.Seviye ITAP 0 Aralık_0 Sınavı STATİK.Bir uyduyu bilinen bir yöne yönlendirmek için (manevra yapmak), F ve F kuvveti (F - F ) oluşturan uydunun iki motoru çalıştırılıyor (şekildeki gibi). Aynı sonucu almak için tek motor kullanılır. Tek motor udunun hangi noktasında yerleştirilmelidir ve uyguladığı kuvvet ne kadardır? Uydunun boyutları ve kuvvetler şekildeki gibidir, uydunun kütle merkezi 0 verilmemiş, α 5, L d /. Çözüm: Aynı sonucu almak için tek kuvvet F F+ F F+ ( F) Feşit olmalıdır. Bu kuvvetin konumu ise uydunun öyle bir noktasında uygulamalıdır ki F ve F kuvvetlerin özdeş momentini versin. Bu problemi çözmek için teknik mekaniğin bir teoreminden F F yararlanalım: her bir tek kuvvet (F), F +, kuvvetin doğrultusuna paralel ve ondan aynı uzaklıkta bulunan iki paralel doğrultuda etki eden ve bir birine eşit olan (F/ ve F/) kuvvetlerle özdeş olarak değiştirebilinir. Bu teoreme göre F kuvvetin doğrultusuna iki paralel doğrultu çizelim: birisi F kuvvetin doğrultusunda, diğeri ise F den aynı uzaklıkta fakat diğer tarafında olsun şekildeki gibi. Burada AB BC d cosα d paralel doğrultular arasındaki mesafedir; iki eş kenarlı dik üçgenlerden uydunun uzunluğu L d / olduğu gözlenmektedir, yani C noktasından geçen doğrultu uydunun tepe noktasından geçecektir. Dolayısıyla, A noktasındaki kuvvetler bir birini güttürecek ve uyduya etki eden tek kuvvet, udunun tepe noktasında uygulanan F kuvvet kalacaktır. Cevap: A)-F, uydunun tepe noktasında. A)-F, uydunun tepe noktasında. B)-F, uydunun kuyruğun üst noktasında. C)-F, uydunun kuyruğun alt noktasında. D)-F, uydunun kuyruğun orta noktasında. ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov)
E)-F, uydunun kuyruğundan L/ uzaklıkta olan noktasında.. Kübik bir kutu pürüzlü bir masa üstünde bulunmaktadır. Kutunun yerini iki şekilde değiştirebiliriz: yuvarlayarak veya kayarak. Sürtünme kat sayının() hangi değer bölgesi için kutunun yerini kayarak değiştirmek daha kolaydır (daha düşük kuvvet gerekecektir)? Çözüm: Yazılımı kısaltmak için m g l birim olarak alalım, burada m kutunun kütlesi, l küpün kenarının uzunluğu, g ise yer çekim ivmesidir. Önce kayma hareketini inceleyelim. En düşük kuvvet uygulaması için cismin hızı sabit olmalıdır, aslında hareket en yavaş olabilecek şekilde edilmelidir. Bu koşul matematik açısından cismin mekanik denge durumuyla özdeştir, yani sonuçta cismin denge durumunu incelenecektir. Cisme etki eden sabit büyüklükte olan kuvvet yatayla α açısı yaptığını kabul edelim (şekildeki gibi) ve bilinen bir sürtünme kat sayısı için hareket etmek açısından en uygun açı hangisidir bulalım. Kutuya etki eden kuvvetler şekildeki gibidir ve denge durumun denklemleri aşağıdaki F cosα cosα N N Fcosα Fs N sinα + cosα gibidir: Fsinα + N F cosα Fsinα + F sinα + cosα Buradan F kuvvetin minimum değeri, f(α) fonksiyonun maksimum ikendir: f ( α) sinα + cosα + sinα + cosα + + ( ) + θ α + θ α + θ α yani, α θ arctan iken ve sin sin cos cos cos( ) max F min ( sinα + cosα) + Burada sin θ ;cos θ ;tanθ θ arctan. + + Aynı anda kutuyu yuvarlamak için gereken en düşük kuvvet şu şekilde hesaplamalıdır: en düşük kuvvetle en büyük moment oluşturmak. Kutu denge durumdayken kuvvetlerin momenti her hangi bir noktaya göre alınabilir, soruda bu nokta şekildeki A noktası olabilir: ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov) max
