Mtemtik Dünys, 00 K fl Kpk Konusu: S rlmlr S rlm x lk yz d her fleyin s rlnmyc n gördük. Am bu, hiçbir fley s rlnmz nlm n gelmez tbii ki. Bz fleyler bl gibi s rln r. Örne in ÖSS s nv sonuçlr n göre gençlerimiz s rlnbilirler, s rln yorlr d... Bu yz d s rlmn n mtemtiksel nlm n ve bir sürü örnek görece iz. Mtemtiksel tn m dh sonry sklyrk örneklerle bfllyl m. Örnek. lk örne imiz do l sy lr kümesi olsun. En küçük do l sy 0 d r, sonr M gelir, sonr, vs. Herhngi iki do l sy y 9 büyüklüklerine göre krfl lflt rbiliriz. Örne in 3 <. Ayr c < 8. Doly s yl 3 < 8 8 vs. Do l sy lr, herkesin bildi i üzere 7 0 < < < 3 < 4 < <... 6 diye s rlnm fllrd r. Bu s rlmn n en küçük elemn vrd r (o d 0 d r). Am en bü- 4 yük elemn yoktur, her do l sy dn dh büyük do l sy vrd r çünkü. Bu s rlmn n bir bflk özelli i de her elemn n 3 hemen bir büyü ünün olms, in bir büyü ü 6 d r örne in. Ayr c, bu s rlmd, 0 0 d fl nd her elemn n bir öncesi de vrd r. Do l sy lr n bu s rlms n do l s rlm d n verece iz ve bu s rlmy (N, <) olrk gösterece iz. Do l sy lr n do l s rlms n sold resmettik. Küçük elemnlr fl y, büyük elemnlr yukr y yzd k. Görsel olrk hep böyle ypc z, küçükleri fl y, büyükleri yukr y yzc z. ABCÇDEFG HI JKLMNOÖPRSfiTUÜVYZ Bir lfbe sdece hrflerden oluflmz. Bir lfbede hrfler yr c s ry dizilmifllerdir. Türkçenin 9 hrfi 9! de iflik biçimde s ry dizilebilir, yni Türkçenin hrflerinden 9! de iflik lfbe oluflturulbilir. Örnek. kinci örne imizde do l sy lrd l fl k oldu umuz s rlmy ters çevirelim: Bu sefer en küçük sy (yni 0) bu yeni s rlmy göre en büyük elemn olck. Sy lr bir s nvd yp ln ynl fl sy s olrk yorumlrsk böyle bir s - rlmn n neden gerekli olbilece ini nlr z. Bu kez 0 pun ln (yni 0 ynl fl ypn) en iyisidir, ondn dh iyisi yoktur. pun ln d fen de ildir m 0 pun kdr iyi de ildir. Bu s rlmy p iflretiyle gösterelim:... p p 4 p 3 p p p 0. Bu yeni s rlmn n en büyük elemn vr, 0 0. Am en küçük elemn yok, her elemn n hemen bir küçü ü vr, örne in in bir küçü ü bu s rlmy göre 6. Ayr c 0 d - fl nd her sy n n hemen bir büyü ü vr. 3 Bu s rlmy göre in hemen bir büyü ü 4 4 tür. Yndki flekilde bu yeni s rlmy resmettik. En büyük elemn en tepede 6 gösterdik, elemnlr küçüldükçe fl lnd lr. Afl do ru istedi imiz kdr gidebiliriz. 8 7 Do l sy lr n do l s rlms yl M kr flms n diye bu yeni s rlmy p simgesiyle gösterdik. Do l sy lr üstündeki bu yeni s rlmy gelecekte (N, p) olrk gönderme ypc z. Örnek 3. Üçüncü örne imizi gönül ifllerinden seçelim, dh heyecnl oluyor. Diyelim Gül ün befl tlibi vr: Ayhn, Burk, Cn, Do n ve Erdem. Gül, bu befl tlipten birini seçmek için deliknl lr s nvdn geçiriyor. En öncelikli k sts zekâ oldu undn önce C D E tliplerine strnç oynt yor. Ayhn herkese B yeniliyor, Burk hem Cn hem de Do n A yeniliyor. Zmn klmd ndn bflk d mç yp lm yor. Bu flmd Gül ün s rlms n flöyle gösterebiliriz: A < B < C, A < B < D ve A < E. Burd A Ayhn, B Burk vs temsil ediyor elbette. S rlmy yukrd fleklettik. En düflük pun ln Ayhn en lt s ry yerlefltirdik. 9
Mtemtik Dünys, 00 K fl Bu flmd Gül Erdem le Burk rs nd bir k yslm ypm yor henüz m bu k yslymm yukrdkinin bir s rlm y d yr s rlm olms n engel olmyck. (Mtemtiksel tn m birz sonr...) Gül, Erdem le Cn ve Do n d k yslym - yor. Am Cn ve Do n Burk tercih ediyor. Örnek 4. Dördüncü örne imizde bir kümenin ltkümelerini küçükten büyü e s rlyc z. E bir küme olsun (Evren in E si.) E nin ltkümeleri kümesine diyelim. Örne in E = {0,, } olbilir. O zmn in flu 8 elemn vrd r: {0}, {}, {}, {0, }, {, }, {0, } {0,, } = E. E er A, B ise, yni A ve B, E nin ltkümeleriyse, A, B den küçüktür iliflkisini A B olrk tn mlyl m. Yni A, B nin özltkümesiyse (A B ve A B ise), o zmn A n n B den küçük oldu- unu söyleyelim. Bu, birzdn tn mlyc m z nlmd bir s rlmd r. Bu s rlmd, üçüncü s rlmdki gibi krfl - lflt r lmyn elemnlr vrd r. Örne in in {0} ve {} elemnlr (yni E nin {0} ve {} ltkümeleri) krfl lflt r lmzlr; birbirlerine eflit olmd klr gibi ne biri di erinin ne de beriki öbürünün özltkümesidir. {0} {0,, } = E {0, } {0, } {, } {} {} Bu s rlmy E = {0,, } durumund fl dn yukr do ru yndki gibi resmedebiliriz. Gelecekte bu s rlmy ( (E), ) s rl çifti olrk gönderme ypc z. Burd, (E), E nin ltkümeler kümesi, yni nlm n geliyor. Örnek. Gene do l sy lr ele ll m. E er x, y yi (do l sy lrd) bölüyors, yni xz = y eflitli ini s lyn bir z do l sy s vrs, m x y ise, x, y den (flu nd tn mlmk üzere oldu umuz s rlmy göre) küçük olsun. Yni bölen sy lr küçük, bölünen sy lr büyük... 