Simetrik Katmanlı İnce Dikdörtgen Kompozit Plakların Burkulması

Dokuz Eylül Üniversitesi-Mühendislik Fakültesi Fen ve Mühendislik Dergisi Cilt 19, Sayı 56, Mayıs 017 Dokuz Eylul University-Faculty of Engineering Journal of Science and Engineering Volume 19, Issue 56, May 017 DOI: 10.105/deufmd.017195653 Simetrik Katmanlı İnce Dikdörtgen Kompozit Plakların Burkulması Erkin ALTUNSARAY Dokuz Eylül Üniversitesi, Deniz Bilimleri ve Teknolojisi Enstitüsü, Gemi İnşaatı Programı, 330, İzmir Anahtar Kelimeler Simetrik katmanlı ince dikdörtgen kompozit plaklar, Burkulma, Rayleigh- Ritz Yöntemi, Parametrik analiz (Alınış / Received: 19.1.016, Kabul / Accepted: 1.03.017, Online Yayınlanma / Published Online: 0.05.017) Özet: Bu çalışmada simetrik katmanlı ince dikdörtgen kompozit plakların burkulması incelenmiştir. Hesaplamalar, Klasik Laminasyon Plak Teorisi nin (KLPT) denklemlerine göre Rayleigh- Ritz Yöntemi (R-R) ile gerçekleştirilmiştir. Kenarlarından basit mesnetli, düzlemsel yükleme etkisindeki (N x) farklı dizilimli kompozit plakın kritik burkulma yükü (N kr), 1 farklı kenar oranı (a/b ve b/a) için parametrik olarak hesaplanmıştır. Sonuçlar Sonlu Elemanlar Yöntemi (SEY) temelli ANSYS paket yazılımı sonuçlarıyla karşılaştırılmış ve yakın sonuçlar elde edilmiştir. Bu çalışmanın amacı; hazırlanan boyutsuz tabloların kullanımıyla uygun plak tiplerinin bulunması ve kompozit teknelerin yapısal ön tasarımında kullanılacak pratik bilgiler elde edilmesidir. Böylelikle üretim sırasında, malzeme, iş gücü, zaman ve test maliyetlerinden tasarruf edilmesi öngörülmüştür. Buckling of Symmetrically Laminated Thin Rectangular Composite Plates Keywords Symmetrically laminated thin rectangular composite plates, Buckling, Rayleigh-Ritz Method, Parametric Analysis Abstract: Critical buckling loads of symmetrically laminated thin rectangular composite plates were examined in this study. Rayleigh-Ritz Method was used to solve the governing energy equations based on Classical Laminated Plate Theory. Critical buckling loads of differently laminated simply supported plates with in-plane force at the edge were calculated parametrically for 1 different aspect ratios. Results were compared with those obtained by ANSYS software package based on Finite Element Method, which seem to be approximate. The aim of this study was mainly to find the most suitable lamination type of plates. Nondimensionally tabulated results were given for practical use at the preliminary structural design stage of composite vessels. Thus, it is expected to save material, labor, time and test costs during production stage. *Sorumlu yazar: erkin.altunsaray@deu.edu.tr 553

1. Giriş Katmanlı kompozit plaklar, yapı elemanlarınca desteklenen plaklardan oluşan gemi, uçak gibi mühendislik yapılarında, malzeme ve üretim yöntemlerindeki gelişmelere paralel olarak artan bir ivmeyle kullanılmaktadır. Katmanlı kompozit plakların denizcilik alanında kullanımları çeşitli araştırmacıların çalışmalarında sunulmuştur [1-]. Gemi yapısı, çeşitli normal ve derin elemanlarca (posta, kemere, tülani vb.) desteklenen panellerden oluşur. Destek elemanların arasında kalan elemanların plakların (güverte, borda, perde, dip yapısı vb.) kısa kenarının kalınlığına oranı büyük olduğu için ince plak kabulüyle hesaplamalar yapılır. Destek elemanlarının sıralanmasına göre enine, boyuna ve karışık yapı sistemleri bulunmaktadır [5]. Gemiler dalgalar boyunca ilerlerken, dalga tepesinde sarkma dolayısıyla dip yapısında burkulma yüküne, dalga çukurunda ise çökme buna bağlı olarak da güvertede burkulma yüküne maruz kalır. Dip yapısının güverteye oranla çok daha mukavim yapılmasından dolayı; güvertedeki kritik burkulma yükünün incelenmesi araştırmacılar tarafından önem taşımaktadır. Klasik Plak Teorisi nin (KPT) katmanlı kompozitlere uyarlanmış hali olan Klasik Laminasyon Plak Teorisi (KLPT) nin incelemelerde plak kısa kenarının plak kalınlığına oranı düşük olan ince plaklar için uygun olduğu belirtilmiştir [6]. Deniz ortamındaki çevresel etkilere yüksek dayanım sağlamak için kompozit gemilerde kıvrımsız, dikilmiş, genellikle -5 0, 0 0, +5 0, 90 0 açılarında dizilmiş çok eksenli elyafların, termoset reçinelerle (polyester, epoksi, vinilester vd.) birleştirildiği yapı sistemi kullanılmaktadır. Orta simetri düzlemine göre uzaklıkları, açıları ve mekanik özellikleri aynı olan yapı, simetrik katmanlı olarak adlandırılır. Simetrik katmanlı kompozit plakların kompozit yapılarda tercih edilmesinin en önemli nedeni, üretimde sertleşme sonrası ısıl gerilmelerin neden olduğu büzülmelerin gerçekleşmemesidir [7-11]. Üç veya daha fazla sayıda aynı malzemeden oluşan tabakaların plak içinde orta simetri düzlemine göre aynı miktarlarda dağılımıyla oluşan kuazi-izotropik plaklarda elyaf açıları (θ), θ=iπ/i olarak tanımlanmaktadır. i= 1,,.I ve I elyafların dizilim açılarının toplam adedidir (I 3). Lekhnitskii [7], ortotropik plakların stabilitesini Klasik Laminasyon Plak Teorisi ne (KLPT) göre, Ambartsumyan [1] ise kayma deformasyon etkilerini dikkate alarak incelemiştir. Baharlou ve Leissa [13] farklı sınır koşullarındaki ortotropik plakların titreşim ve burkulma problemlerini Rayleigh-Ritz Yöntemi ile çözmüşlerdir. Lakshminarayana ve arkadaşları [1] simetrik katmanlı kuazi-izotropik eliptik ve dairesel delikli dikdörtgen plakların burkulmasını Sonlu Elemanlar Yöntemi ile incelemişlerdir. Çalışmalarında grafit/epoksi plakların, sınır koşullarının ve delik oryantasyonun burkulma yüküne etkisini araştırmışlardır. Hu ve arkadaşları [15] parabolik ve sabit eksenel yükler altındaki grafit/epoksi dikdörtgen kompozit plakların burkulmasını, Klasik Laminasyon Plak Teorisi ne göre Rayleigh-Ritz Yöntemi yle çözmüşlerdir. Darvizeh ve arkadaşları [16], Genelleştirilmiş Diferansiyel Quadrature Yöntemi ve Rayleigh-Ritz Yöntemi yle grafit/epoksi malzemeli farklı dizilimlerdeki kompozit plakların burkulmasını hesaplamışlardır. Aydoğdu [17] basit mesnetli, çapraz katmanlı kompozit plakların eğilme, burkulma ve titreşimi üzerine geliştirdiği kayma deformasyon teorisini sunmuştur. Felix ve arkadaşları [18] ortotropik dikdörtgen ince plakların burkulmasını ve titreşimini Rayleigh-Ritz Yöntemi ve Sonlu Elemanlar Yöntemi yle incelemişlerdir. Aydoğdu ve Tımarcı [19] 55

