XIV. Ulusal ntalya Matematk Olmpyat rnc ³ama Snav Sorular -009 c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com Soru 1. dar açl üçgeninde m() = 45 'dir. 'dan 'ye indirilmi³ dikmenin aya E ve 'den 'ye indirilmi³ dikmenin aya da D olsun. E er E = 4 ve E = 3 birim ise, DE uzunlu u kaç birimdir. Çözüm 1. Yukardaki ³ekilden D uzunlu unun 7 olaca açktr. urada, DE üç- D 45 o 3 E 4 45 o ekil 1: Çözüm 1 geninde cos teoremini uygularsak, istenilen DE uzunlu unu 5 olarak bulunur. Soru. 1'den 9'a kadar rakamlarn her birinin tam bir kez tüm dokuz basamakl saylar dü³ünelim. 1,, 3, 4, 5, 6 rakamlarnn artan srada bulunup da 1,, 3, 4, 5, 6, 7 rakamlarnn artan srada bulunmad saylara iyi saylar diyelim. Örne in, 8 1 7 3 4 9 5 6 ve 9 7 1 3 8 4 5 6 saylar birer iyi saylardr. Kaç tane iyi say vardr? Çözüm. Önce rakamlarn artan srada bulunduklar duruma bakalm, 1 3 4 5 6 ise aralara bizim 7, 8, 9 saylarn yerle³tirmemiz gerekecektir. una göre dizilim says, olacaktr. Düzgün sralan³larn says 7 3! + 7 6 3! + } 7 {{ 6 5} = 504 Hepsi farkl yerde 1 3 4 5 6 7 1
saylarnn arasna 7, 8, 9 saylarn yerle³tiri imizde olacaktr. uda, 8! + 8 6 = 7 oldu una göre, soruda istenilen iyi saylarn says,504 7 = 43 olacaktr. Soru 3. üçgeninin kenar uzunluklar tamsaylar olup, = 117 birimdir. m() açsnn açortaynn kenar ile kesi³im noktas D olsun. E er = D ise, üçgenin kenarnn uzunlu unun rakamlar toplam kaçtr? Çözüm 3. ekilden, e er benzerli i kullanrsak, 117 a b ekil : Çözüm 3 olacaktr. uradan, 117 a = a b a = 13 3 b e³itli i elde edilir. u e³itlikte, b = 13 olabilir. ncak, bu durumda üçgen e³itsizli i sa lanamaz. b = 4 13 olarak alrsak a = 78 olacaktr ve üçgen e³itsizli i sa lanacaktr. una göre, soruda istenen cevap, 7 + 8 = 15 olacaktr. Soru 4. 7x 8 + 3 9 7x = 1 denkleminin reel çözümlerinin toplam kaçtr? Çözüm 4. Soruda verilen e³itli i, ve 7x 8 = a olarak alrsak yeni e³itli imiz, 3 9 7x = 1 7x 8 3 1 a = 1 a olacaktr. u e³itlikte, e³itli in iki tarafnnda kübünü alr ve çözüme gidersek a = 1, a = 0 ve a = 3 de erlerine ula³rz. una göre, 7x 8 ifadesi srasyla, 0, 1 ve 3 de erlerine e³itlenirse x de erleri x = 8 7, x = 9 7, x = 17 7 olaca ndan toplamlarda 34 7 bulunacaktr.
Soru 5. = { 1,, 3,, 97, 98} kümesinin, bo³ olmayan her alt kümesi için, bu alt kümenin elemanlarnn çarpmn hesaplayalm. Ortaya çkan tüm çarpmlarn toplam kaçtr? Çözüm 5. kümesinin alt kümelerini ikiye ayralm, bu kümelerden birincisi 1 elemann içerirken di eri 1 elemann içermesin, 1 elemann içeren bir alt küme içermeyenin negatiisi olaca ndan sürekli toplamlar sfra gidecektir. Tek elemanl bir altküme olan { 1}'in pozitiisi olmad içinde, sadece 1 kalacaktr. Not. Özel olarak kümesini 3 veya 4 elemanl bir küme olarak seçtikten sonrada soruda istenilen durumu uygulad nzda sürekli 1 bulursunuz. Soru 6. n pozitif tamsay olmak üzere, n(n + 1) a n = biçimindeki sayya bir üçgensel say denir. una göre, a b = 90 e³itli ini sa layan kaç tane (a, b) üçgensel say ikilisi vardr? Çözüm 6. a ve b birer üçgensel say oldu una ve farklar da 90 oldu una göre, n(n + 1) m(m + 1) = 90 n + n m m = 180 e³itli i elde edilecektir. E er son ifade düzenlenirse, (n m)(n m + 1) = 180 olaca ndan istenen ikililer (90, 89), (31, 8), (4, 0), (0, 15), (14, 5), (13, 1) olmak üzere toplam 6 tane olacaktr. Soru 7. ekilde, 6 satr ve 4 sütunu olan tablonun sol alt kö³esinden ( noktasndan) sa üst kö³esine (D noktasna), çizgiler üzerinde sa a veya yukarya hareket edilerek gidilecektir. ve noktalarnn en az birinden geçmek ko³uluyla, kaç farkl yol izlenebilir? D ekil 3: Soru 7 3
