EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme Dr. Özgür Kabak
Çek Tahsilatı Ofisi Örneği Bir Amerikan şirketinin Birleşik Devletlerdeki müşterilerinin ödemelerini gönderdikleri çekler ile topladığını varsayalım. Çekin tanzim edilip postalanması (müşterinin yükümlülüğünü yerine getirmesi) ile çekin şirketin eline geçmesi (paraya dönüştürülmesi) arasında bir zaman olacağı ve şirketin parayı kullanmasının gecikeceği açıktır. Bu yüzden şirket çeşitli şehirlerde çek tahsilat ofisleri açarak çekleri paraya dönüştürmeyi hızlandırmayı ve zaman kaybından dolayı uğrayacağı zararı azaltmayı hedeflemektedir. Şirketin batı, ortabatı, doğu ve güney bölgelerindeki müşterileri günde sırasıyla $70,000, $50,000, $60,000 ve $40,000 lık ödemeyi çekle yapsınlar. Şirket L.A., Chicago, New York, ve/veya Atlanta da çek tahsilat ofisleri açabilir. Bir çek tahsilat ofisini işletmek için yıllık masraf $50,000 dır. Bölgelerden ofislere çeklerin tanzim edilip gönderimi ve paraya çevrilmesi süreleri tabloda verilmiştir.
Çek Tahsilatı Ofisi Örneği Çeklerin paraya çevrilme süresi (gün) ödeme LA Chicago NY Atlanta Batı 70.000$ 2 6 8 8 Ortabatı 50,000$ 6 2 5 5 Doğu 60,000$ 8 5 2 5 Güney 40,000$ 8 5 5 2 Hangi ofisler açılmalıdır? Gönderim zamanı yüzünden oluşacak kayıpları ve ofis masraflarını enazlayacak şekilde bir TP modeli kurunuz. Faiz oranının % 20 olduğunu ve her bölgenin sadece bir şehirdeki ofise çeklerini gönderebileceğini varsayınız.
Ya - ya da (EITHER-OR) kısıtları Verilen eşitsizliklerden en az birinin sağlanması isteniyorsa; f(x 1, x 1,, x n ) 0 g(x 1, x 1,, x n ) 0 Modele aşağıdaki kısıtlar ilave edilir: f(x 1, x 1,, x n ) My g x 1, x 1,, x n M 1 y y = 0 veya 1 4
Ya - ya da kısıtları Örnek Dorian üç tip araç üretmektedir: alt sınıf, orta sınıf ve üst sınıf. Gerekli kaynaklar ve elde edilecek kar tabloda verilmiştir. 6.000 ton çelik ve 60.000 saatlik işçilik mevcuttur. Her araç tipi için üretimin mümkün olabilmesi için en az 1000 adet üretim yapılmalıdır. Dorian ın karını enbüyükleyecek TP modelini kurunuz. 5 Gerekli çelik Gerekli işçilik Alt sınıf Orta sınıf Üst sınıf 1,5 ton 3 ton 5 ton 30 saat 25 saat 40 saat Birim kar ($) 2.000 3.000 4.000
Eğer öyleyse (IF THEN) kısıtları Eğer f(x 1, x 1,, x n ) > 0 öyleyse ise g(x 1, x 1,, x n )0 koşulu da sağlanmak isteniyorsa modele aşağıdaki kısıtlar ilave edilir: g(x 1, x 1,, x n ) My f x 1, x 1,, x n y = 0 veya 1 M 1 y Not: f(x) > değil ise g(x) sağlanabilir veya sağlanmayabilir. 6
Eğer öyleyse kısıtları Örnek Dorian Örneğinde yeni kısıt; eğer üst sınıf araba üretimi yapılırsa diğer araçlardan toplam en fazla 2000 adet üretilmedir. 7
Ya hep Ya hiç kısıtları Gerçek hayatta, bazı değişkenlerin ya tümünün çözümde olması ya da hiç kullanılmaması gibi bir durum olabilir. Bu tarz problemler ya hep ya hiç olarak adlandırılırlar. Böyle durumlarda, yeni, kesikli değişkenler tanımlanmalıdır. ya hep ya hiç değişkenleri x j =0 veya u j şeklindedir Bu tarz x j değişkenler y j =0 veya 1 olacak şekilde, u j *y j olarak değiştirilmelidir.
Ya hep Ya hiç kısıtları Örnek Max 18x 1 +3x 2 +9x 3 Öyle ki 2x 1 +x 2 +7x 3 <150 0<x 1 <60 0<x 2 <60 0<x 3 <60 Burada x 1 değişkeni ya tamamı kullanılacak (=60) ya da hiçbiri kullanılmayacak (=0) ise modeli yediden düzenleyiniz.