Düzlem-içi yüklenmiş basit mesnetli simetrik katmanlı dikdörtgen kompozit ince plakların burkulmasını ve titreşimini, Klasik Plak Teorisi ne göre Ritz Yöntemi yle araştırmışlardır. Aydogdu ve Aksencer [0] doğrusal değişen düzlem içi yükleme etkisindeki, dik katmanlı kompozit plakların burkulmasını incelemişlerdir. Yükleme kenarları basit mesnet diğer kenarları çeşitli sınır koşullarındaki plakları Ritz Yöntemi yle araştırmışlardır. Kumar [1] literatür derleme makalesinde, kabuk, plak ve kirişlerin, dinamik, statik ve burkulma problemlerinde Rayleigh-Ritz Yöntemi nin kullanımını araştırmıştır. Literatürde, kompozit plakların burkulması üzerine yapılan araştırmaların büyük çoğunluğu özel ortotropik plakların, farklı teorilerle incelenmesidir [-]. Altunsaray ve Bayer [5] -5, 0, 5,90 açılarının farklı dizilimiyle elde edilen simetrik katmanlı kuazi-izotropik plakların, Galerkin Yöntemi yle tek terim için ve levha kenarlarının 3'te biri aralıklarda ayrıklaştırılmasıyla Sonlu Farklar Yöntemi'ni uygulayarak kritik burkulma yüklerini hesaplamışlardır. Sonlu Elemanlar Yöntemi temelli ANSYS paket yazılımıyla bulunan sonuçlarla karşılaştırmışlardır. 10 plak tipi için 3 yöntemle birbirine yaklaşık sonuç bulunamadığından çalışmada 1 plak tipinin sonuçları sunulm1uştur. Bu makalede önceki çalışmada [5] sunulmamış plak tiplerini de kapsayan farklı dizilimli simetrik katmanlı ince dikdörtgen kompozit plakların Rayleigh- Ritz Yöntemi yle burkulma analizi gerçekleştirilmiştir. KLPT teorisine göre Rayleigh-Ritz Yöntemi yle 1,, 3, ve 9 terim alınarak yakınsaklık analizi yapılmıştır. Rayleigh-Ritz Yöntemi ile gerçekleştirilen analizler, SEY temelli ANSYS paket yazılımı sonuçlarıyla karşılaştırılmış yakın sonuçlar elde edilmiştir. Kompozit gemilerde, enine ve boyuna elemanlarla desteklenen güvertenin sınır şartları basit mesnetle ankastre mesnet arasında olmakla birlikte, burkulma analizlerinde basit mesnetli seçilerek sonuçların daha güvenli sahada olması öngörülmüştür. farklı laminasyon tipinde sıralanmış orta simetri düzlemine göre simetrik katmanlı plakların, farklı kenar oranlarının ve laminasyon tiplerinin kritik burkulma yüküne etkisi parametrik olarak incelenmiştir. Hazırlanan boyutsuz tablolarla kompozit gemilerin yapısal ön tasarımında uygun plak tipleri hızlı biçimde elde edilip, zaman, iş gücü, malzeme ve deney masraflarından tasarruf edilmesi öngörülmüştür.. Materyal ve Metot.1. Analizlerde incelenen plak geometrisi, yükleme durumları, kenar oranları, katmanların sıralanma açıları ve malzemenin mekanik özellikleri Parametrik analizlerde, x doğrultunda karşılıklı iki kenarından tek eksenli (N x) basmaya maruz plaklar incelenmiştir. Plak geometrisi, kartezyen koordinatlarda Şekil 1. de gösterilmiştir. Kartezyen koordinatlarda fiber (elyaf) doğrultusu ve genel eksenle yaptığı θ açısı Şekil. de gösterilmiştir. Şekil 1. Kartezyen koordinatlarda tek eksenli basmaya maruz plak (Nx etkisinde) 555

