JOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ. Sekizyıllık İlköğretim

Transkript

1 JOVO STEFNOVSKİ NUM CELKOSKİ Sekizyıllık İlköğretim

2 Syın Öğrenci! u kitp, ders proğrmınd öngörülen ders mlzemesini öğrenmek için yrdımcı olcktır. Vektörler, öteleme ve dönme hkkınd yeni ilginç bilgiler edineceksiniz.kuvvetler, kökler ve polinomlr hkkınd önemli bilgiler öğreneceksiniz. Geometriden bildiklerinizi rttırcksınız.şekillerin lnlrını hesplycksınız. Fonksiyon ve orntı hkkınd yeni bilgiler edineceksiniz. Kitp beş konu birimine yrılmış ve onlrdn her biri ltbşlıklr yrılmıştır. Her konu birimi içindekilerle bşlıyor ders birimleri ise numrlnmıştır. Ders birimlerinde renkli işretlere rstlycksınız. unlrın vsıtsıyl mesjlr, etkinlikler, yükümlülükler ve diğer uyrılr veriliyor. Htırlyınız! Ders birimleri, bildiğiniz kvrmlrl bşlmktdır. unlrı htırlmlısınız ve istenenleri çözmelisiniz. unlr yeni dersin öğrenilmesinde sn yrdımcı olcktır.,... Yeni kvrmlrı öğrenmek için, ders birimleri,işretlerle kısımlr yrılmıştır Kendi bşın y d öğretmeninizin yrdımıyl çözeceğiniz ödevler bu gibi işretlerle etkinlikler ve sorulr işret edilmiştir. u bölümde yeni bilgileri öğreneceksiniz, bu nedenle derste dikktlı ve etkin olmlısınız. En önemlisi srı renkle oln kısımlrdır. Neleri bilmelisiniz: Dersin en önemli olnı, soru, ödev y d iddi olrk yrılmıştır. unlrı unutmmlısınız ve ödevler ile prtik örneklerde kullnmlısınız. Kendinizi yoklyınız! Ödevler Deneyiniz... u kısımd ödevler ve sorulr verilmiştir. Öğrendiklerinizin büyük kısmını öğrenmiş y d öğrenmediğinizi yoklmk için.unlrı gelecekte, prtikte ve günlük hytt uygulyrk yrrlncksınız. u ödevleri dim sırlı ve kendi bşın çözmeye çlışınız. öylece derste incelenenleri dh iyi nlycksınız ve ondn büyük yrrlrınız olcktır. u bölümdeki ödevleri ve problemleri çözmeye çlışınız (mecburi değildir). öylece dh çok bileceksiniz, iddilrınız çoğlcktır. İLDİKLERİNİZİ YOKLYINIZ Her konunun sonund soru ve ödevlerden oluşn test vrdır. u testi kendi bşın çözünüz. ununl incelenen konu hkkınd bildiklerinizi yoklycksınız. Mtemtiği incelerken, güçlüklere rstldığınd, yılmyınız, yeniden deneyiniz ve sonuc vrınc mutluluk hissedeceksiniz.u kitptn yrrlnrk, mtemtiği dh çok sevmenize ve yüksek bşrılr elde etmenize yrdımcı oluyors bizi sevindirecektir. Yzrlrdn.

3 KONU 1. VEKTÖRLER. ÖTELEME VEKTÖRLER. VEKTÖRLERLE İŞLEMLER 1. Işınlrın yönü. Yön 4 2. Vektörler 7 3.Vektörlerin eşitliği Vektörleri toplm Vektörleri Çıkrm 19 ÖTELEME 6. Öteleme 7. Ötelemenin Özellikleri 8. Ötelemenin Uygulnmsı ildiklerinizi Yoklyınız Vektör. Vektörlerle Ýþlemler

4 1 VEKTÖRLER. VEKTÖRLERLE İŞLEMLER IŞINLRIN YÖNÜ. YÖN Htırlyınız! 1. ir doğrusunu çiziniz ve üzerinde bir O noktsını işret ediniz. O noktsı doğrusunu iki kısm y d iki kümeye yırıyor. O noktsıyl iki kısm yrılmış oln doğrusunun O noktsını içeren kısmını nsıl dlndırmıştık? Şekilde bşlngıç noktsı O ve herhngibir noktsı M oln OM ışını çizilmiştir. O, ve C noktlrı bir doğru üzerinde olmmk üzere ve C ışınlrını çiziniz. ir doğrusunu çöziniz ve üzerinde M ve N noktlrını işret ediniz. MN ve NM ışınlrının kesişimi nedir? b doğrusuyl şekildeki düzlem iki yrıdüzleme yrılmıştır. unlrdn biri boylıdır. C b M p doğrusu üzerinde O, O 1, O ve O 1 ışınlrını inceleyiniz. V O O 1 p Hngi ışın O ışınının ltkümesidir? Hngi ışın O 1 ışınının ltkümesidir? Şunu frkettim: O 1 ışınının tüm noktlrı O ışının ittir, yni O 1 O dir. O ışınının tüm noktlrı O 1 ışının ittir, yni O O 1 dir. O ve O 1 ışınlrın ynıyönlü ışınlr denir. O ve O 1 ışınlrı d ynıyönlüdür. O ve O 1 ışınlrın tersyönlüdürler denir. O ve O ışınlrı d tersyönlüdürler. İşretlenen noklrdn hngileri ynı düzlem üzerindedir? b doğrusu yrıdüzlemin nesidir? ynıyönlü ışınlrı ", işreti ile, tersyönlü ışınlrı d " işretiyle işret edeceğiz. Örnek: O O 1 ; O O Şekli inceleyiniz. ve b prlel doğrulrın ve onlr üzerinde işret edilmiş oln O, O 1 ve O 1 C ışınlr bkınız. Işınlrdn hngileri, OO 1 doğrusuyl sınırlnn ynı yrıdüzlem üzerinde bulunuyorlr? b C O 1 O 4 Konu 1. Vektörler. Öteleme

5 O ve O 1 ışınlrı sınır doğrusu OO 1 oln ynı yrıdüzlem üzerinde olduklrını gördüm. O ve O 1 ışınlrı ynıyönlüdür denir ve O O 1 ile işret edilir. O ve O 1 C ışınlrı OO 1 ile sınırlnn ynı yrıdüzleme it değildirler ve onlr tersyönlü ışınlr denir ve O O 1 C biçiminde işret edilir. Tersi de geçerlidir: İki ışının ynıyönlü olmsı için, onlr ynı doğru üzerinde ve biri diğerinin ltkümesi olmsı gerekir; y d ynı düzleme it oln iki prlel doğru üzerinde olmlıdırlr. ynı doğru üzerinde oln y d iki prlel doğru üzerinde oln iki ışın ynı yönlü değilse onlr tersyönlü ışınlr denir (y d ters yönleri vrdır denir). 3. şğıdki ışınlrın yönünü ) O 1 b) O O1 belirtiniz: ) O ve O 1 ; b) O ve O 1 ; c) O ve O 1 ; d) O ve O 1 D; O 1 D ve O 1 C; O ve O 1 C. O d) b D O O 1 c) O O 1 C b unu biliyorsunuz. Şekilde yön gösteren trfi k işretlerini görüyorsunuz. KUMNOV ÜŞKÜP Her işretin neyi gösterdiğini çıklyınız. Yön sözcüğünü çok sık kullnıyoruz. Örnek: " rüzgr kuzey yönden esiyor", uçk Üsküp - Ohru yönünde hreket ediyor v.b. 4. O ışınını çizdikten sonr : O ışınıyl ynıyönlü oln O 1 1 ve O 2 2 ışınlrını çiziniz. O 1 1 ve O 2 2 ışınlrının yönleri nsıldır? Düzlemde O ışınıyl ynı yönlü olck kç ışın çizilebilir? Vektör. Vektörlerle Ýþlemler 5

6 Şu sonuc vrdım: ir düzlem üzerinde verilen bir O ışınıyl ynıyönlü oln sonsuz çok ışınlr vrdır. ir düzlemde, bir ışın ve üzerinde bulunn ynı yönlü tüm ışınlrın S kümesine yön denir. S yönünü, ynı yönlü ışınlr kümesinden bir ışınıyl gösteriyoruz ve bun ışınının S yönü vrdır denir. 5. O O 1 1 ; O 1 1 O 2 2 olmk üzere O, O 1 1 ve O 2 2 ışınlrı veriliyor. O ışınıyl S yönü O 2 2 ışınıyl ise R yönü belirtilmiştir. Hngisi doğrudur: O 1 1 S; O 1 1 R? O S O 1 2 S 1 R O Neleri bilmelisiniz: Hngi iki ışın ynı yönlüdür, hngileri ise ters yönlüdür. Yön nedir ve yönün ne ile gösterildiği nsıl çıklnbilir. Ödevler ) ir doğruy it iki ynı yönlü ışının kesişimi nedir? b) ir doğruy it iki ters yönlü ışının kesişimi nedir? ) ir doğruy it iki ynı yönlü ışının birleşimi nedir? b) ir doğruy it iki ters yönlü ışının birleşimi nedir? Şekilde ve b doğrulrı birbirine prleldir. O, O 1 C ve O 1 ışınlrındn hngileri: ynı yönlüdür; ters yönlüdür; ynı yönü gösteriyorlr? Kendinizi yoklyınız! O C O 1 ir CD dikdörtgenini çiziniz. O noktsı onun köşegenlerinin kesişim noktsı olsun., DC,, O, OC ve D ışınlrındn hngileri: ) ynı yönlü; b) ters yönlüdür? doğrusu üzerinde O O 1, ve O 1 O 2 olmk üzere O, O 1 ve O 2 ışınlrı veriliyor. O ve O 2 ışınlrı nsıl yönlüdür? b 6 Konu 1. Vektörler. Öteleme

