MMB Haita v adasto Mühndisli dası, 16. üki Haita Bilimsl v knik uultaı, 3-6 Maıs 2017, Ankaa. Ysl Fotogamti Matmatik Modllini st Etmk İçin Bi Simülason Algoitması han ut 1,*, Hamit Akan 2 1 ocali Ünivsitsi, Mühndislik Fakültsi, Haita Mühndisliği Bölümü, 41380, ocali. 2 ocali Ünivsitsi, Fn Bilimli Enstitüsü, Jodzi v Joinfomason ABD, 41380, ocali. Özt Bi matmatik modli kavamanın, tst tmnin a da gliştimnin n ii olu, modl paamtli bilinn apa bi vi sti oluştumaktı. Bu çalışmada sl fotogamtid (iç v dış önlm lmanlaının bulunması için) kullanılan matmatik modlli tst dbilmk v gliştibilmk için, dijital bi kama il alınan bi göüntü simülasonunun matmatiksl algoitması vilmişti. Bu algoitma 3B (üç boutlu) uzada konumu bilinn bi objnin (vin) dijital göüntüsü oluştuulaak tst dilmişti. Simülason için Pthon otamında bi azılım gliştiilmişti. Bu simülason azılımı, dış önltm (izdüşüm mkzi v sim çkim doğultusu) v iç önltm (odak uzaklığı, asal noktanın konumu) lmanlaı bilinn bi kama il 3B koodinatlaı viln bi obj için istniln çözünülükt dijital göüntüli kolaca ld dilbilmktdi. Öniln bu simülason modlin, çapsal v tğtsl mck distosionlaı da klnbilmktdi. Anahta Sözcükl Ysl Fotogamti, Simülason, Dijital Göüntü A Simulation Algoithm to st Mathmatical Modls in stial Photogammt Abstact h bst wa to comphnd and tst and dvlop a nw o known mathmatical modl in an stud aa is to constuct an atificial datast with known modl paamts. In this stud, a mathmatical algoithm of a simulatd imag takn with a digital cama has bn givn to tst and dvlop mathmatical modls usd (fo intnal and tnal ointation lmnts) in tstial photogammt. his algoithm has bn tstd b an objct (a hous) whos vt coodinats a givn in 3D wold. A softwa fo th simulation has bn dvlopd in th Pthon nvionmnt. his simulation softwa can asil acqui digital imags at th dsid solution fo an objct givn th 3D coodinats b a digital cama whos tnal ointation (pojction cnt and imag acquisition diction) and intnal ointation (focal lngth, th position of th pincipal point) lmnts a known. Radial and tangntial lns distotions can also b addd to th poposd simulation modl wods stial Photogammt, Simulation, Digital Viw 1. Giiş Fotogamti, mtik kamalala (analog a da dijital) alınan göüntüldn (simldn) mühndislik amaçlı konum bilgisi tütm sanatı olaak tanımlanabili. Göüntülin bi noktasından alınaak fotogamtik dğlndim apılması is Ysl Fotogamti olaak adlandıılmaktadı (Yaşaan, 1989;1990; aus, 2004). Bnz matmatik ilişkilin kullanıldığı fotogamti il bilgisaalı göm (comput-vision) aasında çok sıkı bi ilişki vadı. Bilgisaalı göm; haktsiz a da haktli nnlin, dijital otama aktaılması vb. il ilgilnn bi disiplin dalıdı. Yüz, pamak izi, göüntüldn bilgi dinm vb. konulaın da aldığı bilgisaalı gömnin bu kısmı fotogamtik dğlndim il daha çok bnzşmktdi (Szliski, 2010). Bu çalışmanın amacı mtik olmaan bi kamanın (sözglimi bi cp tlfonu kamasının) önc önltm lmanlaının hsaplanması v bu kama il çkiln bi sim il modllm apılması amaçlanmaktadı. Modllm apabilmk için; sl fotogamtid kullanılan matmatik modlli kavamak gkmktdi. Bunun n önmli aşaması tk sim dğlndimsindki matmatik ilişkilin ii kavanması bağlıdı. Bunun n ii olu is tk bi göüntü alma sücinin simülasonunu apmaktı. Çalışmada böl bi simülason algoitması vktö analizi (Spigl, 1959) kullanılaak gçklştiilmişti. Simülason algoitmasının matmatik apısı adımla halind açık olaak vilmişti. * Soumlu Yaza E-posta: ohnkt@gmail.com.t (han ut)
Ysl Fotogamti Matmatik Modllini st Etmk İçin Bi Simülason Algoitması Öniln simülason öntmi; 3B koodinatlaı bilinn basit bi cisim il iç v dış önltm lmanlaı blli olan bi dijital göüntünün oluştuulmasını kapsamaktadı. Simülasonda kullanılan azılım Pthon 3.6.0 otamında gliştiilmiş (Pthon, 2017), çiziml simülason azılımı il hsaplanan dğldn aalanaak GoGba pogamı il gçklştiilmişti (GoGba, 2017). Saısal ugulama bölümünd kullanılan vin 3B koodinatlaı, vin istnn önltm lmanlaına gö hsaplanan 3B uzadaki sim düzlmi içindki koodinatlaı v öngöüln çözünülüktki dijital göüntü koodinatlaı vilmişti. 2. Ysl Fotogamti İçin Simülason Algoitması Simülason için matmatiksl ilişkilin kuulacağı dğişmz (insial) bi koodinat sistmin ( X, Z ) ihtiaç vadı (Şkil 1). Bu koodinat sistmindki konum vktöli I [X I YI Z I ] { I, F, G, J, } il göstilikn, bu koodinat sistmi içisind hhangi bi başlangıca ötlnmiş konum vktöli,,,, vb. şkild göstilmişti. Buada; : izdüşüm mkzi, F: asal nokta, G: dijital göüntünün başlangıç noktası, J: obj üzind hhangi bi nokta, : J noktasının sim düzlmindki göüntüsü olaak tmsil dilmişti (Şkil 1). I { I, F, G, J,, X, Y, Z,,, z } is bu koodinat sistmindki biim vktöldi. Dijital göüntü düzlminin İnsial sistmdki biim vktöli (sağa), (aşağı), (sim çkim doğultusu) v bu ksnl tafında insial sistm gö dönükl, v dı (Şkil 1). z J F G,Y Şkil 1: Mtik konum vktöli v sim düzlmi. Simülason için gkli olan bilgil; izdüşüm mkzinin konum vktöü ( ), 3B uzadaki obj ada objlin konum vktöli (, { J j 1,2,, n :konum vktöü saısı}), odak uzaklığı ( ), dijital göüntünün boutlaı (SAĞA*AŞAĞI p 2, p:piksl), göüntünün odak düzlmindki çözünülüğüdü ( p/m). (1) İnsial sistmd sim çkim doğultusunun ( F ) v asal noktanın konum vktöünün ( F f ) hsaplanması: Rsim çkim doğultusu; viln obj noktalaının mümkün olduğunca dijital göüntü sınılaı içisind kalmasını sağlamak için, bu obj noktalaının konum vktölinin otalamasına gö blilnmlidi (Şkil 1). ( * : * vktöünün nomu). 1 n (1) M J n J 1
