Balıkesir Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü umutokkan@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN Hidrolik Anabilim Dalı
Balıkesir Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Bölüm 1 Giriş İstatistik Nedir? İstatistiğin İnşaat Mühendisliğindeki Önemi Pratikte Karşılaşabileceğimiz Bazı Örnekler
İstatistik Nedir? İstatistik (Türkçe: Sayıtım) Modern Latincedeki statisticum collegium (devlet konseyi) ve İtalyancadaki statista (devlet adamı, politikacı) kelimelerinden türemiştir. 1750 li yıllar political arithmetic (siyasi aritmetik) 19.yy ın başları veri toplama ve sınıflandırma anlamında Belirli bir amaç için verilerin toplanması, sınıflandırılması, analizi ve elde edilen sonuçların yorumlanması esasına dayanan bir bilim dalıdır.
Ders Kapsamında Kullanılabilecek Kaynaklar
Ders Kapsamında İşlenecek Konu Başlıkları 1. BÖLÜM GİRİŞ. BÖLÜM OLASILIK TEORİSİ 3. BÖLÜM FREKANS ANALİZİ VE PARAMETRELERİN TAHMİNİ 4. BÖLÜM OLASILIK DAĞILIM FONKSİYONLARI 5. BÖLÜM ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI 6. BÖLÜM İSTATİSTİK HİPOTEZLER 7. BÖLÜM REGRESYON ANALİZİ Değerlendirme = %40 Vize Notu + %60 Final Notu
İstatistiğin İnşaat Mühendisliğindeki Önemi Doğa bilimlerinde ele aldığımız çoğu probleme kesin çözüm bulunabilmektedir. Deterministik Yaklaşım (gerekirci)
İstatistiğin İnşaat Mühendisliğindeki Önemi Buna karşın öyle olaylar vardır ki sonucu kabul edilen yasalar ile kesin olarak bilinemez. Probabilistik Yaklaşım (olasılıksal)
İstatistiğin İnşaat Mühendisliğindeki Önemi Aynı beton karışımından alınan örneklerden ölçülen kırılma gerilmeleri farklıdır.?? Malzemedeki düzensizlikler Bu yüzden emniyet gerilmesi denen değerlerle çalışılır. Peki bir projede seçilen kırılma gerilmesinin gerçek kırılma gerilmesinden küçük veya büyük olma olasılığı nedir?
İstatistiğin İnşaat Mühendisliğindeki Önemi Fazla mı büyük oldu acaba?? Menfez için gerekli olan boyutlar proje akımına bağlıdır. Proje akımı da ne kadar yağış düşeceğine bağlıdır. Boyutlandırma yetersiz kalırsa yol su altında kalır. Fazla büyük olursa ekonomik olmaz. Hesapta bu belirsizlik nasıl göz önüne alınacaktır?
İstatistiğin İnşaat Mühendisliğindeki Önemi Yapı malzemelerinin özellikleri, hidrolojik değişkenler, trafik değişkenleri, zeminlerin özellikleri gibi büyüklükler rastgele değişken niteliğinde olup birçok halde deterministik bir yaklaşımla değerlendirilmeleri yeterli değildir. Bunun için Olasılık Teorisi ve İstatistik bilimlerine başvurmak gerekir. Olasılık teorisi yardımı ile rastgele değişkenler için modeller kurarak neler elde edebileceğimizi irdeleriz. İstatistik dalı ile elimizdeki (gözlenen) verileri bu modellere uydurarak değişkenin özelliklerini tahmin etmeye çalışırız.
Pratikte Karşımıza Çıkan Bazı Örnekler Aynı beton karışımından, aynı koşullar altında hazırlanmış 30 adet betonarme kirişin yükleme deneyinde ilk çatlağı oluşturan yükler kg cinsinden aşağıdaki gibi ölçülmüştür. Deney Deney Deney Deney Deney Deney 1-5 -10 11-15 16-0 1-5 6-30 635 810 1045 890 50 801 710 760 860 990 660 730 790 570 810 740 940 860 840 595 930 840 790 740 810 685 780 610 851 1080 Aynı koşullar altında ölçülen bu değerlerin farklı olması olayda belirsizliklerin bulunduğunu göstermektedir. Belirsizlik taşıyan verileri nasıl göstermeliyiz
Gözlem Sayısı Pratikte Karşımıza Çıkan Bazı Örnekler 1 10 Histogram (Basamaklı Diyagram) 10 8 8 6 4 3 4 3 0 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 Çatlama Yükü (kg) Histogram ile verilerin dağılımı hakkında düzenli ve kolay işlenir bir bilgi elde edebiliriz. Örneğin 30 deneyin 18 tanesinde gözlenen çatlama yükü 700-900 kg aralığında kalmıştır. 1000-1100 kg aralığında kalan deneylerin sayısı ise dir.
