DİFERENSİYEL DENKLEMLER. Doç. Dr. Mustafa KANDEMİR

DİFERENSİYEL DENKLEMLER Doç. Dr. Mustafa KANDEMİR

Doç. Dr. Mustafa KANDEMİR DİFERENSİYEL DENKLEMLER ISBN: 978-605-318-31-1 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. I. Baskı: Aralık 015, Ankara Yayın-Proje : Neslihan Gürsoy Dizgi-Grafik Tasarım: Didem Kestek Kapak Tasarımı: Dilek Karakurt Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş. İvedik Organize Sanayi 8. Cadde 84 Sokak No:105 Yenimahalle/ANKARA (031 394 55 91) Yay ıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 6687 İletişim Karanfil Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi 031 430 67 50-430 67 51 Yayınevi Belgeç: 031 435 44 60 Dağıtım: 031 434 54 4-434 54 08 Dağıtım Belgeç: 031 431 37 38 Hazırlık Kursları: 031 419 05 60 internet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net

İçindekiler iii ÖN SÖZ Bazı konularını uzun yıllar lisans derslerinde okuttuğumuz ve diferensiyel denklem sistemleri ile sınır değer problemleri konularını yüksek lisans derslerinde göz önünde bulundurduğumuz bu kitap on bölüm halinde hazırlanmıştır. Birinci bölümde, diferensiyel denklemlere giriş anlamında bazı ön bilgiler verilerek temel kavramlar tanıtılmaya çalışılmıştır. İkinci bölümde, birinci mertebeden diferensiyel denklemler, bazı çözüm metotları, birinci mertebeden lineer denklemler ve lineer hale getirilebilen bazı denklemlerin çözümüne ilişkin çalışmalar yapılmıştır. Üçüncü bölümde, birinci mertebeden ve yüksek dereceden denklem tipleri ve çözüm metotları incelenmiştir. Dördüncü bölümde, birinci mertebeden denklemlerin uygulamalarına dair bazı örnekler üzerinde durulmuştur. Beşinci bölümde, birinci mertebeden bir başlangıç değer probleminin çözümünün varlığı ve tekliği üzerinde çalışılmış olup tekil çözümlere sahip denklemlere ait özellikler incelenmiştir. Altıncı bölümde yüksek mertebeden sabit katsayılı, lineer denklemler tanıtılmış ve bu denklemlerin çözüm metotlarına dair çalışmalar yapılmıştır. Ayrıca değişken katsayılı olmasına rağmen sabit katsayılı hale getirilebilen Cauchy-Euler denkleminin çözümü incelenmiştir. Yedinci bölümde, değişken katsayılı diferensiyel denklemlerin Taylor ve Frobenius serileri yardımıyla çözümü, Bessel denklemlerinin çözümü ve Fourier serisi metodu üzerinde çalışılmıştır. Sekizinci bölümde, diferensiyel denklem sistemleri, özdeğer ve özvektör konuları ile özuzay ve özbaz kavramları üzerinde durulmuştur. Ayrıca üstel matrislere ait bazı özellikler incelenmiştir. Dokuzuncu bölümde, sınır değer problemlerine yer verilmiştir. Burada, sınır değer problemine ait diferensiyel operatörün Green fonksiyonu ve Sturm- Liouville probleminin bazı özelliklerine dair konular üzerinde çalışılmıştır.

iv Diferensiyel Denklemler Onuncu bölümde Laplace dönüşümü, ters Laplace dönüşümü ve konvolusyon konuları üzerinde durulmuş ve diferensiyel denklemlere ait bazı uygulamaları incelenmiştir. Bu kitap diferensiyel denklemler dersinin okutulduğu bölümlerde ders kitabı olabilecek şekilde hazırlanmıştır. Konuların hazırlanışı aşamalarında gerekli hassasiyeti göstermemize rağmen hata ve eksiklerimizin olabileceğini kabul ederek okuyucu tarafından gelebilecek uyarılara açık olduğumuzu ve bundan memnuniyet duyacağımızı belirtmek isterim. Akademik hayatımda her zaman yanımda hissettiğim hocalarım Prof. Dr. Nuri Kuruoğlu, Prof. Dr. Ömer Akın ve Prof. Dr. Oktay Muhtaroğlu na, akademik çalışmalarım sürecinde bana gösterdikleri sabır ve desteklerinden dolayı eşime ve çocuklarıma, Pegem Akademi Yayıncılık şirket müdürü Sayın Servet Sarıkaya ve onun şahsında emeği geçenlere ve kitabın dizgisini yapan Şermin Demirhan a teşekkür ederim. Doç. Dr. Mustafa KANDEMİR

