ler Ders 3: Tablolarına Giriş Ankara Üniversitesi
Tablolarına Giriş ler Aktüerya bilimi uygulamalı bir bilim dalı olup, diğer bilimlerin ve pratik olarak uygulayıcıların tecrübelerinden yararlanılarak elde edilen kavram ve gözlemlere dayanmaktadır. Bu gözlemlerden biri de ölüm gözlemleridir. Ölüm gözlemleri yıllar süren çalışmalar sonucunda elde edilen istatistiki verilerden yola çıkılarak yapılır. Bu istatistiki veriler belli bir süre içerisindeki yaşayanların ve ölenlerin sayısı v.b. bilgileri içerir. tabloları, hayat sigortacılığındaki aktüeryal hesaplamaların ana kaynağını oluşturur. Bir aktüer hayat sigortası tarifelerini hazırlarken içinde bulunulan ülkenin demografik yapısına en uygun mortalite tablosunu kullanmalıdır.
Tablolarına Giriş ler Mevcut topluluğa uygun olan mortalite tablosunun kullanılması durumunda hem sigortacı hem de sigortalı zarar etme riskiyle karşı karşıyadır. Demografik çalışmalarda üzerinde en sık durulan hayat olaylarından birisi ölüm olaylarıdır. Bir toplumda yaşayan belirli bir yaş grubundaki bireylerin yaşam süresi beklentilerinin hesaplanması demografide önemli bir yer tutar. Her ülke için beklenen hayat süresini veren tablolar hazırlanabilir ve bu tablolara kısaca mortalite(ölüm düzeyi) tablosu adı verilir.
Tablolarına Giriş ler Hayat sigortalarında risk kelimesi ile kişinin ölümü kastedilir. Sigorta şirketi aynı yaştaki kişilerin hemen hemen özdeş ölüm olasılıkları gösterdiği varsayımından hareket ederek primlerini saptar. Bunu kendi toplumuna uygun olduğunu düşündüğü bir mortalite tablosu kullanarak gerçekleştirir. Uzun yaşam veya erken ölüm olasılıkları, bireyin kendisinin veya bakmak zorunda olduğu yakınlarını ekonomik bağımsızlıklarının sürdürülmesinde sorunlara neden olabilir.
Tablolarına Giriş ler Belli bir yaşta olan bir bireyin ne kadar yaşayacağı ve ne zaman öleceği bilinmemesine karşın, o yaşta olan büyük bir grup kişiden ne kadarının öleceği tahmin edilebilir. Bu tahminleme, yaşama- ölüm olasılıklarını içeren ve mortalite tablosu ya da hayat tablosu adı verilen bir tablodan yararlanılarak yapılır. Kısaca, doğuşları aynı zamana rastlayan kişilerin oluşturduğu neslin yaşları ilerlerken ölüm nedeniyle azalışını gösteren tabloya mortalite tablosu denir. Ölüm ve yaşam sigortaları, hayat sigortalarının temelini oluştururlar. Ölüm tabloları belirli yaştaki kişilerin yaşam veya ölme olasılık bilgilerini içerirler.
Tablolarına Giriş ler Temel olarak geçmişteki kayıtlardan faydalanılarak gelecekteki olayların bunların bir tekrarı olacağı düşünülerek hazırlanır. Bu çalışmalar sırasında 1958 de Amerikan şirketlerinin hazırladığı C.S.O (Commissioner s Standart Ordinary Table) tablosu kullanılacaktır.
ler Başlangıç yılı ve bu yılda belirli sayıda insan alınarak başlanır ve bu sayıya Radix denir. Bu sayı genellikle 100.000, 1.000.000, 10.000.000 olarak seçilir. C.S.O tablolarında başlangıç 10.000.000 olarak seçilmiştir.
