Jounal of Engineeing and Naual Sciences Mühendislik ve Fen Bilimlei Degisi Sigma 5/4 ENERGY DECAY FOR KIRCHHOFF EQUATION Müge MEYVACI Mima Sinan Güzel Sanala Ünivesiesi, Fen-Edebiya Fakülesi, Maemaik Bölümü,Beşikaş-İSTANBUL Geliş/Received:.8.5 Kabul/Acceped: 3..5 ABSTRACT In his sudy, enegy decay of he soluion of he iniial-bounday value poblem fo he Kichhoff equaion including dissipaive ems was obained. Keywo: Enegy decay esimae, Kichhoff Equaion. KİRCHHOFF DENKLEMİ İÇİN ENERJİ AZALIMI ÖZET Bu çalışmada, disipaiv eim içeen Kichhoff denklemiyle konulan başlangıç- sını değe pobleminin çözümleinin eneji azalımı elde edilmişi. Anaha Sözcükle: Eneji azalama kesiimi, Kichhoff denklemi.. GİRİŞ n N Bu çalışmada, Ω, de düzgün sınılı bölge, A x, Laplace j j opeaöünü, u u u üevini gösemek ve DA ( H ( Ω H ( Ω, γ, α > ve > olmak üzee γ α (, [, u A u Au u u u u x Ω ( ux (, u ( x u ( x, u ( x ux (, Ω ikinci meebeden hipebolik ipen denklemle veilmiş başlangıç sını değe poblemi için eneji azalma kesiimi, poansiyel çuku meoduyla inceleneceki. G. Kichhoff 883 yılında, iki ucu sabilenmiş esnek elin sebes ieşim haekeini, M ( c olmak üzee e-posa: mucakio@myne.com, el: ( 36 69 36 / 3 78
Enegy Decay fo Kichhoff Equaion L u M( ux dx uxx denklemiyle modelledi ve bu denklem Kichhoff denklemi olaak adlandııldı. S. Bensein 94 yılında yayınlamış olduğu çalışmasında, bu denkleme ilk kez maemaik bakış açısıyla yaklaşaak, başlangıç koşullaının Sobolev uzayından alınması duumunda çözümlein lokal valığını, başlangıç koşullaının analiik olması duumunda ise çözümlein global valığını ispaladı. Biçok yaza u veya Au linee disipaive eimleini içeen denklemlele konulmuş, başlangıç-sını değe poblemleinin global çözümleinin valığını ve azalma özellikleini incelemişi [],[4]-[6]. α Bu çalışmada, u u linee olmayan sönüm ve u u kaynak eimiyle konulan denklem için eneji azalma kesiimi inceleneceki. ( denkleminin enejisi; ( γ Ju ( : A u u ( γ α olmak üzee, Euu (, : u Ju ( (3 fonksiyonu ile anımlıdı. ( denkleminin u ( x, ile çapılması ve Ω üzeinden inegalinin alınmasıyla eneji eşiliği d E ( u (4 d olaak elde edili. ( poblemi için K-poziif kümesi ise ( γ W : u D( A: K( u A u u > {} (5 ile anımlıdı. Şimdi, eneji azalma kesiiminde kullanılacak olan M.Nakao nun lemması ile Gagliado-Nienbeg ve Sobolev-Poincaé lemmalaı ispasız veileceki. Lemma.. (M.Nakao [3]: Φ (, [, aalığında negaif olmayan, amayan fonksiyon olmak üzee > ve k > için Φ( k{ Φ( Φ ( } ise [ ] max{, } olmak üzee, he eşisizliği geçelidi. Lemma.. (Gagliado-Nienbeg []: < p, p ve için [ ] { } Φ( Φ ( k 79
