Öğretmen Adaylarının Çoklu Temsil Kullanma Becerilerinin Problem Çözme Başarıları Yönüyle İncelenmesi: Belirli İntegral Örneği

DURU / Uyum Zorluklarını Yordamada Yalnızlık, Sosyal Destek ve Sosyal Bağlılık Arasındaki... 111 Öğretmen Adaylarının Çoklu Temsil Kullanma Becerilerinin Problem Çözme Başarıları Yönüyle İncelenmesi: Belirli İntegral Örneği Ali DELİCE*, Eyüp SEVİMLİ** Öz Problem çözme sürecinde, farklı temsilleri kullanmanın, temsiller arası dönüşüm esnekliğine sahip olmanın, kavramsal anlamayı geliştireceği, performansı etkileyebileceği düşünülmektedir. Bu bağlamda belirli integral konusunda kullanılan temsiller ile problem çözme başarıları arasındaki ilişkiye bakılmıştır. Araştırma nitel yorumlayıcı paradigmaya sahip özel durum çalışması olup bir devlet üniversitesinin matematik öğretmenliği ikinci sınıf programına kayıtlı 45 öğrencisi, çalışmanın katılımcılarını oluşturmaktadır. Veri bağlamında ağırlıklı olarak nitel olan çalışmada, çoklu yöntem yaklaşımı kullanılmıştır. Nitel veriler sınıflandırma yöntemiyle analiz edilmiş, betimsel olarak sunulmuştur. Bulgular, öğretmen adaylarının belirli integral problemleri çözme sürecinde çoklu temsil kullanma becerilerinin yeteri kadar iyi olmadığını göstermiştir. Tek temsil baskınlığıyla çözüme ulaşmaya çalışan adayların temsil dönüşüm becerilerinin zayıf, problem çözme başarılarının da düşük düzeyde olduğu belirlenmiştir. Çalışma bulguları alan yazın ışığında tartışılarak problem çözme başarısını arttırabilecek çeşitli önerilerde bulunulmuştur. Anahtar Kelimeler Belirli İntegral, Çoklu Temsiller, Problem Çözme Başarısı. * Marmara Üniversitesi Atatürk Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü Öğretim Üyesi. ** Marmara Üniversitesi Atatürk Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü Araştırma Görevlisi. Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri / Educational Sciences: Theory & Practice 10 (1) Kış / Winter 2010 111-149 2010 Eğitim Danışmanlığı ve Araştırmaları İletişim Hizmetleri Tic. Ltd. Şti.

112 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Yrd. Doç. Dr. Ali DELİCE Marmara Üniversitesi Atatürk Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü Matematik Öğretmenliği ABD 34722 Kadıköy, İSTANBUL Elektronik Posta: alidelice@marmara.edu.tr Yayın ve Diğer Çalışmalarından Seçmeler Delice, A. & Roper, T. (2006). Implications of a comparative study for mathematics education in the English education system. Teaching Mathematics and its Applications: An International Journal of the IMA, 25, 64-72. Delice, A., Aydın, E., Ertekin, E. & Dilmaç, B. (2009). Öğretmen adaylarının matematik kaygısı ile bilgibilimsel inançları arasındaki ilişki üzerine bir çalışma. Uluslararası İnsan Bilimleri Dergisi, 6 (1), 361-375. Aydın, E., Delice, A., Dilmaç, B. & Ertekin, E. (2009). İlköğretim matematik öğretmen adayların matematik kaygı düzeylerine cinsiyet, sınıf ve kurum değişkenlerinin etkisi. İlköğretim Online E Dergi (ISSN: 1305-3515). 8 (1), 231-242. Arş. Gör. Eyüp SEVİMLİ Marmara Üniversitesi Atatürk Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü Matematik Öğretmenliği ABD 34722 Kadıköy, İSTANBUL Elektronik Posta: eyup.sevimli@marmara.edu.tr Yayın ve Diğer Çalışmalarından Seçmeler Delice, A., Sevimli, E. & Aydın, E. (2009) Reflection in peer evaluation: Is the attended teacher training program the implemented training program. Journal of Korea Society of Mathematical Education, 13 (2), 141-150. Öğretmen Adaylarının Çoklu Temsil Kullanma Becerilerinin Problem Çözme Başarıları Yönüyle İncelenmesi: Belirli İntegral Örneği

DURU / Uyum Zorluklarını Yordamada Yalnızlık, Sosyal Destek ve Sosyal Bağlılık Arasındaki... 113 Öğretmen Adaylarının Çoklu Temsil Kullanma Becerilerinin Problem Çözme Başarıları Yönüyle İncelenmesi: Belirli İntegral Örneği Ali DELİCE, Eyüp SEVİMLİ Matematik bilgi ve becerisi; doğa bilimleri, mühendislik ve sosyal bilimler üzerine yapılan birçok bilimsel araştırma için temel oluşturmaktadır. Farklı disiplinlerde daha başarılı olunabilmesi, günümüz matematiğinin çok sayıdaki alan ve uygulamalarının kavranabilmesi ile orantılı olarak değişmektedir. Doğanın dili olarak tanımlanan matematiğin, doğa olayları ve diğer bilimler ile ilişkisi, matematikteki farklı gösterimlerin kullanımıyla sağlanmaktadır ( Janvier, 1987). Matematik eğitimi alan yazınında kullanılan bu farklı dillerin ve gösterimlerin hepsi çoklu temsiller olarak adlandırılmaktadır. En genel anlamıyla temsiller, soyut kavram veya sembolleri, gerçek dünya içinde somutlaştırma yoluyla modelleme işlemi olarak tanımlanabilir (Kaput, 1998). Ayrıca, aynı matematiksel kavram ya da problemlerde, temsiller, kendi içerisinde ya da birbirleri ile geçişlerin yapılabildiği durumlarda, problem çözümü için esnek bir araç olarak kullanılabilir (Monaghan, Sun & Tall, 1994). Amerikan Ulusal Matematik Öğretmenleri Konseyi (NCTM), 2000 yılında yayımladığı raporda çoklu temsil yaklaşımına başlı başına bir bölüm ayırarak konuya verdiği önemi göstermiş; araştırmacılara da bu yaklaşıma etki eden değişkenleri (Pedagojik alan bilgisi, öğretmen tutum/inanç ve pratiği, ders kitabı/ program ilişkisi vb.) araştırmaları konusunda rehberlik etmiştir (Özgün- Koca, 2004). Bu bağlamda yapılan çalışmaların çoğu, temsil kullanma becerisi üzerine odaklanmış, sınıf içi pratiğini ve ders kitaplarını bu yönden değerlendirmiştir (Goldin, 2004; Kendal & Stacey, 2003).

