6. Sunum: Manye-k Bağlaşımlı Devreler Kaynak: Temel Mühendislik Devre Analizi, J. David IRWIN-R. Mark NELMS, Nobel Akademik Yayıncılık 1
Bu ders kapsamında ilgilendiğimiz bütün devre elamanlarının ideal kabul edilecek-r. Böylelikle analizlerimiz basitleşecek-r. Ortak indüktans kavramı ile Ampere ve Faraday yasaları doğrudan ilgilidir. HaVrlanacağı gibi Ampere yasası her akımın bir manye-k alan oluşturacağını belir-r. Faraday yasası ise zamanla değişen manye-k alanların halkaladıkları devrelerde gerilim indükleyeceklerini belir-r. Tüm devrelerde bu durumlarla karşılaşılmasına karşın sargıların bulunduğu devrelerde bu etkiler çok yüksek-r. 2
Aşağıdaki ideal sistemi ele alalım. Bu devrede N sarımlı bir sargıdan (bobin) akan i akımının bir Φ manye-k akısı üre\ği görülür. Bu devrenin akı bağı λ=nφ bağınvsı ile hesaplanır. Doğrusal sistemlerde, akı bağı için λ=li bağınvsı geçerlidir. Bu ifade de kullanılan L daha önce incelediğimiz indüktansdır. Bu bağınvlar kullanılarak manye-k akı aşağıdaki gibi elde edilir. 3
Faraday yasasına göre sargıda indüklenen gerilim akı bağının zamanla değişim hızıyla oranvlıdır. Bu eşitlikler kullanılarak ve indüktansın zamanla değişmediği kabul edilerek indüklenen gerilim aşağıdaki gibi yazılır. ve olur. 4
Bu devrelerde akım ve gerilim düşüm yönleri pasif elemanlardaki ile benzerdir. Bu eşitlik basitçe bir sarbndan geçen akımın manye-k alan oluşturduğunu ifade eder. Aşağıdaki devrede N 1 ve N 2 sarımlı iki sargı gösterilmektedir. Bu şekilde, birinci sargıdan geçen akımın manye-k alan oluşturduğu ve bu manye-k alanın ikinci sargıyı da halkaya bildiği düşünülmektedir. Yani sargılar çok yakın yerleş-rilmiş-r. 5
Bu devrede ikinci taraf açık olduğu için ikinci sargıdan akım akmaz ancak Faraday yasası gereği bir ν 2 gerilimi oluşur. 1. sargı için akı bağı λ 1 =N 1 Φ=L 1 i 1 şeklindedir ve bu sargıda aşağıda gösterilen ν 1 gerilimi oluşur. 6
Yukarıdaki gibi çok sargılı sistemlerde L 1 birinci sargının öz indüktansı olarak adlandırılır. İkinci sargı için akı bağı λ 2 =N 2 Φ dir. Bu durumda Faraday yasası gereği ν 2 gerilimi aşağıdaki gibi hesaplanır. Bu ifadeden ν 2 geriliminin i 1 akımının değişim hızı ile oranvlı olduğu görülür. Bu ifadede geçen L 21 =L 1 N 2 /N 1 ortak indüktans olarak adlandırılır ve birimi Henry dir. Bu nedenle yukarıda gösterilen sargıların manye-k olarak bağlaşımlı (kuplajlı) olduğu söylenir. 7
Şimdi her iki sargısından da akım akan aşağıdaki devreyi ele alalım. Bu bağlanv için akı bağı ve Faraday yasası kullanılarak gelim ifadeleri aşağıdaki gibi elde edilir. 8
Doğrusal devre için bu ifadelerdeki L 12 =L 21 =M olur. Burada M ortak indüktansı gösterir. Bu ifadelerden görüldüğü gibi her bir sargıdaki gerilim sargı üzerlerindeki akım ve diğer sargıdaki akımdan kaynaklanır. Yukarıdaki devrede i 2 akımının yönün değiş-rilmesi durumunda aşağıdaki devre ve bağınvlar elde edilir. 9
Yukarıdaki devrede sargı yönünün dolayısıyla i 2 akımının yönünün değiş-ği kolaylıkla görülebilir. Sargıların yukarıdaki devrelerdeki gibi ayrınvlı çizilmesi pra-k değildir. Bu nedenle sargılar L 1 ve L 2 öz indüktansları, M ortak indüktansı ve nokta kuralı ile ifade edilirler. Bu devreler aşağıda gösterilmektedir. 10
