İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB00 Analiz I 3 Aralık 03 Final Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Taatlar: Sınav süresi 0 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz. Sınav, belirtilen puanlandırmaya saip yedi sorudan oluşmaktadır. Tam puan almak için yaptığınız işlemleri sınav kâğıdında belirtmeniz gerekmektedir. Sadece cevaplar puanlandırılmayacaktır. Sınav süresince mobil telefonlarınızı kapalı tutunuz. Ders notlarını içeren erangi bir aracın sınav süresince kullanılması yasaktır. Cevap anatarı, sınav sonrasında Matematik-Bilgisayar Bölümü panosuna asılacaktır. Başarılar. Yrd. Doç. Dr. Emel Yavuz Duman Soru. Soru 5. Soru. Soru 6. Soru 3. Soru 7. Soru 4. TOPLAM
Soru. (a)-(e) şıklarından istediğiniz 3 tanesini cevaplandırınız. 5+5+5puan (a) Diferansiyellenebilme ve türev tanımlarını veriniz. (b) Diferansiyellenebilme ve süreklilik arasındaki ilişkiyi açıklayınız. (c) Rolle Teoremi ni ifade ediniz. (d) Türevler için Ara Değer Teoremi ni ifade ediniz. (e) Ters Fonksiyon Teoremi ni ifade ediniz. Cevap. (a) Reel değerli bir f fonksiyonunun bir a noktasında diferansiyellenebilir olarak adlandırılması için gerek ve yeter şart f fonksiyonunun a noktasını içeren bir I açık aralığında tanımlı ve f f(a + ) f(a) (a) : 0 itinin var olmasıdır. Bu durumda f (a)değerine a noktasında f fonksiyonunun türevi denir. (b) Biliyoruz ki f fonksiyonu bir a noktasında diferansiyellenebilir ise aynı zamanda bu noktada süreklidir. Fakat bunun tersi doğru değildir. Örneğin f(x) = x fonksiyonunun 0 noktasında sürekli olmakla birlikte bu noktada fakat diferansiyellenebilir değildir. (c) a<bolmak üzere a, b R reel sayıları göz önüne alınsın. Eğer f fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli, (a, b) aralığında diferansiyellenebilir ve f(a) =f(b) isef (c) =0 olacak şekilde bir c (a, b) sayısıvardır. (d) f fonksiyonu f (a) f (b) olmak üzere [a, b] aralığında diferansiyellenebilir olsun. Eğer y 0 sayısı f (a) ile f (b) arasında yer alıyor ise f (x 0 )=y 0 eşitliğini sağalayacak şekilde bir x 0 (a, b) sayısıvardır. (e) I bir açık aralık ve f : I R fonksiyonu -, sürekli olsun. Eğer a I için b = f(a) sağlanıyor ve f (a) türev değeri mevcut ve sıfırdan farklı ise buna göre f ters fonksiyonu b noktasında diferansiyellenebilirdir ve (f ) (b) =/f (a) eşitliği geçerlidir. MB00 Analiz I Final Sınavı
Soru. 0 puan Ortalama Değer Teoremi ni kullanarak sin b sin a b a eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz. Cevap. f(x) = sinx fonksiyonu reel sayıların er [a, b] aralığında sürekli ve (a, b) aralığında diferansiyellenebilirdir. Buna göre f(b) f(a) b a = sin b sin a b a = f (c) =cosc eşitsizliğini sağlayacak şekilde bir c (a, b) sayısı vardır. Diğer taraftan er c R için cos c ifadesi gerçeklendiğinden sin b sin a b a = cos c yani sonucu elde edilir. sin b sin a b a Soru 3. 0 puan f(x) = x fonksiyonunun x = noktasında sürekli olduğunu gösterip diferansiyellenebilir olmadığını ispatlayınız. Cevap. Mutlak değer fonksiyonunun tanımına göre x iken x 0sağlandığından f fonksiyonu noktasında süreklidir. Diğer taraftan ve f( + ) f() ( + ) 0+ 0+ 0+ + = f( + ) f() ( + ) 0 0 0 + = + 0+ + 0 elde edilir. Limitin var olması için tek-yönlü itlerin mevcut ve birbirine eşit olması gerektiğinden noktasında it yoktur. Buna göre f fonksiyonu noktasında diferansiyellenebilir değildir. MB00 Analiz I 3 Final Sınavı
