SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FENBİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ EINSTEIN RÖLATİVİSTİK GRAVİTASYON TEORİSİNDE, MADDE İÇİNDEKİ GRAVİTASYON ALANININ KUADRATİK BASINÇ VE KÜBİK YOĞUNLUĞA SAHİP BİR İDEAL AKIŞKAN İÇİN HESAPLANMASI Cengiz KUMAK YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİMDALI Konya, 006
ÖZET Yüksek Lisans Tezi EINSTEIN RÖLATİVİSTİK GRAVİTASYON TEORİSİNDE, MADDE İÇİNDEKİ GRAVİTASYON ALANININ KUADRATİK BASINÇ VE KÜBİK YOĞUNLUĞA SAHİP BİR İDEAL AKIŞKAN İÇİN HESAPLANMASI Cengiz KUMAK Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. H. Şevki MERT 006, 16 Sayfa Jüri: Prof. Dr. H. Şevki MERT Doç. Dr. Ülfet ATAV Yrd. Doç. Dr. Atilla GÜLEÇ Bu tezde, Einstein Genel Rölativite Teorisi nin sonucu olarak elde edilen alan denklemlerinin, madde içersindeki gravitasyon alanını veren İç Schwarzschild Çözümü: 3 P( r) r, ( r) r ile belirlenen bir ideal akışkan için yapılmış ve gravitasyon alanı veren ds ifadesi elde edilmiştir. Anahtar Kelimeler: Gravitasyon Alanı, Genel Rölativite Teorisi, İdeal Akışkan, İç Schwarzschild Çözümü iii
ABSTRACT M. S. Thesis THE ESTIMATION OF GRAVITATIONAL FIELD IN THE MATERIAL FOR THE IDEAL FLUID HAVING QUADRATIC PRESSURE AND CUBIC DENSITY USING EINSTEIN S RELATIVISTIC GRAVITATION THEORY Cengiz KUMAK Selçuk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Physics Supervisor : Prof. Dr. H. Şevki MERT 006, 16 Page Jury : Prof. Dr. H. Şevki MERT Assoc. Prof. Dr. Ülfet ATAV Ass. Prof. Dr. Atilla GÜLEÇ In this thesis, Interior Schwarzschild Solutions of the equations, resulted from Einstein s General Relativity Theory, in the material for the ideal fluid having pressure P(r)=r and density 3 (r)=r has been solved and the expression of the metric been obtained. ds, giving the gravitational field, has Key Words: Gravitational Field, General Relativity Theory, Ideal Fluid, Interior Schwarzschild Solutions iv
İÇİNDEKİLER ÖZET ABSTRACT ÖNSÖZ 1. GİRİŞ...... 1. EINSTEIN RÖLATİVİSTİK GRAVİTASYON TEORİSİNDE, MADDE İÇİNDEKİ GRAVİTASYON ALANINI VEREN İÇ SCHWARZSCHILD ÇÖZÜMÜNÜN P( r) r ve ( r) r 3 İLE BELİRLENEN BİR İDEAL AKIŞKAN İÇİN HESAPLANMASI....... 5.1. Alan Denklemlerinin Özellikleri....... 5.. Alan Denklemlerinin İç Schwarzschild Çözümü...... 7.3. P( r) r ve ( r) r 3 Değerlerinin Yerine Koyulması Ve ds Yay İfadesinin Elde. Edilmesi..... 11 3. SONUÇ VE TARTIŞMALAR.... 15 KAYNAKLAR.... 16 vi
