SONLU ELEMNLR METODU İLE GERİLME NLİZİ : KLIN CİDRLI SİLİNDİRİK ORULR UYGULM M. Cüneyt FETVCI " u çalışmada, bir sonlu elemanlar paket programında bir mühendislik probleminin modellenmesi ele alınmıştır. Elemanlar bir uygulama olarak, sayısal sonuçların analitik sonuçlarla karşılaştırma gayesiyle, kalın cidarlı boru problemi incelenmiştir. Modellemede takip edilen adımlar açıklanmıştır. nahtar sözcükler: Sonlu elemanlar metodu, gerilme, başınçlandınlmışbom In this study, the Unite element modelling of an engineering problem with a commercial software is examined. s an elemantary application, a thick-walled cylindiric pipe problem is chosen to verify the results with analytic ones. The steps of modelling are explained. Keywords: Finite element method, stress, pressurized pipe GIRIŞ ühendislik problemlerinin tatminkar olarak çözülmesinde sayısal metotlar kullanılmaktadır. ilgisayar teknolojisindeki gelişmelere bağlı olarak geliştirilen paket programlar sayısal metotlann etkin kullanımını sağlamaktadır. Sonlu elemanlar metodu modellemede sağladığı esneklikler ve yazılımların metodun tatbikinde sağladığı kolaylıklar nedeniyle tercih edilmektedir. [1] u çalışmada yaygın olarak kullanılan NSYS genel amaçlı sonlu elemanlar analiz programında bir mühendislik probleminin nasıl modelleneceği ele alınmıştır. nalitik çözümü bilinen bir problem ele alınarak, problemin modellenmesinde takip edilen adımlar ve dikkat edilecek hususlar belirtilmiştir. KLIN CİDRLI ORU PROLEMİ Temel bir uygulama olarak kalın cidarlı silindirik boru problemi ele alınmışar. u problemin önemli uygulamalarından biri silindirik pres geçmelerdir. İçten basınçlandırümış kalın cidarlı boruda teğetsel ve radyal gerilmeleri ve radyal doğrultuda yer değiştirmeyi veren ifadeler aşağıda yazılmıştır. [2] (i) (2) (3) (4) (5) (6) (7) ' raş. Gör.. İTO Makina Fakültesi (8) 42 Mühendis ve Makina - Cilt; 43 Says: 508
MODELLEME DIMLRI NSYS Program Özellikleri Ele alınan bir problemin sonlu elemanlar metodu ile modellenmesi, çözümlenmesi ve çözüm sonuçlarının değerlendirilmesi paket programlarda üç ayrı modülde gerçekleştirilmektedir. nalizde modele sınır şartlarının tatbik edilmesine kadar olan işlemler programın önişlemci modülünde, modelin çözümlenmesi çözümleyici modülünde ve ek hesaplamalar ile sonuçların sayısal veya görsel değerlendirilmesi işlemleri ise son-işlemci modülünde gerçekleştirilmektedir. Sonlu elemanlar modelinin elde edilmesinde en büyük kolaylığı sağlayan, ön-işlemci modülündeki geometrik modelleme kütüphanesidir. u kütüphanede iki ve üç boyutlu hazır geometrik şekiller (primitif modeller) vardır. Problem geometrisi dikdörtgen gibi basit bir geometrik şekille ifade edilebiliyorsa programdaki hazır geometrik şekil kütüphanesinden faydalanılır. Geometri basit geometrik şekillerin bir kombinasyonu ile ifade edilebiliyorsa OOLEN cebri tatbik edilmektedir. Problem karmaşık geometrili ise bu durumda hiyerarşik modelleme yapılmaktadır. u durumda önce köşe noktalar oluşturulmakta, bu noktalar birbirlerine çizgilerle bağlanmakta ve nihayet dört çizginin