Bu noktaya göre zeminin uyguladığı sürtünme ve normal kuvvetin momenti sıfırdır, dolayısıyla uygulanan F kuvvetin momenti yer çekim kuvvetin momentine eşit olmalıdır: l τ mg. Bu momenti oluşturabilecek en düşük kuvvet A noktasından en uzakta olmalıdır (kutuda bu nokta B köşe noktasıdır) ve uygulanan kuvvet AB doğrultuya dik olmalıdır: yuv τ Fmin AB Bu minimum kuvvet için de kayma olmamalıdır, yani Fs < N. Denge denklemine göre Fs Fcosα Fsinα + N burada α, yani yuv Fs F Fs F F min F < F > yuv F N N F F min + Dolayısıyla kutunun yerini kaydırarak daha kolay olacaktır eğer yuv Fmin < Fmin < < < + + 8 7 < < 7 > Cevap A) < < 7 A) < < B) < < C) < < D) < < 7 7 7 5 5 E) < < 6 6 ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov)
. Uzunluğu l olan homojen bir çubuk zemine ve bir merdivenin basamağına değmektedir (şekildeki gibi). Çubuk ile zemin arasındaki sürtünme kat sayısı iken, çubuk ile basamak arasında sürtünme yoktur. Açı α olduğuna göre, çubuğun dengede kalması için basamağın yüksekliği (h) ne kadar olmalıdır? Çözüm: m l g birim olarak alalım, burada m cismin kütlesidir. Çubuğa etki eden kuvvetler şekildeki gibidir: Çubuğun dengede kalması için: F cos α sin α N sinα F Nsinα F h Ncosα + N mg Ncosα + N N cos αsinα h h l N mg cosα N cosαsinα sinα h N cosαsinα h Burada F cosαsin α N cos αsinα h h h cos α sin α( sin α + cos α) Boyutlu şekilde l h cosα sinα( sinα + cosα) Aynı anda dik üçgene göre h lsinα, dolayısıyla l cosα sinα( sinα + cosα) h lsinα Verilere göre ; sin α cosα, buradan l h l ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov)
Cevap A) l h l A) l h l B) l h l C) 8 E) l h l l h l D) 6 l h l. Her birin kütlesi M, kenarın uzunluğu b olan iki özdeş küp yatay bir masa üstünde bir birinden b uzaklıkta bulunmaktadır. Uzunluğu b olan hafif kütleli bir çubuk küpler arasında şekildeki gibi yerleştiriliyor. Küplerin yüzlerinin ve zeminin arasındaki sürtünme kat sayısı m dur. Çubuk ile küpler arasında A noktasında çok büyük, C noktasında ise çok düşüktür. B noktasında çubuğa dik yönde F kuvvet uygulanıyor.(şekildeki gibi). F kuvvetin büyüklüğü artmaya başlıyor. Hangi küp önce kaymaya başlayacaktır? Çözüm: M b g birim olarak alalım. İlk başta çubuğun dengesini inceleyelim. Çubuğa etki eden kuvvetler şekildeki gibidir: C noktasında sürtünme olmadığına göre F kuvveti çubuğun yüzeyine dik olmak zorundadır (bu noktada çubuğa sadece normal kuvvet etki etmektedir). Denge denklemleri aşağıdaki gibidir: F ( F+ F) F+ F+ F 0 F AB F AB, AC F F AC Yani kuvvet F, F kuvvetin boyunca olmak zorundadır. Verirle göre AB, AC (küpler arasındaki mesafe b dir.), dolayısıyla F F F F Şimdi küplerin denge durumunu inceleyelim. Küplere etki eden kuvvetler şekildeki gibidir: Kuvvetlerin yönleri şekildeki gibidir, F kuvvetler yatayla 5 0 açı yapmaktadır ve bu sebeple denge denklemleri izdüşümü şekilinde alınıyor. Sağ küp: ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov)
F Sol küp: ( ) Aynı şekilde, Eğer < ise Q Mg+ F + F Fs F Q + iken.küp kaymıyor, yani dengededir. ( F) Q Mg F F Fs F Q F F.küp ta kaymıyor. Cisimler birilikte kayamaya başlayacaktır eğer + F s max F ( ) + F < ve ( ) F s max (.cisim) ardın F kuvvetin artışıyla sol cisim kaymaya başlayacaktır. döner: önce sol, ardından sağ küp kaymaya başlayacaktır. <, sağ küp Cevap: D), ikisi birlikte >, sol küp <, sol küp <, sağ küp A), ikisi birlikte B), ikisi birlikte >, sağ küp, sol küp > >, dolayısıyla önce sağ + <, sol küp C), ikisi birlikte >, sağ küp > iken duru terse ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov)
