İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TEKİLLİK İÇEREN REISSNER PLAKLARININ SONLU ELEMAN ÇÖZÜMÜNDE GEÇİŞ ELEMANLARI KULLANILARAK AĞ SIKLAŞTIRMASI YÜKSEK LİSANS TEZİ İnş. Müh. Tuğrul ÇELİK Anabilim Dalı : İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ Programı : YAPI MÜHENDİSLİĞİ MAYIS 2003

2 İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TEKİLLİK İÇEREN REISSNER PLAKLARININ SONLU ELEMAN ÇÖZÜMÜNDE GEÇİŞ ELEMANLARI KULLANILARAK AĞ SIKLAŞTIRMASI YÜKSEK LİSANS TEZİ İnş. Müh. Tuğrul ÇELİK ( ) Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 2 Mayıs 2003 Tezin Savunulduğu Tarih : 29 Mayıs 2003 Tez Danışmanı : Diğer Jüri Üyeleri Prof.Dr. Mehmet Hakkı OMURTAG Prof.Dr. Hasan ENGİN (İ.T.Ü.) Prof.Dr. Faruk YÜKSELER (Y.T.Ü.) MAYIS 2003

3 ÖNSÖZ Tez çalışmam esnasında her türlü bilgi, tecrübe ve yardımını benden esirgemeyen tez danışmanım Sayın Prof. Dr. Mehmet Hakkı OMURTAG a teşekkür ederim. Ayrıca, tavsiyelerine başvurduğum Yrd. Doç. Dr. Nihal ERATLI ve Araştırma Görevlisi Murat YILMAZ a teşekkürü bir borç bilirim. Bu çalışma, desteğinin her zaman yanımda olduğunu bildiğim babam İnş. Müh. Alizer ÇELİK e ithaf edilmiştir. Bunun yanında, maddi ve manevi desteğini benden esirgemeyen annem Yeter ÇELİK e ve kardeşim Elektronik Yüksek Müh. Ümit Serhat ÇELİK e teşekkür ederim. Mayıs 2003 Tuğrul ÇELİK

4 İÇİNDEKİLER KISALTMALAR TABLO LİSTESİ ŞEKİL LİSTESİ SEMBOL LİSTESİ ÖZET SUMMARY v vi vii ix xi xii 1. GİRİŞ 1 2. REISSNER PLAK TEORİSİ Giriş Denge Denklemleri Bünye Bağıntıları Fonksiyonelin Elde Edilişi Alan denklemleri Varyasyonel işlemler DÖRTGEN SONLU ELEMAN Koordinat Dönüşümleri Geçiş Elemanları SAYISAL ÖRNEKLER Düzgün Yayılı Yükleme İnce ve çok ince plaklar SSSS mesnet koşulu CCCC mesnet koşulu Nispeten kalın plaklar SSSS mesnet koşulu CCCC mesnet koşulu Kalın plaklar Tekil Yükleme İnce ve çok ince plaklar SSSS mesnet koşulu CCCC mesnet koşulu Nispeten kalın plaklar SSSS mesnet koşulu CCCC mesnet koşulu Kalın plaklar SSSS mesnet koşulu 46

5 CCCC mesnet koşulu BİLGİSAYAR PROGRAMI Genel Yapı Stab.for Programı SONUÇLAR 52 KAYNAKLAR 55 EKLER 58 ÖZGEÇMİŞ 71

6 KISALTMALAR SEM CCCC Mesnetli SSSS Mesnetli 4DN Eleman 5DN Eleman 6DN Eleman 8DN Eleman : Sonlu Elemanlar Metodu : Dört Kenarından Ankastre Mesnetli : Dört Kenarından Basit Mesnetli : Dört Düğüm Noktalı Eleman : Beş Düğüm Noktalı Eleman : Altı Düğüm Noktalı Eleman : Sekiz Düğüm Noktalı Eleman

