olacak şekilde bi düzgün µ fonksiyonu vadı. Dolayısıyla u ( σ, e) ( σ, e) (, tu) (, tu) = () t et () + u e() t et () t u u u = + ( σ ) ( ) ( µ () te () t) ue ( () t et ()) u = µ () t + u e () t (.6) ( ) dı. (, e egle yüzeyinin singüle noktası P = σ ) 0 ( t, u ) olduğundan ( σ, e)

58 u ve e () t 0 dı = 0 u ( σ, e) ( σ, e) t0 u0 t0 u0 t olup (.6) dan ( t0 u0 ) µ ( ) + = 0 olaak bulunu. Buadan u = µ ( t ) = Κ Gauss eğiliği, yüzeyin he bi noktasında, Öklidyen düzlemden ne kada ayıldığını ölçe ve bu eğilik, yüzeyin şekil opeatöünün (veya Weingaten dönüşümünün) deteminantı olup Κ= LN M EG (.7) di. Buadaki L= tt,, M = tu, ve N = u, t u t u t u t u t u t u ile E =,, =, ve G =,, sıasıyla, yüzeyin I. ve II. temel fom t t t u u u değeleidi (Hacısalihoğlu 000). Teoem.7 Silindiik olmayan egle yüzeyin Κ Gauss eğiliği pozitif değildi (Izumiya 00). Tanım. Bi yüzeyin Κ Gauss eğiliği yüzeyin he bi noktasında Κ= 0 oluyosa bu yüzeye flat veya açılabili yüzey deni. Ayıca bu yüzeyle, E deki düzleme izometikti (Izumiya 00). Tanım. Bi ( α egle yüzeyinin bi ana doğusunu kapsayan ve yüzey nomaline,e) dik olan düzleme, yüzeyin teğet düzlemi deni (Hacısalihoğlu 000). Bi ( α egle yüzeyinin,e) t u t ue t ( ) = α ( ) + ( ) α, e denkleminden t ve u ya göe tüevlei alındığında (, tu) I için 50

59 ( α, e) dt ( α, e) du elde edili. Buada olu. Ayıca yüzeyin nomali u (, tu) = α () t + ue. () t (, tu) = et () u ( α, e) ( α, e) (, tu) (, tu) = () t + ue. () t et () dt du ( α ) ( ) u ( α () t e() t ) u( e () t e() t ) = + ( σ, e) ( σ, e) u (, tu) (, tu) () t e() t u e () t e() t N = dt du = ( σ, e) ( σ, e) ( σ, e) ( σ, e) (, tu) (, tu) (, tu) (, tu) dt du dt du ( α ) + ( ) (.8) olduğundan ve µ sabit olmak üzee teğet düzlemin bi noktasındaki vektöel denklemi N, µ e = 0 veya (.8) den olaak bulunu. u det µ et ( ), α ( t) + ue. ( t), et ( ) = 0 (.9) Tanım.4 Bi egle yüzeyin ana doğulaı boyunca teğet düzlemlei aynı ise egle yüzeye açılabilidi deni (Izumiya 00). Teoem.8 ( α silindiik olmayan bi egle yüzey olsun. O halde,e) ( α yüzeyi,e ) u det α t, e t, e t = 0 olmasıdı (Izumiya ( ) açılabili olması için geek ve yete koşul () () () 00). Tanım.5 : I E ( α, e) ( tu, ) ( ) ( tu, ) = α ( t ) + uet ( ) α, e dönüşümü ile tanımlı egle yüzey t I için 5

60 ( ) ( + π, ) = ( ) α, e α, e t u t u (.0) olacak şekilde peiyodik ise egle yüzeye kapalı egle yüzey deni (Hacısalihoğlu 000). Tanım.6 (Açılım Uzunluğu) ( α egle yüzeyinin ana doğulaının he biini dik,e) olaak kesen eğiye ( α egle yüzeyinin otogonal yöüngesi deni ve,e), e = 0 (.) ( α, e) ifadesiyle belitili (Hacısalihoğlu 000). Lu ( ) u e( t) ( α, e ) ( α, e ) α ( t) ( ) α α ( t) O Şekil.6 Kapalı egle yüzeyin açılım uzunluğu ( α bi kapalı egle yüzey olmak üzee otogonal yöüngesi için,e), e = 0 ( α, e) α () t + due.() t + ude. (), t e() t = 0 5

61 α (), t e() t + du e(), t e() t + u de(), t e() t = du = α (), t e() t dı. Bu ifadenin kapalı egle yüzeyin dayanak eğisi boyunca eğisel integali alınısa Lu ( ) = α ( t), et ( ) = du (.) elde edili. O halde, α L: I α t L( u) = du (.) şeklinde tanımlanan L fonksiyonuna kapalı egle yüzeyin Açılım Uzunluğu deni (Hacısalihoğlu 000). α Açılım uzunluğu egle yüzeyin bi integal invayantıdı. Eğe kapalı egle yüzeyin otogonal yöüngeleinin bi tam devi göz önüne alınısa adım hiçbi zaman egle yüzeyin stiksiyon çizgisinin uzunluğunu geçemez (Wundelich 979). akat egle yüzey kapalı, açılabili ve dayanak eğisini de stiksiyon çizgisi olaak alısak stiksiyon çizgisinin yay uzunluğu açılım uzunluğuna eşitti (Wundelich 979). Diğe taaftan bu özelik egle yüzeyin açılabili olması için bi kaakteizasyondu. Açılabili kapalı egle yüzeyin açılım uzunluğu sıfı ise stiksiyon çizgisi bi nokta ve dolayısıyla egle yüzey bi konidi (Wundelich 979). Tanım.7 (Açılım Açısı) Ana doğusunun biim doğultman vektöü e olan ( α egle yüzeyinin ana,e ) doğulaına dik bi doğultunun bi peiyot sona ilk konumu ile yaptığı açıya egle yüzeyin açılım açısı deni (Hacısalihoğlu 000). n doğultmana dik bi vektö ve b = e n olmak üzee Açılım açısı = ρ = dn, b = db, n dı. Buada n = α olaak alınısa α α (.4) 5

62 olaak bulunu. = Açılım açısı = ρ det [ α, α, e] α (.5) nt ( + π ) nt ( + π ) ρ α ( t) e( t) nt () ( ) α α ( t) O Şekil.7 Regle yüzeyin açılım açısı 54

63 4. DOĞRU KONGRÜANSLARI Tanım 4. E de iki bağımsız paamete, u u ile tanımlanmış doğulaın ailesine bi doğu kongüansı deni (Şekil 4.). Yani; bi doğu kongüansı α U E : (, ) ( u, u, t) ( u, u, t) = α( u, u ) + t( u, u ) (4.) ( α, ) dönüşümü ile tanımlı doğulaın ailesidi (Izumiya 00). Buada, α( u, u ) noktası, α( U ) efeans yüzeyi (taban yüzeyi) üzeindeki bi nokta yada kongüanstaki tüm doğulaın kestiği α( U ) taban yüzeyi, : \ 0 { } U E E S dönüşümü ile tanımlı doğulaının biim doğultman vektöleinin ailesi ve u (, u ) vektöü kongüansın ana t, doğu üzeindeki ( u,, ) (, e) u t α noktası ile α( U ) taban yüzeyi aasındaki uzaklıktı (Şekil 4.). ( u, u, t) ( α, ) t u u α u u ( u, u, t) ( α, ) α ( u, u ) α( U ) O Şekil 4. Doğu Kongüansı 55

64 Ayıca, i. u (, u ) = sabit ise kongüansındaki doğula paaleldi (Şekil 4.). α U ( ) α (u, u ) α( U ) U E Şekil 4. Paalel doğu kongüansı ii. u (, u ) sabit ise ( α, ) kongüansındaki doğula paalel değildi (Şekil 4.). U ( ) α (u, u ) U E α ( U ) Şekil 4. Paalel olmayan doğu kongüansı 56

65 ( ), α α ( α, ) Tanım 4. det,, = 0 ise P= ( u, u, t) noktası ( α, ) u u t doğu kongüansının singüle noktasıdı deni (Izumiya 00). Teoem 4. P= ( u, u, t) noktasının ( α, ) doğu kongüansına ait singüle bi nokta olması için geek ve yete koşul α α α α, t +, + t+, = 0 u u u u u u u u dı (Izumiya 00). (4.) İspat: P= ( u, u, t) noktası kongüansın bi singüle noktası olduğunu kabul edelim. ( u, u, t) U için ( α, ) α dt α = + + t = + t u u du { u u u 0 ( α, ) α dt α = + + t = + t u u du { u u u ( α, ) α dt = + + t = t t { dt t 0 olup P= ( u, u, t) noktası ( α, ) doğu kongüansının singüle noktası olduğundan α α ( α, ) det,, = 0 dı. Buadan u u t α α α α α det,, =, + t + t u u t u u u u α α α α =, t +, + t+, u u u u u u u u olup 57

66 α α α α t t u u u u u u u u, +, + +, = 0 dı. Şimdi de, (4.) ifadesinin valığını kabul edelim. Bu duum da, ( α, ) doğu kongüansına ait bi P= ( u, u, t) noktası için α α ( α, ) det,, = 0 u u t olduğunu gösteelim. ( α, ) doğu kongüansına ait bi P= ( u, u, t) noktası için α α α α, t +, + t+, = 0 u u u u u u u u α α, + t + t = 0 u u u u α α det, + t, + t = 0 u u u u olup ( u, u, t) U için ( α, ) α dt α = + + t = + t u u du { u u u ( α, ) α dt α = + + t = + t u u du { u u u ( α, ) α dt = + + t = t t { dt t olduğundan α α ( α, ) det,, = 0 u u t yazılabili 0 0 Tanım 4. ( α, ) bi doğu kongüansı olmak üzee, i. α( U ) yüzeyi bi egle yüzey ii. ( u, u) U için doğultu vektöü, α( U ) yüzeyinin nomal vektöü 58

67 ise ( α, ) doğu kongüansına Tam Nomal Kongüans deni (Izumiya 00). Tanım 4.4 ( α, ) bi doğu kongüansı olmak üzee, i. He hangi bi ( u, u) U noktasının en az bi açık V U komşuluğu va ii. : y V U E egle yüzeyinin nomal vektöü v v V için doğulman vektöüne paalel ise ( α, ) doğu kongüansına Nomalle Kongüansı deni (Izumiya 00). 4. Açılım Uzunluğu U E E α ( u, u, t) ( u, u, t) = α( u, u ) + t( u, u ) : (, ) ile tanımlı doğu kongüansında ( ) olmak üzee. ( u, u) U için (, ) = (, ) ( α, ) α U taban yüzeyinin biim nomal vektöü eu (, u ) u u eu u ve ( ) α U yüzeyinin paamete eğilei eğilik çizgilei olsun. O zaman u = sabit olduğunda, α ( U ) taban yüzeyi üzeinde elde edilen kapalı paamete eğisi ( u bu eğinin yay paametesi olaak alınabili) nin teğet vektöü dα ( ) α( u, u ) = α u ( u ) du = T ve T = ve u = sabit olduğunda, α ( U ) taban yüzeyi üzeinde elde edilen kapalı diğe paamete eğisi ( u bu eğinin yay paametesi olaak alınabili) nin teğet vektöü dα ( ) α( u, u ) = α u ( u ) du = T ve T = 59

68 olmak üzee, 0 T T = olu. Dolayısıyla kongüans üzeinde { et,, T} çatı alanı elde edili. Buada T = T e, T = e T ve e= T T di. otonomal e T u = sabit T ( ) γ α ( U u = sabit Şekil 4.4 α doğu kongüansının { et,, T} (,e) otonomal çatı alanı Tanım 4.. ( α doğu kongüansının ekseni eu (,e), u ) yi dik olaak kesen eğiye ( α doğu kongüansının otogonal yöüngesi deni.,e) (,, ) u u t = α u u + te u u kongüansının ( ) α e te te α U taban yüzeyi üzeindeki u = c ve u = c paamete eğilei, bie kapalı eği olması halinde bu eğile üzeine kuulan egle yüzeylede kapalı olula. Bu kapalı egle yüzeylein açılım uzunluklaı L ve L olsun. O zaman Tanım.6 ya göe ve { et,, T} T 678 L = α ( u ), e( u ) = du te te u= c u= c otonomal çatı alanı olduğundan T, e = 0 olup L = 0 dı. T } L = α ( u ), e( u ) = du te te u= c u= c 60

69 ve { et,, T} otonomal çatı alanı olduğundan T, e = 0 olup L = 0 dı. Taban yüzeyi üzeinde α( u, u ) noktasından geçen hehangi bi kapalı eği γ ( u, u) olmak üzee, γ nın teğet vektöünün, γ = λt + λ T olduğunu biliyouz. Bu eği üzeinde kuulabilen bi kapalı egle yüzey vadı. Bu yüzeyin de açılım uzunluğuna L desek, L= γ ( u, u), e( u, u) γ = λt( u ) + λ T ( u ), e( u, u ) γ = λ ( ), (, ) λ ( ), (, ) T u e u u + T u e u u γ = 0 di. Açılım uzunluğu doğu kongüansının bi integal invayantıdı. Bu özelik doğu kongüansındaki doğulaın paalel olması için bi kaakteizasyondu. Paalel doğu kongüansın açılım uzunluğu sıfı ise ( ) te α U taban yüzeyi üzeindeki u = c ve u te = c kapalı paamete eğilei bie nokta olup doğu kongüansı, konile ailesidi. Tanım 4.. U E α ( u, u, t) ( u, u, t) = α( u, u ) + te( u, u ) : (, e) ( α, e) doğu kongüansının açılım uzunluğu diye, α( U ) taban yüzeyi üzeindeki bi γ ( u, u) kapalı eğisiyle belitilen kapalı egle yüzeyin açılım uzunluğuna deni ve L= γ ( u, u ), e( u, u ) γ di. Buada eu (, u ), α ( U ) taban yüzeyinin biim nomal vektöüdü. 6