M. Meyvacı Sigma 5/4 m θ ( ( p N m olmak üzee, he ( v D A L ( Ω için m θ θ v C p A v v eşisizliği bazı C sabilei için geçeli olup buada < θ ( < q < ve m N q negaif olmayan amsayı ise < θ < di. Lemma.3. (Sobolev-Poincaé []: < p N [ N m ] ( N m ise < p < m olmak üzee he v D( A fonksiyonu için m v C A p s p v eşisizliği, bazı C s p sabile için geçelidi.. ENERJİ AZALIMI Eneji azalma kesiimine geçmeden önce, azalmayı hesaplamaka yadımcı olacak bi önemeyi ispalayalım, Öneme.. i α < 4 [ N 4] ise W kümesi D( A H ( Ω uzayında sıfıın bi komşuluğudu ve açık kümedi. ( α ( γ ii u W ise d ve α > γ olmak üzee α γ ( γ d A u J( u ( Euu (, (6 eşisizliği geçelidi. İspa: i Gagliado-Nienbeg lemmasında p α, q, θ ( α 4 ( α için [ N ] eşisizliği elde edili, N N, m seçilmesiyle u c Au θ u N N θ θ N u N eimine Sobolev-Poincaé eşisizliği p N N, m 8
Enegy Decay fo Kichhoff Equaion olmak üzee uygulanısa θ u c Au A u ( θ yani; ( θ ( u ( c α Au θ A u θ ( α 4 ( α ve eşisizliği elde edili. Başka bi deyişle [ N ] ( α γ ( α θ > olmak üzee yazılabili. Buadan ( α γ ( θ ( γ u ( c α Au θ A u A u ( γ Ku ( A u u ( γ ( α γ ( θ ( θ A u ( c A u Au eşisizliği elde edili ki bu, u ve DA ( nomunun yeeince küçük olması duumunda K ( u nun poziif ve W kümesinin sıfıın komşuluğu olduğunu gösei. ii u W ise Ku ( olacağından ( γ A u u eşisizliği geçelidi. ( eşiliğinden ( γ ( γ J( u A u A u γ α ( α γ A u ( α ( γ ( γ yani ( α ( γ d ( α γ olmak üzee 8
M. Meyvacı Sigma 5/4 ( γ d A u J( u ( Euu (, elde edili ve bu sonuç (6 eşisizliğini ispalaken Euu (, olduğunu da gösei. Öneme.. (Eneji Azalma Kesiimi: ux (, fonksiyonu, ( pobleminin çözümü olmak üzee T için γ ( koşullaı alında, ( γ olmak üzee eşisizliği geçelidi. ( γ u W ve Ku ( A u ( (γ ( γ k ( c ve E( { [ ] } E ( E( k İspa: (4 eşiliğinin [, ] aalığında inegalinin alınmasıyla E ( E ( u ( D ( (7 elde edili. olmak üzee p q eşisizliğinden u Ω q u u Ω ( u yazılabili. Bu eşisizliğin, [, ] aalığında inegali alını ve (7 eşiliği kullanılacak olusa u Ω ( u Ω ( D ( (8 elde edili. [ ] ve [ 3, ], 4 4 olmak üzee yukaıdaki eşisizliğin sol aafındaki inegale, inegal hesabın oalama değe eoeminin uygulanmasıyla p 8
Enegy Decay fo Kichhoff Equaion u ( Ω ( D( (9 ve u ( Ω ( D( ( eşisizlikleine ulaşılı. ( denkleminin ux (, fonksiyonu ile çapılmasıyla elde edilen denklemin inegalinin Ω üzeinden alınması ve K ( u fonksiyonun anımının göz önünde uulmasıyla d K ( u u ( u, u ( u u, u ( d eşiliğine ulaşılı bu eşiliğin sağ aafındaki eime, sıasıyla x ve ye göe Hölde eşisizliğinin uygulanması ve Sobolev-Poincaé eşisizliğinin kullanılmasıyla u ( s us ( c sup A us (( u ( s eşisizliği elde edili. ( us (, u ( s eiminde, sınılaın yeine yazılması, Cauchy-Schwaz ve Sobolev-Poincaé eşisizlikleinin uygulanmasıyla; Ku ( u c sup A us ( u( ( u( s i i ( eşisizliği elde edili. özelliğinden Ku ( Au ( γ ( γ A us ( u c sup A u( s u ( ( u ( s i i sonucuna vaılı. (4 eşiliğinin, aalığında inegalinin alınmasıyla E ( E ( u (3 83
