TOK 14 Bildiri Kitab 11-13 Eylül 14, Kocaeli Doğrusal Ters Sarkacın Denge Kontrolü İçin Yapay Sinir Ağı Tabanlı Bulanık Mantık & LQR Kontrolcü Tasarımı Hasan Hüseyin Bilgiç 1, Muhammed Arif Şen, Ahmet Yapıcı 3, Mete Kalyoncu 4 1,3 Makina Mühendisliği Bölümü Mustafa Kemal Üniversitesi, İskenderun, Hatay, Türkiye hhbilgic@mku.edu.tr, ayapici@mku.edu.tr,4 Makina Mühendisliği Bölümü Selçuk Üniversitesi, Konya, Türkiye marifsen@selcuk.edu.tr, mkalyoncu@selcuk.edu.tr Özetçe Kararsız ve doğrusal olmayan yapısı ile ters sarkaç sistemi, üzerinde birçok kontrol teorisinin çalışılmasına olanak sağlayan klasik bir kontrol düzeneğidir. Ters sarkacın denge problemine farklı bir yaklaşım olan bu çalışmada, sarkacın denge kontrolünü iyileştirmeye yönelik olarak Yapay Sinir Ağı Tabanlı Bulanık Mantık (YBM) Kontrolcü tasarımı gerçekleştirilmiştir ve klasik kontrol yöntemlerinden olan LQR kontrolcüye göre performansı deneysel olarak karşılaştırılmıştır. Sistemin matematiksel modeli ve kontrol teorisi detaylı olarak incelenmiş, sistemin kontrolü için tasarlanan mevcut LQR kontrolcü verilmiştir. LQR kontrol uygulama verileri MATLAB/Simulink ANFIS Editor ortamında yapay sinir ağı tabanlı eğitilerek elde edilen YBM ve LQR kontrolcü performansları karşılaştırılmıştır. Kontrol sistemleri MATLAB/Simulink ortamında tasarlanarak Quanser doğrusal ters sarkaç deney cihazında uygulanmıştır. Kontrolcülere göre sistem cevapları değerlendirildiğinde YBM kontrolcünün sistemin kontrolünde iyileşme sağladığı anlaşılmıştır. 1.Giriş Geçmişten bugüne araştırmacıların ilgisini çeken ters sarkaç problemi kanonik ve doğrusal olmayan yapısı ile kontrol teorileri ve uygulamaları için son derece popüler bir konu olmuştur. Tek çubuklu arabalı ters sarkaç [1-1], çift çubuklu arabalı ters sarkaç [11, 1], döner ters sarkaç [13, 14], gezgin ters sarkaç [15, 16] sistemlerinin dengeleme problemleri literatürde yaygın bir şekilde yer almaktadır ve hala güncelliğini korumaktadır. Ters sarkacın denge problemine yönelik farklı bir yaklaşımla gerçeklenmiş olan bu çalışmada sarkacın doğrusal olmayan matematik modeli doğrusallaştırılmış ve tam durum geri beslemesi ile kontrolü yapılmıştır. Kontrolcü tasarlanırken, sarkacın dikey olarak dengede tutulması ve arabanın başlangıç noktasına getirilmesi hedeflenmiştir.. Ters Sarkaç Sistemi Arabalı ters sarkaç sistemi temelde M kütleli bir araba ve araba üzerinde serbest durumda dönebilecek şekilde bağlanmış m kütleli ve l boyundaki bir sarkaçtan oluşur. Sarkacın iki denge noktası vardır bunlardan biri α açısının sıfır olduğu kararsız denge noktası ve diğeri π olduğu kararlı denge noktasıdır. Amaç; sarkacın dikeyle yaptığı α açısını sıfır değerinde dengede tutmaktır. Bunu gerçekleştirmek için de arabaya bir u girişi uygulanmaktadır (Şekil 1). Girişin u olduğu sistemde çıkışlar sarkaç açısı α ve arabanın konumu x tir. Şekil 1: Arabalı ters sarkaç modeli Newton un hareket kanunlarına göre arabanın yatayda yaptığı hareket ve sarkacın yataydaki kuvvet analizi denklemlerinin ortak çözümünden aşağıdaki denklem elde edilir. cos sin u (1) ( M m) x bx ml cos ml sin u Sarkacın düşey yöndeki kuvvet analizi ve sarkacın merkezinde oluşan moment denklemlerinin ortak çözümünden aşağıdaki denklem elde edilir. ( I ml ) mgl sin mlx cos () Analiz ve kontrol teknikleri doğrusal sistemlerin kontrolleri için geçerlidir ve elde ettiğimiz denklemlerin doğrusallaştırılmaları gerekmektedir. Bunun için, sinα ve cosα terimlerinin yok edilmesi gerekmektedir. Sarkaç açısındaki değişimin çok küçük olduğunu varsayarak aşağıdaki kabulleri uygulayabiliriz. sin sin( ) cos cos( ) 1 (3) 91
(1) ve () numaralı denklemlere yukarıdaki kabullerimizi uygulayarak doğrusallaştırılmış iki denklem elde ederiz. ile doğrusal olarak hareket eder. Sistemde bulunan bir enkoder yardımı ile sarkacın açısı ölçülür. ( I ml ) mgl mlx (4) ( M m) x bx ml u (5).1. Transfer Fonksiyonu Doğrusallaştırılmış sistem denklemlerinin (4), (5) transfer fonksiyonlarını elde etmek için başlangıç koşullarını sıfır kabul ederek denklemlerin Laplace dönüşümü alınır. Transfer fonksiyonunda başlangıçta hem kutup hem de sıfır vardır. Sıfırı iptal ederek gerekli düzeltmeler yapılarak sarkacın açısının çıkış olduğu (6) ve arabanın pozisyonunun çıkış olduğu (7) transfer fonksiyonları aşağıdaki gibi elde edilir. ml s ( s) q rad [ ] U ( s) b( I ml ) ( M m) mgl bmgl N 3 s s s q q q ( I ml ) s gml X ( s) q m [ ] U ( s) b( I ml ) ( M m) mgl bmgl N 4 3 s s s s q q q (6) (7) [( )( ) ( ) ] (8) q M m I ml ml Şekil : Deney düzeneği Sarkacın açısının ve arabanın konumunun doğrudan, sarkacın açısal hızının ve arabanın doğrusal hızının bu iki durumunun türevleri alınarak bulunduğu sisteme ait gerekli parametreler Tablo 1 de verilmiştir. Tablo 1: Quanser doğrusal ters sarkaç deney setine ait gerekli parametreler [17]... Durum Uzay Modeli Parametre Açıklama Sistemin durum-uzay gösterimi aşağıdaki gibidir. 1 x ( ) x I ml m gl I ml x I ( M m ) M ml I ( M m ) M ml x I M m ) M ml ( u 1 mlb mgl( M m) ml I ( M m ) M ml I ( M m ) M ml I ( M m ) M ml =Ax+Bu olan durum-uzay modeli için durumlarımız; x 1 =x: arabanın konumu, x =: arabanın doğrusal hızı, x 3 =ø: sarkacın açısı, x 4 =: sarkacın açısal hızıdır, A sistem matrisi ve B giriş matrisidir. x [ x, x, x, x ] T (1) ] T 1 3 4 (9) g=9.81 Yer çekimi sabiti [m/sn ] M=.75 Sarkaç arabasının arabanın ağırlığı [kg] M=.3 Sarkacın ağırlığı [kg] I=7.88 1-3 Sarkacın atalet momenti [kgm ] L=.643 Sarkacın uzunluğu [m] B=5.4 Sarkaç arabasının eşdeğer viskoz sönüm oranı[n m sn/rad] K ep=.15 Sarkaç encoder hassasiyeti [rad/tur] f maks=5 I maks=1 Maksimum motor giriş voltaj frekansı [Hz] Maksimum motor giriş akımı [A] x x x x, x x x x b (11) 1, 1 3 4, 4 3 maks=6.3 Maksimum motor hızı [rad/sn].3. Deney Düzeneği Deneysel çalışmalar için Şekil de görülen Quanser marka doğrusal ters sarkaç deney seti kullanılmıştır. Literatürde bu deney seti kullanılarak yayınlanmış birçok makale bulunmaktadır [1,3]. Yüksek hassasiyet ve MATLAB/Simulink ile eş zamanlı kullanımı bu deney setinin seçilmesinde önemli etkenlerdir. MATLAB/Simulink modülü ile eş zamanlı çalışabilen deney seti, aynı zamanda sistemden aldığı verileri