70 e γ u = te c L u = te c L Şekil 4.5 Kongüansın açılım uzunluğu ( u, u ) U için (, ) (, ). u u eu u ve ( ) α U yüzeyinin paamete eğilei eğilik çizgilei olsun. O zaman u = sabit olduğunda, α ( U ) taban yüzeyi üzeinde elde edilen kapalı paamete eğisi ( u bu eğinin yay paametesi olaak alınabili) nin teğet vektöü dα ( ) α( u, u ) = α u ( u ) du = T ve T = ve u = sabit olduğunda, α ( U ) taban yüzeyi üzeinde elde edilen kapalı diğe paamete eğisi ( u bu eğinin yay paametesi olaak alınabili) nin teğet vektöü dα ( ) α( u, u ) = α u ( u ) du = T ve T = 6

71 olmak üzee, 0 T T = olu. Dolayısıyla kongüans üzeinde { et,, T} çatı alanı elde edili. Buada T = T e, T = e T ve e= T T Ayıca, ( u, u) U için (, ) (, ) et,, T u u eu u ve { } di. otonomal otonomal çatı alanında bi vektö olduğundan h, h, h için = ht + ht + h e (4..) şeklinde yazılabili. e u = sabit T T ( ) γ α ( U u = sabit Şekil 4.6 ( α, ) he hangi doğu kongüansı Tanım 4.. ( α, ) doğu kongüansının ekseni u (, u ) yi dik olaak kesen eğiye ( α, ) doğu kongüansının otogonal yöüngesi deni. (,, ) u u α t = α u u + t u u kongüansının ( ) te te α U taban yüzeyi üzeindeki u = c ve u = c paamete eğilei, bie kapalı eği olması halinde bu eğile üzeine kuulan egle yüzeylede kapalı olula. Bu kapalı egle yüzeylein açılım uzunluklaı L ve L olsun. O zaman Tanım.6 ya göe T 678 L = α ( u ), ( u ) = du te te u= c u= c 6

72 olup (4..) den L = te u = c te u = c 0 } =, +, +, h T T h T T h T e te u = c te u = c T, = T, ht + ht + h e = h ve T } L = α ( u ), ( u ) = du te te u= c u= c olup (4..) den L = te u = c te u = c 0 } =, +, +, h T T h T T h T e te u = c te u = c T, = T, ht + ht + h e = h di. Taban yüzeyi üzeinde α( u, u ) noktasından geçen hehangi bi kapalı eği γ ( u, u ) olmak üzee, γ nın teğet vektöünün, γ = λt + λ T olduğunu biliyouz. Bu eği üzeinde kuulabilen bi kapalı egle yüzey vadı. Bu yüzeyin de açılım uzunluğuna L desek, L= γ ( u, u), ( u, u) γ = λt( u ) + λ T ( u ), ( u, u ) γ 64

73 L= λ ( ), (, ) + λ ( ), (, ) T u u u T u u u γ h h = + γ γ ( λh λ h ) = λh + olup λ, λ olduğunda λ h γ L = λ h + λ h γ γ = λl + λ L olaak elde edili ve λ = ile λ = olaak alısak a b yazılabili. Ayıca λ ile ve α = α( ) L L L = a b λ, γ eğisinin teğet vektöünün, sıasıyla, α( u, u ) = α( u ) u u u paamete eğileinin teğet vektölei üzeindeki dik izdüşüm uzunluklaıdı. Açılım uzunluğu doğu kongüansının bi integal invayantıdı. Bu özelik doğu kongüansındaki doğulaın paalel olması için bi kaakteizasyondu. Paalel doğu kongüansın açılım uzunluğu sıfı ise α ( U ) taban yüzeyi üzeindeki u c u te = ve ailesidi. c te = kapalı paamete eğilei bie nokta olup doğu kongüansı, konile Tanım 4..4 : U E ( α, ) ( u, u, t) ( u, u, t) = α( u, u ) + t( u, u ) ( α, ) doğu kongüansının açılım uzunluğu diye, α( U ) taban yüzeyi üzeindeki bi γ ( u, u) kapalı eğisiyle belitilen kapalı egle yüzeyin açılım uzunluğuna deni ve L= γ ( u, u ), ( u, u ) di. γ 65

74 γ u = te c L u = te c L Şekil 4.7 Kongüansın açılım uzunluğu Şimdi, : U E ( α, e) ( u, u, t) ( u, u, t) = α( u, u ) + te( u, u ) ( α, e) ile tanımlı doğu kongüansında, u = sabit ve = sabit u alınaak, ( ) α U taban yüzey üzeinde elde edilen paametik eğile dayanak eğisi ve kongüansa ait doğula ana doğulaı olan egle yüzeylein açılım uzunluklaını inceleyelim i) u = sabit olduğunda, α ( U ) taban yüzey üzeinde elde edilen paametik eği α ( u ) ve biim doğultman vektö ( ) u olmak üzee, ( ) u ( ) t = α u + t u α egle yüzeyi elde edili. Biliyouz ki, ( ) u, ( u, ) t egle yüzeyinin stiksiyon çizgisi olmak üzee ( α, u ) t egle yüzeyini teka paametize edileek ( ) u ( ) t = u + t u α α 66

75 olaak yazabiliiz. u t egle yüzeyinin mekez noktasında ( ) α u u ile dik olan biim vektöünü doğultman ve ( u ) stiksiyon çizgisini dayanak eğisi kabul eden bi başka egle yüzey ( α, ) u t olsun. O halde, u u t u t u = ( ) ( ) α + di. Böylece ( u, ) t ve α ( α, ) kabul eden bi egle yüzey çifti elde etmiş oluuz. u u u = u u u t gibi aynı stiksiyon çizgisini dayanak eğisi ( ) ( ) ( ) ( α, u t ve ) ( α, u t nin otak biim nomal vektöü olmak üzee mekez ) uu,, otonomal çatısı elde edili. noktasında bi { } α ( U ) Şekil 4.8 enet çatısı a) Biim teğet vektöü ( ) yay paametesine göe tüevlei u ise {,, } u u çatısının vektöleinin stiksiyon çizgisinin 67

76 u 0 κ 0 κ 0 τ u u = 0 τ 0 u u olaak elde edili. Buada doğal eğilik κ = u, doğal buulma τ u =, ve Lancet eğiliği u λ = = κ + τ di. ( ) u stiksiyon çizgisinin teğeti ile biim doğultman vektöü aasındaki açı ϕ olmak üzee u u = cosϕ+ sinϕ olaak yazılabili. ( ) u u ϕ ( u ) Şekil 4.9 Biim teğet vektöü olan ( u ) stiksiyon çizgisinin teğeti ( u ) stiksiyon çizgisi peyodik, yani ( ) = ( + π) ( ) u eğisini dayanak eğisi kabul eden ( u, ) t ve α u u olsun. Bu duum da ( α, ) u t egle yüzeylei kapalı olula. Böylece ( u, ) t ve α uzunluğundan bahsetmek mümkündü. ( α, ) u t egle yüzeyleinin açılım Teoem 4.. ( α, u t egle yüzeyinin açılım uzunluğu ) L= cosϕdu, ( α, ) u t egle yüzeyinin açılım uzunluğu L = sinϕdu di. 68

77 İspat: u t egle yüzeyinin açılım uzunluğu L=, ( α, ) ( α, ) u t egle yüzeyinin açılım uzunluğu = di u =, cosϕ+ sinϕ du = cosϕdu L, = u u u =, cosϕ+ sinϕ du sinϕdu Sonuç 4.. u t egle yüzeyinin açılım uzunluğu L, ( α, ) uzunluğu olmalıdı. L olmak üzee ( α, ) u t egle yüzeyinin açılım π = + k k 4 L= L olması için stiksiyon açısı ϕ π, İspat: dı L L cosϕ du sinϕ du = = cosϕ = sinϕ π ϕ = + πk, k 4 u b) Biim teğet vektöü u u ise {,, } yay paametesine göe tüevlei çatısının vektöleinin stiksiyon çizgisinin 69

78 0 τ 0 u = τ 0 κ u u 0 κ 0 u olaak elde edili. Buada doğal eğilik κ = u, doğal buulma τ u =, u ve Lancet eğiliği u λ = = κ + τ di. ( ) u stiksiyon çizgisinin teğeti ile biim doğultman vektöü aasındaki açı ϕ olmak üzee ( u ) = cosϕ + sinϕ olaak yazılabili. u u ϕ ( u ) Şekil 4.0 Biim teğet vektöü u olan ( ) u stiksiyon çizgisinin teğeti ( u ) stiksiyon çizgisi peyodik, yani ( ) = ( + π ) ( ) u eğisini dayanak eğisi kabul eden ( u, ) t ve α u u olsun. Bu duum da ( α, ) u t egle yüzeylei kapalı olula. Böylece ( u, ) t ve α uzunluğundan bahsetmek mümkündü. ( α, ) u t egle yüzeyleinin açılım Teoem 4.. ( α, u t egle yüzeyinin açılım uzunluğu ) L = sinϕdu, 70

79 ( α, ) u t egle yüzeyinin açılım uzunluğu L = cosϕdu di. İspat: u t egle yüzeyinin açılım uzunluğu L =, ( α, ) ( α, ) u t egle yüzeyinin açılım uzunluğu = di u =, sinϕ + cosϕ du = sinϕdu L, = u u u =, sinϕ + cosϕ du cosϕdu Sonuç 4.. u t egle yüzeyinin açılım uzunluğu L, ( α, ) uzunluğu olmalıdı. L olmak üzee ( α, ) u t egle yüzeyinin açılım π = + k k 4 L = L olması için stiksiyon açısı ϕ π, İspat: dı L L sin du cos du = ϕ = ϕ sinϕ = cosϕ π ϕ = + πk, k 4 ii) u = sabit olduğunda, α ( U ) taban yüzey üzeinde elde edilen paametik eği 7

80 α ( u ) ve biim doğultman vektö ( ) u olmak üzee, ( ) u ( ) ( α, ) t = α u + t u egle yüzeyi elde edili. Biliyouz ki, ( ) u, ( u, ) t egle yüzeyinin stiksiyon çizgisi olmak üzee ( α, u ) t egle yüzeyini teka paametize edileek ( ) u ( ) ( α, ) t = u + t u olaak yazabiliiz. ( u, t ) egle yüzeyinin mekez noktasında ( ) u u ile dik olan α biim vektöünü doğultman ve ( u ) stiksiyon çizgisini dayanak eğisi kabul eden bi α başka egle yüzey ( α, ) u t olsun. O halde, u u t u t u = ( ) ( ) α + di. Böylece ( u, ) t ve α ( α, ) kabul eden bi egle yüzey çifti elde etmiş oluuz. u u u = u u u t gibi aynı stiksiyon çizgisini dayanak eğisi ( ) ( ) ( ) ( α, u t ve ) ( α, u t nin otak biim nomal vektöü olmak üzee mekez ) uu,, otonomal çatısı elde edili. noktasında bi { } u u α ( U ) Şekil 4. enet çatısı 7

81 a) Biim teğet vektöü ( ) u ise {,, } çizgisinin yay paametesine göe tüevlei u u çatısının vektöleinin stiksiyon 0 κ 0 u = κ 0 τ u u 0 τ 0 u olaak elde edili. Buada doğal eğilik κ = u, doğal buulma τ u =, ve Lancet eğiliği u λ = = κ + τ di. ( ) u stiksiyon çizgisinin teğeti ile biim doğultman vektöü aasındaki açı ϕ olmak üzee u u = cosϕ+ sinϕ olaak yazılabili. ( ) u u ϕ ( u ) Şekil 4. Biim teğet vektöü u olan ( ) u stiksiyon çizgisinin teğeti ( u ) stiksiyon çizgisi peyodik, yani ( u) = ( u + π ) olsun. Bu duum da ( u ) eğisini dayanak eğisi kabul eden ( u, ) t ve α ( α, ) u t egle yüzeylei kapalı olula. Böylece ( u, t ) ve ( u, t ) egle yüzeyleinin açılım uzunluğundan α bahsetmek mümkündü. α Teoem 4.. ( α, u t egle yüzeyinin açılım uzunluğu ) L= cosϕdu, 7

82 ( α, ) u t egle yüzeyinin açılım uzunluğu L = sinϕdu di. İspat: u t egle yüzeyinin açılım uzunluğu L=, ( α, ) ( α, ) u t egle yüzeyinin açılım uzunluğu = di u =, cosϕ+ sinϕ du = cosϕdu L, = u u u =, cosϕ+ sinϕ du sinϕdu Sonuç 4.. u t egle yüzeyinin açılım uzunluğu L, ( α, ) uzunluğu olmalıdı. L olmak üzee ( α, ) u t egle yüzeyinin açılım π = + k k 4 L= L olması için stiksiyon açısı ϕ π, İspat: dı L L cos du sin du = ϕ = ϕ cosϕ = sinϕ π ϕ = + πk, k 4 u b) Biim teğet vektöü u u ise {,, } çatısının vektöleinin stiksiyon çizgisinin 74

83 yay paametesine göe tüevlei 0 τ 0 u = τ 0 κ u u 0 κ 0 u olaak elde edili. Buada doğal eğilik κ = u, doğal buulma τ = u, ve Lancet u eğiliği λ = = κ + τ di. ( u ) stiksiyon çizgisinin teğeti ile biim doğultman vektöü aasındaki açı ϕ olmak üzee olaak yazılabili. = u cos ϕ + u sin ϕ ( ) u u ϕ ( u ) Şekil 4. Biim teğet vektöü u olan ( ) u stiksiyon çizgisinin teğeti ( u ) stiksiyon çizgisi peyodik, yani ( u) = ( u + π ) olsun. Bu duum da ( u ) eğisini dayanak eğisi kabul eden ( u, ) t ve α ( α, ) u t egle yüzeylei kapalı olula. Böylece ( u, t ) ve ( u, t ) egle yüzeyleinin açılım uzunluğundan α bahsetmek mümkündü. α 75