0 0, +5 0 ve 90 0 açılarının birlikte kullanıldığı farklı plak tipi Tablo. de sunulmuştur. LT laminasyon tipini, n seçilen o katmandan kaç adet olduğunu ve s ise orta simetri düzlemine göre simetriyi göstermektedir. Bu çalışmada n = seçilmiştir. Şekil. Kartezyen koordinatlarda fiber (elyaf) doğrultusu ve θ açısı Çalışmada incelenen kenar oranları Tablo 1. de gösterilmiştir. SEY (ANSYS) Ile yapılan karşılaştırmalarda plak kısa kenarı 0, m. seçilmiştir. Katmanları -5 0, Tablo 1. Parametrik analizlerde incelenen kenar oranları a/b 1 1, 1, 1,6 1,8 b/a 1 1, 1,6 1,6 1,8 Tablo. Tabakaları farklı açılarda sıralanmış simetrik katmanlı kompozit plak tipleri Laminasyon Tipi Gösterim Laminasyon Tipi Gösterim LT1 [-5 n/0 n/5 n/90 n] s LT13 [5 n/-5 n/0 n/90 n] s LT [-5 n/0 n/90 /5 ] s LT1 [5 n/-5 n/90 n/0 n] s LT3 [-5 n/5 n/0 n/90 n] s LT15 [5 n/0 n/-5 n/90 n] s LT [-5 n/5 n/90 n/0 n] s LT16 [5 n/0 n/90 n/-5 n] s LT5 [-5 n/90 n/0 n/5 n] s LT17 [5 n/90 n/-5 n/0 n] s LT6 [-5 n/90 n/5 n/0 n] s LT18 [5 n/90 n/0 n/-5 n] s LT7 [0 n/-5 n/5 n/90 n] s LT19 [90 n/-5 n/0 n/5 n] s LT8 [0 n/-5 n/90 n/5 n] s LT0 [90 n/-5 n/5 n/0 n] s LT9 [0 n/5 n/-5 n/90 n] s LT1 [90 n/0 n/-5 n/5 n] s LT10 [0 n/5 n/90 n/-5 n] s LT [90 n/0 n/5 n/-5 n] s LT11 [0 n/90 n/-5 n/5 n] s LT3 [90 n/5 n/-5 n/0 n] s LT1 [0 n/90 n/5 n/-5 n] s LT [90 n/5 n/0 n/-5 n] s Tablo 3. T300-93 kodlu karbon/epoksi malzemenin mekanik özellikleri [6] Boyuna Young (Elastisite) Modülü (E 11) 18. 10 9 (N/m ) Enine Young (Elastisite) Modülü (E ) 9,65. 10 9 (N/m ) Boyuna Kayma Modülü (G 1),55. 10 9 (N/m ) Boyuna Poisson oranı ( 1) 0.30 Tabaka kalınlığı (t) 556 0,185.10-3 0,13.10-3 (m)

Analizlerdeki incelenen malzeme T300-93 kodlu karbon/epoksi malzemenin mekanik özelikleri Tablo 3. te verilmiştir. Her bir tabaka kalınlığı t= 0,.10-3 m. seçilmiştir. 16 katmandan oluşan kompozit plakın toplam kalınlığı h=0,003 metredir... Klasik Laminasyon Plak Teorisi (KLPT) ve Rayleigh-Ritz Yöntemi n adet ortotropik tabakanın farklı doğrultularda birleştirilmesiyle oluşturulan, bileşik katmanlı kompozit plaklar, Klasik Laminasyon Plak Teorisi ne (KLPT) göre incelenir. KLPT Kirchoff Hipotezi varsayımına göre çeşitli kabullere dayanır [7]: Katmanlar arasındaki bağlar mükemmeldir, yapıştırma tabakası çok incedir ve tabaka kayma etkisiyle şekil değiştirmez, levha tek bir katman gibi bütün olarak davranır. Deformasyondan önce orta yüzeye dik olan düz hatlar (örneğin; enine normaller) deformasyondan sonra da düz kalır. Enine yer değiştirmeler kalınlık koordinat sisteminden bağımsızdır. Enine normal uzama sıfırdır. z 0 Enine normallerde kayma yoktur, deformasyondan sonra da orta düzleme dik kalacak biçimde dönerler. w0 xz yz 0 w x..1. Yer değiştirme ve şekil değiştirme ilişkisi Katmanlı kompozit plaklar incelenirken, belirli kısıtlar dikkate alınır [7]. Heterojen malzeme yapısı nedeniyle eşdeğer homojen malzemenin etkin elastisite modulü dikkate alınır. Plak kalınlığı diğer boyutları yanında çok küçüktür. Katmanlar arasında kayma gerilmeleri oluşmaz, alt ve üst yüzeylerdeki kayma gerilmeleri sıfırdır. 557 Katmanlar Hooke kanuna uyar, doğrusal elastik yapıdadır, sabit kalınlıktadır ve 3 simetri eksenine sahiptir. Şekil değişimleri ve yer değişimleri plak kalınlığı yanında çok küçüktür. Kirchhoff hipotezine göre levha düzlemi üzerindeki yer değiştirmeler (u,v) z nin lineer bir fonksiyonudur. Deformasyondan önce (x,y,z) koordinatlarında olan bir nokta, deformasyondan sonra (x-u,y+v,z+w) noktasına hareket eder. Bileşik tabakanın x-z düzlemindeki yer değişimleri Şekil 3. te gösterilmiştir. Referans düzlemi z=0 orta düzlem olarak adlandırılır. Kirrchoff hipotezine göre küçük yer değişimleri kartezyen koordinatlarda aşağıdaki gibi gösterilir [7]. w u x y z t u x y t z x w0 v x, y, z, t v x, y, t z y 0,,,,,,,,,, w x y z t w x y t (1) w0 wx w0 wx Şekil 3. Katmanlı kompozit plakın x-z düzlemindeki yer değişimleri Bu çalışmadaki plak kısa kenarının plak kalınlığına oranı büyük olduğu için, Klasik Laminasyon Plak Teorisi (KLPT)

ile inceleme uygun görülmüştür. KLPT de simetrik katmanlı kompozit plakların burkulmasında eğilme-uzama rijitlik matrisi B ij sıfırdır [7]. Çalışmada sadece düzlem dışı şekil değiştirmeler gözönüne alınmıştır. Kompozit plağın toplam enerji fonksiyoneli F; aşağıda verilmiştir []. F U e V () Eğilmeden dolayı birim şekil değiştirme potansiyel enerjisi, U e 1 a b w w D11( ) D1 ( )( x x w w D16 ( ) ( ) D x xy w ) D y w ( ) y w ( ) xy w ( ) xy 0 0 6 Orta simetri düzlemine etki eden kuvvetlerin potansiyel enerjisi (V L) ise aşağıda verilmiştir. a 0 0 b 1 w V N x( ) dxdy () x Burada "N x" plağın kenarlarında x- eksenine paralel olarak etkiyen düzgün yayılı eksenel basınç yükünü ifade etmektedir (Şekil.1). Denklem (3) ve () te "w" çökme fonksiyonunu göstermektedir. Eğilme rijitlik matrisi elemanları D 11, D 1, D 16, D, D 6 ve D 66 (5) denkleminde verildiği gibi hesaplanır []. 66 D ij 1 3 D N k 1 Q w ( ) y ( k ) ij z 3 k 1 dxdy z 3 k (3) (5) Denklem (6) da verilen Q ij dönüşüme uğramış indirgenmiş rijitlik matrisinin elemanları her katmanın genel eksenle yaptığı θ açısı (Şekil.) ve Q indirgenmiş rijitlik matrisi ij elemanlarından (7) faydalanarak her katman için ayrı ayrı hesaplanır []. z her bir katmanın orta simetri düzleminden uzaklığıdır (Şekil.). Şekil. Katmanların orta simetri düzleminden uzaklıklarının gösterimi 558

