Bessel Potansiyelli Sturm-Liouville Diferensiyel Denklemlerin Çözümleri İçin İntegral Gösterilimleri

Transkript

1 C.Ü. Fen-Eebiya Faülesi Fen Bilimleri Dergisi (6)Cil 7 Sayı Bessel Poansiyelli Surm-Liouville Diferensiyel Denlemlerin Çözümleri İçin İnegral Göserilimleri R. Kh. AMİROV ve B. KESKİN Cumhuriye Üniversiesi Fen Eebiya Faülesi Maemai Bölümü 58 Sivas emirov@cumhuriye.eu.r, besin@cumhuriye.eu.r Receive: 6..7, Accepe: Öze: Bu çalışmaa, [] e incelenen ve self-ajoin genişlemeleri yazılan Bessel poansiyelli Surm- Liouville operaörleri için çevirme operaörü ipine göserilimler ele eilmişir. Anahar elimeler: Çevirme operaörü, İnegral enlemi, Surm-Liouville operaörü Inegral Represenaions for Soluions of Surm-Lıouville Differenial Equaions Wih Bessel Poenial Absrac: In his suy, represenaions wih ransformaion operaor have been obaine for Surm- Liouville operaors wih bessel poenial which have been wrien self-ajoin eensions an have been consiere in []. Key Wors: Transformaion operaor, Inegral equaion, Surm-Liouville. Giriş y ll y qy = y = l < '' ( ) ( ) λ, λ, (, π], () y = π lim l ( ), y( )= () y y ( ) = A ( ), A= (3) - y' y' 39

2 problemini ele alalım. Buraa q ( ) reel eğerli fonsiyon, >,, (, π] şelineir. Aralığın iç noasına süresizliğe sahip sınır-eğer problemleri maemai, meani, fizi ve jeofizi gibi bilim allarına sılıla arşımıza çıar ve böyle problemler maeryalin süresizli özellilerine bağlıır. Süresizliğe sahip olmayan iferansiyel operaörlerin ers ve üz speral problemleri [6]-[] çalışmalarına incelenmişir. Süresizliğin varlığı operaörlerin incelenmesine emel nielisel gelişmeler sağlamışır. Süresizliğe sahip sınır-eğer problemleri için üz ve ers problemlerin çeşili formülasyonları []-[] ve iğer çalışmalara ele alınmışır. Aralığın iç noasına singülerieye ve süresizli oşullarına sahip iferansiyel operaörler, R. Kh. Amirov, V. A. Yuro[] arafınan çalışılmışır. Bu çalışmaa = noasına singülerieye sahip self-ajoin olmayan Bessel poansiyelli Surm-Liouville operaörü için sonlu aralığın iç noasına çözümün süresizliğe sahip oluğu urumu incelenmişir ve verilen operaörün speral özellileri ve bu speral özellilere göre ers problemin onumu ve çözümü için eli eoremleri ispalanmışır. Benzer şeile R. Kh. Amirov [3] çalışmasına, self-ajoin olmayan Bessel poansiyelli Surm-Liouville operaörü için sonlu aralıa sonlu sayıa süresizli noalarına sahip oluğu urum incelenmişir. Buraa verilen iferansiyel operaörü üreen iferansiyel enlemin çözümlerinin avranışları, operaörün speral özellileri, sperumu basi oluğu uruma yani yalnızca özeğerleren oluşuğu uruma, özeğerlere arşılı gelen özfonsiyon ve oşulmuş fonsiyonlara göre operaörün ayrılışımı, speral paramerelere göre ers problemin onumu ve bu ers problemlerin çözümü için eli eoremleri ispalanmışır. R. Kh. Amirov'un [] çalışmasına, sonlu aralığın iç noasına süresizliğe sahip Surm-Liouville iferansiyel operaörler sınıfı için ve [5] çalışmasına Dirac operaörü için çevirme operaörü, çeire fonsiyonunun bazı özellileri, speral araerisilerin özellileri ve ers problem için eli eoremleri öğrenilmişir.. İnegral Denlemin Oluşurulması () enleminin ien l y ( ) = [ o()], y ( ) = ( l ) [ o()] l oşullarını sağlayan asimpoi çözümleri mevcuur. Faa l < ien y() ve y'() eğerleri mevcu eğilir. Dolayısıyla () enlemi ve () sınır oşulu ve (3) süresizli