ÖNSÖZ Bu çalışma Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsüne Yüksek Lisans tezi olarak sunulmuştur. Çalışmalarım süresince bilgi ve tecrübeleri ile bana her konuda yardımcı olan danışmanım Prof. Dr. H. Şevki MERT e en içten teşekkürlerimi sunarım. Çalışmalarım sırasında hiçbir zaman destek ve teşviklerini esirgemeyen Selçuk Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü elemanlarına teşekkür ederim. Ayrıca, çalışmalarım süresince manevi desteklerini hiçbir zaman esirgemeyen aileme, sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Cengiz KUMAK Konya, 006 v
1 1. GİRİŞ Bu yüzyılın başlarında kuramsal fizikte altın çağ başladığı zaman, adı henüz bilim dünyasında duyulmamış bir fizikçi vardı. Bu, Annalen der Physık in 1905 tarihli sayısında fotoelektrik olayı, Brown hareketi ve özel görelilikle ilgili ünlü üç çalışmasını birden yayınlayarak üne kavuşan Albert Einstein dır. Onun fizikteki hayat boyu çalışmaları bilimin felsefesi ve yöntemleri üzerinde büyük etki yaptı. 0. yy ın ilk çeyreğinde Fizik alanında iki büyük devrim yaşanmıştır: Bunlardan biri Einstein ın görelilik kuramları, diğeri de kuantum kuramıdır. Bunlar bilimde gerçek devrimlerdir; çünkü doğaya yeni bir gözle bakmayı sağlayarak yeni kavramlar, yeni ilkeler getirdiler. Fen bilimlerinden felsefeye, sosyal bilimlere kadar tüm bilimler bunların etkisinde kaldı. Bundan yüz yıl önce ortaya çıkan özel rölativite kuramından bu yana geçen sürede bilimsel sonuçları ile, fizikçilerin yanı sıra matematikçilerin, kimyacıların ve mühendislerin de yoğun ilgisini çekmiştir. Einstein a göre ışığın boşluktaki hızının sabit olması gerçeği, Newton mekaniğindeki mutlak zaman kavramının sonu demekti ve Galilei görelilik ilkesinden özel rölativite ilkesine geçişi gerektiriyordu. Bu çelişkinin çözümü, Newton mekaniğinin ve göreliliğinin, Einstein ın özel rölativite mekaniği ve göreliliğiyle düzeltilmesi sonucu, 1905 te gerçekleştirildi. Böylece klasik fizik, Newton artı Maxwell yasaları yerine Einstein artı Maxwell yasalarından oluştu. Maxwell denklemlerince sağlanan özel görelilik ilkesi, kavranması oldukça zor bir ilke olup, ilk bakışta içinde yaşadığımız dünyanın gerçek nitelikleri olarak kabullenilmesi güç, önseziden uzak pek çok nitelik taşımaktadır. Bu kuram tamamıyla Einstein ın olağanüstü hayal gücünün ve yaratıcı zekasının bir ürünüdür. Aslında özel göreliliğe, Rus asıllı Alman geometrici Herman Minkowski nin (1864-1909), 1908 de bulduğu ek bir öğe olmaksızın tam bir anlam verilemez. Minskowski nin temel nitelikteki yeni görüşü, uzay ve zamanı birbirinden ayrılmaz bir bütün olarak alması ve dört boyutlu bir uzay-zaman olarak nitelemesiydi.
