7 DARBE 7.1 GİRİŞ Darbeli yükleme genelde dinamik yükleme olarak adlandırılsa bile b bazen ani (sudden) n), şok (shock) ve kısa zamanda veya aralıklı (impulsive) yükleme olarak ta adlandırılır. Bu tür t yüklemelere, arabaa kazası, kötü yolda araba sürerken oluşan sarsıntılar, binaları anidenn yıkmak, deprem etkisi, elimizden düşen bir şeyin başka bir şeyee çarpması gibi örnekler verilebilir. Darbe yüklemesinii daha iyi anlamak için üçe ayırabiliriz. 1) köprüyü geçmekte olan aracın oluşturduğu sabit değerdeki yüklerin hızlıı hareketi, 2) patlama ya y da silindirde oluşan yanma sonucundaki kuvvetler gibi ani uygulanann kuvvet, 3) kazık çakma makinesinde (pile driver), araba kazasındaki gibi direk darbe kuvvetleri. Şekil 7.1 darbe yüklemesine sadece bir örnek olarak verilmiştir. Şekil 7.1a da m kütlesi k sabitine sahip yayın üzerine değmekte ve hızla serbest bırakılması ile amortisör (dashpot) sürtünmesi sayesindee kütlenin ağırlığı (mg)) aniden yaya uygulanmamaktadır. Şekil 7.1b de de amortisörr olmadığından kütlenin serbest bırakılması ağırlığın (mg) oluşturduğu kuvvetin aniden uygulanmasını sağlar. Şekil 7. 1c de ise, sadece ağırlık kuvveti aniden uygulanmayıp birde kütlenin kinetik k enerjisi yaya uygulanır. Şekil 7.1 m Kütlesininn Serbest Bırakılmasıyla Oluşan Üç Çeşit Darbe Yüklemesi Şekil 7. 1a da amortisör olmadığını kabul ederek, yükün çok yavaş uygulanması durumunda, yük statik kabul edilebilir mi diye düşünülebilir. Bu durumda statik yükleme ile darbe yüklemesi şöyle belirlenebilir.. Yükü uygulamak için gerekli zaman amortisör olmaksızın yay üzerindeki kütlenin titreşiminin doğal periyodu ile karşılaştırılır. Normal titreşim sistemlerinde periyot,,, aşağıdaki gibi tanımlanır. Burada kütle, m, birimi kğ veya lb,s 2 /inç ve yay katsayısı, k, birimi ise N/m veya lb/ /inç dir. 2/ / Eğer yükün uygulama süresi periyodun 3 katı ya da daha fazlaa ise, yük dinamik etkisi ihmal edilerek statik olarak kabul edilebilir. Eğer yük uygulama zamanı periyodun yarısı kadar ise, yük kesinlikle darbe yüküdür. Her ikisi arası belirsizz bölge olarak düşünülebilir. Bununla ilgili durum tablo 7.1 de verilmiştir.
Tablo 7.1 Yükleme Tipleri Malzemelerin mukavemeti yükün uygulama hızıyla değişmekte dir. Genelde, bu durum iyi bir özellik olup, akma ve dayanma mukavemetlerini her ikisi de şekil 7.2 de görüldüğü gibi yüklemee hızıyla artırılabilir. Şekil 7.2 Oda Sıcaklığındakii Çeliğin Uzama Oranının Çekme Özellikleri Üzerindeki Etkisi Mühendislikte darbe problemlerinin teorik analizi, genelde yük uygulamasının ve uzama oluşturmasının, zaman oranının yaklaşık olarak bulunmasıdır. Bu B bazen malzemenin statik s mukavemet değerleriyle birlikte, gerilme darbe faktörünün bulunmasında yön gösterir. Eğer deneye dayalı iyi değerler varsa, bu yöntem iyi sonuçlar verir. Mesela otomobilde süspansiyon sistemini tasarlarken, darbe faktörü olarak 4 kullanılabilir. Yine de tasarım mühendisi darbeninn ne olduğunu iyi anlamak zorundadır. 7.2 DOĞRUSAL VE EĞİLME DARBESİNİNN SEBEP OLDUĞU O GERİLME VE YER DEĞİŞTİRME Şekil 7. 3 ideal olarak serbest düşen bir ağırlığın yapıyı etkilemesini göstermektedir. Şekil 7.3 den denklemler elde edilirken şu kabullerr yapılır. 1) yayın kütlesi ihmal edilir, 2) kütlenin kendi içindeki yer değiştirmesi ihmal edilir ve 3) sönümleme ihmal edilir. Bu kabullerr bazı önemler içermektedir.