han ut, Hamit Akan F F M M f F (2) (3) (2) İnsial sistm gö sim koodinat sistminin (,, z ) blilnmsi: Bu koodinat sistminin biim vktöli, insial koodinat sistminin biim vktöli X [1 0 0], Y [0 1 0], Z [0 0 1] v vktöl çapım () olmak üz aşağıdaki bağıntılala hsaplanı (Şkil 1). F F z F X (4) (5) (6) (3) Dijital göüntünün başlangıç noktasının ( F G ) insial sistm gö hsaplanması: Asal noktanın konum vktöü ( ), göüntünün boutlaı SAĞA v AŞAĞI dğli il bunlaın biim vktölindn (, aşağıdaki şkild bulunu (Şkil 1). ) aalanaak G G F 1 SAGA 2 ASAGI (7) Eğ istnis asal nokta koodinatlaına buada (SAĞA+d F v AŞAĞI+d F gibi) asal nokta hatalaı klnbili. (4) J noktasının dijital göüntü üzindki izdüşümü noktasının konumunun ( bj noktasının insial sistmdki doğultusu ( J ) insial sistm gö hsaplanması: ), odak uzaklığı (f) v skal çapım ( ) olmak üz J noktasının göüntüsü olan noktasının insial sistmdki koodinatlaı (8-10) bağıntılaı il hsaplanı (Şkil 1). J J J J f F J (8) (9) (10) Eğ istnis (çapsal v blilnmsi zo olan tğtsl) mck distosionlaı bu aşamada işlm dahil dilbili. Sözglimi, çapsal distosion ( ) açısal olaak / hsaplanaak J dğin klnbili. F (5) Rsim dönüklüğünün ugulanması (,, ) v dijital göüntünün ld dilmsi (u,v): 3B uzadaki dönüklük matisindn ( R(,, ) R ( ) R ( ) R ( ) ) aalanaak dijital göüntü koodinatlaı aşağıdaki şkild ld dili. z G G R(,, ) G G G G accos u v ound 0 G cosk sin k 0 (11) (12) (13) (14) (15) (16) (16) bağıntısı il viln piksl biimli koodinatla, dijital göüntünün sol üst köşsindn başlaan sağa doğu atan u v aşağıa doğu atan v (=1,2,,n) koodinatlaıdı. Yukaı viln algoitmaa gö tütiln dijital göüntü v kontol noktalaı kullanılaak kuulan bi matmatik modl il kstiiln iç v dış önlm paamtli, bilinn dğli il kaşılaştıılaak söz konusu matmatik modl tst dili.
Ysl Fotogamti Matmatik Modllini st Etmk İçin Bi Simülason Algoitması 3. Saısal Ugulama Bu çalışmanın amacı, mtik olmaan bi kamanın (sözglimi bi cp tlfonu kamasının) önltm lmanlaının bulunmasını v bu kama il çkiln dijital simldn modllm apılmasını sağlaan azılımla gliştimkti. Bu çalışma bi üksk lisans tzi olaak düşünülmüştü. Öngöüln tz çalışmasında sl fotogamtidki matmatik modllin inclnmsi, gliştiilmsi v kullanılacak bütün azılımlaın azala taafından azılması düşünülmüştü. Ysl fotogamtidki matmatik modlli kavamak v tst tmk için ilk önc simülasondan başlanmıştı. Bu çalışmada, algoitması bi öncki başlık altında viln işlmli gçklştin Pthon 3.6.0 (stabl) (Pthon, 2017) vsionunda bi azılım gliştiilmişti. Gliştiiln bu azılımda; Pthon pogamının bilinn kütüphanli (scip, nump, matplotlib, basmap vb.) kullanılmamış, çkidk pogamla gln kütüphanl (math, tutl) daalı olaak bütün alt pogamla (matis işlmli, vktö işlmli, vb.) azala taafından oluştuulmuştu. Pthon pogamından sadc dlici pogam olaak aalanılmıştı. Pthon pogamının agın olaak kullanılan kütüphanlinin kuulmasında sounla aşanabilmktdi. Bu sounlaı gidmk için Gohlk (2017) wb adsindn aalanılabili. Çalışmadaki çiziml GoGba (GoGba, 2017) azılımı