Özel rölativite teorisinde birbirine göre serbest hareket eden gözlemcilerin uzay-zaman koordinatları arasında matematiksel bağıntılar vardır. Hollandalı fizikçi Lorentz in kendi adıyla anılan ve Lorentz dönüşümleri denilen bu bağıntıların fiziksel anlamı, olayların serbest hareket eden gözlemciler tarafından nasıl algılandığını göstermekten ibarettir. Örneğin, hareket halinde olan gözlemcinin saati, durgun olan gözlemciye göre geri kalıyor ve bu olay, gözlemcinin hızı ışık hızına yaklaştıkça daha çok fark ediliyor. Aynı zamanda, Lorentz dönüşümlerinden, uzunlukların da farklı serbest gözlemciler için farklı olduğu ortaya çıkıyor. Özetle, birbirine göre serbest hareket eden iki gözlemci hiçbir zaman ölçtükleri zaman veya uzay aralıklarının değeri konusunda anlaşamazlar. Bu anlaşmazlık ancak onların dört boyutlu uzay-zamana geçmeleriyle sona erecektir; çünkü onların her ikisine göre de aynı olan tek nitelik, dört boyutlu uzay-zamanda vardır. Bu nitelik, iki olay arasındaki dört boyutlu uzay-zaman aralığıdır. Yalnız bu aralık mutlak anlam taşıyor ve Lorentz dönüşümleri altında değişmez, yani herkes için aynı kalıyor. Bunun altında yatan gerçek ise ışığın boşluktaki hızının mutlak sabit olmasıdır. Einstein ın özel görelik kuramı, ışık hızına yakın hızlarda hareket eden parçacıkların davranışını başarıyla öngörmesi, kütlenin yoğunlaşmış bir enerji olduğunu ve hızla birlikte değiştiğini göstermesi gibi başarılarına rağmen, evrendeki en etkin kuvveti-gravitasyonu (evrensel kütle çekim kuvveti) açıklamakta yetersiz kalıyordu. Hatta özel rölativite, mevcut olan Newton un gravitasyon teorisiyle de çelişki içindeydi; çünkü Newton a göre bir cismin diğerine göre gravitasyonel etkisi ani olarak, yani sonsuz hızla gerçekleşiyordu. 00 yıldan fazla bir zaman içinde Güneş Sistemi nde gezegenlerin hareket yasalarını başarıyla açıklayan, birçok yeni gezegenin varlığını öngören Newton gravitasyon teorisinin başka dertleri de vardı. Örneğin, 19. yy sonlarına doğru Güneşe en yakın gezegen olan Merkür ün yörüngelerinde gözlenen anormallik, Newton gravitasyonuyla açıklanamıyordu. Yeni bir gravitasyon teorisine ihtiyaç duyulmaya başlanmıştı. 1915 yılının Kasım ayında Prusya Bilimler Akademisi nin dört
3 oturumdan oluşan toplantısında Albert Einstein ın sunduğu Rölativitenin Genel Teorisi ile yeni bir gravitasyon yasası gerçekleşmiş oldu. Genel görelilik kuramı, Newton un durağan ve sonsuza kadar uzanan değişmez bir evrende bulunan nesnelerin aralarındaki etkileşmeleri veren evrensel gravitasyonel çekim yasası nın yerine, değişen ve genişleyen, mutlak olmayan bir uzayda, ivmeli hareket eden bir evrende geçerli olan çekim yasasıdır. Einstein ın bu kuramı iki ilkeye dayanıyordu: 1. Kütlelerin eşdeğerlik ilkesi: Eşdeğerlik ilkesi, eylemsizlik kütlesinin çekim kütlesine eşit olmasına dayanır. Bütün cisimlerin gravitasyon alanındaki serbest düşme hareketi aynı olup, cisimlerin türüne bağlı değildir. Bu durumda, serbest düşen cisimlerin uzay-zamandaki yolları seçkin eğriler olarak düşünülebilir. Dolayısıyla, cisimlerin serbest düşmesi, yani gravitasyon alanının özellikleri, uzayzaman yasasına bağlanmış olur. Özel görelilikte de serbest hareket eden cisimlerin yolları seçkin eğrilerdir ve geometrik anlamda onlar, uzay-zaman metriğinin jeodezikleridir. Özel görelilikte metrik düz ve sabit olduğu için jeodezikler doğrusal çizgilerdir. Einstein a göre gravitasyonel alanda serbest düşen cisimlerin seçkin yolları da uzay-zaman metriğinin jeodezikleridir ama bu metrik eğri bir metriktir. Eğri metriğin jeodezikleri bir anlamda doğruya en yakın olan eğriler olarak düşünülebilir.. Mach ilkesi: Özel görelilikte uzay-zaman yasası değişmez olarak düşünülür. Ernst Mach ve başka birçok filozof ve bilimciler bu düşünceyi yetersiz buluyordu. Mach, evrendeki madde dağılımının fizikte yerel olarak tanımlanan kavramları etkileyebileceğini düşünüyordu. Einstein, bu fikri kısmen kabul ediyordu. O, uzay-zaman yasasının her zaman sabit kalmayıp, evrendeki maddenin etkisiyle değişebileceğini içeren kuramın, gravitasyonu da betimleyebileceğine inanıyordu.