Q cos ( θ ) ( Q Q ) sin ( )cos ( ) Q sin ( ) 11 1 66 ( Q Q Q )sin ( )cos ( ) Q (sin ( ) cos ( )) 11 66 1 Q sin ( ) ( Q Q )sin ( )cos ( ) Q cos ( ) 11 1 66 ( Q Q Q )sin( )cos 3 ( ) ( Q Q Q )sin 3 ( )cos( ) 11 1 66 1 66 Q11 Q1 Q16 Q 6 Q66 Q ( Q Q Q ) sin 3 ( ) cos( ) ( Q Q 11 1 66 1 ( Q Q Q Q ) sin ( )cos ( ) Q 11 1 66 Q 66 (sin 66 ) sin( ) cos 3 ( ) ( ) cos ( )) (6) Ortotropik malzemeler için Q ij indirgenmiş rijitlik matrisinin mühendislik sabitleri cinsinden yazımı aşağıda verilmiştir [7]. Q E /(1 ν ν ) 11 11 1 1 Q ν E /(1 ν ν ) 1 1 1 1 Q E /(1 ν ν ) 1 1 Q G 66 1 (7) Yukarıdaki (7) ifadesinde yeralan mühendislik sabitleri (E 1, E G 1, 1 ve 1) sırasıyla E 1 boyuna elastisite modülü, E enine elastisite modülü, G 1 boyuna kayma modülü, 1 boyuna Poisson oranı ve 1 enine Poisson oranıdır. Mühendislik sabitleri, katmanların açıları ve her bir katmanın orta simetri düzleminden uzaklığı, (5) ve (6) ifadelerinde yerine yazılarak (3) ifadesindeki eğilme rijitlik matrisi elemanları D ij belirlenmiş olur. Çalışmada seçilen karbon/epoksi malzemenin mühendislik sabitleri Tablo 3. te verilmiştir. Basit mesnetli hal için, plak kenarlarında çökme ( w) ve eğilme momenti (M x, M y) sıfırdır. x 0 ve x = a da w M 0 x y 0 ve y = b de w M 0 y (8) Kenarlara uygulanan eğilme momentleri M ve x M, Ashton ve Whitney [8] y tarafından verilmiştir : M x M y w w w D11 D1 D16 0 x y xy w w w 1 6 0 (9) D D D x y xy Sınır boyunca çökmenin sıfır olması, çökmenin türevlerinin de (sınırda alınan teğetlerin eğimi değişmeyeceğinden) sıfır olmasını gerektirir. Böylece denklem 8 aşağıdaki ifadeye indirgenir: x 0, a boyunca w w 0 (10) x y 0, b boyunca w w 0 y Geometrik sınır şartlarını sağlayacak şekilde seçilen trigonometrik yaklaşım fonksiyonu aşağıda gösterilmiştir []. mn w(x, y) mn mx ny sin sin a b M N C mn m1 n1 mn (11) (1) Yukarıdaki eşitlikte Cmn bilinmeyen sabitlerdir. Çökme fonksiyonu w(x,y) 559

(1), enerji fonksiyonelinde () yerine koyulup, bilinmeyen sabitlere göre minimize edilirse; F (13) 0 C mn Cmn cinsinden MxN boyutlu lineer homojen denklem sistemi elde edilir. Bu denklem takımına ait katsayılar matrisinin determinantı sıfır olmalıdır. K G { C } 0 (1) burada K rijitlik matrisi, G geometri matrisi ve ise burkulma yüküdür. Özdeğer problemi sonucunda elde edilen en küçük (N kr) değeri kritik burkulma yüküdür... Sonlu Elemanlar Yöntemi yle (SEY) hesaplama yapan ANSYS paket yazılımı nın kullanımı Bu çalışmadaki ANSYS yazılımı, Rayleigh-Ritz Yöntemi ile yapılan analizlerle karşılaştırma yapmak için kullanılmıştır. Yazılımda, kompozit plakların analizleri için önerilen SHELL-181 kodlu dikdörtgen geometriye sahip, düğüm noktalı kabuk eleman seçilmiştir [9]. Plak kısa kenarı 0, m. seçilmiş, eleman kenarının plak kısa kenarına oranı 1/0 olan kare ağ yapısı (mesh) uygulanmıştır. SHELL181 Birinci Mertebe Kayma Deformasyon Teorisi ne göre yer değiştirmektedir. 3. Bulgular 3.1. Sayısal analiz sonuçları Bu çalışmada dört kenarından basit mesnetli simetrik katmanlı dikdörtgen ince plakların burkulması incelenmiştir. Plak kısa kenarının plak kalınlığına oranı büyük olduğu için ince kompozit plaklar için geliştirilmiş Klasik Laminasyon Plak Teorisi (KLPT) ile incelemeler için uygun görülmüştür. Sayısal analizlerde önemli bir enerji yöntemi olan Rayleigh-Ritz Yöntemi ve Sonlu Elemanlar Yöntemi (SEY) temelli ANSYS paket yazılımı kullanılmıştır. Düzgün yayılı eksenel yük (N x) etkisindeki farklı plak, 1 farklı kenar oranı (a/b ve b/a) için parametrik olarak incelenmiştir. Her durum için kritik burkulma yükü N kr bulunmuştur. Sonuçlar Tablo 6.-7. de verilmiştir. Rayleigh-Ritz Yöntemi ile bulunan sonuçlar, SEY (ANSYS) ile elde edilenlerle yakın çıkmıştır. LT3 kodlu [- 5 /5 /0 /90 ] s plak için Rayleigh-Ritz Yöntemi yle farklı kenar oranları için yapılan yakınsaklık analizi (1,, 3, ve 9 terim için) Tablo. te gösterilmiştir. 3 terim ve terim alınarak bulunan sonuçların arasında süreksizlik görünmektedir. Bunun nedeni Ritz Yöntemi yle 3 terim için yapılan hesaplamalarda D16 ve D6 eğilmeburulma birleşim rijitlik sabitlerinin sadeleşmesi, terim için yapılanlarda ise bu terimlerin kalması sonucundadır. Bu farklılık Tablo 5 te gösterilmiştir. Bu çalışmada optimum çözüm süresinde kabul edilebilir yaklaşıklık sağlandığı için terimli hesaplama yeterli görülmüştür. Daha yakın sonuçlar elde etmek için terim sayısını arttırmak gerekecektir ancak bu durumda da çözümleme süresi çok daha uzun olacak ve yüksek işlemci kapasiteli bilgisayar kullanılması gerekli olacaktır. Çok sayıda değişkenin bulunduğu parametrik analizlerde; Rayleigh-Ritz Yöntemi yle yapılan hesaplama süresi, SEY temelli ANSYS paket yazılımıyla yapılandan çok daha kısa sürmüştür. Bunun nedeni ANSYS yazılımının analiz hiyerarşisi gereği önce modelin, ardından ağ yapısının (mesh) oluşturulup son olarak sınır koşullarının 560

