Kararlı Eşleşme Probleminde Teklifleri Sınırlayarak Sonuçları İyileştirme Üzerine Yeni Bir Yaklaşım: Bir Uygulama Aycan Vargün 1,Mehmet Emin Dalkılıç 2 1 Ege Üniversitesi, Uluslararası Bilgisayar Enstitüsü, İzmir 2 Ege Üniversitesi, Uluslararası Bilgisayar Enstitüsü, İzmir 91130000040@ege.edu.tr mehmet.emin.dalkilic@ege.edu.tr, Özet: Kararlı eşleşme problemi iki küme elemanları arasında kararlı çiftler kümesini bulmayı amaçlayan problemdir. Bu çiftler kümesi, elemanların tercih listelerine bakılarak oluşturulur. Bu iki küme, erkek ve kadınlar kümesi olarak tanımlanabilir. Bu problemi çözen algoritmalardan en bilineni Gale ve Shapley in 1962 de yayınladığı ertelenmiş kabul prosedürüdür[1]. Ancak, algoritmanın erkeklerin teklif yaptığı, kadınların teklifleri değerlendirdiği versiyonunda, erkekler için mümkün olan en iyi ve kadınlar için mümkün olan en kötü sonuç ortaya çıkmaktadır. Algoritmanın kadınların teklif yaptığı, erkeklerin teklifleri değerlendirildiği versiyonunda ise sonuç yukarıdaki durumun simetriğidir. Bu bildiride, Gale- Shapley algoritmasında tekliflerin kabulündeki ölçütleri değiştirerek, sonuçların erkek ve kadınlar için iyileştirilmesi incelenmiştir. Elde edilen sonuçlar çeşitli ölçütler kullanılarak karşılaştırılmıştır. Anahtar Sözcükler: Kararlı Eşleşme, Kararlı Evlilik, Ertelenmiş Kabul Prosedürü. A New Approach to Improve the Results by Restricting Proposals in Stable Matching Problem: An Application Abstract: Stable matching is a problem that aims to find the set of stable pairs between the elements of two sets. This set of pair is created by looking at the preference lists of the elements of sets. These two sets can be identified by men and women sets. The most famous algorithm to solve this problem is the deferred acceptance procedure which was published by Gale and Shapley in 1962. However, when the algorithm is implemented on the form where men propose and women response to pair, the best case for men and the worst case for women are occurred. If the algorithm is implemented on the form where women propose and men response to pair, the result is symmetric to the result above. In this paper, it is analyzed whether the results can be improved for both men and women by modifying Gale-Shapley algorithm by modifying the acceptance procedure. Keywords: Stable Matching, Stable Marriage, Deferred Acceptance Procedure.
1. Giriş Kararlı eşleşme problemi, eşit sayıda eleman içeren iki küme arasında tüm elemanları içeren kararlı bir eşleşme bulmayı amaçlayan problemdir. Kümelerdeki her bir eleman karşı kümedeki elemanlara dair bir tercih listesine sahiptir. David Gale ve Lloyd Shapley 1962 yılında bu problemin mutlaka en az bir adet çözümü olduğunu ispatlamış ve çözüm için bir algoritma sunmuştur[1]. Kümeler N adet kadın ve N adet erkek içeren iki grup olarak düşünüldüğünde ve çift oluşturmak için teklif etme hakkı erkeklere verildiğinde, algoritma erkekler için en iyi sonucu bulmaktadır. Teklif etme hakkı kadınlara verildiğinde ise kadınlar için en iyi çözüm bulunmaktadır. En iyi çözüm kavramı, teklif etme hakkı olan küme için o kümedeki elemanların mümkün olan en iyi tercihleriyle eşleşmesi ve oluşan N adet çiftin kararlı bir küme oluşturması demektir. Erkekler için en iyi olan çözüm kadınlar için en kötü çözümdür. Kadınlar için en iyi olan çözüm ise erkekler için en kötü çözümdür[1]. Bir kararlı eşleşme probleminde üstel sayıda çözüm olabilir[2]. Bu çözümler içinde sadece bir kümedekileri değil, her iki kümedeki elemanları daha çok mutlu edecek çözümler olabilir. Bu bildiri, O(n 2 ) karmaşıklıktaki Gale-Shapley algoritması kullanılarak, O(n 2 logn) karmaşıklıkta bu çözümlerin bazılarını bulan bir yöntem ve o yöntemle hazırlarmış bir algoritma sunmaktadır[3]. 2. Algoritmanın Çalışma Şekli Bir kararlı eşleşme probleminde, bir m erkeği erkekler için en iyi çözümde i. ve kadınlar için en iyi çözümde j. tercihi ile eşleşmiş olsun. Bu durumda m erkeği, diğer tüm çözümlerde de sadece ve sadece i ve j dâhil olmak üzere- i ile j aralığındaki tercihleriyle eşleşebilir. Aynı şey herhangi bir w kadını için de geçerlidir. Gale-Shapley algoritmasında erkekler kadınlara, onları tercih etme sıralarına göre teklif yapar. Kadınlar da gelen teklifleri mevcut eşlerini tercih etme sıralarına bakarak değerlendirir. Ancak çıkan sonuç kadınlar için en kötü sonuçtur. Gale-Shapley algoritmasında kadınların erkeklerden gelen teklifleri değerlendirmesine yeni bir kriter koymak, kadınların durumunu iyileştirici bir sonuç doğurabilir. Örnek bir çalışma Şekil 1 de gösterilmiştir. Algoritmanın ilk turunda, n adet kadın ve n adet erkeğin olduğu bir problemde bir w kadını kendisine bir m erkeğinden teklif geldiğinde, m i kaçıncı olarak tercih ettiğine baksın. m i tercih etme sırası, n tane erkek içinde 0 ile n 2 arasında ise o teklifi incelemeye alsın, n 2 den büyük ise teklifi incelemeden reddetsin. Gale-Shapley algoritması tüm kadınlar için bu sınırlama ile çalıştıktan sonra kararlı bir çözüm buluyorsa, algoritma tekrar çalışsın, ancak kadınlar bu sefer 0 ile n 4 arasındaki tercihlerinden gelen teklifleri değerlendirmeye alsın, n 4'ten büyük tercihlerinden gelen teklifleri incelemeden reddetsin. 0 ile n/4 aralığında çözüm bulamazsa kadınlar 0 ile 3n/8 arasındaki tercihlerinden gelen teklifleri değerlendirsin, diğerlerini reddetsin. Algoritma yine bir çözüm bulamazsa bu sefer kadınlar 0 ile 7n/16 arasındaki tercihlerinden gelen teklifleri değerlendirsin, geri kalanını incelemeden reddetsin. Yeni bir tura geçerken bulunan yeni sınır, sağ sınıra eşitse algoritma sonlansın. İkili arama algoritmasına benzer mantıkla çalışan bu yöntem ile hem erkek, hem de kadınların daha iyi tercihleriyle eşleştiği çözümler ortaya çıkmaktadır.
Şekil 1. Algoritmanın örnek çalışma rotası 2.1 Algoritma Sözde Kodu Şekil 3 Algoritmanın birinci bölümü Algoritma Gale Shapley algoritmasını çalıştırmaktadır. Gale Shapley algoritması sözde kodu Şekil 2 de yer almaktadır. Şekil 4 Algoritmanın ikinci bölümü Şekil 2. Gale-Shapley algoritması sözde kodu Bu bildiriye konu olan yeni algoritma Şekil 3 ve Şekil 4 te yer almaktadır. Şekil 3 ye Gale- Shapley algoritmasının O(logn) kere çalışmasına neden olan döngü yer almaktadır. Algoritma sağ ve sol sınırları kullanarak ikili arama algoritmasına benzer şekilde çalışmaktadır. Şekil 4 te ise Gale-Shapley algoritmasında değişiklik yapılarak, kadınlar için yeni kriter eklenmiş sözde kod yer almaktadır. 2.2 Algoritmanın Örnek Bir Probleme Uyarlanması
Bu algoritma McVitie ve Wilson ın bir makalesinde yer alan kararlı eşleşme problemi üzerinde çalıştırılmıştır [4]. Problemin 9 tane kararlı çözümü bulunmaktadır. Çözümler ve kadın ile erkeklerin tercih listeleri Şekil 5 te yer almaktadır. Algoritma bu problem üstünde önce erkeklerin teklif ettiği, kadınların ise teklifleri değerlendiği biçimde implemente edilmiştir. Algoritma üç tur devam etmiş ve sonlanmıştır. İlk turda S 2, ikinci turda S 5 çözümü bulunmuştur. Üçüncü turda çözüm
