Soru 1. Soru 4. Soru 2. Soru 5. Soru 3. Soru 6.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Soru 1. Soru 4. Soru 2. Soru 5. Soru 3. Soru 6."

Levent Kaynarca
8 yıl önce
İzleme sayısı:

İ s t a n b u l K ü l t ü r Ü n i v e r s i t e s i Matematik -Bilgisayar Bölümü MB500, MC 56, MC 56 - NÜMERİK ANALİZ (I) 0 Ocak 0 CEVAPLAR Talimatlar Sınav süresi 5 dakikadır.

1 İ s t a n b u l K ü l t ü r Ü n i v e r s i t e s i Matematik -Bilgisayar Bölümü MB500, MC 56, MC 56 - NÜMERİK ANALİZ (I) 0 Ocak 0 CEVAPLAR Talimatlar Sınav süresi 5 dakikadır. İlk 0 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz. Sınav, belirtilen puanlandırmaya saip altı sorudan oluşmaktadır. Tam puan almak için yaptığınız işlemleri sınav kâğıdında belirtmeniz gerekmektedir. Sadece cevaplar puanlandırılmayacaktır. Sınav süresince mobil telefonlarınızı kapalı tutunuz. Ders notlarını içeren erangi bir aracın sınav süresince kullanılması yasaktır. Trigonometrik ifadelerle ilgili esap makinasında işlem yaparken radyan modunu kullanmayı unutmayınız. Aksi soruda belirtilmedikçe 5-ondalık dijit yuvarlama aritmetiği kullanarak esaplmalarınızı yapınız. Cevap anatarı, sınav sonrasında Matematik-Bilgisayar Bölümü panosuna asılacaktır. Başarılar. Yrd. Doç. Dr. Emel Yavuz Duman Soru. Soru 4. Soru. Soru 5. Soru. Soru 6.

2 Soru. Soru. 5 puan f fonksiyonunun bazı noktalarda aldığı değerleri içeren aşağıdaki tablo verilsin: f(x) f () türev değerine en iyi yaklaşımı yapınız. Cevap. Mümkün tüm yaklaşımların yanında, en iyi yaklaşım değeri = ve = 0.08 olmak üzere beş nokta orta formülü kullanılarak elde edilir. Buna göre olmak üzere f ( ) [f( ) 8f( ) + 8f( + ) f( + )] f () [f(0.84) 8f(0.9) + 8f(.08) f(.6)] (0.08) [ ( ) + 8(0.8896) ] (0.08) şeklinde yaklaşım sonucu elde edilir. 5 puan f(x) = e x sin x + 7 fonksiyonunun ikinci türevinin 0.7 noktasındaki değerine = 0.0 olmak üzere ikinci türev için orta nokta formülü kullanılarak yapılan yaklaşımda oluşan ata için bir üst sınır belirleyiniz. Cevap. ξ sayısı = = 0.69 ve + = = 0.7 arasında olmak üzere ikinci türev için orta nokta formülü kullanılarak yapılan yaklaşımda oluşan ata E = f (iv) (ξ) ifadesi ile verildiğinden f (x) = e x (sin x + cos x), f (x) = e x cos x, f (x) = e x (cos x sin x), f (iv) (x) = 4e x sin x olduğu kullanılarak E = 0.0 4eξ sin ξ ma.0 e ξ sin ξ 0.69 ξ 0.7 elde edilir. g(ξ) = e ξ sin ξ olmak üzere [0.69, 0.7] aralığında g (ξ) = e ξ (sin ξ + cos ξ) fonksiyonu ep pozitif değer aldığından g(ξ) fonksiyonu monoton artandır. Buna göre g(ξ) maksimum değerini aralığın sınırlarında alır: g(0.69) = e 0.69 sin 0.69 =.69 <.58 = e 0.7 sin 07 = g(0.7). Dolayısıyla, yapılan yaklaşımda oluşan ata için bir üst sınır E 0.0 (.58) = olarak elde edilir. Yani yapılan yaklaşım ε = 0 4 assaslıktadır.