114 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Herkesin bir temsilden aynı kavramı anlamasını ya da bir temsilin herkese aynı oranda anlamlı gelmesini düşünmenin hatalı olacağını ifade eden birçok matematik eğitimcisi, birden fazla temsilin bulunduğu ortamlardaki öğrenmenin tabiatını ve bileşenlerini incelemiştir (Özgün- Koca, 2004). Sınıf ortamındaki baskın zekâ türü, öğrenme stilleri gibi farklılıklar düşünülürse farklı temsiller ile zenginleştirilmiş bir öğretim sürecinin, matematiksel kavramların farklı yönlerini gösterebilme, kavramı daha geniş bir bakış açısıyla değerlendirebilme ve farklı temsiller arası dönüşümler ile kavramı daha sağlıklı öğrenebilme fırsatı sağlayabileceği düşünülmektedir (Adu-Gyamfi, 2000 den akt: Bingölbali, 2008). Çoklu temsiller, öğrencilerin matematik konularını anlamasını kolaylaştırması, problem çözümlerine farklı yollardan yaklaşmasını sağlaması ve bilişsel ilişki kurmaya yardımcı olması yönüyle birer avantaj olarak görülebilir (Keller & Hirsch, 1998). Öğrencilerin sahip olduğu kavram bilgilerinin geliştirilmesinde de çoklu temsil kullanımının önemine işaret edilmektedir (Dufour-Janvier, Berdnarz & Belanger, 1987). Belirli integral konusunun kavramsal anlaşılmasında problem yaşadıklarını ifade eden öğrencilerin, çoklu temsil kullanma bilgi ve becerilerinin öğrenme sürecini etkileyeceği düşünülmektedir. Birçok farklı temsil türü ile gösterimin sağlanabileceği belirli integral konusunda, öğrencilerin temsil tercihleri, temsiller arası dönüşüm becerileri ve kullanılan temsillerin problem çözme başarısına etkisi, araştırmanın odağını oluşturmaktadır. Belirli İntegral Kavramı ve Çoklu Temsiller Yüksek öğretim matematiğinin temel konuları arasında yer alan integral kavramı, belirsiz ve belirli integral başlıkları altında incelenmektedir (Finney, Thomas, Demana & Waits, 1994). Geometri, cebir ve temel matematik alanlarının kesişiminden oluşan, üst düzey matematik becerilerini içeren belirli integral kavramının öğretiminde, öğrencilerin sadece bir kısmının ders sonunda kavramsal anlama becerilerine sahip olabilmesi, araştırmacıları bu konu üzerinde çalışmaya yöneltmiştir. Matematik eğitimine yönelik çalışmaların çoğunda geçen kavramsal anlama terimi, kullanıldığı ortama, konuya göre farklı anlamlara gelebilmektedir. Belirli integral konusunun kavramsal anlaşılması; belirsiz ve belirli integral arasında ilişkilerin kurulması, hangi işlemin neden yapıldığının bilinmesi, kavrama yönelik farklı temsillerin kullanılabilmesi, Riemann tanımının yorumlanabilmesi ve bu bilgilerin başka ortamlara taşınarak problem çözümlerine uygulanabilmesi davranışlarının ger-

DELİCE, SEVİMLİ / Öğretmen Adaylarının Çoklu Temsil Kullanma Becerilerinin Problem... 115 çekleşmesiyle sağlanabilir (Berry & Nyman, 2003; Goldin, 2004; Porzio, 1999; Thompson, 1994). Bu bağlamda yapılan çalışmalar, birçok öğrencinin belirli integrali ölçmek ya da verilen fonksiyonun türevini hesaplamak gibi rutin işlemler yaptığını, hesabın anlamlandırılması yönüyle büyük eksiklerin yaşandığını göstermektedir (Camacho, Depool & Santos-Trigo, 2009; Goerdt, 2007). Belirli intgerale yüklenen anlamların, işlemsel düzeyde kalmasını eleştiren araştırmacılar, problem çözümlerinde çeşitli nümerik ve geometrik yaklaşımların kullanılmasının, öğrencilerdeki kavram bilgisini geliştireceğini ifade etmişlerdir (Ostebee & Zorn, 1997; Sevimli, 2009). Bu yaklaşımlara paralel olarak matematiğin diğer konularında olduğu gibi, belirli integral konusunun da öğretiminde, farklı temsillerden yararlanılması, birçok eğitimci ve NCTM (2000) tarafından desteklenmektedir. Çoklu temsil yaklaşımına göre düzenlenen araştırmalar, dışsal çoklu temsil türlerinden nümerik, grafik ve cebir temsilleri üzerinde odaklanmış; bu temsillerin kendi içerisinde ve birbirlerine dönüşümlerini etkileyen durumları değerlendirmiştir (Kendal & Stacey, 2003). Çoklu temsil yaklaşımı, bazı ülkelerde gerçekleşen program değişikliğinden sonra, sınıf içi uygulamalarda en çok vurgulanan ögelerden biri olmuştur. Analiz dersi konularında, öğrencilerin çoklu temsil kullanmaları üzerine odaklanan çalışmalarda, başarılı olarak değerlendirilen öğrenciler, problem çözme sürecinde bu temsil türlerinden yalnız birini değil; bunların birleşimlerini kullanmışlardır (Goerdt, 2007). Limit kavramında cebir ve nümerik temsillerini ilişkilendirerek kullanan öğrencilerde; integral kavramında, cebir ve grafik temsillerini ilişkilendirerek kullanan öğrencilerde, problem çözme performansı yönüyle anlamlı sonuçlara ulaşılmıştır (Girard, 2002). Bazı çalışmalar, temsil içi geçiş gerektiren türev sorularında cebir temsillerini baskın olarak kullanan yüksek öğretim öğrencilerinin, problem çözme performansı yönüyle de yüksek başarıya sahip olduklarını göstermiştir (Kendal & Stacey, 2003). Temsiller arası dönüşüm becerisi gereken türev problemlerinde yaşanan öğrenci zorluklarının, bu problemlerde tek temsil kullanımından kaynaklandığına dikkat çekilmektedir (Berry & Nyman, 2003). Özellikle fonksiyon, limit ve türev gibi konularda farklı temsillerin kullanımı üzerine birçok araştırma yapılmışken integral konusunda sınırlı araştırma bulunmaktadır. Belirli integral konusu üzerine yapılan çalışmalar, daha çok kavram tanımı, kavram imajı çerçevesinde düzenlenirken (Rasslan & Tall, 2002; Thompson & Silverman, 2007), bazıla-

116 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ rı farklı temsillerden yararlanma becerileri (Ghazali, Abdullah, İsmail & İdris, 2005), ön bilgi gereksinimleri (Ferrini-Mundy & Graham, 1994; Sealey, 2008), teknoloji kullanımı konularını ele almıştır (Carlson, Persson & Smith, 2003; Robutti, 2003). Oysa matematikteki diğer kavramlarda olduğu gibi, belirli integral konusunun da anlaşılmasında kullanılan farklı temsillerin rolü yadsınamaz (Ghazali et al., 2005). Belirli integral problemlerini çözme sürecinde, farklı temsillerden yararlanılması, temsiller arası dönüşüm becerisine sahip olunması, kavramsal anlamanın gerekleri arasında gösterilmektedir (Camacho & Depool, 2003). Öğrencinin bir integral probleminde kullandığı temsiller ile integral kavramına yüklediği anlamlar arasında, ilişki olduğunu belirten çalışmalar bulunmaktadır (Sealey, 2008). Belirli integrale yüklenen anlamlardan bazıları eğrilerin sınırladığı alan, dönel cisim hacimleri, değişim miktarı ve cebirsel hesaplamalar şeklindedir (Sevimli, 2009). Belirli integralin grafik kullanılarak temsil edilmesiyle, eğrilerin sınırladığı bölgenin alanı ya da döndürülmüş cisimlerin hacimlerinin anlamı öne çıkarken nümerik olarak temsil edilmesi, birikimli toplamlar (Riemann toplamları) olarak yorumlanması anlamını taşımaktadır (Sealey, 2008; Thompson, 1994). Bir integral fonksiyonunun cebir temsili kullanılarak ifadesinde, integral alma kuralı ve tekniklerinden yararlanılmaktadır (Finney et al., 1994). Araştırma sonuçları, farklı problem türlerinde farklı temsil kullanımını desteklerken tek temsil türüne bağlı kalan ya da temsiller arası dönüşüm becerisine sahip olmayan öğrencilerde, kavramsal anlama düzeyinin, yeterli ölçüde gelişemeyebileceğini göstermektedir (Lesh & Doerr, 2003). Nümerik, grafik ve cebir temsillerini kullanarak ve aralarında bağlantılar kurarak güçlü bilişsel ilişkilerin sağlanması yoluyla öğrencilerin belirli integral kavramını anlamalarını sağlamak, analiz dersinin temel amaçları arasındadır (Czarnocha, Loch, Prabhu & Vidakovic, 2001; Goerdt, 2007). Camacho ve arkadaşları (2009), belirli integral konusundaki derin anlamlandırmanın, öğrencilerin temsil dönüşüm ve ilişkilendirme süreçlerinin farkında olmaları ile sağlanabileceğini belirtmişler ve öğretim ortamını, bir matematik yazılım programı ile desteklemişlerdir. Çalışmanın katılımcıları ile yapılan görüşmelerin ardından, önemli bir başlık olarak öğrencilerin kavramın farklı temsilleri arasında, terim anlamı ve çözüm becerisi yönüyle geçişlere ihtiyacı olduğu sonucuna ulaşılmıştır (Camacho & Depool, 2003). Örneğin, fonksiyonun grafik temsilleri ile grafiğin yönünü, cebir hesapları ile işaretini ve nümerik yaklaşımlarla alanının yaklaşık değerini açıklayabilmek, hesaplayabilmek önem-

