Ders 11. Kısıtlamalı Minimizasyon Problemleri Alıştırmalar 11. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay
|
|
|
- Ömer Tekin
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Bölüm 11 Ders 11 Kısıtlamalı Minimizasyon Problemleri 11.1 Alıştırmalar 11 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıdaki problemlerde, dual problemi yazınız; dual problemi simpleks yöntemi ile çözünüz ve başlangıçta verilen problemin çözümünü bulunuz. a) K (x 1, x 2 ) = 9x 1 + 4x 2 fonksiyonunu 2x 1 + x x 1 + x 2 24 kısıtlamaları altında minimize ediniz. Çözüm: Verilen denklem sisteminin ekli katsayılar matrisi ve transpozu aşağıdaki gibidir: 221
2 222 BÖLÜM 11. DERS 11 A = Buradan K (y 1, y 2 ) = 13y 1 434y 2 2y 1 + 3y 2 9 y 1 + 2y 2 4 A T = eşitsizlik sistemi yazılır. Bu ikisinden Asıl problemi ve dual poblemi şöyle ifade edebiliriz: Asıl Problem: Dual Problem: M(x 1, x 2 ) = 9x 1 + 4x 2 2x 1 + 3x 2 9 x 1 + 2x 2 4 K (y 1, y 2 ) = 13y 1 434y 2 2y 1 + 3y 2 9 y 1 + 2y 2 4 Asıl problem belirtilen kısıtlamalar altında minimize edilecek. Dual problem belirtilen kısıtlamalar altında maksimize edilecek. Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz: 2y 1 + 3y 2 + x 1 = 9 y 1 + 2y 2 + x 2 = 4 13y 1 24y 2 + K = 0 Başlangıç simpleks tablosu: y 1 y 2 x 1 x 2 K y 1 y 2 x 1 x 2 K 1/ / / /
3 11.1. ALIŞTIRMALAR y 1 y 2 x 1 x 2 K 1/ / / / buradan çözüm x 1 = 0, x 2 = 13, M = 52 çıkar
4 224 BÖLÜM 11. DERS 11 b) M(x 1, x 2 ) = 10x 1 + 6x 2 fonksiyonunu 3x 1 + 2x x 1 + x 2 8 kısıtlamaları altında minimize ediniz. Çözüm: Verilen denklem sisteminin ekli katsayılar matrisi ve transpozu aşağıdaki gibidir: Buradan A = y 1 + 2y y 1 + y 2 6 A T = eşitsizlik sistemi yazılır. Bu ikisinden asıl problemi ve dual poblemi şöyle ifade edebiliriz: Asıl Problem: Dual Problem: 3x 1 + 2x x 1 + x 2 8 3y 1 + 2y y 1 + y 2 4 Asıl problem belirtilen kısıtlamalar altında minimize edilecek. Dual problem belirtilen kısıtlamalar altında maksimize edilecek. Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz: K (y 1, y 2 ) = 15y 1 + 8y 2 3y 1 + 2y 2 + x 1 = 10 2y 1 + y 2 + x 2 = 6 15y 1 8y 2 + K = 0
5 11.1. ALIŞTIRMALAR Başlangıç simpleks tablosu: y 1 y 2 x 1 x 2 K y 1 y 2 x 1 x 2 K 0 1/2 1 3/ /2 0 1/ /2 0 15/ y 1 y 2 x 1 x 2 K buradan çözüm x 1 = 1, x 2 = 6, M = 46 çıkar
6 226 BÖLÜM 11. DERS 11 c) M(x 1, x 2 ) = 21x x 2 fonksiyonunu 2x 1 + x 2 9 x 1 + 2x 2 12 kısıtlamaları altında minimize ediniz. Çözüm: Verilen denklem sisteminin ekli katsayılar matrisi ve transpozu aşağıdaki gibidir: Buradan A = A T = y 1 + y 2 21 y 1 + 2y 2 12 K (y 1, y 2 = 9y y 2 eşitsizlik sistemi yazılır. Bu ikisinden asıl problemi ve dual poblemi şöyle ifade edebiliriz: Asıl Problem: Dual Problem: 2x 1 + x 2 9 x 1 + 2x y 1 + y 2 21 y 1 + 2y 2 12 Asıl problem belirtilen kısıtlamalar altında minimize edilecek. Dual problem belirtilen kısıtlamalar altında maksimize edilecek. Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz:
7 11.1. ALIŞTIRMALAR K (y 1, y 2 ) = 9y y 2 2y 1 + y 2 + x 1 = 21 2y 1 + 2y 2 + x 2 = 12 9y 1 12y 2 + K = 0 Başlangıç simpleks tablosu: y 1 y 2 x 1 x 2 K y 1 y 2 x 1 x 2 K / / y 1 y 2 x 1 x 2 K 3/ /2 1/2 15 1/ / y 1 y 2 x 1 x 2 K 1 0 2/3 1/ /3 2/ buradan çözüm x 1 = 2, x 2 = 5, M = 102 çıkar
8 228 BÖLÜM 11. DERS 11 ç) M(x 1, x 2 ) = 8x x 2 fonksiyonunu x 1 3x x 1 + x 2 8 kısıtlamaları altında minimize ediniz. Çözüm: Verilen denklem sisteminin ekli katsayılar matrisi ve transpozu aşağıdaki gibidir: Buradan A = A T = y 1 2y 2 8 3y 1 + y 2 10 K (y 1, y 2 = 10y 1 + 8y 2 eşitsizlik sistemi yazılır. Bu ikisinden asıl problemi ve dual poblemi şöyle ifade edebiliriz: Asıl Problem: Dual Problem: x 1 3x 2 9 2x 1 + x 2 8 y 1 2y 2 8 3y 1 + y 2 10 Asıl problem belirtilen kısıtlamalar altında minimize edilecek. Dual problem belirtilen kısıtlamalar altında maksimize edilecek. Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz: K (y 1, y 2 ) = 10y 1 + 8y 2 y 1 2y 2 + x 1 = 21 3y 1 + y 2 + x 2 = 10 10y 1 8y 2 + K = 0
9 11.1. ALIŞTIRMALAR Başlangıç simpleks tablosu: y 1 y 2 x 1 x 2 K y 1 y 2 x 1 x 2 K Pozitif girdi olmadığı için çözüm yoktur.