4 Einstein ın genel görelilik kuramı özetle aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: Genel görelilik, uzay-zamanın iç özelliklerini dört boyutlu uzay-zaman metriğiyle verir. Bu metrik her zaman düz olmak zorunda değildir, eğri bir metriktir. Uzay-zaman metriğinin düzlükten sapması, uzay-zamanın eğriliği ile orantılıdır. Dolaysıyla düzlükten sapma, eğriliğin bir ölçeğidir. Bu eğrilik ise gravitasyonun bir ölçeğidir, yani gravitasyonel olayların nedenidir. Uzay-zamanın eğriliği ve eğriliğindeki madde dağılımının özellikleri arasındaki bağıntı keyfi olmayıp, somut matematiksel denklemlerle ifade edilebilir. Özetle, Einstein, özel görelilik kuramında yalnız uzay-zaman metriğinin mutlak anlam taşıyabileceğini ama gravitasyonel alanda mutlak olamayacağını anlıyor ve böylece genel rölativite doğuyor. Genel görelilik, geometrik bir teoridir; çünkü o, uzay-zaman metriğine dinamik rol verir. Bu geometrinin oluşturduğu eğrilik, kendini, evrende gravitasyonel alanlar olarak gösteriyor. Genel görelilik denklemleri, uzay-zaman geometrisinin ne kadar ve nasıl eğrildiğini ifade eder. Bu denklemler çözülerek, bütün cisimlerin etrafındaki uzay zaman geometrisi ve gravitasyon alanları bulunur. Bu kurama göre; kuvvet kavramının yerini uzay-zaman eğriliği alır. Maddenin bulunduğu ortam, uzay-zaman eğriliğini değiştirir. Genel rölativite, ışığın gravitasyon alanında bükülmesini, gravitasyonel kırmızıya kayma olayını, Newton teorisinin açılayamadığı Merkür ün yörünge hareketini, gravitasyonel dalgaların var olabileceğini ve daha birçok gözlemsel olayı öngörür. Görünüşte bu olaylar deneysel olarak ölçülmüştür ve genel göreliliğin öngörülerinden herhangi bir sapma görünmemektedir. Yalnız gravitasyonel dalgalar henüz gözlenememiştir. Genel rölativite kuramı, bir başka devrimsel kavramı, kara delikler kavramını ortaya koydu. Ayrıca, evren bilim (kozmoloji) alanına da büyük katkılar yaptı.