ve yüklerin girilip, sonuçların elde edilmesidir. Tablo 6.-7. den görüldüğü üzere Rayleigh-Ritz Yöntemi ve SEY ile yapılan hesaplamalarda LT1, LT, LT3, LT, LT5, LT6, LT7, LT8, LT11, LT19, LT0, LT1 plakları, sırasıyla LT15, LT16, LT13, LT1, LT18, LT17, LT9, LT10, LT1, LT, LT3, LT plakları ile aynı kritik burkulma yükü değerlerini vermişlerdir. Tablo 6. dan kritik burkulma yükü (N kr), kısa kenar y eksenindeki durumda görüldüğü gibi; kenar oranı artmasıyla kritik burkulma yükü artmaktadır. Kritik burkulma yükü (N kr) in en yüksek olduğu durum, kenar oranı a/b= olduğunda LT0 [90 /-5 /5 /0 ]s)ve LT3 ([90 /5 /-5 /0 ]s) kodlu plaklarda gözlenmiştir. Bu laminasyon tipindeki plaklar için kritik burkulma yükü (N kr) 356785 N/m değerindedir. En küçük kritik burkulma yükü (N kr) değerini veren plaklar ise a/b=1 için 1337 N/m değeriyle LT11 ([0 /90 /- 5 /5 ]s) ve LT1 ([0 /90 /5 /- 5 ]s) laminasyon tipindeki plaklardır. Tablo. LT3 Plakının Rayleigh-Ritz Yöntemi ile yapılan yakınsaklık analizi Kritik Burkulma Yükü N kr (N/m) Terim Sayısı a/b 1 3 9 1 0360 0360 0360 198665 1981 1. 03599 03599 03599 19980 1993 1. 1178 1178 1178 07838 07195 1.6 757 757 757 061 113 1.8 197 197 197 370 03879 6158 6158 6158 56988 0061 b/a 1 3 9 1 0360 0360 0360 198665 1981 1. 15939 15939 15939 13385 1303 1. 1155 1155 1155 11655 111 1.6 955 955 955 93761 93578 1.8 889 889 889 8190 8116 73606 73606 73606 761 795 Tablo 7. den kritik burkulma yükü (N kr), kısa kenar x ekseninde olduğu durumda görüldüğü üzere; kenar oranının artmasıyla kritik burkulma yükü azalmaktadır. Kritik burkulma yükünün (N kr) en yüksek olduğu durum, kenar oranı b/a=1 olduğunda LT3 ([-5 /5 /0 /90 ] s), LT([5 /5 /90 /0 ] s), LT13 ([5 /- 5 /0 /90 ] s) ve LT1 ([5 /-5 /90 /0 ] s) kodlu plaklar için gözlenmiştir. Bu laminasyon tipindeki plaklar için kenar oranı b/a=1 için kritik burkulma yükü (N kr) 198665 N/m değerindedir. Bu durumda en küçük kritik burkulma yükü (N kr) kenar oranı b/a= için LT19([90 /-5 /0 /5 ]s) ve LT ([90 /5 /0 /-5 ]s) laminasyon 561

tipindeki plaklarda 0707 N/m değerindedir. Tablo 5. 3 terim ve terim için yapılan analizlerde bulunan kritik burkulma yükü Terim Kritik Burkulma Yükü N Sayısı kr D11 + D1 + D + D66 3 1 18 (5 D11 + 90 D1 + 5 D + 180 D66 (09600 D16 + 81900 D16D6 + 09600 D6 + 79 D11 + 916 D11D1 + 916 D1 + 158 D11D + 916 D1D + 79 D + 583 D11D66 + 1166 D1D66 + 583 DD66 + 1166 D66 )) Tablo 6. Kritik Burkulma Yükü N kr (N/m), kısa kenar y ekseninde Kenar Laminasyon Tipi oranı LT1 LT LT3 LT LT5 LT6 (a/b) YÖNTEM N kr N kr N kr N kr N kr N kr 1.00 Rayleigh-Ritz 17309 16036 198665 198665 16036 17309 SEY(ANSYS) 1650 17060 19881 1986 16759 1693 1.0 Rayleigh-Ritz 16891 158538 19980 0675 17770 189683 SEY(ANSYS) 159690 1873 196319 093 15999 18063 1.0 Rayleigh-Ritz 17169 165105 07838 080 19660 1196 SEY(ANSYS) 16160 151050 050 1760 17990 03657 1.60 Rayleigh-Ritz 179609 1773 061 009 1835 39731 SEY(ANSYS) 169810 1671 1761 35507 05613 30997 1.80 Rayleigh-Ritz 19150 193958 370 63380 907 78 SEY(ANSYS) 181130 177337 33730 6030 3559 6717.00 Rayleigh-Ritz 06603 161 56988 908 8331 309853 SEY(ANSYS) 193358 0160 511 8757 711 300908 Kenar Laminasyon Tipi oranı YÖNTEM LT7 LT8 LT9 LT10 LT11 LT1 (a/b) N kr N kr N kr N kr N kr N kr 1.00 Rayleigh-Ritz 157781 168 157781 168 1337 1337 SEY(ANSYS) 15587 13071 15587 13071 13301 13301 1.0 Rayleigh-Ritz 1379 13577 1379 13577 130679 130679 SEY(ANSYS) 107 135 107 135 13096 13096 1.0 Rayleigh-Ritz 139813 135 139813 135 138365 138365 SEY(ANSYS) 138197 13108 138197 13108 138107 138107 1.60 Rayleigh-Ritz 1185 1157 1185 1157 153181 153181 SEY(ANSYS) 1097 138196 1097 138196 153036 153036 1.80 Rayleigh-Ritz 17983 15 17983 15 173393 173393 SEY(ANSYS) 1687 18857 1687 18857 173360 173360.00 Rayleigh-Ritz 1571 16650 1571 16650 198089 198089 SEY(ANSYS) 155766 163065 155766 163065 198175 198175 56