3 Soru. Aşağıdaki tablo değerleri verilsin: 5 puan x i f(x i ) Newton geri fark formülünü kullanarak x = değerine bir yaklaşımda bulununuz. Cevap. Öncelikle Newton geri fark tablosunu oluşturalım: i x i f(x i ) f(x i ) f(x i ) f(x i ) 4 f(x i ) Buna göre = 0.4, x n =. ve x = olduğundan s = x xn edilir. Dolayısıyla istenen yaklaşım =. 0.4 = 0.5 olarak elde s(s + ) f() P 4 () =f(x n ) + s f(x n ) + s(s + )(s + ) f(x n ) + f(x n )!! s(s + )(s + )(s + ) + 4 f(x n ) 4! 0.5( ) = (.6) (0.768)! 0.5( )( ) (0.84)! 0.5( )( )( ) ( 0.07) 4! =0.97 şeklinde elde edilir.

4 Soru 4. 5 puan f(x) = x cos x fonksiyonu için f(x)dx integraline Simpson ve yamuk kurallarını kullanarak bir yaklaşımda bulununuz. Her iki yaklaşımda oluşan mutlak atayı esaplayınız. Cevap. İntegralin gerçek değeri kısmi integrasyon ile x = u dx = du ve cos xdx = dv sin x = v olmak üzere aşağıdaki şekilde esaplanır: x cos xdx = x sin x 5 sin xdx = (x sin x + cos x) 5 = 5 sin 5 + cos 5 sin cos = Diğer taraftan = b a = 5 = 4 olmak üzere yamuk kuralını kullanarak bir yaklaşım x cos xdx [f() + f(5)] 4 [ cos + 5 cos 5] =.97 ve = b a = 5 = olmak üzere Simpson kuralını kullanarak bir yaklaşım x = a + = + = için x cos xdx [f() + 4f() + f(5)] [ cos + 4( cos ) + 5 cos 5] = 6.64 şeklinde elde edilir. Buna göre yamuk ve Simpson kurallarını kullanarak yapılan yaklaşımlarda oluşan mutlak atalar sırası ile = ve olarak bulunur ( 6.64) =

5 Soru 5. 0 puan f(x)dx integral değerine orta nokta kuralı ile bir yaklaşım yapıldığında, n = için bileşik orta nokta ve bileşik Simpson kuralları ile yapılan yaklaşımlardan ise sırası ile 5 ve 6 sonuçları elde ediliyor. f( ) = f(), f( 0.5) = f(0.5) olduğunu kullanarak f( ), f( 0.5) ve f(0) değerilerini esaplayınız. Cevap. Orta nokta kuralı kullanılarak yapılan yaklaşımdan sonucu elde edildiğine göre, x =, x =, = x x = ( ) = ve x 0 = x + = + = 0 için f( )dx f( ) = ()f(0) = f(0) = 6 olarak elde edilir. Diğer taraftan n = için bileşik orta nokta kuralı ile 5 neticesine ulaşıldığından = b a = ( ) = 0.5 ve x n+ + 0 = a + = = 0.5, x = a + = + = 0, x = a + = +.5 = 0.5 olmak üzere f( )dx f(x j ) = (0.5)(f( ) + f(x )) = (0.5)(f( 0.5) + f(0.5)) = 5 j=0 ve buradan f( 0.5) = f(0.5) olduğunu kullanarak f(0.5) + f(0.5) = 5 f(0.5) =, f( 0.5) = sonucu elde edilir. Son olarak n = için bileşik Simpson kuralı ile 6 neticesine ulaşıldığından = b a = ( ) = ve x n = + = + = 0 için f( )dx [f(a) + 4f() + f(b)] = [f( ) + 4f() + f()] = ve burada f( ) = f(), f(0) = 6 olduğu kullanılarak sonucu elde edilir. [f() + 4(6) + f()] = f() = f( ) = 6 5

