Genel Matematiksel Kavramlar

Genel Matematiksel Kavramlar Öğrenme Süreçler ve Öğret m Yaklaşımları Doç. Dr. Tangül Uygur Kabael

ii Genel Matematiksel Kavramlar Öğrenme Süreçleri ve Öğretim Yaklaşımları Doç. Dr. Tangül Uygur Kabael GENEL MATEMATİKSEL KAVRAMLAR ÖĞRENME SÜREÇLERİ VE ÖĞRETİM YAKLAŞIMLARI ISBN 978-605-318-817-9 DOI 10.14527/9786053188179 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. 2017, PEGEM AKADEMİ Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ye aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. Pegem Akademi Yayıncılık, 1998 yılından bugüne uluslararası düzeyde düzenli faaliyet yürüten uluslararası akademik bir yayınevidir. Yayımladığı kitaplar; Yükseköğretim Kurulunca tanınan yükseköğretim kurumlarının kataloglarında yer almaktadır. Dünyadaki en büyük çevrimiçi kamu erişim kataloğu olan WorldCat ve ayrıca Türkiye'de kurulan Turcademy.com ve Pegemindeks.net tarafından yayınları taranmaktadır, indekslenmektedir. Aynı alanda farklı yazarlara ait 1000 in üzerinde yayını bulunmaktadır. Pegem Akademi Yayınları ile ilgili detaylı bilgilere http://pegem.net adresinden ulaşılabilmektedir. 1. Baskı: Mart 2017, Ankara Yayın-Proje: Özlem Sağlam Dizgi-Grafik Tasarım: Didem Kestek Kapak Tasarımı: Pegem Akademi Sonçağ Yayıncılık Matbaacılık Reklam San Tic. Ltd. Şti. İstanbul Cad. İstanbul Çarşısı 48/48 İskitler - Ankara (0312 341 36 67) (0535 292 34 31) Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 25931 İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50-430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24-434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net

Genel Matematiksel Kavramlar Öğrenme Süreçleri ve Öğretim Yaklaşımları iii Canım Kızım Birsu, Canım Oğlum Doruk ve Sevgili Eşime