10 230 BÖLÜM 11. DERS Soru 2 Aşağıdaki problemleri simpleks yöntemi ile çözünüz. a) M(x 1, x 2 ) = 8x 1 + 6x 2 fonksiyonunu x 1 + x 2 5 x 1 2x x 1 + x 2 10 kısıtlamaları altında minimize ediniz. Çözüm: Verilen denklem sisteminin ekli katsayılar matrisi ve transpozu aşağıdaki gibidir: Buradan A = A T = y 1 + y 2 2y 3 8 y 1 2y 2 + y 3 6 K (y 1, y 2 = 5y 1 10y 2 10y 3 eşitsizlik sistemi yazılır. Bu ikisinden asıl problemi ve dual poblemi şöyle ifade edebiliriz: Asıl Problem: Dual Problem: x 1 + x 2 5 x 1 2x x 1 + x 2 10 y 1 + y 2 2y 3 8 y 1 2y 2 + y 3 6 K (y 1, y 2, y 3 ) = 5y 1 10y 2 10y 3 Asıl problem belirtilen kısıtlamalar altında minimize edilecek. Dual problem belirtilen kısıtlamalar altında maksimize edilecek.
11 11.1. ALIŞTIRMALAR Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz: K (y 1, y 2, y 3 ) = 5y 1 10y 2 10y 3 y 1 + y 2 2y 3 + x 1 = 8 y 1 2y 2 + y 3 + x 2 = 6 5y y y 3 + K = 0 Başlangıç simpleks tablosu: y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 K y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 K buradan çözüm x 1 = 0, x 2 = 5, M = 30 çıkar.
12 232 BÖLÜM 11. DERS 11 b) M(x 1, x 2 ) = 10x x 2 fonksiyonunu x 1 5 x 1 + x 2 10 x 1 + 2x 2 12 kısıtlamaları altında minimize ediniz. Çözüm: Verilen denklem sisteminin ekli katsayılar matrisi ve transpozu aşağıdaki gibidir: Buradan A = A T = y 1 + y 2 + y 3 10 y 2 + y 3 13 y 3 0 K (y 1, y 2, y 3 ) = 5y y y 3 eşitsizlik sistemi yazılır. Bu ikisinden asıl problemi ve dual poblemi şöyle ifade edebiliriz: Asıl Problem: Dual Problem: x 1 5 x 1 + x 2 10 x 1 + 2x 2 12 y 1 + y 2 + y 3 10 y 2 + 2y 3 13 K (y 1, y 2, y 3 ) = 5y y y 3 Asıl problem belirtilen kısıtlamalar altında minimize edilecek. Dual problem belirtilen kısıtlamalar altında maksimize edilecek.
13 11.1. ALIŞTIRMALAR Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz: K (y 1, y 2, y 3 ) = 5y 1 10y 2 10y 3 y 1 + y 2 + y 3 + x 1 = 10 y 2 + 2y 3 + x 2 = 13 5y 1 10y 2 10y 3 + K = 0 Başlangıç simpleks tablosu: y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 K İşlemler yapılırsa çözüm : x 1 = 8, x 2 = 2, M = 106 çıkar.
14 234 BÖLÜM 11. DERS 11 c) M(x 1, x 2, x 3 ) = 5x 1 + 7x 2 + 6x 3 fonksiyonunu x 1 + 2x 2 + 2x x 1 + 2x 2 + x 3 8 kısıtlamaları altında minimize ediniz. Çözüm: Verilen denklem sisteminin ekli katsayılar matrisi ve transpozu aşağıdaki gibidir: A = A T = Buradan 2y 1 + 2y 2 5 2y 1 + 2y 2 7 2y 1 + y 2 6 K (y 1, y 2 ) = 14y 1 + 8y 2 eşitsizlik sistemi yazılır. Bu ikisinden Asıl problemi ve dual poblemi şöyle ifade edebiliriz: Asıl Problem: x 1 + 2x 2 + 2x x 1 + 2x 2 + x 3 8 Dual Problem: y 1 + 2y 2 5 2y 1 + 2y 2 7 2y 1 + y 2 6 Asıl problem belirtilen kısıtlamalar altında minimize edilecek. Dual problem belirtilen kısıtlamalar altında maksimize edilecek.
15 11.1. ALIŞTIRMALAR Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz: y 1 + 2y 2 + x 1 = 5 2y 1 + 2y 2 + x 2 = 7 2y 1 + y 2 + x 3 = 6 14y 1 8y 2 + K = 0 Başlangıç simpleks tablosu: / / / / / / / / / / buradan çözüm x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 6, M = 43 çıkar.
16 236 BÖLÜM 11. DERS 11 ç) M(x 1, x 2, x 3 ) = 2x 1 + x 2 + 5x 3 fonksiyonunu x 1 2x 2 + x 3 6 4x 1 + x 2 2x 3 4 x 3 0 kısıtlamaları altında minimize ediniz. Çözüm: Verilen denklem sisteminin ekli katsayılar matrisi ve transpozu aşağıdaki gibidir: Buradan A = y 1 4y 2 2 2y 1 + y 2 1 y 1 2y 2 5 A T = K (y 1, y 2 ) = 6y 1 + 4y 2 eşitsizlik sistemi yazılır. Bu ikisinden Asıl problemi ve dual poblemi şöyle ifade edebiliriz: Asıl Problem: Dual Problem: x 1 2x 2 + x 3 6 4x 1 + x 2 2x 3 4 x 3 0 y 1 4y 2 2 2y 1 + y 2 1 y 1 2y 2 5 K (y 1, y 2 ) = 6y 1 + 4y 2 Asıl problem belirtilen kısıtlamalar altında minimize edilecek. Dual problem belirtilen kısıtlamalar altında maksimize edilecek.
17 11.1. ALIŞTIRMALAR Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz: y 1 4y 2 + x 1 2 2y 1 + y 2 + x 2 1 y 1 2y 2 + x 3 5 6y 1 4y 2 + K = 0 Başlangıç simpleks tablosu: x x x K x x x K x x / x /2 0 1/2 0 3/2 K Sütun negatif olduğundan çözüm yoktur.