5
5. EINSTEIN RÖLATİVİSTİK GRAVİTASYON TEORİSİNDE, MADDE İÇİNDEKİ GRAVİTASYON ALANINI VEREN İÇ SCHWARZSCHILD 3 ÇÖZÜMÜNÜN, P( r) r ve ( r) r İLE BELİRLENEN BİR İDEAL AKIŞKAN İÇİN HESAPLANMASI.1. Alan Denklemleri Ve Özellikleri Einstein in rölativistik gravitasyon teorisi şu dört temel özelliğe sahiptir. 1) Gravitasyonun rölativist bir teorisinin alan denklemleri koordinat sistemlerinden bağımsız bir biçimde ifade edilir. ) Bu teoriye yataklık eden uzay-zamanın yapısı dört boyutlu Riemann sal bir uzay-zamandır. 3) Teori, maddenin, uzay-zamanın geometrik yapısına tesirini içerir. 4) Teorinin alan denklemleri ilk yaklaşıklıkta klasik gravitasyon teorisinin alan denklemine (Poisson denklemine) indirgenir. Bu şartlardan ilki genel kovaryans ilkesine eşdeğer olup teorinin tansörel vasfına işaret etmektedir. İkinci şart gerçek gravitasyon alanlarının ancak Riemann sal bir uzay-zaman çerçevesi içinde tutarlı bir şema oluşturacağına dair elde edilen sonucu yansıtmakta ve yerel eşdeğerlik ilkesine dayanmaktadır. Üçüncü şart uzay-zamanının geometrik yapısının, gravitasyon alanı üreteci olan maddeyle belirlenebileceğini ifade etmekte ve, bir bakıma, Mach ilkesinin bir ifadesi olmaktadır. Son şart ise teorinin klasik gravitasyon teorisiyle bağlantılı olmasını, yani bir bakıma klasik teorinin bir genellemesini teşkil etmesini içermektedir. Alan denklemlerinde Mach ilkesi uyarınca geometriyi etkileyen maddesel katkıyı da gene bir tansör aracılığıyla ifade edilir. Bu katkı Poisson denkleminin sağ yanının bir genellemesi olarak düşünülür. Ancak, Özel Rölativite Teorisi den (Ö.R.T. den) de bildiğimiz gibi madde ve enerji alanı T enerji-impuls tansörü aracılığıyla temsil edilebilir. Enerji-impuls tansörünün en önemli özelliğinin korunum özelliği olduğunu, yani diverjansının sıfır olmasıdır.
6 T 0 (.1.1) T tansörüyle temsil olunan madde-enerji dağılımları mekanik, termodinamik ve elektromagnetik özellikleri sahip akışkanlar olarak tasarımlanabilir. Bu özellikler teker teker incelenebildikleri gibi bunların birbirleriyle etkileşmelerini de göz önüne almak mümkündür. Bu görüşü açısından T enerji-impuls tansörünü bir takım ikinci mertebeden tansörlerin toplamı olarak yazılr. (Özemre 198) T pc U U M F Q (.1.) Burada toplam enerji yoğunluğunu U vektörü U U 1 olmak üzere dörtlü-hız vektörünü, basınç ve gerilimler tansörünü, M elektromagnetik enerji tansörünü, F elektromagnetik alanla maddenin etkileşmesini temsil eden tansörü ve Q de termodinamik etkileşme tansörünü göstermektedir. Biz burada T nün ideal bir akışkan için verilen: T c P U U Pg (.1.3) ifadesini kullanacağız. Gravitasyonun rölativist teorisinde alan denklemlerindeki kaynak terimi, diverjansı sıfır olan T tansörüyle temsil olunabileceğine göre maddenin uzayzamanın geometrik yapısı üzerine etkisini belirleyecek olan kısmın da i) uzay-zamanın Riemann sal yapısın yansıtan, ii) Diverjansı özdeş olarak sıfır olan, iii) ikinci mertebeden simetrik bir tansör Aracılığıyla temsil edilmesi gerekir. Bu şartları bir sabit çarpan yaklaşıklığıyla sağlayan tansör R Ricci tansörüdür. Alan denklemleri için artık