DELİCE, SEVİMLİ / Öğretmen Adaylarının Çoklu Temsil Kullanma Becerilerinin Problem... 117 li beceriler olarak gösterilmektedir (Berry & Nyman, 2003; Kendal & Stacey, 2003; Porzio, 1999; Thompson, 1994). Çalışmalarında öğretim programı ve tekniklerine de vurgu yapan araştırmacılar, ders kitabı ve öğretim programlarının, cebir temelli işlemler yönüyle başarılı öğrenci yetiştirme hedefli bir içeriğe sahip olduğunu belirtmişlerdir (Sealey, 2008; Tucker & Leitzel, 1995). Bu araştırmada, öğrencilerin büyük çoğunluğu tarafından öğrenilmesinde güçlük çekildiği ifade edilen belirli integral kavramı (Orton, 1983), çoklu temsil yaklaşımı temelinde ele alınmıştır. Araştırmada kullanılan temsil kavramı, bir matematiksel ilişki veya kavramın tablo, denklem, grafik gibi değişik biçimlerde ifade edilmesi anlamı taşımaktadır. Bu çalışma, belirli integral konusunda çoklu temsil yaklaşımı üzerine odaklanan önceki çalışmalardan farklı olarak teşhis edici (kullanılan temsil türleri) ve ilişkisel (kullanılan temsillerin problem çözme başarısına etkisi) özelliğe sahiptir. Öncelikle, belirli integral problemlerinin çözüm sürecinde, öğrencilerin kullandıkları temsiller ve temsiller arası dönüşüm becerilerinin belirlenmesi hedeflenmiş daha sonra bu durumun problem çözme performanslarına etkileri incelenmiştir. Bu bağlamda, belirli integral konusunda yapılan çalışma, var olan durumu betimlediği için önemli; temsil tercihleri ile problem çözme başarıları arasındaki ilişkiyi incelediği için özgün değere sahiptir. Araştırmanın Amacı Bu çalışmada, belirli integral problemleri çözüm sürecinde öğrencilerin kullandıkları temsiller, temsiller arası dönüşüm becerileri incelenerek; kullanılan temsiller ile problem çözme başarısı arasındaki ilişkinin araştırılması amaçlanmıştır. Yapılan çalışmada, öğretmen adaylarının sıklıkla problem yaşadıkları konu, yine adayların bilgi-becerileri yönüyle ele alınmıştır. İlgili alan yazının ışığında, en genel araştırma problemi Matematik öğretmen adaylarının, belirli integral problemlerini çözme sürecinde, kullandıkları temsil türlerinin incelenmesi olarak ifade edilmiş ve alt problemleri aşağıdaki gibi belirlenmiştir. 1. Matematik öğretmen adayları, belirli integral problemlerini çözme sürecinde hangi tür temsilleri kullanmaktadırlar? 2. Matematik öğretmen adaylarının, belirli integral problemlerini çözme sürecinde, kullandıkları temsiller ile problem çözme başarıları arasında nasıl bir ilişki vardır?

118 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Yukarıda ifade edilen araştırma soruları oluşturulurken alan yazınındaki boşluklar belirlenmiş ve bazı araştırmalardan destek alınmıştır. Yöntem Bilimsel araştırma, bir araştırmacının bir problemi ele alarak açıkça belirtilmiş sonuçlar üretmesinin yoludur (Day, 2005). Araştırma sorularının en iyi şekilde cevaplandırılmasında ve gerçeğe ulaşılmasında yardımcı olabilecek yöntem ve tekniklerin belirlenmesinden önce, araştırma paradigmasının belirlenmesinin önemi vurgulanmıştır (Guba & Lincoln, 1994). Bu bağlamda, araştırma, pozitivist olmayan, yorumlayıcı paradigmaya sahiptir. Araştırma Modeli Araştırmada, birden fazla teknik kullanıldığından, çoklu yöntem yaklaşımı benimsenmiştir. Veri bağlamında, ağırlıklı olarak nitel olan çalışmada, aynı zamanda destekleyici olması bakımından, nicel tekniklerden de yararlanılmıştır. Belirli integral konusunu, Analiz II dersi kapsamında alan öğrencilerin, problem çözme sürecinde kullandıkları temsilleri belirlemek ve temsil kullanımının problem çözme başarısına etkisini incelemek üzere var olan durum kendi koşulları içerisinde betimlenmeye çalışıldığı için, araştırma, nitel araştırma desenlerinden biri olan keşfedici özel durum çalışması modeli üzerine kurulmuştur (Cohen, Manion & Morrison, 2000). Böylelikle, çalışmada var olan durum üzerinden ilişkiler kurularak araştırmanın başında oluşturulmuş olan alt problemlerin cevaplanması, düzenlenip yorumlanabilmesi hedeflenmiştir. Durum çalışmalarında, mümkün olduğu ölçüde, birden fazla veri toplama yönteminin kullanılması önerilir (Yin, 1994). Bu çalışmada klasik yazılı test, görüşme, katılımcı gözlem ve doküman analizi gibi nitel araştırma tekniklerinden de yararlanılmıştır. Katılımcılar Bu araştırmada, çalışma grubundaki bireyler, olasılıksız örneklem seçiminin amaçlı örnekleme tekniği kullanılarak seçilmiştir (Patton, 1990). Bu bağlamda, 2008-2009 eğitim-öğretim yılı bahar yarıyılında Marmara Üniversitesi Atatürk Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Bölümü Matematik Öğretmenliği 2. sınıf programına kayıtlı, toplam 45 öğretmen adayı, araştırmanın katılımcılarını oluş-

DELİCE, SEVİMLİ / Öğretmen Adaylarının Çoklu Temsil Kullanma Becerilerinin Problem... 119 turmaktadır. ÖSS de aldıkları sayısal puan türüne göre, en üst dilimde bölüme girme hakkı kazanan öğretmen adaylarının 23 ü kız, 22 si erkek olup tamamı sayısal alan çıkışlıdır. Başka faktörlerin etkisinin ortadan kaldırılması amacıyla, araştırmaya katılan adaylar, aynı bölümden, aynı sınıftan seçilmiş ve test aynı zamanda araştırmacı tarafından adaylara uygulanmıştır. Kullanılan Veri Toplama Araçları Veri toplama teknikleri, araştırmanın başında oluşturulmuş olan alt problemler dikkate alınarak belirlenmiştir. Bu şekilde, veri toplama sürecinde, alt problemlerle ilgisiz olabilecek verileri toplamaktan kaçınılmaya çalışılmıştır (Cohen et al., 2000). Bu çalışmada, veri toplama tekniği olarak klasik yazılı test, görüşme, katılımcı gözlem ve doküman analizi, problemin doğasına ve araştırmacının beklentilerine göre birlikte kullanılmıştır. Araştırmacı, veri kaynakları (katılımcılar, dokümanlar) ile uzun süreli etkileşim hâlinde olmuştur. Dokümanların hazırlanması süreci, üç ay kadar sürmüş ve bu süreçte uzman görüşlerine sıkça başvurulmuştur Çalışmada iki farklı veriyi toplamak üzere Temsil Tercih ve Dönüşüm Testi (TTDT) kullanılmış, süreç analizi için bazı katılımcılara görüşme formu uygulanmıştır. TTDT, adayların problem çözümünde kullandıkları temsilleri ve temsil dönüşüm becerilerini belirlemek üzere iki uzman tarafından araştırma problemleri doğrultusunda geliştirilmiştir. TTDT hazırlanırken, Kendal ve Stacey (2003) nin Türev Alma Yeterlik Testi çatısından yararlanılmıştır. Bu çalışmada, çoklu temsiller yaklaşımı, Bir matematiksel kavramın, ilişkinin değişik biçimlerde ifade edilmesine olanak sağlayan gösterim biçimleri şeklinde tanımlandığından ve araştırmada kullanılan çoklu temsiller terimi; grafik, cebir ve nümerik dış çoklu temsil türlerinin belirli integral problemleri çözümünde kullanılması anlamı taşıdığından, TTDT de bu üç temsil türünün kullanılabileceği şekilde geliştirilmiştir (Goldin & Kaput, 1996). Belirli integral kavramının geometrik, nümerik veya cebir anlamını içeren ve ders kitaplarında en çok karşılaşılan örnek sorular, bu çalışmada belirli integral problemleri olarak değerlendirilmiştir. TTDT de yer alan maddeler düzenlenirken ders kitapları, sınav soruları, okul notları ve konu ile ilgili yapılmış çalışmalar dikkate alınarak 71 soru belirlenmiş, bu sorular arasında, hedeflenen temsil geçişleri doğrultusunda 9 soru seçilmiştir. Her bir soru, içerisinde farklı karakteristikleri bulundurmaktadır. Bunlar girdi temsilleri ve çıktı