18 238 BÖLÜM 11. DERS Soru 3 Bir gıda şirketi İstanbul, İzmir ve Mersin deki fabrikalarında normal ve diyet türü olmak üzere iki çeşit dondurma üretiyor. Her iş saatinde İstanbul daki fabrikada 20 kg normal ve 10 kg diyet, İzmir deki fabrikada 10 kg normal ve 20 kg diyet ve Mersin deki fabrikada 20 kg normal ve 20 kg diyet türü dondurma üretilebilmektedir. Bu fabrikalarda l saatlik gider, sırasıyla, 700 TL, 750 TL ve 900 TL dir. Bu durumda; a) Şirketin bağlantıları gereği, günde normal türden en az 300 kg ve diyet türünden en az 200 kg dondurma üretilmesi gerekiyor ise, bu talebin karşılanması ve toplanı giderin minimum olması için her fabrika günde kaç saat çalışıtırılmalıdır? Minimum gider nedir? Çözüm: İstanbul İzmir Mersin Minimum Normal: N Diyet : D Gider : D Tablo 11.1: Soru 10-3 M(x 1, x 2, x 3 ) = 700x x x 3 20x x x x x x 3 30 x 3 0 Denkleminkatsayılarını sadeleştirebiliriz: 2x 1 + x 2 + 2x 3 30 x 1 + 2x 2 + 2x 3 20 x 3 9 Sistemin ekli katsayılar matrisi ile transpozunu yazalım:
19 11.1. ALIŞTIRMALAR Asıl Problem: 2x 1 + x 2 + 2x 3 30 x 1 + 2x 2 + 2x 3 20 Dual Problem: 2y 1 + y y 1 + 2y y1 2 y 2900 M(y 1, y 2 ) = 30y y 2 Asıl problem belirtilen kısıtlamalar altında minimize edilecek. Dual problem belirtilen kısıtlamalar altında maksimize edilecek. Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz: K (y 1, y 2 ) = 5y 1 10y 2 10y 3 y 1 + y 2 + x 1 = 10 y 2 + x 2 = 13 30y 1 20y 2 + K = 0 Başlangıç simpleks tablosu: x x x K x 1 1 1/2 1/ x 2 0 3/2 1/ x K x / x / x K Çözüm : x 1 = 10, x 2 = 0, x 3 = 5, M = 1500 çıkar. Buna göre; İstanbul daki fabrika 10 saat, İzmir deki fabrika hiç çalışmamalı çalışmalı. Minimum gider: M = olur.
20 240 BÖLÜM 11. DERS 11 b) Şirketin yeni bir bağlantısı sonucu, diyet türü dondurmadan üretilmesi gereken en az miktar da 300 kg a yükseliyor. Bu değişim üretim planım ve minimum gideri nasıl etkiler? Çözüm: M(x 1, x 2, x 3 ) = 700x x x 3 2x 1 + x 2 + 2x 3 30 x 1 + 2x 2 + 2x 3 20 x 3 9 Asıl Problem: 2x 1 + x 2 + 2x 3 30 x 1 + 2x 2 + 2x 3 20 Dual Problem: 2y 1 + y y 1 + 2y y1 2 y 2900 M(y 1, y 2, y 3 ) = 30y y 2 Asıl problem belirtilen kısıtlamalar altında minimize edilecek. Dual problem belirtilen kısıtlamalar altında maksimize edilecek. Sistemin ekli katsayılar matrisi ile transpozunu yazalım: A = A T = Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz: K (y 1, y 2, y 3 ) = 30y y 2 2y 1 + y 2 + x 1 = 700 y 1 + 2y 2 + x 2 = 750 2y 1 + 2y 2 + x 3 = y 1 30y 2 + K = 0 Başlangıç simpleks tablosu:
21 11.1. ALIŞTIRMALAR x x x K x 1 1 1/2 1/ x 2 0 3/2 1/ x K x / x / x K Çözüm : x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 15 için M = çıkar.
22 242 BÖLÜM 11. DERS Soru 4 Ders Bir un fabrikatörü Konya ve Afyon dan buğday satın alıp Ankara ve Aydın daki fabrikalarına taşıyor ve un üretiyor. Konya ve Afyon daki siloların depolama kapasitesi (ton olarak) ve bu şehirlerden Ankara ve Aydın a fon başına taşıma maliyeti (Tl. olarak) ve ayrıca Ankara ve Aydın daki fabrikaların, siparişleri gereği mutlaka işlemeleri gereken buğday miktarı aşağıdaki tabloda verilmiştir. Tasıma maliyeti minimum olacak şekilde bir taşıma programı yapınız. Ankara Aydın silo kapaistesi Konya Afyon Zorunlu miktar Tablo 11.2: Soru11-4 Çözüm: M(x 1, x 2, x 3, x 4 ))220x x x x 4 x 1 + x x 3 + x x 1 + x x 2 + x x 3 0 x 4 0 Eşitsizlik yönlerini aynı kılmak için sistemi aşağıdaki gibi yazabiliriz: x 1 x x 3 x x 1 + x x 2 + x x 3 0 x 4 0
23 11.1. ALIŞTIRMALAR Bu kısıtlar altında M fonksiyonunu minimixe etmeliyiz. Sistemim ekli katsayılar matrisi ve onun transpozu aşağıdaki gibidir: A = A400 T = Dual problemde aylak değişkenler kullanarak şu sistemi yazabiliriz: y 1 + y y 1 + y y 2 + y y 2 + y y 1, y 2, y 3, y 4 0 Bu sisteme aylak değikenleri ekleyerek aşğıdaki sistemi yazabiliriz: y y x 1 = 220 y y 4 + x 2 = y 2 + y x 3 = y y 4 + x 4 = y y 2 400y 3 600y 4 + K = 0 Bunun çözümü için simplex yöntemini uygulayacağız: y 1 y 2 y 3 y 4 x 1 x 2 x 3 x 4 K x x x x K y 1 y 2 y 3 y 4 x 1 x 2 x 3 x 4 K x x x x K
24 244 BÖLÜM 11. DERS 11 y 1 y 2 y 3 y 4 x 1 x 2 x 3 x 4 K x x x x K y 1 y 2 y 3 y 4 x 1 x 2 x 3 x 4 K x x x x K Çözüm: x 1 = 400, x 2 = 100, x 3 = 0, x 4 = 500 için M = olur.
25 11.1. ALIŞTIRMALAR Soru 5 Bir büyük şehrin A, B, C ve D semtlerinden her birinde birer adet lise bulunmaktadır. A ve B semtlerinden her birinde o semtin lisesinin kapasitesinden daha fa/!a; C ve D semtlerinin her birinde ise o semtin lisesinin kapasitesinden daha a/, öğrenci olduğu saptanmıştır. Bu nedenle, A ve B semtlerindeki öğrencilerin bir kısmının C ve D semtlerindeki liselere taşınması gerekmektedir. A semtinde, lisenin kapasitesinden 300 fazla; B semtinde, lisenin kapasitesinden 500 fazla öğrenci vardır. C semtindeki lise, diğer semtlerden en çok 400 öğrenci; D semtindeki lise, diğer senitlerden en çok 500 öğrenci kabul edebilecek durumdadır. Bir öğrencinin bir semtten diğer bir semte taşınmasının»unluk maliyeti aşağıdaki gibi verilmiştir: A semtinden (l semtine ISO Kr A semtinden D semtine 120 Kr, lî semtinden C semtine 130 Kr, B semtinden D semtine 140 Kr. Öğrencilerin liselere dengeli biçimde dağıtılabilmeleri için her semtten diğerine kaç öğrenci taşınmalıdır7 Minimum malivet ne olacaktır?