7 2 VEKTÖRLER Htırlyınız! Sırlı çift (, b) biçiminde gösterilir. Her sırlı çiftte, hngi elemn birinci ve hngisi ikinci elemn olduğu tm olrk bellidir. (, ) sırlı çiftinde, noktsı birinci elemn, noktsı ise ikinci elemndır. (5, 8) sırlı çifti bir sinem slonund beşinci sırd sekizinci koltuğu gösteriyor. (8, 5) sırlı çifti ynı koltuğu işret ediyor mu? 1. ve doğru prçsının uç noktlrı olsun. Şu iddilrdn hngisi doğrudur: ) ; b) ve ynı doğru prçlrdır; c) {, } = {, }; d) (, ) = (, )? Şunu frkettim: ), b) ve c) iddilrı doğrudur ; d) iddisı doğru değildir, çünkü sırlı çiftlerde olduğu durumd (, ) (, ) durumd olmlıdır. ir uç noktsı bşlngıç diğeri ise bitim noktsı oln doğru prçsın yönlü doğru prçsı denir ve ile işret edilir. yönlü doğru prçsının uç noktlrı (, ) sırlı çiftidir. yönlü doğru prçsı, şekilde bşlngıcı noktsınd ve bitimi uç noktsınd oln bir ok ile gösteriliyor. noktsın yönlü doğru prçsının bşlngıcı, noktsın ise bitimi denir. 2. Şekilde, CD ve EF ışınlrı, b ve c prlel doğrulrı üzerinde bulunuyorlr., CD ve EF ışınlrının yönleri nsıldır? ve CD; ve EF doğru prçlrının uzunluklrını krşılştırınız., CD, EF yönlü doğru prçlrını inceleyiniz ve ilerde hngi durumd iki yönlü doğru prçsı birbirine eşit olduğunu nlmy çlışınız. E C D F b c, CD ve EF ışınlrı ynı yönlü olduğunu frkettim. = ; <. Vektör. Vektörlerle Ýþlemler 7

8 ışınının belirtiği yöne, yönlü doğru prçsının yönü denir. un göre, CD ve EF yönlü doğru prçlrı ynı yönlüdürler. doğru prçsının uzunluğun, yönlü doğru prçsının uzunluğu y d boyu denir. unu ile işret edeceğiz. un göre = CD, ve < EF dir. şlngıcı ucuyl çkışn yönlü doğru prçsın (,,...) sıfır yönlü doğru prçsı denir. Onun belli bir yönü yoktur ve uzunluğu sıfırdır. ve CD yönlü doğru prçlrı birbirine eşit olmlrı iiçin, uzunluklrı eşit ve yönleri ynı olmlıdır, yni = CD ve CD. unu = CD biçiminde yzıyoruz. C D 3. ОА =1 olmk üzere O noktsı p doğrusu üzerinde dört birim sğ doğru kydırılmış olsun. G F O C D E O noktsı p doğrusund hngi nokty gelecektir, yni hngi noktyl eşleşecektir? p O noktsı D noktsın denk geleceğini (D noktsıyl eşleşeceğini) gördüm. u hrekette O noktsı bşlngıç, D noktsı ise bitim noktsıdır. O ve D noktlrı slınd nedir? O ve D noktlrı OD yönlü doğru prçsının uç noktlrıdır. Onlr (O, D) sırlı çiftidir. Düzlemde bir noktnın hreketi, belli bir yönde ve belli uzklıkt ypılmıştır. Şekilde bunu OD yönlü doğru prçsıyl gösteriyoruz. O D ir yönlü doğru prçsı verilmiş olsu. yönlü doğru prçsın eşit olck kç tne yönlü doğru prçsı vrdır? yönlü doğru prçsın eşit birçok yönlü doğru prçsı çizebilirim. öyleleri sonsuz çoktur. F C E G D H Unutmyınız! ir yönlü doğru prçsı ve on eşit tüm yönlü doğru prçlrın kümesine vektör denir. Tüm sıfır yönlü doğru prçlrın kümesine sıfır vektörü denir. 8 Konu 1. Vektörler. Öteleme

9 u önemlidir! Vektörü yzrken bir yönlü doğru prçsı ile göstereceğiz, dh doğrusu, tüm yönlü doğru prçlrı kümesi dın bir temcisiyle göstereceğiz. un göre, yönlü doğru prçsı, slınd vektördür. C c b D Vektörü biçiminde y d bir küçük hrf ve üzerinde bir ok ile F E göstereceğiz. Şekilde = ; CD = b ve EF = c vektörlerini görüyorsunuz. 4.,, C ve D dört nokt işret ettikten sonr = ; b = DC ve c = D vektörlerini gösteriniz. Yönlü doğru prçlrı için öğrendiklerini vektörler için de ifde edebilirsiniz. yönlü doğru prçsıyl vektörü verilmiş olsun. yönlü doğru prçsının yönü, vektörünün yönüdür.. doğru prçsının uzunluğun vektörünün uzunluğu (y d şiddeti) denir. ve y d ile işret edilir. 5. Öyle ve CD iki vektör çiziniz ki onlr: ) ynı yönlü; b) ters yönlü olsun. ) ve b) şıklrındki ve CD vektörlerini yndki şekilde gibi çizilebilirsiniz. ) C D b) D C Şunu frkettim: Vektörün yönü, yönlü doğru prçsının yönünün belirtildiği gibi belirtilir, çünkü vektör slınd yönlü doğru prçlrdır. 6. şekilde olduğu gibi vektörünü çiziniz ve C ve M iki nokt işret ediniz. CD olmk üzere CD vektörünü çiziniz. MN olmk üzere MN vektörünü çiziniz. C Unutmyınız! M Yönleri ynı y d ters oln vektörlere doğrudş vektörler denir. un göre CD y d CD olduğu durumd. ve CD vektörleri doğrudştır. Doğrudş vektörlerin ynı doğrultusu vrdır. Vektör. Vektörlerle Ýþlemler 9

10 7. şğıdki koşullr göre, ve b iki doğrudş vektör çiziniz: prlel doğrulr üzerinde ve b; prlel doğrulr üzerinde ve b olsun. ynı doğru üzerinde ve b olsun. ynı doğru üzerinde b, = 3 cm, b = 5 cm olsun. Sıfır yönlü doğru prçsı, sıfır vektördür. Onu 0 ile işret ediyoruz. Sıfır vektörü, her vektör ile doğrudş ve uzunluğu sıfır eşit olduğunu syıyoruz. ilinmesi gereken: Yönlü doğru prçsı ve vektör nedir; ynı yönlü, ters yönlü ve doğrudş vektörleri tnımlısınız (çıklmsını ypmlısınız). Kendinizi yoklyınız! Şekilde p doğrusu q doğrusuyl prleldir. Şekilde hngi vektörler gösterilmiştir? M d N p F c E C b D q ve b; ve c ; b ve c vektörlerin yönleri nsıldır? ve d vektörleri doğrudş mıdır? Niçin?, b ve c vektörleri doğrudş mıdır? Niçin? Ödevler (, ), (C, D) ve (E, F) sırlı çiftlerin noktlrıyl belirlenen vektörleri yzınız. ve CD vektörleri doğrudş olsun. şğıdki vektörler doğrudş mıdır: ve DC; ve DC? 3. şğıdki şekilde kreli ğd vektörler verilmiştir. Vektörler yönlerine göre nsıldır: ) ve C; b) ve EF; c) C ve EF; d) PQ ve RS; d) MN ve TL; e) EF ve PQ? E C F P Q R M T N L S 10 Konu 1. Vektörler. Öteleme

11 3 VEKTÖRLERİN EŞİTLİĞİ Htırlyınız! Hngi ve CD iki vektör için ynı yönlüdür deriz? vektörünün uzunluğu nedir? 1. CD prlelkenrınd = ; DC = b; D = c; C = d vektörleri işretlenmiştir. D b C CD dikdörtgeninde = ve DC = b vektörleri gösterilmiştir. Onlrın uzunluklrını krşılştırınız ve yönlerini belirtiniz. c d Onlrın uzunluklrını krşılştırınız; ve b, y D b C d c ve d vektörleri yönlerine göre nsıldır? Her prlelkenrın krşıt kenrlrı birbirine prlel ve eşittir. Şunu frkettim: ve b vektörleri ynı yönlüdür ve uzunluklrı eşittir. c ve d vektörlerinin yönleri terstir ve uzunluklrı eşittir. Unutmyınız! Yönleri ve uzunluklrı ynı oln ve b vekörlerine eşit vektörlerdir denir, yni = b nck ve nck 1. b ve 2. = b. Yönleri ters ve uzunluklrı ynı oln d ve c vektörlerine ters vektörlerdir. d vektörüne c vektörünün tersidir denir. c vektörünün tersi -c, yni d = -c biçiminde işret edilir. 2. = vektörüne eşit olck MN vektörünü çiziniz. Önce vektörünü çiziniz, ondn sonr bir M noktsını işret ediniz. MN vektörünün N noktsını nsıl belirteceksiniz? M noktsındn ışınıyl ynı yönlü olck şekilde MD ışınını çiziyorum, ondn sonr MN= olck şekilde N noktsını belirtiyorum. Vektör. Vektörlerle Ýþlemler 11