İçindekiler v İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 GİRİŞ 1.1 Matematiksel Modeller... 1 1. Temel Kavramlar... 5 1.3 Diferensiyel Denklemlerin Elde Edilişi... 5 BÖLÜM BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERENSİYEL DENKLEMLER.1 Değişkenlerine Ayrılabilen Diferensiyel Denklemler... 9. Tam Diferensiyel Denklemler... 3.3 İntegral Çarpanı... 4.4 Homojen Denklemler... 50.5 Birinci Mertebeden Lineer Diferensiyel Denklemler... 6.6 Bernoulli Denklemi... 78.7 Riccati Denklemi... 83 BÖLÜM 3 BİRİNCİ MERTEBEDEN VE YÜKSEK DERECEDEN DİFERENSİYEL DENKLEMLER 3.1 Çarpanlara Ayrılabilen Denklemler... 93 3. Bağımsız Değişkene Göre Çözülebilen Denklemler... 96 3.3 Bağımlı Değişkene Göre Çözülebilen Denklemler... 98 3.4 Bağımlı Değişkeni İçermeyen Denklemler... 101 3.5 Bağımsız Değişkeni İçermeyen Denklemler... 103 3.6 Clairaut Denklemi... 108 3.7 Lagrange Denklemi... 111

vi Diferensiyel Denklemler BÖLÜM 4 BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN BAZI UYGULAMALARI 4.1 Yörüngeler... 115 4. Dik Yörüngelerin Bulunması... 115 4.3 Eğik Yörüngelerin Bulunması... 10 4.4 Doğal Büyüme ve Azalma... 13 BÖLÜM 5 BİRİNCİ MERTEBEDEN DENKLEMLER İÇİN VARLIK VE TEKLİK TEOREMLERİ 5.1 Bazı Temel Kavramlar... 131 5. Varlık ve Teklik Teoremleri... 138 5.3 Çözümün Sürekliliği... 158 5.4 Türeve Göre Çözülemeyen Denklemlerin Çözümünün Varlığı ve Tekliği... 163 5.5 Tekil Nokta, Tekil Eğri, Tekil Çözüm ve Zarf... 171 A) Türeve Göre Çözülebilen Birinci Mertebeden Denklemlerin Tekil Çözümleri... 171 B) Türeve Göre Çözülemeyen Birinci Mertebeden Denklemlerin Tekil Çözümleri... 173 1) p -diskriminant eğrileri... 173 ) c - diskriminant eğrileri... 175 BÖLÜM 6 YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERENSİYEL DENKLEMLER 6.1 Lineer Diferensiyel Denklemlere Ait Temel Kavramlar ve Özellikler... 183 6. Yüksek Mertebeden Sabit Katsayılı Lineer ve Homojen Denklemlerin Çözümü... 189 6.3 Yüksek Mertebeden Sabit Katsayılı ve Homojen Olmayan Lineer Denklemlerin Çözümü... 01 1. Sabitlerin (parametrelerin) değişimi metodu... 03. Belirsiz katsayılar metodu... 3. Operatör metodu... 43 6.4 Cauchy-Euler Diferensiyel Denklemi... 49