Genel Matematiksel Kavramlar Öğrenme Süreçleri ve Öğretim Yaklaşımları v ÖNSÖZ Matematik öğrenen sevgili öğrencilerimiz, matematik öğreten değerli öğretmenlerimiz ve matematik öğretecek öğretmen adaylarımız, Bu kitapta tek değişkenli fonksiyonlar üzerine kurulan genel matematiksel kavramlar yapılandırmacı bir anlayışla ele alınmıştır. Kitapta kavramların yapılandırılması sürecinde ilişkisel öğrenmenin desteklenmesi amacı ile işlemsel örneklerin yanı sıra kavramı mümkün olan çeşitli sınıf düzeylerinde ve çeşitli bağlamlarda yansıtan günlük yaşam problemlerine yer verilmiştir. Kitapta matematiksel bilgilerin yanı sıra, matematiksel kavramların öğrenilme sürecine, kavram yanılgılarına, öğrenci güçlüklerine ve öğretim stratejilerine de alan yazındaki bazı temel kaynaklar referans alınarak yer verilmiştir. Matematik öğrenen öğrenciler için bu bölümler onlara, sahip olabilecekleri kavram yanılgıları, güçlükler ve bunların nedenleri hakkında farkındalık kazandıracak, öğrenmelerini kontrol etmeleri için destekleyecektir. Kavramların pedagojik yönlerine ilişkin bu bölümlerin öğretenler için ise önemi büyüktür. Matematiksel kavramların yapılandırmacı yaklaşım ışığı altında desenlenecek öğretimi, kavramın zihindeki öğrenilme sürecini yansıtmalıdır. Nitekim en genel itibari ile yapılandırmacı yaklaşım, Piaget in öğrenme teorisine dayanır. Dolayısı ile öğretenlerin ve öğretecek olanların kavramların öğrenilme sürecini en genel hatları ile de olsa bilmelerinin gerekliliği ortadadır. Bunun yanı sıra kavramların epistemolojik özelliklerinden kaynaklanan, alan yazına kaydedilmiş öğrenci güçlük ve yanılgılarını bilmek ise öğrenme ortamında bunların teşhisini ve giderilmesini kolaylaştırır. Kavramlara ilişkin öğretim için ise kitaptaki en iyi rehber kavramların kitaptaki yapılandırılma biçimidir. Bunun yanı sıra kavramların öğretimine ilişkin alan yazına kaydedilmiş en temel stratejiler yine pedagojik yönlere ilişkin bölümlerde verilmiştir. Ayrıca kavramların kitaptaki yapılandırılması sürecinde yapılan uyarılar, kavramın epistemolojisi dolayısıyla sıkça rastlanan kavram yanılgılarının oluşması olasılığına karşı eklenen dikkat çekmeleri içermektedir. Sonuç olarak bu kitap, matematik eğitiminde uzmanlık eğitimi almakta olan lisansüstü öğrencileri için bir el kitabı, ortaöğretim matematik öğretmenleri için bir kaynak kitap, ortaöğretim ve ilköğretim matematik öğretmen adayları için genel matematik ya da analiz I ve ortaöğretimde özel öğretim yöntemleri gibi derslerde yardımcı bir kaynak olabilecektir. Tek değişkenli genel matematiksel kavramların öğrenilmesi ve öğretilmesine destek olmak amacı ile hazırlanmış bu kitabın oluşumu aşamasında öğretme şevkimi hep canlı tutmama neden olan başta sevgili lisans öğrencilerime ve kitabın okuyucu ile buluşması gerektiği konusunda beni teşvik eden değerli lisansüstü öğrencilerime teşekkürü borç bilirim. Teşekkürü hak eden diğer yoldaşlarım ise yaşamımın her anında sınırsız desteklerini hiç esirgemeyen sevgili annem ve babam başta olmak üzere her konuda destekçim sevgili eşim ve ortak zamanlarımızdan çaldığım kızım ve oğluma teşekkürlerimi sunarım. Matematik eğitim yaşantısı olan ve olmasını isteyenlere katkıda bulunması dileğiyle. Doç. Dr. Tangül UYGUR KABAEL

Genel Matematiksel Kavramlar Öğrenme Süreçleri ve Öğretim Yaklaşımları vii İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ... iv 1. BÖLÜM: FONKSİYONLAR... 1 1.1 Fonksiyon Kavramı... 2 1.2 Reel Değerli Tek Değişkenli Fonksiyonlar... 5 1.2.1 Reel Değerli Fonksiyonların Temsilleri... 5 1.2.1.1 Cebirsel Temsil... 5 1.2.1.2 Bağıntı Temsili... 5 1.2.1.3 Geometrik Temsil... 6 1.2.2 Fonksiyonlarda Çeşitli Özellikler... 7 1.2.2.1 Bire-bir Fonksiyon... 7 1.2.2.2 Ters Fonksiyon... 8 1.2.2.3 Örten Fonksiyon... 9 1.2.2.4 Artan / Azalan Fonksiyon... 10 1.2.2.5 Sınırlı Fonksiyon... 11 1.2.2.6 Periyodik Fonksiyon... 11 1.2.2.7 Tek / Çift Fonksiyon... 11 1.2.3 Reel Değerli Fonksiyon Türleri... 12 1.2.3.1 Polinom Fonksiyonu... 12 1.2.3.2 Rasyonel Fonksiyon... 12 1.2.3.3 Kuvvet Fonksiyonu... 13 1.2.3.4 Üstel Fonksiyon... 13 1.2.3.5 Logaritmik Fonksiyon... 14 1.2.3.6 Parçalı Fonksiyon... 14 1.2.3.7 Mutlak (Salt) Değer Fonksiyonu... 14 1.2.3.8 Tam Değer Fonksiyonu... 16 1.2.3.9 İşaret Fonksiyonu... 17 1.2.3.10 Trigonometrik Fonksiyonlar... 17 1.2.3.11 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar... 23 1.2.4 Fonksiyonlar Kümesinde İşlemler... 27 1.2.4.1 Fonksiyonlar Kümesinde Toplama İşlemi... 27 1.2.4.2 Fonksiyonlar Kümesinde Çıkarma İşlemi... 28 1.2.4.3 Fonksiyonlar Kümesinde Çarpma İşlemi... 28 1.2.4.4 Fonksiyonlar Kümesinde Bölme İşlemi... 29 1.2.4.5 Fonksiyonlar Kümesinde Bileşke İşlemi... 29 1.2.5 Bir Fonksiyonun Grafiğinde Ötelemeler... 31 1.2.5.1 Fonksiyon Grafiğinde Dikey Kaydırma... 31 1.2.5.2 Fonksiyon Grafiğinde Yatay Kaydırma... 31 1.3 Çözümlü Fonksiyon Soruları... 34 1.4 Bölüm Soruları... 39

