3. BÖLÜM 2 v r = M m v r 2 2 = 22 M m2 v r n n 2n = M mn MTRİSLER gibi n tne vektörün oluşturduğu, r r r = v v v [ L ] 2 n şeklindeki sırlnışın mtris denir. 2 nlitik Geometriden Biliyoruz ki : Mtris 2 L n L L L L L m m2 L mn 2 22 2n = elemnlrı ( i =,2,..., m ; j =,2,... n) cinsinden kısc = [ ] ij ij Y x = X cosθ Y sinθ y = X sin θ + Y cosθ y Ө P X x Döndürme Formülleridir. x cosθ = y sinθ sinθ X cosθ Y Şekil. 3 4
x + 2 x2 + L + n xn = b 2 x + 22 x2 + L+ 2n xn = b2. x + x + L+ x = b m 2 L m L 2 22 m2 m2 2 mn L n x b L 2n x2 = b2 L L M M L mn xn bm n m Doğrusl Denklem Sistemi X = B MTRİS İŞLEMLERİ Mtrislerin Toplmı (Frkı) ile B mxn boyutlu iki mtris ise, ij ±b ij =c ij olck şekilde elde edilen C=[c ij ] mtrisine, ile B mtrislerinin toplmı (vey frkı) denir. İki mtrisin toplnbilmesi (vey çıkrılbilmesi) için boyutlrının ynı olmsı gerekir. X B mxn nx mx Frklı boyutlu iki mtris toplnmz (vey çıkrılmz) 5 6 Mtrislerin Toplmı (Frkı) Tnım: Eğer = ij ve B = b ij boyutlrı m n oln mtrisler ise bu iki mtrisin toplmı: + B = C ij + b ij = c ij Mtrislerin Toplmı (Frkı) Toplm işleminin koşulu İki mtrisin toplnbilmesi (vey çıkrılbilmesi) için boyutlrının ynı olmsı gerekir. Frklı boyutlu iki mtris toplnmz (vey çıkrılmz) B C * * * * * * + * * * * * * * * * * * * * * * * * * = * * * * * * * * * * * * 4 3 4 3 4 3 8
Mtrislerin Toplmı (Frkı) b + + + e f e b f = c d g h c + g d + h b e f e b f = c d g h c g d h ÖRNEK 2 4 2 0 0 = 3 0 ve B = 4 3 ise +B=C 2 2 3 2 mtrisini bulunuz. 3 2 4 C = 2 4 2 4 4 9 0 Bir Mtrisin Bir Sklerle Çrpımı Tnım: Eğer = ij boyutu m n oln bir mtris ve k oln bir skler ise mtris ile sklerin çrpımı boyutu m n oln bir mtristir: k = C k = c ij ij ÖRNEK 2 5 = 3 4 0 ise 2 ve -3 skler çrpımlrını bulunuz. 2 7 2 2(2) 2(5) 2( ) 4 0 2 2 Α = 2(3) 2(4) 2(0) = 6 8 0 2(2) 2(7) 2(2) 4 4 4 3(2) 3(5) 3( ) 6 5 3 3 = 3(3) 3(4) 3(0) = 9 2 0 3(2) 3(7) 3(2) 6 2 6 2
Mtrislerin Çrpımı Tnım: Eğer = ij boyutu m n ve B = b ij boyutu n p oln mtrisler ise bu iki mtrisin çrpımı boyutu m p oln bir mtristir: B = C n b = b + b + K + b = c ik kj i j i2 2 j in nj ij k= { } Mtrislerin Çrpımı C = B c c2 c3 2 3 b b2 b3 c2 c22 c 23 2 22 23 b2 b22 b = 23 c3 c32 c 33 3 32 33 b3 b32 33 c2 = b 2 + 2b 22 + 3b 32 4 Mtrislerin Çrpımı Çrpım işleminin koşulu mtrisinin sütun syısının, B mtrisinin stır syısın eşitliği çrpılbilme koşuludur. ÖRNEK 2 3 9 2 = 3 4 B = 5 7 6 mtrisleri için C çrpım mtrisini bulunuz. 5
ÇÖZÜM 2 3 4 3 9 2 5 7 6 ( 2 3) + ( 5) ( 2 9) + ( 7) ( 2 2) + ( 6) ( 3 3) + ( 4 5) ( 3 9) + ( 4 7) ( 3 2) + ( 4 6) 25 0 29 8 Mtrislerin Toplm ve Skler Çrpım Özellikleri,B,C ynı boyutlu mtrisler; k, k 2 sklerler olmk üzere; ) +B=B+ 2) +(B+C)=(+B)+C 3) k (+B)=k +k B 4) (k +k 2 )=k +k 2 5) (kk2)=k(k2) 8 Mtrislerin Çrpım Özellikleri,B,C ynı boyutlu mtrisler; k, k 2 sklerler olmk üzere; ) (B+C)=B+C 2) (+B)C=C+BC 3) (BC)=(B)C 4) B B (Boyutlr uygun değilse) 5) B=C ise B=C olmsı gerekmez. 6) B=0 ise =0 y d B=0 olmsı gerekmez. 7) (B+C)=B+C 8) (+B)C=C+BC Mtrisin Trnspozu Her hngi bir mtrisinin trnspozu (evriği) T ile gösterilir. mtrisinin stırlrı (sütunlrı) sırsı ile T mtrisinin sütunlrını (stırlrını) oluşturur. 9 20
