EBEKE MODELLERİ. ebeke Yapısına Giriş. Konu 3

Transkript

1 EBEKE MODELLERİ Konu ebeke Yapısına Giriş Elektriksel yapıların bulunduğu şebekeler Ulaşım sistemi Ulaştırma modeli İstasyonlardan oluşan sistem - Televizy zyon şebekesi

2 ebeke Problemi Bir şebeke problemi iki halde açıklanabilir: Düğümlerin oluşturulduğu bir yapı Bunları birbirine bağlayan oklar İncelenen faaliyet, düğümler ve serimler ile ifade edilir ebeke Terminolojisi : Akış İki farklı faaliyeti temsil eden düğüm tek bir ok ile birbirine bağlandığında; söz konusu iki düğüm arasında bir akış oluşur. i X ij Akışının Miktarı U ij Kapasitesi L ij Alt sınırı j

3 ebeke Terminolojisi : Yöneltilmiş Ok / Yöneltilmemiş Ok i Yöneltilmiş ok j Akış i den j ye doğru gerçekleşir i Yöneltilmemiş ok j Akış her iki yöne doğru da gerçekleşebilir j ebeke Terminolojisi: Komşu Düğümler i k j i k

4 ebeke Terminolojisi: Yollar / Bağlantı Düğümleri ebeke Terminolojisi: Döngüler

5 ebeke Terminolojisi: Ağaçlar ebeke Terminolojisi: Yol Ağacı Bulunması Problemi (Spanning Trees)

6 Gezgin satıcı problemi Modeller / Problemler En kısa yol problemi En kısa yol ağacı bulma problemi Maksimum akış problemi Gezgin Satıcı Problemi m adet düğüm bulunur. i düğümünden j düğümüne giderken oluşan birim maliyetlere C ij olarak tanımlanır. Amaç: Hiçbir düğümü iki defa ziyaret etmeksizin ancak tüm düğümlere uğrayarak oluşacak toplam mesafenin minimize edilmesidir.

7 Acil Yönetim Merkezi Ofisler arası mesafe (dakika) Ofis Ofis Ofis Ofis Merkez Ofis Ofis Ofis Problemin ebeke Yapısı Merkez

8 Çözüm Yaklaşımları Tüm muhtemel döngüleri belirleyin ve en düşük toplam mesafeye sahip olanı şeçin m düğümde : (m-)! Muhtemel döngü vardır Simetrik problemlerde ise; m düğümde : (m-)! / muhtemel döngü bulunur Olası Döngüler Döngü Toplam Maliyet H-----H H-----H 9 H-----H H-----H H-----H H-----H H-----H H-----H H-----H H-----H H-----H H-----H Minimum

9 Çözüm Döngüsü Merkez Lineer Problem Formulasyonu X ij : i den j ye gidilirken kullanılan ok sayısı X ij seyahat edilen ok seyahat edilmeyen ok Bu problemin doğası gereği;. Her düğümden çıkan toplam ok sayısı dir. Her düğüme giden toplam ok sayısı dir 9

10 Lineer Problem Formulasyonu Alt rotaların oluşmasını engellemek amacıyla şebeke modeline ilave kısıtların konulması gerekebilir. Örneğin; eğer H---H alt rotasına izin verilmiyorsa söz konusu okun (H-, -, and -H) da aynı anda kullanılmasına izin verilmemelidir. nci düğümde yer alan ev ofisimizi merkez (H), buna ilişkin kısıtımız; X + X + X Merkez Lineer Problem Formulasyonu Eğer ---- şeklindeki alt rotaya izin verilmiyorsa; kısıtımızın alacağı hal: X + X + X + X Merkez

11 Lineer Problem Formulasyonu Tek düğümden oluşan alt rota kısıtları X, X, X, X, X Çift düğümden oluşan alt rota kısıtları X + X, X + X X + X, X + X X + X, X + X X + X, X + X X + X, X + X Lineer Problem Formulasyonu Üç düğümden oluşan alt rota kısıtları X + X + X, X + X + X X + X + X, X + X + X X + X + X, X + X + X X + X + X, X + X + X X + X + X, X + X + X

12 Lineer Problem Formulasyonu Dört düğümden oluşan alt rota kısıtları X + X + X + X X + X + X + X X + X + X + X X + X + X + X X + X + X + X Özel Durumlar: Tekrar Ziyaret Edilen Düğümler Döngü tamamlanmadan önce herhangi bir düğüm tekrar ziyaret edilmek zorunda kalınırsa; Tekrar ziyaret edilen bir şehirden diğer şehire olan en kısa yol bulunur, doğrudan mesafe değeri için en kısa yol yerine yerine konulur, Yeni mesafelere göre Gezgin Satıcı problemi tekrar çözülür.