0, kendisi d fl nd hiçbir sy y bölmedi inden (çünkü z ne olurs olsun 0z = 0 y), 0 dn büyük sy yoktur. Öte yndn her sy 0 böldü ünden (çünkü x0 = 0) her sy 0 dn küçüktür. Doly s yl do l s rlmn n en küçük elemn oln 0 bu s rlmn n en büyük elemn d r. her sy y böldü ünden, bu s rlmn n en küçük elemn d r. Asl sy lr den bir büyük elemnlrd r elbette. Ayr c le bir sl sy rs nd (bu s rlmy göre) bir bflk elemn yoktur. Bu s rlmy göre, bir p sl ndn bir büyük elemnlr p ve bir q sl için pq biçiminde yz - ln elemnlrd r. flte bu s rlmn n küçük bir prçs n n bir resmi: 6 4 8 4 36 00 8 60 90 0 8 0 7 4 30 0 7 6 9 0 3 Bölen sy lr fl y, bölünen sy lr yukr yzd k, yr c bu iki sy y bir do ruyl birlefltirdik. Anck flekil kr flms n diye, örne in, ile 36 rs n bir do ru çizmedik (bu yöntemle çizilen flekle bzen Hsse diygrm denir.) den 36 y giden en z bir yükselen yol oldu undn nin (bu s rlmy göre) 36 dn küçük oldu u flekle bk nc nlfl l yor. Bu son s rlm çok ilgimi çeker benim. Tn - m son derece bsit m kendisi de bir o kdr krmfl k. Yukrdki flemy bir de 7 yi eklerseniz bu s rlmn n ne kdr krmfl k bir s rlm oldu- unu dh iyi nlrs n z, htt sdece dördüncü kt tmmlmy çl fl n... Bir sy y sllr y rrk sy n n den yüksekli ini de hesplybiliriz. Örne in, 60 = 3 oldu undn, 60 n yüksekli i + + = 4 tür, yni den bfllyrk tm dört d md 60 ulflbiliriz, örne in 6 30 60 bu yollrdn biridir. Gelecekte bu s rlmy (N, ) olrk gönderme ypc z. Örnek 6. Sonlu Kümeler Üzerine S rlm. Her ne kdr mtemtiksel de eri olms d, pedgojik önemi oldu undn z sy d elemn oln kümeler üzerine s rlmlr bull m. E er boflkümeyse y d in tek bir elemn 0
Mtemtik Dünys, 00 K fl vrs, te k yslybilece imiz iki de iflik elemn olmyc ndn bu durumlrd ypck bir fley yok, bu kümeler üzerine sdece tek bir s rlm vrd r: bofls rlm denilen ve hiçbir elemn n hiçbir elemnl k yslnmd tek bir s rlm. E er in iki elemn vrs, diyelim = {, b} ise, o zmn üzerine fl d görülen üç de iflik s rlm vrd r. Bunlrdn son ikisi birbirlerine çok benzerler, birbirlerinden gerçekten frkl olduklr n söylemek zor... lerde, eflyp sll tn mld m zd, son iki s rlmn n eflyp sl olduklr n söyleyece iz. fiimdi in üç elemn oldu unu vrsyl m. O zmn, üzerine 9 tne de iflik m sdece tne gerçekten de iflik yni eflyp sl olmyn s - rlm vrd r. bofls rlm, bunlrdn tne vr b ve b k yslnmz, bofls rlm bunlrdn 6 tne vr Elemn sy s dörde ç krs s rlm sy s çok rtr. Bunlr n sy s n bulmy okur b rk yoruz. Sonlu s rlm örneklerini symzsk, yukrd befl s rlm örne i verdik. lk ikisi ve sonuncusund do l sy lr üç de iflik biçimde s rld k: (N, <), (N, ), (N, ). Birincisinde do l s rlmy ld k. kincisinde do l s rlmy ters çevirdik. Sonuncusund ise s rlmy bölünebilirlikle tn mld k. Görüldü ü gibi yn küme de iflik biçimlerde s rlnbiliyor. Son dört örnekte de görülebilece i gibi ill iki frkl elmndn birinin di erinden küçük olms gerekmiyor. Bu durum ilk iki örnekte zuhur etmiyor; bu s rlmlrd birbirinden frkl herhngi iki elemn krfl lflt rbiliyoruz. Mtemtiksel Tn m. Art k s rlmy mtemtiksel olrk tn mlm zmn geldi, yoks bu yz bitmeyecek. Üstünde bir s rlm tn mlyc m z kümeye diyelim. in elemnlr n bir biçimde s rlmk istiyoruz. ll birinci, ikinci diye b < b bunlrdn d 6 tne vr b b < bunlrdn 3 tne vr bunlrdn 3 tne vr de il, çünkü te birinci y d ikinci olmybilir. S rlm dedi imiz fley, in bz elemnlr - n n in bz elemnlr ndn dh küçük (y d dh büyük) olduklr n buyurmkt r. Öylesine bir buyruk de il m... Bu buyru un flu iki özelli i s lms gerekir: S. Hiçbir elemn kendinden küçük olmz. S. E er x, y den küçükse ve y de z den küçükse, o zmn x, z den küçük olml d r. Bu iki özelli i s lyn ikili bir iliflkiye s rlm denir. kili iliflki dedi imiz iki elemn rs nd bir iliflki dir; yni in iki elemn n krfl lflt r yoruz. E er x, y den küçüktür ifdesini x < y olrk k slt rsk, o zmn yukrdki S ve S koflullr flu biçimde yz l rlr: S. Hiçbir x için x < x. S. Her x, y, z için, e er x < y ve y < z ise, x < z dir. Dikkt ederseniz herhngi iki elemn n krfl - lflt r lbilece ini söylemiyor s rlm koflullr, yni x in y den küçük olmd, y nin de x ten küçük olmd x y elemnlr olbilir. Bu yüzden bu koflullr s lyn bir s rlmy kimi zmn yr -s rlm dendi i de olur. Herhngi iki elemn n krfl lflt r lbildi i bir s rlmy, yni S ve S d fl nd, S. Her x, y için, y x < y y y < x y d x = y koflulunu s lyn bir s rlmy tms rlm denir. Yz n n bfl nd