viii Genel Matematiksel Kavramlar Öğrenme Süreçleri ve Öğretim Yaklaşımları 2. BÖLÜM: PEDAGOJİK YÖNLERİYLE FONKSİYON KAVRAMI... 43 2.1 Fonksiyon Kavramına İlişkin Güçlük ve Yanılgılar... 44 2.2 Fonksiyon Kavramının Öğrenilme süreci... 46 2.3 Fonksiyon Kavramının Öğretimine İlişkin Öneriler... 50 3. BÖLÜM: LİMİT... 61 3.1 Limit Kavramı... 62 3.2 Dinamik Limit Tanımı... 65 3.2.1 Sağ Limit... 66 3.2.2 Sol Limit... 66 3.3 Formal Limit Tanımı... 69 3.4 Sonsuzdaki Limit... 77 3.5 Belirsiz Formlar... 79 3.6 Çözümlü Limit Soruları... 83 3.7 Bölüm Soruları... 87 4. BÖLÜM: SÜREKLİLİK... 89 4.1 Süreklilik Kavramı... 90 4.2 Süreksizlik Tipleri... 91 4.3 Sürekliliğin Formal Tanımı... 94 4.4 Çözümlü Süreklilik Soruları... 97 4.5 Bölüm Soruları... 100 5. BÖLÜM: PEDAGOJİK YÖNLERİYLE LİMİT KAVRAMI... 103 5.1 limit Kavramına İlişkin Güçlük ve Yanılgılar... 104 5.2 Limit Kavramının Öğrenilme Süreci... 106 5.3 Limit Kavramının Öğretimine İlişkin Öneriler... 110 6. BÖLÜM: TÜREV... 113 6.1 Türev Kavramı... 114 6.2 Türevin Geometrik Yorumu... 116 6.3 Türevlenebilme ve Türev Fonksiyonu... 120 6.4 Ters Fonksiyonun Türevi... 127 6.5 Trigonometrik FonksiyonlarınTürevi... 128 6.6 Ters Trigonometrik FonksiyonlarınTürevi... 131 6.7 Bileşke Fonksiyonun Türevi (Zincir Kuralı)... 133 6.8 Kapalı Türevler... 136 6.9 Üstel Fonksiyonların Türevi... 138 6.10 Logaritmik Fonksiyonların Türevi... 139 6.11 Yüksek Mertebeden Türevler... 140 6.12 Çözümlü Türev Soruları... 141 6.13 Bölüm Soruları... 147

BÖLÜM FONKSİYONLAR 1.