bilgisayara kaydedebilmektedir. Deney setini basit olarak tanıtmak gerekirse; araba, kramayer dişli üzerinde DC servo motorun miline bağlı dişlinin dönmesi 3. Ters Sarkaç Sistemi İçin Kontrolcü Tasarımı 3.1. Doğrusal Kuadritik Kontrolcü (LQR) Tasarımı Durum darbe cevaplarının minimize edilmesini amaçlayan LQR kontrol, doğrusal optimal durum geri besleme kontrol olarak da adlandırılabilir. Çok düzenli bir sentez sürecine sahip olan LQR kontrol aynı zamanda da yüksek seviyede dayanıklı kararlılığa sahiptir [18]. Bu sebeple sonraki bölümde tasarlanan YBM kontrolcü 9
performansı LQR kontrolcü performansı ile karşılaştırılmıştır. LQR kontrolcü tasarlanırken sarkacın bağlı olduğu arabanın sarkacı dengede tutarak yatay eksende belirlediğimiz bir referans noktasına gelmesi amaçlanmıştır. Kontrol yöntemi, sistem değişkenlerinin hata değerlerinin geri beslenmesi yoluyla uygulanmaktadır. Bir nevi kutup yerleştirme mantığı kullanılmaktadır [1]. LQR kontrol yöntemi uygulanırken, durum takip hatası ve sistem girdi maliyeti kullanılarak Denklem 1 de görüldüğü üzere J performans indeksi olarak bilinen bir ilişki tanımlanır. 1 J T ( e Qe u Ru) dt T (1) Burada amaç J nin minimize edilmesidir. Bu ifadede e T Qe ve u T Ru kuadritik formda olup Q pozitif belirli veya yarı belirli ve R pozitif belirli köşegen matrisdir. q 1 q 1 Q, R r1 q 1 q1 (13) LQR kontrolde kullanıcının tanımladığı q i ve r 1 katsayılarına bağımlı olarak performans indeksi minimize edecek sistem girdisi (u) bulunur. Sistemin durum-uzay modelinde de görülen =Ax+Bu için sistem girdisi (u) temelde u=k.x şeklindedir. Burada K=R -1 B T P olup, P ise aşağıdaki Ricatti eşitliğinin çözümünden bulunabilen simetrik matristir. PA+A T P+Q-PBR -1 B T P= (14) Bu eşitliği nümerik olarak çözen programlardan biri de MATLAB tır. Ağırlık matrisleri Q, R, sistem matrisi A ve giriş matrisi B bilindiğinde K geri besleme matrisi lqr komutu ile bulunmaktadır. Sistemimiz için; 35 35 Q, R..1.1 (15) Sonuçta sinirsel bulanık sistemler sayesinde yapay sinir ağları daha anlaşılır hale gelir [18]. Jang ın geliştirdiği Anfis yöntemi doğrusal olmayan fonksiyonların modellenmesinde ve kaotik zaman sinirlerinin tahmininde kullanılmıştır. MATLAB ın ANFIS Editor modülü aracılığı ile yöntem araştırmacıların kullanımına sunulmuştur [16, 19, ]. MATLAB/Anfis ile kontrolcü tasarlarken aşağıdaki adımlar takip edilmelidir [19, 1]. Kontrol edilecek sistem için veri toplayarak bu verileri ANFIS in kullanabileceği şekilde arabirime yüklemek. Uygun yapıyı oluşturmak: Bunun için, önceden hazırlanmış veya boş bir yapı kullanabiliriz. Boş yapıda giriş-çıkış ilişkisinin nasıl belirleneceğini gösteren iki yöntem vardır. Bunlar: Grid Partitioning ve Subtractive Clustering. Bu aşamada giriş ve çıkış üyelikleri ile ilgili tanımlamalar da yapılabileceği gibi optimizasyon da yaptırılabilmektedir. Yalnız, çıkıştaki üyelik sayısını, dolayısıyla kural sayısını belirlemek veya bir kısıtlama getirmek mümkün değildir. ANFIS bunları kendisi otomatik belirler. Ağı eğitmek: Burada eğitim hatasının sıfır olması istenilir. Eğitimde