verdi imiz ilk iki örnek birer tms rlmd r, son üç örnek ise tms rlm olmyn yr -s rlmlrd r çünkü son üç örnekte krfl - lflt r lmyn (ve eflit olmyn) elemnlr vrd r. Tm s rlmlr dh sonrki yz lrd dh yr nt l olrk konu edece iz. Bir s rlmd < yerine kimi zmn (dördüncü örnekte oldu u gibi),,, Þ gibi bflk imgelerin kulln ld d olur. Örne in do l sy lr tersten s rld m z ikinci örne imizde do l s - rlm yl kr flms n diye < yerine imgesini kullnm flt k. Gene do l sy lr s rld m z beflinci örne imizde s rlm bölünebilirli e göre tn mlnd ndn, < yerine imgesini kullnmk yerinde bir krrd. S özelli ine ship bir ikili iliflkiye ntirefleksif y d yns myn iliflki denir. S özelli ine ship bir ikili iliflkiye ise trnzitif y d geçiflli iliflki denir.
Mtemtik Dünys, 00 K fl Dh Mtemtiksel Bir Deyiflle... S rlmn n s l mtemtiksel tn m flöyledir. bir küme olsun. A, S. Her x için (x, x) A, S. Her x, y, z için, e er (x, y) Ave (y, z) A ise o zmn (x, z) A dir özelliklerini s lyn bir ltküme olsun. O zmn A y üzerine bir s rlm denir ve bu s - rlm (, A) olrk yz l r. üzerine bir ikili iliflki sdece in bir ltkümesidir. Demek ki bir s rlm S ve S özelliklerini s lyn bir ikili iliflkidir. E er (, A) bir s rlmys, s k s k (x, y) A yerine x < y gibi sezgilerimize dh fzl hitp eden ve dh fzl nlm im eden bir yz l m kulln l r. O zmn s rlm (, A) yerine (, <) olrk yz l r. Bu tn mdn d nlfl lc üzere, e er A = ise S ve S özellikleri do ru olur ve böylece hiçbir elemn n hiçbir elemnl krfl lflt r lmd - bofls rlm d verilen (, ) s rlms n elde ederiz. Bofls rlmy krrs z s rlm d n d verebiliriz. Zten tek bir elemn oln bir küme üzerine sdece bofls rlm olbilir. Hytt bofls rlmdn dh ilginç s rlmlr vrd r. Bir kümesi üzerine bir tms rlm, A n n en büyük oldu u (, A) s rlms d r. E er bir s rlmd x < y ise, y nin (bu s rlm için) x ten dh büyük oldu unu söyleriz. Bir s rlmd hem x, y den hem de y, x ten küçük olmz, çünkü o zmn S de z = x lrk, x < x buluruz ki bu d S le çeliflir. E er < diye dlnd r ln bir s rlm verilmiflse, elemnlr rs nd eflitli i de içeren ve genellikle imiyle simgelenen ikili bir iliflki flöyle tn mln r: x y x < y y d x = y. () ikili iliflkisi flu özellikler s lr: T. Her x için x x. T. Her x, y, z için, e er x y ve y z ise, x z dir. T3. Her x, y için, e er x yvey xise, x = y eflitli i do rudur. T ve T nin do ruluklr çok briz. T3 ü kn tlyl m. x y ve y x olsun. E er x y ise, iliflkisinin tn m n göre x < y ve y < x. Bundn ve S den x < x ç kr, ki bu d S le çeliflir. E er bir kümesi üzerine yukrdki T, T, T3 özelliklerini s lyn bir ikili iliflkisi verilmiflse ve < ikili iliflkisini, x < y x y ve x y () olrk tn mlrsk, o zmn < iliflkisi S ve S özelliklerini s lr, doly s yl bir s rlm olur. Bunun kn t çok bsittir ve okur b rk lm flt r. Kolyc görülece i üzere S ve S özelli ini s lyn bir s rlmyl, T, T ve T3 özelli ini s lyn ikili iliflkiler rs nd bir eflleme vrd r. Birinden di eri ç klnn yöntemlerle elde edilir. Ve ç klnn yöntemler iki kez uygulnd nd bfllnn ikili iliflki bulunur. Yni S ve S özelliklerini s lyn bir < s rlms ndn bfllrsk ve bu s rlmy önce (), sonr d () yöntemini uygulrsk bflld - m z < s rlms n buluruz. Ayr c e er T, T ve T3 özelliklerini s lyn bir iliflkisinden bfllrsk ve bu iliflkiye önce (), sonr d () yöntemini uygulrsk bflld m z iliflkisini buluruz. Demek ki S ve S özelliklerini s lyn bir s - rlmyl T, T ve T3 özelliklerini s lyn bir ikili iliflki rs nd pek bir frk yoktur. Bu yüzden bundn böyle T, T, T3 özelliklerini s lyn bir ikili iliflkiye de s rlm diyece iz. E er s rlmy <,,,, Þ gibi bir simgeyle tn mlrsk s rlmn n S ve S özelliklerini s ld n, e er, ë, ù, ±, º, ß gibi bir simgeyle tn mlrsk T, T, T3 özelliklerini s ld n vrsyc z. T, T, T3 özelliklerini s lyn bir s rlms n n bir tms rlm olms için, T. Her x, y için, y x y y d y x özelli inin s lnms gerekir elbette. T, T, T3 özelliklerini s lyn bir s rlms nd e er x y ise, x, y den küçükeflittir y d y, x ten büyükeflittir diyece iz. E er bir s rlm verilmiflse, >,, ô, ö, õ, ú,, gibi nlm briz oln ve l fl k oldu umuz simgeleri hiç çekinmeden kullnc z. Örne in: x > y y < x x y y x x ú y x y do ru de ilse x y x y do ru de ilse Dikkt! E er (, <) bir tms rlm de ilse, x ô y ill x y nlm n gelmeyebilir, çünkü x ve y krfl lflt r lmz d olbilirler. Dört syfy fln bir örnek ve tn m fsl ndn sonr yz n n kln k sm nd s rlmlr n bz özelliklerini ve bz s rlm örnekleri gösterece iz.