Çözüm 7. Önce ve noktasndan geçti i durumlar bulup toplayaca z sonrada, ikisinden birden geçti i durumlarn saysn bulup bu toplamdan çkaraca z. una göre, olarak cevap bulunacaktr. 4! 6!!!!4! + 6! 4! 3!3! 3! 4! 4!!! 3! = 1 Soru 8. 1 3 = + 8 1 1 3 5 + + 8 1 5 7 + + 8 3 1 3 5 + + + 8 1 1 1 3 3 5 5 7 3 5 ifadesinin e³iti kaçtr? Çözüm 8. Soruda verilen toplam düzenlemeye çal³alm, buna göre; 1 k=1 ((k 1)(k + 1) + 1) (k 1)(k + 1) = 1 k=1 (k 1)(k + 1) + 1 (k 1)(k + 1) 1 = 1 + = 1 + 1 k=1 1 = 1 + 1 = 1 + 1 5 = 1, 48 1 (k 1)(k + 1) k=1 ( 1 k 1 1 ) ( 1 1 5 k + 1 ) istenilen cevap olarak bulunacaktr. Soru 9. ekilde dik üçgeninde m() = 90, m() = 30 ve m(ed) = m(e)'dr. D E ve = 9 birim ise E uzunlu u kaç birimdir? x D x E 30 o ekil 4: Soru 9 Çözüm 9. Soruda E ve ED açlar α olarak verilmi³. uradan, m(e)+m(e) = α + 30 ise α = 30 oldu unu görmek zor de ildir. E er, E = a olarak alrsak, ED = a ve D = 3a olaca ndan E = 4a olacaktr. Soruda = 9 olarak verildi ine göre, 6a = 9 olaca ndan, E = 6 olarak bulunacaktr. 4
Soru 10. n says 3 ile, n + 1 says 7 ile ve n + says 11 ile tam bölünecek ³ekildeki en küçük n pozitif tamsaysnn rakamlar toplam kaçtr? Çözüm 10. Sorada verilen bilgilere göre, 3k = 7m + 6 = 11t + 9 ise saymzn 174 oldu unu görmek zor de ildir. una göre istenen cevap, 1+7+4 = 1 olacaktr. Soru 11. p bir asal say ve x > 0, n 0 tamsaylar olmak üzere, n p < 1000 ise n + 100 x p denkleminin kaç tane (x, n, p) çözüm üçlüsü vardr? Çözüm 11. n + 100 x p 100 1 p = (n + x) = n + nx + x = n + x uradan, p = ise 50 = n + x ve n = {0, 1,, 3,, } p = 5 ise 0 = n + x ve n = {0, 1,, 3,, 9} ise toplamda 33 tane üçlü vardr. Soru 1. a < b < c saylar için a + c = b olursa, (a, b, c) üçlüsüne aritmetik üçlü diyelim. = {1,, 3,, n} kümesinin elemanlaryla olu³turulabilen tüm aritmetik üçlüler saysnn 99'dan büyük olmas için n tek says en az kaç olmaldr? Çözüm 1. = {1,, 3,, n} kümesinde olu³abilecek üçlüler ³öyledir, (1, 1 + 1, 1 + ) (1, 1 +, 1 + 4) (1, 1 + n 1, n) olur. unlarn her birinin says srasyla n tane, n 4 tane,... ve n (n 1) tanedir. O zaman toplam üçlüler ( ) ( ) n + 1 n 1 1 + 3 + + n = ise n 1 99 4 ve n 397 oldu undan n tek say oldu u için 1 bulunur. 5
Soru 13. f : Z Z fonksiyonu her x, y Z için f (f(x) + y) f(y + 7) = x e³itli ini ve f() = 5 ko³ulunu sa lasn. u durumda, f(11) kaçtr? Çözüm 13. x = olarak alrsak, f(f() + y) f(y + 7) = ise f(5 + y) f(y + 7) = olacaktr. E er y + 5 = k olarak alrsak, f(k) f(k + ) = olacaktr. uradan f() = 5, f(4) = 3, f(6) = 1, f(8) = 1 oldu una göre, f(x) = x + 7 olacaktr. E er x = (x/) dönü³ümü yaparsak, f(x) = x + 7 olaca ndan soruda istenen f(11) = 7 11 = 4 olacaktr. Soru 14. n + 1001 n ifadesini tam kare yapan en büyük n pozitif tamsaysnn rakamlar toplam kaçtr? ise Çözüm 14. n + 1001 n n + n(mod9) ise (n + 1) 1(mod9) olacaktr. una göre, olacaktr. n + 1 ±1(mod9) n 0 veya (mod9) n = 9k 9k + 7 7(mod9) oldu undan istenilen saynn basamaklar toplam 7 olacaktr. Soru 15. [1, ) aral ndan alnm³ kaç tane x için e³itsizli i sa lanmaz? Çözüm 15. 