120 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ temsilleridir. Girdi temsilleri, problem verilerinin ifade edildiği temsillerdir, çıktı temsilleri ise problem çözümünün amaçlandığı temsillerdir. Girdiler büyük harfle ilk, çıktılar küçük harfle ikinci olarak gösterilmiş ve her bir sorunun girdi-çıktı sistemindeki yeri ile ilgili Tablo 1 e aşağıda yer verilmiştir. Nümerik temsili N veya n, grafik temsili G veya g, cebirsel temsili C veya c ile gösterilmiştir. Tablo 1 TTDT problemleri karakteristiği Soru No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Karakteristik Ng Cc Nn Cn Cg Gc Nc Gg Ng Örneğin Nc ile gösterilen TTDT nin yedinci sorusu, nümerik olarak verilen bir belirli integral probleminin cebir temsili kullanımı ile çözümünü gerektiren bir problemi göstermektedir. TTDT nin maddeleri, öğrencilerin temsil içi ve temsiller arası geçişlere ihtiyaç duyacakları biçimde tasarlanmıştır. Bu bağlamda test iki alt gruba sahiptir. Temsil içi geçiş grubundaki sorular, girdi ve çıktı temsillerinin aynı olduğu problem türlerini ifade ederken temsiller arası dönüşüm grubundaki sorular, girdi ve çıktı temsillerinin farklı olduğu durumları içermektedir. TTDT nin kapsam geçerliğini belirlemek üzere, testte yer alan soruların Tablo 2 deki gibi bir sınıflaması yapılmış ve beş uzman görüşü desteğinde, testin ölçmeyi hedeflediği temsil tercihleri ve dönüşümleri bağlamında yeterliğe ve kapsam geçerliğine sahip olduğu tespit edilmiştir. Test, katılımcıların bir üst grubu olan 35 matematik öğretmen adayına uygulanarak yapı ve anlam hatalarından arındırılmıştır. Testin uygulama süresi, 45 dakika olarak belirlenmiştir. Yapılan deneme çalışmasından sonra uzmanlar, testi, tamlık (doğruluk) ve madde formatı bağlamında değerlendirmişlerdir. Sonuçlar, verilen çözüm yollarının doğru olduğu ve madde yapılarının uygunluğu ve dolayısıyla testin görünüş geçerliğine sahip olduğu yönündedir. Tablo 2 TTDT deki sorular ve yer aldıkları alt gruplar TTDT alt grubu Temsil İçi Geçiş Soru numarası Problemin verildiği temsil türü 3 Nümerik Nümerik 8 Grafik Grafik 2 Cebir Cebir Çözümün beklendiği temsil türü

DELİCE, SEVİMLİ / Öğretmen Adaylarının Çoklu Temsil Kullanma Becerilerinin Problem... 121 Temsiller Arası Dönüşüm 9 Nümerik Grafik 7 Nümerik Cebir 1 Grafik Nümerik 6 Grafik Cebir 5 Cebir Grafik 4 Cebir Nümerik TTDT nin güvenirliğini belirlemek için de değerlendiriciler arası (inter-rater) güvenirlik katsayısı hesaplanmıştır. Bu sebeple TTDT yi cevaplayan öğrencilerden rastgele 12 tanesinin cevap kâğıtları seçilmiş ve matematik eğitimi alanında doktorasını tamamlamış olan üç uzman tarafından, bu kâğıtlar değerlendirilmiştir. Değerlendirici cevapları arasındaki korelasyonun yüksekliği ( r 1 =0,95; r 2 =0,88; r 3 =0,85 ), testin yeterli güvenirliğe sahip olduğu biçiminde yorumlanmıştır. Uygulama sonrası, altı öğrenciyle çözüm süreçlerini ve temsil kullanma becerilerini, daha derinden sorgulamak amacıyla, yarı yapılandırılmış görüşmelerde bulunulmuştur. Çalışmanın güvenirliğini arttırmak için, bulgular görüşmeler ile desteklenmiştir. Ayrıca, adayların, analiz II dersi kapsamında aldıkları belirli integral konusunun içeriğini analiz etmek üzere araştırmacı sınıf ortamında katılımcı gözlemci olarak bulunmuş, görüşmeye alınan adayların defterleri ve öğretim elemanının yararlandığı ders kitabı incelenmiştir. Veri Analiz Yöntemleri Belirli integral problemleri çözümünde kullanılan temsilleri belirlemek üzere hazırlanan TTDT, katılımcılara 45 dakikalık süre içerisinde, tek seferde uygulanmıştır. Verilen cevaplar, her öğrenci ve soru için değerlendirilmiştir. Veri analizi iki aşamada yapılmıştır. Birinci aşamada, katılımcıların temsil dönüşüm başarılarını belirlemek için çözümler, sonuca ulaşma becerilerine göre doğru, kısmi cevap, yanlış ve boş olarak gruplandırılarak değerlendirilmiştir. Problem çözümünün, doğru kavram, süreç ve cevap ile tamamlandığı durumlar doğru olarak kodlanmış ve testteki doğru cevaplara 2 puan verilmiştir. Problem çözümünün, doğru kavram, yanlış süreç ve/veya yanlış cevap ile tamamlandığı durumlar kısmi cevap olarak kodlanmış ve testteki kısmi cevaplara 1 puan verilmiştir. Problem çözümünün yanlış kavram, süreç ve cevap ile tamamlandığı ya da tamamlanamadığı durumlar yanlış olarak

122 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ kodlanmış ve testteki yanlış cevaplara 0 puan verilmiştir. Hiçbir karalamanın yapılmadığı ya da sorunun sadece kendisinin yazıldığı durumlar boş olarak kodlanmış ve 0 puan verilmiştir. TTDT nin toplam puanı 0 ile 18 arasında değişmekte olup verilen cevaplar yoluyla elde edilen puanlar, her bir öğretmen adayının, temsil dönüşüm beceri puanları olarak değerlendirilmiştir. İkinci aşamada, çözüm süreçlerinde kullanılan temsiller, nümerik, grafik, cebir ve karma şeklinde kodlanarak gruplandırılmıştır. Aynı soru için, her üç temsilin de kullanıldığı çözümlere rastlanılmazken aynı soru için iki temsilin ilişkilendirilerek kullanıldığı çözümler karma diye kodlanmıştır. Araştırmanın temelde cevap aradığı sorulardan biri olan matematik öğretmen adaylarının, belirli integral problemlerini çözme sürecinde kullandıkları temsiller ile problem çözme başarıları arasındaki ilişkinin incelenmesi problemi, parametrik olmayan durumlar üzerinde gerçekleştiğinden Spearman korelasyon ile aradaki ilişkinin belirlenmesine gerek duyulmuştur. Bu bağlamda, kullanılan temsillere göre dört (nümerik, grafik, cebir, karma), problem çözme başarılarına göre dört (doğru, kısmi çözüm, yanlış, boş) gruba ayrılan katılımcılar, yer aldıkları gruplar üzerinden kodlanmıştır. Veriler, SPSS.11 yardımıyla çözümlenerek aradaki ilişkinin düzeyi, yönü ve anlamlılık derecesi belirlenmiştir. Görüşme bulguları, ifadelerdeki ortak özellikler ve ana fikirler dikkate alınarak kategorilere ayrılmış, ortak özelliklerin belirlenmesi sürecinde, bir nitel veri analizi programından yararlanılmıştır. Bulgular Bu kısımda öncelikle, matematik öğretmen adaylarının belirli integral problemlerini çözme başarılarını belirlemek üzere TTDT ye verilen cevaplar değerlendirilmiş daha sonra çözüm sürecinde kullanılan temsillerin betimsel analizine yer verilmiştir. Son olarak elde edilen bulgular ışığında, matematik öğretmen adaylarının belirli integral problemlerini çözme sürecinde kullandıkları temsiller ile problem çözme başarıları arasındaki ilişki incelenmiştir. Matematik Öğretmen Adaylarının Belirli İntegral Problemlerini Çözme Başarılarının Belirlenmesi Matematik öğretmen adaylarının TTDT ye verdikleri cevaplar, öncelikle problem çözme başarılarına göre değerlendirilmiştir. Çözümlerin