Soru 4. d dx arcsec x = x x x x x> x< 0 puan olduğunu ispatlayınız. (Not. x < veyax > için y = arcsecx olsun. Buna göre y [0,π]\{π/} için x =secy dir.) Cevap. y =arcsecx olsun. Buna göre x =secy ve y [0,π] {π/} yazılabilir. Yukarıdaki ilk ifadenin x e göre türevi alınırsa = d dx (x) = d dx (sec y) = d (sec y)dy =(secytan y)dy dy dx dx yani dy dx = sec y tan y elde edilir. x =secy = olduğundan cos y üçgeni kullanılarak türev değerine ulaşılır. dy dx = sec y tan y = sec y tan y = x x Soru 5. puan 3x +5 x 5olmak üzere f(x) = ise (f ) ( 9) değerini Ters Fonksiyon Teoremi ni kullanarak bulunuz. Cevap. Her x 5için sürekli f(x) = 3x+5 fonksiyonu f (x) = d ( 3x +5 ) 3 3x+5 3 = = dx 4 3x +5 > 0 olduğundan birebirdir. Ayrıca 3( ) + 5 f( ) = = 9 olduğundan f ( 9) = gerçeklenir. Buna göre Ters Fonksiyon Teoremi kullanılarak elde edilir. (f ) ( 9) = f (f ( 9)) = f ( ) = 3 4 3( )+5 =4 MB00 Analiz I 4 Final Sınavı
Soru 6. 0 + 0 puan Aşağıdaki itlerden istediğiniz tanesini L Hôpital kuralını kullanarak esaplayınız. (a) x π/ ( x π ) tan(3x) (b) x (ln x) n x (c) x 0+ (sin x) sin x Cevap. (a) (b) ( x π ) tan(3x) 0 = x π/ (ln x) n x x x π/ x π cot(3x) n(ln x) n x x n(n )(ln x) n x x n! x x =0 0/0 x π/ 3csc (3x) = sin (3x) x π/ 3 n(ln x) n n(n )(ln x) n x x x x n(n ) 3 (ln x) n n = x x (c) Verilen it 0 0 belirsizliğine saiptir. Eğer f(x) =(sinx) sin x denir ise elde edilir. Buna göre ln f(x) = ln(sin x) sin x =sinx ln(sin x) 0 ( ) ln(sin x) ln f(x) sin x ln(sin x) x 0+ x 0+ x 0+ sin x = sin x =0 x 0+ olduğundan istenen it değeri şeklinde bulunur. (sin x 0+ x)sin x = e 0 = x 0+ cos x sin x cos x sin x = 3. MB00 Analiz I 5 Final Sınavı
Soru 7. f(x) = Cevap. fonksiyonunun grafiğini çiziniz. (x ) 5 puan Fonksiyon er x R\{} için tanımlıdır. x =0için f(0) = 0 olduğundan fonksiyonun grafiği eksenleri (0, 0) noktasında keser. f (x) = 3x (x ) (x ) = 3x (x ) = x3 3x (x ) 4 (x ) 3 (x ) = x (x 3) =0 3 (x ) 3 eşitliğini sağlayan x değerleri x =0vex = 3 noktaları f in ekstremum noktalarıdır. Diğer taraftan f (x) = (3x 6x)(x ) 3 3(x ) ( 3x ) (x ) 6 = 6x (x ) 4 elde edilir. Burada f (3) > 0 olduğundan x = 3 bir yerel minimum noktasıdır. Bununla beraber f (0) = 0 olduğundan ikinci türev testi sonuç vermez. f (x) = 6x fonksiyonu x<0için negatif, x>0için pozitif değerler aldığından (x ) 4 fonksiyonun grafiği x<0için aşağı konkav, x>0için yukarı konkavdır. Buna göre x = 0birbüküm noktasıdır. f (x) = x (x 3) türev fonksiyonu göz önüne alınsın. Bu fonksiyon (, 0) (0, ) (x ) 3 aralığında pozitif, (, 3) aralığında negatif, (3, ) aralığında pozitif değerler aldığından (, 0) (0, ) (3, ) aralığında monoton artan, (, 3) aralığında monoton azalandır. Düşey Asimptot: x + (x ) x = olduğundan x =doğrusu (x ) f fonksiyonunun em sağdan em de soldan düşey asimptotudur. Yatay Asimptot: x (x ) = ve x = olduğundan yatay (x ) asimptot yoktur. Eğik Asimptot: x ± f(x) =± olduğundan f(x) fonksiyonunun eğik asimptotu olabilir. Buna göre f(x) x x x x(x ) ==m elde edilir. Dolayısıyla (f(x) mx) (f(x) x) x x x (x ) x x x x (x ) ==c olduğundan y = mx + c = x +eğik asimptottur. MB00 Analiz I 6 Final Sınavı
Yukarıdaki bilgiler ışığında değişim tablosu olarak elde edilir. Değişim tablosu kullanılarak verilen fonksiyona ait grafik aşağdaki şekilde çizilir: MB00 Analiz I 7 Final Sınavı