13 Özel Durumlar n-kişi / Gezgin Satıcı Problemi n kişi m adet düğümü ziyaret eder ancak, iki kişi aynı anda tek düğümü ziyaret edemez. Amacımız aşağıdaki unusurların minimize edilmesidir: toplam seyahat edilen miktar ve/veya seyahat edilen maksimum mesafe ve/veya üstlenilen maliyetler En Kısa Yol Problemi Düğüm den düğüm n e kadar n tane düğüm bulunur. İki yönlü oklar; negatif olmayan mesafeler (d ij ) ile birbirine komşu olan i ve j düğümlerini bağlar. Amaç: Düğüm i düğüm n e minimum toplam mesafeyle bağlayacak yolun bulunmasıdır.

14 PRT Nakliye irketi Genel Müdür; araştırma bölümünden irket bünyesindeki kamyonların istikamet noktalarına en düşük seyahat zamanıyla ulaşmalarını sağlayacak en iyi rotaların tespitini beklemektedir. Nakliye Rotalarına ait ebeke 9 9

15 En Kısa Yol Çözümü Yaklaşımı 9 9 Kalıcı Küme İşlem (Ok) Zaman {} En Kısa Yol Çözümü Yaklaşımı 9 9 Kalıcı Küme Ok Zaman {, }

16 En Kısa Yol Çözümü Yaklaşımı 9 9 Kalıcı Küme Ok Zaman {,, } En Kısa Yol Çözümü Yaklaşımı Kalıcı Küme Ok Zaman {,,, }

17 En Kısa Yol Çözümü Yaklaşımı Kalıcı Küme Ok Zaman {,,,, } En Kısa Yol Çözümü Yaklaşımı Kalıcı Küme Ok Zaman {,,,,, } - - -

18 En Kısa Yol Çözümü Yaklaşımı nci düğümden: Yol Toplam Zaman Düğüm - Düğüm - 9 Düğüm -- Düğüm --- Düğüm -- Düğüm --- En Kısa Yol Çözümü Yaklaşımı. Orijinden doğrudan en kısa yolun bulunduğu düğüm seçilir.. Daha sonra ilk adımdaki gibi herhangi bir düğümden diğerine olan ve kalıcı bir set halini alan en kısa mesafeler bulunur.. Kalıcı düğümler setinde yer alan düğümlere doğrudan bağlayan tüm düğümler belirlenir.. Adım de ifade edilen; doğrudan bağlanmış düğümlerin en kısa oka sahip olanı bulunur.. Tüm düğümler kalıcı kümeye dahil olacak şekilde. ve. adımlar tekrar edilir.

19 Özel Durumlar : Yöne Bağlı Olarak Okların Farklı Değerler Alabilmesi Herhangi iki düğüm arasındaki okun aldığı değerler, okun üzerindeki akışın yönüne bağlı olarak değişebilir. En Kısa Yol Ağacı Problemi n tane düğüm bulunur (n- tane ok) i ve j düğümleri arasındaki mesafeler d ij ile ifade edilir ve oklar iki yönlüdür. Amaç: Tüm düğümleri minimum toplam mesafe ile birbirine bağlayan tüm okların kümesini (yol ağacını) belirlemektedir. 9

20 Metro Kablo TV irketi Kablo TV şirketi gereken hizmeti sunacak yapıda olan ve toplam kablo mesafesini minimize edecek bir kablo şebekesi kuracaktır. Muhtemel Kablo TV ebekesi 9 9

21 Düğüm ve için Yol Ağacı 9 9 Düğüm, ve için Yol Ağacı 9 9

22 Düğüm,, ve için Yol Ağacı 9 9 Düğüm,,, ve için Yol Ağacı 9 9

23 Düğüm,,,, ve için Yol Ağacı 9 9 Düğüm,,,,, ve için Yol Ağacı 9 9

24 Kablo TV ebekesi için En Kısa Yol Ağacı 9 En Kısa Yol Ağacı Çözüm Yaklaşımı. Başlangıç düğümü seçilir.. Yol ağacı oluşturmak için başlangıç düğümüne en yakın düğüm seçilir.. Yol ağacında bulunmayan en kısa mesafeye sahip düğüm seçilir.. Tüm düğümler yol ağacı içerisinde yer alacak şekilde ncü adım tekrarlanır.