Tablo 6. devamı Kritik Burkulma Yükü N kr (N/m), kısa kenar y ekseninde Kenar Laminasyon Tipi oranı LT13 LT1 LT15 LT16 LT17 LT18 (a/b) YÖNTEM N kr N kr N kr N kr N kr N kr 1.00 Rayleigh-Ritz 198665 198665 17309 16036 17309 16036 SEY(ANSYS) 19881 1986 1650 17060 1693 16759 1.0 Rayleigh-Ritz 19980 0675 16891 158538 189683 17770 SEY(ANSYS) 196319 093 159690 1873 18063 15999 1.0 Rayleigh-Ritz 07838 080 17169 165105 1196 19660 SEY(ANSYS) 050 1760 16160 151050 03657 17990 1.60 Rayleigh-Ritz 061 009 179609 1773 39731 1835 SEY(ANSYS) 1761 35507 169810 1671 30997 05613 1.80 Rayleigh-Ritz 370 63380 19150 193958 78 907 SEY(ANSYS) 33730 6030 181130 177337 6717 3559.00 Rayleigh-Ritz 56988 908 06603 161 309853 8331 SEY(ANSYS) 511 8757 193358 0160 300908 711 Kenar Laminasyon Tipi oranı YÖNTEM LT19 LT0 LT1 LT LT3 LT (a/b) N kr N kr N kr N kr N kr N kr 1.00 Rayleigh-Ritz 168 157781 1337 1337 157781 168 SEY(ANSYS) 1903 15576 133193 133193 15576 1903 1.0 Rayleigh-Ritz 16958 18361 1506 1506 18361 16958 SEY(ANSYS) 166155 18173 19996 19996 18173 166155 1.0 Rayleigh-Ritz 0091 1718 17673 17673 1718 0091 SEY(ANSYS) 19760 1515 1766 1766 1515 19760 1.60 Rayleigh-Ritz 3981 5751 1057 1057 5751 3981 SEY(ANSYS) 3595 5588 10368 10368 5588 3595 1.80 Rayleigh-Ritz 83935 3017 5090 5090 3017 83935 SEY(ANSYS) 8055 3073 5081 5081 3073 8055.00 Rayleigh-Ritz 33576 356785 9701 9701 356785 33576 SEY(ANSYS) 33835 355136 9733 9733 355136 33835 Tablo 7. Kritik Burkulma Yükü N kr (N/m), kısa kenar x ekseninde Kenar Laminasyon Tipi oranı LT1 LT LT3 LT LT5 LT6 (b/a) YÖNTEM N kr N kr N kr N kr N kr N kr 1.00 Rayleigh-Ritz 17309 16036 198665 198665 16036 17309 SEY(ANSYS) 1650 17060 19881 1986 16759 1693 1.0 Rayleigh-Ritz 13175 119979 13385 138753 110096 11730 SEY(ANSYS) 15663 11109 10813 136169 10099 110667 1.0 Rayleigh-Ritz 10816 9896 11655 10600 837 87566 SEY(ANSYS) 10380 91979 110797 10178 77113 8603 1.60 Rayleigh-Ritz 9365 859 93761 86188 6975 70160 SEY(ANSYS) 9008 80583 9355 878 63791 6698 1.80 Rayleigh-Ritz 8099 76866 8190 7310 5986 59106 SEY(ANSYS) 8158 730 80187 711 5551 56013.00 Rayleigh-Ritz 7763 71083 761 67 53565 51651 SEY(ANSYS) 756 6817 7173 63365 5006 9117 563

Tablo 7. devamı Kritik Burkulma Yükü N kr (N/m), kısa kenar x ekseninde Kenar Laminasyon Tipi oranı YÖNTEM LT7 LT8 LT9 LT10 LT11 LT1 (b/a) N kr N kr N kr N kr N kr N kr 1.00 Rayleigh-Ritz 157781 168 157781 168 1337 1337 SEY(ANSYS) 15587 13071 15587 13071 13301 13301 1.0 Rayleigh-Ritz 17509 11771 17509 11771 1063 1063 SEY(ANSYS) 16160 11537 16160 11537 100 100 1.0 Rayleigh-Ritz 110808 1051 110808 1051 90175 90175 SEY(ANSYS) 10980 10087 10980 10087 8986 8986 1.60 Rayleigh-Ritz 100591 9369 100591 9369 855 855 SEY(ANSYS) 99805 919 99805 919 81987 81987 1.80 Rayleigh-Ritz 93866 8763 93866 8763 7739 7739 SEY(ANSYS) 939 866 939 866 771 771.00 Rayleigh-Ritz 89196 836 89196 836 7300 7300 SEY(ANSYS) 8866 8817 8866 8817 7105 7105 Kenar Laminasyon Tipi oranı LT13 LT1 LT15 LT16 LT17 LT18 (b/a) YÖNTEM N kr N kr N kr N kr N kr N kr 1.00 Rayleigh-Ritz 198665 198665 17309 16036 17309 16036 SEY(ANSYS) 19881 1986 1650 17060 1693 16759 1.0 Rayleigh-Ritz 13385 138753 13175 119979 11730 110096 SEY(ANSYS) 10813 136169 15663 11109 110667 10099 1.0 Rayleigh-Ritz 11655 10600 10816 9896 87566 837 SEY(ANSYS) 110797 10178 10380 91979 8603 77113 1.60 Rayleigh-Ritz 93761 86188 9365 859 70160 6975 SEY(ANSYS) 9355 878 9008 80583 6698 63791 1.80 Rayleigh-Ritz 8190 7310 8099 76866 59106 5986 SEY(ANSYS) 80187 711 8158 730 56013 5551.00 Rayleigh-Ritz 761 67 7763 71083 51651 53565 SEY(ANSYS) 7173 63365 756 6817 9117 5006 Kenar Laminasyon Tipi oranı YÖNTEM LT19 LT0 LT1 LT LT3 LT (b/a) N kr N kr N kr N kr N kr N kr 1.00 Rayleigh-Ritz 168 157781 1337 1337 157781 168 SEY(ANSYS) 1903 15576 133193 133193 15576 1903 1.0 Rayleigh-Ritz 987 99857 90750 90750 99857 987 SEY(ANSYS) 91803 9889 90368 90368 9889 91803 1.0 Rayleigh-Ritz 6909 71333 70595 70595 71333 6909 SEY(ANSYS) 6750 7033 7033 7033 7033 6750 1.60 Rayleigh-Ritz 558 5508 59836 59836 5508 558 SEY(ANSYS) 53860 5658 5963 5963 5658 53860 1.80 Rayleigh-Ritz 698 567 53516 53516 567 698 SEY(ANSYS) 589 5085 53361 53361 5085 589.00 Rayleigh-Ritz 1630 39305 95 95 39305 1630 SEY(ANSYS) 0707 38831 9398 9398 38831 0707 56