Gezgin satıcı sorunu Bir satıcı on adet şehiri birer kez ziyaret edip evine dönecektir. Satıcının yapacağı bu gezide katedeceği toplam uzaklığı enazlayacak rota (şehir sırası) nasıl olmalıdır? sorunu Gezgin Satıcı Sorunu (GSS; Traveling Salesperson Problem TSP) olarak isimlendirilir.
GSS TP formülasyonu N adet şehir olduğunu varsayalım ij için c ij = şehir i den şehir j ye uzaklık ve c ii = M (gerçek uzaklıklara göre çok büyük bir uzaklık) olsun Aynı zamanda x ij aşağıdaki şekilde bir 0-1 değişken olarak tanımlansın: x ij = 1, GSS çözümü şehir i den şehir j ye gitmeyi önersin x ij = 0, aksi takdirde GSS formülasyonu: N N min i=1 j=1 c ij x ij N öyle ki i=1 x ij = 1 her j için N j=1 x ij = 1 her i için u i u j + Nx ij N 1 her ij için; i=2,3,,n; j=2,3,,n Her x ij = 0 veya 1, Her u i > 0
GSS - Örnek ATK-Beyaz üç müşterisinin verdiği siparişlerin dağıtımını gerçekleştirecektir. Tabloda depo ve müşteriler arası mesafeler km. olarak verilmiştir. Depodan çıkan aracın tüm müşterilerin siparişlerini teslim ettikten sonra tekrar depoya dönme süresini en küçükleyecek rotayı bulunmak istenmektedir. Bunun için gerekli TP modelini kurunuz. Depo Müşteri 1 Müşteri 2 Müşteri 3 Depo - 3 9 11 Müşteri 1 2-15 12 Müşteri 2 10 14-9 Müşteri 3 10 12 9 -
Grup kapsama ve ayırma modelleri Çözümün parçası ise 1 değeri alan karar değişkenleri kullanarak; belirli alt kümelere üyeliği sağlayan modeller kurulabilir. Kapsama kısıtları j altkümesinin en az 1 değişkeninin çözümde olmasını gerekli kılar jj x 1 j Paketleme kısıtları j altkümesinin en çok 1 değişkeninin çözümde olmasını gerekli kılar jj x 1 j Ayırma kısıtları j altkümesinin 1 değişkeninin çözümde olmasını gerekli kılar jj x 1 j
Küme kapsama problemi Örnek Bir şehirde itfaiye merkezlerinin yeri gözden geçirilmektedir. Aşağıdaki şekildeki gibi şehrin onbir adet ilçesi vardır. Bir itfaiye merkezi herhangi bir ilçede kurulabilir. Merkez kendi ilçesindeki ve komşu ilçelerdeki yangınlara müdahale edebilir. Amaç merkez sayısını enazlayarak tüm ili yangına karşı koruyacak bir kapsama alanı kurmaktır.
Küme ayırma problemi Bir hava yolu şirketi için mürettebat planlaması yapılmaktadır. 12 uçuş söz konusudur: 101, 109, 203, 204, 211, 212, 305, 308, 310, 402, 406, 407 15 olası mürettebat çizelgesi vardır. En az maliyet ile hangi çizelgelerin kullanılması gerektiğini bulunuz Uyarı: bir uçuş sadece bir kez gerçekleştirilebilir.
Parçalı fonksiyonların modellenmesi Örnek: bir ürünün fiyatı; 0-250 adet arası 2TL/adet 250-500 adet arası 1,5TL/adet 500-100 adet arası 1TL/adet 16
Parçalı fonksiyonların modellenmesi f(x) parçalı fonksiyon olmak üzere; z 1 f b 1 + z 2 f b 2 + z n f b n yazılır Modele aşağıdaki kısıtlar eklenir: 17
Parçalı fonksiyonların modellenmesi - Örnek Euing Gas iki tip benzin üretmektedir (B1, B2). B1 en az %50 petrol 1 den; B2 ise en az %60 petrol 1 den içermelidir. B1 in galonu 12 kuruştan ve B2 nin galonu 14 kuruştan satılmaktadır. Firmanın elinde 500 galon petrol 1 ve 1000 galon petrol 2 vardır. Firma ayrıca, aşağıdaki fiyatlara en fazla 1500 galon petrol 1 satın alabilir: İlk 500 galon: 25 kuruş/galon, Sonraki 500 galon: 20 kuruş/galon, Sonraki 500 galon: 15 kuruş/galon Euing in karını enbüyükleyecek TP modelini kurunuz. 18
Örnek Bir matematiksel modelde tüm koşullar doğrusallığı sağlamaktadır. Yalnızca aşağıdaki dört kısıttan iki kısıtın sağlanması ile ilgili koşul sağlanamamıştır : 5x1+3x2+3x3-x410 2x1+5x2-x3+3x410 x1+3x2+5x3+3x410 3x1-x2+3x3+5x4 5 Bu koşul TP ile nasıl sağlanabilir? 19