2 Genel Matematiksel Kavramlar Öğrenme Süreçleri ve Öğretim Yaklaşımları 1.1 FONKSİYON KAVRAMI Fonksiyon kavramı matematiksel nesneler ve bu nesneler arasındaki ilişkileri inceleyen matematiğin en temel kavramlarından birisidir. Öğrenilme süreci okul matematiğinde oldukça uzun zamana yayılan ve soyutlama sürecinin tanımlama, isim koyma aşaması 9. Sınıf düzeyinde olan fonksiyon kavramını önce fonksiyonel düşünme becerisini destekleyen ortaokul düzeyi bir problem bağlamında inceleyelim. 1. gün 2. gün 3. gün Şekil 1.1 PROBLEM 1.1: Bir işçi tahta parçalarından çit örmektedir. Bu işçinin çit örmekte gösterdiği performansın zamana bağlı olarak değişimi Şekil 1 de verilmektedir. Şekilde görüldüğü gibi işçi bir saat sonunda bir çit tamamlamaktadır. Bu işçinin çit örme performansını veren bir cebirsel ifade bulunuz. Yukarıda ortaokul düzeyinde bir örüntü problemi görülmektedir. Bu problemde işçinin kullandığı toplam tahta sayısı ya da çit sayısı, işçinin çalıştığı saate bağlı olarak değişmektedir. İşçinin çalıştığı sürece öreceği toplam çit sayısı artacağından herhangi bir saat niceliğine karşılık işçinin kullanmış olacağı toplam tahta miktarı, işçinin çalıştığı saat miktarına bağlı olarak değiştiğinden, bu problem durumundaki saat niceliği bağımsız değişken, toplam tahta miktarı niceliği ise bağımlı değişkendir. Saat niceliğinin değerini alabilen bağımsız değişkeni t sembolü ile, toplam tahta miktarı değerini alabilen bağımlı değişkeni y sembolü ile gösterilirse toplam tahta miktarı saat niceliğinin bir fonksiyonudur ve bu fonksiyonun kuralı y = f t = 3t + 1... 1.1 şeklindedir. Okul matematiğinde ya da daha genel olarak günlük yaşantıda bu problemde olduğu gibi bir niceliğin bir başka niceliğe bağlı olarak değiştiği pek çok durum ile karşılaşılmaktadır. Örneğin çevremizde çay, kahve gibi ihtiyaçların karşılandığı makineler bulunmaktadır. Bu makinelere para atılmakta ve seçilen ürün alınmaktadır. Dolayısıyla makineden alınacak ürün, atılan para miktarına bağlı olarak değişmektedir. Yani ürün bağımlı değişken, atılan para miktarı bağımsız değişkendir. Burada dikkat edilmesi gereken şey makineye atılan para miktarına karşılık kaç farklı ürün alınabileceğidir. Eğer en az bir para miktarına karşılık makineden alınabilecek ürün çeşidi birden fazla ise makineden alınan ürün ile para miktarı arasındaki ilişki bir fonksiyon değildir. Örneğin para miktarının, karşılık gelen ürünler ile eşleştirilmesi ile oluşan ikililer kümesi aşağıdaki gibi olsun.

Genel Matematiksel Kavramlar Öğrenme Süreçleri ve Öğretim Yaklaşımları 3 M = sade kahve, 1TL, sütlü kahve, 1,5TL, çay, 1TL, sütlü, şekerli kahve, 1,5TL, (sıcak çikolata, 2TL) İkililerden görüldüğü gibi bağımsız değişken olan para miktarı 1 TL olduğunda M kümesinde ikinci bileşeni 1TL olan iki tane sıralı ikili bulunmaktadır. Bu nedenle M kümesi bir bağıntı olup fonksiyon belirtmez. Ancak bir çay-kahve makinesindeki tüm ürünlerin fiyatları birbirinden farklı olursa bu makine bir fonksiyon belirtir. UYARI Her fonksiyonun cebirsel olarak temsil edilemeyebileceğine yani her fonksiyonun cebirsel bir kurala sahip olmak zorunda olmadığına dikkat ediniz. Örneğin çay-kahve makinesi örneğindeki fonksiyon cebirsel olarak temsil edilememektedir. Çay-kahve makinesi örneğinde olduğu gibi fonksiyon olan ya da olmayan pek çok günlük yaşam örneği verilebilir. Bunun yanı sıra okul matematiğinde erken yıllardan itibaren fonksiyonel ilişkinin bulunduğu pek çok durum ile karşılaşılmaktadır. Örneğin bir karenin çevre uzunluğu ya da alanı kenar uzunluğunun birer fonksiyonudurlar. Karenin kenar uzunluğu x, çevre uzunluğu Ç ile gösterilmek üzere, karenin çevre uzunluğunun kenar uzunluğuna bağlı değişimini veren f fonksiyonu Ç = f x = 4x cebirsel eşitliği ile verilebilir. Karenin alanı A ile gösterilmek üzere, karenin alanının kenar uzunluğuna bağlı değişimini veren g fonksiyonu ise A = g x = x! şeklinde cebirsel olarak temsil edilir. Benzer şekilde dairenin alanı, yarıçap bağımsız değişkenine (r) bağlı olarak f r = πr! fonksiyonu, küpün hacmi, ayrıt uzunluğuna bağlı olarak f a = a! fonksiyonu ile cebirsel olarak verilebilir. Günlük yaşam durumlarından olduğu gibi okul matematiğinde de çeşitli düzeylerden fonksiyonel ilişki olan örneklerin arttırılması mümkündür. İncelediğimiz örnekler göz önüne alındığında da görüleceği gibi fonksiyon kavramı erken yıllarda fonksiyonel düşünme becerisinin gelişmeye başlaması ile öğrenilme süreci başlayan ve ortaöğretimin ilk yılında formal olarak tanımlanan, matematiğin temel kavramlarından birisidir. SIRA SİZDE! Bir kenar uzunluğu 5 birim olan bir karesel bölgenin köşelerinden aynı büyüklükte birer karesel bölge çıkarılarak bir kare prizma oluşacak biçimde katlanıyor. Elde edilen kare prizmanın hacminin, köşelerden çıkarılan karesel bölgeye göre nasıl değiştiğini inceleyiniz. Bu değişimi cebirsel olarak ifade ediniz ve elde ettiğiniz cebirsel eşitliğin bir fonksiyonel ilişki olup olmadığını araştırınız.

