ZAMANA BAĞLI ISI İLETİMİ ÖRNEK PROBLEMLER 1) Annesi bebeğine süt ısıtmak için cm çaplı ince cidarlı bir cam bardağa su koyuyor. Bardakdaki sütün yüksekliği 7 cm dir. Daa sonra cam bardağı 0 o C de sıcak su ile doldurulmuş geniş bir tavaya yerleştiriyor. Süt sürekli olarak karıştırılıyor ve bu sebeple sıcaklığı er zaman sabit kalıyor. Su ve bardak arasındaki ısı transfer katsayısı 120 W/m 2. o C ise sütün 3 o C den 38 o C ye ısıtılması ne kadar sürer? Sütün özelliklerini suyun özellikleri ile aynı alınız. Bu durumdaki süt yığık sistem olarak alınabilir mi? Neden. 2) 2 cm çaplı uzun bir bakır çubuk başlangıçta 100 o C üniform sıcaklıktadır. Çubuk 200 W/m 2.K ısı transfer katsayısı ile 20 o C sıcaklıktaki ava akışına açıktır. Bakır çubuğun ortalama 25 o C sıcaklığa soğuması ne kadar süre alır. 3) 3) Başlangıçta 0 o C de olan ve gümüşten (k 429 W m., ρ 10500 kg m 3, c p 0.235 kj kg. ) yapılmış 5 cm çaplı bir küre, bir kenarı 5 cm olan bir küp ve 4cmx5cmxcm boyutlarında dikdörtgenler prizmasını göz önüne alın. Bu üç cisim 12 W/m 2. o C ısı transfer katsayısı ile bütün yüzeylerinden 33 o C sıcaklıkta çevre avasına açıktır. Her bir cismin sıcaklığının 25 o C ye gelmesinin ne kadar süreceğini bulunuz. 4) 8 mm çaplı karbon çeliğinden (ρ 7833 kg m 3, k 54 W m., c p 0.45 kj kg. ve α 1.474 10 m 2 /s) yapılmış toplar ilk önce bir fırında 900 o C ye kadar ısıtılmak suretiyle tavlanmakta, daa sonra 35 o C deki ortamda 100 o C ye kadar yavaşça soğumaya bırakılmaktadır. Ortalama ısı transfer katsayısı 75 W/m 2. o C olursa tavlama işlemi ne kadar sürer. Eğer saatte 2500 top tavlanırsa toptan çevre avasına olan toplam ısı transfer miktarını esaplayınız. Fırın Hava, 35 o C Çelik top ŞEKİL P4 5) 350 o C sıcaklıkta çekilen 3 mm çaplı alüminyum teller, (ρ 2702 kg m 3, k 23 W m., c p 0.89 kj kg. ve α 9.75 10 5 m 2 /s) 35 W/m 2. o C ısı transfer katsayısı ile 30 o C deki atmosferik avaya bırakılmaktadır. (a) Telin sıcaklığının 50 o C ye düşmesi ne kadar sürer. (b) Çekme ızı 10 m/dak ise sıcaklık 50 o C ye düştüğü zaman tel çıkıştan ne kadar uzağa gider. (c) Telin çekme odasından 50 o C de ayrıldığını kabul ederek telden çekme odasına olan ısı transfer ızını bulunuz. T ava 30 o C 10 m/dak Alüminyum tel ŞEKİL P4 1
ZAMANA BAĞLI ISI İLETİMİ ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMLERİ 1 İnce cidarlı cam bardak içerisindeki süt sıcak su ile doldurulmuş bir tavaya yerleştirilmektedir. Sütün ısınması için gerekli süre sorulmaktadır. Sütün konulduğu bardak 3 cm çaplı bir silindir şeklinde kabul edilebilir. Sütün ısıl özellikleri suyun ki ile aynı alınabilir. Sütün oda sıcaklığındaki sıcaklığı sabittir. Isı transfer katsayısı tüm yüzey boyunca üniform ve sabittir. Biot sayısı 0.1 den büyük olasına rağmen süt sürekli olarak karıştırıldığı için sıcaklık bütün zamanlarda sıcaklık üniform olduğundan yığık sistem yaklaşımı kullanılabilir. Su Sütün ortalama sıcaklığı (3+38)/2 20.5 o C için özellikleri; k 