84 Teoem 4..4 ( α, u t egle yüzeyinin açılım uzunluğu ) L = sinϕdu, ( α, ) u t egle yüzeyinin açılım uzunluğu L = cosϕdu di. İspat: u t egle yüzeyinin açılım uzunluğu L =, ( α, ) ( α, ) u t egle yüzeyinin açılım uzunluğu = di u =, sinϕ + cosϕ du = sinϕdu L, = u u u =, sinϕ + cosϕ du cosϕdu Sonuç 4..4 u t egle yüzeyinin açılım uzunluğu L, ( α, ) uzunluğu olmalıdı. L olmak üzee ( α, ) u t egle yüzeyinin açılım π = + k k 4 L = L olması için stiksiyon açısı ϕ π, İspat: dı L L sin du cos du = ϕ = ϕ sinϕ = cosϕ π ϕ = + πk, k 4 76

85 4. Açılım Açısı : U E E ( α, ) ( u, u, t) ( u, u, t) = α( u, u ) + t( u, u ) ile tanımlı doğu kongüansında ( ) olmak üzee. ( u, u) U için (, ) = (, ) ( α, ) α U taban yüzeyinin biim nomal vektöü eu (, u ) u u eu u ve ( ) α U yüzeyinin paamete eğilei eğilik çizgilei olsun. O zaman u = sabit olduğunda, α ( U ) taban yüzeyi üzeinde elde edilen kapalı paamete eğisi ( u bu eğinin yay paametesi olaak alınabili) nin teğet vektöü dα ( ) α( u, u ) = α u ( u ) du = T ve T = ve u = sabit olduğunda, α ( U ) taban yüzeyi üzeinde elde edilen kapalı diğe paamete eğisi ( u bu eğinin yay paametesi olaak alınabili) nin teğet vektöü olmak üzee, 0 dα ( ) α( u, u ) = α u ( u ) du = T ve T = T T = olu. Dolayısıyla kongüans üzeinde { et,, T} çatı alanı elde edili. Buada T = T e, T = e T ve e= T T di. otonomal Buadan, Tanım.7 e göe u = sabit olduğunda elde edilen kapalı egle yüzeyin açılım açısı ρ = T, T u = sabit olduğunda elde edilen kapalı egle yüzeyin açılım açısı ρ = T, T yazılabili. Öyleyse, α ( U ) taban yüzeyi üzeinde hehangi bi eği γ olmak üzee, teğet vektöü, α ( u ) α ( u ) 77

86 γ = λt + λt olup T = T e, T = e T ve e= T T olduğundan γ e= λt + λ T e= λt λ T olu. ( ) e nt () γ nt ( + π ) u = te c u = te c T γ T Şekil 4.4 Kongüansın açılım açısı O halde, Tanım.7 den γ eğisinin açılım açısı ( ) N= λt λ T, γ γ = λ T + λt λ T λ T, γ γ 78

87 N = λ T + λt λ T λ T, λ T + λ T γ λ T, λt + λt, λt λ T, λt λt, λt = γ + λ T, λt + λt, λt λ T, λt λt, λt olup T = ve T = olduğundan N = γ λλ T, T + λ T, T λλ T, T λλ T, T λλ T, T + λλ T, T λλ T, T λ T, T 0 0 ( λ T, T λ λ λ λ λ T, T ) = + γ = λ T, T λ λ + λλ λ T, T γ γ olu ve buada λ, λ olduğunda N= λ T, T λ T, T γ γ yazılabili. Buada T, T integalinde integant u ye ve T, T integalinde de integant u e bağlı olduğundan γ γ N= λ T, T λ T, T α( u) α( u) ρ ρ = λρ λρ olaak elde edili ve λ = ile λ = olaak alısak a b yazılabili. Ayıca λ ile ve α = α( ) N ρ ρ = a b λ, γ eğisinin teğet vektöünün, sıasıyla, α( u, u ) = α( u ) u u u paamete eğileinin teğet vektölei üzeindeki dik izdüşüm uzunluklaıdı. 79

88 Tanım 4.. : U E ( α, e) ( u, u, t) ( u, u, t) = α( u, u ) + t( u, u ) ( α, e) ile tanımlı doğu kongüansında α ( U ) taban yüzeyinin biim nomal vektöü eu (, u ) olmak üzee ( u, u) U için u (, u) = eu (, u ) ve α ( U ) yüzeyinin paamete eğilei eğilik çizgilei olsun. O zaman doğu kongüansının açılım açısı diye, α( U ) taban yüzeyi üzeindeki bi γ ( u, u) kapalı eğisiyle belitilen kapalı egle yüzeyin açılım açısına deni ve veya ( ) N= λ T λ T γ γ, N = det α, α, e olaak tanımlanı. Buada, α = α( u, u ) kongüansın taban yüzeyinin ye vektöüdü. ( u, u ) U için u (, u) eu (, u ) olsun. Ana doğusunun biim doğultman. vektöü olan ( α, doğu kongüansının ana doğulaından biine dik bi doğultu ) vektöü n uu uu uu olmak üzee n = n olsun. O halde, uu uu uuuu Açılım açısı = N= n, n = n, n uu ve n = α olaak alınısa dı. Açılım açısı = α N= det α, α, α α 80

89 nt ( + π ) u (, u) u n ( + π ) t ρ α( u, u ) u n α( u, u ) O Şekil 4.5 Kongüansın açılım açısı Tanım 4.. Ana doğulaının biim doğultman vektöü olan ( α, doğu ) kongüansın ana doğulaından biine dik bi doğultunun bi peiyot sona ilk konumu ile yaptığı açıya doğu kongüansının açılım açısı deni. Şimdi, : U E ( α, e) ( u, u, t) ( u, u, t) = α( u, u ) + te( u, u ) ( α, e) ile tanımlı doğu kongüansında, u = sabit ve = sabit u alınaak, ( ) α U taban yüzey üzeinde elde edilen paametik eğile dayanak eğisi ve kongüansa ait doğula ana doğulaı olan egle yüzeylein açılım açılaını inceleyelim i) u = sabit olduğunda, α ( U ) taban yüzey üzeinde elde edilen paametik eği α ( u ) ve biim doğultman vektö ( ) u olmak üzee, ( ) u ( ) ( α, ) t = α u + t u 8

90 egle yüzeyi elde edili. Biliyouz ki, ( ) u, ( α, u ) t egle yüzeyinin stiksiyon çizgisi olmak üzee ( α, u ) t egle yüzeyini teka paametize edileek ( ) u ( ) ( α, ) t = u + t u olaak yazabiliiz. u t egle yüzeyinin mekez noktasında ( ) ( α, ) u ile dik olan u biim vektöünü doğultman ve ( u ) stiksiyon çizgisini dayanak eğisi kabul eden bi başka egle yüzey O halde, ( α, ) u t olsun. u u t u t u = ( ) ( ) α + di. Böylece ( α, u ) t ve ( α, ) kabul eden bi egle yüzey çifti elde etmiş oluuz. u u u = u u u t gibi aynı stiksiyon çizgisini dayanak eğisi ( ) ( ) ( ) ( α, u t ve ) ( α, u t nin otak biim nomal vektöü olmak üzee mekez ) uu,, otonomal çatısı elde edili. noktasında bi { } u u α ( U ) Şekil 4.6 enet çatısı 8

91 a) Biim teğet vektöü ( ) yay paametesine göe tüevlei u ise {,, } u u çatısının vektöleinin stiksiyon çizgisinin 0 κ 0 u = κ 0 τ u u 0 τ 0 u olaak elde edili. Buada doğal eğilik κ = u, doğal buulma τ u =, ve Lancet u eğiliği λ = = κ + τ di. ( u ) stiksiyon çizgisinin teğeti ile biim doğultman vektöü aasındaki açı ϕ olmak üzee olaak yazılabili. u u = cosϕ+ sinϕ ( ) u u ϕ ( u ) Şekil 4.7 Biim teğet vektöü olan ( u ) stiksiyon çizgisinin teğeti ( u ) stiksiyon çizgisi peyodik, yani ( ) = ( + π ) ( u ) eğisini dayanak eğisi kabul eden u t ve u u olsun. Bu duum da ( α, ) u t egle yüzeylei ( α, ) kapalı olula. Böylece ( α, u ) t ve bahsetmek mümkündü. ( α, ) u t egle yüzeyleinin açılım açılaından 8

92 Teoem 4.. u t egle yüzeyinin açılım açısı ρ = ( κcosϕsinϕ τsin ϕ) ( α, ) du, ( α, u ) t egle yüzeyinin açılım açısı ρ = ( κcos ϕ τsinϕcosϕ) di. du İspat: ( α, u ) t egle yüzeyinin açılım açısı ρ = det,, ( α, ) u t egle yüzeyinin açılım açısı cosϕ 0 sinϕ = ϕ sinϕ κcosϕ τsinϕ ϕ cosϕ 0 0 ( ) = κcosϕ τ sinϕ sinϕ ( κcosϕsinϕ τsin ϕ) = ρ = u det,, du cosϕ 0 sinϕ = ϕ sinϕ κcosϕ τsinϕ ϕ cosϕ 0 0 ( ) = κcosϕ τsinϕ cosϕ ( κcos ϕ τ sinϕcosϕ) = du di Sonuç 4.. u t egle yüzeyinin açılım açısı ρ, ( α, ) olmak üzee olmalıdı. ρ ( α, ) = ρ olması için stiksiyon açısı ϕ π, u t egle yüzeyinin açılım açısı π = k k veya ϕ = + πk, k 4 ρ 84

93 İspat: ( cos sin sin ) du ( cos sin cos ) ρ = ρ κ ϕ ϕ τ ϕ = κ ϕ τ ϕ ϕ du cos sin sin cos sin cos κ ϕ ϕ τ ϕ = κ ϕ+ τ ϕ ϕ κcosϕ sinϕ+ cosϕ = τsinϕ sinϕ+ cosϕ ( ) ( ) ve dayanak eğisi stiksiyon çizgisi olan egle yüzeyle için κ cosϕ+ τsinϕ = 0 bağıntısı olduğundan olup buadan veya dı u b) Biim teğet vektöü ( + ) = ( + ) ( ) ( ) ( + ) = κcosϕ sinϕ cosϕ τsinϕ sinϕ cosϕ τ sinϕ sinϕ+ cosϕ = τsinϕ sinϕ+ cosϕ τ sinϕ sinϕ cosϕ 0, τ 0 sinϕ = 0 ϕ = πk, k π sinϕ+ cosϕ = 0 ϕ = + πk, k 4 u u ise {,, } yay paametesine göe tüevlei çatısının vektöleinin stiksiyon çizgisinin 0 τ 0 u = τ 0 κ u u 0 κ 0 u olaak elde edili. Buada doğal eğilik κ = u, doğal buulma τ = u, ve Lancet u eğiliği λ = = κ + τ di. ( u ) stiksiyon çizgisinin teğeti ile biim doğultman vektöü aasındaki açı ϕ olmak üzee = u cos ϕ + u sin ϕ ( ) 85

94 olaak yazılabili. u u Şekil 4.8 Biim teğet vektöü u ϕ olan ( ) u stiksiyon çizgisinin teğeti ( u ) ( u ) stiksiyon çizgisi peyodik, yani ( ) = ( + π) ( u ) eğisini dayanak eğisi kabul eden u t ve u u olsun. Bu duum da α u t egle yüzeylei ( α, ) kapalı olula. Böylece ( u, ) t ve bahsetmek mümkündü. α ( α, ) u t egle yüzeyleinin açılım açısından Teoem 4.. u t egle yüzeyinin açılım açısı ρ = ( κ cos ϕ τ sinϕcosϕ ) ( α, ) du, ( α, u t egle yüzeyinin açılım açısı ( ) ) ρ = κ cosϕsinϕ + τ sin ϕ di. du İspat: ( α, u t egle yüzeyinin açılım açısı det,, ) ρ = sinϕ 0 cosϕ = ϕ cosϕ κ cosϕ τ sinϕ ϕ sinϕ 0 0 ( ) = κ cosϕ + τ sinϕ cosϕdu ( κ cos ϕ τ sinϕcosϕ) = du 86

95 ( α, ) dı u t egle yüzeyinin açılım açısı ρ = u det,, sinϕ 0 cosϕ = ϕ cosϕ κ cosϕ τ sinϕ ϕ sinϕ 0 0 ( ) = κ cosϕ τ sinϕ sinϕdu ( κ cosϕsinϕ τ sin ϕ) = + du Sonuç 4.. u t egle yüzeyinin açılım açısı ρ, ( α, ) ( α, ) u t egle yüzeyinin açılım açısı π olmak üzee ρ = ρ olması için stiksiyon açısı ϕ = π k, k veya ϕ = + πk, k 4 olmalıdı. ρ İspat: ( cos sin cos ) du ( cos sin sin ) ρ = ρ κ ϕ τ ϕ ϕ = κ ϕ ϕ + τ ϕ du cos sin cos = cos sin + sin κ cosϕ sinϕ + cosϕ = τ sinϕ sinϕ + cosϕ κ ϕ τ ϕ ϕ κ ϕ ϕ τ ϕ ( ) ( ) ve dayanak eğisi stiksiyon çizgisi olan egle yüzeyle için bağıntısı olduğundan olup buadan veya κ sinϕ + τ cosϕ = 0 ( + ) = ( + ) ( ) ( ) ( + ) = κ cosϕ sinϕ cosϕ τ sinϕ sinϕ cosϕ τ sinϕ sinϕ + cosϕ = τ sinϕ sinϕ + cosϕ τ sinϕ sinϕ cosϕ 0, τ 0 sinϕ = 0 ϕ = πk, k 87

