Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin 1
Yrd. Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ 1 ISBN 978-605-318-249-8 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 1. Baskı: Eylül 2015, Ankara Yayın-Proje Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Didem Kestek Kapak Tasarımı: Didem Kestek Baskı: Ayrıntı Basım Yayın ve Matbaacılık Ltd. Şti İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 770. Sokak No: 105/A Yenimahalle/ANKARA (0312 394 55 90) Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 13987 İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50-430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24-434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net
Önsöz Bu kitap, üniversitelerin eğitim, fen ve mühendislik fakültelerinde okutulan Analiz I II ve Genel Matematik I II derslerine yardımcı olmak amacıyla yazılmıştır. Kitap dokuz bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm önbilgiler olarak düşünülebilecek, kümeler, sayılar, denklemler ve fonksiyonlar konularını içermektedir. İkinci bölümde, dizinin ve fonksiyonun limiti, üçüncü bölümde süreklilik, dördüncü bölümde türev ve türev alma kuralları, beşinci bölümde türevin geometrik, fiziksel uygulamaları, maksimum ve minimum problemleri, grafik çizimi ve kutupsal koordinatlar konularından oluşmaktadır. Son dört bölüm ise sırasıyla; belirsiz integral, belirli integral, belirli integralin uygulamaları ve genelleştirilmiş integral konularını içermektedir. Her bölüm konu ile gerekli tanım ve teoremler verildikten sonra çok sayıda çözülmüş problemden oluşmaktadır. Bir çok problem birden fazla yolla çözülmüştür. Kitabın kolay okunup, anlaşılabilmesi için gerekli titizliğin gösterilmesine rağmen yine de bazı hatalar olabilir. Bu konuda her türlü uyarı ve eleştiride bulunacak meslektaş ve öğrencilere şimdiden teşekkürlerimi sunarım. Diyarbakır 2015 Erhan PİŞKİN episkin@dicle.edu.tr
İÇİNDEKİLER Sayfa Önsöz... 0 1. ÖN BİLGİLER 1 1.1. Kümeler. 1 1.2. Sayılar 11 1.2.1 Karmaşık Sayılar....... 13 1.2.2. Sonlu ve Sonsuz Kümeler. 25 1.2.3. Cebirsel ve Transandant Sayılar.... 25 1.2.4 Reel Sayı Aralıkları... 26 1.2.5. Mutlak Değer. 27 1.2.6. Üslü ve Köklü Sayılar... 28 1.3. Tümevarım Yöntemi. 30 1.3.1. Toplam ve Çarpım Sembolleri.. 34 1.4. Denklemler 38 1.4.1. İkinci Dereceden Denklemler 38 1.4.2. Üçüncü Dereceden Denklemler. 41 1.4.3. Dördüncü Dereceden Denklemler... 46 1.5. Fonksiyonlar.. 49 1.5.1. Kartezyen Çarpım..... 49 1.5.2. Bağıntı... 51 1.5.3. Fonksiyon.. 57 1.5.4. Parçalı Fonksiyon.. 66 1.5.5. Mutlak Değer Fonksiyonu.... 68
1.5.6. İşaret (Signum) Fonksiyonu.. 75 1.5.7. Tam Değer Fonksiyonu..... 77 1.5.8. Trigonometrik Fonksiyonlar..... 83 1.5.9. Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar. 92 1.5.10. Hiperbolik Fonksiyonlar... 93 2. LİMİT...... 97 2.1. Diziler........ 97 2.1.1. Dizinin Limiti... 102 2.1.2. Cauchy Dizisi.... 106 2.1.3. Limit Hesaplanırken Kullanılacak Bazı Önemli Teoremler 106 2.1.4. Terimleri Arasında Tekrarlama Bağıntısı Bulunan Diziler. 109 2.2.. Bir Fonksiyonun Limiti.... 125 3. SÜREKLİLİK.. 153 4. TÜREV... 165 4.1. Türev Kavramı...... 165 4.2. Türev ve Süreklilik İlişkisi...... 165 4.3. Türev Alma Kuralları......... 167 4.4. Bileşke Fonksiyonunun Türevi. 168 4.5. Ters Fonksiyonunun Türevi..... 170 4.6. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi... 171