0.598 W m., ρ 998 kg/m 3, c p 4182 J kg. Isı transfer katsayısı, 120 W/m 2 Süt bardağının yarıçapı, r o 3 cm, yüksekliği, 7 cm Süt bardağı için karakteristik uzunluk ve Biot sayısı esaplanırsa; L c V A s πr 2 o L 2πr o L + 2πr2 π(0.03) 2 (0.07) o 2π(0.03)(0.07) + 2π(0.03) 2 0.0105 m Bi L c k (120)(0.0105) 2.1 > 0.1 0.598 Biot sayısı 0.1 den büyük olmasına rağmen kabuller kısmındada açıklanan nedenden ötürü yığık sistem yaklaşımı kullanılabilir. Dolayısıyla sütün 38 o C ye çıkabilmesi için geçen süre: b A s ρc p V 120 0.00274 s 1 (998)(4182)(0.0105) e bt 38 0 T i T 3 0 e 0.00274t 0.38 e 0.00274t Her iki tarafın doğal logaritması alınırsa; ln 0.38 ln e 0.00274t 0.952 0.00274t t 347 s 5.8 dakika bulunur. Sütün sıcaklığı 3 o C den 38 o C ye yaklaşık 5.8 dakikada ulaşacaktır. Süt 2
2 Bir uzun bakır boru belli bir sıcaklığa kadar soğutulacaktır. Soğutma için gerekli zaman sorulmaktadır. Geometrinin ısıl özellikleri sabittir. Isı transfer katsayısı tüm yüzeyde üniform ve sabittir. Bakır çubuğun ortalama sıcaklığı (100+25)/2 2.5 o C için özellikleri; k 401 W m., ρ 8933 kg/m 3, c p 385 J kg. Isı transfer katsayısı,, 200 W/m 2 Bakır borunun çapı, D2 cm Bakır silindir çubuk için karakteristik uzunluk ve Biot sayısı; L c V (πd2 4)L D A s πdl 4 0.02 4 0.005 m (Boru boyu çok uzun olduğu için karakteristik uzunluk esaplanırken sadece silindirin yanal yüzey alanı esaba katıldı.) Bi L c k (200)(0.005) 0.0025 < 0.1 401 Bi<0.1 olduğundan toplam kütle yaklaşımı kullanılabilir. Soğutma için geçen zaman; b A s ρc p V 200 0.0113 s 1 (8933)(385)(0.005) e bt 25 20 T i T 100 20 e 0.0113t t 238 s 4 dakika bulunur. 3
3 Benzer ölçülere saip küre, küp ve dikdörtgenler prizması şeklindeki geometrilerin belli bir sıcaklığa gelmesi için geçen sürelerin bulunması isteniyor. Geometrilerin ısıl özellikleri sabittir. Isı transfer katsayısı bütün yüzey boyunca üniform ve sabittir. Gümüşün ısıl özellikleri, k 429 W m., ρ 10500 kg m 3, c p 0.235 kj kg. Geometrilerin ilk sıcaklık değeri Ti0 o C, çevre sıcaklığı T 33 Isı transfer katsayısı 12 W/m 2. o C Küre çapı D5 cm, Küp ölçüleri 5x5x5 cm, Dikdörtgenler prizmasnın boyutu 4x5x cm. Küre için karakteristik uzunluk ve Biot sayısı; L c V A s πd3 / πd 2 D 0.05 0.008333 m Bi L c k (12)(0.008333) 0.00023 < 0.1 429 Bi < 0.1 olduğundan toplam kütle yaklaşımı kullanılabilir. Kürenin 25 o C ye ulaşması için geçen süre: b A s ρc p V 12 0.000583 s 1 (10500)(235)(0.008333) e bt 25 33 T i T 0 33 e 0.000583t t 2428 s 40.5 dakika elde edilir. Küp için karakteristik uzunluk ve Biot sayısı; L c V A s L3 L 2 L 0.05 0.008333 m Bi L c k (12)(0.008333) 0.00023 < 0.1 429 Bi < 0.1 olduğundan toplam kütle yaklaşımı kullanılabilir. Küpün 25 o C ye ulaşması için geçen süre: b A s ρc p V 12 0.000583 s 1 (10500)(235)(0.008333) e bt 25 33 T i T 0 33 e 0.000583t t 2428 s 40.5 dakika bulunur. Hava Hava 4