uygun tertibiyle dörtgen bir bölge elde edilmektedir. öylece karmaşık problem geometrisi çok sayıda basit geometrik şekillerin topluluğu olarak ifade edilmektedir. Geometrik modelin kenarlarına elaman sayı ve dağılımını belirleyen parametreler tatbik edilerek problemin sonlu eleman modeli elde edilmektedir. Kalın cidarlı boru probleminin sonlu eleman modelinin elde edilmesinde izlenen adımlar aşağıda belirtilmiştir. Şekil 1. Problem Geometrisi Eleman Tipi Modellemede eleman tipi olarak 4-düğüm noktalı eşparametrik dörtgen eleman (PLNE42) ve 8-düğüm noktalı eşparametrik dörtgen eleman (PLNE82) kullanılmıştır. Eşparametrik terimi sonlu elemanın geometrisini ve eleman içinde bilinmeyen değerleri (yer değiştirme) tammlayan fonksiyonların aym olduğunu ifade eder. u tip elemanlar hesaplama etkinliği nedeniyle (sayısal integrasyon) sonlu eleman programlarında tercih edilir. u çalışmada seçilen eleman tipinin sonuçlara etkisi karşılaştırılmaktadır. Eşparametrik elemanların genel yapısı Şekil 2 ve Şekil 3' de gösterilmiştir. Problem Geometrisi Kalın cidarb boru geometrisi uzunluk doğrultusunda değişmediğinden problem iki boyudu gerilme problemi olarak ele alınmıştır. Geometri ve yükleme şartlarındaki düzlemsel simetri göz önüne alınmıştır. u problemde, model geometri ve statik sınır şarü itibariyle x ve y düzlemlerine göre simetriktir. u nedenle problem bütünü karakterize eden % formunda modellenmiştir [3]. Şekil 1 'de hazır geometrik model kütüphanesinden faydalanılarak elde edilen problem geometrisi gösterilmiştir. Şekil 2. PLNE42 4 Düğüm Noktalı Eşparamelrik Dörtgen Eleman PLNE42 ve PLNE82 arasındaki benzerlik doğal koordinatlarda kare şeklinde olmalarıdır. PLNE42 birinci dereceden bir fonksiyonla formüle edildiğinden eşparametrik eşleme neticesinde fiziksel koordinadarda genel dörtgen formundadır. PLNE82 ikinci dereceden bir fonksiyonla tanımlanmaktadır. Şekil 3'de görüldüğü üzere, bu eleman fiziksel koordinatlarda eğri kenarlı genel Mühendis ve Makina - CiH: 43 Sayı: 508 43
Şekil 3. PLNES2 8 Düğüm Noktalı Eşparametrik Dörtgen Eleman dörtgen formunu alır. u nedenle eğri yüzeylerin modellenmesinde doğruluk derecesi daha yüksek neticeler elde edilmektedir. [ 4,5] Malzeme Özellikleri Malzemenin homojen ve isotropik yapıya sahip olduğu kabul edilmektedir. Malzeme özellikleri olarak çeliğin elastisite modülü seçilerek (E=2,l,10 5 N/mm 2 ) ve poisson sabiti (V=0.3) değerleri ile sonuçlar elde edilmektedir. ğ Oluşturma Sonlu eleman sayısı ve dağılımını belirleyen büyüklükler Şekil l'de gösterilen iki boyutlu geometrik modelin üzerine tatbik edilmiştir. u şekilde radyal ve çevresel doğrultuda sonlu eleman sayı ve dağılımı kolaylıkla tayin edilir. Eleman yoğunluğu gerilmenin yüksek olması beklenilen iç bölgede yüksek tutulmuş ve dış çapa doğru tedrici olarak azaltılmıştır. Elemanların görünüm oranının (büyük kenarın küçük kenara oranı) mümkün olduğu kadar l'e yakın olması sağlanmıştır. [6] Şekil 4. Kalın Cidarlı oru Sonlu Elemanlar Modeli enterpolasyon fonksiyonlan kullanılarak eleman içinde herhangi bir noktada yer değiştirme