DELİCE, SEVİMLİ / Öğretmen Adaylarının Çoklu Temsil Kullanma Becerilerinin Problem... 123 değerlendirilmesi sürecinde dikkate alınan ölçütlere, Veri Analiz Yöntemleri kısmında değinilmiştir. Adayların çözüm sürecinde gösterdikleri davranışlar ile ilgili ayrıntılı durum, Tablo 3 te betimlenmiştir. Doğru cevaplanma oranı en düşük olan soru, % 13,3 ile grafik olarak verilen bir belirli integral probleminde, cebir temsillerinin kullanımıyla, hesabın yapılabileceği, 6 no lu temsiller arası dönüşüm sorusu olmuştur. Bunu %15,5 ile TTDT deki nümerik olarak verilen bir problemde nümerik temsillerin kullanımıyla, çözümün sağlanabileceği, 3 no lu temsil içi geçiş sorusu takip etmektedir. Doğru cevaplanma oranı en yüksek olan soru ise % 82,2 ile cebir olarak verilen bir problemde, cebir temsillerinin kullanımıyla, çözümün sağlanabileceği 2 no lu temsil içi geçiş sorusu olmuştur. Bunun yanında, katılımcıların % 22 si, nümerik olarak verilen, bir belirli integral probleminde, grafik temsillerinin kullanımıyla hesabın yapılabileceği 1 no lu temsiller arası dönüşüm sorusunu boş bırakmışlardır. Tablo 3 te ayrıca, her bir sorunun çözülme ortalaması ve standart sapması da görülmektedir. Buna göre, puan ortalaması en yüksek olan problem 1,74 puan ile Cc karakteristiğine sahip temsil içi geçiş problemidir. Puan ortalaması en düşük olan problem 0,45 puan ile Gc karakteristiğe sahip temsiller arası dönüşüm problemidir. Tüm katılımcıların TTDT ye verdikleri cevaplar düşünüldüğünde, problemlerin % 37,5 ini doğru yapan adayların, % 23,6 sını yanlış yapmaları, % 10,9 unu boş bırakmaları testteki tüm performanslarının düşük olduğunu göstermektedir. Testin ortalama puanı18 puan üzerinden 9,97 olarak bulunmuştur. Tablo 3 TTDT deki problemlerin cevaplanma yüzdeleri ve puan ortalamaları Problem No Numarası Problemin Verildiği Temsil Çözümün Beklendiği Temsil Problemden Beklenen Geçiş Doğru Kısmi Yanlış Boş Ortalama Standart Sapma 3 N N 15,5 46,7 20 17,8 0,77 0,68 Temsil İçi 8 G G 55,5 15,5 29-1,36 0,85 2 C C 82,2 13,3 4,4-1,74 0,50

124 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ 9 N G 22,2 51,1 17,8 8,9 1,28 0,92 7 N C 35,5 24,4 31,1 8,9 0,94 0,87 Temsiller Arası 1 G N 51,1 8,9 17,8 22,2 0,97 0,70 6 G C 13,3 11,1 51,1 24,4 0,45 0,74 4 C N 35,6 22,2 31,1 11,1 1,14 0,80 5 C G 26,6 20 48,8 4,4 1,02 0,74 Genel Toplam 37,5 23,6 28 10,9 9,97 2,80 Öğretmen adaylarının, temsil dönüşüm becerilerini belirlemeye yönelik hazırlanan TTDT ye verdikleri cevaplar incelendiğinde, temsil içi geçiş ve temsiller arası dönüşüm alt boyutlarındaki problem çözme başarılarının farklı olduğu görülmüştür. Öğretmen adayları, temsil içi geçiş gerektiren problemlerde, temsiller arası dönüşüm gerektiren problemlere göre doğru çözümlere (% 51-% 33) daha çok ulaşabilmiş bununla birlikte, kısmi cevapların yaklaşık aynı olduğu belirlenmiştir. Temsiller arası dönüşüm gerektiren problemlerde, temsil içi geçiş gerektiren problemlere göre yanlış cevapların (% 27-% 17) ve boş bırakılan problem yüzdelerinin (% 14-% 5) daha fazla olduğu bulgularına ulaşılmıştır. Problem Karakteristiklerinin Çözüm Sürecine Etkisi Belirli integral problemlerinin temsiller yardımıyla ifade edilmesi ya da çözüm sürecinde hedeflenen temsillerden yararlanılması için çeşitlendirilen problemlerin özellikleri, çalışmanın önceki bölümlerinde karakteristik olarak adlandırılmıştı. Bu bağlamda, TTDT deki problemlerde, girdi temsilleri ile çıktı temsillerinin problem çözme başarılarına etkisi, araştırmanın cevap aradığı bir diğer alt başlıktır. Girdi Temsillerinin Problem Çözme Başarısına Etkisi: TTDT verileri, girdi temsillerinin, problem çözme başarısını etkilediğini göstermiştir. Tablo 4 te yer alan başarılı sözcüğü ile problemin doğru çözümü, başarısız sözcüğü ile yanlış çözümü ifade edilmiştir. Öğretmen adaylarının, grafik temsilleri yoluyla, verilen bir belirli integral probleminde, diğer temsil türlerine göre daha çok zorlandıkları görülmektedir. Belirli integral probleminin, grafik temsilleri yoluyla verilmesi durumunda adaylardaki düşük doğru cevap yüzdesi (% 20) dikkat çekicidir. Girdi temsillerinin değer tabloları yoluyla verildiği problemlerde, öğretmen adaylarının % 29 u doğru cevaba ulaşmıştır. En yüksek başarı, problemlerin cebir temsilleri yoluyla verildiği durumlarda gerçekleş-

DELİCE, SEVİMLİ / Öğretmen Adaylarının Çoklu Temsil Kullanma Becerilerinin Problem... 125 miştir. Öğretmen adaylarının % 54 ü, cebir temsilleri yoluyla verilen belirli integral problemlerini, doğru çözmüşlerdir. Tablo 4 Problemin ifade edildiği temsil türlerine göre aday başarısı % Nümerik (Nn, Ng, Nc) Grafik (Gg, Gn, Gc) Doğru Çözüm Yüzdesi 29 20 54 Cebir (Cc, Cn, Cg) Çıktı Temsillerinin Problem Çözme Başarısına Etkisi: Bir diğer nokta, TTDT de verilen sorularda kullanılması beklenen çıktı temsilleridir. TTDT ye verilen cevaplar, temsil içi geçiş veya temsiller arası dönüşümün beklendiği durumlarda, temsil türüne göre, başarı yüzdelerinde farklılıklar bulunduğunu göstermektedir. TTDT de problem cümlesinin Toplam değişim miktarını bulun, aralığındaki birikimli toplamları bulun. biçiminde olduğu durumlarda, nümerik temsillerin kullanılması yoluyla çözüme ulaşılması hedeflenmektedir. Bu bağlamda, teste verilen cevaplar temel alındığında, nümerik temsillerin kullanılmasının beklendiği sorular, en düşük doğru cevap yüzdesine sahiptir. Aşağıda, nümerik temsil yaklaşımı ile çözümün beklendiği bir problemde adayların yaşadıkları ortak yanılgılardan biri örneklendirilmiştir. Şekil 1: Dördüncü probleme yönelik aday çözüm örneği Şekil 1 de yer alan çözümde aday, toplam değişim miktarını, her yıl gerçekleşen değişim miktarlarının toplamı şeklinde yorumlamak yerine her yıl gerçekleşen toplam değişim miktarlarının toplamı şeklinde yorumladığı için yanlış çözüme ulaşmıştır. Bu problemin çözümünde karşılaşılan ve yarı yapılandırılmış görüşmelerle desteklenen ortak yanılgılar arasında, bitkideki toplam büyüme oranı ile o yılki büyüme oranının ka-