3.. Boyutsuz sonuçlar Önceki bölümdeki sayısal analizlerde, Rayleigh-Ritz Yöntemi yle bulunan sonuçlar, SEY (ANSYS) ile bulunanlarla karşılaştırılıp yakın sonuçlar elde edilmiş, R-R Yöntemi nin güvenilirliği görülmüştür. Bu bölümde Rayleigh- Ritz Yöntemi ile T300-93 kodlu karbon/epoksi malzeme için elde edilen boyutsuz sonuçlar sunulmuştur (Tablo 8-9). Burada boyutsuz kritik burkulma yükü; plağın kısa kenarının, kalınlığının ve elastisite modülünün fonksiyonu olarak verilmiştir. N x eksenel basınç yükü, x eksenine paralel olduğunda (N kr); kısa kenar y ekseninde olduğu durum için boyutsuz kritik burkulma yükü * b N 0 N kr 3 t E10 kısa kenar x ekseninde olduğu * a durum için ise N 0 N kr 3 t E10 olarak verilmiştir. Tablo 8. Boyutsuz Kritik Burkulma Yükü ( ( N * 0 b N ) kr 3 t E 10 Laminasyon Tipi * N 0 ), kısa kenar y ekseninde Kenar Oranları (a/b) 1 1. 1. 1.6 1.8 LT1 903, 8751,9 889,6 9306,5 99,3 10705,3 LT 8309,3 81,6 855,1 9189,7 1009,3 11101,7 LT3 1093,5 1035,6 10769,3 113,6 190,6 13315,7 LT 1093,5 10699,7 110,8 137,3 1366, 15051,6 LT5 8309,3 895,0 998,1 1131, 190, 1731, LT6 903, 987,9 1098,1 11,6 1118,8 16056,7 LT7 8175,5 750,9 75,8 7350,6 7667,8 816,5 LT8 7588,1 7035,0 7018,3 7333,0 7887,5 867,8 LT9 8175,5 750,9 75,8 7350,6 7667,8 816,5 LT10 7588,1 7035,0 7018,3 7333,0 7887,5 867,8 LT11 6930, 6771, 7170,5 7937, 898, 1063,7 LT1 6930, 6771, 7170,5 7937, 898, 1063,7 LT13 1093,5 1035,6 10769,3 113,6 190,6 13315,7 LT1 1093,5 10699,7 110,8 137,3 1366, 15051,6 LT15 903, 8751,9 889,6 9306,5 99,3 10705,3 LT16 8309,3 81,6 855,1 9189,7 1009,3 11101,7 LT17 903, 987,9 1098,1 11,6 1118,8 16056,7 LT18 8309,3 895,0 998,1 1131, 190, 1731, LT19 7588,1 878,7 1011,8 1398,1 1711, 17336,3 LT0 8175,5 9513,5 115,3 133,3 15757,8 1886,0 LT1 6930, 779, 9158,8 10910, 13000,3 1501,5 LT 6930, 779, 9158,8 10910, 13000,3 1501,5 LT3 8175,5 9513,5 115,3 133,3 15757,8 1886,0 LT 7588,1 878,7 1011,8 1398,1 1711, 17336,3 565

Tablo 9. Boyutsuz Kritik Burkulma Yükü ( ( N * 0 a N ) kr 3 t E10 Laminasyon Tipi * N 0 ), kısa kenar y ekseninde Kenar Oranları (b/a) 1 1. 1. 1.6 1.8 LT1 903, 685,7 560,6 85,1 357,5 013,7 LT 8309,3 617,1 5093, 19, 398,8 3683,1 LT3 1093,5 79,0 5837, 858,1 1,3 376, LT 1093,5 7189,9 59,1 65,6 3793,1 338,8 LT5 8309,3 570,1 36,5 3589,5 3101,6 775,3 LT6 903, 6078, 537, 3635, 306,8 676, LT7 8175,5 6607, 571,9 513, 863,8 61,6 LT8 7588,1 6101, 531,0 8,9 51,1 333,8 LT9 8175,5 6607, 571,9 513, 863,8 61,6 LT10 7588,1 6101, 531,0 8,9 51,1 333,8 LT11 6930, 513,1 67,3 61,9 01,7 389,9 LT1 6930, 513,1 67,3 61,9 01,7 389,9 LT13 1093,5 79,0 5837, 858,1 1,3 376, LT1 1093,5 7189,9 59,1 65,6 3793,1 338,8 LT15 903, 685,7 560,6 85,1 357,5 013,7 LT16 8309,3 617,1 5093, 19, 398,8 3683,1 LT17 903, 6078, 537, 3635, 306,8 676, LT18 8309,3 570,1 36,5 3589,5 3101,6 775,3 LT19 7588,1 885,1 3580,1 86,5 3,6 157,1 LT0 8175,5 517,5 3696,1 871,0 366,7 036, LT1 6930, 70,0 3658,0 3100,5 77,9 565,9 LT 6930, 70,0 3658,0 3100,5 77,9 565,9 LT3 8175,5 517,5 3696,1 871,0 366,7 036, LT 7588,1 885,1 3580,1 86,5 3,6 157,1. Tartışma ve Sonuç En büyük kritik burkulma yükü a/b= için LT3 kodlu plakta 356785 N/m olarak görülmektedir. Bu durum boyuna yapı sistemine karşılık gelmektedir. Enine sistemde kritik burkulma yükü değerleri düşmektedir. Burada boyuna yapı sisteminin kullanımı burkulmaya daha dayanıklı bir yapı elde edilmesi anlamına gelmektedir. Bu durum çelik gibi izotrop malzemeler açısından da karşılaşılan bir durum olmakta ve sonuçlar bu açıdan da uyumlu bulunmaktadır. Önceki bölümde simetrik katmanlı ince dikdörtgen kompozit plakların boyutsuz kritik burkulma yükü ( * N ) 0 plak kısa kenarına, plak kalınlığına ve elastisite modülüne bağlı olarak 566