4.7. Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi... 172 4.8. Logaritma Fonksiyonunun Türevi. 173 4.9. Üstel Fonksiyonların Türevi.... 174 4.10. Hiperbolik Fonksiyonların Türevi. 175 4.11. Logaritmik Türev.. 176 4.12. Yüksek Mertebeden Türevler.... 177 4.13. Parametrik Fonksiyonların Türevi.... 179 4.14. Kapalı Fonksiyonların Türevi... 181 4.15. Özel Tanımlı Fonksiyonların Türevleri... 182 5.16 Diferansiyel... 195 5.17. Lineer Yaklaşımlar (Lineerleştirme).... 196 5.18. Yaklaşık Değer...... 198 5.19. Bağımlı Oranlar. 203 5. TÜREVİN UYGULAMALARI..... 217 5.1. Belirsiz Şekiller..... 217 5.2. Türevin Geometrik Anlamı... 228 5.3. Türevin Fiziksel Anlamı 230 5.4 Teğet altı ve Normal altı Uzunluğu... 233 5.5. Eğrinin Eğriliği..... 236 5.6. Eğrilik Merkezi ve Eğrilik Çemberi.. 237 5.7. Türev ile İlgili Teoremler.. 250 5.8. Artan ve Azalan Fonksiyonlar... 253 5.9. Konveks ve Konkav Fonksiyonlar.... 258
5.10. Grafik Yorumu.. 262 5.11. Maksimum ve Minimum Problemleri... 274 5.12. Grafik Çizimi..... 283 5.13. Kutupsal Koordinatlar... 300 6. BELİRSİZ İNTEGRAL...... 317 6.1. Belirsiz İntegral. 317 6.2. Temel İntegral Formülleri.... 318 6.3. İntegral Alma Yöntemleri. 323 6.3.1. Değişken Değiştirme Yöntemi.. 323 6.3.2. Kısmi İntegral Alma Yöntemi... 343 6.3.3. Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi... 356 6.3.4. Trigonometrik İntegraller.. 369 6.3.5. 2 ax + bx + c İfadesini İçeren İntegraller... 381 6.3.6 Binom İntegralleri..... 386 7. BELİRLİ İNTEGRAL........ 391 7.1. Bir Aralığın Parçalanması 391 7.2. Riemann İntegrali.. 393 7.3. İntegrallenebilen Fonksiyon Sınıfları.... 406 7.4. Bazı Limitlerin İntegral Yardımıyla Hesabı.. 409 7.5. İntegralin Türevi 411 7.6. Sayısal İntegrasyon... 427 7.6.1. Dikdörtgenler Yöntemi..... 427
7.6.2. Yamuklar Yöntemi.... 429 7.6.3. Simpson Yöntemi.. 430 8. BELİRLİ İNTEGRALİN UYGULAMALARI. 433 8.1. Alan Hesabı... 433 8.2. Eğri (Yay) Uzunluğunun Hesabı... 444 8.3. Hacim Hesabı.... 456 8.3.1. Kesit Yöntemi... 456 8.3.2. Disk Yöntemi.... 457 8.3.3. Kabuk (Silindirik Tabakalar) Yöntemi. 462 8.4. Dönel Yüzeylerin Alanı.... 472 9. GENELLEŞTİRİLMİŞ (HAS OLMAYAN) İNTEGRALLER. 481 9.1. Birinci Çeşit Genelleştirilmiş İntegraller.. 481 9.2. İkinci Çeşit Genelleştirilmiş İntegraller... 490 9.3. Üçüncü Çeşit Genelleştirilmiş İntegraller. 496 KAYNAKLAR.... 502 DİZİN... 503
BÖLÜM I ÖN B ILG ILER 1.1. KÜMELER Kümenin kesin bir tan m yap lmamakla birlikte "iyi tan mlanm ş neslelerin toplulu¼gudur". Burada iyi tan mlanm şl k ile kastedilen verilen bir eleman n kümeye ait olup olmad ¼g n n belirlenmesidir. Kümeler genellikle A; B; C; ::: gibi büyük har erle, elemanlar ise a; b; c; ::: gibi küçük har erle gösterilir. E¼ger a nesnesi A kümesinin eleman ise a 2 A ile a nesnesi A kümesinin eleman de¼gil ise a =2 A şeklinde gösterilir. Bir kümenin elemanlar n n f:::g parantezi içine yaz larak verilmesine liste yöntemi ile gösterim, Bir kümenin elemanlar n n kapal bir geometrik şeklin içinde verilmesine Venn şemas ile gösterim, Elemanlar n ortak bir özelli¼gi kullan larak fx : x lerin ortak özelli¼gig olarak verilmesine ortak özellik yöntemi denir. Örnek. Liste yöntemi ile A = f2; 3; 5; 7g verilmiş kümesi ortak özellik yöntemi ile A = fx : x, 10 dan küçük asal say larg ; 1 2 sembolünü ilk kez 1895 te Giuseppe Peano (1858-1932) kullanm şt r. Peano (epsilon) sembolünü kullan rken 1903 te Bertrand Russel (1872-1970) epsilonu 2 sembolüne dönüştürmüştür. 1 John Venn (1834-1923).