12 Verilen bir vektörüne eşit olck sonsuz çok vektörlerin çizilebildiğini gördüm. ir vektörünün belli olmsı için, onun yönü S ve uzunluğu = r belli olmlıdır; y d vektörün bşlngıcı ve bitim noktsı olmk üzere (, ) sırlı çifti verildiğinde vektör bellidir. 3. Yönü S ve uzunluğu = r verilmiş oln vektörünü çiziniz. şğıdki hreketleri inceleyiniz ve yptığınız çözümle krşılştırınız. Yndki çizimde, S yönü ışınıyl ve vektörünün r = uzunluğu verilmiştir. Herhngi bir M noktsındn ile ynı yönde olmk üzere MD ışınını çiziyoruz. M P S r N Q D MD ışını üzerinde = r olck şekilde N noktsını belirtiyoruz. u şekilde MN = vektör belirtilmiştir. 4. = vektörü ve bir M noktsı verilmiş olsun. MN = - vektörünü çiziniz. M 5. Yndki şekle göre şğıdki vektör çiftlerinden hngileri birbirine eşit y d ters olduğunu belirtiniz. ) ve b ; d) e ve r ; b) ve c ; e) g ve h ; b c e r n c) b ve c; f) c ve n : g h 6. = vektörü ve O noktsı verilmiştir. vektörüne eşit olck OC vektörünü çiziniz. Gösterilen çözümü inceleyiniz ve hreketleri çıklyınız. Önce OD ışınını nsıl çizdiniz? OC vektörünün C noktsını nsıl belirttiniz? O C D Unutmyınız! Düzlemde = vektörü ve herhngi bir O noktsı verildiğinde, vektörüne eşit olck ve bşlngıcı O noktsınd oln bir tek OC vektörü vrdır. vektörüne eşit olck OC vektörünün çizimine, vektörünün O noktsın göçürülmesi denir. 12 Konu 1. Vektörler. Öteleme

13 7. O,, ve C gibi dört nokt seçiniz. O noktsınd ve C vektörlerini göçürünüz. 8. ve b vektörleri veriliyor. şlngıcı vektörünün uç noktsınd olmk üzere b vektörünü göçürünüz. Çözümü inceleyiniz ve hreketleri çıklyınız. Önce b vektörü yönünde D ışını çiziliyor. C vektörünün b vektörüyle eşit olmsı için C noktsını nsıl belirttiniz? İnceleyiniz ve unutmyınız! vektörü ve göçürülen b vektörüne bğlı vektörler denir. ir vektörün bitimi, diğer bir vektörün bşlngıcı olduğu durumd onlr bğlı vektörler denir. b C D b ilmelisiniz: İki vektör hngi durumd birbirine eşit y d terstir; Verilen bir vektörü, verilen bir nokty nsıl göçürüldüğünü ve verilen bir vektörü diğer bir vektörle nsıl bğlndığını. Kendinizi yoklyınız! vektörüne -b vektörünü bğlyınız. Ypıln işlemleri çıklyınız. M b N Ödevler 1. ve b gibi iki doğrudş vektör çiziniz ve vektörüne b vektörünü bğl. 4. ve gibi herhngi iki nokt verilmiş olsun. vektörü vektörüyle ters midir? çıklyınız! 2. ve b gibi iki ters vektör çiziniz ve 5. = ve b = CD vektörleri verilmiş olsun. vektörüne b vektörünü bğlyınız. vektörüne b vektörünü bğlyınız. 3. Eşit vektörler doğrudş mıdır? çıklyınız! 6., b, c vektörleri ve O noktsı verilmiş olsun. Her üç vektörü bşlngıçlrı O noktsınd olmk üzere göçürünüz. Vektör. Vektörlerle Ýþlemler 13

14 4 VEKTÖRLERİ TOPLM Htırlyınız! Verilen bir vektörünü, verilen bir O noktsın nsıl göçürüldüğünü çıklyınız. vektörüne b vektörünü bğlyınız. Ypıln işlemleri çıklyınız! 1. Düzlemde, b vektörleri ve O noktsı verilmiştir. O = ve = b olck şekilde ve b vektörlerini göçürünüz. b O c = O vektörünü çiziniz. Yptığınız çizimi yndki çizimle krşılştırınız ve kurlı çıklyınız. = O ve b = vektörünü nsıl göçürdünüz? c = O vektörünü nsıl belirttiniz? c vektörünün hngi noktsı bşlngıç, hngisi ise bitim noktsıdır? O noktsı vektörünün nesidir? noktsı b vektörünün nesidir? u şekilde çizilen c vektörüne ve b vektörlerinin toplmı olduğunu görünüz ve unutmyınız. b O c b Vektörlerin toplmın it önemli kurl: ve b gibi iki bğlı vektörün toplmı öyle bir c vektörüdür ki, bşlngıcı vektörünün bşlngıcıyl, bitimi ise b vektörünün bitim noktsıyl çkışıktır, yni, = O ve b =, olduğu durumd + b = O olur. Diğer bir O 1 noktsını seçiniz ve = O 1 1 ve b = 1 1 vektörlerini göçürünüz. O 1 1 vektörü ve b vektörlerinin nesidir? O ve O 1 1 vektörlerini krşılştırınız. Görünüz ve sonuc vrınız! O 1 1 = O = c dir. İki vektörün toplmı, tek olrk bellidir ve bşlngıç noktsı O noktsının seçimine bğlı değildir. 2. Doğrudş olmyn ve b vektörlerini seçiniz ve onlrın toplmını çiziniz. 14 Konu 1. Vektörler. Öteleme

15 ve b vektörlerinin toplmını belirtirken, O bşlngıç noktsının seçimine bğlı olmdığın göre, bu toplmı dh koly nsıl ypbileceksiniz? b vektörünü vektörünün uç noktsın göçüreceğim, yni b vektörünü vektörüne bğlyrk onlrın toplmını belirteceğim. Yptığınız çözümü verilenle krşılştırınız. Verilen vektörleri bşlngıç ve uç noktlrıyl dlndırınız. C = b vektörü nsıl çizilmiştir? C vektörü ve b vektörlerinin nesidir? Gördüğünüz gibi, iki vektörün toplmı C üçgeninin çizimine dönüşür. u nedenle iki vektörün toplmının bu şekilde belirtilmesine üçgen kurlı denir. M N b c = + b b C 3., b ve c vektörleri veriliyor. Şu toplmlrı çizim yoluyl belirtiniz: + b ; b + c. c b 4. = ; CD = b ve EF = c vektörleri veriliyor. Şu toplmlrı belirtiniz: ) + b ; b) + c ; c) b + c E ) şıkkındki çözümü ynd görebilirsiniz. = ; D = b ve D = + b. D c F D b Vektörlerin toplmın it kurlın nsıl uygulndığını görüyorsunuz. Kurlı çıklyınız. b C 5. 0 sıfır ve vektörlerinin toplmını belirtiniz. = 0 ; = olsun. Vektörlerin toplmı kurlın göre : 0 + = + = = geçerlidir. enzer şekilde: + 0 = + = = elde edilir. Genel olrk geçerlidir: 6. Her vektörü için 0 + = = + 0 eşitliği geçerlidir. ve = 0 vektörleri veriliyor. 0 + vektörünü çiziniz. Vektörler/ Vektörlerle Ýþlemler 15

16 7. İki ters vektör ve - çizdikten sonr onlrın toplmını belirtiniz. = ve - = olsun. O hlde vektörleri toplm kurlın göre: + (- ) = + = = 0 gerekir. ynı şekilde (- ) + = + = = 0 elde edilir. Genel olrk geçerlidir: Her vektörü için + (- ) = 0 = (- ) + eşitlikleri geçerlidir. 8. Doğrudş olmyn iki vektör ve b verilmiş olsun. + b ve b + toplmlrını belirtiniz. + b ve b + toplmlrını krşılştırınız. Çözümünüzü, verilen çözümle krşılştırınız ve kurlı inceleyiniz. ir noktsını seçeriz. şlngıcı noktsınd olmk üzere vektörünü göçürüyoruz ve on b vektörünü bğlrız, yni =, C = b; C = + b elde edilir. CD prlelkenrını çizmekle, D noktsını belirtiyoruz. Her prlelkenrd krşıt kenrlr birbirine prlel ve eşit olduğun göre: DC = =, D = C = b elde edilir. Demek ki: C = D + DC = b + y d: + b = b + elde edilir. b b D b + + b b C Genel olrk geçerlidir: Herhngi iki vektör ve b için: + b = b + eşitliği geçerlidir, yni vektörlerin toplmınd değişme özelliği geçerlidir. Şekle bkrk, ve b vektörlerinin toplmını belirtmek için bşk bir yöntem bulbilir misiniz? ve b vektörlerini, bşlngıç noktlrı çkışık olck şekilde göçüreceğim ( = ve D = b ), ondn sonr CD prlelkenrını çizeceğim. C köşegenini belirten vektör + b toplmıdır. Vektörlerin bu şekilde toplmın, prlelkenr kurlı denir. 16 Konu 1. Vektörler. Öteleme