6 Soru 6. 0 puan f (x) = f( + ) f( ) f (ξ) şeklinde verilen türev değeri için fark formülünde oluşan yuvarlama atasını araştırınız. Metodun güvenilirliği akkında yorum yapınız. Cevap. f( + ) ve f( ) ifadeleri sırası ile e( + ) ve e( ) yuvarlama ataları ile f( + ) ve f( ) olarak esaplansın. Buna göre f( + ) = f( + ) + e( + ) ve f( ) = f( ) + e( ) yazılabilir. Dolayısıyla, yaklaşımda kesme ve yuvarlamadan dolayı oluşan toplam ata yani f ( ) = [ f( + ) + e( + ) f( ) e( )] f (ξ) = f ( + ) f ( ) + e ( + ) e( ) f (ξ) f ( ) f ( + ) f ( ) = e ( + ) e ( ) f (ξ) şeklinde elde edilir. Eğer e ( + ) ve e ( ) yuvarlama ataları bir ε > 0 sayısı ile, f fonksiyonunun ikinci türevi ise bir M sayısı ile sınırlıysa f ( ) f ( + ) f ( ) = ε + M elde edilir. M kesme atasını minimize etmek için uzunluğunu azaltmak gerekir. Fakat değerinin azalması durumunda ε ile verilen yuvarlama atası değeri artacaktır. Dolayısıyla metot güvenilmezdir. 6

7 Newton Geri Fark Formülü: Fark Formülü: Üç-Nokta Uç Nokta Formülü: Üç-Nokta Orta Nokta Formülü: Beş-Nokta Orta Nokta Formülü: Beş-Nokta Uç Nokta Formülü: n P n(x) = f(x n) + ( ) k( s ) k f(x n) k k= f ( ) = f( + ) f( ) f (ξ) f ( ) = [ f() + 4f( + ) f( + )] + f (ξ) f ( ) = [f( + ) f( )] 6 f (ξ) f ( ) = [f( ) 8f( ) + 8f( + ) f( + )] f (v) (ξ) f ( ) = [ 5f() + 48f( + ) 6f( + ) + 6f( + ) f( + 4)] f (v) (ξ) İkinci Türev için Orta Nokta Formülü: Kapalı Newton-Cotes Formülleri. n = : Yamuk Kuralı n = : Simpson Kuralı n = : Simpson 8 Kuralı n = 4: x4 x f ( ) = [f ( ) f ( ) + f ( + )] f (iv) (ξ) x x f (x) dx = [f () + f (x )] f (ξ) f (x) dx = [f () + 4f (x ) + f(x )] 5 60 f (iv) (ξ) f (x) dx = 8 [f () + f (x ) + f (x ) + f(x )] 5 80 f (iv) (ξ) f (x) dx = 45 [7f () + f (x ) + f (x ) + f (x ) + 7f (x 4 )] f (vi) (ξ) Açık Newton-Cotes Formülleri. n = 0: Orta Nokta Kuralı x f (x) dx = f( ) + x f (ξ) n = : n = : n = : Bileşik İntegrasyon. Bileşik Simpson Kuralı: Bileşik Yamuk Kuralı: Bileşik Orta Nokta Kuralı: x4 x x x f (x) dx = [f() + f(x )] + 4 f (ξ) x f (x) dx = 4 [f() f (x ) + f(x )] f (iv) (ξ) x f (x) dx = 5 4 [f() + f (x ) + f (x ) + f(x )] f (iv) (ξ) b f (x) dx = a [ (n/) f (a) + j= n/ f (x j ) + 4 j= ] f (x j ) + f(b) b a 80 4 f (iv) (ξ) b f (x) dx = n f (a) + f (x j ) + f(b) b a a f (ξ) j= b a n/ f (x) dx = f(x j ) + b a 6 f (ξ) j=0 7

Benzer belgeler

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB00 Analiz I 3 Aralık 03 Final Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Taatlar: Sınav süresi 0 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz.