KÜTLE VE AĞIRLIK MERKEZİ

Transkript

1 VEKTÖRLER KUVVET KAVRAMI MOMENT KÜTLE VE AĞIRLIK MERKEZİ BASİT MAKİNELER -1-

2 VEKTÖRLER -2-

3 Fizik te büyüklükleri ifade ederken sadece sayı ile ifade etmek yetmeye bilir örneğin aşağıdaki büyüklükleri ifade ederken bazı ifadeler tam anlaşılmıyor sizce hangi ifadeler tamdır. Arabanın hızı 20 m/sn ( ) Bu iş 2 saat te biter ( ) Ahmet 200 Newton luk kuvvetle duvara bir yumruk attı. ( ) Bu işi yapmak için 200 j lük enerjiye ihtiyaç var ( ) Yukarıda verilen örneklerden de anlaşılacağı gibi bazı büyüklükleri tanımlamak için sadece sayı ve birimle ifade etmek yetmez. Bir doğrultu üzerinde iki yön vardır. Fizikte büyüklükler ikiye ayrılır 1) SKALER BÜYÜKLÜKLER Bir sınıftaki öğrenci sayısı skaler bir niceliktir. Sınıftaki öğrenci sayısı belirtildiği zaman bu büyüklüğü tanımlamak için başka bir tanıma örneğin yöne ihtiyaç duyulmaz. 2) VEKTÖREL BÜYÜKLÜKLER Şekildeki A! ve B! vektörlerinin Doğrultularını ve yönlerini karşılaştırınız? Örnek: Bir otomobilin hızı 20 m/sn dir. Yukarıdaki örnekte anlatılan olay tam olarak anlaşılmamaktadır, verilen büyüklük yanında yön ve doğrultuda verilmesi gerekir. A otomobili doğuya doğru 20 m/sn hızla gitmektedir. Burada aracın hızı yanında aracın yönüde verilmesi A aracının hararetini tam olarak anlamamıza yarıyor.. Örnek1: Aşağıdakilerden hangilerinde fiziksel büyüklük tanımında bir eksiklik vardır? 1) Sepette 20 tane yumurta var. 2) Arabanın gücü sola doğru 100 hp 3) Ali Antalya dan Anakaraya 100m/sn hızla geldi. 4) Otobüsün hızı 40 m/sn dir. 5) Hava Sıçaklığı aşağıya doğru 25 ºC dir. 6) Adam kapıya 20 N luk kuvvet uyguladı. Vektörler ifade edilirken ( ) kullanılır. A Skaler bir büyüklüğü A! Vektörel bir büyüklüğü ifade eder. VEKTÖRLERİN ÖZELLİKLERİ 1) eşit vektörler denir. Vektör yönlü bir doğru parçasıdır. Bir büyüklüğün vektörel büklük olması için; Başlangıç noktası Büyüklüyü Yönü Doğrultusu = Niceliklerinden hepsini sağlaması gerekir Eğer büyüklük herhangi birini sağlamıyorsa skaler büyüklük olarak ifade edilir. Bir vektör yönlendirilmiş doğru parçası ile gösterilir. -3-

4 2)..vektörlere zıt vektörler denir. Örnek 2 : Aşağıdaki boşlukları doldurunuz? = X Y Z 1 br 1 br 3) Vektörler yönleri ve büyüklükleri değiştirilmeden bir yerden başka bir yere taşınabilir. X =...Z X =...Y Y =...Z Not: Bir vektörün büyüklüğü K şeklinde ifade edilir. Eğer vektör mutlak değer içersinde ise sadece büyüklüğüne bakılır, yönü ve doğrultusuna bakılmaz. 4) Vektörler herhangi bir skaler sayı ile çarpılıp bölünebilir. Vektörlerin Toplanması Vektörler toplanırken skaler ifadeler gibi toplama işlemi yapılamaz. İki veya daha fazla vektörün toplanmasıyla elde edilen vektöre bileşke vektör denir. R! ile gösterilir. A B Vektörler toplanırken iki yöntem kullanılır. 1 br 1 br C 1) Uç uca ekleme metodu: İki veya daha fazla vektör toplanırken bir vektör diğer vektörün sonuna gelecek şekilde uç uca eklenir. İlk vektörün başlangıç noktası ile son vektörün bitiş noktası birleştirilir. Oluşan yeni vektöre bileşke vektör adı verilir. A vektörünün büyüklüğü 2 br dir. B vektörünün büyüklüğü 4 br dir. C vektörünün büyüklüğü 1 br dir. A,B ve C vektörleri verilmiş olsun. Buna göre A,B ve C vektörlerinin toplamını bulalım. A yı ikiye bölerek C elde ederiz. A yı ikiyle çarparak B elde edilir. 2 A = B A = 2C A B C -4-

5 A,B ve C vektörlerini uç uca eklersek. A ve B vektörlerini paralelkenar yöntemi ile toplayalım. A B C R R! vektörü bileşke vektördür ve A! + B! + C! = R! ile gösterilir. Not:Uç uca ekleme işlemi yapılırken,.vektörlerin sırası önemli değildir. Örnek 3 : VEKTÖRLERDE ÇIKARMA İŞLEMİ Vektörleri birbirinden çıkarırken toplama işleminden faydalanılır fakat çıkarma işleminde sıranın önemi vardır önünde eski olan vektör ters çevrilerek toplama işlemi yapılır. Örnek 4 : Verilen X, Y vektörleri verilmektedir. X Y vektörünü bulunuz? Şekilde verilen bulunuz? X,Y,Z ve T vektörlerinin toplamını X Y X Y Z T Çözüm : 2) Paralelkenar Yöntemi: İki vektör toplanırken vektörlerinin başlangıç noktaları birleştirilip paralelkenara tamamlanır. A ve B vektörlerinin toplamı nedir? Örnek 5 : Aşağıda verilen vektörleri kullanarak, vektörünü bulunuz? X Y + Z X Y Z -5-

6 Çözüm : Aşağıdaki soruları için yukarıdaki vektörleri kullanınız. 1) A + B + C + D toplamını bulunuz. Örnek 6 : Aşağıda verilen vektörleri kullanarak, X + Z T vektörünü bulunuz? 2) A - B + C - D işleminin sonucunu bulunuz. Çözüm : 3) A + B - C + D işleminin sonucunu bulunuz. Örnek 7 : -6-

7 4) A - B - C - D işleminin sonucunu bulunuz. A vektörü X eksenindeki bileşenine A x adı verilir. büyüklüğü ; A vektörü Y eksenindeki bileşenine nin büyüklüğü ; Ax A y adı verilir. Ay Her kare 1 birim olduğuna göre A vektörünün X bileşiğinin büyüklüğü 6 birim olur. Y bileşiği ise 3 birim olur. A x = A y = in 5) - A + B - C + D işleminin sonucunu bulunuz. Cosinüs Teoremi Iki vektörün bileşkesinin büyüklüğü cosinüs teoremi ile bulunur. NOT : Aradaki açı geniş açı ise formüllerde ( - ) kullanılır. Eğer dar açı ise formülde ( + ) kullanır. VEKTÖRLERİN BİLEŞENLERİNE AYRILMASI Örnek 8 : Vektörlerin sayfa düzleminde bulunan X ve Y düzlemlerinde iki tane izdüşümü vardır. Bunlara X ve Y düzlemindeki bileşneleri denir. Yukarıda verilen vektörlerin toplamını bulunuz? 1 br -7-1 br

8 Çözüm : X( bileşeni ) Y( bileşeni ) A 3 3 B 4-1 C -3 2 D 0-3 R(toplam) 4 1 Bileşke vektörün X bileşeni 4 birim Y bileşeni ise 1 birim bulduk bunu koordinat sistemine taşırsak, 2. İki vektörün arasındaki açı 60 0 ve birbirine eşit ise bileşke vektör herhangi bir vektörün 3 katına eşittir. A = 3 birim B = 3 birim ve aradaki açı 60 0 olduğuna göre bileşke vektör büyüklüğü 3 olur. 3. İki vektör arasındaki açı 90 0 ve birbirine eşit ise bileşke vektör herhangi bir vektörün 2 katına eşittir. Şeklinde olur. Bileşke vektörün büyüklüğü cosinüs teoreminden bulunur. R 2 = A 2 + B 2 formülünde. A = 3 birim B = 3 birim ve aradaki açı 90 0 olduğuna göre bileşke vektörün büyüklüğü 3 olur. R 2 = R 2 = den 4. iki vektör arasındaki açı ve birbirine eşit ise bileşke vektör herhangi birine eşittir. R = 17 bulunur. Buda bileşke vektörün büyüklüğünü verir A = 3 birim B = 3 birim ve aradaki açı olduğuna göre bileşke vektörün büyüklüğü 3 birim olur. ÖZEL DURUMLAR 1. İki vektör arasındaki açı İki vektör arasındaki açı ise bileşke vektör minimum değerini alır. Bileşke vektör iki vektörün skaler farkına eşittir. A + B = R = 7 birim olur. A - B = R 4-3 = 1 birim olur. -8-

9 Örnek 9 : Örnek 10 : Şekildeki A ve B düzlemleri X vektörü verilmiştir. X vektörünün A ve B düzlemindeki bileşenleri A x ve B x tir. Buna göre X, A x ve B x arasındaki ilişki aşağıdakilerden hangisidir? Şekildeki A,B,C ve verilmeyen D vektörünün bileşkesi R vektörü olduğuna göre D vektörü aşağıdakilerden hangisidir? A) A x > B x > X B) B x > A x > X C) X > B x > A x D) B x > X > A x E) A x > B x = X Çözüm : A ve B eksenlerine paralel çizersek A) B) C) D) Örnek 11 : Şekilde K,L ve M vektörleri verilmiştir. Buna göre K + L M vektörünün büyüklüğü kaç birimdir? E) Çözüm : Tablo yöntemi ile vektörleri toplarsak, Çözüm : A) 0 B) 6 C) 3 2 D) 6 2 E) 5 2 A B C D R(toplam) X(bileşeni) Y( bileşeni) -9-

10 Örnek 12 : Örnek14: A,B ve C vektörlerinin toplamı R vektörü olduğuna göre B vektörünü bulunuz? = 3 br = 5 br = 7 br!!!! X + Y + Z = R olduguna göre R! Büyüklüğü kaç br dir? Örnek 15 : - Örnek 13 : ı = 5 br Aynı düzlemde bulunan A! ve A! B! verilmiştir. A!, B! ve bunların bileşkesi olan R! büyüklükleri arasındaki ilişki nasıldır? =3 br Yukarıda verilen M ve L vektörlerinin arasındaki acı 150 ve 127 iken bileşke vektörün büyüklüğü bulunuz? -10-

11 Örnek 16 : Örnek 18 : - I II III IV V + A!, B! + C! ve C! B! vektörleri Şekildeki gibidir. A! + C! vektörü kesikli çizgilerden hangisidir Şekildeki düzgün altıgenin kenarlarında,,, ve vektörleri gösterilmiştir,,, ve vektörlerinin bileşkesini bulunuz? Örnek 17 : Örnek 19 : Şekildeki vektörlerin bileşkesini bulunuz? 5α α α Z!!! A, B, C ve D! vektörleri çemberin merkezinden çıkan aynı düzlemli vektörlerdir. A! ve C! aynı doğrultuda olup. A!!!! =r ise R = C A + D B Vektörünün büyüklüğü kaç r dir? -11-

12 Örnek 20 : Örnek 21 :!!!!! Şekildeki F 1, F2, F3, F4, F5 kuvvetlerinin her birinin büyüklüğü F dir. Kuvvetler aynı düzlemde olduğuna göre, bu kuvvetlerden hangisi çıkarılırsa geri kalan kuvvetlerin bileşkesinin büyüklüğü 2F olur? A) F! 1 B) F! 2 C) F! 3 D) F! 4 E) F! 5 Şekildeki verilen vektörler için aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?!! I. C = 2B II. A! = D!!! III. A = D Çözüm 2008 ÖSS FEN 1 Örnek 23 : 60 Şekildeki vektörlerin büyüklükleri eşit olup her biri 20 br dir. Buna göre B-A-C vektörü kaç br dir. Örnek 21 : Doğrultuları aynı olan biri diğerinin iki katı olan iki vektörün bileşkesinin, en büyük değerinin en küçük değerine oranı nedir? -12-

13 Örnek 24 : A! + C! A! - B! Örnek 26 : = 3 br 30 = 5 br = 1 br 60 = 5 br A! + C! ve A! B! vektörleri şekildeki gibidir. Buna göre C! + B! vektörünü bulunuz? Şekildeki vektörlerin bileşkesi kaç br dir? Örnek27: Örnek 25 : = 9 br α = 9 br α α = 6 br = 3 br Aynı düzlemde bulunan şekildeki K,L,MveN vektörleri ile ilgili verilen; I. M N = L II. M L = K III. K+ L = M yargılarından hangileri doğrudur? Çözüm A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I ve III Yukarıdaki vektörlerin bileşkesi kaç br.dir? FİZİK TEST

14 1) 3) b c a d Aynı düzlemde bulunan beş vektöre ait aşağıda verilen işlemlerden hangisi doğrudur I-) L + K + N = M f Aynı düzlemde verilen vektörlerle ilgili aşağıdaki işlemlerden hangileri doğrudur? e II-) K + L = - T I) b + c = 2 a III-) T + M + N = 0 A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III II) b + c + e + f = 0 III) a + d - ( b + c ) = 0 A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I,II ve III 2) I II 4) a III a IV Şekilde dört vektörün bileşkesi hangi yöndedir? A) I yönünde B) II yönünde C) III yönünde D) IV yönünde E) V yönünde Verilen vektörler için k + l - m işleminin sonucu kaç a dır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5-14-

15 5) 8) b a b Şekildeki vektörün a ekseni üzerindeki bileşeni K a, b ekseni üzerinde bileşeni K b ise K, K a ve K b nin büyüklükleri nasıl sıralanır? Şekildeki vektör çiftlerinin toplamları büyüklükçe eşittir. b, c ve d vektörlerinin büyüklük sıralaması nasıldır? A) d > c > b B) b > c > d C) c > d > b D) d > b > c E) b > d > c A) K a = K b = K B) K a = K > K b C) K > K a > K b D) K a > K > K b E) K = K b > K a 9) A = 3 br 6) = br 15 0 y = br B = 4 br α O = 3 br x O noktasına etki eden vektörlerin bileşkesinin büyüklüğü ne olabilir? ( 90 0 < α < ) A) 6 B) 5 C) 2 D) 1 E) 0 O noktasına etki eden aynı düzlemde üç kuvvetin büyüklüğü kaç br dir? A) 5 B) 4 3 C) 3 3 D) 3 E) ) = 3 br = 2 br = 5 br 7) Bir noktaya etki eden aynı düzlemli A = 4 br B = 5 br, C = 10 br lik üç vektörün bileşkelerinin minumum büyüklüğü kaç br dir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 = 2 br Büyüklükleri şekilde verilen aynı düzlemli vektörlere ait K + L + M + N toplamı kaç birimdir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) < 90 0.

16 11) = 10 br VEKTÖRLER 14) 3 ve 5 birimlik iki vektörün bileşkesi 4 birimdir. Bu iki vektörün arasındaki açının kosinüsü kaçtır? = 7 br A) - 0,6 B) 0 C) 0,6 D) 1 E) 1,6 = 6 br Şekildeki üç kuvvetten bileşkesi kaç br dir? A) 2 2 B) 2 3 C) 5 D) 6 E) 8 15) x y 12) = 5 br z Şekile göre x + y - z işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? = 6 br = 6 br A) 1 2 z B) z C) 3 2 z D) - 1 z E) - z 2 Şekilde k, l, p vektörleri verilmiştir. k + l - p vektörü kaç birimdir? A) 0 B) 6 C) 10 D) 11 E) 12 16) 13) K α β L Şekilde R vektörünü elde etmek için aşağıdaki işlemlerden hangisi yapılmalıdır? Şekildeki aynı düzlem üzerinde verilen K ve L vektörlerinin bileşkesi kesikli çizgi üzerindedir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?(α>β) A) R = K = L B) R > K > L C) R < K < L D) R > L > K E) R < K = L A ) A kaldırılmalı B) D kaldırılmalı C) - C eklenmeli D) - B eklenmeli E) B daha eklenmeli FİZİK TEST

17 1) 3) Aynı düzlemde bulunan şekildeki vektörlerin büyüklükleri eşit ve k dır. Birleşke vektörün büyüklüğü kaç k dır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Şekilde r yarı çaplı çember üzerindeki vektörlerin bileşkesi kaç r dir? A) 2 B) C) D) 5 E) ) ) = =. = k. = k Şekildeki aynı düzlemde verilen A ve B vektörlerinin bileşkesinin kesikli okla gösterilen yönde olabilmesi için A oranı ne olmalıdır? B (Sin30 0 = 2 1, Cos30 0 = 3 ) 2 B (Sin53 0 = 5 4, Cos53 0 = 5 3 ) Aynı düzlemdeki X, Y ve Z vektörleri şekildeki gibidir. X + Y + Z işleminin sonucu kaç k dır? A) 8 5 B) 16 5 C) 9 4 D) 8 5 E) 3 4 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E)

18 5) = 4 br ) = 2a = 2a 60 0 = 2a C = 4 br ( Şekil 1 ) ( Şekil 2 ) Şekil 1 de A, B, C vektörlerinin bileşkesi sıfırdır. Bu vektörler Şekil 2 deki konuma getirilirse bileşkenin büyüklüğü kaç birim olur? A) 1 B) 2 C) 4 3 D) 4 E) 5 3 Şekildeki gibi verilen aynı düzlemli X, Y ve Z vektörlerinden X - Y + Z vektörü aşağıdakilerden hangisi gibi olur? A) 4a B) a 2 C) a 6) = 8 br D) E) 2a 3 4a 30 0 = 6 br = 10 br Aynı düzlemdeki vektörler için R = B - A + 2 C vektörünün büyüklüğü kaç birimdir? A) 1 B) 3 C) 5 D) 15 E) 20 9) 7) 2k 2k 2k y k 37 0 x, y, z vektörleri aynı düzlemdedir. 5k y + x - z vektörü hangisine eşittir? Şekildeki vektörlerin bileşkesinin büyüklüğü kaç k dir? A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 8 A) y B) 2 x C) -2 z D) 0 E) 2 y -18-

19 10) Şekilde K, L, M ve N vektörleri için aşağıdakilerden hangisi doğru değildir? 13) b a A) M = N B) I L - K I = I L + K I C) L + N = K D) K + L = M E) M + N = 2 L A, B ve bileşkeleri olan R vektörü şekildeki gibi verilmiştir. a > b olduğuna göre A, B ve R vektörlerinin büyüklüğü için ne söylenebilir? (a+b=90 ) 11) A + B A) B > A > R B) A > R > B C) R > B > A D) R > A > B B C - A E) B > R > A Şekilde verilen vektörlere göre C vektörü aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) C - A B) D) C A 3 B 2 E) C) A + 2 B A 2 14) 12) K, L, M ve N vektörleri aynı düzlemde olup büyüklükleri şekildeki gibidir. R = K + L + M - N vektörünün büyüklüğü aşağıdakilerden hangisine eşittir? A ve C arasındaki açı 60 0 olup A ve C vektörleri 6N A) N B) L C) M K D) 2L E) M L K büyüklüğündedir. Buna göre R = B + C - A nın büyüklüğü kaç N dır? A) 6 B) 6 3 C) 12 D) 12 3 E) 18 FİZİK TEST

20 1) 3) 2 br Şekilde verilen vektörlere göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 2 birim A) C) A + D = C B) D + E = C A + D + E = B + C D) E = A - B E) B + C = A Aynı düzlemdeki vektörler verilmiştir. Vektörlerin bileşkesi kaç birimdir? A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 2) 4) + Şekildeki A, B, C, D, E ve F vektörleri aynı düzlemdedir. Buna göre ; Aynı düzlem üzerindeki A + B ve A vektörleri şekildeki gibidir. A ve B vektörlerinin yönü, B vektörlerinin büyüklüğü değiştirilmeden sadece A vektörünün büyüklüğü sürekli arttırılırsa aşağıdaki durumların hangileri olabilir? ( α < 90 ) I) A + B = D - C II) E + F = B + D III) B + C - E = A + B - F Hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II I-) α açısı büyür II-) A + B vektörünün büyüklüğü artar. III-) A + B vektörünün büyüklüğü azalır. A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I,II ve III D) I ve III E) I,II ve III

21 5) 7) Şekilde A, A + B ve B + C vektörleri verilmiştir. C vektörünün yönü ve büyüklüğü nedir? A) +y yönünde 1 birim B) +x yönünde 2 birim C) +y yönünde 2 birim D) +x yönünde 3 birim E) +y yönünde 3 birim Aynı düzlemde verilen şekildeki vektörlerin bileşkesi aşagıdakilerden hangisine eşittir? A) A B) A + C C) B + E D) C E) B + D 6) 8) Aynı düzlemde bulunan şekildeki vektörler için aşağıdaki yargılardan hangisi yada hangileri doğrudur? I-) B + C = D II-) C - B = A III-) A - D = 2 B A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) I,II,III Aynı düzlemdeki vektörlerden oluşan R=K+L-M+N vektörü aşagıdakilerden hangisidir? A) - L B) - K C) L D) K E) K + L -21-

22 9) 11. Bir kenarı a uzunluğunda olan şekildeki küpün dış yüzeyindeki vektörlerin bileşkesi kaç a dır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 Şekildeki gibi verilen vektörler için K-M+L+N vektörlerinin bileşkesi olan R vektörü için; I) R= L M II) R= 2 III) R= M-L-K-N Yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III E) 2 12 Yarıçapı r olan şekildeki O Merkezli dairenin yüzeyindeki K ur, L r ve M ur vektörleri ile ilgili, ur r ur I. K+ L = M ur r ur II. K + L = 2M ur r ur III. K L = 2M yargılarından hangileri yanlıştır? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III 10) y 13) 37 x ur ur ur ur ur Aynı düzlemde verilen, X,Y,Z,T,N vektörleri için, Şekildeki aynı düzlemde verilen vektörlerin her birinin!!! büyüklüğü 20 br. dir. Buna göre B- A - Cvektörünün büyüklüğü kaç br dir. A) 4 B)4 5 C) 10 D)10 5 E)20 2 I. ur X ve T ur vektörlerinin doğrultu ve şiddetleri aynı, yönleri zıttır. II. N ur nin tersi Y ur ye eşittir. III. ur X ve T ur vektörleri birbirine eşittir. yargılarından hangileri doğrudur? (Kareler özdeştir) A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III -22-