Dikdörtgenler prizması için karakteristik uzunluk ve Biot sayısı; L c V A s (4 5 ) 2(0.04 0.05 + 0.04 0.0 + 0.05 0.0) 0.008108 m Bi L c k (12)(0.008103) 0.00023 < 0.1 429 Bi < 0.1 olduğundan toplam kütle yaklaşımı kullanılabilir. Hava Dikdörtgenler prizmasının 25 o C ye ulaşması için geçen süre: b A s ρc p V 12 0.0005998 s 1 (10500)(235)(0.008103) e bt 25 33 T i T 0 33 e 0.0005998t t 233 s 39.4 dakika olarak bulunur. Görüldüğü gibi küre ve küp için gerekli zaman aynı iken dikdörtgenler prizması için gerekli süre daa azdır. 5
4 Karbon çeliğinden yapılmış toplar ilk olarak bir fırında tavlanmakta daa sonra ortam sıcaklığında yavaşça belli bir sıcaklığa soğuması için bırakılmaktadır. Tavlama için geçen süre ve toplardan çevre avasına olan toplam ısı transfer ızı sorulmaktadır. Toplar küresel şekle saiptir ve ısıl özellikleri sabittir. Isı transfer katsayısı sabit ve bütün yüzey üzerinde üniform ve sabittir. Karbon çeliğinden yapılmış topların ısıl özellikleri; k 54 W m., ρ 7833 kg/m 3, c p 45 J kg. Fırın Çelik toplar Hava, 35 o C Isı transfer katsayısı,, 75 W/m 2 Küresel topların çapı, D8 mm Küresel topların karakteristik uzunluğu ve Biot sayısı; L c V (πd3 ) A s πd 2 D 0.008 0.0013 m Bi L c k (75)(0.0013) 0.0018 < 0.1 54 Bi<0.1 olduğundan toplam kütle yaklaşımı kullanılabilir. Tavlama işlemi için geçen zaman; b A s ρc p V 75 0.01584 s 1 (7833)(45)(0.0013) e bt 100 35 T i T 900 35 e 0.01584t t 13 s 2.7 dakika bulunur. Tek bir toptan 900 o C den 100 o C sıcaklığa gelene kadar gerçekleşen ısı transfer miktarı: m ρv ρ πd3 7833 π0.0083 0.0021 kg Q mc p (T ilk T son ) (0.0021)(45)(900 100) 781.2 J Saatte 2500 top tavlanırsa (n top 2500 top/saat), toplardan olan toplam ısı transfer ızı: Q n topq 2500 781.2 1953000 J 542.5 W bulunur.
5 Uzun alüminyum tellere çekme işlemi uygulanmakta ve atmosferik şartlara maruz bırakılmaktadır. Telin soğuması için geçen zaman, telin çekme işlemi sırasında aldığı mesafe,ve işlem sırasında telden çevreye olan ısı transfer ızı sorulmaktadır. Tellerde radyal doğrultuda olmak üzere tek boyutlu ısı transferi söz konusudur. Alüminyumun ısıl özellikleri sabittir. Isı transfer katsayıları sabit ve tüm yüzey boyunca üniformdur. Alüminyumdan yapılmış tellerin ısıl özellikleri: ρ 2702 kg m 3, k 23 W m., c p 0.89 kj kg. ve α 9.75 10 5 m 2 /s İlk sıcaklık Ti350 o C Çevre avası sıcaklığı T 30 o C, ısı transfer katsayısı 35 W/m 2 Tel çapı D3 mm Telin karakteristik uzunluğu ve Biot sayısı; L c V (πd2 4)L D A s πdl 4 0.003 0.00075 m 4 Bi L c k (35)(0.00075) 0.00011 < 0.1 23 Bi<0.1 olduğundan toplam kütle yaklaşımı kullanılabilir. (a) Soğutma için geçen zaman; b A s ρc p V 35 0.0193 s 1 (2702)(89)(0.00075) e bt 50 30 T i T 350 30 e 0.0193t t 144 s bulunur. (b) Telin katettiği mesafe; Hız uzunluk 10 uzunluk 144 24 m zaman 0 (c) Çekilen telin kütlesel akış ızı; m ρv ρ(πr 2 )V (2702)(π0.0015 2 ) 10 0 3.183 10 3 kg/s Telden çevre avasına olan ısı transfer ızı telin çekme işlem sırasında iç enerjisindeki değişim kadardır; Q m c p [ ] (3.183 10 3 )(89)(350 50) 85 W bulunur. 7