3 oşulunun üreiği operaörün bu ifaelere benzer eğerleri e anımlı olaca şeile yeni bir operaör anımlamamız gereir. Yeni anımlanan bu operaör, verilen iferansiyel operaörün self-ajoin operaörü olara alınabilir. Amirov ve Guseinov [] çalışmalarına ( y ): = c y ll q '' ( ) ( )) iferansiyel ifaesi ve ayrı sınır oşullarının üreiği operaörler için sınır oşulları iline self-ajoin genişlemeleri vermişlerir. Bu çalışmalarına şu lemmayı ispalamışlarır. Buraa c, l <, < <, q ( ) L (, π). Lemma : y ( ) DL ( ) olma üzere, * ( Γ y)( ) = y ( ), ( Γ y)( ) = [ y'( ) y ( )] l l fonsiyonlarının ien limileri varır. Yani, Buraa lim( Γ y)( ) = ( Γ y)(), i=,. i i * L verilen L operaörünün eşleni operaörüür. Lise = (, ) D ' C π ümesine anımlı L : = Ly = y operaörünün apanışıır. Dolayısıyla ' ' ' L operaörü L operaörünün minimal operaörüür. Belli i L operaörü L(, π) uzayına ' simeri operaörür. Şimi y ll y qy = λy iferansiyel enlemi için sınır eğer '' ( ) ( ) problemini yazalım. l < ien y() ve y '() eğerleri mevcu olmaığınan sınır oşullarını anca ( Γy)( ) ve ( Γ y)( ) fonsiyonları iline verebiliriz. Bunun için enlemi ( Γy)( ) ve ( Γ y)( ) fonsiyonları yarımıyla siseme inirgeyelim. l l l y'' ll ( ) y qy ( ) = [ y' l y]' qy ( ) = λy eşiliğine alırsa, ( Γ y)( ) = y ( ) = y ( ), ( Γ y)( ) = y ( ) = [ y'( ) y ( )] l l u ( ) =, u ( ) =, y ( ) = y ( ) l l 3 sisemini ele eeriz. y y = u ( y ) q ( ) y ' y y3 = u( y ) 3 ' l 3

4 y y = u ( y ) q ( ) y ' y y3 = u( y ) 3 ' l 3 () y ( ) = y( π)= (5) y y ( ) = A ( ), A= - y' y' (6) problemini ele alalım. () enleminin y () = y 3 i başlangıç oşullarını ve (6) süresizli oşulunu sağlayan çözümü, < ien, =, = olma üzere, y y3 = > ien, i e u( y ) ( )sin ( ) u( y ) 3( )cos ( ) l q () y()sin ( ) i ie u( y ) ( )cos ( ) u( y ) 3( )sin ( ) l q () y()cos( ) i i( ) = y e e sin ( ) sin ( u ) () y () cos ( ) cos ( u ) () y () ( 3 l sin ( ) sin ( )) () () (sin ( u ) () y () cos ( u ) () y () q y l sin( ) () () 3 q y (7) (8)

5 i i( ) 3 = y i e i e cos ( ) cos ( u ) () y () sin ( ) sin ( u ) () y () 3 l ( cos ( ) cos ( )) () () (cos ( u ) () y () sin ( u ) () y () q y l cos( ) () () 3 q y (9) şelineir. y Şimi () enleminin () = y 3 i oşulunu sağlayan her bir çözümünün, < ien, başlangıç oşullarını ve (6) süresizli > ien, i i i i e ae ( ) K( e,) i K( e,) y = y 3 i i i i ie ia( e ) K( e,) i K( e,) i i( ) i i y ae ( ) be ( ) K( e,) i K ( e,) y = y 3 i i( ) i i y3 ia( e ) ib( e ) K( e,) i K ( e,) şeline bir inegral göserilime sahip oluğunu ispalayalım. Buraa () () y e e i i( ) = i i( ) y 3 i e i e, Kij (,), i, j =,. fonsiyonları reel eğerli, a ( ) = a ( ) ia ( ), b ( ) = b( ) ib ( ) olma üzere a ( ), b( ), i=,. fonsiyonları mula süreli fonsiyonlarır. () ve () ifaeleri (8) ve (9) çözümüne yerine yazılırsa, i i 3