96 dı π sinϕ + cosϕ = 0 ϕ = + πk, k 4 ii) u = sabit olduğunda, α ( U ) taban yüzey üzeinde elde edilen paametik eği α ( u ) ve biim doğultman vektö ( ) u olmak üzee, ( ) u ( ) ( α, ) t = α u + t u egle yüzeyi elde edili. Biliyouz ki, ( ) u, ( u, ) t egle yüzeyinin stiksiyon çizgisi olmak üzee ( α, u ) t egle yüzeyini teka paametize edileek ( ) u ( ) ( α, ) t = u + t u olaak yazabiliiz. ( u, t ) egle yüzeyinin mekez noktasında ( ) uu eu ile dik olan e α biim vektöünü doğultman ve ( u ) stiksiyon çizgisini dayanak eğisi kabul eden bi α başka egle yüzey ( α, ) u t olsun. O halde, u u t u t u = ( ) ( ) α + di. Böylece ( u, ) t ve α ( α, ) kabul eden bi egle yüzey çifti elde etmiş oluuz. u u u = u u u t gibi aynı stiksiyon çizgisini dayanak eğisi ( ) ( ) ( ) ( α, u t ve ) ( α, u t nin otak biim nomal vektöü olmak üzee mekez ) uu,, otonomal çatısı elde edili. noktasında bi { } 88

97 u u α ( U ) Şekil 4.9 enet çatısı a) Biim teğet vektöü ( ) u ise {,, } çizgisinin yay paametesine göe tüevlei u u çatısının vektöleinin stiksiyon 0 κ 0 u = κ 0 τ u u 0 τ 0 u olaak elde edili. Buada doğal eğilik κ = u, doğal buulma τ u =, ve Lancet eğiliği u λ = = κ + τ di. ( ) u stiksiyon çizgisinin teğeti ile biim doğultman vektöü aasındaki açı ϕ olmak üzee u u = cosϕ+ sinϕ olaak yazılabili. ( ) 89

98 u u ϕ ( u ) Şekil 4.0 Biim teğet vektöü olan ( u ) stiksiyon çizgisinin teğeti ( u ) stiksiyon çizgisi peyodik, yani ( u) = ( u + π) olsun. Bu duum da ( u ) eğisini dayanak eğisi kabul eden ( u, ) t ve α ( α, ) u t egle yüzeylei kapalı olula. Böylece ( u, t ) ve ( u, t ) egle yüzeyleinin açılım açısından α bahsetmek mümkündü. α Teoem 4.. u t egle yüzeyinin açılım açısı ( ρ = κcosϕsinϕ τ sin ϕ ) ( α, ) du, ( α, u t egle yüzeyinin açılım açısı ( ) ) ρ = κcos ϕ τsinϕcosϕ di. du İspat: ( α, u t egle yüzeyinin açılım açısı det,, ) ρ = cosϕ 0 sinϕ = ϕ sinϕ κcosϕ τsinϕ ϕ cosϕ 0 0 ( ) = κcosϕ τ sinϕ sinϕ ( κcosϕsinϕ τsin ϕ) = du 90

99 ( α, ) u t egle yüzeyinin açılım açısı ρ = u det,, cosϕ 0 sinϕ = ϕ sinϕ κcosϕ τsinϕ ϕ cosϕ 0 0 ( ) = κcosϕ τsinϕ cosϕ ( κcos ϕ τ sinϕcosϕ) = du di Sonuç 4.. u t egle yüzeyinin açılım açısı ρ, ( α, ) olmak üzee olmalıdı. ρ ( α, ) = ρ olması için stiksiyon açısı ϕ π, u t egle yüzeyinin açılım açısı π = k k veya ϕ = + πk, k 4 ρ İspat: ( cos sin sin ) du ( cos sin cos ) ρ = ρ κ ϕ ϕ τ ϕ = κ ϕ τ ϕ ϕ du cos sin sin cos sin cos κ ϕ ϕ τ ϕ = κ ϕ+ τ ϕ ϕ κcosϕ sinϕ+ cosϕ = τsinϕ sinϕ+ cosϕ ( ) ( ) ve dayanak eğisi stiksiyon çizgisi olan egle yüzeyle için bağıntısı olduğundan olup buadan veya κ cosϕ+ τsinϕ = 0 ( + ) = ( + ) ( ) ( ) ( + ) = κcosϕ sinϕ cosϕ τsinϕ sinϕ cosϕ τ sinϕ sinϕ+ cosϕ = τsinϕ sinϕ+ cosϕ τ sinϕ sinϕ cosϕ 0, τ 0 sinϕ = 0 ϕ = πk, k π sinϕ+ cosϕ = 0 ϕ = + πk, k 4 9

100 dı u b) Biim teğet vektöü u u ise {,, } yay paametesine göe tüevlei çatısının vektöleinin stiksiyon çizgisinin 0 τ 0 u = τ 0 κ u u 0 κ 0 u olaak elde edili. Buada doğal eğilik κ = u, doğal buulma τ = u, ve Lancet eğiliği u λ = = κ + τ di. ( ) u u stiksiyon çizgisinin teğeti ile biim doğultman vektöü aasındaki açı ϕ olmak üzee = u cos ϕ + u sin ϕ olaak yazılabili. ( ) u u Şekil 4. Biim teğet vektöü olan ( ) u stiksiyon çizgisinin teğeti u ϕ ( u ) ( u ) stiksiyon çizgisi peyodik, yani ( u) = ( u + π ) olsun. Bu duum da ( u ) eğisini dayanak eğisi kabul eden ( u, ) t ve α ( α, ) u t egle yüzeylei kapalı olula. Böylece ( u, t ) ve ( u, t ) egle yüzeyleinin açılım uzunluğundan α bahsetmek mümkündü. α 9

101 Teoem 4..4 u t egle yüzeyinin açılım açısı ρ = ( κ cos ϕ τ sinϕcosϕ ) ( α, ) du, ( α, u t egle yüzeyinin açılım açısı ( ) ) ρ = κ cosϕsinϕ + τ sin ϕ di. du İspat: ( α, u t egle yüzeyinin açılım açısı det,, ) ρ = ( α, ) dı u t egle yüzeyinin açılım açısı ρ = sinϕ 0 cosϕ = ϕ cosϕ κ cosϕ τ sinϕ ϕ sinϕ 0 0 ( ) = κ cosϕ + τ sinϕ cosϕdu ( κ cos ϕ τ sinϕcosϕ) = u det,, ( ) ( κ cosϕsinϕ τ sin ϕ) du sinϕ 0 cosϕ = ϕ cosϕ κ cosϕ τ sinϕ ϕ sinϕ 0 0 = κ cosϕ τ sinϕ sinϕdu = + du Sonuç 4..4 u t egle yüzeyinin açılım açısı ρ, ( α, ) ( α, ) u t egle yüzeyinin açılım açısı π olmak üzee ρ = ρ olması için stiksiyon açısı ϕ = π k, k veya ϕ = + πk, k 4 olmalıdı. ρ 9

102 İspat: ( cos sin cos ) du ( cos sin sin ) ρ = ρ κ ϕ τ ϕ ϕ = κ ϕ ϕ + τ ϕ du cos sin cos = cos sin + sin κ cosϕ sinϕ + cosϕ = τ sinϕ sinϕ + cosϕ κ ϕ τ ϕ ϕ κ ϕ ϕ τ ϕ ( ) ( ) ve dayanak eğisi stiksiyon çizgisi olan egle yüzeyle için bağıntısı olduğundan olup buadan veya dı κ sinϕ + τ cosϕ = 0 ( + ) = ( + ) ( ) ( ) ( + ) = κ cosϕ sinϕ cosϕ τ sinϕ sinϕ cosϕ τ sinϕ sinϕ + cosϕ = τ sinϕ sinϕ + cosϕ τ sinϕ sinϕ cosϕ 0, τ 0 sinϕ = 0 ϕ = πk, k π sinϕ + cosϕ = 0 ϕ = + πk, k 4 4. Dağılma (Distibüsyon) Paametesi Teoem 4.. : U E ( α, ) ( u, u, t) ( u, u, t) = α( u, u ) + t( u, u ) ( α, ) paalel olmayan bi doğu kongüansı olsun. σ ( u, u ), ( u, u ) = 0 olacak şekilde öyle bi σ = σ ( u, u) yüzeyi bulunabili ki kongüansı teka paametize edileek u u t u u t u u (,, ) = σ α + olaak yazılabili. Buada, α ( u, u), ( u, u) σ( u, u) = α( u, u) ( u, u) u (, u) α 94

103 yüzeyine, ( α, ) kongüansının stiksiyon (boğaz) yüzeyi veya mekez yüzeyi deni. İspat: paalel olmayan bi doğu kongüansı olduğundan ( u, u ) ( α, ), 0 U için ( u u ) dı ve genelliği bozmayacağı için ( u u ) ( u u ) ( u u ), =,,, = alabiliiz. Buada he iki taafın difeensiyeli alınısa ( u, u), ( u, u) + ( u, u), ( u, u) = 0 ( u, u), ( u, u) = 0 u, u, u, u = 0 bulunu. yüzeyi ( ) ( ) u u U için σ ( u, u), ( u, u) = 0 σ( u, u ) = α( u, u ) + v( u, u ) ( u, u ) olacak şekilde öyle bi σ olaak alalım ve difeensiyeli alınısa σ( u, u ) = α( u, u ) + v( u, u ) ( u, u ) + v( u, u ) ( u, u ) olu ve he iki taafı u (, u ) ile iç çapasak, σ( u, u ), ( u, u ) = α( u, u ) + v( u, u ) ( u, u ) + v( u, u ) ( u, u ), ( u, u ) ve u u U için σ ( u, u), ( u, u) = 0 olduğundan α( u, u) + v( u, u) ( u, u) + v( u, u) ( u, u), ( u, u) = 0 α ( u, u), ( u, u) + v( u, u) ( u, u), ( u, u) + v( u, u) ( u, u), ( u, u) = ( u, u) α( u, u), ( u, u) + v( u, u) ( u, u ) = 0 (4..) olu. ( α, paalel olmayan bi doğu kongüansı olduğundan u ( ), u) u (, u ) 0 olduğundan u (, u ) ve u (, u ) linee bağımsızdı. Dolayısıyla u (, u ) 0 dı. Öyleyse (4..) ifadesinden 95

104 () vt = α ( u, u), ( u, u) u (, u) olaak bulunu. Dolayısıyla, yazılabili ( u, u, t) = u,, u, v( u, u) + t α = α( u, u) + ( v( u, u) + t) ( u, u) = α( u, u) + v( u, u) ( u, u) + t( u, u) ( ) ( ) α ( u, u) = σ ( u, u ) + t( u, u ) σ Teoem 4.. u (, u ) vektöü, ( σ, doğu kongüansının σ ( u ), u ) noktasındaki σ yüzeyinin teğetine dik olan vektöe paaleldi (Izumiya 00). İspat: σ yüzeyinin σ ( u, u ) noktasındaki teğeti σ ( u, u) olup σ ( u, u), ( u, u) = 0 olduğundan σ ( u, u) ( u, u) di. Dolayısıyla u (, u ) vektöü, ( α, doğu ) kongüansının σ ( u, u ) noktasındaki σ yüzeyinin teğetine dik olan vektöe paaleldi Teoem 4.. ( α, ) paalel olmayan bi doğu kongüansı olsun. ( α, kongüansının ) stiksiyon yüzeyi, taban yüzeyinin seçilişinden bağımsızdı. İspat: ( α, paalel olmayan bi doğu kongüansının faklı bi taban yüzeyi α olmak üzee, ) ( u, u, t) U için u u t = α u u + t u u = α u u + s u u (4..) α (,, ) (, ) yazılabili. Buada s = s() t olup bu yeni yazılama göe yüzeyi olsun. σ = olduğunu gösteeceğiz. Teoem 4.. den ( α, kongüansının stiksiyon ) 96

105 α, α, σ α = α α, α, ( α α) = α α, = ( α α) + olup (4..) dan ve buadan olacağından ( s ) α α = t ( ) α α = s t ( t s), σ = ( s t) + = 0 = 0 olaak bulunu Tanım 4.. ( α, taban yüzeyi stiksiyon yüzeyi olan paalel olmayan bi doğu ) kongüansı olsun. O halde ( α, doğu kongüansının distibüsyon paametesi ) σ ( u, u) ( u, u), ( u, u) ρ( u, u) = u (, u) (4..) det ( σ ( u, u), ( u, u), ( u, u) ) = u (, u) ile tanımlı fonksiyondu. Şimdi : U E E ( α, ) ( u, u, t) ( u, u, t) = α( u, u ) + t( u, u ) ( α, ) 97

106 ile tanımlı doğu kongüansında α ( U ) yüzeyinin paamete eğilei eğilik çizgilei olsun. O zaman u = sabit olduğunda, α ( U ) taban yüzeyi üzeinde elde edilen kapalı paamete eğisi ( u bu eğinin yay paametesi olaak alınabili) ( ) α( u, u ) = α u ve u = sabit olduğunda, α ( U ) taban yüzeyi üzeinde elde edilen kapalı diğe paamete eğisi ( u bu eğinin yay paametesi olaak alınabili) ( ) α( u, u ) = α u olmak üzee he bi eği boyunca doğula egle yüzeyle oluştuu ve u ile u paametelei aasındaki ilişkiyi bi eği ile bi egle yüzeyle belileyebiliiz. Şimdi bu ilişkiyi tanımlamak için elde edilen egle yüzeylein dağılma (distibüsyon) paameteleini bulalım. i) u = sabit olduğunda, α ( U ) taban yüzey üzeinde elde edilen paametik eği α ( u ) ve biim doğultman vektö ( ) u olmak üzee, ( ) u ( ) ( α, ) t = α u + t u egle yüzeyi elde edili. Biliyouz ki, ( ) u, ( α, u ) t egle yüzeyinin stiksiyon çizgisi olmak üzee ( α, u ) t egle yüzeyini teka paametize edileek ( ) u ( ) ( α, ) t = u + t u olaak yazabiliiz. u t egle yüzeyinin mekez noktasında ( ) ( α, ) u u ile dik olan biim vektöünü doğultman ve ( u ) stiksiyon çizgisini dayanak eğisi kabul eden bi başka egle yüzey ( α, ) u t olsun. O halde, u u t = u + t u ( ) ( ) ( α, ) di. Böylece ( α, u ) t ve ( α, ) kabul eden bi egle yüzey çifti elde etmiş oluuz. u u u = u u u t gibi aynı stiksiyon çizgisini dayanak eğisi ( ) ( ) ( ) 98