Bu devrelerde L 1 di 1 /dt ve L 2 di 2 /dt gerilimlerinin polariteleri pasif işaretleme kuralına uygun olarak yapılır. Ortak indüktans (M) nedeniyle oluşan gerilimin polaritesi ise aşağıdaki kuralla bulunabilir. Bir sargının noktalı ucuna girecek şekilde tanımlanan bir akım, bağlaşımlı olduğu sargının noktalı ucunda pozi-f olan bir gerilim üre-r. Benzer şekilde, bir sargının noktasız ucuna girecek şekilde tanımlanan bir akım, bağlaşımlı sargının noktasız ucunda pozi-f bir gerilim üre-r. 11
Bu -p devrelerin analizinde aşağıdaki işlem basamakları uygulanabilir. 1- Göz akımları tanımlanır. Genellikle bu -p devrelerde göz denklemlerini yazmak, düğüm denklemlerini yazmaktan kolaydır. 2- Kirchhoff gerilim yasasına uygun olarak göz denklemleri yazılır. 3- Denklemler çözülerek akımlar hesaplanır. 12
Örnek: Aşağıdaki devre için ν 1 ve ν 2 eşitliklerini yazınız. 13
Örnek: Aşağıdaki devre için verilen göz akımı yönlerini kullanarak göz denklemlerini yazınız. 14
15
NOT: Akım ve gerilim için fazör gösterimler kullanılarak aşağıdaki manye-k kuplajlı devre için akım ve gerilim bağınvları aşağıdaki gibi elde edilir. 16
Örnek: Aşağıda iki sargı için dört farklı bağlanv gösterilmektedir. Bu bağlanvların her birinin eşdeğer indüktansını hesaplayınız. 17
18
19
20
Örnek: Aşağıdaki devrede V o gerilimini hesaplayınız. 21
22
Örnek: Aşağıdaki devre için göz denklemlerini yazınız. 23
24
Örnek: Aşağıdaki devrede Z s =3+j1 Ω, ve Z L =1-j1 Ω olduğuna göre V s kaynağı tarabndan görülen empedansı hesaplayınız. 25
26
Enerji Analizi Ortak bağlaşımlı bir çis indüktörün enerji analizini yapmak için aşağıdaki devreyi inceleyelim. Bu devrenin analizi için öncelikle tüm akım ve gerilimleri sıbr kabul edelim. 27
Enerji Analizi Devrenin analizi için öncelikle sağ tarasaki uçları açık devre alalım ve i 1 (t) akımını sıbrdan, I 1 değerine arvralım. i 2 (t)=0 olduğundan buradaki güç sıbr olur. Soldaki uçlar arasından giren anlık güç ise aşağıdaki gibi hesaplanır. Bu durumda t 1 anıda i 1 (t)=i 1 olur ve bağlaşımlı devrede depolanan enerji aşağıdaki gibidir. 28
Enerji Analizi i 1 (t) akımı I 1 değerinde sabitken i 2 (t) akımını t 1 anında sıbrdan, t 2 anında I 2 ye çıkaralım. Bu durumda sağ tarasaki uçlar tarabndan devreye verilen enerji aşağıdaki gibi bulunur. t 1 ve t 2 zaman aralığı boyunca ν 1 (t) gerilimi aşağıdaki gibi olur. t 1 ve t 2 zaman aralığı boyunca i 1 (t) sabit olduğundan, soldaki uçlar arasından devreye verilen enerji aşağıdaki gibi elde edilir. 29
Enerji Analizi Dolayısıyla t>t 2 için depolanan toplam enerji aşağıdaki gibi elde edilir. L 1 ve L 2 deki noktalardan yalnızca birinin yeri değiş-rilirse enerji ifadesi aşağıdaki gibi olur. 30
Enerji Analizi Dolayısıyla genel bir ifade olarak manye-k bağlaşımlı indüktör için enerji ifadesi aşağıdaki gibidir. Bağlaşımlı iki indüktör pasif elamandır ve bu nedenle devredeki enerji tüm indüktans ve akım değerleri için pozi-f olur. Bu eşitliğe ½(M 2 /L 2 )i 1 2 terimi eklenir ve çıkarılır ve denklem düzenlenirse aşağıdaki ifade elde edilir. 31
Enerji Analizi Bu ifadede anlık enerjinin nega-f olamaması için öz indüktanslar ve ortak indüktans arasında aşağıdaki bağınv olmalıdır. Bu denklem ortak indüktansın en büyük değerini gösterir. Bu ifadeden L1 ve L2 arasındaki bağlaşım (kuplaj) katsayısı aşağıdaki gibi tanımlanır. 32
Enerji Analizi Yukarıdaki ifadelerden kuplaj katsayısının 0 ve 1 arasında olması gerek-ği görülür. Eğer k=1 ise bir sargıdaki akının tümü diğerine aktarılmaktadır. Eğer sargılar arasında bağlaşım yoksa k=0 dır. Verilen ifadelere göre M değerinin aşağıdaki aralıkta değişebileceği görülür. 33