25 Maksimum Akış Problemi ebekede akışı sağlayan bir kaynak düğümü ile şebeke akışının yığıldığı bir nihai düğüm bulunur. Böylece n- adet ara düğüm vardır denilebilir. Her düğümde; düğüme gelen akış ile düğümden çıkan akış birbirine eşit olarak kabul edilir. i düğümü ile j düğümünü bağlayan okun akış kapasitesi C ij olup, benzer şekilde j düğümü ile i düğümü arasındaki okun akış kapasitesi C ij dir. Amaç: Herhangi bir ok üzerindeki kapasiteyi aşmadan, düğüm den çıkan ve düğüm n e gelen; mümkün olan toplam maksimum akış miktarının tespitidir. United Kimya irketi Zehirli kimyasal maddelerin güvenli atık alanına deşarj edilmesini sağlayacak tahmini bir süre sağlayarak hangi vanaların açılacağını hangilerinin açılmayacağını ortaya koyan bir plan yapılmaktadır. Boruların Kapasitesi ( lt./dk.) Nakli Yapan Naklin Yapıldığı Silo Kim.Silo Emniyet Silosu Kimyasal Silo Emniyet Silo

26 Problemin Üç Boyutlu (D) Görünümü CD ST Kimyasal Silo Üretim Alanları Emniyet Silosu Silo kapasitesi, lt. ebekenin Tepeden Görünümü (D) Düğüm den düğüm e olan akış kapasitesi * lt/dk. Düğüm den düğüm ye olan akış kapasitesi * lt/dk.

27 --- Nolu Düğümlere Olan Akışlar Nolu Düğümlere Olan Akışlar --- Nolu Düğümlere Olan Akışlar Nolu Düğümlere Olan Akışlar

28 --- Nolu Düğümlere Olan Akışlar Düğüm den düğüm e olan araç akışı * adet Otoyol ebekesinin Tepeden Görünümü (D) Düğüm den düğüm ye olan araç akışı* adet

29 Otoyol ebekesinin Tepeden Görünümü (D) Otoyol ebekesinin Tepeden Görünümü (D) 9

30 Otoyol ebekesinin Tepeden Görünümü (D) Otoyol ebekesinin Tepeden Görünümü (D)

31 Otoyol ebekesinin Tepeden Görünümü (D) Otoyol ebekesinin Tepeden Görünümü (D)

32 Otoyol ebekesinin Tepeden Görünümü (D) Otoyol ebekesinin Tepeden Görünümü (D)

33 Maksimum Akış Çözümü Yaklaşımı. ebekenin başından sonuna kadar olan yollardan bir tanesi rastgele seçilir.. Her düğümdeki kapasitelerde; adım de seçilen yoldaki maksimum akış miktarı çıkartılarak gerekli ayarlama yapılır.. Akışa ters yönlü yol üzerindeki her düğüme maksimum akış miktarı ilave edilir.. Hiç akış kapasitesi olan yol kalmayacak şekilde, ve ncü adımlar terkarlanır. United Kimya Probleminin Lineer Programlama Modeli Nasıl Olmalı

34 United Kimya Probleminin Lineer Programlama Modeli Nasıl Olmalı Düğüm için ; X = X + X + X X - X - X - X = United Kimya Probleminin Lineer Programlama Modeli Nasıl Olmalı Düğüm için ; X = X + X X - X - X =

35 United Kimya Probleminin Lineer Programlama Modeli Nasıl Olmalı Düğüm için ; X = X + X X - X - X = United Kimya Probleminin Lineer Programlama Modeli Nasıl Olmalı Düğüm için ; X + X + X = X X + X + X - X =

36 United Kimya Probleminin Lineer Programlama Modeli Nasıl Olmalı Düğüm için ; X = X X - X = United Kimya Probleminin Lineer Programlama Modeli Nasıl Olmalı Düğüm için ; X + X + X = X X + X + X - X =

37 United Kimya Probleminin Lineer Programlama Modeli Nasıl Olmalı X X X X X X X X X X X İJ ve tamsayı Maksimum Akış / Minimum Kesme Teoremi Maksimum akışın değeri = Minimum kesmedeki kapasitelerin toplamı Minimum kesmedeki tüm okların maksimum akış ile doldurulması gerekir.