17 9. Doğrudş olmyn ve b iki vektörü seçiniz ve prlelkenr kurlıyl onlrın toplmını belirtiniz. Çözümünüzü, şekilde verilen çözümle krşılştırınız ve kurlı çıklyınız. D C + b b b 10. CD dörtgeni verilmiştir. =, C = b, CD = c ve D = d olsun. ( + b ) + c = + ( b + c ) geçerli olduğunu göstermeye deneyiniz. Şekilde,, b ve c vektörleri bğlı vektörler olduğunu görebilirsiniz. ΔCD den : C + CD = D olmsı gerekir, yni ( + b ) + c = d. d D + b b + c c b C ΔD den: + D = D gerekir, yni + ( b + c ) = d. un göre, ( + b ) + c = + ( b + c ) elde edilir. Genel olrk geçerlidir: Herhngi üç vektör, b ve c için ( + b ) + c = + ( b + c ), geçerlidir, yni vektörlerin toplmınd birleşme özelliği geçerlidir. u yüzden bu toplm + b + c biçiminde prntezleri kullnmdn d yzılbilir.. Görünüz ve unutmyınız! Herhngi üç y d dh çok bğlı vektörün toplmı, bşlngıcı ilk vektörün bşlngıcınd, bitimi ise son vektörün bitiminde oln bir vektördür. Şekilde, b, c ve d vektörlerinin toplmı + b + c + d = e gösterilmiştir. d c d c b e b Doğrudş olmyn üç vektör, b ve c çizdikten sonr, onlrın toplmını çizim yoluyl belirtiniz. Vektörler/ Vektörlerle Ýþlemler 17

18 ilinmesi gereken: Üçgen ve prlelkenr kurlıyl iki vektörün toplmı çizim yoluyl nsıl belirtilir; Vektörlerin toplmının özelliklerini ifde etmelisiniz ve uygulmlısınız. Kendinizi yoklyınız! Öyle iki vektör ve b çiziniz ki verilen c vektörü onlrın toplmı olsun. c Ödevler 1. Şekilde olduğu gibi =, CD = b ve PP = 0 vektörleri verilmiştir. P C b D 3. CD dörtgeni ve =, C = b, CD = c ve D = d vektörleri veriliyor. Şekilden yrrlnrk şğıdki toplmı belirtiniz. ) + b ; c) + b + c ; b) d + ; d) + b + c + d. şğıd verilen vektörlerin bşlngıçlrını bir M noktsınd olck şekilde çiziniz: ) - ; b) - b ; c) + b ; d D c C b d) + 0; e) - b + 0; f) + (- ). 2. C üçgeni ve =, C = b ve C = c vektörleri veriliyor. şğıdki eşitliklerden hngileri doğrudur? c C b ) + b = c ; b) + b = - c ; c) + c = ; d) + b + c = 0? 4. Şekilde b vektörünün yönü ve c vektörlerinin yönüyle ters olrk üç doğrudş vektör, b, c çiziniz Şu toplmlrı çizim yoluyl belirtiniz: ) + b ; b) + c ; c) b + c ; d) + b + c. 18 Konu 1. Vektörler. Öteleme

19 5 VEKTÖRLERİ ÇIKRM Htırlyınız! ve b vektörleri veriliyor. C b 1. O = ve O = b vektörleri verilmiştir. b + x = olck şekilde x vektörünü çiziniz. O b + b = c olck şekilde c vektörünü çiziniz. Çizimi inceleyiniz (yndki şekil) ve çıklyınız. x vektörünün bşlngıç ve bitim noktsı hngi noktlrdır? O b x x vektörü b vektörüne bğlı ve bitimi vektörünün bitimiyle çkışık olmsı gerektiğini frkettim. Demek ki x = dir. u şekilde çizilen x vektörüne ve b vektörlerinin frkı denir ve - b ile işret edilir, yni x = - b. Unutmyınız! ve b vektörlerinin frkı öyle bir x vektörüdür ki b + x = dir. Demek ki, b + x = ise x = - b dir. 2. ve b vektörleri verilmiştir. c = - b vektörünü çizim yoluyl belirtiniz. b Çözümü izleyiniz ve kurlı öğreniniz. - b frkını gösteren vektörü çizmek için, önce onlrı herhngi bir noktd, bşlngıçlrı çkışık olck şekilde göçürmelisiniz, fkt dh prtik olmk için vektörlerden birini diğerinin bşlngıç noktsıyl çkışık gelecek durumd göçürmelisiniz. b M c = - b = ve M = b ise, - b frkı M = - b vektörü olcktır. Vektörler/ Vektörlerle Ýþlemler 19

20 3. Doğrudş oln, b ve c vektörleri verilmiştir. Şu vektörleri çiziniz: ) m = - b ; b) n = b - c. Çözümü inceleyiniz ve çıklyınız. Yndki şekle göre: ) O = ; O = b ; = m = - b ; b) O = c ; O = b ; = n = b - c olduğunu görüyoruz. b c b m O b n O c 4. = 5 cm ve b = 3 cm olmk üzere ve b vektörleri verilmiştir. c = - b vektörünü çiziniz. C 5. Yndki şekle göre şğıdki eşitliklerden hngisi doğtudur: ) b + = c ; b) c - b = ; b c) c = - b ; d) c - = b? c Vektörleri tnıdınız. Onlrın bzı özelliklerini ve onlrl bzı işlemleri öğrendiniz. İlerde mtemtik, fi zik ve diğer bilimleri öğrenirken vektörlerin birçok uygulnmsını göreceksiniz. Dersliğinizin uzunluğu 10 m y d bugün hv sıcklığı +12 o C olduğunu yzrsnız, bu verilerle dersliğin uzunluğu ve bugünün hv sıcklığını eksiksiz ifde etmiş oluyorsunuz. Uzunluk, ln, hcim, kütle, sıcklık gibi veriler syılrl tmmen belli oluyorlr. u gibi büyüklüklere skler büyüklükler y d dh kıs olrk sklerler denir. 6. Rüzgr 20 km stte hızl esiyor denilince, rüzgr hkkınd bu veri yeterli midir? u veri yeter değildir. Çünkü rüzgrın kendi yönü de vrdır, yni kuzey, güney, doğu ve b. olbilir. Doğl olrk, syı değerinden bşk, kendi yönüyle de belirlenen büyüklüklere vektöriyel büyüklükler denir. Hngi büyüklükleri, vektöriyel büyüklükler olrk biliyorsunuz? u gibi büyüklükler: hız, kuvvet, ivme v.b. dir. 7. ir ırmğın suyu 4 m sniyede hızl kıyor. ir kyık, suyun hreket yönüne dikey yönde bir kıyıdn diğer kıyıy 3 m sniye hızl hreket ediyor. Kyığın hreketi, hngi hızl ve hngi yönde olcğını belirtiniz. 20 Konu 1. Vektörler. Öteleme

21 Çözümü düşününüz, ondn sonr şğıdki işlemlere dikkt ediniz. v ( v = 3 m) vektörüyle kyığın skin sudki hızı 1 1 gösterilmiştir. v ( v = 4 m) vektörüyle suyun hızı gösterilmiştir. 2 2 v = v 1 + v 2 v vektörünün yönü, kyığın hreket yönüdür, v vektörünün uzunluğu ise kyığın sniyede kç metre hreket ettiğini ifde etmektedir. Kyık, sniyede kç metre hreket ettiğini ölçünüz. Neleri bilmelisiniz: vektörüyle kyığın hreket hızı gösterilmiştir. İki vektörün frkı nsıl belirtilir ve tnımı nsıl ifde edilir; İki vektörün frkı çizim yoluyl nsıl bulunur. Hngi büyüklükler skler, hngileri ise vektöriyel büyüklüklerdir. Ödevler 1. = ; CD = b ve EF = c vektörleri verilmiştir. F b D c C E Şu frklrı çizim yoluyl belirtiniz: ) - b ; b) b - c ; c) - c ; d) ( - b ) - c. 3. v 1 kyık vektörünü çizdikten sonr, onu iki vektörün frkı gibi gösteriniz. İki doğrudş vektör çizdikten sonr onlrın frkını belirtiniz. v 2 v = v 1 + v 2 v 2 Kendinizi yoklyınız! ve b doğrudş olmk üzere, b ve c vektörleri veriliyor. b ( + b ) - c vektörünü çiziniz. c v 1 2. =, CD = b ve MM = 0 vektörleri verilmiştir. C b D M şğıdkileri çizim yoluyl belirtiniz: ) - b ; b) - 0 ; c) 0 - ; d) ( + b ) CD dörtgenini çiziniz ve =, C = b ile işret ediniz. ve b vektörleriyle ) C; b) D vektörünü ifde ediniz. Vektörler/ Vektörlerle Ýþlemler 21

22 6 ÖTELEME ÖTELEME Htırlyınız! Vektör, yönlü doğru prçsı gibi gösterilir, yönlü doğru prç ise çizimde ok ile gösterilir. Şekilde, = vektörü gösterilmiştir. vektörünün yönü ne ile bellidir? vektörünün uzunluğunu belirtiniz. Hngi iki vektör ve b için birbirine eşittir denir? 1. Çözümünüzü verilen çözümle krşılştırınız. Düzlemde vektörü ve, ve C noktlrı verilmiştir. 1, 1 ve CC 1 vektörleri vektörüne eşit olck şekilde 1, 1 ve C 1 noktlrını belirtiniz C 1 C C 1 1 Gördüğünüz gibi, noktsı vektörü için 1 noktsıyl yer değiştirmiş (eşleşmiş), noktsı 1 noktsıyl ve C noktsı C 1 noktsıyl eşleşmiştir.. u yer değiştirmede 1 noktsın noktsının resmi, noktsı ise 1 noktsının slı denir. Hngi nokt, noktsının resmidir, hngi nokt ise C 1 noktsının slıdır? ve 1, ve 1, y d C ve C 1 noktlrı vektörünün nesidir? noktsı vektörünün bşlngıcı, nın resmi 1 ise uç noktsıdır. ynısı ve 1 y d C ve C 1 noktlrı için de geçerlidir. u şekilde, düzlemin herhngi X noktsı bir vektörü için ylnız bir tek X 1 noktsın geldiğini (eşleştiğini) görüyorsunuz. Unutulmsı gereken: Düzlem üzerinde herhngi bir M noktsın öyle bir M 1 noktsı krşılık gelir ki MM 1 vektörü verilen vektörüne eşit olur. Düzlemde noktlrın bu gibi hreketlerine (eşleşmelerine) vektörü için öteleme ( y d prlel yer değiştirme) denir. Verilen vektörüne öteleme vektörü denir. vektörü için ötelemeyi simge olrk t işret edeceğiz. ile 22 Konu 1. Vektörler ve Öteleme