107 ( α, u ) t ve ( α, u ) t nin otak biim nomal vektöü olmak üzee mekez uu,, otonomal çatısı elde edili. noktasında bi { } α ( U ) Şekil 4. enet çatısı a) Biim teğet vektöü ( ) u ise {,, } u u çatısının vektöleinin stiksiyon çizgisinin yay paametesine göe tüevlei u 0 κ 0 κ 0 τ u u = 0 τ 0 u u olaak elde edili. Buada doğal eğilik κ = u, doğal buulma τ u =, ve Lancet u eğiliği λ = = κ + τ di. ( u ) stiksiyon çizgisinin teğeti ile biim doğultman vektöü aasındaki açı ϕ olmak üzee u u = cosϕ+ sinϕ ( ) 99

108 olaak yazılabili. u u ϕ ( u ) Şekil 4. Biim teğet vektöü olan ( u ) stiksiyon çizgisinin teğeti Dayanak eğisi stiksiyon çizgisi olan egle yüzeyle için κ cosϕ+ τsinϕ = 0 bağıntısı vadı. Lancet eğiliğini kullanaak bağıntılaını elde edeiz. κ = ± λsin ϕ, τ =± λcosϕ (4..4) Teoem 4..4 u t egle yüzeyinin dağılma paametesi ( α, ) ( α, ) di. u t egle yüzeyinin dağılma paametesi sinϕ P =, κ cosϕ P = τ İspat: det,, ( α, u ) t egle yüzeyinin dağılma paametesi P = 00

109 ( α, ) u t egle yüzeyinin dağılma paametesi κ 0 cosϕ 0 sinϕ = u κ κsinϕ = κ sinϕ = κ u u det,, P = u dı τ 0 cosϕ 0 sinϕ = u τ τ cosϕ = τ cosϕ =, τ 0 τ Sonuç 4.. u t egle yüzeyinin dağılma paametesi P, ( α, ) ( α, ) u t egle yüzeyinin dağılma paametesi P olmak üzee P = P dı. İspat: (4..4) eşitliğinden κ =± λsinϕ olduğundan P = sinϕ κ 0

110 sinϕ P = ± λ sinϕ =± λ ve benze şekilde (4..4) eşitliğinden τ = ± λcosϕ olduğundan cosϕ P = τ cosϕ = ± λ cosϕ =± λ olaak bulunu. Buadan P = P olaak yazabiliiz u b) Biim teğet vektöü u u ise {,, } yay paametesine göe tüevlei çatısının vektöleinin stiksiyon çizgisinin 0 τ 0 u = τ 0 κ u u 0 κ 0 u olaak elde edili. Buada doğal eğilik κ = u, doğal buulma τ u =, u ve Lancet eğiliği u λ = = κ + τ di. ( ) u stiksiyon çizgisinin teğeti ile biim doğultman vektöü aasındaki açı ϕ olmak üzee ( u ) = cosϕ + sinϕ olaak yazılabili. 0

111 u u ϕ ( u ) Şekil 4.4 Biim teğet vektöü u olan ( ) u stiksiyon çizgisinin teğeti Dayanak eğisi stiksiyon çizgisi olan egle yüzeyle için κ sinϕ + τ cosϕ = 0 bağıntısı vadı. Lancet eğiliği kullanılaak bağıntılaını elde edeiz. κ =± λ cos ϕ, τ =± λ sinϕ (4..5) Teoem 4..5 u t egle yüzeyinin dağılma paametesi ( α, ) ( α, ) di. u t egle yüzeyinin dağılma paametesi cosϕ P =, τ sinϕ P = κ İspat: det,, ( α, u ) t egle yüzeyinin dağılma paametesi P = 0

112 ( α, ) u t egle yüzeyinin dağılma paametesi τ 0 sinϕ 0 cosϕ = u τ τ cosϕ = τ cosϕ =, τ 0 τ P u u det,, = u dı κ 0 sinϕ 0 cosϕ = u κ κ sinϕ = κ sinϕ = κ Sonuç 4.. u t egle yüzeyinin dağılma paametesi P, ( α, ) ( α, ) u t egle yüzeyinin dağılma paametesi P olmak üzee P = P dı. İspat: (4..5) eşitliğinden τ =± λ cosϕ olduğundan 04

113 cosϕ P = τ cosϕ = ± λ cosϕ =± λ ve benze şekilde (4..5) eşitliğinden κ =± λ sinϕ olduğundan sinϕ P = κ sinϕ = ± λ sinϕ =± λ olaak bulunu. Buadan P = P olaak yazabiliiz ii) u = sabit olduğunda, α ( U ) taban yüzey üzeinde elde edilen paametik eği α ( u ) ve biim doğultman vektö ( ) u olmak üzee, ( ) u ( ) ( α, ) t = α u + t u egle yüzeyi elde edili. Biliyouz ki, ( ) u, ( α, u ) t egle yüzeyinin stiksiyon çizgisi olmak üzee ( α, u ) t egle yüzeyini teka paametize edileek ( ) u ( ) ( α, ) t = u + t u olaak yazabiliiz. u ( α, u ) t egle yüzeyinin mekez noktasında ( u ) ile dik olan biim vektöünü doğultman ve ( u ) stiksiyon çizgisini dayanak eğisi kabul eden bi başka egle yüzey ( α, ) u t olsun. O halde, u u t u t u = ( ) ( ) α + di. Böylece ( α, u ) t ve ( α, ) kabul eden bi egle yüzey çifti elde etmiş oluuz. u u u = u u u t gibi aynı stiksiyon çizgisini dayanak eğisi ( ) ( ) ( ) 05

114 ( α, u ) t ve ( α, u ) t nin otak biim nomal vektöü olmak üzee mekez uu,, otonomal çatısı elde edili. noktasında bi { } u u α ( U ) Şekil 4.5 enet çatısı a) Biim teğet vektöü ( ) u ise {,, } çizgisinin yay paametesine göe tüevlei u u çatısının vektöleinin stiksiyon 0 κ 0 u = κ 0 τ u u 0 τ 0 u olaak elde edili. Buada doğal eğilik κ = u, doğal buulma τ u =, ve Lancet eğiliği u λ = = κ + τ di. ( ) u stiksiyon çizgisinin teğeti ile biim doğultman vektöü aasındaki açı ϕ olmak üzee u u = cosϕ+ sinϕ olaak yazılabili. ( ) 06

115 u u ϕ ( u ) Şekil 4.6 Biim teğet vektöü u olan ( ) u stiksiyon çizgisinin teğeti Dayanak eğisi stiksiyon çizgisi olan egle yüzeyle için κ cosϕ+ τsinϕ = 0 bağıntısı vadı. Lancet eğiliğini kullanaak bağıntılaını elde edeiz. κ = ± λsin ϕ, τ =± λcosϕ (4..6) Teoem 4..6 u t egle yüzeyinin dağılma paametesi ( α, ) ( α, ) di. u t egle yüzeyinin dağılma paametesi sinϕ P =, κ cosϕ P = τ İspat: det,, ( α, u ) t egle yüzeyinin dağılma paametesi P = 07

116 ( α, ) u t egle yüzeyinin dağılma paametesi κ 0 cosϕ 0 sinϕ = u κ κsinϕ = κ sinϕ = κ u u det,, P = u dı τ 0 cosϕ 0 sinϕ = u τ τ cosϕ = τ cosϕ =, τ 0 τ Sonuç 4.. u t egle yüzeyinin dağılma paametesi P, ( α, ) ( α, ) u t egle yüzeyinin dağılma paametesi P olmak üzee P = P dı. İspat: (4..6) eşitliğinden κ =± λsinϕ olduğundan 08

117 sinϕ P = κ sinϕ = ± λ sinϕ =± λ ve benze şekilde (4..6) eşitliğinden τ = ± λcosϕ olduğundan cosϕ P = τ cosϕ = ± λ cosϕ =± λ olaak bulunu. Buadan P = P olaak yazabiliiz u b) Biim teğet vektöü u u ise {,, } yay paametesine göe tüevlei çatısının vektöleinin stiksiyon çizgisinin 0 τ 0 u = τ 0 κ u u 0 κ 0 u olaak elde edili. Buada doğal eğilik κ = u, doğal buulma τ = u, ve Lancet eğiliği u λ = = κ + τ di. ( ) u stiksiyon çizgisinin teğeti ile biim doğultman vektöü aasındaki açı ϕ olmak üzee = u cos ϕ + u sin ϕ olaak yazılabili. ( ) 09

118 u u ϕ ( u ) Şekil 4.7 Biim teğet vektöü u olan ( ) u stiksiyon çizgisinin teğeti Dayanak eğisi stiksiyon çizgisi olan egle yüzeyle için κ sinϕ + τ cosϕ = 0 bağıntısı vadı. Lancet eğiliği kullanılaak bağıntılaını elde edeiz. κ =± λ cos ϕ, τ =± λ sinϕ (4..7) Teoem 4..7 u t egle yüzeyinin dağılma paametesi ( α, ) ( α, ) di. u t egle yüzeyinin dağılma paametesi cosϕ P =, τ sinϕ P = κ İspat: det,, ( α, u ) t egle yüzeyinin dağılma paametesi P = = τ 0 sinϕ 0 cosϕ τ u 0

119 ( α, ) u t egle yüzeyinin dağılma paametesi P τ cosϕ = τ cosϕ =, τ 0 τ u u det,, = u dı κ 0 sinϕ 0 cosϕ = u κ κ sinϕ = κ sinϕ = κ Sonuç 4..4 u t egle yüzeyinin dağılma paametesi P, ( α, ) ( α, ) u t egle yüzeyinin dağılma paametesi P olmak üzee P = P dı. İspat: (4..7) eşitliğinden τ =± λ cosϕ olduğundan cosϕ P = τ cosϕ = ± λ cosϕ =± λ ve benze şekilde (4..7) eşitliğinden κ =± λ sinϕ olduğundan

120 sinϕ P = κ sinϕ = ± λ sinϕ =± λ olaak bulunu. Buadan P = P olaak yazabiliiz 4.4 Boğaz Noktası : U E ( α, ) ( u, u, t) ( u, u, t) = α( u, u ) + t( u, u ) ( α, ) ile tanımlı doğu kongüansında, α ( U ) taban yüzeyinin biim nomal vektöü eu (, u ) olmak üzee ( u, u) U için u (, u) = eu (, u ) olsun. O halde e e e, e = edu u + edu u, edu u + edu u, eu = ve e = u du du = eu, e u du + eu, e u du du + eu, e u du E G = Edu + du du + Gdu (4.4.) olaak yazabiliiz. Diğe bi önemli ikinci deeceden ifade ise di. α α, e = α du + α du, e du + e du, α = ve α = α u u u u u u du du u, e u du ( u, e, ) u u e u dudu u, e u du a b b c = α + α + α + α = adu + ( b + b ) du du + cdu (4.4.) Ayıca, α( U ) taban yüzeyi üzeinde he bi u ve u bağımsız paametesine kaşılık sonsuz sayıda eği elde edili. Bu eğile boyunca geçen doğu kongüansına ait doğula sonsuz sayıda egle yüzey oluştuu. Bu egle yüzeylein ailesine yüzey kongüansı deni.