Frekans (f) Pratikte Karşımıza Çıkan Bazı Örnekler Gözlem ΣGözlemler 0.35 0.30 0.5 Frekans Histogramı 0.7 0.33 0.0 0.15 0.10 0.10 0.13 0.10 0.07 0.05 0.00 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 Çatlama Yükü (kg) Bu örnek için çizilen frekans histogramı bize deneylerin %33 ünde çatlama yükü değerinin 800-900 kg aralığında kaldığını gösterebilmektedir. Diğer bir deyişle, çatlama yükünün 800-900 kg aralığında kalması olayının frekansı 0.33 tür.
Eklenik Frekans (F) Pratikte Karşımıza Çıkan Bazı Örnekler 1.00 0.80 Eklenik Frekans Dağılımı 0.83 0.93 1.00 0.60 0.50 0.40 0.0 0.10 0.3 0.00 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 Çatlama Yükü (kg) Frekans histogramındaki değerlerin ardışık olarak toplanması ile elde edilir. Örneğin bu grafikten, çatlama yükünün 900 kg ın altında kalması olayının frekansını %83 olarak belirleyebiliriz. Deneylerin %50 sinde çatlama yükünün 800 kg dan düşük geri kalan yarısında ise 800 kg dan büyük olduğu görülebilmektedir.
Gözlem Sayısı Gözlem Sayısı Pratikte Karşımıza Çıkan Bazı Örnekler Frekans (f) Frekans (f) 7 6 5 Histogram 6 50 kg lık aralıklar ile 0.5 0.0 Frekans Histogramı 0.0 4 4 4 4 0.15 0.13 0.13 0.13 3 1 1 1 0.10 0.05 0.03 0.07 0.07 0.07 0.07 0.03 0.07 0 0.00 Çatlama Yükü (kg) Histogramlar düzensizleşiyor. Bazı aralıklara düşen gözlem sayısı oldukça az! Çatlama Yükü (kg) 0 18 16 14 1 10 8 6 4 0 Histogram 7 18 500-700 700-900 900-1100 Çatlama Yükü (kg) 00 kg lık aralıklar ile 5 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.0 0.10 0.00 Frekans Histogramı Eldeki bilgi tam anlamıyla sunulamıyor ve kullanılamıyor! OPTİMUM SINIF ARALIĞI SEÇİLMELİ!!! 0.3 0.60 0.17 500-700 700-900 900-1100 Çatlama Yükü (kg)
Sıralanmış Çatlama Yükleri (kg) Pratikte Karşımıza Çıkan Bazı Örnekler Gözlem sonuçlarını tek bir değerle ifade etmek istersek ne yapabiliriz? 1100 1000 790 801 Medyan 795.5 kg (Ortanca Değer) 890 900 840 840 851 860 860 780 790 790 801 810 810 810 800 760 730 740 740 710 700 685 660 635 595 610 600 570 50 1080 1045 990 930 940 500 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 Sıra No Veya eklenik frekans dağılımından 0.50 ye karşılık 800 kg okunur. Diğer bir yaklaşım ise verilerin aritmetik ortalamasını kullanmaktır. X N i1 N X i 789.07 kg Deneylerde ölçülen çatlama yükleri için yaklaşık bir değer olarak 789 ya da 800 kg değerlerini kabul edebiliriz.
Pratikte Karşımıza Çıkan Bazı Örnekler 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 Peki deney sonuçlarının ortalama çevresinde dağılımının büyüklüğünü tek bir sayı ile ne şekilde gösterebiliriz? 1100 1000 Yükler (kg) ortalama 900 800 700 Ortalama etrafındaki gözlemler 600 e x x i i 500 400 300 00 100 0-100 -00-300 e 1 hatalar (farklar) N i1 x i x 0 xi x i1 Var ( x) N 17955.7 kg sx N Var ( x) 134kg Boyut bakımından daha anlamlı
Pratikte Karşımıza Çıkan Bazı Örnekler x 789kg s x 134kg I II x 813kg s x 134kg 753 765 777 753 765 777 789 801 813 85 837 849 Ortalamalar farklı olduğu için standart sapmaları karşılaştırmak anlamlı olmaz! Değişim (varyasyon) katsayısı C v s x x İlk örnekte Cv =134/789=0.17, ikinci örnekte Cv =134/813=0.16 Birinci deney serisinde değişkenlik biraz daha fazla!!!