1. Birinci kabule göre, dinamik ve statik yer değiştirme eğrileri aynı yük için aynıdır. Darbe faktörü (impactt factor) ile e çarpılır. Dinamik yer değiştirme d eğrisinde daha yüksek yerel uzama noktaları var olup, bunlar kaçınılmaz olarak statik eğrisindekinden daha fazladır. 2. Kütlenin kendisinde de biraz yer değiştirme oluşur. Bu durumda d enerjinin bir kısmı bu yer değiştirmeye harcandığından, hesaplanann yer değiştirme olması ı gerekendenn biraz daha az olur. 3. Herhangi gerçek durumda bir miktar sönümleme olur. Bu B sönümleme nedeniyle, gerçekte hesaplanan gerilmelerdenn ve yer değiştirmelerden çok daha azıyla karşılaşılır. Şekil 7.3 Düşen Bir Ağırlık Tarafından Elastik Yapıyaa Uygulanan Darbe Yükü. a) Başlangıç Durumu, b) Maksimumm Yer Değiştirme Durumu ve c) ) Kuvvet-Yer Değiştirme-Enerji İlişkisi Şekil 7. 3 de görüldüğü gibi, ağırlık, W, belli bir mesafeden serbestçe düşüpp katsayısı, k, olan yaya çarpmakta olup, yay bu çarpışmaya elastik olarak cevap vermektedir. Buna çarpışmaya karşılık oluşan elastik yer değiştirme,, kadardır. ise eşdeğerr statik kuvvet olup, toplam yer değiştirmesini oluşturan kuvvete eşittir.. Statik yer değiştirme,, ise sistem durağan hale geldiğinde oluşan yer değiştirmedir ve / eşittir. Düşen kütlenin potansiyel enerjisi, yay tarafından sönümlenir. 1 2 ½ yükün yay tarafından yavaşça sönümlenmesinden kaynaklanmaktadır. (üçgenin alanı). Tanımlamadan; Denklem c yi denklem b de yerine yazarsak;
1 2 Denklem d ikinci dereceden denklem olup, için çözüm yapılırsa; 11 2 7.1 Denklem c yi denklem 7.1 de yerine yazarsak; 11 2 7.2 Burada yayın yüke karşılık elastik ve orantılı olarak tepki gösterdiği düşünülmekte olup, denklem 7.1 ve 7.2 deki parantez içindeki ifadeler darbe faktörü (impact factor) olarak adlandırılır. Bu faktör, ağırlığın yaydan (yapıdan) yüksekliğinin ve ağırlığın oluşturduğu statik yer değiştirmenin bir fonksiyonudur. Yukarıda yazılan denklem 7.1 ve 7.2 darbe hızının, v (m/s veya inç/s), ve statik yer değiştirmenin fonksiyonu olarak da ifade edilebilir. Buna göre; Denklem e denklem 7.1 ve 7.2 de yerine konursa; 2 /2 11 7.1 Denklem c yi denklem 7.1 de yerine yazarsak; 11 7.2 Denklem 7.1, 7.2, 7.1a ve 7.2a dan görüldüğü üzere, eğer yükseklik, h, sıfır olur ise, hız, v, sıfır olur. Bu duruma ani darbe (sudden impact) durumu denir ve darbe faktörü 2 olarak hesaplanır. Bu durum tasarım mühendisi için temel oluşturur ve darbe durumunda emniyet katsayısını iki katına çıkarmak gerektiğini ifade eder. Bazı durumlarda ise, yapıda (yayda) oluşan yer değiştirme, ağırlığın düşme yüksekliği ile karşılaştırıldığında çok çok azdır ( ). Bu durumda 7.1, 7.2, 7.1a ve 7.2a denklemleri aşağıdaki şekilde basitleştirilebilirler. 2/ 2 7.3
2/ 2 7.4 7.3 7.4 Şu ana kadar olan denklemlerde herhangii bir ağırlığın belli bir yükseklikteny n düşmesi sonucundaki etkiler göz önünde bulundurulmuştur. Eğer sistem yatay bir durumda ise (h = 0) ve kütle belli bir hızla yapıya çarpıyorsa,, denklemler pozisyondan bağımsız olarak aşağıdaki hale gelirler. / Kinetik enerji,, 1 2, 2 Denklem f ve g denklem 7.3a ve 7.3b de yerine yazılır ise, 2 2 7.3 7.4 7.2.1 DÜZGÜN DARBE ETKİSİNDEKİ DÜZ ÇUBUKTA A ÇEKME VE BASMA Şekil 7.4 Çekme Darbesi Doğrusal darbenin düzgün bir çubukta oluşturduğu çekme ve basma yüklemesi önemli bir durumdur. Çekme durumu şekil 7.4a da gösterilmiştir. Çekme durumuna d örnek olarak cıvata
