İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi MAT 152 Genel Matematik II Final Sorularının Çözümleri: 1) Toplam gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre marjinal gelir fonksiyonu MG aşağıdakilerden hangisidir? A) ** B) C) D) E) Çözüm: Doğru cevap A dır. 2) Talep fonksiyonu olan ve toplam maliyet fonksiyonu TM=60+3q+0.2q 2 ile verilen malın toplam kar fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) -60+23q-0.4 B) -60+24q-0.3 C) -60+25q-0.4 D) -60+26q-0.4 E) -60+27q-0.4 ** Çözüm: Talep fonksiyonu olduğuna göre Toplam gelir fonksiyonu TG=p.q=( ).q=30q-0.2 elde edilir. Diğer taraftan toplam kar fonksiyonu için TK=TG-TM eşitliği sağlandığından TK=TG-TM =(30q-0.2 )-( 60+3q+0.2q 2 )=30q-0.2-60-3q-0.2q 2 = =-60+27q-0.4 bulunur. Doğru cevap E dir.
3) Bir şirketin adet cep telefonu üretildiğinde maliyet fonksiyonu olarak veriliyor. Üretilen 100. cep telefonunun marjinal maliyeti aşağıdakilerden hangisidir? A) 130 B) 120 ** C) 100 D) 90 E) 80 Çözüm. Marjinal maliyet fonksiyonu maliyet fonksiyonunun türevi olduğundan elde edilir. Marjinal maliyet fonksiyonu bulunur. Buna göre üretilen 100. cep telefonunun marjinal maliyeti MM q=100 =40+(0.8)100=40+80=120 TL olarak bulunur. Doğru cevap B dir. 4) Toplam maliyet fonksiyonu TM = 400 + 200q 6q 2 + 0.3q 3 şeklinde verildiğine göre ortalama değişken maliyet q nun hangi değeri için minimum değerde olur? A) 40 B) 30 C) 20 D) 10 ** E) 5
Çözüm: Toplam maliyet fonksiyonu TM = 400 + 200q 6q 2 + 0.3q 3 şeklinde verildiğine göre değişken maliyet fonksiyonu DM=200q 6q 2 + 0.3q 3 olacağına göre ortalama değişken maliyet fonksiyonu (DM)/q olacağından dolayı ortalama değişken maliyet fonksiyonu bulunur. Ortalama değişken maliyet, ortalama değişken maliyet fonksiyonunun alacağı minimum değerde minimum olacaktır. Bu da türevinin sıfır olduğu yerde olabilir. elde edilir. 0 olduğundan birinci türevi sıfır yapan q=10 de minimum vardır. Doğru cevap D dir. 5) Eğer p=62-3q ise fiyat 32 TL iken talep nokta esnekliği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) ** D) E) Çözüm: Talep nokta esnekliği formülü
olduğuna göre ve fiyat olan p verilmiş olduğuna göre talep miktarı q yu ve p=62-3q talep fonksiyonunun q ya göre türevini bulup p= 32 için değerini bulup formülde yerlerine yazacağız. Önce p=62-3q de p=32 yazıp q yu bulalım. p=62-3q 32=62-3q 3q=62-32 3q=30 q=(30)/3=10 q=10 bulunur. Şimdi de yu bulalım. = elde edilir. Bu bulduğumuz q=10, değerlerini ve hipotezde verilmiş olan p=32 değerini talep nokta esneklik formülü de yerlerine yazarsak, elde ederiz. Doğru yanıt C dir. 6) Bir rekabet pazarında bir malın talep çizelgesi p = 60 4q dır ve arz çizelgesi p = 20 + q dır. Hükümet bu mala ne kadar vergi koyarsa vergi hasılatını maksimum yapar? A) 20 **