6 i i( ) i i ( ) ( ) (,) (,) ae be K e i K e = i sin ( ) sin ( u ) () e ae () { is is K(, se ) s ik(, se ) s i cos ( ) cos ( u ) () ie ia() e l ( sin ( ) sin ( )) () { is is K(, se ) s ik(, se ) s q e { { i i i( ) i i( ) i i ae () is is K(, se ) s ik(, se ) s (sin ( u ) () e e ae () be () { is is K(, se ) s ik(, se ) s cos ( u ) () i e i e ia() e ib() e i i( ) i i( ) is is K(, se ) s ik(, s) e s sin( ) q (){ e e ae () be () l i i( ) i i( ) is is K(, se ) s ik(, se ) s ve i i( ) i i ( ) ( ) (,) (,) ia e ib e K e i K e = i i is is cos ( ) cos ( u ) () e ae () K(, se ) s ik(, se ) s u ie i i is is sin ( ) sin ( ) () () (, ) (, ) i ia e K se s i K se s

7 q e ae K se s i K se s l i i is is ( cos ( ) cos ( )) () () (, ) (, ) i i( ) i i( ) is (cos ( u ) () e e ae () be () K(, se ) s ik(, se ) l i i( ) i i( ) is is cos( ) q () e e ae () be () (, ) (, ) is s i i( ) i i( ) is is sin ( u ) () i e i e ia() e ib() e K(, se ) s i K(, se ) s K se s i K se s inegral enlemleri ele eilir. Gereli hesaplamalar yapılırsa, K e u a e u a e i i i (,) = l l l l i q a e q a i i (, ) () (, ) () K u e K u e i i K(, u ) () e K(, u ) () e i i u a e u a e i K(, u ) () e K(, ) u() e i i (, ) () (, ) () K u e K u e s s l i l i qss () K(, s ) s e qss () K(, s ) s e s s i i u a e u b e i K(, u ) () e e i i K(, u ) () e i i K(, u ) () e K(, u ) () e i 5

8 i i u a e u b e i i (, ) () (, ) () K u e K u e i i K(, u ) () e (, ) () K u e s l i l i q a e qss () K (, s ) s e s i i i (,) = K e u e u e l i i u a e u a e l l i i q a e q a e i i K(, u ) () e K(, u ) () e K i (, u ) () e i K(, u ) () e u e u e u a e i i i i K(, u ) () e 6

9 K u e q e l i i (, ) () s l i l i q e qss () K (, s ) s e s s l i qss () K (, s ) s e s i i i u e u e u a e i u b e i K(, u ) () e i K(, u ) () e i i K(, u ) () e K(, u ) () e i K(, u ) () e i i i K(, u ) () e u e u e i u b e K (, u ) () e i u a e i i (, ) () K u e i i K(, u ) () e K(, u ) () e l i l i i K(, u ) () e l l i i q a e q b e s l i qss () K(, s ) s e s q e q e 7

10 i i i i (,) = K e u e u e u a e l i u a e q i a e l l l i i q a e K (, u ) () e i K(, u ) () e K i i i (, ) () i i i u a (, ) () i (, u ) () e K u e u a e u e i K(, u ) () e K(, ) u() e e u a e K u e K u e q e l i i (, ) () l l i l i q e K (, ) q () e l i l i K(, q )() e K(, q )() e _ (, ) () i i i u e u a e u b e l i i K q e i K(, u ) () u a e i e K(, u ) () e i 8

11 i i K(, u ) () e K(, u ) () e i i u e u e i u a e i u b e i i K(, u ) () e K(, u ) () e i K(, u ) () e K(, ) u() e i q e q e l l i l l i i q a e q b e l i l i K(, ) q () e K(, ) q () e l i K(, ) q () e K(, i K(, u ) () e K (, i l i ) q () e i i K(, u ) () e K(, u ) () e i i u a e u a e i u a e i u ) () e 9