2 Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri 1 Venn şemas olarak şeklinde gösterilebilir. Tan m. Hiç eleman olmayan kümeye boş küme denir. fg veya ; şeklinde gösterilir. Boş küme ; = fx : x 6= xg şeklinde de tan mlanabilir. Tan m. A kümesinin her eleman B kümesinin de eleman oluyorsa A kümesi B kümesinin alt kümesidir denir ve A B veya B A şeklinde gösterilir. Teorem. i. Her küme kendisinin alt kümesidir. Yani A A ii. Boş küme her kümenin alt kümesidir. Yani iii. (A B ve B C), A C ; A 1 ; sembolünü ilk kez 1939 da N. Bourbaki adl matematik grubu kullanm şt r. 1 sembolü ilk kez 1890 da Ernst Schröder (1841-1902) taraf ndan kullan lm şt r.
1. Bölüm: Ön Bilgiler 3 Tan m. Bir A kümesinin bütün alt kümelerinden oluşan kümeye A n n kuvvet kümesi denir ve P (A) ile gösterilir. Örnek. A = fa; b; cg kümesinin kuvvet kümesini bulunuz. Çözüm. P (A) = f;; fag ; fbg ; fcg ; fa; bg ; fa; cg ; fb; cg ; fa; b; cgg Tan m. E¼ger A B ve B A ise A ve B kümeleri eşittir denir ve A = B şeklinde gösterilir. Tan m. Bir konuda çal ş rken ele al n n bütün kümeleri kapsayan en geniş kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir. Tan m. A ve B kümelerinin bütün elemanlar ndan oluşan kümeye A ve B kümelerinin birleşimi denir ve A [ B şeklinde gösterilir. Buna göre A [ B = fx : x 2 A veya x 2 Bg Teorem. i. A [ A = A (Tek kuvvet özelli¼gi) ii. A [ B = B [ A (De¼gişme özelli¼gi) iii. (A [ B) [ C = A [ (B [ C) (Birleşme özelli¼gi) iv. A [ ; = A (Etkisiz eleman özelli¼gi) Tan m. A ve B kümelerinin ortak elemanlar ndan oluşan kümeye A ve B kümelerinin kesişimi (arakesiti) denir ve A \ B şeklinde gösterilir. Buna göre A \ B = fx : x 2 A ve x 2 Bg 1 [ ve \ sembollerini ilk kez 1888 de Giuseppe Peano (1858-1932) kullanm şt r.