verilmiştir. Kısa kenar y ekseninde olduğu durumda * b N 0 N olarak, x ekseninde kr 3 t E 10 olduğu durumda ise * a N0 N olarak bulunmuştur. kr 3 t E10 Bu iki boyutsuz ifade Reddy nin çalışmasında da sf:1- de [] benzer biçimde gösterilmiştir. Bu benzerlik de hesaplamaların sağlamasının yapıldığını göstermektedir. Kompozit gemilerin yapımında; malzeme seçimi, destek elemanlarının Kaynakça [1] Reuben, R.L. 199. Materials in Marine Technology. Springer- Verlag, London Limited, UK. [] Shenoi, R.A., Wellicome, J.F. 1993. Composite Materials in Maritime Structures, Volume-I (Fundamental Aspects), Cambridge University Pres, NY. [3] Shenoi, R.A., Wellicome, J.F. 1993. Composite Materials in Maritime Structures, Volume-II (Practical Considerations), Cambridge University Pres, NY. [] Mouritz, A.P., Gellert, E., Burchill, P., Challis K., 001. Review of Advanced Composite Structures for Naval Ships and Submarines, Composite Structures, Cilt. 53, s..1-1.doi:10.1016/s063-83(00)00175-6 [5] Savcı, M., 1987. Gemi Yapısında Levhalar ve Silindirik Kabuklar, İ.T.Ü. Gemi İnş. ve Deniz Bil. Fak, İstanbul. [6] Lekhnitskii, S.G.1968. Anisotropic Plates, Gordon and Breach, NewYork. yerleşimine bağlı olarak enine veya boyuna sistemdeki yapı, farklı kenar oranları, katmanların farklı açılarda sıralanması ve geminin farklı yerlerindeki farklı uygulamaların olması gibi neredeyse sonsuz sayıda seçenek söz konusu olmaktadır. Kompozit gemilerin yapısal ön tasarımında, bu çalışmadakine benzer olarak Rayleigh-Ritz Yöntemi ile hızlı biçimde boyutsuz tabloların oluşturulup, uygun seçeneklerin belirlenmesiyle, üretimdeki zaman, malzeme, deney ve işgücünden tasarruf edilmesi öngörülmüştür. [7] Aran, A., 1990. Elyaf Takviyeli Karma Malzemeler, İ.T.Ü. Kütüphanesi Sayı:10, Gümüşsuyu, İstanbul. [8] Powell, P.C., 199. Engineering with fibre-polymer laminates, Chapman & Hall, London, UK. [9] Mallick. P. K., 1997. Composites engineering handbook, Marcel Dekker Inc., NY. [10] ASM Handbook, 001. Volume 1, Composites, ASM International. [11] Harper, C.A., 00. Handbook of plastics, elastomers, and composites, McGraw-Hill, NY. [1] Ambartsumyan, S.A, 1970. Theory of Anisotropic Plates, Technomic Publishing, Co., Wesport Conn. [13] Baharlou, B., Leissa A.W., 1987. Vibration and Buckling of Generally Laminated Composite Plates with Arbitrary Edge conditions, Int. J. Mech. Sci. Vol. 9, No. 8, pp. 55-555.DOI: 10.1016/000-703(87)9006-9 [1] Lakshminarayana, L., Kumar, Krishna Mohana Rao G., 01. Buckling analysis of quasiisotropic symmetrically 567

laminated rectangular composite plates with an elliptical/circular cutout subjected to linearly varying in-plane loading using FEM, International Journal Of Mechanics, Issue 1, Volume 6. [15] Hu, H., Badir, A., Abatan, A., 003. Buckling behavior of a graphite/epoxy composite plate under parabolic variation of axial loads, Int. J. Mech. Sci. 5, 1135 117.DOI:10.1016/j.ijmecsci.00 3.08.003 [16] Darvizeh, M., Darvizeh, A., Ansari, R., Sharma, C.B., 00. Buckling analysis of generally laminated composite plates (generalized differential quadrature rules versus Rayleigh Ritz method), Composite Structures 63, 69 7.DOI: 10.1016/S063-83(03)00133-8 [17] Aydoğdu, M., 009. A new shear deformation theory for laminated composite plates, Composite Structures 89, 9 101.DOI: 10.1016/j.compstruct.008.07.00 8 [18] Felix, D.H., Bambill, D.V.,Rossit, C.A., 011. A note on buckling and vibration of clamped orthotropic plates under in-plane loads. Struct. Eng. Mech., 39 (1), 115-13,DOI:10.1989/sem.011.39. 1.115 [19] Aydoğdu, M., Tımarcı, T., 00. Düzlem-içi yüklenmiş basit destekli simetrik katmanlı dikdörtgen kompozit ince plakların burkulma ve titreşimi, Trakya Univ J Sci, 5(): 167-177. [0] Aydoğdu, M., Aksencer, T., 017. Buckling of Cross-ply Composite Plates with Linearly Varying Inplane Loads, 3 January, 568 [1] Kumar, Y., 017. The Rayleigh Ritz method for linear dynamic, static and buckling behavior of beams, shells and plates: A literature review, Journal of Vibration and Control, 1-3 [] Noor, A.K., Burton W.S., 1989. Assesment of shear deformation theories for multilayered composite plates, Appl Mech Rev. (1),DOI:10.1115/1.31518 [3] Noor, A.K., Burton W.S., 1990. Assesment of computational model for multilayered composite plates, Appl Mech Rev., 3 (): 67-97.DOI: 10.1016/063-83(90)90050-O [] Mallikarjuna, Kant, T., 1993. A critical review and some results of recently developed refined theories of fiber-reinforced laminated composites and sandwiches, Composite Structures, 3 93-31.DOI:10.1016/063-83(93)9030-N [5] Altunsaray, E., Bayer, İ., 00. Buckling of symmetrically laminated quasi-isotropic thin rectangular plates, Steel Compos. Struct., Int. J.,17(3),305-30. DOI: http://dx.doi.org/10.1989/scs. 01.17.3.305 [6] Tsai, S.W., 1988. Composites design, th Edition, Think Composites. [7] Reddy, J.N, 00. Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells: Theory and Analysis, Second edition, CRC Pres. [8] Ashton, J.E., Whitney, J.M., 1970, Theory of Laminated Plates, Technomic Publication, USA. [9] ANSYS 17 Academic, 017.