bulunmamıştır. Dördüncü turda ise orta ile sağ sınır eşitlenmiş ve algoritma sonlanmıştır. Tercihleri içeren matris ile algoritmanın sonucu Şekil 6 da yer almaktadır. Bu algoritma aynı problem üstünde kadınların teklif ettiği, erkeklerin ise teklifleri değerlendirdiği şekilde implemente edildiğinde, ilk turda çözüm bulunamamıştır. İkinci, üçüncü ve dördüncü turda S 8 bulunmuştur. Beşinci turda orta ve sağ sınır eşitlenmiş ve algoritma sonlanmıştır. Bu çözüm de Şekil 7 de yer almaktadır. İçinde erkeklerin teklif yaptığı ve kadınların teklif değerlendirme kriteri değiştirilen yeni algoritma (kısaca Sınırlandırmalı EO) Algoritmalar kadınların teklif yaptığı şekilde de uyarlanabilir. Ancak, burada hem erkek hem kadınların tercih listeleri için tekdüze dağılım kullanıldığından, sonuçlar benzer çıkacaktır. Bu yüzden burada sadece erkeklerin teklif yaptığı algoritmaların denenmesi yeterli görülmüştür. Algoritmaların değerlendirilmesinde çeşitli 3.Algoritmaların Çalıştırılması Gale-Shapley algoritması ve bu yeni algoritma, sonuçları bağlamında karşılaştırılmıştır. Bunun için iki algoritma implemente edilmiştir: İçinde erkeklerin teklif yaptığı Gale- Shapley algoritması, (erkekler için optimal çözümü bulduğundan kısaca EO) ölçütler kullanılabilir. Bunlardan en önemlileri: Rank toplamları: Eğer bir çözümdeki çiftlerde eşlerin birbirlerini tercih etme sıralarının toplamı tüm çözümler içinde en küçük ise o çözüme eşitlikçi çözüm denir. Μ bir problemdeki tüm çözümler kümesi, mr bir m erkeğinin w kadınını tercih etme sırası ve wr bir w kadının m erkeğini tercih etme sırası olmak üzere,
bir M i Μ için, sm(m i )= mr(m,w) ve sw(m i )= wr(m,w) iken, Bir kararlı eşleşme M i için ve M j Μ için, min sm(m i )+sw (M i ) ise M i bu problemin eşitlikçi çözümüdür[5]. Rank farkları: Eğer bir çözümdeki çiftlerde eşlerin birbirlerini tercih etme sıralarının farklarının toplamı tüm çözümler içinde en küçük ise o çözüme cinsiyet eşitlikçi çözüm denir. Μ bir problemdeki tüm çözümler kümesi, mr bir m erkeğinin w kadınını tercih etme sırası ve wr bir w kadının m erkeğini tercih etme sırası olmak üzere, sm(m i )= mr(m,w) ve sw(m i )= wr(m,w) iken, Bir kararlı eşleşme Mi için ve M i Μ için, min sm(m i )-sw (M i ) ise M i bu problemin cinsiyet eşitlikçi çözümüdür [5]. sonra ortalama kullanılarak standart sapma bulunur. Bu ölçütün amacı, sonuçların ne kadar homojen olduğunu ölçmektir. Sonuçların yer aldığı grafiklerde yatay eksen problemdeki N yani erkek sayısıdır, aynı sayıda da kadın vardır. Dikey eksen ise her bir N için 10 farklı problemden elde edilen sonuçların ortalamalarıdır. 3.1 Rank Toplamları ile İlgili Sonuçlar Şekil 8 de erkek ve kadınların eşlerinin rank ortalamaları bulunmaktadır. Örneğin Erkeklerde Aritmetik Ortalama başlıklı grafikte N=640 iken 640 kadın ve 640 erkeğin olduğu 10 adet problem yaratılmıştır. EO ve Sınırlandırmalı EO algoritmaları çalıştırılmıştır. EO ve Sınırlandırmalı EO algoritmalarının buldukları tüm çözümler kaydedilmiştir. Çözümlerde erkeklerin eşleştiği kadınlar, o erkeklerin kaçıncı tercihi ise bunun ortalaması alınmıştır. Örneğin Gale-Shapley, yani EO algoritması Standart sapma: Bu iki ölçütün yanı sıra ortaya çıkan çözümlerde eşlerin birbirlerini tercih etme sıralarının standart sapmasına da bakılabilir. Örneğin bir çözümde N erkek ve N kadının oluşturduğu N adet çiftte, kadınların eşleştiği erkekleri tercih etme sıraları alınır, ortalaması bulunur ve daha çalıştırıldığında erkekler ortalama olarak 5,18. tercihi ile eşleşmiştir. Sınırlandırmalı EO algoritmasının bulduğu sonuçlarda ise erkekler yaklaşık olarak 84,67. tercihleri ile eşleşmiştir. Şekil 9 da Şekil 8 deki grafiklerin tablosu yer almaktadır.
