1.1 Yapı Dinamiğine Giriş Yapı Dinamiği, dinamik yükler etkisindeki yapı sistemlerinin dinamik analizini konu almaktadır. Dinamik yük, genliği, doğrultusu ve etkime noktası zamana bağlı olarak değişen yüklemedir. P(t) t Analiz sonucu belirlenen, zamana bağlı yapısal tepki değerleri de dinamik tepkiyi teşkil etmektedir.
1.1 Yapı Dinamiğine Giriş Yapı dinamiği problemi, statik problemden iki açıdan önemli farklılıklar göstermektedir: Etkiyen kuvvetin zamana bağlı olarak değişmesi İvmenin etkisi Klasik statik yöntemde: ku=p Zamana bağlı değişim için aşağıdaki eşitlik kullanılarak u(t) belirlenebilir mi? ku(t)=p(t)
1.1 Yapı Dinamiğine Giriş Zamana bağlı tepki değerleri yerine, tasarımcılar genellikle maksimum tepki değerlerini bilmek isterler (u max ). Ancak, problemin dinamik karakterde olması durumunda ku(t)=p(t) eşitliğini kullanmak doğru olmaz. u(t) yerdeğiştirmesi için ku(t)=p(t) eşitliği kullanılacak olursa, basit bir cebrik denklem ortaya çıkacaktır. Hatta, doğrudan maksimum yerdeğiştirme değeri dahi bu denklem ile kolaylıkla belirlenebilir. u max için yukarıdaki denklem yazılacak olursa: ku max =P max
1.1 Yapı Dinamiğine Giriş ku max =P max Bu durumda yapılması gereken, yüklemenin maksimum değerini belirleyip, yukarıdaki statik denklemde yerine yazmak ve u max için çözümlemektir. Ancak, dinamik problem statik problemden farklı bir karakterdedir. Newton un ikinci kanununa göre, Bir yapıya etkiyen net kuvvet, yapının ivmesi ile orantılıdır. p( t) d dt ( m du ) dt m d dt u
1.1 Yapı Dinamiğine Giriş Bir başka ifade ile, bir cisme etki eden net kuvvetin, meydana getirdiği ivmeye oranı sabit olup, kütleye eşittir. Kütlenin ivmeyle çarpımına eşit olan net kuvvet atalet kuvveti olarak tanımlanıp, dinamik denge denkleminin statik denge denkleminden olan farklılığını yansıtmaktadır. Atalet kuvveti, sisteme etki eden net kuvvete ters yönde ortaya çıkmaktadır. p( t) d u m dt Net Kuvvet = Atalet Kuvveti
1.1 Yapı Dinamiğine Giriş Şekil (a) da statik yük etkisindeki konsol bir kiriş görülmektedir. Kirişte oluşacak deformasyon ve iç kuvvetler, doğrudan statik yüke (P) bağlıdır. Diğer taraftan Şekil (b) de aynı konsol kiriş zamanla değişen bir yük (P(t)) etkisindedir. Şekilde görüleceği gibi, kirişin ivmesi yayılı atalet kuvvetinin ortaya çıkmasına neden olmuştur. Atalet kuvvetinin yapıdaki deformasyon ve iç kuvvetlere önemli bir katkısının olması durumunda, problemin dinamik olarak ele alınması gerekmektedir. (a) Statik Yük ve (b) Dinamik Yük, etkisindeki konsol kiriş
1.1 Yapı Dinamiğine Giriş Statik durumda, yüklemenin sonsuz yavaş bir şekilde gerçekleştiği kabul edilmektedir. Dolayısıyla, ortaya çıkan ivme çok küçük olduğundan ihmal edilmektedir. Ancak, yükleme yeterince hızlı bir şekilde yapılırsa, atalet kuvveti diğer kuvvetlerle karşılaştırılabilecek boyutlarda olmakta ve dolayısıyla denge denkleminde dikkate alınması gerekmektedir. Bu bakımdan, ivmeden dolayı ortaya çıkacak atalet kuvveti dinamik durumda dikkate alınmalıdır.
1. Yapı Bileşenlerinin ve Sistemlerinin Modellenmesi Hesaplama aşamasında, gerçek sistemle eşdeğer olacak, ancak aynı zamanda da matematik olarak daha kolay analiz edilebilecek basitleştirilmiş bir model oluşturulmalıdır. Bu şekilde elde edilecek, yapı sisteminin basitleştirilmiş modeli analitik model olarak tanımlanmaktadır. Analitik model için iki temel modellemeden bahsedilebilir: Sürekli Model (m(x), EI(x), C(x)) Ayrık-Parametreli (Toplu Kütleli) Model (Mi, Ki, Ci) Yapı sistemlerinin dinamik karakteristikleri, rijitlik, kütle ve sönüm ile tanımlanmaktadır.