Mtemtik Dünys, 00 K fl Eskilerden Yeni S rlmlr Türetmek Bir S rlmy Ters Çevirmek. kinci örne imiz oln (N, p) s rlms nd birinci örne imiz oln (N, <) s rlms n ters çevirmifltik, birinci örnekte büyük oln elemnlr ikinci örnekte küçük olmufllrd. Genel olrk, herhngi bir s rlmy c S rlnm fl bir kümesinin tepesine bir elemn eklemek ters çevirerek yeni bir s rlm elde edebiliriz: E er <, kümesi üzerine bir s rlmys, x y iliflkisini y < x olrk tn mlyl m; o zmn de üzerine bir s rlmd r. Bu iki s rlm rs nd kydde er bir frk yoktur. S rl Bir Kümenin Bir Altkümesini S rlmk. S rl bir kümesinin bir Y ltkümesi verilmiflse, in s rlms n Y ye k s tlyrk Y yi de s rlybiliriz, yni Y kümesi üstkümesinin s rlms yl s rln r. in s rlms n sdece Y nin elemnlr - c Bir s rlm ve onun ters çevrilmifl hli en çok kulln m ln buln y en tepeye koymkt r, yni y en büyük elemn ypmkt r. {} kümesinin bu s rlms nd, in eski düzeni ynen korunur, bir de yr c n n in tüm elemnlr ndn dh büyük olc buyrulur. Yni her x, y {} için, x < y nck ve nck x, y ve (, <) de x < y ise y d x ve y = ise. elemn yukrdki gibi in tepesine eklendi- inde yerine yzmk nerdeyse bir gelenek hlini lm flt r. y in tepesi yerine bflk bir yerine de ekleyebiliriz. Örne in in içinde flu özellikleri s lyn U ve V kümeleri oldu unu vrsyl m: U V = ve U nun her elemn V nin her elemn ndn Y Y V V {} Bir s rlm ve bir ltkümesi n k s tlmk yeterlidir bunun için. Bu durumd Y nin s rlms n n in s rlms ndn mirs kld y d in s rlms n n kl nt s oldu u söylenir. Örne in Z nin do l s rlms hem Q nün hem de R nin do l s rlms n n kl nt s d r. N nin do l s rlms d hem Z nin hem Q nün hem de R nin do l s rlms n n kl nt s d r. Y nin bu s rlms n in lts rlms denir. Yeni Bir Elemn Eklemek. E er bir (, <) s rlms verilmiflse ve, te olmyn bir elemns, {} kümesini in s rlms n bozmyck flekilde çeflitli biçimlerde s rlybiliriz. En koly ve U y U ile V rs n koymk küçük. fiimdi y U ile V rs n koyl m, yni y U nun her elemn ndn büyük ve V nin her elemn ndn küçük ypl m. {} kümesi üstünde yeni bir s rlm elde ederiz. Asl nd y en son koymk bunun özel bir hlidir: E er yukrdki infld U = ve V = l rsk, y en tepeye koymufl oluruz. U 3
Mtemtik Dünys, 00 K fl Bunun bir bflk vrysyonu flöyledir: x ve V = {y : x < y} ve U = {y : y x} olsun. fiimdi n n V n n elemnlr ndn küçük ve U nun elemnlr ndn büyük oldu unu buyurl m. Böylece y x ten hemen sonr koymufl oluruz. Bunun resmi de fl d. V V V {} U U x U U ve V s rlmlr U + V N s rlms n fl dn yukr y de il, soldn s- yzd k. Zten ilerde de elemnlr küçükten büyü e yzrken soldn s yzc z. 0 3... 0 3... y x ten hemen sonr koymk ki S rlmy Toplmk. (U, <) ve (V, <) iki s rlm olsun. U ile V nin yr k olduklr n, yni kesiflimlerinin bofl oldu unu vrsyl m. fiimdi, U ve V de vroln s rlm d fl nd yeni herhngi bir s rlm eklemeden U V kümesini s rl bir küme olrk lg lybiliriz. (U øv, <) olrk simgeleyece imiz bu s rlmd U nun elemnlr yl V nin elemnlr birbirleriyle k yslnmzlr. E er U ve V kümeleri yr k de illerse ve ill U ve V ile yukrdki infly ypmk istersek, önce bu iki kümeyi bir biçimde yr klflt rmk gerekir. Bunun stndrt yolu U yerine U {0}, V yerine V {} yzmkt r. Ayr c U ve V nin s rlmlr n bozmdn U {0} ve V {} kümelerine tfl n r. E er bu çok meflkktli geliyors, V nin elemnlr n (U nunkilere de il!) v yerine v d n verilir. Yndki flekilde U = V = N durumund bunun resmini ynd ypt k. 6 4 3 0 N ø N 6 4 3 0 U V birleflimini (kümeler hâlâ yr k) flöyle de s rlybiliriz. U ve V nin vroln s rlms n kbullenip yr c U nun her elemn n V nin her elemn ndn küçük ddedebiliriz. U V kümesi üzerindeki bu s rlmy U + V olrk gösterilir. Resmi yn sütund. N + N s rlms önemlidir. Afl d bu s rlmy gösterdik, nck yerden kznmk için N + 4 Fonksiyonl S rlm. (Y, <) bir s rlm, bir küme ve ƒ : Y herhngi bir fonksiyon olsun. üzerine flu < ikili iliflkisini tn mlyl m: x, x için, x < x ƒ(x ) < ƒ(x ) olsun. Bu, kolyc kn tlnbilece i üzere üzerine bir s rlm tn mlr. Dikkt: Tn m x x ƒ(x ) ƒ(x ) olrk ypsyd k, e er ƒ birebir de ilse, bu tn m bir s rlm tn mlmz; çünkü x x, için ƒ(x ) = ƒ(x ) olurs, o zmn, x x ve x x olur m x = x olmz. Örnek: E bir küme olsun., E nin sonlu ltkümeleri kümesi olsun. x, x için, x < x x < x iliflkisi ( x, x ltkümesinin elemn sy s d r) üzerine bir s rlm tn mlr. Bu s rlm (, ) s rlms ndn dh ince bir s rlmd r çünkü e er x x ise x < x dir. E er E = {,, 3} ise her iki s rlmn n resmi fl d. {0, } {0, } {, } {0} {0,, } = E {} N ø N {} {0, } {0, } {, } {0} {0,, } = E {} {}