hatanın yayılması iki şekilde olur; sadece geri yayılım veya hibrit bir metot kullanılır. Sonuç olarak meydana gelen fismat yapısının performansı kontrol verisi yardımıyla belirlenerek grafik olarak kullanıcıya sunulur. YBM kontrolcü için LQR kontrolcüsündeki dört adet kazanç sabiti ve bir adet çıkış olmak üzere beş adet veri elde edilmiştir. Bu sayede sistem hakkında yeterli veri elde edilmiştir. Elde edilen veriler ANFIS arabirimine yüklenmiştir. Tasarımda dört girişin her biri için küçük (k), orta (o) ve büyük (b) şeklinde üçer üyelik fonksiyonu olmak üzere toplamda on iki üyelik fonksiyonu gerçekleşmiştir (Şekil 3, 4, 5, 6). Q, R, A ve B matrisleri MATLAB da lqr komutu yardımı ile nümerik olarak çözdürüldüğünde geri besleme matrisi K=[-41.833, 18.7171, -46.5589, 5.9586] olarak bulunur. 3.. Yapay Sinir Ağı Tabanlı Bulanık Mantık (YBM) Kontrolcü Tasarımı Şekil 3: Araba konumu üyelik fonksiyonları Yapay sinir ağı tabanlı bulanık mantık (YBM) kontrolcü, yapay sinir ağlarının paralel hesaplayabilme ve öğrenme kabiliyeti ile bulanık mantığın uzman bilgisini kullanarak sonuç çıkarabilme özelliklerinin birleşiminden oluşur. 93
Eğitim için 449, test için 94 verinin kullanıldığı ANFIS eğitimi, test sonuçları ile desteklenmiş ve Şekil 8 de gösterilmiştir. Yapılan eğitim sonucunda RMSE (istatiksel hata) değeri.3554 olarak hesaplanmış, eğitim ve test verilerinde de büyük bir oranda örtüşme olduğu görülmüştür. Bu bağlamda kullanılan veri sayısının ANFIS eğitimi için yeterli olduğu söylenebilir. Şekil 4: Sarkaç açısı üyelik fonksiyonları MATLAB ın ANFIS Editor modülü yardımı ile tasarlanan YBM kontrolcü MATLAB/Simulink ortamında uygulanmıştır. Elde edilen kontrolcü cevapları, bulgular ve tartışma kısmında ele alınmıştır. Şekil 5: Araba hızı üyelik fonksiyonları Şekil 8: ANFIS eğitimi test sonuçları 4. Bulgular ve Tartışma Tablo 1 deki parametreler kullanılarak yapılan çalışmalarda α açısı başlangıçta sıfır olduğunda kontrolcü devreye girmiş ve sarkacı kararsız denge noktasında dengede tutma karalığını sürdürürken arabayı da başlangıç noktasında tutmaya çalışmıştır. Sarkacın açısı, arabanın konumu ve motor voltajının zamana bağlı değişim grafikleri Şekil 9, 1 ve 11 de görülmektedir. Şekil 6: Sarkaç açısal hızı üyelik fonksiyonları Hibrit metod kullanılarak ve hata toleransı sıfır alınarak ağ eğitilmiştir. Oluşturulan ANFIS yapısında toplam 37 adet düğüm vardır. 15 tane doğrusal ve 4 tane doğrusal olmayan 39 parametre kullanılmıştır. Sugeno tipi bulanık çıkarım yönteminin kullanıldığı eğitimde üç tane de kural mevcuttur. Oluşturulan yapay sinir ağının yapısı Şekil 7 de gösterilmiştir. Şekil 9: YBM ve LQR kontrolcü ile sarkaç açısının zamana bağımlı değişimi Şekil 9 da YBM kontrolcü ve LQR kontrolcü için sarkaç açısının zamana bağlı değişim grafiği görülmektedir. Şekilde de görüldüğü üzere YBM kontrolcü ve LQR kontrolcü benzer eğilimler göstermesinin yanı sıra YBM kontrolcü cevabında belli aralıklarda daha az maksimum aşma gözlenmiştir. Ayrıca LQR kontrolcüye göre daha az gürültülü bir cevap verdiği anlaşılmaktadır. LQR kontrolcü ise YBM kontrolcüye göre oturma süresini açısından daha avantajlıdır. Şekil 7: Yapay sinir ağı yapısı 94