7 TABLO LİSTESİ Sayfa No Tablo 4.1 4DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu 21 Tablo 4.2 8DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu 23 Tablo 4.3 4DN, 5DN, 6DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama Tablo 4.4 tablosu DN ve 8DN elemanlı değişik kalınlıklı SSSS mesnetli plaklarda elemanın doğrulanma tablosu Tablo 4.5 4DN elemanlı CCCC mesnetli plaklarda doğrulamatablosu 26 Tablo 4.6 8DN elemanlı CCCC mesnetli plaklarda doğrulama tablosu Tablo 4.7 4DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu 29 Tablo 4.8 8DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu 31 Tablo 4.9 4DN, 5DN, 6DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu.. 32 Tablo DN elemanlı CCCC mesnetli plaklarda doğrulama tablosu Tablo DN elemanlı CCCC mesnetli plaklarda doğrulama tablosu Tablo DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu Tablo DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu Tablo 4.14 Karma elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu Tablo DN ve 8DN elemanlı SSSS mesnetli kalın plakların çökme ve moment karşılaştırma tablosu Tablo DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu Tablo 4.17 Değişik kalınlıklı SSSS mesnetli plakların çökme doğrulama tablosu Tablo 4.18 CCCC mesnetli plaklarda doğrulama tablosu Tablo DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu Tablo 4.20 CCCC mesnetli plaklarda doğrulama tablosu Tablo DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu Tablo 4.22 CCCC mesnetli plaklarda doğrulama tablosu... 47

8 ŞEKİL LİSTESİ Sayfa No Şekil 2.1 Dış kuvvetler, dış momentler, kesit mambran kuvvetler, kesit kesme kuvvetleri ve kesit momentlerinin pozitif yönleri... 6 Şekil 2.2 Gerilme bileşenleri Şekil 3.1 Bilineer izoparametrik dörtgen eleman Şekil 3.2 5DN eleman Şekil 3.3 6DN eleman Şekil 3.4 8DN eleman Şekil 4.1 Yayılı yükleme durumu Şekil 4.2 4DN elemanlı SSSS mesnetli plakta çökme yaklaşım testi Şekil 4.3 4DN elemanlı SSSS mesnetli plakta moment yaklaşım testi Şekil 4.4 4DN elemanlı SSSS mesnetli plakta kesme kuvveti yaklaşım testi Şekil 4.5 8DN elemanlı SSSS mesnetli plakta çökme yaklaşım testi.. 23 Şekil 4.6 8DN elemanlı SSSS mesnetli plakta moment yaklaşım testi Şekil 4.7 8DN elemanlı SSSS mesnetli plakta kesme kuvveti yaklaşım testi Şekil 4.8 Karma elemanlı ağ tipleri. 24 Şekil 4.9 4DN elemanlı CCCC mesnetli plakta çökme yaklaşım testi 26 Şekil DN elemanlı CCCC mesnetli plakta moment yaklaşım testi. 27 Şekil DN elemanlı CCCC mesnetli plakta moment yaklaşım testi. 27 Şekil DN elemanlı CCCC mesnetli plakta çökme yaklaşım testi 28 Şekil DN elemanlı CCCC mesnetli plakta moment yaklaşım testi. 28 Şekil DN elemanlı CCCC mesnetli plakta moment yaklaşım testi. 28 Şekil DN elemanlı SSSS mesnetli plakta çökme yaklaşım testi.. 30 Şekil DN elemanlı SSSS mesnetli plakta moment yaklaşım testi Şekil DN elemanlı SSSS mesnetli plakta kesme kuvveti yaklaşım testi Şekil DN elemanlı SSSS mesnetli plakta çökme yaklaşım testi.. 31 Şekil DN elemanlı SSSS mesnetli plakta moment yaklaşım testi Şekil DN elemanlı SSSS mesnetli plakta kesme kuvveti yaklaşım testi 32 Şekil 4.21 Karma elemanli ağ tipleri. 32 Şekil 4.22 CCCC mesnetli plakta çökme yaklaşım testi Şekil 4.23 CCCC mesnetli plakta moment yaklaşım testi Şekil 4.24 CCCC mesnetli plakta moment yaklaşım testi Şekil DN elemanlı CCCC mesnetli plakta çökme yaklaşım testi 35 Şekil DN elemanlı CCCC mesnetli plakta moment yaklaşım testi. 35 Şekil DN elemanlı CCCC mesnetli plakta moment yaklaşım testi. 35 Şekil DN elemanlı SSSS mesnetli plakta çökme yaklaşım testi. 37 Şekil DN elemanlı SSSS mesnetli plakta moment yaklaşım testi Şekil DN elemanlı SSSS mesnetli plakta çökme yaklaşım testi.. 38