4 Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri 1 Teorem. i. A \ A = A (Tek kuvvet özelli¼gi) ii. A \ B = B \ A (De¼gişme özelli¼gi) iii. (A \ B) \ C = A \ (B \ C) (Birleşme özelli¼gi) iv. A \ ; = ; v. A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) (Kesişimin birleşme üzerine da¼g lma özelli¼gi) vi. A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) (Birleşimin kesişme üzerine da¼g lma özelli¼gi) Sonlu say daki A 1 ; A 2 ; :::; A n kümelerinin kesişimi n\ A i ; i=1 birleşimi n[ i=1 şeklinde, sonsuz say daki A 1 ; A 2 ; ::: kümelerinin kesişimi 1\ A i ; i=1 A i birleşimi şeklinde gösterilir. 1[ i=1 A i Tan m. Kesişimleri boş olan kümelere ayr k kümeler denir. Yani ise A ve B kümeleri ayr kt r. A \ B = ;
1. Bölüm: Ön Bilgiler 5 Tan m. A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanlar n oluşturdu¼gu kümeye A fark B kümesi denir. AnB veya A B şeklinde gösterilir. Buna göre AnB = fx : x 2 A ve x =2 Bg Teorem. AnB = A \ B 0 Tan m. E evrensel küme A E olsun. E de olup A da olmayan elemanlar n kümesine A n n tümleyeni denir. A 0 veya A ile gösterilir. Bu tan ma göre A 0 = fx : x 2 E ve x =2 Ag Teorem (De Morgan Kurallar ). i. (A [ B) 0 = A 0 \ B 0 ii. (A \ B) 0 = A 0 [ B 0 Tan m. A ve B kümelerinin birleşiminde olup kesişimlerinde olmayan elemanlar n oluşturdu¼gu kümeye A ve B kümelerinin simetrik fark denir. Buna göre A 4 B = fx : x 2 A [ B ve x =2 A \ Bg Buradan veya A 4 B = (A [ B) n (A \ B) A 4 B = (AnB) [ (BnA) Küme Ailesi A; B; C; ::: şeklinde verilmiş kümeleri I = f1; 2; 3; :::g kümesi yard m ile A 1 ; A 2 ; A 3 ; ::: şeklinde yazabiliriz. Burada I ya indis (indeks) kümesi bu kümenin her i eleman na indis (indeks) denir. Her i 2 I için A i kümesine indislenmiş
6 Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri 1 (indekslenmiş veya damgalanm ş) küme denir. Elemanlar bir I indis kümesi ile indislenmiş kümelerden oluşmuş kümeye kümeler ailesi denir. Buna göre A = fa i : i 2 Ig Örnek. A = ffag ; fa; bg ; fb; cg ; fa; c; dgg olsun. Burada I = f1; 2; 3; 4g kümesi ile A 1 = fag ; A 2 = fa; bg ; A 3 = fb; cg ; A 4 = fa; c; dg ; yaz l rsa küme ailesi A = fa 1 ; A 2 ; A 3 ; A 4 g = fa i : i 2 Ig olur. Tan m. A = fa i : i 2 Ig ailesi verilsin. Bu durumda küme ailesinin birleşimi [ A i = fx : 9i 2 I için x 2 A i g ; kesişimi ise şeklinde tan mlan r. \ A i = fx : 8i 2 I için x 2 A i g Örnek. A = ffag ; fa; bg ; fb; cg ; fa; c; dgg olsun. Burada I = f1; 2; 3; 4g kümesi ile A = fa i : i 2 Ig ailesi verilsin. Buna göre [ A i = A 1 [ A 2 [ A 3 [ A 4 = fa; b; c; dg
1. Bölüm: Ön Bilgiler 7 ve \ A i = A 1 \ A 2 \ A 3 \ A 4 = ; Teorem. S 0 i. A i = T A 0 i (Genelleştirilmiş De Morgan Kural ) T 0 ii. A i = S A 0 i (Genelleştirilmiş De Morgan Kural ) S iii. A i \ S! B j = S! S (A i \ B j ) (Genelleştirilmiş da¼g lma kural ) j2j j2j T iv. A i [ T! B j = T! T (A i [ B j ) (Genelleştirilmiş da¼g lma kural ) j2j j2j Bir Kümenin Parçalan ş (Ayr m ) Tan m. Boş olmayan bir A kümesinin alt kümelerinden oluşmuş bir A ailesi verilsin i. ; =2 A ii. Her A k ; A t 2 A için A k = A t yada A k \ A t = ;; iii. A = S A i sa¼glan yorsa A ya A kümesinin bir parçalan ş (ayr m ) Örnek. A = fa; b; c; d; eg kümesinin alt kümelerinden oluşan aşa¼g daki ailelerden hangisi A kümesinin bir parçalanmas i. A = ffa; bg ; fc; eg ; fdgg ii. A = f;; fa; bg ; fc; eg ; fdgg iii. A = f fa; b; cg ; fc; eg ; fdgg Çözüm. i. Parçalanma ii. ; =2 A oldu¼gundan parçalanma de¼gildir.