Trnspozİşleminin Özellikleri T. ( ) T = 2. ( ) T T T + B = + B 3. ( ) T T k = k k bir skler 4. ( ) T T T B = B Kre Mtris : Stır syısı, sütun syısın eşit oln (m=n) mtrislere kre mtris denir. NOT: Kre bir mtrisin determinntı hesplnbilir. Kre olmyn bir mtrisin determinntı söz konusu değildir. 2 5 = 3 4 0 2 7 2 Sıfır Mtris : Tüm elemnlrı sıfır oln mtrise denir. 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 23 Köşegen Mtris : Köşegen üzerindeki elemnlrının ii dışınd, diğer tüm elemnlrı ( ij )sıfır oln mtrise denir. ii elemnlrının bzılrı sıfır olbilir. NOT: Sdece kre mtrisler köşegen mtris olbilir. 3 0 0 = 0 4 0 0 0 4
Skler mtrisler: sl köşegen elemnlrı ( ii )birbirine eşit oln köşegen mtrise sklr mtris denir. Birim Mtris : Köşegen üzerindeki elemnlrı, diğerleri sıfır oln skler mtrise birim mtris denir. I n ile gösterilir. 0 0 = 0 0 0 0 mtrisi bir birim mtris olup I 3 ile gösterilir. Önemli: 0 =I 26 Simetrik Mtris bir kre mtris olsun. Eğer ij = ji eşitliği tüm i j elemnlrı için sğlnıyor ise diğer bir ifde ile = T ise mtrisi simetrik mtristir. 2 3 5 = 3 6 5 6 4 Yrı Simetrik Mtris bir kre mtris olsun. Eğer -ij=ji eşitliği tüm i j elemnlrı için sğlnıyor ise diğer bir ifde ile -= T ise mtrisi yrı simetrik mtristir. i=j için -ii=ii olduğundn sl köşegen elemnlrı sıfırdır. 0 3 5 = 3 0 6 5 6 0
Tnım: mtrisi boyutu n oln bir kre mtris ise; P = + 2 T ( ) Q = 2 T ( ) Şeklinde tnımlnn P ve Q mtrisleri sırsı ile simetrik ve yrı simetrik mtrislerdir. Periyodik Mtris : bir kre mtris olsun. kєn + olmk üzere k+ = ise mtrisine periyodik mtris denir. Birim mtris bir periyodik mtristir. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 İdempotent Mtris: bir kre mtris olsun. Eğer k= için 2 = ise mtrisi idempotent mtristir. Birim mtris bir idempotent mtristir. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 Nilpotent Mtris: bir kre mtris olmk üzere 2 =0 ise mtrisine Nilpotent Mtris denir. Eğer 2 =I ise mtrisine ünipotent Mtris denir. 2 5 = 2 4 0 2 5 32
Üst üçgen mtris: Bir kre mtrisin sl köşegeninin ltınd kln tüm elemnlrı sıfır ise bu mtrise üst üçgen mtris denir. 4 0 = 0 2 6 0 0 7 lt üçgen mtris: Bir kre mtrisin sl köşegeninin üstünde kln tüm elemnlrı sıfır ise bu mtrise lt üçgen mtris denir. 3 0 0 = 5 3 0 2 0 Echelon (Knonik) Mtris: boyutu m n oln bir mtris olsun. mtrisinin ilk stırı hriç diğer stırlrındki sıfırlrın syısı (soldn itibren) stır stır rtıyor ise mtrisi Echelon (knonik) mtristir. Bir eşelon mtriste stırlrdki sıfır olmyn ilk elemn pivot (yrık) elemn denir. 2 2 3 0 4 2 0 0 2 0 4 5 3 0 2 = = 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 Stır Eşdeğer Mtrisler Tnım: Boyutu m n oln bir mtrisine sonlu syıd elemnt stır işlemlerinin uygulnmsı sonucund elde edilen mtris % olsun. % mtrisine mtrisinin stır eşdeğer mtrisi denir: ~ %