12 i i i (,) = K e u a e u a e l i q a e K (, u ) () e i i (, ) () (, ) () K u e K u e i i K(, u ) () e K(, u ) () e i i K(, u ) () e K(, u ) () e i K(, u ) () e l i i K(, ) () i (, )() l i K q e l i l i K(, q )() e K(, q )() e i i u b e K (, u ) () e i K(, u ) () q e u a e i e K(, u ) () e i i K(, u ) () e u a e i u a e i K(, u ) () e i i K(, u ) () e K(, u ) () e i K(, u ) () e i K(, u ) () e i K(, u ) () e 5

13 l l l i i q a e q b e l i l K(, ) q () e K(, ) q () e l i l i K(, ) q () e K (, ) q () e i l = a ( ) u () a () u () a () u () a () qa () () l u () a () qa () () a u u u a q l ( ) = () () () () () l l u () u () a () u () u () a () q () qa () () () () () () () () () () () ( ) l l u a qa u a u a qa l u () a () qa () () b( ) u () a () u () b () u () b () qb () () l = l u () a () qa () () l b ( ) = u () u() u() a() q () u() l l u () b () u () u () b () q () qb () () u () a () qa () () l 5

14 Şimi -) < <, < < < -) <, < < 3-) < <, < < -) <, -< < 5-) <, < < 6-) < <, < < bölgelerine Kij (,), ( i, j =,) fonsiyonlarının ifaelerini alıp arışı yalaşımlar yönemini uygularsa; -) < <, < < < aralığı için, K u a u a q a l q a u a u a l () (,) = ( n) ( n) ( n) = K (,) K (, u ) ( ) K (, ) u ( ) ( n) ( n) K (, ) u ( ) K (, u ) ( ) ( n) K (, u ) ( ) s ( n) l ( n) s K (, ) u ( ) qss () K (, s ) s s l ( n) ( n) ( n) s qss () K (, s ) s K (, u ) ( ) K (, u ) ( ) ( n) ( n) ( n) K (, ) u ( ) K (, u ) ( ) K (, u ) ( ) K u u a e u b e ( n ) i i (, ) ( ) s l qss () s ( n) K s s (, ) K u a u a q a q a u u u u u a u a l l q q l l () (,) = 5

15 K K (, u ) ( ) K (, ) u ( ) ( n) ( n) ( n) = ( n) ( n) K (, ) u ( ) K (, u ) ( ) ( n) ( n) K (, u ) ( ) K (, ) u ( ) ( n) ( n) K (, ) u ( ) K (, u ) ( ) s s l ( n) l ( n) ( n) qss () K (, s ) s qss () K (, s ) s K s s ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) (, u ) ( ) K (, u ) ( ) K (, ) u ( ) K (, ) u ( ) (, ) ( ) (, ) ( ) (, K u K u K ) u( ) s l ( n) s qss () K (, s ) s K u a u a q a l q a u u u u l l u a u a q q l () (,) = ( n) ( n) ( n) = K K (, u ) ( ) K (, ) u ( ) ( n) ( n) K (, ) u ( ) K (, u ) ( ) ( n) ( n) K (, u ) ( ) K (, ) u ( ) ( n) ( n) K (, ) u ( ) K (, u ) ( ) K q K q ( n) l ( n) l (, )( ) (, )( ) 53

16 ( n) l ( n) l (, )( ) (, )( ) K q K q ( n) ( n) ( n) K (, u ) ( ) K (, u ) ( ) K (, ) u ( ) u ( ) K (, u ) ( ) K (, ) u ( ) ( n) ( n) ( n) K (, ) ( n) l ( n) l ( n) l (, )( ) (, )( ) (, )( ) K q K q K q K u a u a q a l q a u a u a l () (,) = ( n) ( n) ( n) = K K (, u ) ( ) K (, ) u ( ) ( n) ( n) K (, ) u ( ) K (, u ) ( ) ( n) ( n) K (, u ) ( ) K (, ) u ( ) ( n) ( n) K (, ) u ( ) K (, u ) ( ) ( n) l ( n) l (, )( ) (, )( ) K q K q ( n) l ( n) l K (, )( ) (, )( ) ( n) ( n) ( n) K (, u ) ( ) K (, u ) ( ) K (, ) u ( ) ( n) ( n) ( n) (, ) ( ) K u K q K q ( n) ( n) ( n) l (, ) ( ) (, ) ( ) (, )( ) ( n) l ( n) l (, )( ) (, )( ) (, u ) ( ) K (, u ) ( ) K u K u K q K q K q 5