verilebilir. Eğer darbe kuvveti konsantrik (eş merkezli) olarak uygulanıyor ise ve gerilme konsantrasyonu ihmal ediliyor ise, aşağıdaki denklemler yazılabilir. Tanımlamalardan; / / Burada, A çubuğun kesit alanı, L, çubuğun boyu ve E, çubuk malzemesinin elastisite modülü. Denklem h ve i denklem 7.4b de yerine yazılır ve gerekli işlemler yapılırsa, 2 2 7.5 Burada, V, çubuğun hacmidir. Denklem 7.5 den görüldüğü gibi çubukta oluşan gerilme çubuğun boyuna (uzun veya kısa boylu) ya da kesit alanına (büyük veya küçük çaplı) bağlı olmayıp, direk olarak çubuğun hacmi ile ters orantılıdır. 2 7.5 Denklem 7.5a çubuğun darbe enerji kapasitesinin (impact enerji capasity) elastisite modülünün, gerilmenin karesinin ve çubuğun hacminin fonksiyonu olduğunu göstermektedir. Bilinmesi gereken, denklem 7.5 ve 7.5a dan elde edilen gerilmenin en büyük gerilmeden daha düşük ve hesaplanan darbe enerji kapasitesinin ise, gerçeğinden daha büyük olduğudur. Bunun iki sebebi vardır. 1) Gerilme konsantrasyonu ve darbe yüzeyindeki düzgün olmayan yükleme nedeniyle çubuk boyunca gerilme düzgün değildir. 2) Darbeye uğrayan çubuğunda kütlesi mevcuttur. Problem 1: Şekil 7.4 de gösterilen iki çubuk çekme darbe yüküne maruz kalmaktadır. Her iki durumdaki darbe enerji kapasitesini karşılaştırınız. (gerilme konsantrasyonunu ihmal et ve dayanma limiti olarak S y alınabilir). Verilenler: Şekilde İstenenler: Darbe enerji kapasitesini karşılaştırınız. Kabuller ve Çözüm: 1. Çubukların kütleleri ihmal ediliyor 2. Darbeyi yapan ve darbeye uğrayan parçadaki yer değiştirmeler ihmal ediliyor. 3. Sürtünme sönümlemesi ihmal ediliyor. 4. Darbe anında her bir çubuk elastik bölgede kalıyor. 5. Darbe yükü konsantrik olarak uygulanıyor. 6. Gerilme konsantrasyonu ihmal ediliyor. Denklem 7.5a dan şekil 7.4a daki çubuğun darbe enerji kapasitesi;
2 ;, ö; 2 Şekil 7.4b deki çubuğun enerji kapasitesi, Buradaa d çapında olan bölgenin hacmi şekil ş 7.4a nın V/2 sı kadar olup,, 2d çapındaki kısmın hacmi ise, şekil 7.4a nınn 2V kadardır. /2 2 1 2 Şekil 7.4b deki çubuğun üst kısmının kesit alanı alt kısmın 4 katı olduğundan, üst kısımdaki gerilmede 4 kat azalır. Buna göre; 4 ; ö /4 2 1 2 8 Şekil 7.4b deki toplam enerji kapasitesi olup bu değer d Şekil 7.4a da kinin sadece 5/8 i (sekizde beşi) kadardır. Problem 2: Şekil 7.5 de kütle h yüksekliğinden sabit metal üzerine serbest düşme ile düşmektedir. Verilen üç değişik malzemenin enerji sönümleme kapasitesi nedir? Şekill 7.5 Basma Durumunda Darbee Kuvveti Verilenler: Şekilde İstenenler: Her bir metal için i enerji kapasitesi