İçindekiler vii BÖLÜM 7 LİNEER DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN KUVVET SERİLERİ İLE ÇÖZÜMÜ 7.1 Adi Nokta Civarında Diferensiyel Denklemlerin Çözüm Metodu... 63 7. Tekil Nokta Civarında Diferensiyel Denklemlerin Frobenius Serisi ile Çözümü... 77 7.3 Bessel Diferensiyel Denklemleri ve Bessel Fonksiyonları... 306 7.4 Fourier Serisi Metotları... 317 A) Tek ve çift fonksiyonların Fourier serisi... 31 B) Fourier serisinin yakınsaklığı... 36 7.5 Fourier Serilerinin Uygulamaları... 334 BÖLÜM 8 LİNEER DİFERENSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ 8.1 Normal Lineer Diferensiyel Denklem Sistemleri... 341 A) Sabit Katsayılı Homojen Normal Denklem Sistemlerinin Çözüm Metotları... 345 B) Sabit Katsayılı Homojen Olmayan Lineer Normal Denklem Sistemlerinin Çözümü... 356 8. Lineer Diferensiyel Operatörler ve Operatör Metodu... 368 8.3 Standart Lineer Denklem Sistemleri... 375 8.4 Matrisler ve Lineer Denklem Sistemleri... 394 A) Lineer Denklem Sistemleri... 394 B) Lineer Homojen Normal Diferensiyel Denklem Sistemlerinin Özdeğerleri, Özvektörleri ve Çözümü... 404 1) Farklı özdeğerler... 410 ) Katlı özdeğerler... 418 C) Özuzay ve Özbaz... 459 D) Homojen Olmayan Normal Lineer Denklem Sistemlerinin Özdeğerleri, Özvektörleri ve Çözümü... 467 8.5 Üstel Matrisler ve Lineer Denklem Sistemleri... 511

viii Diferensiyel Denklemler A) Üstel Matrislere Ait Bazı Temel Özellikler... 511 B) Sabit Katsayılı Sistemler İçin Başlangıç Değer Problemi... 57 8.6 Denklem Sistemleri ve Yüksek Mertebeden Denklemler için Varlık ve Teklik Teoremleri... 536 BÖLÜM 9 SINIR DEĞER PROBLEMLERİ VE LİNEER DİFERENSİYEL OPERATÖRLER 9.1 Lineer Operatörler ve Spektral Özellikleri... 545 9. Sınır Değer Problemleri... 550 9.3 Eşlenik (adjoint) Sınır Değer Problemi... 556 1) Eşlenik diferensiyel denklemler, Green formülü ve Lagrange formülü... 556 ) Eşlenik sınır şartları... 573 9.4 Özdeğer Parametreli Sınır Değer Problemleri... 583 9.5 Sınır Değer Problemi ile Eşlenik Probleminin Özdeğerleri ve Özfonksiyonları Arasındaki İlişkiler... 590 9.6 Lineer Diferensiyel Operatörün Green Fonksiyonu... 595 9.7 Sturm-Liouville Sınır Değer Problemleri... 64 BÖLÜM 10 LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ 10.1 Bazı Temel Kavramlar... 665 10. Laplace Dönüşümü ve Özellikleri... 670 10.3 Ters Laplace Dönüşümü ve Özellikleri... 691 10.4 Konvolusyon... 695 10.5 Laplace Dönüşümünün Uygulamaları... 700 A) Başlangıç Değer Problemlerinin Çözümü... 700 B) Dirac Delta Fonksiyonu ve Laplace Dönüşümü... 714 10.6 Bazı Fonksiyonların Laplace Dönüşümleri... 717 Kaynaklar... 74 İndex... 76

Bölüm 1 Giriş Bu bölümde fiziksel olaylara dair matematiksel modeller, fonksiyon ve denklem kavramı, diferensiyel denklem tanımı ve diferensiyel denklemlerin çözüm tipleri, başlangıç değer problemleri, başlangıç değer problemlerinin çözümünün varlığı ve tekliği ve diferensiyel denklemlerin elde edilişleri ile ilgili çalışmalar yapılmıştır. 1.1 Matematiksel Modeller Diferensiyel denklemler, özellikle fiziksel ve doğal olayların bir matematiksel modellemesi olduğundan burada bu tip denklemlere ait bazı örnekler vereceğiz. 1) Serbest düşme hareketi. Bir cisim belli bir yükseklikten ilk hızı sıfır olacak şekilde bırakıldığında yere doğru düşen cismin bu hareketine serbest düşme hareketi denir. m kütle, v hız, a ivme, g yerçekimi ivmesi ve t zaman olmak üzere serbest düşme hareketi veya ma mg, v(0) 0 a g, v(0) 0 problemi şeklinde ifade edilir ve buradan v ile t arasında v gt bağıntısı bulunur. Buna göre matematiksel olarak y a, (0) 0 y, a şeklinde yazılan problemin bile basit görünümlü olmasına rağmen bir fiziksel açıklaması vardır.