9 Şekil DN elemanlı SSSS mesnetli plakta moment yaklaşım testi Şekil 4.32 Karma elemanli ağ tipleri. 38 Şekil 4.33 Tekil yükleme durum ve simetri Şekil DN elemanlar ile oluşturulmuş ağ tipleri Şekil 4.35 Karma elemanlar ile oluşturulmuş ağ tipleri Şekil DN ve karma elemanli SSSS mesnetli plakta çökme yaklaşım testi 43 Şekil DN ve karma elemanli CCCC mesnetli plakta çökme yaklaşım testi 45 Şekil 5.1 Program akış diyagramı

10 SEMBOL LİSTESİ i, j, : Latin indisleri 1, 2, 3 değerlerini alır α, β, : Grek indisleri 1, 2 değerlerini alır : Birim şekil değiştirme bileşenleri ε ij ε ε ε m f ε s d u u α 3 Ω u i Ω σ α α ij ij : Şekil değiştirme vektörü : Mambran etkilerden oluşan şekil değiştirme vektörü : Eğilme etkilerinden oluşan şekil değiştirme vektörü : Kayma etkilerinden oluşan şekil değiştirme vektörü : Yer değiştirme ve dönme vektörü : Düzlem içi yer değiştirme vektörü : Düzleme dik yer değiştirme vektörü : Dönme vektörü : Yer değiştirme bileşenleri : Dönme bileşenleri : Gerilme bileşenleri γ : Birim kayma açısı υ : Poisson oranı h : Plak kalınlığı P, N, Q : Normal kuvvetler ve düzlem içi kayma kuvveti F, H : Kesme Kuvvetleri K, M, T : Eğilme momentleri ve burulma momenti e D : Denge operatörü e e e D, D, D : Denge alt operatörleri m α s f D : Kısmi türev operatörü ( ) / α I : Birim matris k k k D, D, D : Kinematik operatörler σ σ σ σ m m s f s f : Kuvvet ve moment vektörü : Mambran kuvvet vektörü : Kesme kuvveti vektörü : Moment vektörü C : Elastisite matrisinin tersi, kompliyans matrisi f : Yük vektörü q : Kuvvet yük vektörü m : Moment yük vektörü Q : Operator I (y) : Fonksiyonel

11 ξ, η : Dörtgen elemanda yerel koordinat takımı ξ i, η i : Dörtgen elemanda düğüm noktaları ± 1 in koordinat değerleri φ i, N i : Şekil fonksiyonları J : Jakobyen J : Jakobyen determinantı 1 J : Jakobyenin tersi