1 1 x < x + x + 1 x + 1 < x + 1 x 1 1 1 x < x + 1 1 4x + 4 < x + 1 x + x + x + + 1 0 < x + 1 x x + x 1 ( 0 < x 1 ) + x 0 < ( x 1 x ) 1 ( x 1 x 1 ) x 1 x 1 = 0 x x 1 = 0 6
ise tane reel kök vardr. ncak köklerden biri 1'den küçük ile sadece tek kök vardr. Soru 16. Yükseklikleri, h a 3, h b 4 ve h c 6 e³itizliklerini sa layan üçgenler içinde alan en küçük olan üçgenin alan kaçtr? Çözüm 16. üçgeninde h a > 6 ise b ve c kenarda 6'dan büyük olacaktr. b veya c kenarna indirilen dikmelerden biride 4'ten büyük olacaktr. una göre istenen alan, 6 4 = 1 olacaktr. Soru 17. ekilde,,, 1, 1 ve 1 noktalar bir çember üzerinde olup, M noktas 1, 1, 1 do ru parçalarnn kesi³im noktasdr. E er m(ĉ 1 ) = 64, m(â 1 ) = 16 ve m(â 1 ) = m(ĉ 1 ) = 3 ise, m(âp M) açs kaç derecedir? 3 64 P 16 3 M 1 1 1 ekil 5: Soru 17 Çözüm 17. E er ³eklimizde, 1 ve 1 do ru parçalarn çizimlerini yaparsak, çem- 3 64 P 16 16 3 3 M 1 1 1 ekil 6: Çözüm 17 berde çevre aç kuralndan, 1 1 = 16 ve 1 1 = 3 olacaktr. una göre, 1 üçgeninde 1 ve 1 do rular açortay olacaktr. una göre, 1 do rusuda bir açortaydr. una göre istenen aç de eri, 74 olacaktr. 7
Soru 18. x > 0 ve y > 0 olmak üzere, ifadesinin alabilece i en küçük de er kaçtr? 9x + 64y + 1 x y Çözüm 18. ritmetik Orta - Geometrik Orta e³itsizli ini kullanrsak, 9x + 9x + 64y + 1 x y 4 81 x 4 64y x y 3 4 = 4 Soru 19. 4x 4 0x 3 + 17x + x = 0 denkleminin köklerinden ikisinin çarpm ise, bu iki kökün kareleri toplam kaçtr? Çözüm 19. Temel Viete's denklem kökleri toplam ve çarpm kurallarn kullanmamz isteyen bir sorudur. una göre, varsayalm köklerimiz x 1, x, x 3, x 4 olsun. una göre, x 1 x = x 1 x x 3 x 4 = 1 olacaktr. uradan, oldu una göre, bu e³itli i düzenlersek, e³itli ini elde ederiz. yrca, x 3 x 4 = 1 4 x 1 x x 3 + x 1 x 3 x 4 + x 3 x 4 x 1 + x 1 x x 4 = 11 x 1 x (x 3 + x }{{} 4 ) + x 3 x 4 (x 1 + x ) = 11 }{{} a b a + b = 5 oldu undan, a = 3 ve b = olacaktr. Soruda bizden istenen, (x 1 + x ) = x 1 + x + x 1 x = 4 ise olarak bulunur. x 1 + x = 8 Soru 0. b ve c pozitif tamsaylar olmak üzere, kaç (b, c) ikilisi için x bx c = 0 denkleminin kökleri 5'ten küçüktür 1? Çözüm 0. x ax b = 0 denkleminin kökleri için, x 1, = a ± a + 4b 1 u soru snav komitesi tarafndan, do ru cevap ³klar arasnda verimesi unutuldu undan iptal edilmi³tir. yrca bu sorunun ayns, 003-11. Ulusal Matematik Olimpiyat Snav'nda da sorulmu³tur. 8 5
olmas isteniyor. (a, b) pozitif ve δ = a + 4b > 0 oldu undan denklemin gerçel kökleri vardr. E er, a ± a + 4b 5 e³itsizli i çözülürse 5a + b 5 bulunur. u e³itli i sa layan a tamsaylar 1,, 3, 4'tür. una göre, a = 1 ise 1 b 0, a = ise 1 b 15, a = 3 ise 1 b 10, a = 4 ise 1 b 5 olur. u durumda 0 + 15 + 10 + 5 = 50 tane (a, b) tamsay ikilisi için denklemin kökleri 5'ten büyük de ildir. 9