23 M ve M krşılıklı noktlr için: M noktsı M noktsının resmidir ve M noktsı M noktsının slıdır denir. Dh d M noktsın vektörü için öteleme ypılmıştır denir. M noktsı M noktsının resmidir ifdesi M M 1 t y d M = t (M) biçiminde yzılır ve b vektörleri ve bir M noktsı veriliyor. t (M) ve t b (M) noktlrını belirtiniz. Çözümünüzü ynd verilen çözümle krşılştırınız. M noktsınd ve b vektörlerini göçürünüz. Göçürülen vektörünün uç noktsı t (M) noktsıdır. t b (M) noktsı nsıl belli edilmiştir? M b M b t (M) t b (M) M noktsın hngi ötelemeler ypılmıştır? bir vektörüyle kç öteleme ypılbilir? M noktsın t ve t b ötelemeleri ypılmıştır. bir vektörüyle ylnız bir tek öteleme bellidir. Gördüğünüz gibi, bir öteleme, bir vektörüyle y d M - slı ve M 1 = t (M) - resmi olmk üzere (M, t (M)) sırlı çifti ile bellidir. Sıfır vektörü hngi ötelemeyi belirttiğini düşününüz. 0 vektörüyle ötelemeye özdeş öteleme denir. Sıfır vektörünün bşlngıcı, bitim noktsıyl çkıştığın göre, 0 vektörlü öteleme her M noktsını kendi kendine dönüştürür. ilinmesi gereken! Ötelemenin ne olduğunu; bir öteleme ne ile bellidir; herhngi bir noktnın vektörü için ötelenmesiyle resmi nsıl bulunur. Kendinizi yoklyınız! Öteleme vektörü olmk üzere, 1 = t () resmi verildiğinde slı oln noktyı belirtiniz. t () <teleme 23

24 1. 7 Ödevler vektörü ve, ve C noktlrı verilmiştir. C, ve C noktlrını vektörü için öteleyiniz. ÖTELEMENİN ÖZELLİKLERİ (, t())sırlı çift noktlrı verilmiştir. t ötelemesinin vektörünü çiziniz. (, t()) sırlı çiftiyle verilmiş oln t ötelemesiyle verilen bir M noktsını öteleyiniz. t() t() M Htırlyınız! 1. Ötelemenin, düzlemde noktlr rsınd nsıl bir hreket olduğunu çıklyınız. ir öteleme ne ile bellidir? F 1 ve F 2 birbirine eştir de- Hngi iki şekil nir? Her ötelemenin şu özelliği vrdır: vektörü ve üç frklı nokt, ve verilmiştir.. ve frklı noktlrın vektörü için, ötelemede frklı resimleri vrdır ve her C 1 noktsı düzlemde t ötelemesiyle bir noktnın resmidir. C 1 1 = t () ve 1 = t () noktlrını belirtiniz. 1 ve 1 noktlrı herhngi bir ötelemeyle birbiriyle çkışık durumd olbilir mi? Düşününüz. Öyle bir C noktsını belirtiniz ki, ötelemesiyle C 1 noktsı onun resmi olsun. vektörü için ötelemeyle düzlemin her noktsın onun resmi olck düzlemde birer nokt dim krşılık gelir mi? şğıd verilen çözümü inceleyiniz. 1 1 C 1 =, 1 = ve ve noktlrı frklı noktlr 1 olduğundn 1 ve 1 noktlrı d birbirinden frklıdır. Seçilen C noktsı için CC = vektörünü çizebilirsiniz, 1 1 C yni öyle bir C noktsını belirtmelisin ki t ötelemesiyle resmi C 1 olsun. C 1 2. doğru prçsı ve vektörü verilmiştir (yndki şekil) 1 = t () ve 1 = t () noktlrını belirtiniz. 1 1 doğru prçsı doğru prçsıyl prlel ve eşit olduğunu gösteriniz. 24 Konu 1. Vektörler ve Öteleme

25 t ötelemesiyle 1 1 doğru prçsı doğru prçsının resmi olduğunu gösteriniz. Çözümü inceleyiniz ve ypıln işlemleri görünüz., noktlrı ve t ötelemesiyle elde edilen 1, 1 resimleri 1 1 dörtgenini oluşturuyorlr. 1 X 1 1 = = olduğun göre, dörtgeninin birer krşıt kenrlrı birbirine eşit ve prleldir ( 1 ve 1 ). O hlde 1 1 dörtgeni prlelkenrdır. X X noktsı doğru prçsı üzerinde herhngi bir nokt ise, X 1 = t (X) noktsı 1 1 doğru prçsın it bir nokt olcktır. (Niçin?) Tersine : 1 1 doğru prçsın it herhngi bir X 1 noktsının t (X) = X 1 olck şekilde doğru prçsı üzerinde bir X noktsı bulunur. un göre 1 1 doğru prçsı doğru prçsının resmidir. Ypıln incelemeden şu özelliği görebilirsiniz. Her ötelemede, doğru prçsı kendine eşit ve prlel doğru prçy eşlenir, yni t () = 1 ve t () = 1 ise = 1 1 ve % 1 1 dir. Ötelemede, noktlr rsındki mesfe değişmediğini frkedebilirdiniz. doğru prçsı yerine doğrusu çizerseniz, o hlde t ötelemesiyle doğrusu neye eşlenecektir? doğrusu kendine prlel olcn 1 1 doğrusun eşlenecektir. Genel olrk şu özellik geçerlidir. Her ötelemede, doğru, kendine prlel bir doğruy eşlenir ir doğru prçsı, CD doğrusu ve bir vektörü çiziniz. doğru prçsını ve CD doğrusunu vektörü için öteleyiniz. ir doğrusunu çizdikten sonr onu = vektörü için öteleyiniz. doğrusu neye eşlenir? 5. C üçgeni ve vektörü veriliyor. C, ve C köşelerini vektörü için öteleyiniz. t () = 1, t () = 1 ve t (C) = C 1 olsun. ΔC Δ C olduğunu gösteriniz <teleme 25

26 Şekilde, C üçgeninin vektörü için ötelenmesi gösterilmiştir. Doğru prçsının ötelenmesi özelliğini ve üçgenlerde KKK kurlını uygulyrk ΔC Δ 1 1 C 1 olduğunu göstereceksiniz. Şekle bkrk, C üçgeni vektörü için kydırılmış ve 1 1 C 1 üçgeniyle çkışık durum geldiğini tsrlybilirsiniz. 1 1 C 1 üçgenine t ötelemesine göre C üçgeninin resmidir denir. Demek ki, ötelemede verilen bir üçgenin resmi kendine eş oln bir üçgendir. Genel olrk, F ve F 1 şekilleri için, F 1 in her noktsını F şeklinin en z bir noktsın eşleyen ve herhngi iki nokt, F için f() = 1, f() = 1 den gerektiren f: F F 1 eşlemesi vrs F ve F 1 şekilleri birbirine eştir. Tersi de geçerlidir. vektörü için ötelemede her F şekli kendine eş oln bır F 1 şekliyle eşleşir. Ters öteleme vektörü - ise F 1 şeklinin her X 1 noktsını, F şeklinde slı oln X noktsın eşlediğini,yni F şekli t - ötelemesiyle F 1 şeklinin resmi olduğunu frkedebilirsiniz. - vektörü için öteleme ( nın tersi ), öteleme vektörü oln ötelemenin tersidir. X C 1 C 1 X 1 1 ilinmesi gereken! Ötelemenin temel özellikleri nsıl ifde edilir ve ynılrı nsıl çıklnır. Ötelemenin özellikleri prtik ödevlerde nsıl uygulnır. Kendinizi yoklyınız! ir doğru prçsını çiziniz ve öteleme vektörü = olmk üzere onu öteleyiniz Ödevler ir doğru prçsını çizdikten sonr öteleme vektörü ) verilen bir ; b) = olmk üzere öteleyiniz. ir p doğrusu ve vektörü çiziniz. Öteleme vektörü olmk üzere p doğrusunu öteleyiniz. 26 Konu 1. Vektörler ve Öteleme ir O çısını ve vektörü çiziniz. Öteleme vektörü olmk üzere O çısını öteleyiniz. Merkezi O noktsınd ve yrıçpı r oln bir k çemberi ve = 2r olmk üzere vektörü verilmiştir. Öteleme vektörü olmk üzere k çemberini öteleyiniz. C üçgeni ve vektörü verilmiştir. Öteleme vektörü ) - ; b) c = olmk üzere C üçgenini öteleyiniz.