B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 Çözüm: Vergilendirilmiş arz fonksiyonu p = 20 + q +t olacaktır. Maksimum satış ya da arz denge (equilibrium) durumunda maksimum olacağından ve denge durumu da talep fiyatı arz fiyatına eşit olduğunda gerçekleşeceğinden, 60 4q = 20 + q +t eşitliğinden q yu t cinsinden elde edeceğiz. 60 20-t= 4q+q 40- t = 5q (40- t)/5 = q 8-0.2t= q buluruz. Hükümetin elde edeceği toplam vergi TV=t.q olacağından dolayı yukarıda bulduğumuz q değerini bu eşitlikte yerine yazarsak, hükümetin elde edeceği toplam vergi hasılat fonksiyonu, TV=t.q=t. (8-0.2t) olacaktır. Toplam vergi hasılatı fonksiyonunun kritik noktalarını türevi 0 a eşitleyerek bulalım. eşitliğini çözeceğiz. O halde türevini bulmamız gerekiyor. t. (8-0.2t)]= t]. (8-0.2t) + (8-0.2t)= =1. (8-0.2t) +t.(-0.2)
=8-0.2t-0.2t =8-0.4t (t. (8-0.2t))=8t-0.2t 2 8t-0.2t 2 )= 8-2(0.2)t 2-1 =8-0.4t ( 20=t bulunur. Şimdi de toplam vergi fonksiyonunun ikinci türevini hesaplayalım ve ikinci türev testini uygulayalım. = = = Burada t=20 değerini yerine koyarsak, = 0 elde edilir ki t=20 TL vergi için hükümetin toplayacağı vergi hasılatı maksimum olur. Doğru cevap A dır. 7) Terimleri sırasıyla, 0,,, şeklinde sıralanan aritmetik dizinin 202. terimi aşağıdakilerden hangisidir? A) -1/(5) 200 B) -20 C) -30 D) -44
E) -40 ** Çözüm., olduğundan bu aritmetik dizinin ortak sabit farkı 0- = dir. eşitliğinde n=202, ve değerlerini yerlerine yazarsak, elde edilir. Doğru yanıt E dir. 8) 100000 TL para bankaya yıllık %10 faizle yatırılsa kaç yıl sonra 200000 TL olur? A) (ln 2)/ (ln(1, 01)) B) (ln 2)/ (ln(1,1)) ** C) (ln 2)/ (ln(1,11)) D) (ln 2)/ (ln(1,101)) E) (ln 2)/ (ln(1,12)) Çözüm: GD = ŞD (1 + i) n 200000= 100000(1 + 0.1) n (200000)/(100000)=(1 + 0.1) n 2=(1 + 0.1) n ln 2=ln(1 + 0.1) n ln 2=nln(1 + 0.1) ln 2=n (ln1.1)
(ln 2)/ (ln(1,1))=n 0.6931471805599453/0.0953101798043249=n O halde 100000 TL para (ln 2)/ (ln(1,1)) katı olur. (yani 7.2725408973417159357) yıl sonra iki 9) Bir hasta her gün aynı saatte 1 gram dozda bir hap yutmaktadır. Vücut metabolizması bu ilacın bir kısmını kana karıştırmakta ve %2 sini de vücutta bırakmaktadır. Her bir hapı yuttuğunda vücutta bulunan haptaki ilacın toplam miktarı ise yuttuğu hap miktarı artı vücutta daha önceden kalan doz miktarı olacaktır. Eğer hasta 1000 yıl yaşamış olsa 352000 gününcü hapı yuttuğunda yaklaşık olarak ne kadar gram ilaç hastanın vücudunda bulunur. A) B) C) D) ** E) Çözüm: Buna göre 1000. yılda 352000 gününcü hapı yuttuğunda vücutta bulunan ilaç miktarı olarak gösterilirse, eşitliğinde n=352000 gününcü hapı yuttuğunda, r=0.02 yazarsak = gram olacaktır. Doğru yanıt D dir.