121 e+ e α ( u + du, u + du ) α e α ( u, u ) C α ( U ) Şekil 4.8 Komşu ana doğula O halde, taban yüzey üzeinde s yay paametesi ile tanımlı bi eği C olsun. α ile α( u + du, u + du ) = α + α, C eğisinin komşu iki noktası ve e ile e+ e bu noktaladaki doğultman vektöledi. e+ e α ( u + du, u + du ) α e α ( u, u ) Şekil 4.9 Komşu ana doğulaın otak dikmesi C Komşu ana doğulaın otak dikmesi doğultusundaki biim vektö

122 e+ e e e e e e = = e+ e e e e e ( ) ( ) olup komşu doğula aasındaki en kısa uzaklık α nın e e e (4.4.) vektöü üzeindeki dik izdüşümüdü. O halde, en kısa uzaklık = α, e e k e olaak bulunu. Buada ( α ) det,, = ee e ( α ) (4.4.4) det, ee, = 0 olması egle yüzeyinin bi doğultman boyunca teğet düzlemlein aynı olduğunu göstei. Dolayısıyla bu sayede C eğisi üzeine kuulan egle yüzeyin açılabili olması için geek ve yete koşuldu. Regle yüzeydeki, mekez (boğaz) noktasının ye vektöü α, dayanak eğisi C nin ye vektöü α, doğultman vektöü e ve mekez noktasının dayanak eğisine uzaklığı t cinsinden α( u, u, t ) = α( u, u ) + t e ( u, u ) olaak ifade edilebili. Regle yüzeyin ilk ikisi e ve e+ e olan komşu üç ana doğusu veilsin. R e+ e α + α Q R e Q α ( u, u) C Şekil 4.0 Komşu ana doğulaın otak dikme ayaklaı 4

123 Q ile Q ve R ile R komşu ana doğulaın otak dikmeleinin ana doğula üzeindeki uuuu ayaklaı olsun. İlk iki komşu ana doğunun otak dikmesi QQ ve bu yöndeki vektö e+ e e= e e uuuu uuuu QQ e e ve QQ e di. olup //( ) λ olmak üzee = λ ( + ) ( ) uuu QR e e olup he iki taafı e ile çapasak uuu QR, e = λ ( e+ e), e = λ e, e + λ e, e 0 = λ e, e olu ve limit halinde QR uuu uuuu uuu vektöü ile QQ vektöü çakışı. Bu yüzden, QR e ve uuu QR ( e + e ) olacağından uuu QR, e = 0 (4.4.5) yazılabili. Böylece QR uuu, stiksiyon çizgisinin teğeti olu ve bu teğet e ye dikti. Ayıca α( u, u, t ) = α( u, u ) + t e ( u, u ) ifadesinin tüevi alınısa α = α + dte+ t e bulunu. Bu duumda (4.4.5) den, 0 = α, e 0 = α + dte+ t e, e 0 = α, e + dt e, e + t e, e 0 0 = α, e + t e, e ve buadan α, t = e e, e yazılabili. 5

124 Eğe i) e, e = 0 ise egle yüzeyin stiksiyon çizgisi yoktu. Bu duumda egle yüzey bi silindidi. Bu tipten olan yani, stiksiyon çizgisi olmayan egle yüzeye Tanjant Yüzey deni. ii) α, e = 0 ise stiksiyon çizgisi dayanak eğisi olu. (4.4.) ve (4.4.) den elde edili. adu + ( b + b ) du du + cdu t = Edu du du Gdu + + (4.4.6) t taafından tanımlanan nokta doğultman üzeindeki egle yüzeyin mekez (boğaz) du noktasıdı. Mekez (boğaz) noktasının, taban yüzeyinden t uzaklığı du fonksiyonudu. Öyleki; bu değe, taban eğisi C boyunca α noktası ile değişi. nin bi du t uzaklığı oanının iki değei için maksimum yada minimum değeini alı. Bu du değelei bulmak için adu + ( b + b ) du du + cdu t = Edu + du du + Gdu = du du + ( + ) + du du a b b c du du + + E G du du du olup du ye göe alını, du du du du du du a ( b+ b ) E + + G E + a ( b+ b ) c du du du du du du t = du du E + + G du du ve t nin tüevi sıfıa eşitlenise elde edili. [ ] ( ) [ ] a E( b + b ) du + Ga Ec du du + G( b + b ) c du = 0 (4.4.7) 6

125 du (4.4.7) denkleminden du du için (4.4.6) ve (4.4.7) den du nin iki değei elde edili. t nin sabit değeleini bulabilmek kaybedilise ( ) ( ) H t + Ec b + b + Ga t + ac + = 0 4 b b (4.4.8) olup bu denklemin köklei t nın maksimum ve minimum değeleidi. Bu değelein Toplam = t Çapım = t t ( ) + = H b+ b Ec Ga ( ) 4ac b + b t = 4H (4.4.9) dı. t nın bu değelei ile tanımlı doğultman üzeindeki noktalaa doğultmanın sınılaı deni. Bu sınıla, doğu kongüansının, he bi eği boyunca adışık doğulaın dikme ayağını içeen doğu paçasının sınılaıdı. Önek 4.. xoy-düzleminde, mekezi ojin olan bi çembe iç bölgesi ile belitiği bölge taban yüzey ve çembein eksenini ise Oz-ekseni olaak alalım. Doğu kongüansındaki bi doğu, çembein üzeindeki P noktasından geçsin. Eksen üzeindeki bi Q noktasının ojine uzaklığı u ve xop açısı da θ olsun. z Q u x O θ P y Şekil 4. Mekezi ojin ve ekseni Oz-ekseni olan çembe O halde u ile θ yı doğu kongüansının paametelei olaak alalım. Bu yüzden, yaıçaplı çembein P noktasının ye vektöü 7

126 ( u, ) = ( cos, sin,0) α θ θ θ ve doğu kongüansındaki doğulaın PQ yönündeki biim doğultman vektöü e u u + u (, θ) = ( cos θ, sin θ, ) olu. O halde -paameteli doğulaın ailesi u t u te u olaak tanımlıdı. Buadan (, θ, ) = α ( ) (, θ) + (, θ) α, e ve E = e, e =, = e, e = 0, G = e, e = ( + u ) + u a= α, e = 0, b= α, e = 0, b = α, e = 0, c= α, e = + u olaak buluuz. P noktasından sınılaın uzaklığını veen denkleminden olup t = 0 ve ( ) ( ) H t + Ec b + b + Ga t + ac + = 0 4 b b t + u t =0 t u olaak elde edili. Buadan sını noktalaının P ve Q = + noktalaı olduğunu söyleyebiliiz. dud θ = 0 olduğunda [ ] ( ) θ [ ] = a E( b b ) du Ga Ec dud G( b b ) c d θ 0 difeensiyel denklemi esas yüzeyle için basit hale geli. Böylece (i) d θ = 0 için kaşılık gelen doğu boyunca esas yüzey, çembein ekseni ile doğuyu içeen POQ düzlemdi. (ii) du = 0 için kaşılık gelen esas yüzey, Q boyunca adışık doğula ve PQ yu içeen düzlemdi. Bu esas düzlemle bibiine diktile. Bu esas yüzeyle eksen boyunca düzlemle olup veilen daie boyunca geçen doğula ve eksen üzeindeki köşelele bie konidile. 8

127 4.5 Hamilton omüllei Asimtotik düzlemlein θ açısı ile boğaz noktasının t uzaklığı aasındaki bağıntı ilk defa W. R. HAMİLTON taafından bulunmuştu. : U ( α, ) ( u, u, t) ( u, u, t) = α( u, u ) + t( u, u ) ( α, ) ile tanımlı doğu kongüansında, α ( U ) taban yüzeyinin biim nomal vektöü eu (, u ) olmak üzee ( u, u) U için u (, u) = eu (, u ) ve u ile u paameteleini öyle seçelim ki α( U ) esas yüzeyin paamete eğilei olsun. Yani, u = sabit ve u = sabit olsun. O halde (4.4.7) denklemi ile veilen esas yüzeyde dudu = 0 dı. Böylece (4.4.7) denklemi olup buadan [ ] [ ] a E( b + b ) du + G( b + b ) c du = 0 (4.5.) a E( b + b ) = 0 (4.5.) Gb ( + b ) c= 0 olu. (4.5.) daki ikinci deeceden denklemin katsayılaı oantılı olmadığından = 0 ve b+ b = 0 (4.5.) dı. (4.5.) deki = 0 olması e, e = 0 olmasını geektii ki bu ise bize α( U ) u u yüzeyinin, otogonal eğilele biim küe üzeinde temsil edilebileceğini söyle. Doğultmanlaı e ile e+ e olan komşu ana doğulaının, otak dikmesi ayağı e ile e ye de dikti. Bu otak dikme aynı zamanda e ile e ye de dikti. Aynı zamanda e ile e e biim vektölei bi biine dikti. Buada e = e, e di. Bu duumda komşu e ana doğulaın, otak dikmesi yönündeki biim vektö e e di. Ayıca e yi yüzeyin e biim nomali olaak alısak 9

128 e e e e e EG u u =, u = u eu e u e e u u =, EG = H EG eu e u = H olacağından e du du e u e u e= eu + e u e e e H 0 E G ( eu, e, ) + (,, ) u e u e u e u e u du e u e u e u e u e u e u du = e H (4.5.4) ve =0 ile H = EG olduğundan e Ge du Ee du e = σ e EG u u (4.5.5) di. du ile du ve paamete eğileiyle, komşu ana doğulaın sını noktalaı elde edili. Bundan dolayı u = sabit ve u = sabit paameteleine kaşılık gelen eğilein yay uzunluklaı, sıasıyla, e = Edu ve e = Gdu di. Böylece (4.5.5) den komşu doğulaın sını noktalaında e u ve e u (4.5.6) G E teğet vektölei elde edili ki bu vektöle bibiine dikti. Komşu ana doğula boyunca doğu kongüansının taban yüzeyinin paamete eğileini dayanak eğisi olaak kabul eden egle yüzeyin tanjant düzlemi, e ye paalel ve e u ile e u vektöleine G E de dikti. O halde taban yüzey α ( U ) nun he egüle noktasında e, e = e u G vektöleiyle haeketli bi Daboux Çatısı oluştuabiliiz. e = e u E ve 0

129 e e e α ( U ) Şekil 4. Daboux çatısı u = sabit alınmasıyla elde edilen yay paameteli eğinin yüzey üzeindeki tanjant vektöü e, e, e vektöleinin, sıasıyla, tüevileini alısak Daboux Çatısı e olmak üzee { } e 0 τ κ e τ 0 0 = e e e κ 0 0 e olaak elde edili. Buada nomal eğilik κ = a E ve geodezik eğilik E u τ = E G di. (4.5.7) u = sabit alınmasıyla elde edilen yay paameteli eğinin yüzey üzeindeki tanjant vektöü e, e, e vektöleinin tüevleini alısak e olmak üzee { } e 0 τ 0 e τ 0 κ = e e e 0 κ 0 e (4.5.8)

130 Daboux Çatısı elde edili. Buada nomal eğilik κ = c G ve geodezik eğilik G u τ = di. Ayıca α ( U ) taban yüzeyinin eğiliklei çizgileinin değişmez G E değelei κ,κ,τ ve τ dı. Ayıca, θ açısı, genel duumda (4.5.5) deki otak dikme e yönündeki biim vektöün e olduğunu biliyouz. σ - du = 0 olması duumunda elde edilen esas yüzey için Ge du Ee du cos θ = eu, G e EG u u 0 G G e, e du + E e, e du = e EG u u u u = E du e olup he iki taafın kaesi alınısa Edu + Gdu cos θ = Edu di. - du = 0 olması duumunda elde edilen esas yüzey için Ge du Ee du sin θ = eu, E e EG u u E G e, e du E e, e du = e EG u u u u (4.5.9) sinθ = G du e olup he iki taafın kaesi alınısa Edu + Gdu sin θ = Gdu (4.5.0) olaak bulunu. Ayıca, paamete seçimiyle komşu ana doğulaın, otak dikmesinin esas doğu üzeindeki ayağının taban yüzeyinden t uzaklığı (4.4.6) den

131 0 678 adu + ( b + b ) dudu + cdu t = Edu + { dudu + Gdu adu = Edu dı. du = 0 ile du = 0 koşullaı ile 0 + cdu + Gdu t = a E ve t = c G yazılabili. Bu ise (4.5.9) ve (4.5.0) dan adu t = Edu + cdu + Gdu a Edu c Gdu = { E Edu + Gdu { G Edu + Gdu t t cos sin θ θ (4.5.) tcos θ t sin θ (4.5.) = + yazılabili. (4.5.) denklemi ile veilen Hamilton fomülü, paamete seçiminden bağımsız ve doğunun mekez (boğaz) noktasının yeini vei. Aynı zamanda doğultu vektöü değişise t, t ve t uzaklıklaı aynı miktada değişi ve fomül hala geçelidi. 4.6 okal Yüzey : U E ( α, ) ( u, u, t) ( u, u, t) = α( u, u ) + t( u, u ) ( α, ) ile tanımlı doğu kongüansında, α ( U ) taban yüzeyinin biim nomal vektö alanı eu u olmak üzee ( u, u ) U için u (, u) = eu (, u ) olsun. Doğu boyunca odağın taban yüzeyinden uzaklığı ρ olmak üzee odak noktası (,, ) (, u u ρ = α u u) + ρe( u, u ) (4.6.) ( α, e) ile belilidi. akat doğu üzeinde sınıa yaklaşıldığında ( u,, ) ( α, ) u ρ nin e eu e u difeensiyeli e = ye paalel olu. O halde H

132 = α + dρe+ ρ e ( α, e) = ( α du α du ) dρe( u, u ) ρ( e du e du ) olup e ye paalel olduğundan e ve e ye dikti. Böylece ( α, e yi e ile ) u u vektölei ile skala çapa ve düzenlesek ( ) ( ) adu+ bdu + ρ( Edu+ du) = 0 b du cdu du Gdu + + ρ( + ) = 0 u e u (4.6.) (4.6.) du denklemleini elde edeiz. Bu iki denklemden, ρ ile du İlk olaak (4.6.) den ρ yi otadan kaldıısak adu + bdu b du + cdu Edu + du du + Gdu değelei elde edili. = 0 (4.6.4) du denklemi elde edili ki bu denklem du ye göe ikinci deeceden olup açılabili bi egle yüzey için eel yada sanal iki doğultu beliti. Böylece kongüansın hebi doğusu boyunca, açılabili iki egle yüzey vadı öyleki bunlaın hebii kendi sınıındadı. Kongüansın he bi doğusu uzaydaki iki eğinin tanjantıdı. Temas noktalaı, doğunun fokal noktalaıdı. Doğulaın odaklaının geometik yeine kongüansın fokal yüzeyi deni ve fokal yüzey, doğu kongüansının tüm doğulaını kese. du Şimdi de (4.6.) den du uzaklığını veen yi otadan kaldıısak, taban yüzeyinden iki odağın ρ a+ Eρ b+ ρ = 0 (4.6.5) b + ρ c+ Gρ yada ρ ( ) ρ ( ) H + Ec b + b + Ga + ac bb = (4.6.6) ikinci deeceden denklemini elde edeiz. 0 4