<, sağ küp D), ikisi birlikte >, sol küp < E) >, sağ küp, ikisi birlikte, sol küp 5. Hafif kütleli bir tahta ortasından yatay bir eksene tutturulup bir salıncak oluşturmaktadır. Tahtanın uçlarına kütleleri m 0kg ve m 60kg olan iki kişi oturuyor. İlk anda tahta yataydır ve hareketsizdir. Bu ilk anda tahtanın eksene oluşturduğu kuvvet ne kadardır? Çözüm: İlk anda tahtanın hızı sıfırdır fakat insanların kütleleri farklı olduğuna göre tahta bilinen bir ivme ile harekete geçecektir. Tahta hafif kütleli olduğuna göre F 0; τ 0, dolayısıyla T+ T + F 0 F T, Tl Tl T T T burada T ve T sırasıyla insanların, F ise eksenin tahtaya uyguladı kuvvettir..yasaya göre tahta da eksene FT büyüklükte bir kuvvet uygulamaktadır. İnsanlar tahtanın merkezinde aynı uzaklıkta olduğuna göre ilk başta ivmeleri büyüklük olarak bir birine eşit, yon olarak ise zıttır: ma T mg T mg m mm T g ma mg T mg T m m+ m Dolayısıyla mm F g N m + m 96 9.8( ) 9( N ) Cevap E)9N A)kN B)N C)00N D)500N E)9N 6. Yarıçapı rcm olan bir tel çemberi yüzey gerilimi σ 0.0 N / molan bir sabun küpü ile sıkıştırılmıştır. Çemberin sıkıştırılma kuvvetini bulunuz. Çözüm: Çemberin küçük, dl büyüklükte olan bir yayını inceleyelim. Bu cisme çemberin merkezine doğru df σ dl büyüklükte küpün yüzey kuvveti etki etmektedir (küpün yüzeyi olduğuna göre birim uzunluğa düşen yüzey gerilim kuvveti σ dır). Yay parçası dengede olduğuna göre çemberin diğer bölgelerinde kaynaklanan iç sıkıştırılma kuvvet dl df Tdθ T r df kuvveti dengelemedir: dl df df σdl T T σr 8 0 N 0.8 mn r Cevap E)0.8mN ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov)
A).0mN B)0.5mN C).mN D).8mN E)0.8mN 7. Uzunluğu l0cm olan bir tel çemberi yüzey gerilimi σ 0.0 N / molan bir sabun küpü ile sıkıştırılmıştır ve yatay durumdadır. Bu durumda çemberden düşmemesi için köpüğün kütlesi en fazla ne kadar olabilir. Çözüm: Çemberin küçük, dl büyüklükte olan bir yayını inceleyelim. Bu cisme köpüğe teğet ve yaya dik olarak df σ dl büyüklükte küpün yüzey kuvveti etki etmektedir (küpün yüzeyi olduğuna göre birim uzunluğa düşen yüzey gerilim kuvveti σ dır)..yasaya göre tel köpüğe aynı büyüklükte kuvvet uygulamaktadır. Bu kuvvet dikeyle bilinen bir α açısı yaptığını kabul edelim. Çemberin simetrisinden dolayı df kuvvetlerin yatay bileşenlerin toplamı Fx df 0, Dikey bileşeni ise F dfcosα σ cosα dl lσ cosα y Bu kuvvetin dışında köpüğe yer çekim kuvveti etki etmektedir ve köpüğün çemberden düşmemesi için mg lσ cosα lσ olmalıdır. Buradan, çember kütlesi en fazla m ye eşit olan bir köpüğü tutabilir; sayısal g olarak lσ 0. 0 m 0.g g 9.8 Cevap A)0.g A)0.g B)0.g C)0.g D)0.g E)0.6g 8. Kütlesi m olan uzun ve dar olan homojen bir tahta yatay zeminde bulunmaktadır. Zeminle tahta arasındaki sürtünme kat sayısı dur. Tahtanın uçlarına tahtaya dik olarak ve yönleri bir birine zıt olan iki eş değerli kuvvet uygulanmaktadır. Tahtanın dönmesi için bu kuvvet en az ne kadar olmalıdır? Çözüm: m l g birim olarak alalım, burada l tahtanın uzunluğudur. Simetriye göre tahtaya etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır, dolayısıyla tahtaya etki eden kuvvetlerin momentini tahtanın merkezine göre da alabiliriz: / / τ F dτ( x) F xdx F 0 0 0 Tahtanın dönmesi için kuvvet F en az olmalıdır. Boyutlu şekilde F min mg ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov)
mg Cevap: C) mg mg A) B) mg C) D) mg E) mg 9. Kütlesi m0kg olan bir fener, arasındaki mesafe l0m olan iki direk arasında asılan hafif kütleli bir halata bağlıdır. Bağlantı noktası direklerden aynı uzaklıktadır. Halat en fazla T 50g gerilim kuvvetine kopmadan dayanabilir (burada g yer çekim ivmesidir). Fenerin zeminden h5m yükseklikte olması için halatın uçları direklerde nasıl bir yükseklikte (H) bağlanmalıdır? Çözüm: Fener dengedeyken ağırlığı halat tarafından dengeleniyor: Tcosα mg, buradaα halatın yarı kısmi dikeyle yaptığı açıdır, yani mg l sinα cos α T tanα ( H h) cosα cosα mg T mg mg l T 0 T H h+ h+ 5 + 5 0 5.50m mg mg T T 00 Cevap: A)5.50m A) 5.50m B)6.50m C).50m D).00m E)6.00m 0. A çengeline asılı olan bir ip C makarasına sarılıdır (şekildeki gibi) ve ipin diğer ucuna kütlesi Q olan bir cisim bağlıdır. Aynı anda ipin D sabit noktasında kütlesi m0kg olan bir cisim asılıdır öyle ki ipin AD kısmında gerilme kuvveti ipin diğer bölgesindeki gerilme 0 kuvvetin iki katıdır ve ADC 90 dir. Bu verilere göre sistemin dengede olması için Q ne kadar olmalıdır? Makaraya etki eden kuvvet (F) ne kadardır? Çözüm: m AC g birim olarak alalım. Kütle m dengede olduğuna göre, sinüs teoreminden, 5 T cos sin cos 5 AD α TCD Q α + α Q Q 5 TCD sinα Q tanα α arctan Burada α DCA. Dolayısıyla, ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov)
F Q+ T CD F Q + sinα Q + tanα 0 + + tan α 5 5 Boyutlu şekilde: C evap D) Q 8.9( kg); F 9( N) m Q 8.9( kg) 5 0 F 0 + mg 9( N) 5 5 A) Q 9.9( kg); F 59( N ) B) Q 7.9( kg); F 9( N ) C) Q 6.9( kg); F 9( N) D) Q 8.9( kg); F 9( N) E) Q 9.9( kg); F 09( N). Kütlesi m 60kg olan bir insan kütlesi m 0kg olan bir platformda durmaktadır (şekildeki gibi). Platformun dengede olması için bu kişi ipi nasıl bir kuvvetle çekmelidir? Adamın platforma etki ettiği kuvvetin büyüklüğü (N) ne kadardır? Bu kişi en fazla kaç kilogramlık bir platform tutabilmektedir? Makaralar hafif kütlelidir. Çözüm: m g birim olarak alalım. dc ipin gerilmesi T, ab ipin ise T Tf olsun. Verilere g öre T T dir (küçük makara hafif kütlelidir). İnsanın dengede olması için f N, burada N platformun tepki kuvvetidir, platformun dengede olması için ise T N + m Dolayısıyla + m + m f f f + m N f m m N 0 N ; m Boyutlu şekilde ise ( ) m+ m g f ( N) m m N g 68( N); mmax 80( kg) ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov)
{ f ( N); N 68( N); mmax 80( kg) } { f 9( N); N 68( N); mmax 60( kg) } { f ( N); N 68( N); m 80( kg) } Cevap C) A) B){ f 9( N); N 68( N); mmax 5( kg) } C) max D){ f ( N); N 68( N); mmax 00( kg) } E){ f 5( N); N 68( N); m 00( kg) } max. Ağırlığı P olan AB homojen çubuğu dikey ve yatay duvarlar boyunca sürtünmesiz kayabilmektedir (şekildeki gibi). Çubuğu dengede tutan OC ipi yatayla β, çubuk ise α açısını yapmaktadır. İpin gerilme kuvvetini (T) bulunuz. C noktasının hangi konumları için çubuk dengede kalabilir ve hangileri için kalamaz? Çözüm: m g l birim olarak alalım, burada m çubuğun kütlesi l ise uzunluğudur. Çubuğa etki eden kuvvetlerin toplama ve momenti sıfır olmalıdır, sinα Tcos β Tsin β + NA Tsin β + cosα cosα dolayısıyla: NB Tcos β NB Tcos β T sin ( α β ) NAcosα NBsinα sinα sinα NA NB Tcos β cosα cosα T > 0 olmasına göre α > β olması gerektir. Nokta C çubuğun merkezindeyken β α ve α > β olması için C noktası kütle merkezi noktasından daha aşağıda olmas ı gerektir. cosα P cosα Boyutlu şekilde T mg sin α β sin α β ( ) ( ) P cosα Cevap:C) T ;Bağlantı noktası C kütle merkezinden aşağıda olması grektir. sin α β ( ) P cosα A) T ;Bağlantı noktası C, kütle merkezinden aşağıda olması grektir. sin α β ( ) P cosα B) T sin ( α β) P cosα C) T sin ( α β) P cosα D) T sin ( β α) ( α β) ;Bağlantı noktası C, kütle merkezinden yukarıda olması grektir. ;Bağlantı noktası C, kütle merkezinden aşağıda olması grektir. ;Bağlantı noktası C, kütle merkezinde olmalıdır. P cosα E)T ;Bağlantı noktası C, kütle merkezinde olmalıdır. sin. Pürüzlü yatay bir düzlemde kütlesi m olan bir küp bulunmaktadır ve üst yüzeyine büyüklüğü F olan yatay bir kuvvet uygulanmaktadır. Küpü devirmek için sürtünme kar sayısı ()en az ne kadar olmalıdır? F kuvveti ne kadar olmalıdır? ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov)
Çözüm: m b g birim olarak alalım, burada m küpün kütlesi, b ise kenarın uzunluğudur. Devirmekten bir an önce küpe uygulanan tepki kuvveti küpün alt kenarındadır, dolayısıyla bu noktaya göre moment toplamı sıfır olması için b mg F b F Kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır, dolayısıyla F F s, N burada Fs N sürtünme kuvveti, N ise zeminin cisme uyguladığı tepki kuvvetidir. Buradan, boyutlu şekilde F mg Dolayısıyla küpü devirmek için gereken kuvvet mg den daha büyük olmalıdır. Cevap: A) ; F > mg A) ; F > mg B) ; F mg C) < ; F > mg D) ; F > mg 5 E) < ; F > mg. Kütlesi M olan bir kızağı bir adam bir iple sabit hızı ile çekmektedir. İp yatayla α büyüklükte bir açı yapmaktadır. Kar ile kızak arasındaki sürtünme kat sayısı olduğuna e ipin gerilme kuvvetini (T) bulunuz. En uygun açı α ne kadar olmalıdır? Bu açı gör ( ) sürtünme kat sayısı 0 dan e kadar değiştiğinde nasıl değişecektir? Çözüm: M l g birim olarak alalım, burada l ipin uzunluğudur. Verilere göre Tcos α N Tcos α N T Tsinα + N Mg Tsinα + N cosα + sinα T cosα + sinα + + cos( φ α) + Burada φ arctan. Dolayısıyla bilinen bir sürtünme kuvveti içi gereken en düşük çekme kuvveti α α φ arctan iken yer almaktadır ve Bu mini mum kuvvet ise Boyutlu şekilde 0. 0 (0,) α0 (0, arctan) (0, 5 ) T min. + ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov) 0
T min Mg + Mg 0 Cevap: B) T ; α0 arctan ; (0,) α0 (0,5 ) cosα + sinα Mg 0 A) T ; α0 arctan ; (0,) α0 (0,75 ) cosα + sinα Mg 0 B) T ; α0 arctan ; (0,) α0 (0,5 ) cosα + sinα Mg 0 C) T ; α0 arctan ; (0,) α0 (0,75 ) cosα + sinα Mg 0 D) T ; α0 arctan ; (0,) α0 (0,5 ) cosα + sinα Mg 0 E) T ; α0 arctan ; (0,) α0 (0,55 ) cosα + sinα 5. Homojen bir telden, yarıçapı R olan bir yarı çember oluşturuluyor. Yarı çemberin kütle merkezinin yarı çemberin çapından ne kadar uzaklıktadır? m Çözüm: m R birim olarak alalım. Buna göre telin kütle yoğunluğu λ dir. R Koordinat sistemin başlangıç noktasını çemberin merkezinde, x ekseni çap boyunca alalım. Simetriye göre kütle merkezi dikey eksen boyunca olacaktır ve tanım olarak yc ydm yλdl ydφ sinφdφ m Boyutlu şekilde R Cevap C) A) R R B) C) R y C R D) R R E) 6. Kütlesi m, yarıçapı ise R olan homojen bir yarı dairenin kütle merkezinin dairenin çapından uzaklığını bulunuz. m Çözüm: m R birim olarak alalım. Buna göre dairenin kütle yoğunluğu σ dir. R Koordinat sistemin başlangıç noktasını çemberin merkezinde, x ekseni çap boyunca alalım. Simetriye göre kütle merkezi dikey eksen boyunca olacaktır ve tanım olarak yc ydm yσds yds r sinφrdrdφ r dr sinφdφ m Boyutlu şekilde 0 0 0 0 0 ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov)