Mtemtik Dünys, 00 K fl Z N 6 6 6 4 3 0 4 3 Örnek: = Z olsun. x, x Z için, x x x < x iliflkisi ( x, x sy s n n mutlk de eridir) Z üzerine bir s rlm tn mlr. Resmi fl d oln ve büyüklü ün mutlk de ere göre ölçüldü ü bu s rlmy göre, örne in, 3, den dh büyüktür, yni 3 tür. Am bu s rlmd, mutlk de erleri yn oln sy lr krfl lflt r lmz. Alfbetik S rlm. En çok kulln ln ve en yrrl s rlmlrdn biridir. (, <) ve (Y, <) birer s - rlm olsun. Y krtezyen çrp m üzerine flu s rlmy koyl m: x, x, y, y Y için, (x, y ) < (x, y ) nck ve nck x < x y d x = x ve y < y ise. Bunun S ve S koflullr n s lyn bir s rlm oldu unun kn t n okur b rk yoruz. (Mutlk yp lml!) Birkç örnek vermekte yrr vr. Bu s rlmy göre (, 0) > (4, 00) > (4, ) > (4, 0) > (3, 000) > (, ) > (, 0) > (, ) > (0, 600) > (0, ) > (0, 0). Bu s rlmd bir (x, y) çiftinin yerini sptmk için önce x e bk l r. x ne kdr küçükse (x, y) de o kdr küçüktür. E er birinci koordintlr eflitse, o zmn ikinci koordintlr bk l r. Örnek olrk N N nin lfbetik s rlms n bkl m. (0, 0) bu s rlmn n en küçük elemn - d r. Bu elemndn bir sonr gelen elemn (0, ) d r. Sonr (0, ), (0, 3) vs gelir. Tüm (0, n) ler bittikten sonr (!) ilk gelen elemn (, 0) d r. Bunun rd ndn (, ), (, ), (, 3) vs gelir. (, n) türünden elemnlr bittikten sonr (, 0) elemn gelir ve s rlm böylecene sürer gider. 0 4 3 N N zgrs n n elemnlr s ve yukr gittikçe büyürler. kinci sütunun tüm elemnlr birinci sütunun tüm elemnlr n dh büyüktür. Üçüncü sütunun tüm elemnlr ikinci sütunu tüm elemnlr ndn dh büyüktür. N N örne inde her elemndn hemen sonr gelen bir elemn vrd r: (n, m) elemn ndn hemen sonr (n, m + ) elemn gelir. Ayr c (n, 0) türünden elemnlr d fl nd her elemn n hemen bir öncesi vrd r: E er m 0 ise, (n, m) den hemen önce gelen elemn (n, m ) elemn d r. Al flt rmlr. Y. E er ve Y yndki x b gibiyse x Y lfbetik s rlms n bulun. y z c Afl dki l flt rmlr mtemtiksel ifde edilmemiflseler de okur s rlmlr kvrmy çl flrk ne sorulmk istendi ini nlybilir.. herhngi s rl bir küme olsun. {0, } kümesini 0 < olrk s rlyl m. {0, } lfbetik s rlms yl + s rlms n n bir nlmd yn s rlm olduklr n gösterin. 3. {0, } kümesini yukrdki gibi, N yi de do- l s rlyl m. N {0, } s rlms yl N s rlms rs nd pek frk olmd n gösterin. 4. {0, } kümesini yukrdki gibi, {, b} kümesi de bofls rlns n. {0, } {, b} lfbetik s rlms yl {, b} {0, } s rlms n n yr s rlmlr olduklr n gösterin. S rlmlr n Özel Elemnlr En Küçük ve En Büyük Elemnlr. Bir s rlmd en küçük y d en büyük elemn olbilece- ini de olmybilece ini de gördük. N nin do l s - rlms n n en küçük elemn vrd r m en büyük elemn yoktur. Bunun ters yüz edilmifli oln (N, p) s rlms n n en büyük elemn vrd r (0 d r) m en küçük elemn yoktur. Z nin do l s rlms n n ne en küçük ne de en büyük elemn
Mtemtik Dünys, 00 K fl vrd r. Öte yndn ( (E), ) s rlms n n hem en küçük () hem de en büyük (E) elemn vrd r., E nin sonlu ltkümeleri kümesi olsun. i iliflkisine göre s rlyl m, yni (, ) s rlms n bkl m. E er E sonsuz bir kümeyse, bu s rlmn n en büyük elemn yoktur, çünkü herhngi bir sonlu A kümesine E den A d olmyn bir elemn eklersek, A dn dh büyük bir küme elde etmifl oluruz. (Z, ) s rlms nd 0 en büyük elemnd r m (Z \ {0}, ) s rlms n n en büyük elemn yoktur. Mtemtiksel tn m flöyle: Bir (, <) s rlms n n en büyük elemn her x için x özelli ini s lyn bir elemn d r. En küçük elemn benzer biçimde tn mln r. E er A ise A n n en büyük elemn her x A için x özelli ini s lyn bir A elemn d r. Burd n n A d olms önemlidir. Örne in = R (do- l s rlmyl) ve A = (0, ) rl ise, A n n en büyük elemn yoktur. Am A = (0, ] ise, A n n en büyük elemn vrd r. A n n en küçük elemn benzer biçimde tn mln r. A n n en büyük elemn (e er vrs) bir tnedir, çünkü ve b, A n n en büyük elemnlr ys hem b hem de b eflitsizlikleri geçerli oldu- undn = b olur. Mksimum ve Minimum Elemnlr. A n n mksimum elemnlr her x A için x ö özelli- ini s lyn A elemnlr d r. Burd, n n A d olms gerekti ine dikktinizi çekerim. En büyük elemn, e er vrs, tek mksimum elemnd r. Am fl dki flekildeki