10) Bir başka şirkete bir milyon TL toplam borcu olan bir şirket her yılın başında 50000 TL vermeyi taahhüt etmektedir. Bu ödemelerini sonsuza kadar yapacağını taahhüt etmektedir. Bankaya yatırsa yıllık %5 faiz alabilecekken her yıl 50000 TL para alan şirket 1000 yıl sonra bu günkü değerinde o yıla kadar toplam ne kadar TL para yaklaşık olarak almış olur. A) 3000000 B) C) 1000000 ** D) 1100000 E) 981556 Çözüm: GD=ŞD(1.05) ŞD=(GD)/(1.05) olacaktır. eşitliğinde, ve yazarsak,
TL bulunur. 11) Toplam maliyet fonksiyonu TM = 8000 + 12q q 2 + 0.2q 3 olduğuna göre ortalama değişken maliyet fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? a) ** b) c) d) e) 12q 6q 2-0.1q 3 Çözüm: Toplam maliyet fonksiyonu TM = 8000 + 12q q 2 + 0.2q 3 olduğuna göre değişken maliyet fonksiyonu DM=12q q 2 + 0.2q 3 olacaktır dolayısıyla ortalama değişken maliyet fonksiyonu (DM)/q olacağından dolayı değişken maliyet fonksiyonu bulunur. Doğru cevap A dır. E) Çözüm. 1 y ( 1 3sin x) x 1 12) lim x x 0 (1 3sin x) değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) e D) 3 **
ln ln 1 y ln(1 3sin x) x 1 y ln(1 3sin x) x lim lim x 0 x 0 lim x 0 ln y lim x 0 (1 3sin x)' 1 3sin x 1 1 ( x 1 3sin x) = 1 ln(1 3sin x) lim x lim x 0 x 0 3cosx 3 1 3sin x ln(1 3sin x) x lim x 0 (ln(1 3sin x))' x' elde edilir. Doğru cevap E şıkkıdır. 13) 158 kişilik İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi 1. sınıfta MAT 152 Genel Matematik II dersinin hocası finalde 10 uncu sıraya giren öğrenciye 2 şeker verdiğine ve birinci olan öğrenciye 40 şeker verdiğine göre ve her bir derecede aynı adette şeker olarak artıyorsa (yani her bir derece azaldığında aynı adette şeker olarak azalıyorsa) dersin hocası toplam kaç adet şeker dağıtacaktır? A) 420 B) 210 ** C) 110 D) 200 E) 100 Çözüm. Birinci olan öğrencinin aldığı şeker miktarını, ikinci olan öğrencinin aldığı şeker miktarını, üçüncü olan öğrencinin aldığı şeker miktarını ile ve böyle devam ederek 9 uncu olan öğrencinin aldığı şeker miktarını ile ve son olarak onuncu
olan öğrencinin aldığı şeker miktarını seriler için toplam formülü ile gösterelim. Bu takdirde sonlu aritmetik de ve =2 yazarsak, bulunur. O halde doğru yanıt B dir. 14) Fiyat fonksiyonu p=(60-2q) 0.5 nun q=22 için talep nokta esnekliği aşağıdakilerden hangisidir? A) 4/11 B) 6/11 C) 7/11 D) 8/11 ** E) 9/11 Çözüm: Talep nokta esnekliği formülü olduğuna göre ve talep miktarı olan q verilmiş olduğuna göre fiyat olan p yi ve p=40-2q talep fonksiyonunun q ya göre türevini bulup bulunacak p için
değerini bulup formülde yerlerine yazacağız. Önce p=(60-2q) 0.5 de q=22 yazıp p yi bulalım. p=(60-2q) 0.5 p=(60-2.22) 0.5 p=(60-44) 0.5 p=(16) 0.5 p=4 bulunur. Şimdi de yu bulalım. = (60-2q) 0.5 = =. =.( elde edilir. Bu bulduğumuz p=4, değerlerini ve hipotezde verilmiş oılan q=22 değerini talep nokta esneklik formülü de yerlerine yazarsak, elde ederiz. Doğru yanıt D dir. 15) Marjinal gelir fonksiyonu olarak verildiğine göre toplam gelir fonksiyonu TG aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) -300+ B) C) ** D)