il gçklştiilmişti (Şkil 2). Bu pogam için Java dilind alt pogamla azılabilmsin ağmn, Pthon otamında gliştiiln simülason azılımının çıktılaı, GoGba pogamına gidi olacak şkild hsaplanmıştı (ablo 2). GoGba sadc çizim amaçlı kullanılmıştı. Simülason azılımı ablo 1 v ablo 2 (3B sl koodinatla) d viln bilgili kullanaak (1-16) şitlikli il viln simülason algoitması adımı il apa dijital göüntü oluştumaktadı (ablo 1-2). Yazılım 3B koodinatlaı viln hhangi bi cisim (çalışmada Şkil 2a da viln) ada cisim gubunun koodinatlaını dosadan oku. Bu koodinatlaın ağılık mkzini hsapla. İzdüşüm mkzindn bu ağılık mkzin, sim çkim doğultusunu blil. ablo 1: ütilck olan dijital göüntünün tml özllikli, iç v dış önltm paamtli Simg Açıklama Çalışmada ullanılan dği Biimi Dijital Göüntü Bilgili SAGA,AŞAĞI Göüntünün gnişliği v ükskliği 3000, 2000 piksl dak düzlmindki çözünülük 1/0.001 piksl/m İç önltm lmanlaı f, d F, d F dak uzaklığı, asal nokta düzltmli 3.0, 0.0, 0.0 m,, Rsim koodinat sistminin dönüklükli 0.0, 0.0, 0.0 dc Dış önltm lmanlaı (X,Y,Z ) İzdüşüm mkzi 3.000000, 00, m İzdüşüm mkzi, izdüşüm doğultusu, odak uzaklığı v noktalaın koodinatlaından aalanılaak sim düzlmindki 3B koodinatla (ablo 2) hsaplanı. Bu hsaplama sonucunda Şkil 2a da G dijital smin sol üst köşsi v izdüşüm mkzi olmak üz, vin 3B sim düzlmindki koodinatlaı ld dilmiş olu (Şkil 2a). (a) (b) Şkil 2: (a) Ysl v sim düzlmindki 3B koodinatla [m], (b) dijital simdki 2B koodinatla [p].
han ut, Hamit Akan Eld diln 3B uzadaki bu mtik göüntü dijital göüntü çözünülüğü () v G noktası koodinatlaından aalanılaak ablo 1 d viln özlliktki apa dijital göüntü dönüştüülü (Şkil 2b, ablo 1-2). Evin hsaplanan dijital göüntü koodinatlaı ablo 2 d son iki sütunda vilmiş v Şkil 2b d dijital göüntü çizdiilmişti. ablo 2: Mt biimli 3B aazi v sim düzlmi koodinatlaı il piksl (p) biimli 2B sim koodinatlaı 3B Ysl oodinatla Rsim Düzlmindki 2B Dijital Rsim 3B oodinatla oodinatlaı J X [m] Y [m] Z [m] X [m] Y [m] Z [m] [p] [p] F G 3.000000 5.439611 4.650642 00 5.723217 7.002391 4.719251 5.714863 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 20.0000 2 16.0000 18.0000 18.0000 16.0000 2 20.0000 2 26.0000 26.0000 2 2 2 2 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 5.188285 5.485712 5.574100 5.747076 5.786879 5.239237 5.271290 5.393965 5.418042 5.296320 5.607154 5.520198 5.660867 5.726960 5.747282 5.682070 5.427830 5.458866 5.640757 5.533987 5.550789 5.659010 4.809257 4.843947 5.056383 4.929749 4.949306 5.078606 6.005928 5.608402 5.490268 5.259077 5.277320 6.052634 5.921861 5.755574 5.773230 5.943040 5.509405 5.630716 5.393788 5.304198 5.313918 5.404894 5.719713 5.741697 5.430410 5.583742 5.594243 5.440297 6.563114 6.612258 6.227748 6.412186 6.436632 6.251823 4.270572 4.415127 4.458084 4.542154 4.475856 4.521207 