1. Yapı Bileşenlerinin ve Sistemlerinin Modellenmesi Şekil. Konsol kirişe ait analitik modeller: (a) Yayılı-kütleli konsol kiriş, sürekli model (b) Tek serbestlik dereceli model, ayrık-parametreli model (c) Üç serbestlik dereceli model, daha incelikli ayrık-parametreli model
1. Yapı Bileşenlerinin ve Sistemlerinin Modellenmesi Atalet kuvvetlerinin etkisini yansıtabilmek için dikkate alınması gereken yerdeğiştirme parametre sayısı, serbestlik derecesi (degrees of freedom, DOF) olarak tanımlanmaktadır. Bu bakımdan, sürekli model sonsuz serbestlik derecesine sahiptir. Ancak, Şekil b ve c, sonlu sayıda serbestlik dereceli sistemleri içermektedir. Şekilde gösterilen ayrık-parametreli modeller, sistemin kütlesi az sayıdaki noktasal kütle ile gösterildiğinden, toplu kütleli sistem olarak tanımlanmaktadır.
1. Yapı Bileşenlerinin ve Sistemlerinin Modellenmesi Ayrık ve sürekli sistemler: Tek serbestlik dereceli sistem (SDOF) system : n=1 Çok serbestlik dereceli sistem (MDOF) system:1<n< Sürekli sistem : n=
1. Yapı Bileşenlerinin ve Sistemlerinin Modellenmesi Analitik modelleme için diğer bir örnek olarak, Şekilde gösterilen ayaklı su deposu ele alınmıştır. Tepe noktasından uygulanacak yatay bir kuvvet veya depremden kaynaklanacak yatay bir kuvvet için, bu sistemin titreşim durumunun belirlenmesi hedeflenmiştir. Su tankının dolu olması durumunda kullanılabilecek analitik model Şekilde ayrıca gösterilmiştir. Dolu bir depoda suyun çalkalanma etkisi ortaya çıkmayacağından, kütle kule tepesinde toplanırken (m), göreceli olarak narin kuleler kütlesiz olarak modellenmiştir. Su tankını destekleyen konsol kule yapıya yatay rijitlik (k) kazandırmaktadır.
1. Yapı Bileşenlerinin ve Sistemlerinin Modellenmesi
1. Yapı Bileşenlerinin ve Sistemlerinin Modellenmesi Yapı sistemine ait analitik model oluşturulduktan sonra, Newton Kanunları ve gerilme-şekildeğiştirme bağıntıları gibi fiziki kurallar uygulanarak, analitik modeli matematik bir dil ile tanımlayan diferansiyel denklemler elde edilir. Sürekli model, kısmi türevli diferansiyel denklemlerin ortaya çıkmasına neden olurken, ayrıkparametreli model adi diferansiyel denklemler ortaya çıkarmaktadır. Böylece elde edilen diferansiyel denklem takımı yapı sistemine ait matematik model olarak tanımlanmaktadır. Kısaca, analitik model üzerinde yazılan hareket denklemi matematik model olarak ifade edilmektedir. Matematik model formüle edildikten sonra dinamik analizdeki bir sonraki adım, dinamik tepkilerin belirlenmesi için diferansiyel denklemlerin çözümünü içermektedir.
1. Yapı Bileşenlerinin ve Sistemlerinin Modellenmesi Dinamik çözümleme üş genel aşamadan oluşmaktadır: analitik modelin belirlenmesi analitik modele karşılık gelen matematik modelin belirlenmesi dinamik tepki için diferansiyel denklem çözümü Yapı Dinamiği dersi kapsamında, yapı sistemlerinin dinamik incelenmesi aşamasında, yukarıda belirtilen ikinci ve üçüncü aşamalar üzerinde durulacaktır.
1. Yapı Bileşenlerinin ve Sistemlerinin Modellenmesi Sürekli Model Sürekli sistem (sonsuz-dof sistem) Kısmi türevli diferansiyel denklemler Sürekli parametreler, EI(x), m(x) Gerçekçi Analizi zor Ayrık-Parametreli Model Toplu kütleli sistem Adi diferansiyel denklemler Toplu parametreler, M i İdealize edilmiş Analizi kolay Yaklaşık x ( u u EI ( x) ) m( x) x t p( x, t) d u m dt ku p( t) P.D.E. O.D.E.
1.3 Kütle-Yay-Sönümleyici Sistemi Karmaşık sistemleri incelemeden önce, en basit titreşim hareketini yapan, en basit yapı sistem modelini ele alalım. Kütle (m): Yapının kütlesini ve atalet özelliklerini yansıtmaktadır. Yay (k): Yapının elastik kuvvetini ve potansiyel enerji kapasitesini göstermektedir. Sönüm(c): Yapının sürtünme özelliklerini ve enerji kaybını temsil etmektedir. Kuvvet (p(t)): Yapı sistemine etki eden dış kuvveti göstermektedir.