Kabuller ve Çözüm: 1. Sabit malzemenin kütlesi ihmal ediliyor. 2. Darbeyi yapan ve darbeye uğrayan parçadaki yerr değiştirmeler ihmal ediliyor. 3. Sönümleme ihmal ediliyor. 4. Darbe anında her bir çubukk elastik bölgede kalıyor. 5. Darbe yükü düzgün olarakk uygulanıyor. Şekil 7. 3 den yutulan elastik yer değiştirme enerjisi, veya kuvvet-yer değiştirme alanı, olarak ifade edildi. Elastik sınırda; / 1 2 2 2 Bu denklem şüphesiz denklem 7.5a ile ilgilidir. ş Ç İç: Ç İç: İç: 2 207 2207000 0.10 5 2 828 2207000 1.656 2 2.07 21,034 2.07 Hacim her durum için birim alınırsa, görüldüğü gibi yaklaşık olarak sert çelik yumuşağın 16 katı ve lastik 20 katı enerji yutabilir. Problem 3: Şekil 7.6 da görülen odun kalas her iki ucundan yayy ile sabitleştirilmiş ve eğilme darbesiyle yüklenmektedir. Kalasta oluşan maksimumm yer değiştirmeyi ve gerilmeyi bulunuz. Kalas ve yay kütleleri ihmal edilecektir. E = 6900 N/mm 2, Kırılma gerilmesi = 42 N/mm 2 Şekil 7.6 Yayla Desteklenen Sistemde Eğilme E Etkisi
Verilenler: Şekilde İstenenler:?? Kabuller ve Çözüm: 1. Darbe kuvveti kalasın ortasına düzgün olarak etki etmektedir. 2. Kalas ve yayalar elastik bölgede kalmaktadır. Kalastaki ve yayalardaki statik yer değiştirme. ;, 48 12 2 12 50100 12 48 4501500 4869004166666. 2 450 218. 1.1 12.5. Darbe faktörü, denklem 7.1 veya 7.2 deki parantez içindeki terim olarak ifade edilmişti. öü 1 1 2 11 2300 öü. 13.6 ğş öü ğş ğş 7.7213.6 ğş 7.721.1. 4 ;, 4166666 50 11 2 7.72 4507.72 4 34741500. / 483333 Kırılma için gerekli gerilmenin altında olduğundan sistem bu yükleme için uygundur.
7.3 BURULMA DARBESİNİN SEBEP OLDUĞU GERİLME VE YER DEĞİŞTİRME Bir önceki bölümde yapılan tüm açıklamalar ve analizler burada da geçerli olup. Burulma darbesi denklemleri için semboller aşağıda verilmiştir. : Burulma (rad) : Eşdeğer statik moment (Nm veya lbin) : Atalet momenti (Ns 2 m veya lbs 2 in) : Yay sabiti (Nm/rad veya lbin/rad) : Darbe hızı (rad/s) : Kinetik enerji (Nm veya lbin) Burada denklem 7.3b ve 7.4 b şu şekilde ifade edilir. 2 7.3 2 7.4 d dairesel çaplı, kesit alanı dolu bir milin (çubuğa) burulma darbesinin özel bir durumu için tablo 5.1 den; 32 İçi dolu bir barın yüzeyinde oluşan burulma gerilmesi 16/ ile ifade edilmiştir. Bu denklem burada şu hali almaktadır. 16, /4 Denklem i, j ve k denklem 7.4bt de yerine konunca; 2 7.6 Problem 4: Şekilde görüldüğü gibi her iki tarafında taşlama taşı bulunan içi dolu mil ortadan kayış kasnak sistemiyle döndürülmektedir. Mil 2400 rpm hızla dönerken, küçük çaplı taşlama taşı malzemeye yapışıp taşlama cihazını aniden durdurmuştur. Milde oluşan maksimum
burulma gerilmesini ve yer değiştirmeyi bulunuz. Taşlama taşlarının yoğunluğu 2000 /, Çelik şaft için G = 79 GPa ve şaftın ağırlığı ihmal ediliyor. Şekil 7.7a Verilenler: n = 2400 rpm, 2000 / /, G = 79 GPa İstenenler:?? Kabuller ve Çözüm: 1. Kayış kasnak ve şaftın ağırlığı ihmal edilecek. 2. Şaft burulma yayı gibi davranıyorr ve elastik bölgede kalıyor. 3. Taşlama taşlarında oluşan yer değiştirme ihmal edilecekk düzeyde. 120 mmm çapındaki taşlama taşının enerjisi mil (şaft) tarafından yutulmaktady dır. Bu enerji: 1 2 ;, 1 2 ş ş ş 1 4 ş Yüzeyde oluşan gerilme denklem 7.6 ile hesaplanırsa; 2 225..727910 0.01 0.25. Burulma yer değiştirmesi; 1 4 0.0 06 0.022000 22400 60..,, ö 321.710.25 0.017910..