örnekte de görülece i üzere mksimum elemnlrdn birkç tne olbilir. Bir tms rlmd en büyük elemnl mximum elemn rs nd frk yoktur ve bu durumd en büyük elemn mx A olrk gösterilir. A n n minimum elemnlr benzer flekilde tn mln rlr. Sonlu bir s rl kümede mutlk minimum ve mksimum elemnlr olmk zorundd r. ƒ b mksimum elemnlr:, b, c, d, e, ƒ c d e en büyük elemn: 6 (Z \ {}, ) s rlms n n en küçük elemn yoktur. Am bu s rlmd sl sy lrdn dh küçük elemn olmd ndn, sl sy lr bu s rlmn n minimum elemnlr d r. Al flt rmlr. ve Y s rlmlr n n en büyük elemnlr vrs, x Y lfbetik s rlms n n d en büyük elemn oldu unu gösterin.. x Y lfbetik s rlms n n en büyük elemn vrs, ve Y s rlmlr n n d en büyük elemnlr oldu unu gösterin. Hemen Sonrki ve Hemen Önceki Elemnlr. (, <) bir s rlm ve x olsun. Verdi imiz tüm örneklerde, belki son elemn d fl nd, her elemndn hemen sonr gelen en z bir elemn vrd. Örne in bölünmeyle tn mlnm fl beflinci örne imizde, hem 4, hem 6, hem 0, den hemen sonr gelen elemnlr. Am (Q, <) y d (R, <) s rlmlr nd hiçbir elemndn hemen sonr gelen bir elemn yoktur, çünkü her < b için, örne in, < ( + b)/ < b eflitsizlikleri s ln r. ( (E), ) s rlms nd E d fl nd her elemndn hemen sonr gelen bir elemn vrd r. b c d > dn hemen sonr gelen elemnlr: b, c, d E er x ise, (x, ) kümesini (x, ) = {y : x < y} olrk tn mlyl m. (Burd,, yepyeni bir simgedir; te diye bir elemn n olmd n vrsy - yoruz.) O zmn x ten hemen sonr gelen elemnlr (x, ) kümesinin en küçük elemnlr d r. Yni bir y elemn e er x < y eflitsizli ini s l yors ve hiçbir z için x < z < y eflitsizlikleri s lnm yors, o zmn y, x ten hemen sonr gelen elemnlrdn biridir. E er x ten hemen sonr gelen elemn bir tneyse, bu elemn x + olrk yz l r. x ten hemen önce gelen elemnlr benzer biçimde tn mln rlr.
Mtemtik Dünys, 00 K fl Her elemndn hemen sonr gelen bir elemn olmybilir. Örne in (Q, <) s rlms nd, 0 dn (y d herhngi bir bflk elemndn) hemen sonr gelen elemn yoktur. E er bir s rlmd her < b için, < c < b eflitsizliklerini s lyn bir c elemn vrs o zmn bu s rlmy yo un s rlm denir. Q ve R nin do l s rlmlr yo un s rlmlrd r m N ve Z nin do l s rlmlr yo un s rlmlr de illerdir. ( (E), ) s rlms d yo un bir s rlm de ildir, örne in, e er E ise, ile {} rs nd bir bflk elemn yoktur. Yo un s rlmlrd hiçbir zmn bir elemndn hemen sonrki y d bir elemndn hemen önceki elemnlr olmz. Am yo un bir s rlmd en küçük y d en büyük elemnlr olbilir; örne- in [0, ] kpl rl (do l s rlmyl) böyle bir s rlmd r. Üsts n r ve Alts n r. (, <) bir s rlm olsun. A n n bir ltkümesi olsun. A n n tüm elemnlr ndn büyükeflit oln in bir elemn n A n n üsts n r d verilir. Demek ki b nin A n n bir üsts n r olbilmesi için her A için b eflitsizli i s lnml d r. Alts n r benzer biçimde tn mln r. Birkç örnek verelim. = R (do l s rlmyl) olsun. ve den büyük her gerçel sy hem [0, ] hem de (0, ) rl klr n n üsts n r d r. Am R de, örne in, Z nin üsts n r yoktur. (Z, ) s rlms nd, e er A sonlu bir kümeyse, A dki sy lr n en küçük ortk çrp m n bölünen her sy A n n bir üsts n r d r; en küçük ortk çrp m d en küçük üsts n rd r. Bu s rlmd sonsuz kümelerin üsts n r 0 d r. Anck (Z \ {0}, ) s rlms nd, sonsuz ltkümelerin üsts n r yoktur. fiimdi örnek olrk ( (E), ) s rlms n ele ll m. A, B E olsun, yni A, B (E) olsun. O zmn {A, B}, (E) nin bir ltkümesidir. E nin, hem A y hem de B yi (ltküme olrk) içeren bir ltkümesi, yni E nin A B yi içeren bir ltkümesi {A, B} nin bir üsts n r d r. A B de {A, B} ltkümesinin bir üsts n r d r ve üsts n rlr n en küçü üdür. (E) E A B A B {A, B} A B yi içeren ltkümeler ( (E), ) s rlms nd (E) nin her ltkümesinin bir üsts n r vrd r. E bunlrdn biridir elbette. (Bir s rlmn n en büyük elemn her ltkümenin üsts n r d r elbette!) E er A, (E) nin bir ltkümesiyse, yni E nin bz ltkümelerinden olufln bir kümeyse, o zmn E nin A A A ltkümesi ve bu ltkümenin her üstkümesi A n n bir üsts n r d r ve üstelik A n n üsts n rlr n n en küçü üdür. (E) A B E A A A A A A A kümesini ltküme olrk içeren E nin B ltkümeleri, yni A n n üsts n rlr En Küçük Üsts n r. (, <) bir s rlm olsun. A, in bir ltkümesi olsun. A, A n n üsts n rlr kümesini temsil etsin: A = {x : her A için x}. A A A ve A n n üsts n rlr kümesi A E er x in için, [x, ) kümesini [x, ) = {y : x y} olrk tn mlrsk, A = A [, ) olur. A kümesinin en küçük elemn n (e er vrs) A n n en küçük üsts n r d verilir. Demek ki A n n en küçük üsts n r, her fleyden önce A n n bir üsts n r d r ve yr c A n n tüm üsts n rlr ndn küçükeflittir. A n n en küçük üsts n r, e er vrs, bir tnedir, çünkü hem hem de b, A n n en küçük üsts - n rlr ys, o zmn hem b hem de b olur, yni = b olur. A n n en küçük üsts n r sup A olrk gösterilir. En büyük lts n r benzer biçimde tn mln r ve inf A olrk gösterilir. A nin en büyük elemn vrs o zmn bu elemn A n n en küçük üsts n r d r. Ayr c e er A n n en küçük üsts n r vrs ve A dys, o zmn bu 7