26 246 BÖLÜM 11. DERS Soru 6 Bir hastanenin diyet uzmanı, bir hastasi için X, Y, Z besinlerini kullanarak bir diyet hazırlamak istiyor. X besininin her ölçeğinde, 20 birim kalsiyum, 10 birim demir, 10 birim A vitamini ve 20 birini kolesterol vardır. Y besininin her ölçeğinde, 10 birim kalsiyum, İÜ birim demir, 15 birim A vitamini ve 24 birim kolesterol vardır. Z- besininin her ölçeğinde, 10 birim kalsiyum, 10 birim demir, 10 birim A vitamini ve 18 birim kolesterol vardır. Hastanın günlük minimum gereksinimi, 300 birim kalsiyum, 200 birim demir ve 240 birim A vitaminidir. Hastanın günlük gereksinimini minimum Kalsiyum Demir A Vitamini Kolestrol X Y Z Min Tablo 11.3: Soru 10-6 M(x 1, x 2, x 3 ) = 20x x x 3 fonksiyonunun 20x x x x x x x x x x 3 0 kısıtları altındaki minimmum değerini bulacağız. Önceki problemlerde yaptığımız gibi, asıl ve dual problemleri yazıp, aylak değişkenleri kulanarak sistemi yeniden yazarsak, katsayılar matrisi ve transpozu aşağıdaki gibi olur: A = A T =
27 11.1. ALIŞTIRMALAR K (y 1, y 2, y 3 ) = 300y y y 3 20y y y y y y y y y 3 18 y 1, y 2, y 3 0 y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 K x x x K y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 K x 1 1 1/2 1/2 1/ x / x / K y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 K x 1 1 1/2 1/2 1/ x 2 0 1/2 1 1/20 1/ /10 x / K y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 K x 1 0 1/4 0 3/40 1/ /10 x 2 0 1/2 1 1/20 1/ /10 x 3 0 5/2 0 1/4 1/ K / y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 K x 1 1 1/4 0 3/40 1/ /10 x 2 0 1/2 1 1/20 1/ /10 x /10 1/5 2/5 0 2/5 K / y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 K x /10 0 1/10 0 1/5 x /5 1/5 0 12/10 x /10 1/5 2/5 0 2/5 K Çözüm: x 1 = 10, x 2 = 8, x 3 = 2 için min değer M = 428 olur.
28 248 BÖLÜM 11. DERS Soru 7 Bir gıda şirketi, Edirne, Kars ve Urfa daki fabrikalarında beyaz peynir ve kaşar peyniri üretiyor. Bir iş saatinde, Edirne deki fabrika 20 kg beyaz peynir ve 20 kg kaşar peyniri; Kars taki fabrika, 10 kg beyaz peynir ve 20 kg kaşar peyniri; Urfa daki fabrika ise 20 kg beyaz peynir ve 10 kg kaşar peyniri üretiyor. Bu fabrikaların bir saatlik çalışma maliyetleri, sırasıyla, 900, 750, 700 TL dir. Şirket, bağlantıları gereği, günde en az 500 kg beyaz peynir ve en az 300 kg kasar peyniri üretmek zorundadır. Şirketin, gerekli liretimi minimum masrafla gerçekleştirebilmesi için her bir fabrika günde kaç saat çalışmalıdır? Çözüm: Beyaz Kaşar Maliyet Edirne Kars Urfa Min Tablo 11.4: Soru 10-7 M(x 1, x 2, x 3 ) = 900x x x 3 fonksiyonunun 20x x x x x x x 3 0 kısıtları altındaki extrem değerlerini arayacağız. Önceki problemlerde yaptığımız gibi, asıl ve dual problemleri yazıp, aylak değişkenleri kulanarak sistemi yeniden yazarsak, katsayılar matrisi ve transpozu aşağıdaki gibi olur: A = A T =
29 11.1. ALIŞTIRMALAR K (y 1, y 2 ) = 500y y 2 20y y y y y y / / / / / / / / Çözüm : x 1 = 50, x 2 = 0, x 3 = 200 için M = 1175 çıkar.
Ders 12. Karma Kısıtlamalı Doğrusal programlama problemleri Alıştırmalar 12. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1...
114 Bölüm 12 Ders 12 Karma Kısıtlamalı Doğrusal programlama problemleri 12.1 Alıştırmalar 12 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1.... 1. Aşağıdaki problemlerde; (i) Aylak, artık ve yapay değişkenleri
Ders 10. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. Simpleks Yöntemine Giriş Alıştırmalar 10
Bölüm 10 Ders 10 Simpleks Yöntemine Giriş 10.1 Alıştırmalar 10 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 197 198 BÖLÜM 10. DERS 10 1. Soru 1 1. Aşağıda verilen simpleks tablolarında temel, temel olmayan,
KISITLI OPTİMİZASYON
KISITLI OPTİMİZASYON SİMPLEKS YÖNTEMİ Simpleks Yöntemi Simpleks yöntemi iteratif bir prosedürü gerektirir. Bu iterasyonlar ile gerçekçi çözümlerin olduğu bölgenin (S) bir köşesinden başlayarak amaç fonksiyonunun
DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY)
DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) 1 DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA İKİLİK (DUALİTE-DUALITY) Doğrusal programlama modelleri olarak adlandırılır. Aynı modelin değişik bir düzende oluşturulmasıyla Dual (İkilik)
Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler
Bölüm 1 Ders 01 Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler 1.1 Çözümler:Alıştırmalar 01 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Aşağıdaki ilk iki denklem sistemini grafik yöntemi ile, sonraki ikisini
Ders 04. Determinantlar,Cramer Kuralı,Leontief girdiçıktı. 4.1 Çözümler:Alıştırmalar 04. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. 1.