M. Meyvacı Sigma 5/4 Es ( u ( s elde edili. ( ve (3 eşiliklei ve (3 eşisizliği yadımıyla elde edilen ( γ E ( u ( s A us ( u ( s γ 4 u c sup A u( s u ( ( u ( s u i i eşisizliğinin (8 eşisizliği yadımıyla yeniden yazılmasıyla { i } E ( 4 Ω D ( c sup A us ( u ( D ( D ( i eşisizliğine ulaşılı. (9 ve ( eşisizlikleinin kullanılması ile de ( E ( 4 D ( D ( c sup A u 4 Ω Ω D ( D ( eşisizliği elde edili. B Ω ( kabulü alında { } E ( 4 B D ( D ( c sup A u 4 B D ( D ( şeklinde elde edilen eşisizliğe (6 eşisizliğinin uygulanması ile { } E ( ( 4 B D ( D ( c ( d E ( γ 4 B D ( D ( sonucuna vaılı. B, c ve D ( E ( E( (4 özelliklei haılanaak eşisizlik eka düzenlenecek olusa ( E ( 6 B D ( c B D (( d E ( γ eşisizliği elde edili. Eşisizliğin sol aafındaki son eime Young eşisizliği uygulanacak olusa ( γ E ( 6 B D γ ( ( ( ( ( d γ cb D γ γ E 84
Enegy Decay fo Kichhoff Equaion elde edili. γ ( γ γ γ D ( D ( D ( olaak yazılabileceğinden (4 den elde edilen γ γ γ E( (γ ( D ( eşisizliği yadımıyla γ ( γ E( (γ ( γ γ γ c 6 B d ( c B ( γ olmak üzee, ( γ γ E ( c D ( eşisizliğine ulaşılı. Bu eşisizlik ve (7 eşiliği yadımı ile de sonucuna vaılı. Buada γ ( ( (γ E ( γ ( ( ( c γ ( ( E E ( (γ ( γ k ( c, denilise, Nakao nun Lemmasından (Lemma. { [ ] } [ ] γ ( ( γ E ( E( k (5 eşisizliği elde edili. Bu, ( poblemi için isenilen eneji azalma kesiimidi. 3. SONUÇ Buada Kichhoff denklemiyle konulan ( başlangıç-sını değe poblemi için eneji azalma kesiimi, M. Nakao nun bilinen lemması kullanılaak (5 yapısında elde edilmişi. TEŞEKKÜR Bu çalışmada deseğini esigemeyen sayın hocam Pof. D. Gülseen Aydın a eşekküü bi boç biliim. Bu çalışma, M.S.G.S.Ü Bilimsel Aaşıma Pojelei Başkanlığı aafından 48 nolu poje olaak deseklenmişi. 85
M. Meyvacı Sigma 5/4 KAYNAKLAR [] Evans, L.C., Paial Diffeenial Equaions, Ameican Mahemaical Sociey, Rhode Island, 998. [] Nakao, M., Decay of Soluions of Some Nonlinea Evoluion Equaions, Jounal of Mahemaical Analysis and Applicaions, 6,s.54-549, 977. [3] Nakao, M., A Diffeence İnequaliy and Is Applicaion o Nonlinea Evoluion Equaions, J. Mah. Soc. Japan. 3, s.747-76, 978. [4] Nıshıhaa, K. and Yamada, Y., On Global Soluions of Some Degeneae Quasilinea Hypebolic Equaions wih Dissipaive Tems, Funkcial. Ekvac. 33 (,s.5-59, 99. [5] Ono, K., Global Exisence, Decay and Blow uo of Soluions fo Some Mildly Degeneae Nonlinea Kichhoff Sings, Jounal of Diffeenial Equaions, 37, s.73-3, 997. [6] Ono, K., On Global Exisence, Asympoic Sabiliy and Blowing Up of Soluions fo Some Degeneae Non-Linea Wave Equaions of Kichhoff Type wih a Song Dissipaion, Mahemaical Meho in he Applied Sciences,, s. 5-77, 997. 86