Mtemtik Dünys, 00 K fl elemn A n n en büyük elemn olmk zorundd r. (N, <) ve (Z, <) s rlmlr nd, üsts n r oln ve bofl olmyn her ltkümenin en küçük üsts n r vrd r, nck yn fley (Q, <) s rlms için do ru de ildir. Örne in, A = {x Q : x < } Q ise A n n üsts n rlr vrd r (örne in ) m en küçük üsts n r yoktur, çünkü kesirli bir sy de ildir. Öte yndn, A = {x Q : x < } Q kümesinin Q deki en küçük üsts n r tir. (R, <) s rlms nd üsts n r oln ve bofl olmyn her ltkümenin bir en küçük üsts n r vrd r. Bu çok önemli olguyu kn tlmk için MD okurlr flu nd yeterli bilgiye ship de iller, çünkü MD de henüz gerçel sy lr kümesini tn mlnmd. Birkç sy sonr tn mlnd nd bu olguyu d kn tlyc z. (Z, ) s rlms nd, e er A sonlu bir kümeyse, A dki sy lr n en küçük ortk çrp m n (ekok) bölünen her sy A n n bir üsts n r d r ve en küçük ortk çrp m bu sonlu kümenin en küçük üsts n r - d r. 0 her ltkümenin üsts n r d r. Sonsuz kümelerin üsts n r 0 d r. Öte yndn (Z \ {0}, ) s rlms nd sonsuz kümelerin en küçük üsts n r yoktur çünkü bu s rlmd sonsuz kümelerin üsts n rlr yoktur. S rlmlr n Eflyp Fonksiyonlr (, <) ve (Y, ) iki s rlm olsun. E er ten Y ye giden bir ƒ fonksiyonu her x, x için, x < x ƒ(x ) ƒ(x ) () koflulunu s l yors, yni s rlmy syg duyuyors, o zmn ƒ ye eflyp fonksiyonu d verilir. Bu fonksiyonlr rtn fonksiyonlr d denir. Bir eflyp göndermesi birebir olmk zorund de ildir. Örne in = {, b} bofls rlmyl s rlnm fls ve Y = {c} ise, ten Y ye giden sbit c fonksiyonu yukrdki koflulu s lr m birebir de ildir elbet. Afl d birebir olmyn bir bflk eflyp fonksiyonu örne i vr. Bu örnekte ƒ() = x < y = ƒ(b) = ƒ(c). ƒ b c y Yukrdki örneklerden de görülece i üzere, bir ƒ eflyp fonksiyonu, her x, x için, Y x 8 x x ƒ(x ) ß ƒ(x ) () koflulunu s lmybilir. Öte yndn () koflulunu s lyn bir ƒ fonksiyonu, ki bunlr zlmyn fonksiyonlr diyebiliriz, birebir olml d r. Nitekim, e er ƒ(x ) = ƒ(x ) ise, hem ƒ(x ) ƒ(x ) hem de ƒ(x ) ƒ(x ) oldu- undn, hem x x hem de x x koflullr s ln r; doly s yl x = x olmk zorundd r. Doly s yl e er ƒ fonksiyonu () koflulunu s l yors () koflulunu d s lr. Bu flmd fikir de ifltirip bir eflyp fonksiyonundn () yerine dh güçlü oln () koflulunu s lms n isteyebiliriz. fiöyle de ypbiliriz: () koflulunu s lynlr <-eflyp fonksiyonu, () koflulunu s lynlr -eflyp fonksiyonu diyebiliriz. Herhngi biri sözkonusu oldu und d k sc eflyp fonksiyonu diyece iz. Örne in:. ki eflyp fonksiyonunun bileflkesi bir eflyp fonksiyonudur. b. Özdefllik fonksiyonu Id, ten e giden bir eflyp fonksiyonudur. c. E er ƒ bir eflyp efllemesiyse (yni birebir ve örtense), o zmn ƒ de bir eflyp fonksiyonudur. Bunlr n koly kn t n okur b rk yoruz. E er bir tms rlmys, ten Y ye giden bir <-eflyp fonksiyonu birebir olmk zorundd r. Nitekim ƒ(x ) = ƒ(x ) olsun. E er x < x ise ƒ(x ) < ƒ(x ) olur ve bu bir çeliflkidir. E er x < x ise benzer flekilde bir çeliflki elde edilir. Demek ki x = x. Ayr c birebir bir <-eflyp fonksiyonu bir -eflyp fonksiyonu olmk zorundd r. Bunun kn t - n okur b rk yoruz. Demek ki bu durumd iki kvrm rs nd bir yr m yok. Doly s yl bir tms rlm oldu und iki kvrm örtüflür. Eflyp efllemeleri bir s rlmy ynen kendisine benzeyen bir s rlmy götürler, yni e er ƒ : Y bir eflyp efllemesiyse, in s rlms yl Y nin s rlms, elemnlr n n dlr d fl nd yn d r. Bu iki s rlmn n elemnlr n n dlr n silersek rd bir frk göremeyiz. Arlr nd eflyp efllemesi oln s rlmlr eflyp sl s rlmlr diyece iz. Örne in, ) E er in bir en küçük elemn vrs ve bu elemn ise, Y nin de en küçük elemn vrd r ve bu elemn ƒ() d r. b) E er x in bir sonrki elemn vrs o zmn ƒ(x + ) = ƒ(x) + eflitli i s ln r. c) Her x için ƒ(x, ) = (ƒ(x), ) eflitli i s ln r.