126 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ rıştırılması, toplam değişim miktarı ile belirli integral kavramının ilişkilendirilememesi ya da integral alma işleminin eksik gerçekleştirilmesi gibi durumlar bulunmaktadır. Problem kökünün integralini hesaplayınız. biçiminde olduğu durumlarda, doğru cevaba ulaşan öğretmen adayı oranının % 52 olduğu Tablo 5 yardımıyla görülmektedir. Adaylar, girdi temsillerinin cebir olduğu durumda, çıktı temsillerinin cebir olmasına kıyasla, daha fazla başarı göstermişlerdir. Problemden beklenen çözümler doğrultusunda, zorlukların yaşandığı temsil türlerinden biri de çözümde grafik temsillerinin kullanılmasının beklendiği sorulardır. Öğretmen adaylarının, f(x) eğrisi altında kalan alanı bulunuz. şeklindeki soru kökleriyle sıkça karşılaşmalarına rağmen çözümde grafik temsilleri yerine cebir temsili kullanmaları, problemin yanlış çözülmesine neden olmuştur. Aşağıda yer alan çözüm örneği, adayların çıktı temsil türlerini dikkate almaksızın problemlerin çoğunda cebir temsilini kullanma eğilimine işaret etmektedir. Şekil 2: Beşinci probleme yönelik aday çözüm örneği Beşinci problemdeki yanlış cevapların hemen hemen tamamında, sadece, cebir temsillerinin kullanıldığı görülmektedir. Alışılagelmiş durumlardan hareketle, sınırları, kesişim noktaları olarak değerlendiren adayların çözümde eksik kaldıkları görülmektedir. Doğru çözüme ulaşan adaylar, genelde cebir ve grafik temsillerini bir arada kullanmış ve kesişim noktalarını grafik üzerinden gördükten sonra sınır noktalarını yeniden belirlemişlerdir. Bu bağlamda, integral hesabının bulunmasına yönelik sorulardaki başarı yüzdesinin 52, eğri altında kalan alanı bulmaya yönelik sorulardaki başarı yüzdesinin 36 ve belli bir aralıktaki birikimli toplamları bulmaya yönelik sorulardaki başarı yüzdesinin 33 olduğu görülmüştür (Tablo 5).

DELİCE, SEVİMLİ / Öğretmen Adaylarının Çoklu Temsil Kullanma Becerilerinin Problem... 127 Tablo 5 Problem çözümünde beklenen temsilin kullanılma türüne göre başarı % Doğru Çözüm Yüzdesi Nümerik (Nn, Ng, Nc) Grafik (Gg, Gn, Gc) 33 36 52 Cebir (Cc, Cn, Cg) Matematik Öğretmen Adaylarının Belirli İntegral Problemlerini Çözme Sürecinde Kullandıkları Temsillerin Belirlenmesi Öğretmen adaylarının belirli integral problemleri çözümünde kullandıkları temsillerin belirlenmesine yönelik yapılan uygulamanın bulgularına, Tablo 6 da yer verilmiştir. TTDT nin Cc karakteristiğine sahip 2. probleminde ( integralini hesaplayınız.), adayların % 93,3 ünün cebir temsilini kullanarak çözüme ulaşmaya çalıştığı görülmüştür. Bunu % 64,4 ile Cn karakteristiğine sahip bir problemde (TTDT deki 4. problem), yine cebir temsilini kullanarak çözüme ulaşmaya çalışan öğretmen adayları takip etmektedir (Şekil 1). 4 numaralı problemde, öğretmen adaylarından nümerik temsil kullanarak çözüme ulaşması beklenirken katılımcıların büyük bir bölümünün cebir temsilini kullanarak problemi çözmeye çalışması dikkat çekmektedir. Çözümün beklendiği temsil ve kullanılan temsilin problem çözme başarısına etkisi ile ilgili analizlere daha sonra değinilecektir. Gg, Gc ve Cc karakteristiğindeki problemlerde, nümerik ve grafik temsilinin hiç kullanılmadığı görülmekle birlikte TTDT deki tüm sorularda cebir temsilinin yüksek yüzdeler ile kullanılması, öğretmen adaylarının problem çözümlerinde daha çok cebir temsillerinden yararlandığını göstermektedir. Ayrıca TTDT nin beşinci probleminde grafik temsilinin kullanılması ile çözüm beklenirken öğretmen adaylarının yalnızca % 15,6 sı bu temsili problem çözümünde kullanmıştır. Testte yer alan sekizinci problemde, iki temsili bir arada kullananların yüzdesi dikkat çekicidir (% 51,1). Bir diğer önemli bulgu ise boş bırakılan problem türleri ile ilgilidir. En çok boş bırakılan problem Gc dönüşümü beklenilen, testin altıncı problemidir. Bunun yanında grafik yardımıyla ifade edilen belirli integral problemleri ile nümerik çözümlerin beklendiği problemlerin boş bırakılma yüzdelerinin diğer temsil türlerine göre daha yüksek olduğu görülmektedir.

128 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Tablo 6 TTDT problemlerinde temsillerin kullanılma sıklığı Problem no Girdi Temsili Çıktı Temsili Problemden Beklenen Geçiş Kullanılan Temsil Türü Boş Nümerik Grafik Cebir Karma f % f % f % F % f % 3 N N 14 31,1 17 37,8 - - 6 13,3 8 17,8 8 G G - - - - 22 48,9 23 51,1 - - Temsil İçi 2 C C - - - - 42 93,3 3 6,7 - - 9 N G 3 6,7 26 57,8 6 13,3 6 13,3 4 8,9 7 N C 7 15,6 7 15,6 18 40 9 20 4 8,9 Temsiller Arası 1 G N 16 35,6 10 22,2 9 20 - - 10 22,2 6 G C - - - - 28 62,2 6 13,3 11 24,4 4 C N 8 17,8 2 4,4 29 64,4 1 2,2 5 6,7 5 C G - - 7 15,6 17 37,8 19 42,2 2 4,4 TTDT ye verilen tüm cevaplar dikkate alındığında, cebir temsilinin kullanılma oranının % 46 civarında olduğu, bunu % 17 ile grafik temsillerinin takip ettiği görülmektedir. En çok kullanılan iki temsil olan cebir ve grafik temsillerinin kullanılma yüzdeleri arasındaki fark, öğretmen adaylarının tek temsil baskınlığı yaşadığını göstermektedir. En az tercih edilen temsil türü olarak belirlenen nümerik temsilleri, iki farklı temsilin birlikte kullanılması gerektiğini düşünen, yani karma temsilleri tercih eden öğretmen adayları takip etmektedir. Aşağıda, bu oranlar, Tablo 7 yardımı ile sunulmuştur. TTDT nin alt boyutlarına yönelik bulgular, temsil içi geçiş problemlerinde cebir temsilinin baskın olarak kullanıldığını göstermiştir. Temsiller arası dönüşüm gereken problem türlerinde cebir temsili daha çok kullanılmasına karşın diğer temsil türlerinden de belirli oranlarda yararlanılmıştır.