Cevap D) R R A) B) R C) R y C R D) R 7. Kütlesi m olan bir plakanın sınırı yarıçapı R olan bir yarı çemberden ve yüksekliği ve tabanı R olan ikizkenarlı bir üçgenden oluşturmaktadır (şekildeki gibi). Bu plakanın kütle erkezi çemberden ne kadar uzaklıkta (x ) dır? m 0 Çözüm: m R birim olarak alalım. Cismi iki kısımdan oluşmuş olarak alalım: yarı daire ve üçgen. Yarı dairenin kütle merkezini yukarıdaki soruda bulduk: merkezden uzaklıkta. Homojen bir üçgenin kütle merkezi ise kenar ortayların kesit noktasıdır (geometrik merkez). Dolayısıyla, sorudaki üçgenin geometrik merkezi çemberin merkezinden h uzaklıkta olacaktır (burada h R üçgenin yüksekliği dir). Tanım olarak birleşik cismin kütle merkezi y CS+ ycs yc, S + S E) R S R burada sırasıyla yarı dairenin ve üçgenin alanları, S R R kısmın kütle merkezi konumlarıdır, yani y C + ( + ) Buradan, + 6 x0 + R R ( ) + + + 6 Cevap D) + R + + 8 R B) + 6 + R C) + 6 + R D) + 6 + R + A) E) + 6 R yc ise bu iki y C ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov)
8. Homojen bir daire dilimin yarıçapı R, açısı ise α dır. Dilimin kütle merkezi dairenin merkezi arası ndaki mesafeyi bulunuz. Çözüm: m R birim olarak alalım. Tanım olarak boyutlu homojen bir cismin kütle merkezi koordinatları her hangi bir koordinat sisteme göre xc xds S y C yds S Dilimin polar simetrisi olduğuna göre polar koordinat sistemini kullanmak uygundur ve bu x rcosφ sisteme göre bir noktanın koordinatları ye, küçük bir alan ise ds rdrdφ ye y rsinφ eşittir. Dilim için φ ( αα, ) alırsak ortaya simetri çıkar ve bu simetriye göre y0 oluyor, dolayısıyla α α sinα xc rcosφrdrdφ r dr cosφdφ α α α 0 α 0 0 yc yds 0 S Boyutlu şekilde Rsinα xc α yc 0 Cevap D) R sin α α Rsinα B) R sin α A) α α Rsin α C) α D) R sin α α E) Rsinα α 9.Kütlesi m olan ince bir plaka yarıçapı R olan bir yarı dairedir. Dört kişi bu plakayı kaldırmaktadır. Kişilerden ikisi yarı daireyi çapın uçlarından, diğer ikisi çemberin bilinen noktalında tutmaktadır. Bu iki nokta çaptan ne kadar uzaklıkta bulunmalıdır ki her bir kişiye düşen ağırlık dörtte bir olsun? Çözüm: m R birim olarak alalım. Bu noktalara kütlenin te birini korsak bu konfigürasyon yarı dairenin kütle merkezini vermelidir (dairenin merkezinden y C uzaklıkta). Çapın ucundaki cisimlerin kütle merkezi dairenin merkezindedir, çemberdeki noktaların ise çapa dik olan ve merkezden geçen yarıçapın bilinen bir noktasında bulunmaktadır (merkezden d uzaklıkta olan bir nokta). Bu iki indirgenmiş cisimlerin kütleleri ½ olarak kütle merkezi çemberin merkezinden d/ uzaklıkta bulunmaktadır, yani d 8 y c d. ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov)
8R Boyutlu şekilde d Cevap D) 8 R A) R B) R C) R D) 8 R 0. Kenarı a olan ve yatay durumunda bulunan bir düzgün altıgenin köşelerinde P, P, P, P, 5P ve 6P ağırlıkl ar asılm ıştır (şekildeki gibi). Bu ağırlıklar ın bileşenini (R) ve uygulama noktasını (M(x,y))bulunuz. Çözüm: a P birim olarak alalım. Verilmiş sistemin ağırlık merkezi sistemin kütle merkezi ile özdeştir, yani ağırlık birimlere yeri sadece kütle birimi almalıyız: 6 ixi 6 i x i C ; 6 R i i 6 i x ; 6 C ixi i iy i 6 i yc 6 yc iyi i i i Verilere göre ( x, y) (0,0);( x, y), ;( x, y), ;( x, y) (,0 ); (x 5, y5), ;( x6, y6),. 6 ixi i Buradan 6 iyi i Dolayısıyla, boyutlu şekilde 8a a R P; xc ; yc 7 7 ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov) E) R