27 8 ÖTELEMENİN UYGULNMSI Htırlyınız! Ötelemede: ) nokt ; b) doğru prçsı; c) ışın; d) doğru; e) çı; f) çember ; g) üçgen; h) kesişen iki doğru hngi şekle dönüşür? ir O çısı ve vektörünü çiziniz. Öteleme vektörü olmk üzere O çısını öteleyiniz. O çısı ve 1 O 1 1 resmi birbirine göre nsıldır? 1. Öteleme uygulyrk geometriden birçok teorem isptlnbilir ve ödevler çözülebilir. Ötelemenin nsıl uygulndığını, ilerdeki örneklerde göreceksiniz. İsptlyınız: ) ynı yönlü kenrlı çılr birbirine eittir; b) Kenrlrı ters yönlü oln iki çı birbirine eşittir; c) ir çift kenrlrı ynı yönlü, diğer çift kenrlrı ise ters yönlü oln iki çı bütünler çılrdır. Şeklleri inceleyiniz ve isptlm yöntemini görünüz. ) b) 2 c) O O 1 O 1 O O 1 O O O 1 1 O O 1 1 O O 1 1 O O 1 1 O O 1 1 O O 1 1 Şu özellikten yrrlnınız: Ötelemede her şekil kendine eş şekle dönüşür. O hlde her çı, ötelemede kendine eşit (eş) çıy dönüşür. ) OO 1 = olsun. vektörüyle ötelenerek O çısı 1 O 1 1 çısın dönüşür, yni t (O) = 1 O 1 1 dir. un göre O = 1 O 1 1 elde edilir. b) Ters çılr gibi 2 O 1 2 = 1 O 1 1 olduğunu görüyorsunuz. O hlde O = 1 O 1 1 gerekir. OO 1 = olsun. vektörüyle ötelenerek O çısı 2 O 1 2 çısın dönüşür, yni t (O) = 2 O 1 2 dir. un göre O = 2 O 1 2 elde edilir. enzer şekilde c) şıkkındki iddiyı isptlybilirsiniz <teleme 27

28 Ötelemeyi uygulyrk, üçgenin iç çılrı toplmı olduğunu isptlyınız. Kideyi inceleyiniz ve istenilenleri ypınız. C = ve C = b olsun. α çısın vektörlü öteleme ypınız, yni t (α) = α 1 olsun. α ve α 1 çılrı büyüklüklerine göre nsıldırlr? 4 β ve β 1 çılrı büyüklüklerine göre nsıldırlr? 5 β çısın b vektörlü öteleme ypınız, yni t b (β) = β 1 olsun. α γ 1 β 1 α 1 C γ b β 6 7 α ve β çılrının köşeleri C köşesine tşınmıştır. α ve β çılrının kenrlrın ne olmuştur? çıklyınız. Neden γ = γ 1? Neden α 1 + β 1 + γ 1 =180 o dir? 8 Neden α + β + γ = 180 o dir, çıklyınız p, q doğrulrı ve vektörü verilmiştir. q doğrusu üzerinde öyle bir M 1 noktsı belirtiniz ki, t ötelemesiyle o nokt p doğrusu üzerinde oln bir M noktsının resmi olsun. q p Çözümün incelenmesi Ödevin çözülmüş olduğunu frzediniz (şekle bkınız). İnceledikten sonr, M ve M 1 noktlrının belirtilmesi için çizimlerin ypılış usulünü görünüz. t ötelemesiyle M 1 noktsı, M noktsının resmi olsun. MM 1 =. Neden? t ötelemesiyle p 1 doğrusu, p doğrusunun resmidir. 4 M noktsını p ve p 1 1 doğrulrının kesişimi gibi belirtebilirsiniz. 5 M noktsını belirtmek için, M 1 noktsı - vektörüyle ötelenir. q M 1 p 1 M p 28 Konu 1. Vektörler ve Öteleme

29 Çizim q 1 p üzerinde ve nktlrını seçtikten sonr p 1 = t (p) doğrusunu çiziniz. p p 1 M M = t- M 1 noktsı q ve p 1 doğrulrının kesişimidir. M 3 (M1 ). ilmelisiniz! Verilen ödevin incelemesini yptıktn sonr, öteleme kullnrk ödevin çözümünün mümkün olup olmdığını nsıl krr verebilirsiniz. Kendinizi yoklyınız! doğrusu, k çemberi ve vektörü verilmiştir. doğrusu üzerinde öyle bir nokt belirtilsin ki, vektörlü ötelemeyle k çemberinde bir nokty vrsın. O k doğrusu üzerinde böyle kç nokt vrdır? Ödevler 1. p, q doğrulrı ve doğru prçsı verilmiştir. q 2. Verilen bir M noktsındn geçen ve iki prlel p ve q doğrulrın değen bir çember çizilsin. q doğru prçsın eşit ve prlel oln öyle bir MN doğru prçsı çizilsin ki, uç noktlrı verilen p ve q doğrulrı üzerinde olsun. p M p <teleme 29

30 VEKTÖRLER VE ÖTELEMEYI INCELEDINIZ. ILDIKLERINIZI YOKLYINIZ 1. Hngi İki ışın ynı yönlüdürler denir? 7. ve b vektörlerini çizdikten sonr: ) c = + b ; b) c = - b vektörünü çiziniz. 2. O ışını verilmiştir. ) O ışınıyl ynı yönlü olmk üzere O 1 1 ışınını çiziniz. b) O ışının ters yönlü oln O 2 2 ışınını çiziniz. 8., b ve MM = 0 vektörleri verilmiştir. şlngıcı verilen noktsınd olmk üzere şu vektörleri çiziniz: ) - + 0; b) 0 - b. 3. Hngi iki vektöre doğrudş vektörler denir? 9. vektörlü t ötelemesinde, noktsı ve onun resmi 1 noktsı verilmiştir. t öte-lemesinin öteleme vektörünü belirtiniz. 4. şlngıcı verilen bir noktsı olmk üzere, öyle bir vektörü çiziniz ki, doğrultusu verilen bir S doğrultusuyl ynı ve = 3 cm olsun. 10. doğru prçsı ve = vektörü verilmiştir. Öteleme vektörü - olmk üzere doğru prçsını öteleyiniz. 5., CD vektörleri ve M noktsı verilmiştir. ) vektörüne eşit oln MN vektörü; b) CD vektörüne ters oln MD vektörü çizilsin. 11. k(o, r), k 1 (O 1, r 1 ) çemberleri ve p doğrusu verilmiştir. Öyle bir q doğrusu çiziniz ki, p doğrusun prlel olsun ve çemberleri kestiğinde eşit kirişler elde edilsin. 6. irbirine ters oln ve b vektörlerini çiziniz. Ondn sonr vektörüne b vektörünü bğlyınız. 12. Kesişen iki çember k 1 ve k 2 verilmiştir. Kesişim noktlrındn birinden öyle bir p doğrusu çizilsin ki, çemberlerde p doğrusun it kirişler birbirine eşit olsun. 30 Konu 1. Vektörler ve Öteleme

31 KONU 2. ÜSLÜ İFDELER. KREKÖK. DOĞL SYILI ÜSLÜ KUVVETLER 1. Kuvvet (Üslü ifde) 2. Syıyı Kuvvet içiminde Göstermek Syı İfdesinin Hesplnmsı KUVVETLERLE İŞLEMLER 3. ynı Tbnlı Kuvvetlerin Çrpımı ve ölümü 4. Kuvvetin Kuvveti, Çrpımı ve ölümü RSYONEL SYININ KRESİ VE KREKÖKÜ 5. Syının kresi. Krekök 6. Krekökün hesplnmsı - zorunlu değildir 49 REEL SYILR 7. İrsyonel Syılr 8. Reel Syılr Kümesi ildiklerinizi Yoklyınız cü doğum gününüz kutlu olsun Doðl Syýlý Üslü Kuvvetler 31

32 1 DOĞL SYILI ÜSLÜ KUVVETLER KUVVET (ÜSLÜ İFDE) Htırlyınız! ynı toplnnlrın toplmı kısc çrpım biçiminde yzılır = 4 3 Şu toplmlrı çrpım biçiminde yzınız: 1. mip, tekhücreli hyvndır. O bsit yrışm ile çoğlır. Her mip iki yeni mipe yrılır. ir boylı dire bir mibi göstermiş olsun = = ynı çrpnlrın çrpımı kısc kuvvet biçiminde yzılbilir = 6 3 Şu çrpımlrı kuvvet biçiminde yzınız: ir mipden çoğln mip syısını inceleyiniz. irinci yrışm İkinci yrışm 2 = = = Üçüncü yrışm 2 2 = 2 2 = = 2 3 = 8 mipin dördüncü yrışmsınd elde edilecek syıyı, eşit çrpnlrın çrpımı biçiminde yzınız. mipin dördüncü yrışmsını kuvvet biçiminde yzınız. Dördüncü yrışmdn sonr mip syısı kçtır? çrpımını kısc 2 4 biçiminde yzıyoruz (" iki üssü dört" y d "iki üzeri dört" diye okunur) ve onun syı değeri 16 dır. Genel olrk syısın eşit n tne çrpnın çrpımı n biçiminde yzılır ve nın kuvveti denir, yni, $ $ $$$$ = 3 n. ndef 1 = syılır. 32 Konu 2. Üslü Ýfdeler. Krekök Demek ki, 2 4 kuvveti, 2 syısın eşit 4 tne eşit çrpnın kıs yzılışıdır. n üs kuvvetin kuvvet derecesi kuvvetin tbnı okunuşu: " üzeri ne" y d " üssü ne". 2. Verilen çrpımı kuvvet biçiminde yzınız: 7 12 kuvvetini okuyunuz. (- 3,2) (- 3,2) (- 3,2);

