SAYISAL ANALİZ Mtris ve Determinnt Syısl Anliz
MATLAB ile Temel Mtris İşlemleri Genel Mtris Oluşturm Özel Mtris Oluşturm zeros komutu ile sıfırlr mtrisi ones komutu ile birler mtrisi eye komutu ile birim mtris dig komutu ile köşegen mtris rnd komutu ile rsgele mtris Mtrisler Üzerinde Temel İsttiksel İşlemler sum komutu ile toplm prod komutu ile çrpm sort komutu ile küçükten büyüğe sırlm mx komutu ile en büyük değeri bulm min komutu ile en küçük değeri bulm men komutu ile ortlm değer bulm size komutu ile stır ve sütun syısını elde etme length komutu ile mtristeki elemn syısını bulm std komutu ile mtristeki değerlerin stndrt spmsını hesplm Mtris Özellikleri Mtris Çrpımı Çlışm Sorulrı Syısl Anliz
GENEL MATRİS İŞLEMLERİ mtris oluşturm ve mtris elemnlrın erişim 3 frklı şekilde mtris tnımlnbilir... >> A = [ 3 4 5 6 7 8 9 ] A = 3 4 5 6 7 8 9 >> A = [ 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ] A = 3 4 5 6 7 8 9 >> B(,)=, B(,)=, B(,)=3, B(,)=4 B = 3 4 Mtris İndeksleme ve Kolon (:) Notsyonu % A mtrisinin. Elemnını ver >> A ( ) 4 % A mtrisinin 4. Elemnını ver >> A ( 4 ) >> A ( :, ) 5 8 >> A (, : ) 4 5 6 >> A ( :, [ 3 ] ) 3 5 6 8 9 Syısl Anliz 3
ÖZEL MATRİSLER zeros komutu ile sıfırlr mtrisi oluşturm Tüm elemnlrı sıfır oln mtristir. Belirtilen boyutt sıfır mtris oluşturur. zeros (stır, sütun) oluşturulck mtrisin stır ve sütun syısı (boyutu) % Mtlbd 3x3 boyutun ship sıfırlr mtrisinin oluşturulmsı >> zeros(3) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 % Mtlbd x4 boyutun ship sıfırlr mtrisinin oluşturulmsı >> zeros(,4) 0 0 0 0 0 0 0 0 Syısl Anliz 4
ÖZEL MATRİSLER ones komutu ile birler mtrisi oluşturm Tüm elemnlrı bir oln mtristir. Belirtilen boyutt birler mtrisi oluşturur. ones (stır, sütun) oluşturulck mtrisin stır ve sütun syısı (boyutu) % Mtlbd 4x4 boyutun ship birler mtrisinin oluşturulmsı >> ones(4) % Mtlbd x3 boyutun ship birler mtrisinin oluşturulmsı >> ones(,3) Syısl Anliz 5
ÖZEL MATRİSLER eye komutu ile birim mtris oluşturm Kre mtris içerisinde sol üst köşeden sğ lt köşeye doğru bir çizgi çizildiğinde, çizgi üzerindeki elemnlrı bir, diğer tüm elemnlrı sıfır oln mtris oluşturur. eye (boyut) oluşturulck kre mtrisin stır ve sütun syısı (boyutu) % Mtlbd 3x3 boyutun ship birim mtrisin oluşturulmsı >> eye(3) 0 0 0 0 0 0 % Kre mtris dışınd 3x4 boyutun ship birim mtrisin oluşturulmsı >> eye(3,4) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Syısl Anliz 6
ÖZEL MATRİSLER dig komutu ile köşegen mtris oluşturm dig (istenilen syılr, yerleştirilmeye bşlnılck sütun) Elemnlrı 0 vey birinci stırın istenilen sütunundn bşlmk kydı ile sğ lt köşeye doğru istenilen syı değerlerinden oluşn kre mtristir. dig komutunun birden fzl frklı kullnımı mevcuttur. % Mtlbd x boyutun ship köşegen mtrisin oluşturulmsı >> dig() % Mtlbd x boyutun ship elemn değerleri sıfır oln köşegen mtrisin oluşturulmsı >> dig(0,) 0 0 0 0 % Mtlbd x boyutun ship elemn değerlerinden biri 3 oln köşegen mtrisin oluşturulmsı >> dig(3,) 0 3 0 0 % Mtlbd 3x3 boyutun ship elemn değerlerinden biri 3 oln köşegen mtrisin oluşturulmsı >> dig(3,) 0 0 3 0 0 0 0 0 0 Syısl Anliz 7
% Mtlbd 3x3 boyutun ship köşegen mtrisin oluşturulmsı >> dig([ 3]) 0 0 0 0 0 0 3 % vey >> dig([ 3],0) 0 0 0 0 0 0 3 % Mtlbd 4x4 boyutun ship köşegen mtrisin oluşturulmsı >> dig([ 3],) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 % Mtlbd 6x6 boyutun ship köşegen mtrisin oluşturulmsı >> dig([ 3],3) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Syısl Anliz 8
ÖZEL MATRİSLER rnd komutu ile rsgele mtris oluşturm Elemnlrı rsgele syılrdn oluşn mtristir. Rnd komutu 0 ile rlığınd rsgele syı üretir. rnd (stır, sütun) oluşturulck mtrisin stır ve sütun syısı (boyutu) % Mtlbd 4x4 boyutun ship rsgele mtrisin oluşturulmsı >> rnd(4) 0.847 0.634 0.9575 0.957 0.9058 0.0975 0.9649 0.4854 0.70 0.785 0.576 0.8003 0.934 0.5469 0.9706 0.49 % Mtlbd 3x boyutun ship rsgele syılrdn oluşn mtrisin tnımlnmsı >> rnd(3,) 0.48 0.9595 0.957 0.6557 0.79 0.0357 Syısl Anliz 9
ÖZEL MATRİSLER rnd komutu ile rsgele mtris oluşturm Eğer rsgele syının 0- rlığının dışınd olmsı istenirse üretilen rsgele syı sbit bir değer ile toplnmlı y d çrpılmlıdır. % Sbit 5 syısı ile Mtlbd üretilen x4 boyutun ship rstgele mtrisin toplnmsı >> 5 + rnd(,4) 5.849 5.9340 5.6787 5.7577 % Sbit 0 syısı ile Mtlbd üretilen x7 boyutun ship rstgele mtrisin çrpılmsı >> 0*rnd(,7) 7.433 3.93 6.5548.79 7.0605 0.383.769 Syısl Anliz 0
MATRİSLER ÜZERİNDE TEMEL İSTATİKSEL İŞLEMLER sum komutu ile toplm Tnımlnn mtrisin ship olduğu sütunlrdki elemn değerlerini yrı yrı toplyrk stır vektörüne dönüştürür. sum (mtris) her bir sütunu yrı yrı toplnrk stır vektör oluşck mtris % Mtlbd P mtrisinin oluşturulmsı >> P = [ 4 3 5; - 3 7 0 -; 9-3 6 4] P = 4 3 5-3 7 0-9 -3 6 4 % Mtlbd P mtrisinden stır vektörünün oluşturulmsı >> sum(p) 8 7 8 9 8 Syısl Anliz
MATRİSLER ÜZERİNDE TEMEL İSTATİKSEL İŞLEMLER sum komutu ile toplm Eğer mtris tek bir sütun y d tek bir stırdn oluşuyors elemnlrın toplmını verir. % Mtlbd R stır mtrisinin oluşturulmsı >> R = [ 4 3 5 ]; % R mtrisinin ship olduğu elemnlrının toplmı >> sum(r) 5 % Mtlbd S sütun mtrisinin oluşturulmsı >> S = [ 4 6 8 0 ]'; % vey S = [ ; 4 ; 6 ; 8 ; 0 ; ] % S mtrisinin ship olduğu elemnlrının toplmı >> sum(s) 4 Syısl Anliz
MATRİSLER ÜZERİNDE TEMEL İSTATİKSEL İŞLEMLER prod komutu ile çrpm Sum komutu gibi bir mtrisin ship olduğu sütunlrdki elemn değerlerini yrı yrı çrprk stır vektörüne dönüştürür. prod (mtris) her bir sütunu yrı yrı çrpılck stır vektör oluşck mtris % Mtlbd p vektörünün tnımlnmsı ve sonucu >> p=[ 3 4 5] p = 3 4 5 % prod komutu ile syı değerlerinin birbiriyle çrpım sonucunun bulunmsı >> prod(p) 0 % Mtlbd u mtrisinin tnımlnmsı ve sonucu >> u=[ 3 ; 3 4; 3 4 5] u = 3 3 4 3 4 5 % prod komutunun kullnımı ile ilgili işlemin gerçekleştirilmesi >> prod(u) 6 4 60 Syısl Anliz 3
MATRİSLER ÜZERİNDE TEMEL İSTATİKSEL İŞLEMLER sort komutu ile küçükten büyüğe sırlm Bir stır y d sütun vektörünün ship olduğu elemn değerlerinin en küçükten en büyüğüne doğru sırlr. Kısc - dn + doğru sırlr. sort (mtris) elemnlrı sırlnck mtris % Tnımlnn stır vektöründeki syılrın küçükten büyüğe doğru sırlnmsı >> sort([ -3 0 7 -]) % B mtrisinin tnımlnmsı >> B=[ 4 9; - 5 3 7; 5 7 4 ] B = -3-0 7 % Tnımlnn sütun vektöründeki syılrın küçükten büyüğe doğru sırlnmsı >> sort([0; 5; -; 4; ]) 4 9-5 3 7 5 7 4 % B mtrisin sütunlrının kendi içinde küçükten büyüğe doğru sırlnmsı >> sort([ 4 9; - 5 3 7; 5 7 4 ]) - 0 4 5-3 5 4 7 5 7 4 9 Syısl Anliz 4
MATRİSLER ÜZERİNDE TEMEL İSTATİKSEL İŞLEMLER mx komutu ile en büyük değeri bulm Bir stır y d sütun vektörünün ship olduğu elemn değerlerinin rsınd en büyük syı değerini verir. mx (mtris) elemnlrı rsınd en büyük syı değeri bulunck mtris % Tnımlnn stır vektörü içinden en büyük syı değerinin seçimi >> mx([ -3 0 7 -]) 7 % A mtrisinin tnımlnmsı >> A = [ 4 9; - 5 3 7; 5 7 4 ] A = 4 9-5 3 7 5 7 4 Bu komut ile bir elektrik devresinde elde edilen kım vey gerilim değişimlerine it sinyllerin mksimum değerleri bulunbilir. % Tnımlnn mtrise it en büyük syı değerinin seçimi >> mx(a) 5 7 4 9 Syısl Anliz 5
MATRİSLER ÜZERİNDE TEMEL İSTATİKSEL İŞLEMLER min komutu ile en küçük değeri bulm Bir stır y d sütun vektörünün ship olduğu elemn değerlerinin rsınd en küçük syı değerini verir. min (mtris) elemnlrı rsınd en küçük syı değeri bulunck mtris % Tnımlnn stır vektörü içinden en küçük syı değerinin seçimi >> min([ -3 0 7 -]) -3 % A mtrisinin tnımlnmsı >> A = [ 4 9; - 5 3 7; 5 7 4 ] A = 4 9-5 3 7 5 7 4 Bu komut ile bir elektrik devresinde elde edilen kım vey gerilim değişimlerine it sinyllerin minimum değerleri bulunbilir. % Tnımlnn mtrise it en küçük syı değerinin seçimi >> min(a) - 3 Syısl Anliz 6
MATRİSLER ÜZERİNDE TEMEL İSTATİKSEL İŞLEMLER men komutu ile ortlm değer bulm Bir mtrisin ritmetik ortlmsını verir. Bir stır y d sütun vektörünün ship olduğu elemn değerlerinin toplmını elemn syısın bölerek ortlm değerini verir. men (mtris) elemnlrının ortlm değeri bulunck mtris % Tnımlnn stır vektörünün ortlm değerinin men komutu ile hesbı >> men([ 3 4 6]) 3.000 % Tnımlnn sütun vektörünün ortlm değerinin men komutu ile hesbı >> men([4; 6; ; 3; 9]) 4.8000 % A mtrisinin tnımlnmsı >> A = [ 4 9; - 5 3 7; 5 7 4 ] A = 4 9-5 3 7 5 7 4 % Tnımlnn mtrise it ortlm değerlerin men komutu ile hesbı >> men(a).3333 4.6667 3.6667 5.6667 Bu komut ile bir elektrik devresinde elde edilen kım vey gerilim değişimlerine it sinyllerin ortlm değeri bulunbilir. Syısl Anliz 7
MATRİS ÜZERİNDE TEMEL İSTATİKSEL İŞLEMLER std komutu ile bir mtrisin elemnlrının stndrt spmsı Bir mtrisin elemnlrının stndrt spmsını verir. std (mtris) stndrt spmsı elde edilecek mtris s n = n k = ( x k x) / % Mtlbd B mtrisinin tnımlnmsı >> B = [ 3 4; 4 6 8]; % Mtlbd stndrt spm işlemi >> std (B) 0.707.44.3.884 Syısl Anliz 8
MATRİS ÜZERİNDE İŞLEMLER size komutu ile bir mtrisin stır ve sütun syısını elde etme Bir mtrisin kç stır ve kç sütundn oluştuğunu verir. Verdiği ilk değer stır, ikinci değer sütun syısını gösterir. size (mtris) stır ve sütun syısı elde edilecek mtris % Mtlbd H mtrisinin tnımlnmsı ve sonucu >> H = [:0.5:4 ; -:0.:0. ; 4:-0.:3.4] H =.0000.5000.0000.5000 3.0000 3.5000 4.0000 -.0000-0.8000-0.6000-0.4000-0.000 0 0.000 4.0000 3.9000 3.8000 3.7000 3.6000 3.5000 3.4000 % H mtrisinin stır ve sütun syısı >> size(h) 3 7 % ilk değer stır (3) ikinci değer sütun (7), 3x7 boyutlu mtris Syısl Anliz 9
MATRİS ÜZERİNDE İŞLEMLER length komutu ile bir mtrisin elemn syısını elde etme Bir mtrisin stır ve sütun syısının büyük oln değerini verir. mx(size(mtris)) komutu d ynı işlevi yerine getirir. length (mtris) elemn syısı elde edilecek mtris % Mtlbd A mtrisinin tnımlnmsı ve sonucu >> A = [ 3; 4 5 6; 7 8 9] A = 3 4 5 6 % x3 A mtrisinin sütun syısını verir >> length(a) 3 Syısl Anliz 0
Bir Mtrisin Trnspozesinin Alınmsı Trnspoze (devrik) bir mtrisin stırlrının sütun şeklinde yzılmsıdır. Mtris şeklinde lınır % C mtrisinin tnımlnmsı >> C=[- - 4;6-3 -;4 ] C = Örnek: 6 3 4 4 C = - - 4 6-3 - 4 >> C' % trnspoze işlemi - 6 4 - -3 4 - Syısl Anliz
Mtris Özellikleri Trnspozesi kendine eşit oln kre mtrise simetrik mtris denir (A=A T ) Köşegen elemnlrındn bşk diğer elemnlrı sıfır oln kre mtrise köşegen mtris denir. Kre bir mtrisin köşegeninin üstündeki elemnlr sıfırs mtrise lt üçgensel mtris, köşegeninin ltındki elemnlr sıfırs mtrise üst üçgensel mtris denir. Determinntının değeri sıfır eşit oln mtrise Singüler Mtris denir. Köşegen vey köşegene göre simetrik olck şekilde belli sırlrı sıfırdn frklı oln mtrise Bnd Mtris denir. Trnspozesi tersine eşit oln mtrise Ortogonl Mtris denir. (A T = A - ) Syısl Anliz
Syısl Anliz 3 Mtris Çrpımı A*B mtris işlemi için A nın sütun syısı ile B nin stır syısı ynı olmlıdır. c ij = i b j + i b j +... + ip b pj, i m ; j n işlemini ypmk yeterlidir. Mtris çrpımının birleşme özelliği vrdır: A, B ve C çrpımı gerçekleşecek büyüklükte mtrisler ise A (B C) = (A B) C dir. Mtris çrpımının değişme özelliği yoktur: AB BA oln mtrisler vrdır. Mtris çrpımının toplm işlemi üzerinde dğılm özelliği vrdır: A, B ve C mtrisleri için, A (B + C) = (A B) + (A C ), (A + B) C = (A C) + (B C) eşitlikleri geçerlidir. C= A*B = * = mn mj m in ij i n j c c c c c c c c c mp m m ip i i p pn pj p in ij i n j b b b b b b b b b
Mtris Çrpımı Akış Diygrmı Bşl N, M MATLAB t kodlyınız. T = 0 i=0, i < = N-, i++ j=0, j<= M-,ji++ A[i][j], B[j][i] i=0, i < = N-, i++ j=0, j <= M-, j++ C[i][j] = 0 k=0, k <= M-, k++ Dur C[i][j] C[i][j] = C[i][j] + A[i][k]*B[k][j] Syısl Anliz 4
Çlışm Sorulrı Klvyeden girilen mxn boyutlu bir mtrisin trnspozunu ekrn yzdırn progrmı MATLAB t yzınız. nxn boyutlu bir mtrisi lt üçgensel mtris, üstr üçgensel mtris vey köşegen mtris olrk ekrn yzdırn progrmın kış diygrmını çiziniz ve MATLAB t yzınız. 5 Syısl Anliz
Determinnt İşlemleri Determinnt ve det komutu ile mtrisin determinntı Determinnt Özellikleri Srrus Yöntemi ile Determinnt Alm Seçilen Bir Stır y d Sütun Göre Determinnt Alm Diğer Mtris İşlemleri inv komutu ile mtrisin tersi 6 Syısl Anliz
Determinnt ve det komutu ile bir mtrisin determinntını lm Elemnlrı reel syılr oln nxn tipindeki kre mtrislerin kümesinden, reel syılr kümesine tnımlnn fonksiyon, determinnt fonksiyonu denir. A kresel mtrisinin determinntı, det A vey A ile gösterilir. det (mtris) determinntı hesplnck mtris C Örnek: 4 = 6 3 4 % C mtrisinin tnımlnmsı >> C=[- - 4;6-3 -;4 ] C = - - 4 6-3 - 4 % det komutu ile C mtrisine it determinnt >> det(c) 00 Syısl Anliz 7
Determinnt Özellikleri Bir k reel syısı ile A mtrisinin bir stırının çrpılmsı, A mtrisinden elde edilen bir B mtrisi için det B = k. det A dır. Eğer B mtrisi, A mtrisinin stırlrının yer değiştirilmesi ile A dn elde edilen bir mtris ise, dır. det B = det A Birim mtrisin determinntı det I = dir. Bir köşegen mtrisin determinntı mtrisin köşegen elemnlrının çrpımın eşittir. Syısl Anliz 8
Determinnt ve Özellikleri Bir stır vey bir sütunun tüm elemnlrı sıfır oln mtrislerin determinntı sıfırdır. Herhngi iki stır vey iki sütunun elemnlrı eşit oln mtrisin determinntı sıfırdır. Herhngi iki stır vey iki sütunun elemnlrı orntılı oln mtrisin determinntı sıfırdır. Herhngi iki stır vey iki sütunun yerleri değişirse determinntının işreti değişir. Bir kre mtrisin determinntı ile trnspozunun determinntı eşittir. Kre mtrislerin çrpımlrının determinntı, bu mtrislerin determinntlrı çrpımın eşittir. Bir kre mtrisin kuvvetinin determinntı, determinntının kuvvetine eşittir. Bir kre mtrisin çrpmy göre tersinin determinntı, determinntının tersine eşittir. stırı ynı değerlere ship mtrisin determinntı 0 dır. Bir stırının tüm elemnlrı 0 oln mtrisin determinntı 0 dır. Syısl Anliz 9