Daha çok doğrusal sistemlerin kontrolü için önerilen LQR kontrol belli bir çalışma aralığında doğrusallaştırdığımız sistemin kontrolünde uygulanmıştır. Doğrusal olmayan sistemlerin kontrolü için tercih edilen YBM kontrolcü ile doğrusal olmayan sistem davranışlarındaki olumsuz etkiler azaltılmaya çalışılmıştır. Şekil 1: YBM ve LQR kontrolcü ile arabanın konumunun zamana bağımlı değişimi Şekil 1 da YBM kontrolcü ve LQR kontrolcü için sarkacın bağlı olduğu arabanın konumunun zamana bağlı değişim grafiği görülmektedir. Şekilde de görüldüğü üzere YBM kontrolcü için arabanın konumu LQR kontrolcü ile elde edilen cevaplara benzer bir eğilim göstermiştir. YBM kontrolcünün LQR kontrolcüye göre daha az gürültüye sahip olduğunun söylenebileceği gibi LQR kontrolcünün de maksimum aşma değerine göre daha avantajlı olduğu görülmektedir. Şekil 11: YBM ve LQR kontrolcü ile motor voltajının zamana bağımlı değişimi Şekil 11 de YBM kontrolcü ve LQR kontrolcü için motor voltajının zamana bağlı grafiği görülmektedir. Şekilde de görüldüğü üzere YBM kontrolcü için motor voltajı LQR kontrolcü motor voltajına göre daha az gürültülüdür. Bu istenmeyen bir durum olsa da sarkaç açısının daha hızlı denge konumuna getirilmesi kontrolcünün esas amacı olduğu için gürültü göz ardı edilebilir. 5. Sonuçlar Bu çalışmada, tek serbestlik dereceli doğrusal ters sarkacın denge kontrolünü iyileştirmeye yönelik yapay sinir ağı tabanlı bulanık mantık (YBM) kontrolcü tasarımı gerçekleştirilmiş ve klasik kontrol yöntemlerinden olan LQR kontrolcü ile kıyaslanarak kontrolcü performansı karşılaştırılmıştır. MATLAB/Simulink ortamında oluşturulan kontrol blok diyagramları deney cihazı ile eş zamanlı olarak çalıştırılmış, YBM ve LQR kontrolcü performansları karşılaştırılmıştır. LQR kontrolcüde, sistemin bütün durum değişkenleri aynı ağırlıkta değerlendirilirken, YBM kontrolcüde ise sarkaç açısının minimize edilmesi ve arabanın referans konumu gerçekleştirmesi öncelikli kontrolcü performans kriteri olarak alınmıştır. Sonuç olarak, YBM kontrolcü LQR kontrolcüye kıyasla belirtilen kontrolcü performans kriterini sağlamakta daha başarılı olduğu görülmüştür. Ayrıca bu çalışma kapsamında incelenen ters sarkaç sistemine benzer sistemlerin davranışları hakkında bilgi sahibi olunduğu zaman ANFIS ile bulanık mantık, kontrolcü tasarımında denenebilir, kontrol cevapları üzerinde olumlu etki yapabilir. Özellikle YBM kontrolcünün, LQR kontrolcüdeki doğrusal olmayan sistem performansını iyileştirmeye yönelik uygulanabileceği anlaşılmıştır. Kaynakça [1] Vinodh Kumar, E., and Jovitha Jerome. "Robust LQR Controller Design for Stabilizing and Trajectory Tracking of Inverted Pendulum." Procedia Engineering64 (13): 169-178. [] S. Kahvecioğlu, A. Karamancıoğlu, A. Yazıcı, "Enerji Kontrolüne Dayalı Doğrusal Olmayan Model Öngörümlü Denetim İle Ters Sarkacın Yukarı Kaldırılması" http://www.emo.org.tr sitesinden.5.14 tarihinde alınmıştır. [3] Gawthrop, Peter J., and Liuping