ve gerilmeler hesaplanmaktadır. NLİZ NETİCELERİ Yapıda herhangi bir doğrultuda yer değiştirme ve gerilmelerin değişimi sayısal tablolar veya grafiksel olarak incelenebilir. Şekil 5'de modelin analizi neticesinde gerilmelerin yapıdaki tayin edilen doğrultudaki değişimi görülmektedir. Sınır Şartları Modelde x ve y eksenindeki düğüm noktalarına simetri sınır şartı tatbik edilmiştir. asınç iç çapa tatbik edilen yayılı yük (p=1000 N/mm 2 ) olarak simüle edilmiştir. Kalın cidarlı borunun sınır şardarı tatbik edilmiş sonlu elemanlar modeli Şekil 4'de gösterilmiştir. Çözüm Sınır şartlarının tatbik edilmesinden sonra problem çözüme hazırdır. Program sistem denklemlerini sınır şardanna göre düzenler ve çözer. Çözüm neticesinde yer değiştirmelerin tüm düğüm noktalarındaki değerleri hesaplanmaktadır. Düğüm noktalarındaki değerler ve 44 Şekil 5. Kesitinde Gerilmelerin Değişimi Mühendis ve Makina - Git: 43 Say:: 508
NSYS programında bütün bu işlemleri gerçekleştiren komutların sıralandığı çalışma dosyası EK'de takdim edilmiştir. Modelde ve noktalarına karşılık gelen düğüm noktalarının seçimi NSYS Parametrik Dizayn Lisanı esaslarına göre yazılan komutla otomatik olarak yapılmaktadır. [7] Modelde radyal yönde 40 çevresel yönde 30 olmak üzere toplam 1200 eleman vardır. PLNE42 ile yapılan analizde toplam 1271 adet, PLNE82 ile yapılanda ise toplam 3741 adet düğüm noktası vardır. Eleman yoğunluğu iç çaptan dış çapa doğru tedrici olarak azalmaktadır. Hazırlanan sonlu eleman modelinin analizinde elde edilen sonuçlar Tablo 1 ve Tablo 2' de gösterilmiştir. Tablo 1. nalitik ve Sonlu Eleman Gerilme naliz Sonuçları NLİZ NLİTİK SEM (82) SEM (42) TEÖETSEL GERİLME 1083.33333 1083.25238 1101.31942 83.33333 83.34147 82.59432-1000 RDYL GERİLME -999.91904-934.12074 0-0.00813-2.25916858 Tablo 2. nalitik ve Sonlu Eleman Yer Değiştirme naliz Sonuçları NLİZ NLİTİK SEM (82) SEM (42) YER DEĞİŞTİRME 6.58730159-10 6.58730226-KT 3 6.5830895-10' 3 1.98412698-10" 3 1.9841270810" 3 1.98328457-10" 3 naliz sonuçlan incelendiğinde, her iki eleman tipi için yer değiştirme değerlerinin analitik sonuçlara yakın olduğu görülmektedir. PLNE82 ile yapılan analizde elde edilen gerilme değerleri tatminkar bir derecede analitik sonuçlara yakınsamışür. PLNE42 ile yapılan analizde ise değerler analitik sonuçlardan farklılık arz etmektedir. unun nedeni PLNE42 ve PLNE82 elemanlarının farklı dereceden fonksiyonlarla matematiksel olarak ifade edilmeleridir. Eleman tipinin fiziksel davranışının problemin fiziksel davranışını hassas bir şekilde tanımlayamamasından kaynaklanan hata formülasyon hatası olarak adlandırılmaktadır. PLNE42 elemanı ile analizde bu hata görülmektedir. PLNE82 ikinci dereceden bir fonksiyonla tanımlandığından, ele alınan problemin geometrisini ve incelenen yer değiştirme ve gerilmelerin yapıdaki değişimini tatminkar olarak modellemiştir. Mühendis ve Makina - Cilt: 43 Sayı: 508 SONUÇ ve ÖNERİ Sonlu elemanlar metodu mühendislik problemlerine yaklaşık çözüm sağlayan sayısal bir tekniktir. Problemin fiziksel davranışını, geometrisini ve sınır şardarını