Ortogonl Mtris: [ ] = v v L v vektörlerinin tnımldığı bir kre 2 n mtris olsun. Eğer v i.v j =0 tüm i j için ve v i.v j = tüm i=j için ise diğer bir deyişle T =I ise mtrisi ortogonl mtristir. Ortogonl Mtris: Örnek / 3 / 6 / 2 = / 3 2 / 6 0 / 3 / 6 / 2 ise / 3 / 3 / 3 T = / 6 2 / 6 / 6 / 2 0 / 2 / 3 / 6 / 2 / 3 / 3 / 3 0 0 / 3 2 / 6 0 / 6 2 / 6 / 6 0 0 = / 3 / 6 / 2 / 2 0 / 2 0 0 T = I mtrisi ortogonl mtristir 38 Kofktör (İşretli Minör) Mtrisi Tnım: kre mtrisinde, ij elemnlrının işretli minörleri (kofktörleri) ij olsun. mtrisinin kofktör mtrisi: 2... n 2 22... 2n =............ n n 2... nn Ek Mtris Tnım: mtrisinin kofktör mtrisinin trnspozu Ek Mtris olrk dlndırılır. Ek() ile gösterilir. Ek ( )...... 2 n 2 22 n2 =............... n 2n nn
Ek Mtris Özellikleri.. Ek( ) = Ek( ). = det( ). I 2. Ek(. B) = Ek( ). Ek( B ) Mtrisin izi Tnım: boyutu n n oln simetrik bir mtris olsun. Köşegen elemnlrının toplmın mtrisin izi denir ve tr() ile gösterilir n = + + nn = ii i= ( ) tr L Örnek: mtrisinin izini bulunuz. 4 2 = 2 5 6 7 3 0 tr ( ) = 4 5 + 0 = Mtris İzinin Özellikleri. tr ( + B) = tr ( ) + tr ( B ) 2. tr ( B) = tr ( ) tr ( B ) 3. tr ( k ) = ktr ( ) (k bir skler) T 4. tr ( ) = tr ( ) Ters Mtris Tnım: boyutu n n oln bir kre mtris olsun. Eğer B = B = I n eşitliğini sğlyn bir B mtrisi vrs mtrisi tersi lınbilir b mtristir ve B mtrisine mtrisinin ters mtrisi denir ve B = ile gösterilir. SONUÇ: = = I n 43
Ters Mtrisin Özellikleri. Tersi lınbilir bir mtrisinin bir ve ylnız bir ters mtrisi vrdır 2. ( ) B = = B 3. ( ) k = k 4. ( ) k bir skler Ters Mtrisin Özellikleri 6. ( ) = ( ) T T k 7. ( ) = ( ) k = K 5. = Ek 45 Mtrisin Determinntıİle İlgili Özellikler. B = 2. I n = B 3. Α ( ) = = Elemnter Mtrisler Tnım: Boyutu n n oln bir E mtrisi eğer I n birim mtrisinde tek bir elemnter stır (sütun) işlemi ile elde edilebiliyor ise elemnter mtris denir. 4. bir ortogonl mtris ise = ±
Elemnter Mtrislerin Özellikleri. boyutu n m oln bir mtris ve I n birim mtrisinden bir elemnter stır (sütun) işlemi ile elde edilen mtris E olsun E çrpım mtrisi ynı elemnter stır (sütun) işleminin mtrisine uygulnmış ypısını verir. 2. Eğer E bir elemnter mtris ise mtris de bir elemnter mtristir. E mtrisi vrdır ve ters 3. Bir kre mtris nck ve nck elemnter mtrislerin çrpımı olrk yzılbiliyor ise tersi lınbilirdir: = EkK E2EI n Tekil Olmyn Mtrisler Tnım: boyutu n n oln kre bir mtris olsun. Eğer determinnt değeri sıfırdn frklı, 0 ise mtrisine tekil olmyn mtris, = 0 ise mtrisine tekil mtris denir. Teorem Bir kre mtrisinin tersinin vr olbilmesi için gerek ve yeter koşul 0 olmsıdır. Knıt: = I = I Teorem Boyutu m n oln her mtrisi, bir Echelon mtrise stır eşdeğerdir. = = 0
