Statik Manyetik Alan Amper Kanunu Manyetik Vektör Potansiyeli Maxwell in diverjans eşitliği Endüktans 1
Amper Kanununun İntegral Formu 2
Amper Kanununun İntegral Formu z- ekseni boyunca uzanan çok uzun bir iletken tel düşünelim. Akım sayfa düzleminden içeriye doğru seçilsin. Manyetik akı yoğunluğunun büyüklüğü r ye bağlı olup telin çevresindeki daireye teğettir. r x I dl C μ 0. I 2. π. r. ı 3
B. dl = μ 0. I 2. π. r. ı. dl. ı = μ 0. I. dl 2. π. r B. dl = μ 0.I.dl 2.π.r = μ 0.I 2.π.r dl = μ 0.I.(2. π. r) 2.π.r B. dl=μ 0. I Manyetik dolanım 4
Herhangi bir halka için, dolanım sadece halkanın içinden geçen toplam akıma bağlıdır. x I 1 x I 2 C x I 3 B. dl=μ 0. (I 1 +I 2 ) 5
Örnek Sonsuz uzunlukta, düz, saf ve manyetik olmayan iletkenin R yarıçaplı dairesel bir dış yüzeyi vardır ve üzerinden I 0 akımı geçmektedir. İletkenin içinde ve dışında manyetik akı yoğunluğu vektörünü bulunuz. B. dl= B. ı. dl. ı B dl = B. 2.. r = μ 0.I 0 B = μ 0.I 0 2. π. r r R için I I 0 = π. r2 π. R 2 I = r2 R 2. I 0 B dl = B. 2.. r = μ 0.I=μ 0 r 2 B = μ 0. I 0 2. π. R 2. r r < R için R 2. I 0 6
B = μ 0.I 0 2. π. r r R için B = μ 0. I 0 2. π. R 2. r r < R için 7
Örnek 8
Örnek 9
Örnek (devam..) integrale B. dl= B. dl = B dl = B. l 1.yol 1.yol B. dl= B. l=μ 0. N. I B = μ 0. N l. I = μ 0. n. I 10
Örnek a r b ve r > c bölgelerinde manyetik akı yoğunluğunu bulunuz. I I c 2 c 1 11
Örnek (devam..) a r b bölgesinde oluşan manyetik dolanım yolunu c 1 ile gösterelim. Bu yol için Amper kanunu uygularsak; B. dl= B. dl = B dl = B. 2. π. r c 1 c 1 B. dl=b. 2. π. r=μ 0. I B = μ 0. I 2. π. r a r b r > c bölgesi için, c 2 yolu boyunca Amper kanunu uygulanırsa; B. dl=b. 2. π. r=μ 0. I I = 0 B = 0 r > c 12
Amper Dolanım Kanununun Diferansiyel Formu Amper kanunu J akım yoğunluğu vektörü kullanılarak aşağıdaki gibi yazılabilir. C B. dl = μ 0 s J. ds Stokes teoremi kullanılarak, birinci integral aşağıdaki gibi yazılabilir. S ( B). ds = μ 0 J. ds s B = μ 0. J Statik manyetik alan için Maxwell Denklemi veya Amper dolanım kanununun diferansiyel formu 13
Manyetik Vektör Potansiyeli Gradyen operatörü yardımıyla skaler potansiyel ile elektrik alan arasındaki bağıntı bulunmuştu. Benzer bir işlemle manyetik alan için bir bağıntı elde edilecektir. Üzerinden I akımı geçen iletkenin çevresindeki manyetik alan: B = μ 0 4π. (I. dl ı R ) R 2 c 1 R = 1 R 2. ı R B = μ 0 4π. dl 1 R c A V = V. A (V. A) Vektör özdeşliği kullanılarak B = μ 0. I 4π. 1 R c. dl dl R dl=0 olduğundan B = μ 0. I 4π. dl R c = μ 0 4π c I. dl R A B = A 14
Manyetik Vektör Potansiyeli A = μ 0 4π c I. dl R İletken tel A = μ 0 4π S J s. ds R İletken yüzey A = μ 0 4π v J v. dv R Hacimli iletken 15
Örnek Manyetik vektör potansiyeli A = r 2 /4. ı z [Wb/m] veriliyor. φ = π, 1 r 2m, 2 0 z 5m yüzeyinden geçen toplam akıyı bulunuz. z B = A = = A z z. ı φ = r 2. ı φ 5 ds = dr. dz. ıφ dr dz φ= B. ds = 1 2 5 z=0 2 r=1 r. dr. dz = 15 4 = 3.75 Wb 1 2 φ = π/2 y x 16
Maxwell in Diverjans Eşitliği. A = 0 Özdeşliğinden faydalanarak,. B = 0 Maxwell in diverjans eşitliği bulunur. B = μ 0. J. B = 0 Statik manyetik alanı tamamıyla belirler. 17
Maxwell in Diverjans Eşitliği B. ds =. B. dv = 0 Bulunur. s v Kapalı bir yüzeyden çıkan toplam manyetik akı sıfırdır. 0. B = 0. μ 0. J = 0 μ 0. J. J = 0 18
Manyetik Akı ve Akı Bağlaşımı B d uzunluklu, N sarımlı bir solenoid düşünelim. Her bir sarımında I akımı akacaktır. Her bir sarımın alanı S i olsun. Akı bağlaşımı ( ), her bir sarımdaki akıların toplamı şeklinde ifade edilir. N turns I d S i Akı bağlaşımının birimi, Weber-turns [Wb-t] Bütün sarımların çapı (dolayısıyla B ) eşit olsun. :
Endüktans Tanımı Akı bağlaşımı ve manyetik akı: B Bir devrenin indüktansı, birim akım başına akı bağlaşımı şeklinde tanımlanır. N turns I d S i Endüktans birimi : Henry [H].