Bölüm 4 Ders 04 Determinantlar,Cramer Kuralı,Leontief girdiçıktı Analizi 4. Çözümler:Alıştırmalar 04 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. Soru 2 A 2 0 0. A matrisinin determinantını aşağıdaki üç yolla
Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg)
Simplex ile Çözüm Yöntemi Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Doğrusal Programlama Modeli Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg) 2 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Modelin Standard Hali Maksimizasyon
Simpleks Yönteminde Kullanılan İlave Değişkenler (Eşitliğin yönüne göre):
DP SİMPLEKS ÇÖZÜM Simpleks Yöntemi, amaç fonksiyonunu en büyük (maksimum) veya en küçük (minimum) yapacak en iyi çözüme adım adım yaklaşan bir algoritma (hesaplama yöntemi) dir. Bu nedenle, probleme bir
Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler
Bölüm 1 Ders 01 Doğrusal Denklem Sistemleri ve Matrisler 1.1 Çözümler:Alıştırmalar 01 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1-1 Aşağıdaki ilk iki denklem sistemini grafik yöntemi ile, sonraki
KONU 3: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ İLE İLGİLİ ÖRNEKLER
KONU 3: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA PROBLEMLERİ İLE İLGİLİ ÖRNEKLER Örnek 1: Bir boya fabrikası hem iç hem dış boya üretiyor. Boya üretiminde A ve B olmak üzere iki tip hammadde kullanılıyor. Bir günde A hammaddesinden
4.1. Gölge Fiyat Kavramı
4. Gölge Fiyat Kavramı 4.1. Gölge Fiyat Kavramı Gölge fiyatlar doğrusal programlama modellerinde kısıtlarla açıklanan kaynakların bizim için ne kadar değerli olduklarını gösterirler. Şimdi bir örnek üzerinde
Ders Çözümler: 9.2 Alıştırmalar Prof.Dr.Haydar Eş. 2. Prof.Dr.Timur Karaçay /1a: Kritik noktalar:
100 Bölüm 9 Ders 09 9.1 Çözümler: 1. Prof.Dr.Haydar Eş 2. Prof.Dr.Timur Karaçay 9.2 Alıştırmalar 9 1. 215 /1a: Kritik noktalar: f (x) = 3x 2 + 6x = 0 = x 1 = 0, x 2 = 2 Yerel max değer: ( 2,1) Yerel min
YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1
YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 1.HAFTA Amacı:Karar vericiler işletmelerde sahip oldukları kaynakları; insan gücü makine ve techizat sermaye kullanarak belirli kararlar almak ister. Örneğin; en iyi üretim miktarı
Başlangıç Temel Programının Bilinmemesi Durumu
aşlangıç Temel Programının ilinmemesi Durumu İlgili kısıtlarda şartlar ( ) ise bunlara gevşek (slack) değişkenler eklenerek eşitliklere dönüştürülmektedir. Ancak sınırlayıcı şartlar ( ) veya ( = ) olduğu
ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ
ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTıRMA MODELININ TANıMı Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.
28 C j -Z j /2 0
3.2.6. Dual Problem ve Ekonomik Yorumu Primal Model Z maks. = 4X 1 + 5X 2 (kar, pb/gün) X 1 + 2X 2 10 6X 1 + 6X 2 36 8X 1 + 4X 2 40 (işgücü, saat/gün) (Hammadde1, kg/gün) (Hammadde2, kg/gün) 4 5 0 0 0
Ders 02. Gauss-Jordan Yok Etme Yöntemi. 2.1 Çözümler:Alıştırmalar 02. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. 1. Soru
4 Bölüm 2 Ders 02 Gauss-Jordan Yok Etme Yöntemi 2. Çözümler:Alıştırmalar 02 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay. Soru 3 2 A = 2 4 6 8 matrisi için aşağıda verilen satır işlemlerini yapınız: a) S S
ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ
ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMI Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.
Simpleks Yöntemde Duyarlılık Analizleri
3.2.4. Simpleks Yöntemde Duyarlılık Analizleri Duyarlılık analizinde doğrusal programlama modelinin parametrelerindeki değişikliklerinin optimal çözüm üzerindeki etkileri araştırılmaktadır. Herhangi bir
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z
Matematiksel modellerin elemanları
Matematiksel modellerin elemanları Op#mizasyon ve Doğrusal Programlama Maksimizasyon ve Minimizasyon örnekleri, Doğrusal programlama modeli kurma uygulamaları 6. DERS 1. Karar değişkenleri: Bir karar verme
MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ
SİMPLEKS TABLONUN YORUMU MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ Şu ana kadar verilen bir DP probleminin çözümünü ve çözüm şartlarını inceledik. Eğer orijinal modelin parametrelerinde bazı değişiklikler
4. Gölge Fiyat Kavramı ve Duyarlılık Analizleri:
4. Gölge Fiyat Kavramı ve Duyarlılık Analizleri: 4.1. Gölge Fiyat Kavramı Gölge fiyatlar doğrusal programlama modellerinde kısıtlarla açıklanan kaynakların bizim için ne kadar değerli olduklarını gösterirler.
Yöneylem Araştırması II
Yöneylem Araştırması II Öğr. Gör. Dr. Hakan ÇERÇİOĞLU cercioglu@gazi.edu.tr BÖLÜM I: Doğrusal Programlama Tekrarı Doğrusal Programlama Tanımı Doğrusal Programlama Varsayımları Grafik Çözüm Metodu Simpleks
TAMSAYILI PROGRAMLAMA
TAMSAYILI PROGRAMLAMA Doğrusal programlama problemlerinde sık sık çözümün tamsayı olması gereken durumlar ile karşılaşılır. Örneğin ele alınan problem masa, sandalye, otomobil vb. üretimlerinin optimum
3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem
3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü 3.2.1. Primal Simpleks Yöntem Grafik çözüm yönteminde gördüğümüz gibi optimal çözüm noktası, her zaman uygun çözüm alanının bir köşe noktası ya da uç noktası
Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin
DUYARLILIK ANALİZİ Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin değişmesinin problemin optimal çözümü üzerine etkisini incelemektedir. Oluşturulan modeldeki
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Bu bölümde eşitsizlik kısıtlarına bağlı bir doğrusal olmayan kısıta sahip problemin belirlenen stasyoner noktaları
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I /0 İçerik Matematiksel Modelin Kurulması Grafik Çözüm DP Terminolojisi DP Modelinin Standart Formu DP Varsayımları 2/0 Grafik Çözüm İki değişkenli (X, X2) modellerde kullanılabilir,
DENKLEM SİSTEMLERİ. ifadesinde a sayısı bilinmeyenin katsayısı ve b ise sabit sayıdır.
DENKLEM SİSTEMLERİ 1) BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER: a,bϵ R ve olmak üzere; şeklindeki denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu tür denklemlerde sadece bir bilinmeyen
doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL)
DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik biçiminde verilmesi durumunda amaca
Optimizasyon İçin Kök(Generic) Model (Doğrusal-Olmayan Programlama Modeli)
ISLE 403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS 2 NOTLAR Optimizasyon İçin Kök(Generic) Model (Doğrusal-Olmayan Programlama Modeli) X, karar değişkenlerinin bir vektörü olsun. z, g 1, g 2,...,g m fonksiyonlardır.