8a a Cevap: A) R P; xc ; yc 7 7 8a a a a A) R P; xc ; yc B) R P; xc ; yc 7 7 7 a a a a C) R P; xc ; yc D) R P; xc ; yc 7 7 7 7 a a E) R P; xc ; yc 7 7. Bir masa üstünde bulunan ve kütlesi m olan homojen bir küre dikey bir düzlemle iki eşit kısma bölünür ve dalmaması için ekvator çemberi boyunca bir ip ile tutturuluyor. İpin gerilme kuvveti en az ne kadar olmalıdır? Çözüm: m R g birim olarak alalım ve kürenin yarım bir kısmını denge açısında inceleyelim. Yarı küreye etki eden kuvvetler: T ipin gerilme kuvveti, yönü ekvator çemberine teğet; eş bileşenini ise yarı kürenin düzlemine dik ve kürenin merkezinden geçerek alabiliriz; N zeminin tepki kuvveti, uygulama noktası temas noktası, yönü ise dikey çap boyunca; yer çekimi kuvveti, uygulama noktası yarı kürenin kütle merkezi, zemine dik yönde; ve diğer yarı kürenin tepki kuvveti, N, uygulama noktası zemin noktası çünkü yarı kürelerin üst noktaları neredeyse temas yapmamaktadır. Yarı kürenin dengede kalması için tüm kuvvetlerin ve momentlerin bileşkesi sıfır olmalıdır (bileşke kuvvet sıfır olduğuna göre momenti her bir noktaya göre alabiliriz). Buna göre kuvvetlerin momentini zemindeki temas noktaya göre alalım: tepki kuvvetlerin bu noktadan geçtiğine göre momentleri otomatik olarak sıfırdır ve sadece yer çekim ve gerilme kuvvetler moment oluşturmaktadır. Onların bileşkesi sıfır olması için büyüklükleri eşit, yönleri ise zıt olmalıdır: m mgx gx C C TR T. R Burada xc R yarı kürenin kütle merkezi noktanın kürenin merkezinde uzaklığıdır (böle 8 olduğunu aşağıda gösteriliyor), dolayısıyla mg T Yarıkürenin kütle merkezi: Koordinat sistemin başlangıç noktasını yarıkürenin merkezinde ve x-y düzlemi yarıkürenin düzleminde alalım. Yarı küre homojen ve simetrik olduğuna göre kütle merkezi z ekseninde bulunacaktır ve zc zdv V ye eşit olacaktır. Küresel simetride küresel koordinatları kullanalım: z rcos θ; dv r sin θdrdθdφ; V, dolayısıyla zc rcosθr sinθdrdθdφ r dr cosθsinθdθ dφ 8 Boyutlu şekilde 0 0 0 0 0 0 R z C 8 ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov)
Cevap: E) mg mg mg mg mg A) E) mg B) C) D) 6 6. Bir ipin ucuna asılan şekildeki kutu ile dikey duvar arasında sürtünme yoktur. Kutu dengede kalabilir mi? Çözüm: m b g birim olarak alalım, burada m kutunun kütlesi, b kutunun duvara dik olan kenarıdır. Kutuya etki eden kuvvetler: yer çekim kuvveti (mg), duvara paralel ve kütle merkezine uygulanmaktadır; T ipin gerilme kuvveti; N duvara dik olan tepki kuvveti (bileşkesi kütle merkezinden geçmektedir). Kutunun dengede kalması için: Tcosα mg Tsinα N T 0 τ r T 0 C Buna göre kutu dengede kalamaz. Cevap: A)Kalamaz A)Kalamaz; B)Kararsız denge; C)Kalabilir.. Kütlesi m olan bir küpün D kenarı duvarda bulunan bir engele dayanmaktadır, B kenarı ise AB halatın ucuna bağlıdır (şekildeki gibi). Halat duvarla 5 0 lik bir açı yapmaktadır. Küpün D engele uyguladığı kuvveti (F) bulunuz. Çözüm: m g a birim olarak alalım, burada a küpün kenarıdır. Küpe etki eden kuvvetler: T, kanatın gerilme kuvveti, AB boyunca; mg, yer çekim kuvveti; N, engelden tepki kuvveti, yönü duvara dik; N engelin tepki kuvveti, duvara paralel. (Duvarla temas çok hafiftir, dolayısıyla duvardan tepki kuvveti yoktur!) Denge koşullarına göre T + N mg mg N N N mg + 0 T N T N T N F mg N N N N a a T ( N N) ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov)
0 Cevap: A) mg A) 0 mg B) 5 mg C) 0 mg D) 5 mg E) mg. Uçları serbest olan bir ip silindirik bir direğe sarılıdır. Sarınım sayısı n, sarınım ise bir katlıdır (yani üst üste sarınım yoktur). İpin uçlarından birine T büyüklükte bir kuvvet uygulanmaktadır. İpin dengede olması için ipin diğer ucuna ne kadar büyüklükte (T ) bir kuvvet uyg ulaması gerekiyor? İp ile silindir arasındaki sürtünme kat sayısı dur. Çözüm: İpin küçük bir kısmını i nceleyelim: İpe gerilme (T) ve silindirden sürtünme (F) ve normal (N) kuvvetleri etki etmektedir: kısmın A ucuna T(α), B ucuna T(α+dα) gerilme kuvveti; ipe teğet olarak sürtünme dt df dt dα dn, silindire dik yönde ise dn T ( α) dα kuvvetleri etki dα etmektedir. Bu kuvvetlerin vektörsel toplamı sıfırdır. Dolayısıyla, dt dt dα Tdα dα d(ln T + α) 0 T Texp( α ) dα T Verilere göre α n, yani T T exp ( n ). Bu formül Euyler in formülü olarak bilinir. Cevap: A) T T exp ( n ) A) T T exp ( n ) B) T ( ) Texp n C) T T exp ( n ) T T exp( n ) E ) T T ( n ) D) exp 5. Yatay bir düzlem üstünde bulunan üç özdeş küre bir birine deymektedir öyle ki merkezleri düzgün bir üçgen oluşturmaktadır. Bu üçgenin merkezinin üstünde.