Solenoidin Endüktansı Birim uzunluk başına sarım sayısı n olan solenoidin manyetik akı yoğunluğunu daha önce bulmuştuk. B N turns I d Akı bağlaşımı: S i Endüktans: Elde edilen sonucu, paralel plakalı kondansatörün kapasitans formülüyle karşılaştıralım
Örnek: Koaksiyel Hattın Endüktansı d uzunluklu koaksiyel hattın içindeki manyetik akı yoğunluğu: B = μ 0. I 2. π. r. ı φ a r b B d Şekilde gösterilen a ve b yarıçapları arasında yer alan düzlemden Geçen akıyı, manyetik akı yoğunluğunun bu düzlem içim yüzey integralini alarak bulabiliriz. Tek sarım söz konusu olduğu için, akı bağlaşımı akıya eşit olacaktır. λ = φ = s B. ds = d 0 d = 1 için, birim uzunluk başına endüktans; b 0 μ 0.I 2.π.r. ı φ. dr. dz. ıφ = μ 0. I.d 2.π ln b a
İki İndüktör Farklı özelliklere sahip iki solenoidimizin olduğunu varsayalım. Döngünün içinden geçen akı, kendi akımından kaynaklanıyorsa, bu durumda oluşan Akı bağlaşımına self (öz) bağlaşım, oluşan endüktansa ise self (öz) endüktans denir. B 22 Bobin 2 d 2 N 2 S 2 I 2 B 11 Bobin 1 d 1 N 1 S 1 I 1
İndüktörlerin Etkileşimi B 12 B 22 Her bir bobinin oluşturduğu akı, diğer bobinden de geçecektir. Bu durumda bulunacak olan endüktasn ortak (karşılıklı) endüktans olarak isimlendirilir. Kırmızı gösterilen manyetik akı yoğunluğu 1. bobinden, mavi gösterilen ise ikinci bobinden kaynaklanmaktadır. d 2 N 2 S 2 I 2 B i j B 11 B 21 i. Bobinden oluşan j. Bobinin içinden geçen d 1 N 1 i, j = 1, 2 S 1 I 1
Karşılıklı (ortak) Endüktans, M 12 B 12 Birinci ve ikinci bobin arasındaki ortak akı bağlaşımı: Bobin 2 d 2 N 2 S 2 I 2 = 0 Ortak endüktans ise aşağıdaki gibi tanımlanır. B 11 Bobin 1 d 1 N 1 S 1 I 1
Karşılıklı (ortak) Endüktans, M 21 B 22 Birinci ve ikinci bobin arasındaki ortak akı bağlaşımı: Coil 2 d 2 N 2 S 2 I 2 B 21 Ortak endüktans ise aşağıdaki gibi tanımlanır. Coil 1 d 1 N 1 S 1 I 1 = 0
Manyetik Enerji Başlangıçta akımı sıfır ve öz endüktansı L 1 olan tek bir kapalı döngüyü göz önüne alalım. Döngüye bir akım kaynağı bağlandığında, i 1 akımı sıfırdan I 1 değerine ulaşacaktır. Akım değişimine direnecek şekilde döngüde bir elektromotor kuvvet (emf) indüklenecektir. İndüklenen bu emf nin üstesinden gelmek için bir miktar iş yapılmalıdır. v 1 = L 1. di 1 gerilim olarak alalım. Gerekli olan bu iş; dt y i endüktans üzerindeki I 1 W 1 = v 1. i 1. dt = L 1 i 1. di 1 = 1 2. L 2 1. I 1 şeklinde tanımlanır ve manyetik enerji olarak depolanır. Alan nicelikleri cinsinden ise aşağıdaki gibi tanımlanabilir. 0 W m = 1 2 v H. Bdv [ J ] 27