Burulma yer değiştirmesi ve kayma gerilmesi 5 mm den 15 mmm ye kadar olan mil yarıçapları için yukarıdaki formüller kullanılarak, çelik (kayma gerilmesi modülü, m G = 79 GPa), dökme demir (G = 41 GPa ve alüminyum, G = 277 GPa) için aşağıdaki gibi g çizilebilir. Şekil 7.7b Kayma Gerilmesi ve Burulma Yer Değiştirmesinin Şaft Yarıçapıyla ve Şaft Malzemesiyle Değişimi 7.4 DARBE DAYANIMINA GERİLME YÜKSELTİÇİNİN ETKİSİ Şekil 7.8 Düzgün Darbe Barı
Şekil 7. 8 de şekil 7.4a da gösterilen barınn aynısı mevcut olup, burada barın n her iki ucunda gerilme konsantrasyonu dikkate alınmıştır. Statik yük altında yerel akma gerilme dağılımı yenidenn belirlenebilir. Burada yeniden oluşan gerilme dağılımı, gerilmeninn artmasına neden olabilir. Fakat darbe yükü altında plastik deformasyon için gerekli zaman çok azdır. Bu nedenlee sünek malzeme dahi gevrek malzeme gibi kırılabilir. Teorik yönden darbe çentiğinin etkisini belirlemek çok zor olduğundan standart çentik deneyleri kullanılır. Problem:5 Şekil 7.8 de gösterildiği gibi düzgün bir barın her iki ucunda oturma yüzeyi mevcuttur. Oturma yüzeyi ile bar arasındaa gerilme yükseltici mevcut olup, bu örnekte darbe için gerilme konsantrasyon faktörü 1.5. Gerilme yükselticinin enerji yutmaya olan katkısı ne kadardır? Verilenler: Şekildee ve 1.5 İstenenler: Gerilme yükselticinin enerji yutmaya olan katkısı ne kadardır? Çözüm: Burada iki ayrı gözlem yapılabilir, a) eğer çubuğun (barın) boyu yeteri kadar uzun ise, barın her iki ucundaki kavisli kısmın hacmi toplam hacme göre g çok küçüktür ve b) ) yuvarlatılmış bölgedeki malzeme ye uygulanan gerilme malzemenin mukavemet değerini (S u ) geçemez. Bunun anlamı, malzemeye uygulanan gerilme kesit içerisinde düzgün bir şekilde dağılmıştır ve / değerini geçemez. Buradaki örnekte /1.5. Böylece gerilme 1.5 kat kadar düşürülmüş olur. Denklem 7.5a da enerji kapasitesi gerilmenin karesi ile orantılı olduğundan, enerji kapasitesi (1.5) 2 veya 2.25 kat değişir. Problem 6: Bu problemde şekil 7.9 da görüldüğü gibi problem 5 deki bara a 3 olan bir çentik ilave edilmiştir. Darbe enerji kapasitesini şekil 7.8 ile karşılaştır. Şekil 7.9 Çentik ve Kavisli Bar Verilenler: Şekildee ve 3 İstenenler: Darbe enerji kapasitesini şekil 7.8 ile karşılaştır