4 Genel Matematiksel Kavramlar Öğrenme Süreçleri ve Öğretim Yaklaşımları TANIM1.1: Boş kümeden farklı bir kümenin her bir elemanını yine boş kümeden farklı bir kümenin bir elemanına götüren bir eşlemeye fonksiyon denir. Tanım sembolik olarak ifade edilirse: A, B olmak üzere x A elemanını bir tek y B elemanına götüren eşlemeye fonksiyon denir ve f: A B x y = f(x) şeklinde gösterilir. Burada x değişkeni y değişkenine f fonksiyonu ile bağlı olduğundan, y değişkenine bağımlı değişken, x değişkenine ise bağımsız değişken denir. Girdi Çıktı Şekil 1.2. Fonksiyon makinesi Diğer yandan her fonksiyon bir bağıntı olduğundan, fonksiyon kavramı aşağıdaki biçimde de tanımlanabilir: A, B olmak üzere aşağıdaki önermeyi sağlayan f AxB = (a, b) a A ve b B bağıntısına fonksiyon denir. Her a A için (a, b) f olacak biçimde bir tek b B vardır. HATIRLATMA Boş kümeden farklı iki kümenin AxB = (a, b) a A b B kartezyen çarpım kümesinin herhangi bir β AxB altkümesine bağıntı denir. UYARI Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için tanım kümesinde eşlenmeyen elemanın kalmaması gerektiğine, ancak değer kümesindeki her elemana eşlemenin olmak zorunda olmadığına dikkat ediniz.