Enerji Analizi Örnek: Aşağıdaki devrenin bağlaşım katsayısı k=1 dir. t=5ms de ortak bağlaşımlı indüktörde depolanan enerjiyi hesaplayınız (L 1 =2.653mH, L 2 =10.61mH). 34
Enerji Analizi 35
İdeal Transformatör Şekilde gösterildiği gibi kapalı manye-k çekirdek etrabna sarılmış iki sargılı devre transformatör olarak adlandırılabilir. Bu yapıyı ideal olarak düşündüğümüzde her bir sarımdaki gerilim oranı aşağıdaki gibi hesaplanır. 36
İdeal Transformatör Ampere yasasına göre olur. Burada H manye-k alan şidde-dir ve integral akının transformatör çekirdeği çevresinde izlediği kapalı yol boyunca alınır. Manye-k çekirdeğin ideal olması yani manye-k geçirgenliğinin sonsuz olması durumunda aşağıdaki bağınv elde edilir. 37
İdeal Transformatör Bu denklem N 1 e bölünüp ν 1 ile çarpılırsa aşağıdaki eşitlik elde edilir. ν 1 =(N 1 /N 2 )ν 2 olduğundan ν 1 i 1 +ν 2 i 2 =0 olur. Dolayısıyla cihaza verilen toplam güç sıbrıdır yani ideal transformatör kayıpsızdır. 38
İdeal Transformatör İdeal transformatör sembolü ve ilgili denklemler aşağıdaki gibidir. Bir transformatörde normal güç akışı primerdeki giriş akımdan (i 1 ), sekonderdeki çıkış akımına (i 2 ) doğrudur. Bu durumda ilgi devre ve bağınvları aşağıdaki gibi olur. 39
İdeal Transformatör Aşağıdaki devrenin benzer biçimden analizinden aşağıdaki bağınvlar elde edilir. 40
İdeal Transformatör Burada ZL sarım sayılarının oranı kullanılarak primere yansıvlmışvr. Sarım oranı n aşağıdaki gibi tanımlanır. Sonuç olarak yukarıdaki İdeal transformatör için aşağıdaki bağınvlar elde edilir. Bu bağınvlar kullanılırken akım ve gerilim yönleri yukarıdaki devredeki gibi seçilmelidir. 41
İdeal Transformatör Örnek: Şekildeki devrede V 1, V 2, I 1 ve I 2 değerlerini hesaplayınız. 42
İdeal Transformatör 43
İdeal Transformatör NOT: İdeal transformatör içeren devrelerde Thevenin ya da Norton teoremi kullanılarak transformatörün primer veya sekonder tarabnın eşdeğeri bulunabilir. Aşağıdaki devrede transformatörle, transformatörün primer tarabnın Thevenin eşdeğerini bulalım. Bu devrede akım ve gerilim için aşağıdaki bağınvlar kullanılır. 44
İdeal Transformatör Bu devrenin 2-2 arasından görülen devrenin Thevenin eşdeğerini bulalım. Bu amaçla bu uçlar açık devre yapılırsa aşağıdaki devre elde edilir. Bu devrenin analizi sonucunda Thevenin eşdeğer devre elde edilir. ise dolayısıyla olur. Sonuçta, elde edilir. 45
İdeal Transformatör Thevenin empedansı bulmak için V S1 kısa devre edildiğinde primerde yalnızca Z 1 empedansı kalır ve açık devre uçlarından aşağıdaki yansıyan Z TH =n 2 Z 1 değeri görülür. Sonuç olarak transistörün primer ucuna bakıldığında aşağıdaki Thevenin eşdeğer devre elde edilir. 46
İdeal Transformatör Yukarıdaki işlemlere benzer şekilde transformatör ve transformatör sekonder devresinin eşdeğeri hesaplanırsa aşağıdaki devre elde edilir. 47
İdeal Transformatör NOT: Transformatörlere DC gerilim uygulanması durumunda sargılarda sabit manye-k akı oluşur. Faraday yasası transformatör sargıları için aşağıdaki gibi yazılabilir. Bilindiği gibi DC akımlar sabit manye-k akı oluştururlar. Yukarıdaki ifadelere göre manye-k akı sabit olduğunda, bir sargıdaki akım nedeniyle karşı sargıda oluşacak gerilim sıbrdır. Bu nedenle transistörler DC akım ve gerilimler için genellikle kullanışlı değillerdir. Ancak AC gerilim ve akım seviyelerinin arvrılıp azalvlmasını kolayca ve verimli şekilde yaparlar. 48