7 1 R g R xt (.1.3) yazılabilir. (Özemre 198, Rosen 1971) Bu alan denklemlerinin, eğer varsa, T 0 için çözümlerine iç çözüm T 0 için çözümlerine de dış çözüm adı verilir. (.1.3) alan denklemleri ve x gibi iki sabit ihtiva etmektedirler. Kozmolojik sabit adı verilen ile Einstein sabiti adı verilen x in değerlendirilmesi için, alan denklemlerinin ilk yaklaşıklıkta Poisson denklemine indirgenebilme şartına bakılması suretiyle: 8 G 0 ve 4 c elde edilir. Sonuç olarak alan denklemlerinin nihai şekli de 1 8 G R g R T c 4 (.1.4) ifade edilir. Burada R Ricci tansörü R 0 Şeklinde ifade edilir ve R 0 dış çözümü, R 0 iç çözümü yansıtır. (Özemre 198, Rosen 1971, Sezekeres 1968).. Alan Denklemlerinin İç Schwarzschild Çözümü Einstein in alan denklemlerini incelersek lineer olmayan, ikinci mertebeden kıs- 1 8 G R g R T c 4, 0,1,,3; 0,1,,3 (.1.4) mi türevli 10 diferansiyel denklemden ibaret bir sistem oluşturmaktadır. Bu sistemin
8 genel çözümünü inşa etme olanağı yoktur. Ancak özel hallerde, özel fiziksel ve geometrik şartlar altında sistemin çözümünü bulmak mümkün olur. Bunun için homojen, statik, küresel bir ideal akışkanın iç gravitasyon alanlarını temsil eden, ds ifadesini tesis etmeğe çalışacağız. Eğer g metrik tansörü basit zaman, uzaysal, dik dönüşümlerde invaryant kalırsa, bu takdirde, g nün küresel simetriye sahip olduğu söylenir. Bu tür bir dönüşümler altında g metrik tansörünün sıfırdan farklı bileşenleri e 0 0 0 0 -e 0 0 ( g ) 0 0 -r 0 0 0 0 -r sin (..1) şeklinde yazılır. Gravitasyon alanı temsil eden aşağıdaki gibi ds yay ifadesinin genel şekli ise sin 0 ds e dx r d d e dr (..) olur. (Özemre 198, Voorhees 1970) Şimdi M kütleli küresel, durgun bir ideal akışkanın içinde oluşturduğu statik gravitasyon alanını hesaplamak istiyoruz. Bunun için ds yay ifadesindeki r,t) ve r,t) fonksiyonlarını belirlemek için, Einstein alan denklemlerinden yararlanacağız. Burada seçtiğimiz gravitasyon alan durgun olduğu için, ve ne de fonksiyonu yalnız r ye bağlı olacaktır. İdeal bir akışkan için enerji impuls tansörü (.1.3) ile yazılır. Ayrıca bu ideal T c P U U Pg (.1.3) akışkanımız statik bir yapıya sahip olduğu için, yoğunluğu ile skaler basıncı yalnız radyal koordinatının fonksiyonu olurlar: ( r), = ( r)
9 Cismin içindeki maddenin her noktada durgun olması evrensel dörtlü hız vektörünün 0 bileşenlerini ( U,0,0,0) şeklinde olmasını temin eder. Bundan dolayı da akışkanı oluşturan her bir madde taneciğinin öz-zamanı ile koordinat zamanı arasında 1 0 0 00 00 00 ds g dx g c dt g U (..4) bağıntısı olacaktır. Buradan hareketle, ayrıca, U g U g U g U i 0 0, 0 0 00 00 olduğu kolayca görülür. Buna göre T enerji-impuls tansörü g00 0 0 0 0 g01 g0 g03 0 0 0 0 g g g g 0 0 0 0 g g g g 10 11 1 13 T c P 0 0 0 0 