33 3 4 ifdesini çrpım biçiminde yzınız ve değerini hesplyınız. ir syının kuvvetinin syı değerini belirtme işlemine kuvvet lm işlemi denir. 3. Kuvvet lm işlemi ypılmış oln örneklere bkınız. 34 = = (3 3) (3 3) = 9 9 = 81 y d 3 (3 3 3)= 3 27 = 81 2 F (- 4)2 = (- 4) (- 4) = 16 (- 4) 3 = (- 4) (- 4) (- 4) = 16 (- 4) = - 64 = = ¹ = ¹ ¹ ¹ ¹ = = = = = F 17 = = 1 (- 1) 3 = (- 1) (- 1) (- 1) = - 1 (- 1) 6 = (- 1) (- 1) (- 1) (- (- 1) 1) (- (- 1) 1) (- (- 1) 1) = = 1 1 F 06 = = = = = 0 9 sıfır En uygun oln birleşme özelliğinden yrrlnınız. Üslü ifdenin tbnının ve değerinin işretine dikkt ediniz. Hele üssü çift y d negtif olduğu durumlrı inceleyiniz. Tbnı 1 oln kuvvetin değeri ne kdrdır, tbnı (-1) oln kuvvetin değeri ise ne kdrdır? Tbnı 0 oln kuvvetin değeri, üssünün değerine bğlı mıdır? şğıdki kuvvetlerin değerini hesplyınız: (1,2) 3 = ; (- 5) 4 = ; (- 3) 3 = ; şğıdki tblo, bir kuvvetin tbnı ve üssüne göre nsıl syı olduğunu nlmk için yrdımcı olcktır. Kuvvetin tbnı Üssü Kuvvetin değeri Pozitif syı 1 0 Negtif syı ¹ Herhngi doğl syı Çift syı Tek syı = ; 0 18 = ; 1 6 = ; 7 1 =. Pozitif syı 1 0 Pozitif syı Negtif syı Herhngi syı 1 Syının kendisi Doðl Syýlý Üslü Kuvvetler 33

34 4. Tblodki kurllrdn yrrlnrk, şğıdki kuvvetlerin değeri nsıl syı olduğunu belirtiniz. 6 3 ; (- 6) 3 ; ; ; 6 1 ; (- 0,23) 1 ; 2 60 ; ; (- 2) 3 kuvvetinin değeri hesp mkinesiyle nsıl hesplndığını görünüz. -2 y x 3 = -8 Hesp mk. klvyesinde y x y d tuşlrı vrs x y -2 = 4 = -8 klvyede y d tuşlrı yoks Hesp mkinesi kullnrk şğıdkileri hesplyınız. 3 3 = ; 0,5 10 = ; (- 1,2) 4 = ; (-136) 3 = ; 15 2 =. y x x y Neleri bilmelisiniz: Kuvvet, kuvvetin tbnı ve üssü nedir (kuvvetin derecesi) ; Kuvvetin syı değeri nsıl belirtilir; Kuvvetin syı değeri nsıl syı olduğu thmin edilmesi. Kendinizi yoklyınız! n kuvvetiyle ilgili hngisi doğrudur: ) kuvvet, n ise kuvvetin tbnıdır; b) n syısı, syısının kç def çrpn olrk lındığını gösterir. c) < 0 ve n tek syı ise, n kuvvetinin değeri pozitif syıdır. n için yukrıd iddi edilenlerden ynlış olnlrı düzeltiniz ve yzınız. Cevplmy çlışınız! - 4x 6 ifdesi kuvvet değildir, (- 4x) 6 ise kuvvettir. Niçin? Her iki ifdeyi çrpım biçiminde yzınız. Frkı göreceksiniz. Yosun problemi ir brdkt yosunlr vrdı. Yosunlrın ktılm özelliğine göre, syısı her gün iki ktın çıkıyor. rdğın dolmsı için 10 gün gerekiyormuş. Kç gün sonr brdğın yrısı yosunl dolmuştur? Cevbınızı çıklyınız. 34 Konu 2. Üslü Ýfdeler. Krekök

35 Ödevler 1. Her kuvvetin tbnını ve üssünü belirtiniz: 3. Kuvvetleri, çrpım biçiminde yzınız: 6 3 ; 3 6 ; 4,26 7 ; (3p) m ; (-x + 4) p ; (- p 8 ) 4 ; ; = ; (- 2) 4 = ; (- x + 3) 3 = ; = ; 2. Verilen çrpımlrı kuvvet biçiminde yzınız: = ; (m 3 ) 4 =. (- 2,5) (- 2,5) = ; x x x x x x = ; 4. Her kuvvetin değerini hesplyınız: ( + b) ( + b) ( + b) = ; = ; = ; (x + 6) (x + 6) =. (- 2) 5 = ; (- 5) 2 = ; = ; (- 0,6 ) 7 = ; Sonuçlrı hesp mkinesiyle yoklyınız. 2 SYIYI KUVVET İÇİMİNDE GÖSTERMEK İFDENİN SYI DEĞERİNİN HESPLNMSI Htırlyınız! çrpımı, kuvvet gibi 10 3 biçiminde yzılır kuvvetinin tbnını ve üssünü belirtiniz kuvvetini, iki bsmklı eşit çrpnlrın çrpımı biçiminde yzınız. Her ondlık biriminde sıfırlr syısını, çrpımd çrpnlr syısını ve kuvvet biçiminde yzılışt üs oln syıyı krşılştırınız. 1. Tblod bzı ondlık birimler, ynı çrpnlrın çrpımı ve 10 tbnlı kuvvet biçiminde yzılmıştır. Ondlık birim Çrpım Ondlık birimin sıfır syısı, bu birimin 10 tbnlı kuvvet biçiminde yzılışınd kuvvetin üssüne eşit olduğunu frkettim. Kuvvet Doðl Syýlý Üslü Kuvvetler 35

36 2. şğıdki tümcelerde verilmiş oln syılrın her birini kuvvet biçiminde yzınız: Neptun'un kütlesi yklşık kilogrmdır. y'ın kütlesi yklşık kilogrmdır. Güneşin kütlesi, yın kütlesinin yklşık on milyon ktıdır. Güneşin kütlesini kuvvet biçiminde yzınız. enim kütlem 10 7 def dh çoktur 3. Verilen kuvvetleri çrpım biçiminde yzınız: 10 9 ; ; kuvvetine eşit oln ondlık birimi yzınız. ir syı ve ondlık birimin çrpımı biçiminde yzılbilen syılr, bir syı ve 10 tbnlı kuvvetin çrpımı biçiminde de yzılbilir. Örnek: = = Işığın hızı sniyede kilometredir. Işığın hızını bir syı ve 10 tbnlı kuvvetin çrpımı biçiminde yzınız. Işığın bir yıld geçtiği yol ışık yılı denir. ir ışık yılı kç kilometredir? Htırlyınız! 1 yıl = 365 gün; 1 gün = 24 st; 1 st = 60 dkik; 1 dkik =60 sniye; 1 ışık yılı = = Işık yılını iki syının çrpımı gibi gösteriniz. Öyle ki, çrpnlrdn biri tbnı 10 ve üssü 8 oln kuvvet olsun. Şimdiye dek, büyük syılrın, bir syı ve 10 tbnlı kuvvetin çrpımı biçiminde gösterilebildiğini gördünüz. enzer şekilde küçük syılr d, tbnı 0,1 oln kuvvet şeklinde y d bir syı ve 0,1 tbnlı kuvvetin çrpımı biçiminde yzılbiliyorlr. 5. Tblod ynı çrpnlrın çrpımı ve 0,1 tbnlı kuvvet biçiminde yzılmış oln ondlık syılrı görünüz. Syı Çrpım biçiminde yzılışı Kuvvet 0,01 0,1 0,1 0,1 2 0, 001 0,1 0,1 0,1 0,1 3 0,0001 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 4 0, ,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0, Konu 2. Üslü Ýfdeler. Krekök

37 Ondlık syının virgülden sonrki bsmk syısını ve ynı syının kuvvet biçiminde yzılışındki üssü krşılştırınız. Ondlık syının virgülden sonrki bsmk syısını ve ynı syının kuvvet biçiminde yzılışındki üssü ynı olduğunu frkettim. 6. 0, ve 0, syılrını 0,1 tbnlı kuvvet biçiminde yzınız: 0,1 tbnlı kuvveti ondlık syı biçiminde yzınız: 0,1 1 = ; 0,1 9 =. Her ondlık syı, biri 0,1 tbnlı kuvvet olmk üzere, iki çrpnın çrpımı biçiminde yzılbilir. 7. Örneğe bkınız: 0,007 = 7 0,001 = 7 (0,1 0,1 0,1) = 7 0,1 3 şğıdkileri, bir tm syı ve 0,1 tbnlı kuvvetin çrpımı biçiminde yzınız. 0,3 = ; 0,0008 = ; 0, = ; 1,05 =. Htırlyınız! Noktlr çizgiciklerin önünde gider Hesplyınız: Fkt, önce prntezlerde 3 + ¹ - 2 =. Kuvvet lm işlemi üçüncü derece işlemdir. 8. Verilen ifdenin syı değerinin hesplnmsın dikkt ediniz. (816-6) : (-3) 4 - (6 3 : 8) 2. İşlem sırsı Syı ifdesi (816-6) : (-3) 4 - (6 3 : 8) 2 prntezler 810 : (-3) 4 - (6 3 : 8) 2 = üçüncü derece = 810 : 81 - (216 : 8) 2 = ikinci derece = = birinci derece = = sonuç - 44 en üçüncü sırd fkt birinciyim 2 n Doðl Syýlý Üslü Kuvvetler 37