Genel Matematiksel Kavramlar Öğrenme Süreçleri ve Öğretim Yaklaşımları 5 Burada A kümesine fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine ise değer kümesi denir. A kümesinin elemanlarının f fonksiyonu altındaki görüntülerinden oluşan f(a) kümesine ise f fonksiyonunun görüntü kümesi denir. Problem 1.1 deki durumu veren fonksiyonun tanım kümesi işçinin çalışma süresini gösteren ve birimi saat olan niceliklerden oluştuğundan pozitif tamsayılar kümesi, değer kümesi ise toplam tahta parçası sayısını veren niceliklerden oluştuğundan yine pozitif tamsayılar kümesine eşittir. Kahve makinesi örneğinde ise tanım kümesi ürünlerin fiyatına karşılık gelen ve birimi lira olan niceliklerden oluştuğundan fiyatlara karşılık gelen rasyonel sayılar kümesi, değer kümesi ise makinenin verdiği ürünler kümesidir. UYARI Bir fonksiyonun tanım ve değer kümelerinin boş kümeden farklı herhangi iki küme olabileceğine, elemanlarının reel sayılar olmak zorunda olmadığına dikkat ediniz. 1.2 REEL DEĞERLİ TEK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR TANIM 1.2: Tanım ve değer kümesi reel sayılar kümesinin alt kümesi olan bir fonksiyona reel değerli tek değişkenli fonksiyon denir. UYARI Burada yalnızca tek değişkenli fonksiyonlar ile çalışılacağından tek değişkenli reel değerli fonksiyonlar kısaca reel değerli fonksiyon olarak anılacaktır. 1.2.1 Reel Değerli Fonksiyonların Temsilleri 1.2.1.1 Cebirsel Temsil: Reel değerli bir f: D! R R x y = f(x) fonksiyonunun eşleme kuralının değişkenler yardımı ile y=f(x) biçimindeki temsiline cebirsel temsil denir. Örneğin Problem 1.1 deki fonksiyon cebirsel olarak f(x)=3x+1 şeklinde temsil edilmektedir. 1.2.1.2 Bağıntı Temsili: Reel değerli bir fonksiyonun tanım kümesindeki elemanı birinci bileşen, bu elemana eşlenen elemanı ikinci bileşen olan sıralı ikililerin kümesi ile temsiline bağıntı temsili denir. Bir f: A R B R fonksiyonunun bağıntı temsili

Genel Matematiksel Kavramlar Öğrenme Süreçleri ve Öğretim Yaklaşımları ix 7. BÖLÜM: TÜREVİN UYGULAMALARI... 151 7.1 Temel Teoremler... 152 7.2 Ekstremum Değerleri... 157 7.3 Yerel Ekstremum Noktalar... 158 7.4 Bükeylik... 163 7.5 Fonksiyon Grafiği İncelemeleri... 165 7.6 Belirsiz Formlar İçeren Limitlere Dönüş L'Hopital Kuralı... 170 7.7 Çözümlü Türev Uygulamaları Soruları... 171 7.8 Bölüm Soruları... 177 8. BÖLÜM: PEDAGOJİK YÖNLERİYLE TÜREV KAVRAMI... 179 8.1 Türev Kavramının Öğrenilmesi ve Kavrama İlişkin Güçlük ve Yanılgılar... 180 8.2 Türev Kavramının Öğrenilme Süreci... 182 8.3 Türev Kavramının Öğretimine İlişkin Öneriler... 185 9. BÖLÜM: İNTEGRAL... 191 9.1 İntegral Kavramı... 192 9.2 Riemann İntegrali... 200 9.3 Diferansiyel İntegral Hesabın Temel Teoremi ve Toplamsal Fonksiyon... 212 9.4 Diferansiyel-İntegral Hesabın Temel Teoremi ile Hız Problemine Dönüş... 216 9.5 İntegral Alma Yöntemleri... 217 9.5.1 Değişken Değiştirme... 217 9.5.2 Bazı Özel Değişken Değişimleri... 218 9.5.3 Kısmi İntegrasyon Yöntemi... 220 9.6 Has (Düzgün) Olmayan İntegraller... 222 9.6.1 Birinci Tip Has (Düzgün) Olmayan İntegraller... 222 9.6.2 İkinci Tip Has (Düzgün) Olmayan İntegraller... 225 9.7 Çözümlü İntegral Soruları... 226 9.8 Bölüm Soruları... 231 10. BÖLÜM: BELİRLİ İNTEGRALİN UYGULAMALARI... 235 10.1 Düzlemsel Bir Bölgenin Alanı... 236 10.2 Yay Uzunluğu... 241 10.3 Dönel Yüzey Alanı... 245 10.4 Dik Kesitlerle Hacim Hesabı... 249 10.5 Çözümlü Belirli İntegral Uygulamaları Soruları... 253 10.6 Bölüm Soruları... 256 11. BÖLÜM: PEDAGOJİK YÖNLERİYLE İNTEGRAL KAVRAMI... 259 11.1 İntegral Kavramının Öğrenilmesi ve Öğrenci Güçlük ve Yanılgıları... 260 11.2 İntegral Kavramının Öğretimine İlişkin Öneriler... 265 KAYNAKÇA... 267