doğru temsil eden bir modeli tesis etmekle analizde analitik çözüme tatminkar yaklaşım sağlanabilir. Çalışmada analitik çözümü bilinen bir problem ele alınmıştır. u şekilde analitik çözüm ile sonlu eleman çözümünün karşılaştırılması yapılmıştır. Kullanılan eleman tiplerinin çözüme olan etkisi belirtilmiştir. Sonlu elemanlar metodunun etkin kullanımı, uygulayıcıların yapılan hesapların bilimsel esaslarını bilmeleri yanında fiziksel senaryoyu kompüter ortamına doğru olarak aktarmalarına da bağlıdır. Paket programı yeni kullanmaya başlayan araştırmacıların öncellikle basit analitik ifade ile temsil edilen problemleri modellemeleri yerinde olacaktır. u şekilde karmaşık geometrili ve sınır sardı problemleri incelemek kolaylaşacakar. O" 0 u E R a b Pı ß E V : Teğetsel gerilme : Radyal gerilme : Yer değiştirme SEMOLLER : Herhangi bir yarıçap : iç çap : Dış çap : iç basınç : dış çapın iç çapa oranı : Elastisite modülü : Poisson oram EK NLİZ İÇİN GELİŞTİRİLEN PROGRM! içten basınçlandırılmış kalın cidariı boru /PREP7 ET,1,82 MP,EX 2.1e5 MP,NUXY.3 CYL4,,,1,,5,90 LPLO FLST,2,2,4,ORDE,2 FITEM,2,2 FITEM, 2, 4 LESIZE, P51X,,,40,1/4, eleman sayısı! eleman tipi! malzeme özellikleri! daire halkası! radyal doğrultuda 45
FLST,2,2,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,3 LESIZE.P51X,,,30,,! teğetsel doğrultuda eleman sayısı MESH,1 /SOLU FLST,2,2,4 FITEM.2,2 FITEM,2,4 DL.P51X,,SYMM! simetri sınır şartlarının tatbiki FLST,2,l,4,ORDE,l FITEM.2,3 SFL,P51X,PRES,1000,,! basman tatbiki SOLVE /DSCLE,LL,OFF FLST,5,2,3,ORDE,2 FITEM,5,1 FITEM,5,4 KSEL.S,,,P51X NSLK,R,1 *GET,IN,NDMX *GET,OUT,NDMN LLSELL LPTH, IN, OUT! kritik kesityörüngesinin tayini PDEF,TEGET,S,Y PDEF,RDYL,S,X PLPTH, TEĞET, RDYL! kritik kesitte gerilmenin değişimini çizer KYNKÇ 1. HSU,T.,SINH, D.K., Computet ided Design: n Integrated pproach, West Publishing Company, St Paul, 1992 2. KRISHNMCHRI, SX, pplied Stress nalysis of Plastics; Mechanical Engineering pproach, Von Nostrand Reinhold, New York, 1993 3. UDYNS, R.G., dvanced Strength and pplied Stress nalysis, McGraw-Hill, Singapore, 1999 4. NSYS User's Manual for Revision 5.0, Swanson nalysis System Inc., Houston, 1992 5. MOVENI, S., Finite Element nalysis : Theory and pplication with NSYS, Prentice Hall, New Jersey, 1999 6. FGN,M.J., Finite Element nalysis, Longman Scientific and Technical, England, 1992 7. NSYS Parametric Design Language, a Nevision 5.0 Tutorial, Swanson nalysis System Inc., Houston, 1992 OD DERGİLERİ 2002 YILI ONE FORMU dı-soyadı Meslek İşyeri dı dres ve Posta Kodu Telefon e-posta Kayıtlı Olduğunuz OD Oda Sicil No İSTENİLEN DERGİ Dergi Mühendis ve Makina. Endüstri Mühendisliği Tesisat Mühendisliği.. Yıllık bone edeli 25.000.000 12.000.000 15.000.000 Tek Dergi edelsiz Mühendis ve Makina Endüstri Mühendisliği Tesisat Mühendisliği Ödenen Miktar Ödeme Şekli Gereğini bilgilerinize sunarım. Tarih / /2002 imza 96954 No.lu Posta Çeki hesabına, fotokopisiyie beraber bir dilekçe İş ankası Yenişehir/NK. Şb. 89872 Hs. anka dekontu ile beraber bir dilekçe 46 Mühendis ve Makina - Cilt: 43 Sayı; 508