133 (4.6.6) in köklei ρ ve ρ, ρ nın maksimum ve minimum değeleidi. Bu değelein toplama ve çapımı ( ) b+ b Ec Ga Toplam = ρ+ ρ = H ac bb Çapım = ρ ρ = H dı. Bu elde edilen denklemlei (4.4.9) denklemi ile kaşılaştıısak t+t = ρ+ ρ ( t-t ) -( ρ ρ ) ( b b ) = H (4.6.7) (4.6.8) olduğunu göüüz. t+t =ρ + ρ den, t ile t sınılaı aasındaki ota noktadan geçen doğu aynı zamanda odakla aasındadı. Kongüansın bütün doğulaının ota noktalaının geometik yeine, kongüansın ota yüzeyi deni. ( ) ( t-t ) -( ρ ρ) = b b H denklemi odakla aasındaki uzaklık, sını noktala aasındaki uzaklıktan asla büyük değildi. Bu iki uzaklık b= b olduğunda eşitti. Böylece he bi doğu üzeindeki 5 (beş) özel nokta vadı. Bunlaın (iki) tanesi sını noktası, (iki) tanesi odak noktası ve (bi) tanesi de ota noktadı. Sını noktalaı eel olduğunda odak noktası, sını noktalaının aasında bulunu. Komşu ana doğulaın, otak dikmesinin esas ayağının taban yüzeyinden t uzaklığının geometik yei olan stiksiyon çizgisinin, esas düzlemleden bii ile yaptığı θ açısı aasındaki bağıntının (4.5.) den t = t cos θ + t sin θ π olduğunu biliyouz. Buada t, t ile t aasında değiştiğinde θ açısı 0 ile aasında değişi ve esas düzlemle bi biine dik olu. Dikme ayağı fokal noktaladan bii olduğunda dayanak eğisi stiksiyon çizgisi boyunca geçen doğu kongüanslaın belittiği yüzeye, fokal düzlem deni ve t uzaklığı ρ ile ρ aasında değele alı. Bu değelee kaşılık gelen θ açısı da, sıasıyla, θ ile θ olsun. O zaman 5

134 ρ = tcos θ+ tsin θ ρ = tcos θ + tsin θ (4.6.9) yazılabili ve (4.6.8) den t+t =ρ + ρ olduğundan cos θ + cos θ = (4.6.0) π olu. Buada θ ile θ nin ikisi de pozitif ve den büyük değildi ve π θ+ θ = (4.6.) di. Bundan dolayı fokal düzlemle, sıasıyla esas düzlemlee dik değildile fakat esas düzleme göe simetik duumdadıla. Mekez düzlem, fokal düzlemlein aasındaki açının açıotay düzlemi aynı zamanda esas düzlemle aasındaki açının da açıotay düzlemidi. Ayıca φ fokal düzlemle aasındaki açı ise olup dı. π φ = θ θ = θ sinφ = cos θ = cos θ cos θ ρ ρ = t t (4.6.) Tanım 4.6. ( α, ) paalel olmayan bi doğu kongüansı olsun. ( u, u, t) U için y y, = 0 u u olacak şekilde öyle bi yu (, u) = α( u, u) + tu (, u). u (, u ) yüzeyi bulunabili ki ( α, kongüansı teka paametize edileek bu kongüans ) (,, ) u u α t = y u u + t u u (4.6.) yazılabili ise y yüzeyine, ( α, kongüansına fokal yüzeyi deni (Izumiya 00). ) 6

135 Teoem 4.6. yu (, u ), ( α, paalel olmayan doğu kongüansının bi fokal yüzeyi ve ) tu (, u ) düzgün fonksiyon olmak üzee, α α α α, t +, + t+, = 0 u u u u u u u u dı (Izumiya 00). İspat: ( u, u) U R için 0 y α t = + + t u u u u y α t = + + t u u u u olduğundan y y α t α t = + + t + + t u u u u u u u u α α t α α α t α = + + t + + u u u u u u u u u u t t t t + ( ) + t + t + t u u u u 4444 u u u u α α t α α α t α = + + t + + u u u u u u u u u u t t + t + t + t u u u u u u olup y yüzeyi, ( α, paalel olmayan doğu kongüansının bi fokal yüzeyi olduğundan ) y y, = 0 yazılabili. Ayıca u u 7

136 y y α α t α α α, =, +, + t, + u u u u u u u u u u 44 0 t α t e t e +, + t, + t, + t, u u u u u u u u olduğundan α α α α t + + t+ = u u u u u u u u dı,,, 0 Tanım 4.6. Teoem 4. ve Teoem 4.6. den elde edilen ( α, nin değele cümlesine, ) ( α, nin (Genel) okal Yüzeyi deni (Izumiya 00). ) 8

137 5. ÜÇLÜ ORTOGONAL DOĞRU SİSTEMİ Tanım 5. E de -paameteli doğulaın ailesi ( α, ): Ux E ( u, u, t) ( u, u, t) = α( u, u ) + t( u, u ) ( α, ) dönüşümü ile tanımlı ( α doğu kongüansı için, e) i) u = u ( α, ), u = u ( α, ) ve = t t ( α, ) linee bağımsız ii), =, =, = 0 u u u t t u oluyosa ( α, ) kongüansı, iki egle yüzey ailesi ile bi yüzey ailesinden oluşan üçlü otogonal sistem oluştuu ve bu sisteme üçlü otogonal doğu sistem deni. Buada, ( α, ) α α α α u = = + t,,, u = + t + = q u u u u u u u u u α α α α α u = = + t =, +, +, = u t p u u u u u u u u u ( α, ) t = = t = = t olup ( α, ) kongüansında sıasıyla u, u vet paametelei sabit alınaak u = sabit ise dayanak eğisi α ( u) ve doğulmanı u ( ) olan egle yüzey ailesi ( u, t) = ( u, u, t) = α( u ) + t( u ) ( α, ) u = sabit ise dayanak eğisi α ( u) ve doğulmanı u ( ) olan egle yüzey ailesi ( u, t) = ( u, u, t) = α( u ) + t( u ) ( α, ) t = sabit ise α ( u, u) yüzeyine paalel yüzey ailesi ( u, u ) = ( u, u, t) = α( u, u ) + t( u, u ) ailelei elde edili. ( α, ) 9

138 Teoem 5. R de -paameteli doğulaın ailesi ( α, ) : Ux ( u, u, t) ( u, u, t) = α( u, u ) + t( u, u ) ( α, e) dönüşümü ile tanımlı ( α, ) doğu kongüansı ile bi üçlü otogonal doğu sitemi tanımlansın. ( α, ) kongüansında, sıasıyla, u, u vet paametelei sabit alınaak elde edilen i paametik yüzeylein biinci temel fom katsayılaı ve ikinci temel fom katsayılaı aşağıdaki gibidi Yüzey E G e f g (, ) u t u = q 0 qq u 0 0 p (, ) u t u = p 0 u u p 0 q pp u 0 0 q ppt 0 qqt İspat: u, u vet paametelei sabit alaak elde edilen paametik yüzeylein, pozitif biim nomal vektö alanlaı sıasıyla N, N, N olsun. i) sabit u = için elde edilen ( ) katsayılaını hesaplayalım. u t egle yüzeyinin biinci ve ikinci temel fomlaının, ve I.temel fom = I= ds =, = du + dt, du + dt u t u t = + + u u u t 44 t t ( du ) du dt ( dt),,, E ( ) ( ) = E du + du dt + G dt G 0

139 E =, = u, u = u = q u u üçlü otogonal sistem ( α, e) =, = u, 0 t = u t G =, = t, t = t = e = t t olduğundan ( ) ( ) I.temel fom = I = ds = E du + dudt + G dt yazılabili. Ayıca, ve ( ) ( ) q du dt = + II. temel fom= II =, N ( du) +, N dudt +, N dt ( u ) u t ( t 44 ) ( u ) e ( ) e= N = N = = u, uu, uu, uu, u u u f g u, u = O uu, u +, 0 u uu = = uu,, u u = u uu { p, u uu u, u =,, u uu u + u uu = u, q u u uu = u = u uu q u, =, qq u uu = u q qq u p f = N = N = = = u t u, uu, uu, uu, 0 u u u

140 g = N = N = = ( t ) u, tt, tt, tt, u u u t, u = 0,, 0 tt u + t u t = = tt, u =, u t u t { t, t = t = tu,, 0 t + t tu = t, u 0 t = = t, u 0 t = t, u 0 t = 0 p, t ut olduğundan yazılabili. qq u p II. temel fom= II= ( du ) ii) sabit u = için elde edilen ( ) fomlaının katsayılaını hesaplayalım. u t egle yüzeyinin biinci ve ikinci temel, ve I.temel fom = I= ds =, = du + dt, du + dt u t u t = + + u u u t 44 t t ( du ) du dt ( dt),,, E ( ) ( ) = E du + du dt + G dt G E =, = u, u = u = p u u üçlü otogonal sistem ( α, e) =, = u, 0 t = u t G =, = t, t = t = e = t t

141 olduğundan ( ) ( ) I.temel fom = I = ds = E du + dudt + G dt yazılabili. Ayıca, ve ( ) ( ) p du dt = + II. temel fom= II =, N ( du) +, N dudt +, N dt ( u ) u t ( t 44 ) ( u ) e ( ) e= N = N = = u, uu, uu, uu, u u u f g u, u = 0 uu, u +, 0 u uu = = uu,, u u = u uu { q, u uu u, u =,, u uu u + u uu = u p u u, uu = u =, = u uu p u, pp p u uu = u pp q u f = N = N = = = u, ut, ut, ut, 0 u u t u u g = N = N = = ( t ) u, tt, tt, tt, u u u t, u = 0,, 0 tt u + t ut = = tt, u =, u t u t { q, t ut

142 t, t = t = tu,, 0 t + t tu = t, u 0 t = g = t, u 0 t =, 0 t ut = 0 olduğundan yazılabili. pp u q II. temel fom= II= ( du ) iii) t = sabit için elde edilen ( u, u ) egle yüzeyinin biinci ve ikinci temel fomlaının katsayılaını hesaplayalım. I.temel fom = I= ds =, = du + du, du + du u u u u = + + u u u u u u ( du ) du du ( du ),,, E G ( ) ( ) = E du + du du + G du ve E =, = u, u = u = p u u üçlü otogonal sistem ( α, e) =, = u, 0 u = u u G =, = u, u = u = q u u olduğundan ( ) ( ) I.temel fom = I = ds = E du + dudu + G du yazılabili. Ayıca, ( ) ( ) = p du + q du 4

143 II. temel fom= II =, N ( du ) +, N du du +, N du ( u) u u ( u 4444 ) ve e ( u ) ( ) e=, N =, N =, =, f t uu uu uu t t t g u, t = 0 u,, 0 u t + u tu = = uu,, t t = u tu {, u tu, =, +, = u u u ut u u ut p u, ut = t p u, ut = p t, = pp u ut t u t = ppt =, =, =, =, = 0 t f N uu N uu uu t u u t t g =, N =, N =, =, ( u ) t uu uu uu t t t u, t = 0 u,, 0 u t + u tu = = uu,, t t = u tu {, u tu = = q + = u, u u u,, t u u ut olduğundan q u, ut = t q u, ut = q t, = qq u ut t u t = qqt 5

144 II. temel fom= II= pp ( du ) qq ( du ) t t yazılabili 6

145 6. SONUÇ : ( α, ) U E ( u, u,) t ( u, u,) t = α( u, u ) + t( u, u ) ( α, ) ile tanımlı genel doğu kongüansında α ( U ) taban yüzeyinin biim nomal vektöü eu (, u ) 0 olmak üzee genel doğu kongüanslaı için iki özel duumu inceledik. (i) ( u, u) U için (, ) = (, ) e T α ve α ( U ) yüzeyinin paamete u u eu u, ( ) eğilei, eğilik çizgilei olsun. O zaman u = sabit olduğunda, α ( U ) taban yüzeyi üzeinde elde edilen kapalı paamete eğisi ( u bu eğinin yay paametesi olaak alınabili) nin teğet vektöü dα ( ) α( u, u ) = α u ( u ) du = T ve T = ve u = sabit olduğunda, α ( U ) taban yüzeyi üzeinde elde edilen kapalı diğe paamete eğisi ( u bu eğinin yay paametesi olaak alınabili) nin teğet vektöü olmak üzee, 0 dα ( ) α( u, u ) = α u ( u ) du = T ve T = T T = olu. Dolayısıyla kongüans üzeinde { et,, T} çatı alanı elde edili. Buada T = T e, T = e T ve e= T T di. otonomal 7

146 e u = sabit T T ( ) γ u = sabit Tanım 6. Şekil 6. α doğu kongüansının { et,, T} (,e) otonomal çatı alanı ( α doğu kongüansının ekseni eu (,e), u ) yi dik olaak kesen eğiye doğu kongüansının otogonal yöüngesi deni. u u t u u te u u kongüansının ( ) (,, ) = α α + e ( α,e) te te α U taban yüzeyi üzeindeki u = c ve u = c paamete eğilei, bie kapalı eği olması halinde bu eğile üzeine kuulan egle yüzeylede kapalı olula. Bu kapalı egle yüzeylein açılım uzunluklaı L ve L olsun. O zaman Tanım.6 ya göe α ( U ) ve { et,, T} T 678 L = α ( u ), e( u ) = du te te u= c u= c otonomal çatı alanı olduğundan T, e = 0 olup L = 0 dı. T } L = α ( u ), e( u ) = du te te u= c u= c 8

147 ve { et,, T} otonomal çatı alanı olduğundan T, e = 0 olup L = 0 dı. Taban yüzeyi üzeinde α( u, u ) noktasından geçen hehangi bi kapalı eği γ ( u, u) olmak üzee, γ nın teğet vektöünün, γ = λt + λ T olduğunu biliyouz. Bu eği üzeinde kuulabilen bi kapalı egle yüzey vadı. Bu yüzeyin de açılım uzunluğuna L desek, L= γ ( u, u), e( u, u) γ = λt( u ) + λ T ( u ), e( u, u ) γ = λ ( ), (, ) λ ( ), (, ) T u e u u + T u e u u γ = 0 di. Açılım uzunluğu doğu kongüansının bi integal invayantıdı. Bu özelik doğu kongüansındaki doğulaın paalel olması için bi kaakteizasyondu. Paalel doğu kongüansın açılım uzunluğu sıfı ise ( ) te α U taban yüzeyi üzeindeki u = c ve u c te = kapalı paamete eğilei bie nokta olup doğu kongüansı, konile ailesidi. Tanım 6. : U E ( α, e) ( u, u, t) ( u, u, t) = α ( u, u ) + te( u, u ) ( α, e) doğu kongüansının açılım uzunluğu diye, α ( U ) taban yüzeyi üzeindeki bi γ ( u, u) kapalı eğisiyle belitilen kapalı egle yüzeyin açılım uzunluğuna deni ve L= γ ( u, u ), e( u, u ) γ 9