Çözüm: Burada efektif gerilme konsantrasyon faktörü 3 olup, çentik ç bölgesindeki normal gerilme /3 dür. Fakat alan oranı ¼ olduğundan, normal kesitteki gerilme /12 kadar olur. Uzun bir bar için çentik etrafındaki hacim çok küçüktür. Denklem 7.5a yi referans alırsak, çentil gerilmeyi /1.5 den /12 ye kadar düşürür. Enerji kapasitesi gerilmenin karesiyle orantılı olduğundan, bu örnekteki çentik enerji kapasitesini 64 kat k azaltır. Problem 5 ve 6 dan iki önemlii sonuç eldee edilir: 1. Gerilme konsantrasyonunu mümkün olan en küçük değere indirecekk tasarım çözümleri üretilmelidir. 2. Mümkün olan tüm ihtiyaç fazlası malzemeyi tasarımdann uzaklaştırarak en kritik bölgedeki gerilme tüm tasarıma yayılabilir. Fazla malzemeyi tasarımdan uzaklaştırmak, tasarımın taşıyacağı yükü azaltmaz fakat yer değiştirmeyi artırır. Aynı zamanda enerji yutma kapasitesini artırır. Problem 7: Şekil 7.10a da gerilme darbe yüküne maruz kalan iki cıvatadann düzgün şaftlı olan ve şekill 7.10b de ise kademe şaftlı ş cıvata görülmektedir. Şekil 7.10b 7 deki cıvata enerjii yutma kapasitesini ne kadar artırır? Şekil 7.10 Gerilme Altındaki Cıvata Somun İkilisi Verilenler: Şekildee İstenenler: Şekil 7.10b deki cıvata enerjii yutma kapasitesini ne kadar artırır? Çözüm: 1. En yüksek gerilme şekil 7.10a da ilk dişte olur. (K i = 3.55 600 mm 2 lik alanda geçerlidir.) Dişler dahaa düzgün hale getirilerek K i değerii şekil 7.10bb de görüldüğü gibi 3.0 a düşürülebilir. Diğer bir noktaa ise cıvata başı ile şaftı arasındaki kıvrımdır. Bu noktaya cıvata oturma yüzeyini azaltmayacak şekilde çok küçük birr kıvrım konulabilir. Fakat bu kıvrım cıvatanın mukavemetine katkı sağlamaz çünkü en zayıf nokta dişlerin olduğu bölgedir. Buna göre;
; 700 3.4 600 3.0 ş ş ş 2. Şekil 7.10b de görüldüğü gibi cıvatanın üst ve alt kısımlarında cıvatayı cıvata deliğine merkezlenecek bir çap ve daha sonraki kısımlarda ise cıvataya gelen gerilmeyi karşılayabilecek düzgün bir şaft kısmı olsun. Burada her çap geçişleri için bir gerilme konsantrasyon faktörü verilmiştir. Gerilme konsantrasyon faktörünü 1.5 olarak alırsak, 600 1.5 3.0 3. Cıvata şaftının yeteri kadar uzun olduğu kabul edilirse ve burada şaft hacmi olarak sadece şaftın ortadaki azaltılmış çap bölgesi alınır ise, hacım 700 mm 2 ve 300 mm 2 lik alanlara orantılı olur. Denklem 7.5a da E her iki cıvata için aynı olduğundan her iki durum için enerji yutma oranı Cıvata şaftı (gövdesi) hacmi sekil 7.10a da daha büyük olduğundan Eğer diş açılmış gövdede ise, cıvatanın şaftındaki gerilme, 3.5 600 700 0.245 Şekil 7.10a daki cıvata gövdesini hacmi V olsun. Şekil 7.10b de dişteki gerilme S u olsun. Buna karşılık cıvata gövdesindeki gerilme, 3.0 600 300 0.667 Şekil 7.10b deki cıvata gövdesi hacmi V(300/700) = 0.429V dir. Bunu denklem m de yerine koyarsak, 0.667 0.429 0.245 3.18 Görüldüğü gibi yeni tasarım (şekil 7.10b) orijinalinin üç katından daha fazla enerjiyi yutabilmektedir. Aynı zamanda daha hafiftir.