Mtemtik Dünys, 00 K fl d) E er A ise ve sup A vrs, sup ƒ(a) d vrd r ve ƒ(sup A) y eflittir. E er = Y ise eflyp efllemesi yerine özyp efllemesi denir. Bsit bir örnek olrk fl dki s rlmn n özyp eflleflmelerini bull m. 6 7 3 4 6 7 3 4 ve elemnlr n sbit tutrk m, 6 ve 7 elemnlr n, 3 ve 4 elemnlr n,, 6 ve 7 elemnlr n, 3, 4 elemnlr n kendi rlr nd diledi imiz gibi de ifltirerek 3!! 3!! = 44 tne eflyp eflleflmesi elde ederiz. Ayr c s dki ve soldki prçlr thmin edilebilece i biçimde (n yi n elemn n ve n elemn n n ye yollyrk, bu eflleflmeye τ diyelim) de ifl tokufl edebiliriz. Böylece toplm 44 = 88 tne eflyp eflleflmesi elde ederiz. Bflk d eflyp eflleflmesi yoktur. Bunu kn tlyl m. ϕ, böyle bir eflyp eflleflmesi olsun. O zmn ϕ, in minimum elemnlr n yni ve elemnlr n gene in minimum elemnlr n gönderir. E er ϕ() = ise, ϕ I τ de bir eflyp eflleflmesidir m bu kez bu yeni eflleflme ve elemnlr n sbitler. Gerekirse ϕ yerine ϕ I τ eflleflmesini lrk ϕ nin ve elemnlr n sbitledi- ini vrsybiliriz. Bu koflullr s lyn bir ϕ nin yukrdki 44 eflleflmeden biri olc mlum. E er (, <) ve (Y, <) s rlmlr rs nd bir eflyp efllemesi vrs, o zmn (, <) (Y, <) y d (e er s rlmlr biliniyors y d çok brizse) k - sc Y yz l r. fiimdi birkç s rlmn n eflyp eflleflmelerini bull m. Teorem. (N, <) s rlms n n bir tek özyp eflleflmesi vrd r: Id N özdefllik fonksiyonu. Kn t. ƒ bir eflyp eflleflmesi olsun. ƒ, en küçük elemn oln 0 gene 0 göndermelidir. Tümevr ml ƒ nin n yi n ye gitti ini vrsyrsk, ƒ(n + ) = ƒ(n) + = n + ve böylece ƒ nin her elemn sbitledi i kn tln r. Yni ƒ = Id N dir. Teorem. (Z, <) s rlms n n özyp eflleflmeleri belli bir n Z için ƒ n (x) = x + n eflitli ini s lyn ƒ n fonksiyonlr d r. Kn t: Her ƒ n fonksiyonunun rtn bir eflleflme (yni özyp eflleflmesi) oldu u belli. fiimdi ƒ : Z Z rtn bir eflleflme olsun. ƒ(0) = n olsun. x üzerine tümevr ml, her x N için ƒ(x) = x + n eflitli i flöyle kn tln r: ƒ(x + ) = ƒ(x + ) = ƒ(x) + = (x + n) + = (x + n) + = (x + ) + n. Benzer flekilde (x + yerine x kullnrk) her x Z \ N için ƒ(x) = x + n eflitli i kolyl kl kn tln r. (Q, <) s rlms n n özyp eflleflmelerini belirlemek pek koly de ildir. (Anlyn: Olbilecek en yüksek sy d, yni ` tne vrd r.) Teorem 3. ( (E), ) s rlms n n özyp eflleflmeleri E nin belli bir ƒ eflleflmesi için, her A E için ϕ(a) = {ƒ() : A} kurl yl tn mlnm fl bir ϕ fonksiyonu trf ndn verilir. Kn t: MD-003-II, syf 4- te (yr c bkz. MD-003-III, syf 7) kn tld m z bu teoremi okur l flt rm olrk kn tlybilir. Teorem 4. P, N nin sl sy lr kümesi olsun. (N, ) s rlms n n özyp eflleflmeleri P nin belli bir ƒ eflleflmesi için 0 e er n = 0 ise ϕ( n) = e er n = ise k ( p )... ( pr) k r n p k... p k r ƒ ƒ e er = r ise ( pi sl) fonksiyonu trf ndn verilir. Kn t: Yukrdki teoremin kn t gibidir ve okur b rk lm flt r. Uzun bir yz d ols umr z okur bu yz d sözü edilen kvrmlr kvrm flt r. 9