Srrus Yöntemi ile Determinnt Alm Kre (stır ve sütün syısı eşit) mtrislerde kullnılır. (x vey 3x3) A = A = Örnek: x mtrisin determinntı, Sol üst köşedeki elemnın değeri ile sğ lt köşedeki elemnın değerinin çrpımındn, sol lt köşedeki elemnın değeri ile sğ üst köşedeki elemnın değerinin çrpımı çıkrılrk bulunur. = Syısl Örnek: 3 B = = 4 B 3 = 4 3 = 8 3 = 5 4 % B mtrisinin tnımlnmsı >> B=[ 3; 4] B = 3 4 % B mtrisine it determinnt hesbı >> determinnt=b(,)*b(,)-b(,)*b(,) determinnt = 5 Syısl Anliz 30
Srrus ile 3x3 lük Mtrisin Determinntı C = 6 4 3 4 Stır ekleme y d sütun ekleme ypılrk determinnt bulunbilir. C = 6 4 6 3 3 4 4 4 (-3) 4 =-48 (-) (-)=4 6 (-) =- - (-3) = 6 4 =4-48+4- =-56 44-(-56) =00 +4+8 =44 Stır ekleyerek; İlk stır, 4 ve 5. stır olrk eklenir Sol köşegen çrpımlrının toplmındn sğ köşegen çrpımlrının toplmı çıkrılrk determinnt bulunur 4 (-) (-) =8 Syısl Anliz 3
Syısl Anliz 3 Srrus ile 3x3 lük Mtrisin Determinntı = 4 3 6 4 C Sütun eklemede ise, ilk sütun, 4 ve 5. sütun olrk eklenir Sol köşegen çrpımlrının toplmındn sğ köşegen çrpımlrının toplmı çıkrılrk determinnt bulunur (-48) + 4 + (-) = -56 + 8 + 4 = 44 44-(-56) =00 4 3 6 4 3 6 4 = C
Seçilen Bir Stır y d Sütun Göre Determinnt Alm Minör ve Kofktör kullnılrk determinnt hesplnır. Bir kre mtrisin bulunduğu ij elemnının i nci stır ve j nci sütunu tıldığınd geriye kln M ij mtrisinin determinntın ij elemnının küçüğü (minörü) denir. A ij = (-) i+j M ij syısın ij elemnının eşçrpnı (kofktörü) denir. Örnek: 3x3 mtrisin determinntı, Bir stır yd sütun seçiniz Kofktörleri hespl A = 3 3 3 3 33 A + = ( ) 3 3 33 Determinnt ifdesini yz A + A 3 A3 A = + A + = ( ) 3 3 33 A + 3 3 = ( ) 3 3 Syısl Anliz 33
Seçilen Bir Stır y d Sütun Göre Determinnt Alm - Örnek - Bir stır yd sütun seçiniz C = 6 4 3 4 Determinnt ifdesini yz C = ( ) + 3 + 6 + 3 6 3 ( ) + ( ) ( ) + 4 ( ) 4 4 3 6 6 3 C = ( ) ( ) + 4 4 4 = ( ) ( 6 + ) + ( + 8) + 4 (6 + ) = 8 + 0 + 7 = 00 Syısl Anliz 34
Seçilen Bir Stır y d Sütun Göre Determinnt Alm - Örneğin MATLAB ile Çözümü - % C mtrisinin tnımlnmsı >> C=[- - 4;6-3 -;4 ] C = - - 4 6-3 - 4 Soru: Aşğıdki mtrisin. sütunun göre determinntını bulunuz. % C mtrisine it determinnt hesbı >> determinnt=c(,)*(c(,)*c(3,3)-c(3,)*c(,3)) -C(,)*(C(,)*C(3,3)-C(3,)*C(,3)) +C(,3)*(C(,)*C(3,)-C(3,)*C(,)) determinnt = D = 3 4 0 3 5 00 Syısl Anliz 35
DİĞER MATRİS İŞLEMLERİ inv komutu ile bir mtrisin determinntını lm Mtrisin tersini verir. inv (mtris) tersi hesplnck mtris Örnek: % R mtrisinin tnımlnmsı >> R=[3 -; - ; -3-4] R = R = 3 3 4 3 - - -3-4 >> inv(r) % mtrisin tersi 0.88 0.000 0.0545 0.88-0.000-0.455-0.0909 0.000-0.73 Syısl Anliz 36
KAYNAKLAR İlys ÇANKAYA, Devrim AKGÜN, Sezgin KAÇAR Mühendislik Uygulmlrı İçin MATLAB, Seçkin Yyıncılık Yüksel YURTAY, Syısl Anliz Ders Notlrı, Skry Üniversitesi Fhri VATANSEVER, İleri Progrmlm Uygulmlrı,Seçkin Yyıncılık Syısl Anliz 37