DELİCE, SEVİMLİ / Öğretmen Adaylarının Çoklu Temsil Kullanma Becerilerinin Problem... 129 Tablo 7 TTDT alt boyutlarına verilen cevaplara göre kullanılan temsiller % Nümerik Grafik Cebir Karma Boş Temsil İçi Geçiş 8,9 12,6 55,1 19,3 4,1 Temsiller Arası Dönüşüm 12,6 19,3 39,6 13,7 14,8 Toplam 10,6 17 46,2 15,6 10,6 Matematik Öğretmen Adaylarının Belirli İntegral Problemlerini Çözme Sürecinde, Kullandıkları Temsiller İle Problem Çözme Başarısı Arasındaki İlişkinin İncelenmesi Matematik öğretmen adaylarının belirli integral problemlerini çözme sürecinde, kullandıkları temsiller ile problem çözme başarısı arasındaki ilişkinin incelenmesi için öğretmen adaylarına uygulanan TTDT testinin bulguları, araştırmacıya temsil kullanma ve dönüşüm becerilerinde yaşanan zorlukları görme olanağı sağlamıştır. TTDT çözümleri, öncelikle, doğru, kısmen doğru, yanlış ve boş kategori sistemine göre, daha sonra kullanılan temsil türlerine göre nümerik, grafik, cebir ve karma şeklinde sınıflandırılmış ve değerlendirilmiştir. Adayların çözüm sürecinde gösterdikleri davranışlar ayrıntılı bir şekilde incelenerek süreç analizi yapılmış ve genel durum betimlenmiştir. Problem çözme sürecinde, kullanıldığında, doğru cevaba ulaşma yüzdesi en yüksek olan temsil, % 18,7 ile cebir, en düşük olan temsil ise % 2,8 ile nümerik temsilidir. Kullanılan temsillere göre kısmi cevap yüzdesi en yüksek olan temsil, % 10,7 ile cebir, en düşük olan temsil ise % 5,7 ile grafik temsilidir. TTDT nin çözümünde kullanılan temsiller sorunun yanlış çözümüne de yol açabilmiştir. Kullanılan temsillere göre, yanlış cevap yüzdesi en yüksek olan temsil, % 13,1 ile cebir, en düşük olan temsil ise % 1,6 ile iki temsilin birlikte kullanıldığı durumlardır. Cebir temsilinin, çözümdeki her kategoride yüksek yüzdeye sahip olmasında, daha fazla kullanılmasının rolü olduğu düşünülmektedir. Kullanılan temsillerin, problem çözme başarısına etkisine yönelik dikkat çeken bulgulardan biri de karma temsillerin kullanımı ile gerçekleşen çözümlerde görülmektedir. Karma temsil kullanan adayların yanlış cevapları, tüm cevaplarının % 7 sini oluşturmaktadır. Bunun yanında, cebir temsilini kullanan adayların yanlış cevapları, tüm cevaplarının % 32 sini, grafik temsilini kullanan adayların yanlış cevapları, tüm cevaplarının % 21,8 ini son olarak nümerik temsil kullanan adayların yanlış cevapları tüm cevaplarının % 13,3 ünü kapsamaktadır. Araştırma kapsamında cevap aranan sorulardan biri olan, belirli integral konusunda kullanı-

130 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ lan temsiller ile problem çözme başarısı arasındaki ilişkinin belirlenmesi problemi, parametrik olmayan durumlar üzerinde gerçekleştiğinden, ilişkinin Sperman korelasyon ile belirlenmesi gereği duyulmuştur. Çalışma verileri, karma temsiller ile problem çözme başarıları arasında pozitif yönde yüksek düzeyde anlamlı ilişkiler olduğunu, (r=0,83), nümerik temsiller ile problem çözme başarıları arasında da pozitif yönde yüksek düzeyde anlamlı ilişkiler olduğunu (r=0,71) göstermiştir. Ayrıca, cebir temsilleri ile problem çözme başarıları arasında pozitif yönde düşük düzeyde ilişki bulunurken (r=0,27), grafik temsilleri ile problem çözme başarıları arasında, pozitif yönde orta düzeyde anlamlı ilişkilere (r=0,51) ulaşılmıştır. Bu bulgular, birden fazla temsilin ilişkilendirilerek kullanımının, problem çözme başarısını etkilediği bulgusunu desteklemektedir. Süreç Analizi Adaylara uygulanan TTDT nin dışında, katılımcı gözlem, yarı yapılandırılmış görüşme ve içerik analizi tekniklerinden yararlanılmıştır. Bu bağlamda, öncelikle öğretim ortamının betimlenmesine gerek duyulmuştur. Dersi veren öğretim üyesi ve ders alan öğretmen adaylarıyla yapılan yarı yapılandırılmış görüşmeler sonucu, belirli integral konusunun, bu ders kapsamındaki diğer konular gibi öğretmen merkezli olarak sunuş yoluyla işlendiği ve süreçte herhangi bir öğretim materyali ya da yazılım kullanılmadığı belirlenmiştir. Dönem boyunca tek ders kitabından yararlanıldığı ve adayların da aynı kitabı temin ettikleri görülmüştür. Görüşmeye katılan adayların, defter içeriklerine yönelik yapılan analiz sonucunda, defter tutmayan adayların oldukça fazla olduğu, adayların büyük bölümünün, arkadaşlarının notlarından faydalandıkları belirlenmiştir. Ders notları analizinde, yapılan öğretimin, cebirsel ağırlıklı olduğu, günlük hayat uygulamalarından yararlanılmadığı, konuların tanım-teorem-ispat-uygulamalar ve test şeklinde işlendiği bulgularına ulaşılmıştır. Belirli integral gibi geometrik yorumla kolayca desteklenebilecek bir kavramda, görsel ögelerden çok az yararlanılmış olması, öğrencilerde kavramın somutlaşmasına yönelik zorlukların yaşanmasını etkilemiştir. Rastgele örnekleme metoduna göre seçilen altı öğretmen adayıyla yapılan yarı yapılandırılmış görüşmelerde öne çıkan başlıklardan biri, analizin temel teoremini kullanabilme iken bir diğeri grafik bilgisini yorumlayabilmedir. Analizin temel teoremi gibi belirsiz ve belirli integral arasında ilişki kuran, integral konusunun kavramsal anlaşılmasında önemli olan bir yapının, adaylar tarafından ne zaman ve nasıl

DELİCE, SEVİMLİ / Öğretmen Adaylarının Çoklu Temsil Kullanma Becerilerinin Problem... 131 kullanılacağını bilmeden her sorun için uygulanması, çözümlerde, cebir ağırlıklı bir yaklaşımın benimsendiğini göstermektedir. Adaylar, ters türevi alınarak sınırların yerine koyulması ile çözüme ulaşılabilecek türdeki sorulara alışkın olduğundan, tüm problemleri, bu kalıba uyumlu biçiminde çözmeye çalışmışlardır. Yarı yapılandırılmış görüşmelerde sorulan Denklemler yardımıyla verilen ve alan hesaplanması beklenilen problem türlerinde grafik temsilini kullanmak gerekli mi? sorusuna adayların bir kısmı grafik temsiline gerek olmadığını ifade etmişlerdir: Aslında grafik temsili kullanılmasının çözümü kolaylaştıracağına inanıyorum ama genelde çözüm için gerekli olmadığını düşünüyorum ve herhangi bir grafik çizmeden cebirsel yollar ile sonuca ulaşabiliyorum. Bu yüzden, bu tür bir problemde, hiç grafik kullanmadan da çözüme ulaşabildiğim için çizimin gerekli olmadığını düşünüyorum. Ayrıca, grafik kullanmak zaman kaybı oluşturabiliyor. Verileri grafiğe dökme, süreci somutlaştırmak için gerekebilir ama matematiksel hesaplarda buna çoğu zaman gerek kalmaz. Yukarıdaki cevap adayın, grafik temsilini zorunlu hissetmedikçe kullanmadığına işaret sayılabileceği gibi, matematiksel bilginin, genelde cebir temsili ile ifade edilebileceği, grafiğin somutlaştırma maksatlı kullanılabileceği düşüncesinin de baskınlığını göstermektedir. Adayların, integral alma işlem bilgisi yönüyle başarılı oldukları, bilgiyi yorumlama becerilerinin eksik olduğunu gösteren, yarı yapılandırılmış görüşme bulguları, özellikle grafik çizimlerinin gerektiği bazı sorularda, iki alt kategoriye dikkat çekmektedir. İlk kategoriyi, herhangi bir çizime ihtiyaç duymaksızın cebir işlemleri ile çözüm yapmaya çalışan adaylar oluştururken ikinci kategoride, grafiği çizmesine rağmen; sınır belirleme ve denklemleri birbirinden çıkarma bağlamında, zorluk yaşayan adaylar bulunmaktadır. Ölçme değerlendirme sürecinde, cebir ağırlıklı sorulara yer verilmesinin, motivasyon ve alışkanlık açısından temsil tercihlerini etkilediğini söyleyen adaylar, kendilerine en uzak gelen temsilin, nümerik temsil olduğunu belirtmişlerdir. Görüşmeye alınan adaylarda karşılaşılan ortak durumlardan biri de, belirli integrali genelde eğri altında kalan alan olarak tanımlayan adayların, çözüm sürecinde integralin geometrik yorumundan faydalanmadıkları bulgusudur. Adayların çoğu, ÖSS ye hazırlanırken faydalandıkları yardımcı kurs ve kaynakların, belirli integrale olan bakışlarını şekillendirdiğini ifade etmişlerdir. Dershanelerde yapılan öğretimin, belirli integrali, bir aritmetik hesap aracıymış gibi sınırladığını belirten adaylar, problem türüne göre geliştirilen çeşitli kurallar ve çözüm tekniklerinin sonuç odaklı olduğunu ve süreci anlamlandırma yönüyle eksik kaldığını belirtmişlerdir.