4.838797 4.823360 4.862781 4.851753 4.619876 4.644310 4.880553 4.872282 4.595362 4.669905 4.683252 4.893717 4.889208 4.396914 4.485904 4.517563 4.837558 4.826783 1124 1620 1768 2056 2065 1115 1241 1447 1447 1238 1771 1622 1897 2008 2012 1900 1496 1496 1855 1668 1669 1858 450 430 867 643 634 860 1451 1305 1262 1178 1244 1199 880 895 856 867 1100 1075 838 846 1124 1050 1036 825 829 1324 1234 1203 881 892 ablo1 d viln dğl gö tütilmiş olan ablo 2 dki dijital göüntü dğli kullanılaak, hhangi bi matmatik modl kolaca tst dilbili. 4. Sonuçla v Önil Bi matmatik modli kavamanın, tst tmnin v gliştimnin n ii olu simülason apmaktı. Hsaplanmak istnn dğlin öncdn bilindiği simülason, matmatik modllin kavanması, tst dilmsi v gliştiilmsi için n önmli aşamadı. Bu çalışma, sl fotogamti alanında azılım gliştiilmsi düşünüln bi üksk lisans tzinin biinci aşamasını oluştumaktadı. Bu amaçla bi azılım gliştiilmiş, bu azılımın başaısı önk bi ugulama üzind tst dilmişti. Simülasonda kullanılan cismin 3B koodinatlaının hangi koodinat sistmind (IRF, uz(n)-doğu()-yukaı(u), ) vildiği önmli dğildi. Faklı koodinat sistmi sçimi k dönüşüm bağıntılaına ndn olabili. Bu dönüşüm bağıntılaı öniln simülason algoitmasını tkilmz. kuucunun matmatik apıı ii kavanabilmsi için saısal ugulama bölümünd sim koodinat sistminin dönüklükli sıfı alınmış, sim mkzi il asal nokta çakışık kabul dilmiş v mck distosionlaı göz adı dilmişti. Fakat bu paamtlin simülason adımlaı içisind nasıl dikkat alınması gktiği açık olaak göstilmişti. kuucu
Ysl Fotogamti Matmatik Modllini st Etmk İçin Bi Simülason Algoitması ists, kullanacağı kamanın tknik özlliklin gö bu paamtlin aldığı dğli blilip simülason modlind öniln l kolaca klnbili. k sim dğlndimsin gö öniln simülason algoitmasında, sadc izdüşüm mkzinin koodinatlaı () dğiştiilk cismin faklı önldn dijital göüntüli tütilbilmktdi. Öniln algoitma çift sim dğlndim modllinin tst dilmsind d kullanılabili. anakla GoGba, (2017), Dnamic mathmatics fo laning and taching, https://www.gogba.og/, [14 Şubat 2017]. Gohlk, C., (2017), Unofficial Windows Binais fo Pthon Etnsion Packags, http://www.lfd.uci.du/~gohlk/pthonlibs/, [14 Şubat 2017]. aus,., (2004), Photogammt, Gomt fom Imags and Las Scans, ti Ds Notlaı, D Gut tbook, Walt d Gut, Blin NwYok. Pthon, (2017), https://www.pthon.og/, [14 Şubat 2017]. Spigl, M. R., (1959), Vcto Analsis and an Intoduction to nso Analsis, Schaum s utlins Sis, McGaw-Hill, ISBN 07060228-X Szliski, R., (2010), Comput Vision: Algoithms and Applications, Sptmb 3, 2010, 2010 Sping, http://szliski.og/book/, [14 Şubat 2017]. Yaşaan A., (1989), Fotogamti I, Ds Notlaı, Ü-MMF Jodzi v Fotogamti Mühndisliği Bölümü, abzon (Basılmadı). Yaşaan A., (1990), Fotogamti II, Ds Notlaı, Ü-MMF Jodzi v Fotogamti Mühndisliği Bölümü, abzon (Basılmadı).