Teorem Bir dizi elemnter stır işlemi, bir mtrisini I birim mtrisine dönüştürüyor ise elemnter stır işlemlerinin ynı dizisi I mtrisini ters mtrisine dönüştürür. Teorem Bir dizi elemnter stır işlemi, bir mtrisini I birim mtrisine dönüştürüyor ise elemnter stır işlemlerinin ynı dizisi genişletilmiş (:I) mtrisini ( : ) I mtrisine dönüştürür. Ters Mtrisin Bulunmsı: Guss- Jordn Yöntemi Boyutu n n oln bir mtrisinin ters mtrisi şğıd verilen dımlr izlenerek elde edilebilir:. mtrisinin sğın n boyutlu birim mtrisi ekleyiniz, [ M I] yeni mtrisin boyutu n 2n olur. 2. mtrisini I mtrisine indirmek için gerekli elemnter stır (sütun) işlemlerini hem hem de I mtrisine uygulyrk, IM Mtrisini elde ediniz. Bu sonuç elde edilemiyor ise tersi lınmyn tekil bir mtristir. Ters Mtrisin Bulunmsı: Ek Mtris Yöntemi Boyutu n n oln bir mtrisinin ters mtrisi şğıd verilen dımlr izlenerek elde edilebilir:. mtrisinin determinntını, bulun. 2. mtrisinin ek mtrisini, ek() bulun. 3. = ek ( ) elde edilir.
ek ( ) = I ( ) KNIT ek = I Iek ( ) = ek ( ) = BİR MTRİSİN RNKI Tnım: Boyutu m n oln bir mtrisinin, determinntı sıfırdn frklı en büyük lt kre mtrisinin mertebesine mtrisinin rnkı denir: r() BİR MTRİSİN RNKI Boyutu m n oln bir mtrisinin rnkı, boyut syılrının, m ve n, küçüğüne eşit y d ondn dh küçüktür. m<n ise r() m Eğer bir n n kre mtris ise:. = 0 ise r()<n (Tekil mtris) Denk Mtrisler Boyutlrı ve rnklrı ynı oln mtrislere denk mtrisler denir. ~B 2. 0 ise r()=n (Tekil olmyn mtris) 60
Mtrisin Rnkıİle İlgili Özellikler T. r ( ) = r ( ) 2. r ( ) = r ( ) Mtrisin Bölümlenmesi Boyutu r c oln bir mtrisi bzı kurllr dikkte lınrk lt mtrislere yrıştırılbilir: K p q L p ( c q) r c = M( r p) N q ( r p) ( c q) Mtrisin Bölümlenmesi Bölümlenme Kurllrı. ynı stırdki lt mtrislerin stır syılrı eşit olmlı ve sütun syılrının toplmı c olmlı. 2. ynı sütundki lt mtrislerin sütun syılrı eşit olmlı ve stır syılrının toplmı r olmlı. Bu kurllr dikkte lınrk mtrisler elemn syısının izin verdiği ölçüde lt mtrise yrılbilir. Mtris bölümlenmesi eşsiz değildir. ynı mtrisin frklı bölümlenmeleri söz konusudur. Mtrisin Bölümlenmesi Bölümlenmiş mtrisin trnspozu; hem mtrisin trnpozu hem de lt mtrislerin trnspozu lınrk elde edilir. B C D = E F G T T T B E T B C D T T = = C F E F G T T D G
Mtrisin Bölümlenmesi Boyutu r c oln bir mtrisi, j-inci sütunu j vektörü ile tnımlnrk sütun vektörlerine göre bölümlenebilir: = 2 K j K c T Benzer şekilde, i-inci stırı α i ile tnımlnrk stır vektörlerine göre bölümlenebilir: T α T α2 M = T α i M T αr Mtrisin Bölümlenmesi Mtrislerdeki genel çrpım kurllrı bölümlenmiş mtrisler içinde geçerlidir. Eğer boyutlr çrpım işlemine uygun ise 2 B B2 B3 = B = 2 22 B2 B22 B23 B + 2B2 B2 + 2B22 B3 + 2B 23 B = 2B + 22B2 2B2 + 22B22 2B3 + 22B23 ÜÇÜNCÜ BÖLÜM BİTTİİİİİİİ 67