132 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Tartışma TTDT bulguları, cebir temsilinin her türlü problem çözümünde kullanıldığını göstermiştir; bu da katılımcıların cebir temsilini, yardımcı bir araç gibi gördüklerinin göstergesi olarak kabul edilebilir. Cn, Cg, Gg karakteristiğine sahip problemlerde, cebir temsilini kullananların oranı dikkat çekmiştir. Bu durum, öğretmen adaylarının, problemden beklenen kazanım farklı olsa bile cebir temsilini kullanma alışkanlık ve isteklerinin olduğunu göstermektedir. Problem çözümlerinde cebir temsili kullanma eğiliminin doğurduğu bir diğer sonuç ise, belirli integrale yüklenen anlamın hesaplanması gereken bir durum şeklinde sınırlı kalması ile ilgilidir. Adaylar, karşılaştıkları problemlerin büyük çoğunluğunu, analizin temel teoremine göre çözmeye çalışmışlardır. Yalnız bunu yaparken çözülmesi beklenen problemin, analizin temel teoremi nin (Finney et al., 1994) uygulanabilmesi şartlarına uygunluğunu kontrol etmemişlerdir. Bu çözüm süreci, adayların problemleri cebir temsili yaklaşımıyla ele aldığı bulgusunu desteklemektedir. Öğretmen adaylarının, baskın olarak kullandıkları cebir temsillerinin, problem çözme başarısını beraberinde getirememesine, tek temsil kullanma eğiliminden neden olduğu düşünülebilir. Temsiller arası dönüşüm gerektiren sorularda dahi baskın olarak cebir temsilini kullanan öğretmen adaylarının, çözümde başarısız olmaları bulgusu dikkat çekicidir. Ders kitaplarında ve sınav sorularında en çok karşılaşılan problem türlerinden biri olan, denklemler yardımıyla verilen ve alan hesaplanması yoluyla çözüme ulaşılması beklenen Cg karakteristiğindeki problemlerde de cebir temsillerinin yanlış kullanımından kaynaklı zorluklar yaşanmıştır. Eğri altında kalan alan veya sınırlı bir bölgenin alanının hesabı ile ilgili problem çözümlerinde, katılımcıların büyük bir bölümünün, grafik çizimlerinden yararlanmadığı belirlenmiştir. Çözüm sürecinde, grafik temsillerinden yararlanmayan adayların yaşadıkları en büyük yanılgılar, cebir temelli düşünme, grafik bilgilerini yanlış kullanma ve yorumlama kaynaklıdır. Cebirsel düşünen adaylar, eğriler arasında kalan alan problemlerinde herhangi bir çizime ihtiyaç duymaksızın iki denklemi eşitleme yoluyla buldukları kökleri, integral sınırı olarak kabul etmişlerdir. Eğriler arasında kalan alanı, herhangi bir çizimden yararlanmaksızın bulmaya çalışan öğretmen adayları, eğrilerin konumlarını görsellemeden denklemlerin farkını almışlardır. Sonucun negatif olması durumunda Alan negatif olmaz. teziyle yola çıkan katılımcıların, negatif değeri eksi ile çarparak sonuca ulaştıkları belirlenmiştir. Öğret-

DELİCE, SEVİMLİ / Öğretmen Adaylarının Çoklu Temsil Kullanma Becerilerinin Problem... 133 men adaylarının, grafik bilgisini yanlış yorumlamadan kaynaklanan durumlarda, Sağdan soldakini çıkar, üstten alttakini çıkar. şeklinde kavramsal dayanağı olmayan yollar geliştirdikleri ve çözümde bu yanlış süreçlerden yararlandıkları belirlenmiştir. Sınır belirleme sürecinde, adayların büyük bir bölümü, x- eksenini kullanırken bu seçimin, integral işleminin rahatlığına göre değiştiği ve x- ekseni yönüyle alışkanlıklarının olduğu ifade edilmiştir. Bazı adayların grafik temsilinden yararlanmasına rağmen yanlış sınırlar seçmesi, grafiksel veriyi yanlış/eksik yorumlaması olarak değerlendirilmiştir (Berry & Nyman, 2003). Bu karakteristikteki sorularda sadece denklemleri kullanmak yanlış, grafiksel yorum becerisine sahip olmamak eksik çözümlere yol açabilir (Sevimli, 2009). Öğretmen adayları, temsil içi geçiş problemlerinde daha başarılı olmuşlardır; bu durumu, cebir dönüşümü gerektiren problemlerdeki yüksek performansın etkilediği düşünülmektedir. TTDT ye verilen cevaplar incelendiğinde, kısmi cevapların, genelde uygun temsilin kullanılmadığı ve soruların yarım bırakıldığı durumlarda, ortaya çıktığı belirlenmiştir. Üzerinde durulması gereken bir başka bulgu, adayların temsiller arası dönüşüm gerektiren sorularda yaşadıkları zorluklarla ilgilidir. Özellikle, Gc, Cn karakteristiğine sahip problem türlerinde, katılımcıların küçük bir bölümünün, çözümü doğru bir şekilde tamamlayabildikleri, temsiller arası dönüşüm gereken sorularda, öğretmen adaylarının esnek hareket edemedikleri, bunun bir göstergesi olarak düşünülebilir. Bu bağlamda Kendal ve Stacey (2003) nin bulguları da nümerik temsil kullanımı gereken problemlerde adayların daha çok zorlandıklarını göstermektedir. Belirli integral problemlerinin, tablolar yardımıyla verilmesine alışkın olmayan, öğretim sürecinde ve ders kitabında bu türdeki sorularla karşılaşmayan adaylar, problem çözme sürecinde birikimli toplamlar yaklaşımını uygulamakta sorun yaşamışlardır. Ders içeriği analizinde, konuların günlük hayat uygulamalarından bağımsız ve cebir temsili ağırlıklı işlendiği belirlenmiştir. Bu durumun, adayları, tek temsil kullanma eğilimine yönelttiği düşünülmektedir. Yüksek öğretim düzeyindeki öğrenme ortamlarında, belirli integral konusunun davranışçı paradigmayla, tek temsil temelinde ele alınması, adaylarda hesap temelli yaklaşımın oluşmasına neden olarak gösterilebilir (Camacho et al., 2009). Ayrıca üniversiteye hazırlık kurslarının pratik kurallar adı altında verdiği kalıp bilgilerin, kavramsal anlamayı olumsuz etkilediği düşünülebilir. Öğretmen adaylarının büyük çoğunluğunun, temsiller arası geçiş becerisi yönüyle başarı gösteremedikleri belirlenmiştir. Bu başarısızlığa, mevcut