17 inegral enlemlerini alırız. Her bir enlemin önce mula eğerini alır ve sonra [, ] aralığına ye göre inegrallerse K (,) u ( ) a ( ) u ( ) a ( ) q( ) a ( ) () l l q( ) a( ) u( ) a( ) u( ) a( ) K (,) u ( ) a ( ) u ( ) a ( ) q( ) a ( ) () l l q( ) a( ) u( ) u( ) u( ) u( ) l l u( ) a( ) u( ) ( ) ( ) ( ) a q q K (,) u ( ) a ( ) u ( ) a ( ) q( ) a ( ) () l l q( ) a( ) u( ) u( ) u( ) u( ) l l u ( ) a ( ) u ( ) a ( ) q( ) q( ) K (,) u ( ) a ( ) u ( ) a ( ) q( ) a ( ) () l l q( ) a( ) u( ) a( ) u( ) a( ) olur. a( ) ve a( ) fonsiyonları mula süreli fonsiyonlar ve olayısıyla sınırlı olularınan a( ), a( ) < M olaca şeile M > sayısı var oluğunan () M l K (,) M( ) u() u() ( ) q( ) () M l K (,) ( M ) ( ) u () u () ( ) q( ) () M l K (,) ( M ) ( ) u () u () ( ) q( ) () M l K (,) M( ) u () u () ( ) q( ) 55

18 M eşisizlilerini ele eeriz. ma(( M ) ( ), ( ) = M olara alırsa () l ij = σ K (,) M u () u () q () M ( ) olur. Buraa l σ( ) = u() u() q (), i, j =,. Ayrıca K (,) u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) ( n) ( n) ( n) u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) ( n) ( n) ( n) u ( ) K (, ss ) u( ) K (, ss ) ( n) u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) ( n) ( n) s s l ( n) l qs () s K (, s ) s qs () s s s s s s s ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) ( ) (, ) ( ( n) K (, s ) s u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) u K ss u ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) s s l ( n) qs () s K (, s ) s s s ( n) ( n) ( n) K (,) u( ) K (, ss ) u( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) ( n) ( n) ( n) ( n) u ( ) K (, ss ) u( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) ( n) ( n) s s l ( n) l qs () s K (, s ) s qs () s s s s s s s ( n) K (, s ) s 56

19 u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) ( n) ( n) ( n) u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) ( n) ( n) ( n) s s ( ) n l ( n) u( ) K (, ss ) qs () s K (, s ) s s s K (,) u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, s) s ( n) ( n) ( n) u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) ( n) ( n) ( n) u ( ) K (, ss ) u( ) K (, ss ) ( n) u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) ( n) ( n) l ( n) l ( n) q( ) K (, ss ) q( ) K (, ss ) l ( n) l ( n) q( ) K (, ss ) q( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) ( n) ( n) ( n) u ( n) ( n) ( n) ( ) K l ( n) l ( n) l ( n) (, ss ) u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) q( ) K (, ss ) q( ) K (, ss ) q( ) K (, ss ) K (,) u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) ( n) ( n) ( n) u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) ( n) ( n) ( n) u ( ) K (, ss ) u( ) K (, ss ) ( n) 57

20 u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) ( n) ( n) l ( n) l ( n) q( ) K (, ss ) q( ) K (, ss ) l ( n) q( ) K (, ss ) q( ) K (, ss ) l ( n) u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) ( n) ( n) ( ) (, ) ( ) (, ) ( ) (, s) s ( n) ( n) ( n) u K ss u K ss u K ( n) ( n) ( n) u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) u ( ) K (, ss ) l ( n) l ( n) q( ) K (, ss ) q( ) K (, ss ) q( ) l ( n) K (, ss ) eşisizlilerini ullanırsa, () σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) K (,) M M M M M!!!!! ( ) ( ) σ σ σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) M M M Mc Mc M!!!!!! σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) M M M M M Mc =!!!!!! σ( ) = 3 c c M! () σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) K (,) M M M M M!!!!! ( ) ( ) σ σ σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) M M M Mc Mc M!!!!!! σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) M M M M M M Mc!!!!!!! 7 σ( ) = c c M! 58