38 ir ifdenin syı değerini hesplrken, kuvvet lm işlemi ikinci derece işlemlerden (çrpm ve bölmeden) önce ypılır, sonund ise birinci derece (toplm ve çıkrm) işlemleri ypılır; prntezlere de dikkt edilmelidir. Verilen ifdenin syı değerini hesplyınız: ) : (- 7) 2 = ; b) 32 ¹ - 16 : ¹ + 20 : (- 1)123 =. Neleri bilmelisiniz: Kendinizi yoklyınız! üyük ve küçük syılrın kuvvet biçiminde nsıl yzıldığını; Syı ifdesinin değerini hesplrken işlemlerin sırsının uygulnmsını. Yerkürenin lnı km 2 dir. u syıyı çrpnlrdn biri 10 tbnlı kuvvet olmk üzere iki syının çrpımıı şeklinde gösteriniz. Syı ifdesinin syı değerini hesplrken toplm, çıkrm, çrpm, bölme ve kuvvet lm işlemleri hngi sıry göre ypıldığını yzınız. Ödevler 1. Çrpnlrdn biri 10 tbnlı kuvvet olmk üzere, şğıdki tümcelerde rstlnn syılrı iki çrpnın çrpımı biçiminde y d tersine yzınız: 3. Verilen ifdenin syı değerini hesplyınız: (16-13) 2 : 3 = ; (8 : 2 3 ) = ; Yupiterin kütlesi yklşık tondur. = ; =. Mrsın kütlesi, yklşık 6, tondur. İnsn vücudund, yklşık 0, hücre vrdır : syı ifdesine dikkt ediniz. şğıdki ifdenin değeri doğru olmsı için prntezleri nerede koymlısınız? 2. Hesplyınız: = ; = ; 6, = ; 0, = ; 6 : = 45; 6 : = 9; 6 : = ,1 3 = ; 0,392 0,1 2 =. 38 Konu 2. Üslü Ýfdeler. Krekök

39 3 YNI TNLI KUVVETLERİN ÇRPIMI VE ÖLÜMÜ Htırlyınız! n kuvveti çrpım biçiminde $ $ $$$$ = 3 n ndef şeklinde yzılır. 1 =. Verilen kuvvetleri çrpım biçiminde yzınız 7 3 = ; (- 2) 2 =. ynı tbnlı iki kuvvetin çrpımınd: Elde edilen çrpımın tbnı ynı klır; KUVVETLERLE İŞLEMLER 1. Kuvvetlerin çrpımı Çrpımın üssü, çrpnlrın üslerinin toplmın eşittir. Kuvvetlerin çrpımıyl ilgili tbloyu inceleyiniz: Kuvvetlerin çrpım biçiminde yzılışı Yukrıdki tblod, son örnekteki çrpımd elde edilen kuvvetin üssü hngi syıdır? Kuvvetlerin çrpımı (2 2 2) (2 2) = = 2 5 (-3) 2 (-3) ((-3) (-3)) (-3) = (-3) (-3) (-3) (-3) 2+1 = (-3) 3 È Ø É ¹ ¹ ¹ È Ø É Ê Ù Ú È Ø Ê Ù Ú È Ø É ¹ ¹ ¹ Ê Ù Ú È Ø È Ø É Ê Ù Ú É Ê Ù = Ú É Ê Ù Ú ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ( ) (5 5) = = 5 ynı tbnlı iki kuvvetin çrpımı, tbnı çrpnlrın tbnın eşit, üssü ise çrpnlrın üslerinin toplmın eşit oln bir kuvvettir. Unutmmk için: m n = m + n Verilen çrpımlrı belirtiniz: 4 5 ; ( - 2) 7 (- 2) 2 ; ( - 3) ( - 3) 6. Kuvvetlerin çrpımını yzınız: x 5 x 6 = ; ( - k) p (- k) m =. (x 2 x 4 ) x 3 çrpımını hesplıyoruz : (x 2 x 4 ) x 3 = (x ) x 3 = x 6 x 3 = x = x 9 Verilen çrpımlrı, kuvvet biçiminde gösteriniz: b 3 (b 7 b 2 ) =. ¹ ¹ ¹ u d kolydır. Tbnı ynı yzr, kuvvetlerin üslerini toplr üs olrk yzrım. m n p = m + n + p ¹ =. Kuvvetlerle Ýþlemler 39

40 kuvvetini üç çrpnın çrpımı biçiminde yzınız. irçok çözümü olduğunu görebilirsiniz. Siz ylnız iki çözümü yzınız. Çrpnlrdn biri 7 oln bir çrpım 97 dir. İkinci çrpn hngisidir? = 6 12 çrpımınd, eksik oln üs hngi syıdır? Htırlyınız!, b ve n doğl syılr ve n syısı ve b nin böleni ise: D D Q geçerlidir. E E Q. Kesirleri kısltınız: ; ; ; ¹ ¹ ;. ; ¹ ; ¹ ¹. Örnek: = = = ¹ = ¹ y d 5. Kuvvetlerin bölümü ynı tbnlı kuvvetlerin bölümüne it tbloyu inceleyiniz. Kuvvetlerin çrpım biçiminde yzılışı Çözüm ¹ ¹ ¹ ¹ 2 5 : 2 2 = = 2 3 ¹ (-3) 2 : (-3) = (-3) (-3) 2-1 = (-3) (-3) ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 5 7 : 5 3 = = 5 4 ¹ ¹ 9 6 : 9 ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ = = 9 ynı tbnlı iki kuvvetin bölümünde şunu frkedebilirsiniz: ölümün tbnı, bölünenin ve bölenin tbnıyl ynıdır. ölümün üssü, bölünenin ve bölenin üslerinin frkın eşittir. Tblodki son örnekte eksik oln kuvvetin üssü hngi syıdır? ynı tbnlı (sıfırdn frklı) kuvvetlerin bölümü, tbnı ynı, üssü ise bölünen ve bölenin m ve n, m > n frkın eşit oln bir kuvvettir. Unutmmk için: 0 m : n = m - n ; m > n Verilen bölümün nsıl hesplndığını görünüz: (-6) 5 : (-6) 3 =. ¹ (-6) 5 : (-6) 3 = = = (-6) = (-6) 2. Y d dh kıs olrk: (-6) 5 : (-6) 3 = (-6) 5-3 = (-6) 2. Hesplyınız: 16 9 : 16 3 = ; (-3,5) 7 : (-3,5) 2 = ; : = ; ölünen ve bölenin üsleri ynı olduklrı durumd, ynı tbnlı kuvvetlerin bölümünü izleyiniz. 40 Konu 2. Üslü Ýfdeler. Krekök È É Ê Ø Ù Ú : È É Ê Ø Ù Ú =.

41 0 ise, D n n : = = 1 Q elde edilir, çünkü py ve pyd birbirine eşittir. D ynı tbnlı kuvvetlerin bölümü kurlını uygulyrk : n n n - n o : = = elde edilir. 8. irinci durumd sonuç 1, ikinci durumd ise sonuç o elde edildi ölümleri belirtiniz: ynı tbnlı kuvvetlerin bölümünde, bölünenin üssü bölenin üssünden küçük olduğu durumd elde edilen sonuc dikkt ediniz. (-2) 6 : (-2) 8 = = =. ¹ Hesplyınız: (-13) 4 : (-13) 7 = ; Q (-6) 3 : (-6) 3 = ; 12, : 12, = ; ( -1) 5 : ( -1) 5 = ; È Ø É Ê Ù Ú : È Ø É Ê Ù Ú = ; o = 1 olduğunu sycğız. È Ø É Ê Ù Ú : È Ø É Ê Ù Ú =. Neleri bilmelisiniz: şğıdki kurllrın uygulnmsını: m n m + = n, m, n N; m n m - : = n, 0 ve m > n; m n : = QP D, 0 ve m < n; n n : = 0 = 1, 0 ve n N Ödevler Verilen kuvvetlerin çrpımını hesplyınız: x 5 x 15 = ; Eşitliklerin doğru olmsı için, kreciklerde hngi syılr yzılmlıdır: 6 9 = 15 ; y 100 y 2 = ; = ; x 3 x 5 x 2 = ; (-b) (-b) 5 (-b) 10 =. p 4 p 4 = p 10? = ; Kendinizi yoklyınız! ynı tbnlı kuvvetlerin çrpm kurlını ifde ediniz. ynı tbnlı kuvvetlerin bölümü nsıl ypılır. çıklyınız. Tbnlrı eşit (sıfırdn frklı) ve üsleri eşit oln iki kuvvetin bölümü hngi syıdır? Herhngi tbnlı 0, üssü 0 oln kuvvetin değeri hngi syıdır? Verilen kuvvetlerin bölümünü hesplyınız: 17 4 : 17 2 = ; 1,1 4 : 1,1 = ; x 9 : x 12 = ; 3 5 : 3 18 = ; 12 6 : 12 6 = ; 3 : 3 =. Verilen her ifdenin değerini hesplyınız; ¹ ¹ = ; = ; = ; = ; (75 : 7 2 ) =. (7 5 : 7 2 ) =. Kuvvetlerle Ýþlemler 41