E) Çözüm. Marjinal gelir fonksiyonu toplam gelir fonksiyonunun türevi olduğundan dolayı toplam gelir fonksiyonu marjinal gelir fonksiyonun integrali olan fonksiyonlardan biridir. = buluruz. Doğru cevap C dir. 16) MAT 152 dersinin 10 Mayıs 2013 tarihinde saat 09:00 dan 10:50 ye kadar olan sınıftaki derste bulunan toplam öğrenci sayısındaki artış hızı t değeri her bir on dakika için değer almak üzere 0 t 5 için fonksiyonu ile veriliyor. 09:10 ile 09:20 arasındaki sınıftaki öğrenci sayısındaki artış nedir? A) 16 ** B) 18 C) 20 D) 22 E) 24 Çözüm. = = = =(8-4+24)-(1-1+12)=28-12=16 =
dır. Bir malın talep fonksiyonu p=-0.2q 2 +20q+300 ve arz fonksiyonu p=0.6q 2-8q- 300 olarak verildiğine aşağıdaki 17, 18, 19 ve 20. soruları cevaplayınız. A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 ** 17) Denge (equilibrium) durumunda talep sayısı aşağıdakilerden hangisidir? Çözüm. Talep ile arz ın eşit olduğu durumda denge durumu olacağından dolayı -0.2q 2 +20q+300 =0.6q 2-8q- 300 dir. 0 =0.2q 2 + 0.6q 2-20q -8q- 300-300 0 =0.8q 2-28q-600 0 =(0.4q-20) (2q+30) 0.4q-20=0 ve 2q+30=0 0.4q=20 ve 2q=-30 q=(20)/0.4 ve q=(-30)/2 1 =50 ve q 2 =-15 bulunur ki negatif değeri dikkate alamayacağımızdan dolayı dengedeki miktar 50 dir.
18) Denge (equilibrium) durumunda fiyat aşağıdakilerden hangisidir? A) 900 B) 800 ** C) 700 D) 600 E) 500 Çözüm. Bir önceki soruda elde edilen q=50 değerini verilen fonksiyonlardan birinde örneğin talep fonksiyonunda yerine koyarsak denge satış fiyatını buluruz. p=-0.2q 2 +20q+300 p=-0.2(50) 2 +20.(50)+300 p=-0.2(2500)+20.(50)+300 p=-500+1000+300 p=800 denge fiyatı p= 800 TL olarak bulunur. A) (-29000)/3TL B) (-28000)/3TL C) (-26000)/3TL 19) Denge (equilibrium) fiyatına göre tüketiciler artısı (ya da tüketiciler eksisi) aşağıdakilerden hangisidir? D) (-25000)/3 TL ** E) (-23000)/3TL
Çözüm. Yukarıdaki iki soruda bulduklarımızı dikkate alarak denge durumunda tüketici artısını bulalım. O halde tüketici tasarrufu (tüketici artısı) Yani olacaktır. =( ) =(-25000)/3 +25000+15000-40000=(-25000)/3+40000-40000 (-25000)/3 TL tüketici tasarrufu (tüketiciler artısı ya da tüketiciler eksisi) bulunur. 20) Denge (equilibrium) fiyatına göre üreticiler artısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 20000 TL B) 30000 TL C) 40000 TL ** D) 50000 TL E) 60000 TL Çözüm. Denge durumunda üretici artısını bulalım. O halde üretici artısı (producer s surplus) Yani
olacaktır. =40000-{[ =40000- =40000- =40000-(25000-10000-15000)=40000-(0)=40000 =40000 bulunur. O halde 40000 üreticiler tasarrufu (üreticiler artısı) bulunur. Doğru yanıt C dir. UYARI: HER BİR SORU EŞİT DEĞERDE OLUP, YANLIŞ YANITLAR DİKKATE ALINMAYACAK, DOĞRU SAYISININ 5 PUAN İLE ÇARPILMASI SONUCU ELDE EDİLECEK PUAN YÜZ ÜZERİNDEN DEĞERLENDİRMEYE ALINACAKTIR. SÜRE 90 DAKİKADIR. BAŞARILAR BAZI İŞLEMLER 10.(42)=420