ler x l x d x q x 0 10.000.000 70.800 0, 00708 1 9.929.200 17475 0, 00178.... w 0 Burada; l x : x yaşında yaşayan kişi sayısı d x : x yaşına gelmiş olan kişilerden x + 1 yaşına gelene kadar ölenlerin sayısı w : Son yaş q x : x yaşına gelmiş olan bir kişinin x + 1 yaşına gelene kadar ölmesi olasılığı
ler ve p x = l x+1 l x q x = d x lx
Özellikler l x+1 = l x d x (6.1) l x = d x + d x+1 +... + d w 1 (6.2) l x l x+n = d x + d x+1 +... + d x+n 1 (6.3) ler l x+n = l x p x p x+1... p x+n 1 (6.4)
ler (6.2.1) Aşağıda verilen tabloya göre d x, p x ve q x değerlerini bulunuz. x l x d x p x q x 92 1000 93 500 94 230 95 92 96 29 97 6 98 0
Çözüm ler Çözüm (6.2.1) x l x d x p x q x 92 1000 500 0.5000 0.5000 93 500 270 0.4600 0.5400 94 230 138 0.4000 0.6000 95 92 63 0.3152 0.6848 96 29 23 0.2069 0.7931 97 6 6 0.0000 1.0000 98 0 0
np x : x yaşındaki bir kişinin x + n yaşına kadar yaşaması olasılığı np x = l x+n l x (6.5) ler nq x : x yaşındaki bir kimsenin x + n yaşına gelmeden ölmesi olasılığı. nq x = l x l x+n l x (6.6)
ler m q x : x yaşındaki bir kimsenin x + m yaşını izleyen yıl ölmesi olasılığı veya x + m ve x + m + 1 yaşları arasında ölmesi olasılığı. m q x = d x+m l x (6.7) m nq x : x yaşındaki bir kimsenin x + m yaşına ulaştıktan sonra bu yaşı izleyen n yıl süresinde veya x + m ila x + m + n yaşları arasında ölmesi olasılığı. m nq x = l x+m l x+m+n l x (6.8)
ler (6.2.2) C.S.O Tablosuna göre 20 yaşındaki bir kişinin 25 yaşından önce ölmesi olasılığını bulunuz. ler
ler Çözüm (6.2.2) 5q 20 = l 25 l 20 l 20 = 89358 44 679 9664994 = 4832 497 = 0.009245 ler
ler (6.2.3) C.S.O tablosuna göre 40 yaşındaki bir kimsenin 40 49 yaşları arasında ölmesi olasılığını bulunuz. ler
ler Çözüm (6.2.3) 9q 40 = l 40 l 49 l 40 = 9241356 8829407 9241359 = 411 949 9241 359 = 0.044577 ler
ler (6.2.4) 35 yaşındaki bir kimsenin 60 ve 70 yaşları arasında ölmesi olasılığı nedir? ler
ler Çözüm (6.2.4) 25 10q 35 = l 60 l 70 l 35 = 7698696 5592011 9373805 = 60 191 267 823 = 0.224658 ler
ler (6.2.5) 45 yaşındaki bir insanın 5 yıl içinde ölmesi olasılığı nedir? ler
ler Çözüm (6.2.5) 5q 45 = l 45 l 50 l 45 = 9048996 8762304 9048996 = 23 891 754 083 = 0.031682 ler
ler (6.2.6) 20 yaşındaki bir insanın 45 ve 50 yaşları arasında ölmesi olasılığı nedir? ler
ler Çözüm (6.2.6) 25 5q 20 = l 45 l 50 l 20 = 9048996 8762304 9664994 = 143 346 4832 497 = 0.029663 ler
ler ler (6.2.7) 30 ve 50 yaşlarında olan iki kişinin 20 yıl daha yaşaması olasılıkları 0.4 dür. 30 yaşında yaşıyan kişi sayısı 48.000 dir. 3000 kişisi 40 yaşına gelmeden vefat ediyor. Buna göre şimdi 40 yaşında olan bir kişinin önümüzdeki 30 yıl içerisinde ölmesi olasılığı nedir?
ler ler Çözüm (6.2.7) 20p 30 20 p 50 = 0.40, l 30 = 48000 ve l 30 l 40 = 3000 olduğuna göre 10q 30 = l 30 l 40 l 30 = 3000 48000 = 0.0625 ise 30p 40 = 0.4 0.9375 = 0.4267 olur ve buradan 30q 40 = 1 30 p 40 = 1 0.4267 = 0.573 3 olarak bulunur.
e x : x yaşında olan bir kimsenin gelecekte kalan ortalama yaşama süresi e x = l x+1 + l x+2 +... + l w 1 l x ler ve e 0 x = e x + 0.5 biçiminde elde edilirler.
(6.3.1) C.S.O tablosuna göre 90 yaş için ortalama ömür süresini bulunuz. ler
ler Çözüm (6.3.1) e 90 = l 91+l 92 +...+l 99 ve e 0 90 = 3.0622970 l 90 = 361365+...+6415 468174 = 1199916 468174 = 2.562970