38 Mevcut Akışın Üç Boyutlu Görünümü Kimyasal Silo Bu kesmedeki maksimum akış + = Maksimum Akış / Minimum Kesme Teoremi

39 Maksimum Akış / Minimum Kesme Teoremi Bu kesmeki maksimum akış = Maksimum Akış / Minimum Kesme Teoremi Bu kesmedeki maksimum akış + + = 9

40 Özel Durumlar : Çoklu Kaynak ve Çoklu Hedef S 9 K ebeke Modellerileri Ek Bölüm

41 Ulaştırma ebekesi Problemi Şebeke Modellerinin Önemi Birçok işletme problemi şebeke formulasyonu ile çözülür. ebeke problemlerindeki optimal çözümler, sahip oldukları özel matematiksel yapılar nedeniyle tam sayılı olmaktadır. ebeke problemleri, ne kadar büyük çaplı olurlarsa olsunlar inşa edilen bütünleşik algoritmalar ile etkin bir şekilde çözülebilmektedir. Ulaştırma ebekesi Problemi Ulaştırma problemleri, sınırlı arza sahip kaynak nokta/noktalarından mal veya hizmetin talep nokta/noktalarına nakliyesinin Maliyet-Etkin bir yapıda ulaştırılmasını hedeflemektedir.

42 Ulaştırma ebekesi Problemi Problem tanımı m tane kaynak vardır. i kaynağının kapasitesi S i. n tane dağıtım noktası vardır. j noktasındaki talep D j. Amaç : Arz ve talebi karşılayacak şekilde minimum maliyetle ulaştırma gerçekleştirmek. CARLTON PHARMACEUTICALS Carlton Pharmaceuticals ilaç ve tıbbi malzeme arzı gerçekleştirmektedir. irketin tesislerinin bulunduğu yerler : Cleveland, Detroit, Greensboro. Dağıtımın gerçekleştirildiği bölgeler : Boston, Richmond, Atlanta, St. Louis. Carlton Yönetimi mümkün olduğunca minimum maliyetle ulaştırma yapılmasına karar vermiştir.

43 CARLTON ECZACILIK Tİ. Veriler Birim ulaştırma maliyeti, arz ve talep miktarlar Talep Noktası Arz Noktası Boston Richmond Atlanta St. Louis Arz Miktarı Cleveland $ Detroit Greensboro Talep Varsayımlar Birim ulaştırma maliyetleri sabittir. Tüm ulaştırma işlemleri zamanında yapılır. Ulaştırmalar yalnızca kaynak noktaları ile talep noktaları arasındadır. Toplam talep = Toplam Arz CARLTON ECZACILIK İRKETİNE AİT EBEKE YAPISININ GÖSTERİMİ

44 Cleveland S = Kaynaklar Hedef Noktaları D = Boston Richmond D = Detroit S = Atlanta D = Greensboro S = D = St.Louis CARLTON PHARMACEUTICALS Lineer Programlama Modeli LP modelinin yapısı: Min. Toplam Ulaştırma Maliyeti ST [Bir kaynaktan nakledilen miktar] [Kaynaktaki Arz miktarı] [Dağıtım noktasına ulaşan miktar] = [Dağıtım noktasındaki talep] Karar Değişkenleri X ij = i tesisinden j deposuna nakledilecek miktar. Burada ; i= (Cleveland), (Detroit), (Greensboro) j= (Boston), (Richmond), (Atlanta), (St.Louis)

45 Cleveland tan Arz : X+X+X+X = Detroit ten Arz : X+X+X+X = Cleveland S = Detroit S = Greensboro S = A r z K ı s ı t l a r ı Greensboro dan Arz : X+X+X+X = X X X X X X X X X X X X D = Boston Richmond D = D = D = Atlanta St.Louis CARLTON PHARMACEUTICAL Matematiksel Model odelin Tamamlanması Min. X+X+X+ X +X+X+X+X+ X+X+X+X ST Belli bir arz düğümündeki toplam nakliye miktarı, o düğümdeki arzı geçemez Arz Kısıtları X+ X+ X+ X X+ X+ X+ X X+ X+ X+ X Talep Kısıtları X+ X+ X = X+ X+ X = X+ X+ X = = X+ X+ X Belli bir talep düğümündeki toplam nakliye Tüm Xij ler sıfırdan büyüktür. miktarı, o noktadaki talebe eşittir