Erkeklerde Standart Sapma Ortalaması, kadınların eşleştiği kişilerdeki standart sapma Kadınlarda Standart Sapma Ortalaması başlıklı grafiklerde yer almaktadır. Şekil 9 Erkek ve kadınlarda aritmetik ortalama tablosu Grafiklerde görüldüğü üzere erkekler EO algoritmasında, açık ara çok daha iyi tercihleri ile eşleşmişlerdir. Kadınlar için ise durum vahimdir. Sınırlandırmalı EO algoritmasının bulduğu sonuçlar ise kadınların durumunu çok fazla iyileştirmiştir, hatta kadınlar için optimal çözüme varmıştır. Şekil 10 Kadın ve erkeklerin eşleştiği kişilerin rank farkı ortalaması 3.2 Rank Farkları ile İlgili Sonuçlar Bu ölçütte her iki algoritma da neredeyse benzer sonuç vermiştir. Kadın ve erkeklerin eşleştiği tercihlerin rank değerleri aradaki fark EO algoritmasında biraz daha fazladır. 3.3 Standart Sapma ile İlgili Sonuçlar Standart sapma ile ilgili sonuçlar Şekil 11 de yer almaktadır. Bulunan çözümlerde erkeklerin eşleştiği kişilerdeki standart sapma EO algoritmasının bulduğu çözümlerde erkeklerin eşlerini tercih etme sıraları arasındaki standart sapma küçüktür. Sınırlandırmalı EO algoritmasında ise bu durum tam tersidir. Kadınların eşleştiği kişileri tercih etme sıraları arasındaki standart sapma küçüktür. Yani EO algoritması erkekler için daha homojen bir çözüm üretmiştir. Sınırlandırmalı EO algoritması ise kadınlar için daha homojen bir çözüm üretmiştir. 4. Sonuç ve Öneriler Bu bildiride iki algoritma sonuçları bağlamında çeşitli ölçütlerle karşılaştırılarak incelenmiştir. Birinci ölçüt göstermiştir ki EO algoritması erkekler için en iyi sonucu bulurken sınırlamalı EO algoritması kadınlar için daha iyi olan sonuçları bulmuştur. Sınırlandırmalı EO algoritmasının bulduğu sonuçlara EO algoritması da dâhildir. Bu durum, Sınırlandırmalı EO algoritmasının sonuç ortalamalarını kadın optimal sonuca yaklaştırmaktadır. İkinci ölçüt, kadın ve erkeklerin eşleştiği tercihlerin arasındaki farkların toplamını bulma ölçütüdür. Buna göre, her iki algoritma birbirine yakın sonuç vermektedir. Az bir farkla EO algoritmasında fark daha büyük çıkmıştır. Farkların benzer çıkmasının nedeni Sınırlamalı EO algoritmasının kadın optimal çözüme yakın çözümler bulması ve bu çözümlerin erkek optimal çözümün simetriği olmasıdır. Farkın EO ya göre biraz daha az olmasının nedeni ise, bulduğu ara çözümlerin erkek ve kadınların durumunu birbirine yaklaştırmasıdır.
Son ölçüt ise standart sapma ölçütüdür. EO algoritmasının bulduğu çözümde, erkeklerin eşleştiği tercihlerin arasındaki standart sapma az çıkmıştır. Bu durum Sınırlamalı EO algoritmasının tam tersidir. Sınırlamalı EO, kadın optimal çözüme yakın çözümler bulduğundan, kadınların eşleştiği tercihler arasındaki standart sapma daha az çıkmıştır. Aslında EO ile Sınırlamalı EO algoritmaları birbirine simetrik denilebilecek çözümler bulmuştur. Bu ölçütlere her iki kümede eşleşilen en kötü tercih, en iyi tercih gibi yenileri eklenebilir. Sınırlamalı EO algoritmasında, EO algoritmasına konulan kriter tüm oyuncular için ayrı ayrı belirlenebilir ve yeni bir kriter tanımlanabilir. Variants, Informatics Education and Research for Knowledge-Circulating Society, 2008. ICKS 2008. International Conference on. IEEE, 131-136 (2008). [4] Mcvitie, d., and Wilson, l., The Stable Marriage Problem, Magazine Communications of the ACM, 14:486-490 (1971). [5] Vien N.A., Viet N.H., Kim H., Lee S., Chung T., Ant Colony based Algorithm for Stable Marriage Problem, Advances and Innovations in Systems, Computing Sciences and Software Engineering, Springer Netherlands, 457-461 (2007). 5. Kaynaklar [1] Gale, D. and Shapley, L.S., "College Admissions and the Stability of Marriage", The American Mathematical Monthly, 69(1):9-15 (1962). [2] Knuth, D.E., "Mariages Stables", Les Presses de l UniversitB de Montreal, Montreal, (1976). [3] Iwama, K. and Miyazaki, S., A Survey of the Stable Marriage Problem and Its