Diferensiyel Denklemler ) Populasyon modeli. Bu model 1798 yılında Thomas Robert Malthus tarafından geliştirilmiş bir modeldir. Nt (), bir t zamanındaki nüfusu göstermek üzere bu model N() t kn() t, Nt ( 0) N0 problemi ile verilir. Bu problemin çözümü şeklinde elde edilir. Nt () Ne kt ( t0 ) 0 3) Van der Pol denklemi. Bu denklem elektrik kondansatörlerinin devreleri arasındaki elektrik akımı dv C I 0 dt, di V L RI dt şeklinde modellenir. Burada V voltaj, C kondansatör kapasitesi, R rezistans ve L bobin indüktansını gösterir. Bu iki denklem arasından diferensiyel denklemi yazılır. dv dv 0 CL RC V dt dt 4) Maxwell denklemleri. Genel olarak Maxwell denklemleri aşağıdaki gibi yazılabilir..e, Gaus yasası, elektrik. H 0, Gaus yasası, manyetik H E, Faraday yasası t H J, Amper yasası Burada E H J, Maxwell in katkısı ile amper yasası. t,,, x y z

Giriş 3 E elektrik alanı, H manyetik alan, uzaysal yük yoğunluğu, J akım yoğunluğu, boş uzayın elektrik geçirgenliği ve boş uzayın manyetik geçirgenliğidir. 5) Navier-Stokes denklemi. Akışkanlar mekaniğinde, v akışkanın hızı, yoğunluk ve p basınç olmak üzere yapışkan maddelerin akımı şeklindeki denklemler ile ifade edilir. 6) Isı denklemi. v 1 ( v. ) v p v v t ut ku 0, k 0 denklemine ısı denklemi denir ve bu denklem difüzyon (yayınım) denklemi olarak da bilinir. 7) Dalga denklemi. Bir boyutlu homojen dalga denklemi u tt 0 c uxx ve bir boyutlu homojen olmayan dalga denklemi şeklinde bir denklemdir. utt c uxx f x t (, ) 8) Rodyoaktif bozunma. Bir t anında N sayıda radyoaktif çekirdek mevcutsa ve numuneye yeni bir çekirdek ilave edilmiyorsa dt zaman aralığında bozunan dn çekirdek sayısı N ile orantılıdır. Bu olaya ilişkin diferensiyel denklem dn kn dt şeklinde ifade edilir. Eğer bir t t0 anında N N0 ise problem dn kn dt, Nt ( 0) N0 biçiminde olup bu problemin çözümü

4 Diferensiyel Denklemler dn kdt N lnnkt c1 kt c N e e 1 N ce kt N N e 0 kt ( 0 t) şeklinde elde edilir. Eğer N(0) N0 ise bu çözüm N N0e kt biçiminde olacaktır. Bir t zaman aralığında N çekirdek sayısı yarıya düşüyorsa bu zamana yarı ömür zamanı denir ve t 1 ile gösterilir. Son denklemde N N yazılırsa 0 t t1 yarı ömür zamanı olur. ln t t1 k 9) Newton nun ikinci kuralı. Bir cismin ivmesi cisme etki eden kuvvetle doğru, cismin kütlesi ile ters orantılı olup bu durum şeklinde ifade edilir. dv F ma m dt 10) Newton nun evrensel çekim kuralı. Evrendeki her bir parçacık diğer bir parçacığı kütleleriyle doğru aralarındaki uzaklığın karesiyle ters orantılı olan bir kuvvetle çeker. Bu durumu ifade eden bağıntı mm F G r 1 ile verilir. Burada G genel yerçekimi sabitidir.