Örnek Sunco nun benzin taşımak için beş depodan oluşan bir kamyonu vardır. Depoların kapasiteleri (galon): 2700, 2800, 1100, 1800, 3400. Firma bir müşterisine üç tip benzini taşıması gerekmektedir Tabloda müşterinin talebi, eksik götürme birim maliyeti ve en fazla eksik götürülebilecek miktar verilmiştir. Kamyonun her deposu bir tip benzin taşıyabilir. Sunco nun eksik götürme maliyetini en küçükleyecek şekilde kamyonu nasıl yüklemesi gerektiğini verecek TP modelini kurunuz. 20 Benzin türü Talep Eksik götürme birim maliyeti $ En fazla izin verilen eksik götürme Süper 2900 10 500 Normal 4000 8 500 Kurşunsuz 4900 6 500
Örnek Huntco üç farklı fabrikada domates sosu üretmektedir. Üretilen soslar öncelikle bir depoya gönderilir sonra da müşteriye sevk edilir. Müşterilerin talepleri: 100, 200, 150 ton. Aşağıdaki koşulları sağlayarak Huntco nun talepleri karşılamak için toplam maliyeti en küçükleyecek KTP modelini kurunuz. Depolardan en fazla iki tanesi açılabilir. Depo 1 den müşteri 1 e ürün gönderilirse diğer depolardan müşteri 1 e ürün gönderilmemelidir. Fabrikalardan en az biri tam kapasitesini kullanmalıdır. 21 Kapasite (ton) Sabit maliyet $ Birim Üretim maliyeti $ Taşıma depo 1 $ Taşıma depo 2 $ Taşıma depo 3 $ Fabrika 1 300 35.000 25 8 10 12 Fabrika 2 200 45.000 32 7 5 7 Fabrika 3 300 20.000 55 8 6 5 Kapasite (ton) Sabit maliyet $ Birim depolama maliyeti $ Taşıma Müşt. 1 $ Taşıma Müşt. 2 $ Taşıma Müşt. 3 $ Depo 1 150 30.000 7 40 80 90 Depo 2 250 40.000 4 70 70 60 Depo 3 200 35.000 5 80 30 50
ATK Yayıncılık farklı bölgelerde kitap satışı yapmaktadır. Firmanın iki satış temsilcisi bulunmaktadır ve bunları A-G arası bölgelere görevlendirmek istemektedir (Aşağıdaki şekilde bölgeler verilmiştir.) Bölgelerin potansiyel müşteri sayıları (x1000 adet) şekilde verilmiştir (örneğin B deki müşteri sayısı 29.000 dir). Her satış temsilcisi iki bölgeye atanmalıdır ve bu iki bölge komşu olmalıdır (örneğin bir satış temsilcisi A ve C ye atanabilir, fakat A ve D ye atanamaz). Satış temsilcileri en fazla toplam müşteriye ulaştıracak şekilde nasıl atanmalıdır? 0-1 tamsayılı modeli kurunuz. 22
ATK-Beyaz ın dört yeni ürün üretme planı vardır. Aşağıdaki tabloda ürünleri üretmek için gerekli ilk yatırım maliyetleri ve ürünlerin net kar değerleri verilmiştir. x 1, x 2, x 3, x 4 ürünlerin üretim miktarlarını veren karar değişkenleri olarak tanımlanırsa aşağıdaki koşulların sağlanması istenmektedir: En fazla iki ürün üretilecek Ürün 3 veya ürün 4 ü üretebilmek için ürün 1 veya ürün 2 nin en az birinin üretilmesi gerekmektedir. 5 x 1 +3x 2 +6x 3 +4x 4 6000 ya da 4x 1 +6x 2 +3x 3 +5x 4 6000 olmalıdır. Toplam karı enbüyükleyecek TP modelini kurunuz. Ürün 1 2 3 4 Yatırım 50,000 TL 40,000 TL 70,000 TL 60,000 TL maliyeti Birim kar 70 TL 60 TL 90 TL 80 TL 23
ATK-Box, farklı boyutlarda kutular satmaktadır. Boyutları 17 den 33 e değişen (feet^3) kutuların talepleri aşağıda verilmiştir. Kutuları üretmenin değişken maliyeti (TL) boyutu kadardır (örneğin Kutu 2 nin birim üretim maliyeti 30TL dir). Bir kutu çeşidini üretmenin sabit maliyeti 1000TL dir. Firma isterse bir kutuya olan talebi ondan daha büyük bir kutuyla karşılayabilmektedir (Örneğin Kutu 4 ün talebi Kutu 3, Kutu 2 ve/veya Kutu 1 ile karşılanabilir). Talepleri en az toplam maliyetle (kutu üretme maliyeti + kutu çeşidi üretme sabit maliyeti) karşılamak için TP modeli kurunuz. Kutu 1 Kutu 2 Kutu 3 Kutu 4 Kutu 5 Kutu 6 Kutu 7 Boyut 33 30 26 24 19 18 17 Talep 400 300 500 700 200 400 200 24