g 0 g 1 g g 3 30 31 3 33 şekline girecektir. Ancak (..1) de gösterilmiş olduğu gibi küresel simetriyi sahip statik bir metriğin en genel şekli (..) ile verildiğinden sahip statik bir akışkan için ifadesi de T nün küresel simetriye T c e 0 0 0 0 P e 0 0 0 0 r 0 0 0 0 r sin (..5) şekline indirgenir. Şimdi amaç, Einstein alan denklemlerinden hareketle, küresel simetriyi sahip statik bir ideal akışkanın içindeki gravitasyon alanını temsil edecek olan metrikteki hareketle e ve e fonksiyonlarını belirlemektir. Bunun için (.1.4) den
10 8 G 1 R T g T 4 c (..6) yazılabileceğine dikkati çekelim.ayrıca da U U 1, ve g 4 olması hasebiyle T T c 3P (..7) olduğunu da kaydederek (..6) denklemlerinin sağ yanlarının sıfırdan farklı terimleri v 1 e T00 g00t c 3P 1 e T11 g11t c P 1 1 T gt c P r 1 1 T33 g33t c P r sin (..8) olur. Öte yandan dış çözüm de Ricci tansörünün R 0 olması yardımıyla denklemin sol tarafı da kolaylıkla hesaplanır: R R R R 00 11 " ' ' ' ' e 4 4 r " ' ' ' ' 4 4 r ' ' r r e 1 1 R sin 33 (..9) Bu ifadelerde gene d / dr ve d / dr şeklinde ifade edilmiştir. Bu veriler çerçevesi içinde ve fonksiyonlarını belirleyen diferansiyel denklemlerin
11 e e e " ' ' ' ' 8 G c 3P 4 4 4 r c " ' ' ' ' 8 G c P 4 4 4 r c ' ' 1 1 8 G c P 4 r r r c (..10.a) (..10.b) (..10.c) den ibaret 3 lineer diferansiyel denklemden oluşan bir sistem olacağı görülmektedir. Buraya dördüncü bir denklemin eklenmeyişinin sebebi (..9) den de görüldüğü gibi R 33 ün, R ile orantılı olması ve dolayısıyla, farklı bir çözüme yol açacak bir denklem oluşturmayışıdır. ( Özemre 198, Hoyle ve Narlıkar 1963, Rosen 1971, Sezekeres 1968, Voorhees 1970).3. P( r) r ve ( r) r 3 Değerlerinin Yerine Koyulması ve İfadesinin Elde Edilmesi ds Yay Problemin çözümü diferansiyel denklemin çözümüyle mümkündür. ve fonksiyonlarını belirleyen, (..10) da ki üç Bunun için öncelikle denklem (..10.a) ve (..10.b) taraf tarafa toplarsak ' ' 8 G e 4 c P r c (.3.1) elde edilir. (..10.a), (..10.c) ve (.3.1) denklemleri kullanılarak ve P 'yi çekmek mümkündür. Bunun için önce (.3.1) denklemi ile (..10.c) denklemi taraf tarafa toplanır ve P çekilir. P. ' 8 G 1 1 e 4 c r r r (.3.) (.3.1) denkleminden (..10.c) denklemi çıkarılıp çekilir. 8G c 1 e ' r 1 r Böylece P ve ' yu çekmiş olduk. Bundan sonra (..10.b) denkleminden (..10.c) denklemini çıkarırsak, (.3.3)
1 ' ' ' '' ' e 1 (.3.4) r 4 r r r 4 elde edilir. Şimdi denklem (.3.) nin türevini alırsak. 8 G dp e c dr r r r r r r 4 3 3 (.3.5) elde edilir.denklem (.3.4)' de ( ) yi çekip, denklem (.3.5)'de yerine yazalı ve r gerekli sadeleştirmeleri yaptıktan sonra, 8 G dp. e 4 c dr r elde edilir. (.3.6) (.3.6) denklemi (.3.1) denklemiyle karşılaştırılırsa, 8 G dp ( ) 8 G c dr r c.. e ( c P) 4 4 dp dr ( c P). (.3.7) olduğu anlaşılır. Şimdi denklem (.3.7) de yerine koyalım. 3 ( r) r, P( r) r yoğunluk ve basınç değerlerini dr dr 3 3 ( r c r ). r ( r c r ). Buradan 4 r c r (.3.8) şeklinde bulunur.