KONU 13: GENEL UYGULAMA
KONU : GENEL UYGULAMA Kahve üretimi apan bir şirket anı zamanda cezve ve fincan üretmektedir. Üretilen cezveler ve fincanlar boama kısmında işlem görmekte ve arıca fincanlar kaplanmaktadır. Bir cezve apımı
yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I
yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I i Yayın No : 3197 Eğitim Dizisi : 149 1. Baskı Ocak 2015 İSTANBUL ISBN 978-605 - 333-225 1 Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları
SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA ÖRNEKLERİ
SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODEL KURMA ÖRNEKLERİ Örnek (2-5) Güzel-Giyim konfeksiyon piyasaya ceket, etek ve elbise yapmaktadır. Konfeksiyoncu, ceketi, eteği ve elbiseyi kendisinin A1, A2
Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/
Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/25.12.2016 1. Bir deri firması standart tasarımda el yapımı çanta ve bavul üretmektedir. Firma üretmekte olduğu her çanta başına 400TL, her
Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez
Doğrusal Programlama Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik
Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay
48 Bölüm 5 Ders 05 Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıda verilen soru işaretlerinin yerine gelmesi gereken değerleri
OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2
OPTIMIZASYON.... Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu.... Türev...3.. Bir noktadaki türevin değeri...4.. Maksimum için Birinci Derece Koşulu...4.3. İkinci Derece Koşulu...5.4. Türev Kuralları...5
Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey
Doğrusal Programlamanın Temelleri Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlama Nedir? Bir Doğrusal Programlama Modeli doğrusal kısıtlar altında bir doğrusal ğ fonksiyonun değerini ğ maksimize yada minimize
Duyarlılık Analizi, modelde veri olarak kabul edilmiş parametrelerde meydana gelen değişimlerin optimum çözüme etkisinin incelenmesidir.
ISLE 403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I DERS IV NOTLAR Bağlayıcı Kısıtlar ve Bağlayıcı Olmayan Kısıtlar: Bağlayıcı Kısıtlar, denklemleri optimum çözüm noktasında kesişen kısıtlardır. Bağlayıcı-Olmayan Kısıtlar,
Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının
İkinci dersin notlarında yer alan Gepetto Marangozhanesi örneğini hatırlayınız.
ISLE 403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI DERS 3 NOTLAR DP Modellerinin Standart Biçimde Gösterimi: İkinci dersin notlarında yer alan Gepetto Marangozhanesi örneğini hatırlayınız. Gepetto Marangozhanesi için DP modeli
DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN ÖZEL TÜRLERİ
DOĞRUSAL PROGRAMLAMANIN ÖZEL TÜRLERİ TRANSPORTASYON (TAŞIMA, ULAŞTIRMA) TRANSİT TAŞIMA (TRANSSHIPMENT) ATAMA (TAHSİS) TRANSPORTASYON (TAŞIMA) (ULAŞTIRMA) TRANSPORTASYON Malların birden fazla üretim (kaynak,
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I 1/36 İçerik Optimalliği etkileyen değişimler 2/36 (Optimallik Sonrası Analiz): Eğer orijinal modelin parametrelerinde bazı değişiklikler meydana gelirse optimal çözüm değişecek
EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme. Dr. Özgür Kabak
EM302 Yöneylem Araştırması 2 TP Modelleme Dr. Özgür Kabak Çek Tahsilatı Ofisi Örneği Bir Amerikan şirketinin Birleşik Devletlerdeki müşterilerinin ödemelerini gönderdikleri çekler ile topladığını varsayalım.
EKON 305 Yöneylem Araştırması I. Doğrusal Programlama. Doç. Dr. Murat ATAN 1
EKON 305 Yöneylem Araştırması I Doğrusal Programlama Doç. Dr. Murat ATAN 1 Doğrusal Programlama Karar Verme ve Modeller Algılanan ihtiyaçlara özgü kasıtlı ve düşünceli seçim (Kleindorfer ve diğ., 1993)
Genel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez
Genel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez Çözüm yöntemine geçmeden önce bazı tanımlara ihtiyaç vardır. Dikkate alınan G grafındaki düğümleri 1 den n e kadar numaralandırın. Uzunluğu a(i, j)>0 olarak verilen
Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı
Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Amaç Fonksiyonu Kısıtlar M i 1 N Z j 1 N j 1 a C j x j ij x j B i Karar Değişkenleri x j Pozitiflik Koşulu x j >= 0 Bu formülde kullanılan matematik notasyonların
Standart modellerde öncelikle kısıt denklemleri eşitlik haline çevrilmelidir. Öncelikle ilk kısıta bakalım.
3. Simpleks Yöntem Doğrusal programlama modelleri grafik yöntem dışında simpleks yöntem adı altında özel bir yöntemle çözülebilir. Bu yöntem Simple Matrix kelimlerinin kısaltmasıdır ve bir çeşit matris
DP Model Kurma (Derste Çözülecek Örnekler)
1*. Bir tekstil firması 3 ebatta (S-M-L) gömlek üretmektedir. Her bir gömleğin üretim maliyeti sırasıyla 3 pb., 4 pb. ve 6 pb. dir. Firmanın Türkiye çapındaki bayileri; haftada en az 2000 adet S, 3000
ÜRÜN KATALOĞU www.meritsut.com
ÜRÜN KATALOĞU www.meritsut.com Hakkımızda Kuruluşumuz 1998 yılında Merih Gıda Süt Ürünleri Yem Hayvancılık Ltd. Şti. ünvanıyla 278 kg süt ile üretimine başlamıştır. Mutlak kalite ve lezzet prensibi ile
Total Contribution. Reduced Cost. X1 37,82 480 18.153,85 0 basic 320 512. X2 22,82 320 7.302,56 0 basic 300 M. Slack or
HRS şirketi BRN Endüstrileri ile bir anlaşma yapmış ve her ay BRN ye üretebildiği kadar A ürününden sağlamayı garanti etmiştir. HRS de vasıflı ustalar ve çıraklar çalışmaktadır. Bir usta, bir saatte 3
ĐST 349 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 2006
ĐST 49 Doğrusal Programlama ARA SINAV I 15 Kasım 006 Adı Soyadı:KEY No: 1. Aşağıdaki problemi grafik yöntemle çözünüz. Đkinci kısıt için marjinal değeri belirleyiniz. Maximize Z X 1 + 4 X subject to: X
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.