Giriş 5 1. Temel Kavramlar Bu kısımda öncelikle, fonksiyonlara ait yapılan bazı sınıflandırmaları hatırlatmak istiyoruz. Tanım 1.1 a) f : D, f( x) y fonksiyonuna tek değişkenli ve reel değerli, n b) f : D, f( x1, x,..., xn) u, ( n 1), fonksiyonuna n -değişkenli (veya çok değişkenli) ve reel değerli, m c) f : D f( x) u1( x), u( x),..., um( x) u, ( m 1 ), fonksiyonuna tek değişkenli ve vektör değerli,, n m d) f : D f( x1, x,..., xn) u1( x), u( x),..., um( x), x ( x1, x,..., x n ) ( nm, 1) fonksiyonuna da n -değişkenli ve vektör değerli fonksiyon adı verilir. Örnekler:, f : D, f( x) y, y x fonksiyonu tek değişkenli ve reel değerli bir fonksiyon, f : D, f( x, y) z, 3 zxyx y, 3 f : D xyz, f( x, y, z) u, ue x y yz fonksiyonları çok değişkenli ve reel değerli fonksiyonlar f : D f : D f : D 3, f( x1, x, x3) u1( x1, x, x3), u( x1, x, x3) ( xxx, x x x) 1 3 1 3 3, f( x1, x) u1( x1, x), u( x1, x), u3( x1, x) 3, fonksiyonları vektör değerli fonksiyonlardır. Şimdi ( x x, x x, x x ), 1 1 1 f x u x u x u x x x x ( ) ( 1( ), ( ), 3( )) (, 1, ) f : D, y f( x) (1)

6 Diferensiyel Denklemler şeklinde tanımlanan f fonksiyonunu göz önüne alalım. Burada f( x ), x bağımsız değişkenine ait herhangi dereceden polinom, rasyonel, üstel, logaritmik veya trigonometrik olarak değişik şekillerde yazılabilen herhangi bir ifadedir. y değeri ise tanım kümesindeki x bağımsız değişkenine, f vasıtasıyla karşılık getirilen bağımlı değişkendir. f( x ) ifadesi istenildiği kadar değişik şekillerde yazılabildiği için yine istenildiği kadar y f( x) eşitliği kurulabilir. Fonksiyonun tanımına ait özellikleri göz önünde bulundurulmak üzere bu eşitliklerin her birine fonksiyona dayalı denklem adı verildiğini biliyoruz. Ancak burada özellikle belirtmek gerekir ki y f( x) veya Fxy (, ) 0 şeklindeki denklemler tanımlanış şekline göre kimi zaman x ve (veya) y nin hiçbir reel değeri için sağlanmayabilir. Örneğin ( xy) 0 denklemi x veya y nin reel değerleri için sağlanmaz. Buna göre, denklem kurulurken fonksiyonun tanımlı olmasına dikkat etmek gerekir. x ve y değişkenlerinin denklem içindeki tanımlanma şekline göre çeşitli denklem tipleri yazmak mümkündür. Bu tip denklemlere ilişkin aşağıdaki örnekler verilebilir. a) n olmak üzere, n -yinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler. Bu tip denklemlerin çözüm kümesi, en fazla denklemin derecesinin sayısı kadar noktalardan oluşur. b) İki bilinmeyenli (biri bağımsız diğeri bağımlı) denklem çeşitleri. Bu tip denklemler düzlemde açık veya kapalı eğri veya doğru gösteren denklemlerdir. c) n 1 f : D, f( x, x,..., x ) u, n,3,... () n şeklinde tanımlı çok değişkenli fonksiyonlar yardımıyla kurulabilen denklemler olup bu tip denklemler ( n 1 )-boyutlu uzayda yüzey gösteren denklemlerdir. Burada, x 1, x,, x n bağımsız değişkenler u bağımlı değişkendir. Şimdi hem tek değişkenli hem de çok değişkenli fonksiyonlara ilişkin aşağıdaki denklem örneklerini inceleyelim 1) 3 0 x denklemi birinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem olup sadece 3 sayısını bulunduran bir kümeden tanımlı bir fonksiyon için kurulur. Dolayısıyla çözüm kümesi sadece 3 sayısını bulundurur.