ü bir özdeş küre yerleştiriliyor ve diğer ü ç küreyle temas etmektedir. Küreler arasındaki ve kürelerle zemin arasındaki sürtünme kat sayısı () aynı büyüklüktedir. Bu küre sisteminin dengede kalması için sürtünme kat () sayısı en az ne kadar olmalıdır? Ç özüm: m g d birim olarak alalım, burada m kürenin kütlesi, d ise çapıdır. Kürelerin merkezleri A, B, C ve D noktalar olsun (şekildeki gibi). Burada D üst kürenin merkezidir. Bu merkezden diğer merkezlere doğru çıkan vektörlerin birim vektörleri e, e ve e olsun. ABCD noktaları düzgün bir dört yüzeyli (tetraedar) prizma oluşturduğuna göre bu üç birim vektörler arasındaki açılar 60 0 dir, yani ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov)
0 e e e e e e cos 60 0.5 0 e e e e e e cos0 Şekile göre D küreye diğer A, B ve C kürelerin tarafından uygulanan, sırasıyla F, F ve F kuvvetlerini simetriye göre F αe, F αe, F αe şeklinde yazabiliriz, burada α bir pozitif sabittir. A küresi D küresine uyguladığı sürtünme kuvveti (f ) ADE düzleminde bulunmaktadır, e + e vektöre paraleldir. Dolayısıyla, burada E, CB kenarın orta noktasıdır ve DE vektör ( ) ( e + e) ir kombina syonu olarak alabiliriz: f β ( e + e ) γ e ve vektör ADE düzleminde bulunmaktadır ve f vektörü bu vektörlerin lineer b + e, burada β ve γ bilinin sabit sayıdır. Sürtünme kuvveti f A ve D kürelerine teğet olduğuna göre AD kenara dik olmak zorundadır, yani f ve e vektörler bir birine diktir. Buradan f e ( β( e + e) + γe) e ( β( e e+ e e) + γe e) β + + γ β + γ 0 ( ) f ( ) β γ f β e + e e β e + e e β Sürtünme kuvveti kürelerden dışarıya olduğuna göre β < 0 olmalıdır. Aynı anda sürtünme kuvvetin maksimum değeri f F α, burada F A ve D küreler arasındaki normal α kuvvettir, yani β. Benzer ifadeler B ve C kürelerin D küreye etki ettiği sürtünme kuvvetler (f ve f ) için de yazabiliri ve D küreye etki eden toplam sürtünme kuvvetini bulabiliriz: α f ( e + e e) α α f ( e + e e) Fs f + f + f ( e + e + e ) α f ( e + e e) Dolayısıyla D küreye diğer kürelerin uyguladığı toplam kuvvet: F F s + F + F + F α + ( + + ) F α + e e e 6 Bu kuvvet D küreyi dengede tutmak için kürenin ağırlığına (mg) eşittir: ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov)
F α + 6 α + 6 Şimdi, alt kürelere etki eden sürtünme kuvvetlerini bulalım. Simetriye göre birisine etki eden kuvveti bulmak yeterlidir, mesela A küreye. Bu kuvvet simetriye göre AE vektörü boyunca f ε e + e e f ε. Aynı anda A küreye zeminin ettiği normal kuvvet olmalıdır: ( ) N P mg N. Sürtünme kuvvetin maksimum değeri ise f ε N ε f e + e e ( ) A kürenin dengede kalması için ona etki eden toplam kuvvetler sıfır olmalıdır: F f F m + 0 m + 0 + g f f f F g f f f F Burada f sürtünme kuvveti N normal kuvvetine dik olduğu kullanıldı. Aynı anda ( ) f 6 f f ( e + e e) ( e + e e) ( + ) 6 9 ( + ) f F ( ) ( ) e 6 ( ) + e e e ( ) + + + f + 0 0.98 Cevap: D)0.98 A)0.98 B)0.98 C)0.98 D)0.98 E)0.098 ITAP_FOO Deneme Sınavı:STATİK, 0Aralık0(Solved by Prof.Dr.R.Dimitrov)