46 MONTPELIER KAYAK Tİ. Üretim Planlamasında Ulaştırma Modelinin Kullanımı Montpelier şirketi kayaklarını Haziran, Ağustos ve Eylülde üretmeyi planlamaktadır. Üretim kapasitesi ile birim üretim maliyeti aydan aya değişim göstermektedir. irket kayakları, normal çalışma süresinde ve fazla mesai ile üretecektir. Her çeyrekteki stok ihtiyacını karşılayacak üretim seviyelerine ulaşılması gerekmektedir. irket Yönetimi her üç aydaki maliyetlerini minimize edecek üretim düzeyini belirlemeyi istemektedir. Veriler: MONTPELIER KAYAK Tİ. Başlangıç stoğu = çift Gereken nihai stok = çift Gelecek ayda üretim kapasitesi = çift, normal sürede = çift, fazla mesai yapılırsa Her kayağı aylık bulundurma maliyeti Üretim maliyetinin % ü aylık olarak, üretim kapasitesi ve tahmin edilen talep (kayak çiftleri için), birim üretim maliyetleri (aylık) Tahmini Üretim Üretim Maliyetleri Aylar Talep Kapasitesi Normal Süre Fazla Mesai Haziran Ağustos Eylül 9

47 MONTPELIER KAYAK Tİ. Talebin Analizi: Haziran daki net talep = - = çift Başlangıç Stoğu Eldeki stok Ağustos taki net talep = Eylül deki net talep = + = çift Tahmini talep Arzın Analizi: Üretim kapasiteleri arz olarak addedilir. İki farklı arz kümesi vardır: Küme - Normal çalışma zamanı arzı (üretim kapasitesi) Küme Fazla mesai arzı MONTPELIER KAYAK Tİ. Birim Maliyetlerin Analizi Birim maliyet = [Birim üretim maliyeti] + [Aylık birim bulundurma maliyeti][stokta beklediği süre] Örnek: Haziran da normal sürede üretilen bir birim Eylül de satılırsa; Birim Maliyet = + (%)()( ay) = $. Sonraki aylarda üretilen stoğun önceki aylarda tüketilmesi mümkün olamayacağından dolayı ilk aylar için + M büyüklüğünde birim maliyet ataması yapılır.

48 Üretim Kapasitesi Üretim Ay / Period July Haz. R/T N/T Haz. F/T Ağts. N/T Ağts. F/T.. ebeke Gösterimi.9. +M. +M.9 +M +M 9 +M +M Aylık Satış Haz. Ağts. Eyl. Talep Eyl. N/T Eyl. F/T MONTPELIER KAYAK Tİ. Optimal Çözüm Haziran daki üretim kapasitesi ( çift N/T ve çift F/T). Haziran sonuna kadar stok miktarı : - = Çift. Ağustos taki üretim : çift N/T ve çift F/T. İlave stok miktarı + - = çift. Eylül deki üretim : çift (tamamen N/T). çift tedarik talebi olacaktır, böylece; ( + ) + - = çift kayak nakliyeye hazır olacaktır. Stok + Üretim - Talep

49 Özet ebeke Modeli Tanımlama Uygulamalar Gezgin Satıcı Minimum maliyetle herhangi bir düğümü tekrar etmeden tüm düğümleri ziyaret etmek ve başlangıç düğümüne geri dönmek. Çalışan sayısı programı Robotik üretim ekipmanı tasarımı Güvenlik devriyesi programı En Kısa Yol ebekedeki belli bir düğümden hedef düğüme olan toplam mesafeyi minimize eden yolun tespiti. İki şehir arası karayolu yolculuğu Yeni yol yapımı Tesis/yerleşke yerleşimi Ekipmanın yeniden yerleşimi Özet En Kısa Yol Ağacı ebekedeki tüm düğümleri birbirine bağlayan toplam minimum mesafenin bulunması. Dikiş sistemi tasarımı Bilgisayar sistemi yerleşimi Kablo TV şebekesi Kitle transit tarasımı Maksimum Akış Kaynak düğümden nihai düğüme olan toplam muhtemel maksimum akışın herhangi bir okun üzerindeki kapasiteyi aşmadan bulunması. Trafik akış sistemleri Üretim hattı akışları Nakliye sektörü 9

50 Ödev- Bir lojistik şirketi, İzmir den noktaya doğru karayoluyla taşımacılık yapacak olup, şerhirlerarası yollar ve uzaklıklar (km) aşağıdadır. Bu kapsamda, zaman ve maliyet bazında minimum harcama gerçekleştirmek amacıyla; İzmir den diğer merkezlere olan en kısa yolları il bazında tespit ediniz. Ayrıca, konuya ilişkin; İzmir-Kayseri Yol ebekesi ile İzmir Adana Yol ebekesine ait Lineer Programlama modellerini de ifade ediniz. İzmir (A) Bursa (B) Afyon (D) Ankara (E) Kayseri (G) Antalya (C) Adana (F)