148 di. Buada (, ) eu u, ( ) α U taban yüzeyinin biim nomal vektöüdü. e γ u = te c L u = te c L Tanım.7 e göe Şekil 6. Kongüansın açılım uzunluğu u = sabit olduğunda elde edilen kapalı egle yüzeyin açılım açısı ρ = T, T u = sabit olduğunda elde edilen kapalı egle yüzeyin açılım açısı ρ = T, T yazılabili. Öyleyse, α ( U ) taban yüzeyi üzeinde hehangi bi eği γ olmak üzee, α α ( u ) ( u ) teğet vektöü, γ = λt + λt,, λ λ 40

149 olup T = T e, T = e T ve e= T T olduğundan γ e= λt + λ T e= λt λ T olu. ( ) e nt () γ nt ( + π ) u = te c u = te c T γ T Şekil 6. Kongüansın açılım açısı O halde, Tanım.7 den γ eğisinin açılım açısı ( ) N= λ T λ T, γ γ = λ T + λt λ T λ T, γ γ = λ T + λt λ T λ T, λ T + λ T γ 4

150 λ T, λt + λt, λt λ T, λt λt, λt N = γ + λ T, λt + λt, λt λ T, λt λt, λt olup T = ve T = olduğundan N = γ λλ T, T + λ T, T λλ T, T λλ T, T λλ T, T + λλ T, T λλ T, T λ T, T 0 0 ( λ T, T λ λ λ λ λ T, T ) = + γ = λ T, T λ λ + λλ λ T, T γ γ olu ve buada λ, λ olduğunda N= λ T, T λ T, T γ γ yazılabili. Buada T, T integalinde integant u ye ve T, T integalinde de integant u e bağlı olduğundan γ γ N= λ T, T λ T, T α( u) α( u) ρ ρ = λρ λρ olaak elde edili ve λ = ile λ = olaak alısak a b N ρ ρ = a b 4

151 yazılabili. Ayıca λ ile ve α = α( ) λ, γ eğisinin teğet vektöünün, sıasıyla, α( u, u ) = α( u ) u u u paamete eğileinin teğet vektölei üzeindeki dik izdüşüm uzunluklaıdı. Tanım 6. : U E ( α, e) ( u, u, t) ( u, u, t) = α ( u, u ) + t( u, u ) ( α, e) ile tanımlı doğu kongüansında α ( U ) taban yüzeyinin biim nomal vektöü eu (, u ) olmak üzee ( u, u) U için u (, u) = eu (, u ) ve α ( U ) yüzeyinin paamete eğilei eğilik çizgilei olsun. O zaman doğu kongüansının açılım açısı diye, α ( U ) taban yüzeyi üzeindeki bi γ ( u, u) kapalı eğisiyle belitilen kapalı egle yüzeyin açılım açısına deni ve veya ( ) N= λ T λ T γ γ, N = det α, α, e olaak tanımlanı. Buada, α = α( u, u ) kongüansın taban yüzeyinin ye vektöüdü. (ii) ( u, u) U ve λ için (, ) λ (, ) u u eu u, ( α ) e T ve ( ) α U yüzeyinin paamete eğilei eğilik çizgilei olsun. O zaman u = sabit olduğunda, α ( U ) taban yüzeyi üzeinde elde edilen kapalı paamete eğisi ( u bu eğinin yay paametesi olaak alınabili) nin teğet vektöü ( ) α( u, u ) = α u 4

152 dα ( u ) du = T ve T = ve u = sabit olduğunda, α ( U ) taban yüzeyi üzeinde elde edilen kapalı diğe paamete eğisi ( u u u nin u bu eğinin yay paametesi olaak alınabili) α = α( ) teğet vektöü dα ( u ) = T ve T = du olmak üzee T, T = 0 olu. Dolayısıyla kongüans üzeinde { et,, T} otonomal çatı alanı elde edili. Buada T = T e, T = e T ve e= T T di. Ayıca, ( u, u) U için (, ) (, ) et,, T otonomal çatı alanında bi u u eu u ve { } vektö olduğundan h, h, h için = ht + ht + h e (6.) şeklinde yazılabili. T T e T ( ) γ u = sabit α ( U ) Şekil 6.4 ( α, ) he hangi doğu kongüansı 44

153 Tanım 6.4 ( α, ) doğu kongüansının ekseni u (, u ) yi dik olaak kesen eğiye doğu kongüansının otogonal yöüngesi deni. u u t = u u + t u u kongüansının ( ) (,, ) α α ( α, ) te te α U taban yüzeyi üzeindeki u = c ve u = c paamete eğilei, bie kapalı eği olması halinde bu eğile üzeine kuulan egle yüzeylede kapalı olula. Bu kapalı egle yüzeylein açılım uzunluklaı L ve L olsun. O zaman Tanım.6 ya göe T 678 L = α ( u ), ( u ) = du te te u= c u= c olup (6.) den L = te u = c te u = c 0 } =, +, +, h T T h T T h T e te u = c te u = c T, = T, ht + ht + h e = h ve T } L = α ( u ), ( u ) = du te te u= c u= c olup (6.) den 45

154 L = te u = c te u = c 0 } =, +, +, h T T h T T h T e te u = c = h te u = c T, = T, ht + ht + h e di. Taban yüzeyi üzeinde α( u, u ) noktasından geçen hehangi bi kapalı eği γ ( u, u ) olmak üzee, γ nın teğet vektöünün, ( λh λ h ) γ = λt + λ T olduğunu biliyouz. Bu eği üzeinde kuulabilen bi kapalı egle yüzey vadı. Bu yüzeyin de açılım uzunluğuna L desek, L= γ ( u, u), ( u, u) γ = λt( u ) + λ T ( u ), ( u, u ) γ = λ ( ), (, ) λ ( ), (, ) T u u u + T u u u γ h h = + γ = λh + olup λ, λ olduğunda γ λ h γ L = λh + λ h γ γ = λ h + λ γ γ = λl + λ L h 46

155 olaak elde edili ve λ = ile λ = olaak alısak a b yazılabili. Ayıca λ ile ve α = α( ) L L L = a b λ, γ eğisinin teğet vektöünün, sıasıyla, α( u, u ) = α( u ) u u u paamete eğileinin teğet vektölei üzeindeki dik izdüşüm uzunluklaıdı. Açılım uzunluğu doğu kongüansının bi integal invayantıdı. Bu özelik doğu kongüansındaki doğulaın paalel olması için bi kaakteizasyondu. Paalel doğu kongüansın açılım uzunluğu sıfı ise α ( U ) taban yüzeyi üzeindeki u te = c ve u te = c kapalı paamete eğilei bie nokta olup doğu kongüansı, konile ailesidi. Tanım 6.5 : U E ( α, ) ( u, u, t) ( u, u, t) = α( u, u ) + t( u, u ) ( α, ) doğu kongüansının açılım uzunluğu diye, α ( U ) taban yüzeyi üzeindeki bi γ ( u, u) kapalı eğisiyle belitilen kapalı egle yüzeyin açılım uzunluğuna deni ve L= γ ( u, u ), ( u, u ) di. γ 47

156 γ u = te c L u = te c L Şekil 6.5 Kongüansın açılım uzunluğu Ana doğusunun biim doğultman vektöü olan ( α, ) egle yüzeyinin ana doğulaına dik bi doğultu vektöü n uu uu uu olmak üzee n = n olsun. O halde, uu uu uuuu Açılım açısı = N= n, n = n, n uu ve n = α olaak alınısa dı. Açılım açısı = α N= α α det α, α, 48

157 nt ( + π ) u (, u) u n ( + π ) t ρ α( u, u ) u n α( u, u ) O Şekil 6.6 Kongüansın açılım açısı Tanım 6.6 Ana doğulaın biim doğultman vektöü olan ( α, ) doğu kongüansın ana doğulaına dik bi doğultunun bi peiyot sona ilk konumu ile yaptığı açıya doğu kongüansının açılım açısı deni. Ayıca doğu kongüansının dağılma (distibüsyon) paametesi ( u, u) U ve λ için veya u (, u) λeu (, u ) ve e T α u (, u) = eu (, u ) ve e T α olması halinde dağılma (distibüsyon) paametesinin aynı kaldığı göüldü ve 49

158 : U E ( α, ) ( u, u, t) ( u, u, t) = α( u, u ) + t( u, u ) ( α, ) paalel olmayan bi doğu kongüansında σ ( u, u ), ( u, u ) = 0 olacak şekilde öyle bi σ = σ ( u, u) yüzeyi bulunabili ki α ( u, u), ( u, u) σ( u, u) = α( u, u) ( u, u) u (, u) ile tanımlı olup σ = σ ( u, u) yüzeyine, veya mekez yüzeyi deni. ( α, ) kongüansının stiksiyon (boğaz) yüzeyi ( α, ) taban yüzeyi stiksiyon yüzeyi olan paalel olmayan bi doğu kongüansı olsun. O halde ( α, ) doğu kongüansının distibüsyon paametesi σ ( u, u) ( u, u), ( u, u) ρ( u, u) = u (, u) det σ ( u, u), ( u, u), ( u, u) = u (, u) ( ) ile tanımlı fonksiyondu. 50

159 KAYNAKLAR Blaschke, W Volesungen übe Diffeential Geometie, Dove Publications, New Yok. Bottema, O. and Roth, B Theoetical Kinematics, Noth Holland Publ. Company, New Yok. Study, E. 90. Geometie de Dynamen Leipzig, Velag Teubne, 60 p.. Gacia, R. A. and Sotomoya, J Lectues Notes on Qualitative Theoy of Diffeential Equations of Classical Geomety, Notes de Cuso, IME/UG. Gay, A Moden diffeential geomety of cuves and sufaces with Mathematica, CRC Pess, Inc., Boca Raton, L. Hacısalihoğlu, H. H. 98. Haeket Geometisi ve Kuateniyonla Teoisi, Gazi Ünivesitesi en Edebiyat akültesi Yayınlaı, Math. No.. Hacısalihoğlu, H. H İki ve Üç Boyutlu Uzaylada Dönüşümle ve Geometile, Ankaa Ünivesitesi en akültesi Matematik Bölümü. Hacısalihoğlu, H. H Linee Cebi Cilt, Ankaa Ünivesitesi en akültesi Matematik Bölümü. Hacısalihoğlu, H. H Difeensiyel Geometi Cilt, Ankaa Ünivesitesi en akültesi Matematik Bölümü. Hacısalihoğlu, H. H Difeensiyel Geometi Cilt, Ankaa Ünivesitesi en akültesi Matematik Bölümü. 5

160 Hoschek, J Eine Veallgemeineung des Satzes von Holditch, Monatchefte-ü Math. Vol. 80, pp Izumiya, S. and Takeuchi, N. 00. Singulaities of uled sufaces in, Math. Poceedings of Cambidge Philosophical Soc., Vol 0, pp. - Izumiya, S., Saji, K. and Takeuchi, N. 00. Singulaities of line conguences, Poceedings of the Royal Society of Edinbugh A, pp Nomizu, K undamentals of Linea Algeba, McGaw-Hill Book Company, New Yok, Sabuncuoğlu, A Difeensiyel Geometi, Nobel yayın dağıtım,.baskı. Wundelich, W Ruled Sufaces with Osculating Stiction Scoll, Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai. Diffeantial 5

161 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı : Ufuk ÖZTÜRK Doğum Yei : ANKARA ÇAMLIDERE Doğum Taihi: 980 Medeni Hali : Evli Yabancı Dili : İngilizce oztukufuk06@gmail.com EĞİTİM DURUMU (Kuum ve Yıl) : Lise : Ankaa Gazi Lisesi 998 Lisans : Ankaa Ünivesitesi en akültesi Matematik Bölümü 00 Yüksek Lisans : Ankaa Ünivesitesi en Bilimlei Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı ( ) Doktoa : Ankaa Ünivesitesi en Bilimlei Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı ( 007-0) ÇALIŞTIĞI KURUM/KURUMLAR ve YIL : Ankaa Ünivesitesi en akültesi, Öğenci Asistan, Kııkkale Ünivesitesi Hacıla Hüseyin Aytemiz M.Y.O., Öğ. Gv., 009- İŞTİRAK EDİLEN SEMİNER VE DİĞER ETKİNLİKLER : I. Tük Dünyası Matematik Sempozyumu Katılımcı (Sakaya Ünivesitesi SAKARYA) V. Geometi Sempozyumu Katılımcı (Kaaelmas Ünivesitesi-ZONGULDAK) II. Tük Dünyası Matematik Sempozyumu Katılımcı (Sakaya Ünivesitesi- SAKARYA) VI. Geometi Sempozyumu Katılımcı (Uludağ Ünivesitesi-BURSA) YAYINLAR : Öztük, U., Hacısalihoğlu, H.H., Yaylı, Y., Koç Öztük, E.B. Dual Quatenion ames. Commun. ac. Sci. Univ. Ank. Se. A Math. Stat. Koç Öztük, E.B., Öztük, U., Yaylı, Y., Özkaldı, S. Integal Cuves of a Spıal Vecto ıeld In Eⁿ. Intenational Jounal Of Mathematical Sciences & Applications 5