Optimizasyon mevcut sınırlamalar içerinde kalmak şartıyla optimum(en iyi)
Bölüm 3 Lineer Optimizasyon 3.1 Giriş Optimizasyon mevcut sınırlamalar içerinde kalmak şartıyla optimum(en iyi) çözümü belirleme işlemidir. En iyi çözüm, bir firma için maksimum kâr veya minimum maliyet
Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum
66 Bölüm 6 Ders 06 Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum 6.1 Çözümler:Alıştırmalar 06 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay Ön Bilgi: z = f (x, y) fonksiyonu 3-boyutlu uzayda bir yüzeyin denklemidir.
EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir?
1. 36 x A) [- 6, ] B) [- 6, 6 ] C) [, 36] D) [, 36 ] E) [- 36, ] 5. x + 4x + 4 > A) (, ) B) - } C) D) R E) R - {- } 6. x + 8x + 16. x x 8 < aşağıdalerden hangisidir? A) (- 4, ) B) (-, ) C) (- 4, ) A) {
İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını
OPTİMİZASYON İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize edecek olan üretim miktarının belirlenmesi; bir bireyin toplam
KPSS ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK. Tamamı Çözümlü SORU BANKASI. 50 soruda SORU
KPSS ÖABT 09 İLKÖĞRETİM MATEMATİK Tamamı Çözümlü SORU BANKASI 50 soruda SORU Komisyon ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK TAMAMI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ISBN 978-605--9-6 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu
Manda Ürünlerini Ekonomik Değeri Nasıl Artırılabilir Yrd. Doç. Dr. Zeki GÜRLER
Manda Ürünlerini Ekonomik Değeri Nasıl Artırılabilir Yrd. Doç. Dr. Zeki GÜRLER Manda Ürünleri Süt ve Süt Ürünleri Manda sütü Afyon kaymağı Lüle kaymağı Manda yoğurdu Dondurma Manda tereyağı Manda peyniri
Doğrusal Denklem Sistemlerini Cebirsel Yöntemlerle Çözme. 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira
2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira 1 16 soruluk bir testte 5 ve 10 puanlık sorular bulunmaktadır. Soruların tamamı doğru cevaplandığında 100 puan alındığına göre testte
Çözümlemeleri" adlı yüksek lisans tezini başarıyla tamamlayarak 2001'de mezun oldu.
Dersi Veren Öğretim Üyesi: Doç. Dr. Mehmet KORKMAZ Özgeçmişi Mehmet KORKMAZ, 1975 yılında Malatya da doğdu. İlkokul, ortaokul ve liseyi memleketi olan Isparta da tamamladı. 1996 yılında İ.Ü. Orman Fakültesi,
KONU 8: SİMPLEKS TABLODA KARŞILAŞILAN BAZI DURUMLAR - II 8.1. İki Evreli Yöntem Standart biçime dönüştürülmüş min /max Z cx (8.1)
KONU 8: SİMPLEKS ABLODA KARŞILAŞILAN BAZI DURUMLAR - II 8.. İki Evreli Yöntem Standart biçime dönüştürülmüş min /max Z cx AX b X (8.) biçiminde tanımlı d.p.p. nin en ii çözüm değerinin elde edilmesinde,
DEPO TASARIMI. Mehmet TANYAŞ
DEPO TASARIMI Mehmet TANYAŞ Hiyerarşik Depo Tasarımı Hiyerarşik depo tasarımı metodolojisinde; Depo tasarımı problemleri stratejik, taktik ve operasyonel olarak 3 hiyerarşik seviyede ele alınmıştır. Her
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
Diyabette Beslenme. Diyabet
Diyabette Beslenme Diyabet BR.HLİ.044 Diyabet Hastası Nasıl Beslenmeli? Halk arasında şeker hastalığı olarak adlandırılan diyabet, düzenli beslenme programı gerektirir. Düzenli ve bilinçli bir beslenme
1. Açık Bir Ekonomide Denge Çıktı (Gelir)
IKTI 2 Mayıs 24 DERS NOTU 5 TOPLAM HARCAMALAR VE DENGE ÇIKTI (3) Dersin içeriği:. AÇIK BİR EKONOMİDE DENGE ÇIKTI (GELİR)... A. DENGE İÇİN SIZINTILAR/ENJEKSİYONLAR YAKLAŞIMI... 5 B. DEVLET HARCAMALARI ÇARPANI...
IKT Kasım, 2008 Gazi Üniversitesi, İktisat Bölümü. DERS NOTU 5 (Bölüm 7-8) ÜRETİCİ TEORİSİ
DERS NOTU 5 (Bölüm 7-8) ÜRETİCİ TEORİSİ Bugünkü ders planı: 1. Kârını Maksimize Eden Firma Davranışı...1 2. Üretim Fonksiyonu ve Üretici Dengesi...5 3. Maliyeti Minimize Eden Denge Koşulu...15 4. Maliyet
HUBUBAT HUBUBAT. Toplam HUBUBAT MAMÜLLERİ T.C. KOZAN TİCARET BORSASI AYLIK BORSA BÜLTENİ. - 30/09/2010 Şube Adı: MERKEZ.
HUBUBAT ARPA ARPA YEMLİK 01/0/2010-30/0/2010 Sayfa: 1-6 ARPA YERLİ 2010 MTS 0.32 0.3 0.375 578,50.00 KG 217,61.30 43 ARPA YERLİ 2010 TTS 0.52 0.52 0.5200 14,350.00 KG 7,46 1 ARPA YEMLİK ı: 225,081.30 44
DOĞRUSAL PROGRAMLAMA TEKNİĞİ İLE KÖMÜR DAĞITIM OPTİMİZASYONU COAL DISTRIBUTION OPTIMIZATION BY UTILIZING LINEAR PROGRAMMING
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Müh.Mim.Fak.Dergisi C.XX, S.1, 2007 Eng&Arch.Fac. Eskişehir Osmangazi University, Vol..XX, No:1, 2007 Makalenin Geliş Tarihi : 17.02.2006 Makalenin Kabul Tarihi : 16.11.2006
DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI
DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI PROJE ADI: TÜRKİYE DEKİ GELECEKTEKİ DOKTOR İHTİYACINI YÖNEYLEM ARASTIRMASI İLE BELİRLEMEK MEV KOLEJİ BASINKÖY OKULLARI
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER I. ATAMA PROBLEMLERİ PROBLEM 1. Bir isletmenin en kısa sürede tamamlamak istediği 5 işi ve bu işlerin yapımında kullandığı 5 makinesi vardır. Aşağıdaki
c
L ıneer Denklemler ın Tamsayı Çözümler ı Ol ımp ıyat Çalışma Kağıdı c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com Özellikle Bilgisayar Olimpiyatları sınavlarına hazırlanan öğrenci arkadaşların
Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.
Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri
SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı
Fen Bilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği Anabilim Dalı ENM53 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı Hazırlayan: Doç. Dr. Nil ARAS, 6 AÇIKLAMA Bu sununun
BÖLÜM 3 SOĞUTMA YÜKÜ HESAPLAMALARI
BÖLÜM 3 SOĞUTMA YÜKÜ HESAPLAMALARI Bir soğutma tesisinin yapılandırılmasında ilk iş tesisin soğutma gereksiniminin hesaplanmasıdır. Bu nedenle, soğuk kayıplarının ya da ısı kazançlarının iyi belirlenmesi
Ege Üniversitesi Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü Kontrol Sistemleri II Dersi
1) Giriş Ege Üniversitesi Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü Kontrol Sistemleri II Dersi Pendulum Deneyi.../../2015 Bu deneyde amaç Linear Quadratic Regulator (LQR) ile döner ters sarkaç (rotary inverted
a2 b3 cij: birim başına ulaşım maliyeti xij: taşıma miktarı
Ulaştırma Modelleri Ulaştırma modeli Ulaştırma modeli doğrusal programlama modellerinin özel bir türüdür. Modelin amacı bir işletmenin belirli kapasitedeki üretim merkezlerinden, belirli talebi olan tüketim
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik (Eşitlik Kısıtlı Türevli Yöntem) Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde
CALEFFI. Termal, hidrolik ve kullanım suyu sistemleri için emniyet tahliye vanaları serileri 01253/14 TR.
Termal, hidrolik ve kullanım suyu sistemleri için emniyet tahliye vanaları 311-312-313-314-513-514 serileri REDITED LEFFI 013/14 TR ISO 9001 FM 21654 ISO 9001 No. 0003 Genel 311, 312, 313, 314, 513 ve
Diyet Önerileri ve Etkisi
Akılcı Hipertansiyon Tedavisi Diyet Önerileri ve Etkisi Dr. Soner Duman Ege Üniversitesi Tıp Fakültesi İç ç Hastalıkları Anabilim Dalı 15. Ulusal Hipertansiyon ve Böbrek Hastalıkları Kongresi, 24-26 Nisan
Doğrusal Programlamada Grafik Çözüm
Doğrusal Programlamada Grafik Çözüm doğrusal programlama PROBLEMİN ÇÖZÜLMESİ (OPTİMUM ÇÖZÜM) Farklı yöntemlerle çözülebilir Grafik çözüm (değişken sayısı 2 veya 3 olabilir) Simpleks çözüm Bilgisayar yazılımlarıyla
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Lineer Programlama. Doğrusal terimi, hem amaç hem de kısıtları temsil eden matematiksel fonksiyonların doğrusal olduğunu gösterir.
LİNEER PROGRAMLAMA Giriş Uygulamada karşılaşılan birçok optimizasyon problemi kısıtlar içerir. Yani optimizasyon probleminde amaç fonksiyonuna ilave olarak çözümü kısıtlayıcı ek denklemler mevcuttur. Bu
(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
Yöneylem Araştırması III
Yöneylem Araştırması III Doç. Dr. Hakan ÇERÇİOĞLU cercioglu@gazi.edu.tr Yöneylem Araştırması III 1 BÖLÜM I: Hedef Programlama HEDEF PROGRAMLAMAYA GİRİŞ ÖNCELİKSİZ HEDEF PROGRAMLAMA ÖNCELİKLİ HEDEF PROGRAMLAMA
EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak
EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil
NÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Lineer Programlama. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP Lineer Programlama Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 7 7! Lineer Programlama 1 / 32 Simpleks Algoritmas Standart teknikler anlam
1. Açık Bir Ekonomide Denge Çıktı (Gelir)
DERS NOTU 4 TOPLAM HARCAMALAR VE DENGE ÇIKTI (3) Dersin içeriği:. AÇIK BİR EKONOMİDE DENGE ÇIKTI (GELİR)... A. DENGE İÇİN SIZINTILAR/ENJEKSİYONLAR YAKLAŞIMI... 5 B. DEVLET HARCAMALARI ÇARPANI... 7 C. DIŞ
EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak
EM302 Yöneylem Araştırması 2 Dr. Özgür Kabak TP Çözümü TP problemlerinin çözümü için başlıca iki yaklaşım vardır kesme düzlemleri (cutting planes) dal sınır (branch and bound) tüm yaklaşımlar tekrarlı
eğim Örnek: Koordinat sisteminde bulunan AB doğru parçasının
eğim Doğrunun eğimi Eğim konusunu koordinat sistemine ve doğrunun eğimine taşımadan önce kareli zemindeki doğru parçalarının eğimini bulmaya çalışalım. Koordinat sisteminde bulunan AB doğru parçasının
Zeki Optimizasyon Teknikleri
Zeki Optimizasyon Teknikleri Ara sınav - 25% Ödev (Haftalık) - 10% Ödev Sunumu (Haftalık) - 5% Final (Proje Sunumu) - 60% - Dönem sonuna kadar bir optimizasyon tekniğiyle uygulama geliştirilecek (Örn:
Lineer Denklem Sistemleri
Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin
DGS TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI - 1 SAYISAL BÖLÜM ÇÖZÜMLERİ
DGS TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI - SAYISAL BÖLÜM ÇÖZÜMLERİ Sınavın bu bölümünden alacağınız standart puan, Sayısal DGS Puanınızın (DGS-SAY) hesaplanmasında ; Eşit Ağırlıklı DGS Puanınızın (DGS-EA) hesaplanmasında,8;
Olympos Optik Dağıtım Çatısı
Olympos ODF Sistemi CAN-ODF-900 Çek-Çıkar (Pull-Out) Tip Yüksek Kapasiteli Optik Dağıtım Çatısı Genel Bakış CAN-ODF-900, mümkün olan en yüksek fiber sonlandırma kapasitesi ve üstün kablo yönetimi gibi
1. Açık Bir Ekonomide Denge Çıktı (Gelir)
IKTI 02 20 Mart, 202 DERS NOTU 04 TOPLAM HARCAMALAR VE DENGE ÇIKTI - III Bugünki dersin içeriği:. AÇIK BİR EKONOMİDE DENGE ÇIKTI (GELİR)... A. DENGE İÇİN SIZINTILAR/ENJEKSİYONLAR YAKLAŞIMI... 5 B. DEVLET