13 Her iki tarafın da integrali alınıp integrasyon sabiti sıfır olarak seçilirse; rc 1 4In (.3.9) r şeklinde bulunur. Burada nün r ye göre değişim grafiği de Şekil:.3.1 de ki gibi olur. Şekil.3.1 nün ( r ) ye göre değişim
14 8G k seçilir ve (.3.8) 'de elde ettiğimiz ( ) değeri denklem (.3.)' de yerine 4 c koyulursa : rc 3 In 4 ( kr 1).( rc 1) (.3.10) şeklinde elde edilir. Burada nın r ye göre değişim grafiği de Şekil:.3. deki gibi olur. Bulduğumuz ve fonksiyonları, (..) de yerine yazılırsa; yay ifadesi nihai şekline aşağıdaki gibi kavuşur. 4 rc 1 0 rc 3 ds dx r d sin dr (.3.11) r 8 G 4 ( r 1).( rc 1) 4 c Şekil.3. nın r ye göre değişim grafiği
15
15 SONUÇ VE TARTIŞMALAR Einstein ın Genel Rölativite Teorisi nin sonucu olarak elde edilen Alan Denklemleri yardımıyla herhangi bir maddenin içindeki gravitasyon alanı tespit edilebilir. Bu yaptığımız çalışmada maddeyi temsil eden enerji-impuls tansörünü en basit haliyle basınç ve yoğunluğun fonksiyonu olarak (.1.3) deki gibi seçtik. Gerçekte ise madde daha bir çok parametrenin (elektromanyetik enerji, elektromanyetik etkileşme, termodinamik etkileşme) fonksiyonudur. Alan denklemlerinin tam çözümü ancak bütün parametrelerin dahil edildiği bir çözümdür. Yalnız bu paremetrelerin dahil edildiği çözümleri yapmak çok zordur. Bu yüzden nisbeten daha kolay bir çözüm olan basınç ve yoğunluğun dahil edildiği ideal akışkan şeması için çözümü yaptık. Böyle bir ideal akışkanın statik olduğunu da kabul edersek. yoğunluğu ile P skaler basıncı yalnızca radyal koordinatının fonksiyonu olurlar. Biz burada, verilen P( r) r ( r) r 3 basınç ve yoğunluk değerleri için, küresel simetriye sahip, statik bir ideal akışkanın içersinde ki gravitasyonel alanını temsil edecek olan, ds yay elemanını (.3.14) deki gibi elde ettik. Burada yay ifadesinde yerine koyulan ve fonksiyonları, böyle bir maddedeki gravitasyonel alanın nasıl değiştiğini gösterir. Bulduğumuz fonksiyonu gravitasyonel alan potansiyelinin, klasik teorideki Newton potansiyeline karşılık gelir. ise potansiyele gelen, gözlenemeyen diğer pertürbasyon katkılarını göstermektedir. Bu fonksiyonların r ye bağlı değişim grafiklerini Şekil.3.1 ve Şekil.3. deki gibi elde ettik. Bu grafikler incelendiğinde, gravitasyonel alan potansiyelinin Newton potansiyelinden saptığı görülür. Bunun sebebi ise Newton gravitasyon alan ifadesin de madde sadece kütle ile temsil edilmektedir. Fakat maddenin yapısını belirleyen basınç ve yoğunluk katkıları yer almamaktadır. Bulduğumuz potansiyeli, uzaklığın artmasıyla birlikte giderek azalarak, sonsuzda sıfıra yaklaştığı görülmektedir. Bu ise tutarlı bir sonuçtur.
16 KAYNAKLAR A.Yüksel Özemre, İ.Ü. 198. Gravitasyonun Rölativist Teorileri, İstambul B. H. Voorhees, Static Axially Symmetric Gravitational Fields, Phys. Rev. D, 119 (1970) F.Hoyle, J.Narlıkar, Proc.Roy.Soc., 73 A, 1, (1963). N.Rosen, Phys. Rev., D3, 317, (1971). P. Sezekeres, Multipole Particles in Equilibrium in General Relativity, Phys. Rev. 176, 1446 (1968) Süleyman Bozdemir, Felsefe, Bilim ve Fizik, TFV Fizik Dergisi, Sayı: 16, Ekim 001 Yalçın Koç; Kuantum Felsefesi Tübitak Bilim ve Teknik dergisi, Sayı: 36, sayfa (-9) Ocak-1995