Wang. "Intermittent predictive control of an inverted pendulum." Control Engineering Practice 14.11 (6): 1347-1356. [4] A. Özbey, E. Uzal, "Ters Sarkacın Nonlineer Kontrolü" TİMAK Tasarım İmalat Analiz Kongresi, Balıkesir, Türkiye, Nisan 6-8, 378-384, 6. [5] Muskinja, N., Tovornik, B., Swinging Up and Stabilization of a Real Inverted Pendulum, IEEE Transactions on Industrial Electronics, VOL. 53, NO. (6). [6] Nundrakwang, S., Benjanarasuth, T., Ngamwiwit, J., Komine, N., Hybrid PD - Servo State Feedback Control Algorithm for Swing up Inverted Pendulum System, ICCAS5, KINTEX, Gyeonggi-Do, Korea (5). [7] Aström, K.J., Aracil, J., Gordillo, F., A NEW FAMILY OF SMOOTH STRATEGIES FOR SWINGING UP A PENDULUM, Automatica (8), [8] Yazici A., Karamancioglu A., A Nonlinear Programming Approach For The Swing-Up Control Problem, Journal of Engineering and Architectural Faculty of Eskişehir Osmangazi University, v..xxi, no., s.17-1, 8 [9] Yazıcı A., Karamancıoğlu A., Structured Robust Stability Analysis of an Inverted Pendulum System with a Fixed Feedback, Journal of Engineering and Architectural Faculty of Eskişehir Osmangazi University, v.xviii, no., s. 55-7, 5. 95
[1] A. Yazıcı, A. Karamancıoğlu, "Ters Sarkaç Sisteminin Kontrol Eğitiminde Test Aracı Olarak Kullanılması." http://www.emo.org.tr sitesinden.5.14 tarihinde alınmıştır. [11] Sun, Zhe, Ning Wang, and Yunrui Bi. "Type- 1/Type- fuzzy logic systems optimization with RNA genetic algorithm for double inverted pendulum." Applied Mathematical Modelling (14). [1] Inoue, A., Deng, M., Tanabe, T., Practical Swingup Control System Design of Cart-type Double Inverted Pendulum, 5th Chinese Control Conference 7 1 August, 6, Harbin, Heilongjiang (6). [13] Spong, M.W., Corke, P., Lozano, R., Nonlinear control of the inertia wheel pendulum, Automatica, 37, 1, 1845-1851 (1). [14] Nath, Vishwa, and R. Mitra. "Swing-up and control of Rotary Inverted Pendulum using pole placement with integrator." Engineering and Computational Sciences (RAECS), 14 Recent Advances in. IEEE, 14. [15] Grasser, F., Arrigo, A., Colombi, S., Rufer, A.C., JOE: a mobile, inverted pendulum, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Volume 49, Issue 1, Feb Page(s):17 114 (). [16] Wu, Junfeng, and Shengwei Jia. "TS adaptive neural network fuzzy control applied in twowheeled self-balancing robot." Strategic Technology (IFOST), 11 6th International Forum on. Vol.. IEEE, 11. [17] Quanser Inc., Canada, 1. Inverted pendulum plant manual. [18] Kashani, R., Active Vibration Damping Using Optimal Control Techniques. 3. [19] Jang J.S., ANFIS: Adaptive-Network-based Fuzzy Inference System, IEEE Trans. On System, Man and Cybernetics. Vol.3, No 3, 665-685, May/June 1993. [] Kalyoncu, M., Tınkır, M., Hierarchical adaptive network based fuzzy logic controller design for a single flexible link robot manipulator, EPE- PEMC'8, The 13th International Power Electronics and Motion Control Conference, Poznań, Poland, September 1-3, 989-996, 8. [1] Jang, J. S., Gulley N., Fuzzy Logic Toolbox User s Guide, The Mathworks Inc., 1995. 96