12 TEKİLLİK İÇEREN REISSNER PLAKLARININ SONLU ELEMAN ÇÖZÜMÜNDE GEÇİŞ ELEMANLARI KULLANILARAK AĞ SIKLAŞTIRMASI ÖZET Bu çalışmada, Reissner Plak Teorisi kullanılarak, levha ve nispeten kalın plaklar için bir fonksiyonel geliştirilmiştir. Alan denklemleri, eğilme etkilerinin yanı sıra, enine kayma gerilmelerinin ( τ 13, τ 23 ) ve orta düzleme dik olan normal gerilmenin ( τ 33 ) etkisi de gözönünde bulundurularak çıkartılmıştır. Fonksiyonel, Gàteaux diferansiyel yaklaşımı uygulanarak, potansiyel operator koşulunun sağlatılması yoluyla elde edilmiştir. Bu sayede, problemin sınır koşulları da kendiliğinden ortaya çıkmıştır. Elde edilen fonksiyonel ile karışık sonlu eleman formülasyonu oluşturulmuştur. Bilineer ve kuadratik şekil fonksiyonları yardımıyla, 4 ve 8 düğüm noktalı izoparametrik dörtgen elemanların yanısıra, geçiş elemanları olan 5 ve 6 düğüm noktalı izoparametrik dörtgen elemanlar geliştirilmiştir. Düğüm noktası serbestlik derecelerine göre iki türlü eleman oluşturulmuştur. Hem levha hem de plak davranışı sergileyen elemanlar için, her bir düğüm noktasında üç yer değiştirme u, u, ), iki ( 1 2 u3 dönme ( Ω 1, Ω 2 ), üç mambran kuvvet ( P, N, Q), iki kesme kuvveti ( F, H ) ve üç moment ( K, M, T ) değeri olmak üzere toplam 13 serbestlik derecesi tanımlanmıştır. Sadece plak davranışı sergileyen elemanlar için, her bir düğüm noktasında bir yerdeğiştirme ( u 3 ), iki dönme ( Ω 1, Ω 2 ), iki kesme kuvveti ( F, H ) ve üç moment ( K, M, T ) değeri olmak üzere toplam 8 serbestlik derecesi tanımlanmıştır. Eleman rijitlik matrisleri, Gauss Sayısal İntegrasyon Yöntemi kullanılarak hesap edilmiştir. Sonlu eleman formülasyonu için, Fortran programlama dilinde bir program yazılmıştır. Geçiş elemanları kullanılarak değişik ağ yapıları geliştirilmiştir. Bu ağ yapıları ile, farklı yükleme ve farklı mesnetlenme durumları için sayısal çözümler yapılmıştır. Farklı kalınlıklı plaklar için bulunan çözümler, kesin, analitik ve literatürdeki diğer sonuçlarla karşılaştırılmış, yakınsaklık dereceleri belirlenmiştir. Yapılan karşılaştırmalar, mevcut çalışmanın mühendislik açısından yeterli sonuçlar verdiğini ortaya koymuştur. Çok ince plaklar için de çözümler yapılmış, kayma kilitlenmesi probleminin yaşanmadığı görülmüştür.

13 MESH GENERATION IN THE FINITE ELEMENT SOLUTION OF REISSNER PLATES WHICH INCLUDE THE SINGULARITY BY USING TRANSITION ELEMENTS SUMMARY In this study, a functional was developed for the membrane structures and moderately thick plates. Field equations were derived not only by taking into account the bending effects, but also the shear stresses ( τ 13, τ 23 ) and the normal stress ( τ 33 ) normal to the middle plane. Functional is obtained by applying the Gàteaux differential approach and the potential operator condition. By doing this, boundary conditions of the problem are revealed automatically. A mixed finite element formulation is obtained with the functional. By the help of bilinear and quadratic shape functions, not only the 4 and 8 nodes isoparametric quadrangle elements were developed, but also the 5 and 6 nodes isoparametric quadrangle transition elements were developed. Two kinds of elements were composed according to the nodes degree of freedom. 13 degrees of freedom which were three displacements ( u 1, u2, u3 ), two rotations ( Ω 1, Ω 2 ), three membrane forces ( P, N, Q), two shear forces ( F, H ) and three moments ( K, M, T ) was defined in every node for the elements which behaved like both membrane structure and plate. 8 degrees of freedom which were transverse displacement ( u 3 ), two rotations ( Ω 1, Ω 2 ), two shear forces ( F, H ) and three moments ( K, M, T ) was defined in every node for the elements which behaved like plate. Element stiffness matrices were calculated by using the Gauss Numerical Integration Method. An algorithm was performed for the finite element formulation by using Fortran Programming. Different mesh configurations were developed by using the transition elements. Numerical solutions were found with these configurations under the different loading conditions and different boundary conditions. Results of the different thick plates were compared with the exact, analytic, and the other numerical solutions in the literature. Convergence sensitivity of the solutions was determined. Comparisons showed that solutions of this study were enough sufficient according to the engineering point of view. There has been no shear locking problem for the very thin plates.