21 () σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) K(,) M M M M M!!!!! ( ) ( ) σ σ σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) M M M M M M!!!!!! σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) ( n) M M M M u( ) K (, ss )!!!! σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) M M M M M!!!!! 3 σ( ) = 3 M! () σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) K(,) M M M M M!!!!! ( ) ( ) σ σ σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) M M M M M M!!!!!! σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) M M M M M M M!!!!!!! σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) σ( ) M M M M M!!!!! 3 σ( ) = M! 3 c c M = C alırsa ( ) () Kij (,) C σ eşisizliğini, aynı şeile n= için! 3 ( ) () 3 Kij (,) C σ eşisizliğini ele eeriz. Tümevarım yönemini ullanırsa 3! n ( n) n σ ( ) ij (,) K C eşisizliğinin geçerli oluğunu alırız. Aynı işlemler iğer ( n )! bölgeler içine yapılırsa bu eşisizliler olayca alınabilir. Bu eşisizlileren 59

22 ( n) Kij (,) serisinin L(, ) n= serinin oplamı olan K (,) L (, π) fonsiyonu ij π uzayına üzgün yaınsa oluğu açıır ve bu n= K e σ ( n) c ( ) ij (,) eşisizliğini sağlar. Bu uruma aşağıai eoremi ispalamış olu. Teorem : π q () l < olsun. () iferansiyel enlemler siseminin y () = y3 i çözümü başlangıç oşullarını ve (6) süresizli oşulunu sağlayan her bir i i( ) i i y ae ( ) be ( ) K( e,) i K ( e,) y = y 3 i i( ) i i y3 ia( e ) ib( e ) K( e,) i K ( e,) şeline göserime sahipir. Ayrıca l σ( ) = u() u() q (), i, j =,. olma üzere n= K e σ ( n) c ( ) ij (,) eşisizliği sağlanır. Buraa a ( ), b ( ) AC(, π], y e e, i i( ) = i i( ) y 3 i e i e M ma ( ), ( ) c 3 c = C şelineir. 6

23 Kaynalar [] R. KH. Amirov, I. Guseinov. Self ajoin eenion one class Surm-Liouville operaors wih noninegrable poenial, Dol. Aca. Nau, Azerb. Vol.58, no:5-6, (),.3-7. []. R. Kh. Amirov an V. A. Yuro, On Differenial Operaors wih Singulariy an Disconinuiy Coniions Insie he Inerval. Ur. Mah. Jour., v.53, No, (), [3]. R. Kh Amirov, Direc an Inverse Problems for Differenial Operaors wih Singulariy an Disconinuiy Coniions Insie he Inerval Transacions of NAS Azerbaijan.,Vol, No., (), -39 []. R. Kh Amirov, On Surm-Liouville Operaors wih Disconinuiy Coniions Insie an Inerval J. Mah. Anal. Appl. 37 (6) [5]. R. Kh Amirov, On a Sysem of Dirac Differenial Equaions wih Disconinuiy Coniions Insie an Inerval, Urainian Mahemaical Journal, Vol. 57, No.5, (5). [6]. G. Borg, Eine umehrung er Surm-Liouvilleschen eigenweraufgabe, Aca Mah. 78 (96) -96 [7]. B. M. Levian, I.S. Sargsyan, Inroucion o Specral Theory, Amer. Mah Soc. Transl. Mah. Monogr., vol. 39, Amer. Mah Soc., Provience, RI, 975 [8]. V. A. Marcheno, Surm-Liouville Operaors an Their Applicaions, Naua Duma, Kiev,!977. English Transl. Birhäuser, Basel, 986. [9]. B. M. Levian, Inverse Surm- Liouville problems, Naua Moscow, 98. English Transl. : VNU Sci Pres, Urech, 987. [] J. R. Mclaughlin, Analyical mehos for recovering coefficiens in Differenial equaions from specral aa, SIAM rev. 8 (986), []. D. G. Shepelsy, The inverse problem of reconsrucion of he meium s conuciviy in a class of isconinuous an increasing funcions, Av. Sovie Mah. 9 (99), 9-3 []. O. H. Hal, Disconinuous inverse eigenvalue problems, Comm. Pure. Appl. Mah. 37 (98),