DOKTORA TEZİ KORKUT OKAN OZANSOY ANKARA

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ GÜNÜMÜZ VE GELECEKTEKİ YÜKSEK ENERJİLERDE BİLEPTONLAR KORKUT OKAN OZANSOY FİZİK ANABİLİM DALI ANKARA 005 Her hakkı saklıdır

2 Prof. Dr. Satılmış ATAĞ danışmanlığında, Korkut Okan OZANSOY tarafından hazırlanan bu çalışma.../.../...tarihinde aşağıdaki jüri tarafından FizikAnabilim Dalın da Doktora Tezi tezi olarak kabul edilmiştir. Başkan : İmza : Üye : İmza : Üye : İmza : Üye : İmza : Üye : İmza : Yukarıdaki sonucu onaylarım Prof. Dr. Enstitü Müdürü

3 ÖZET Doktora Tezi GÜNÜMÜZ VE GELECEKTEKİ YÜKSEK ENERJİLERDE BİLEPTONLAR Korkut Okan OZANSOY Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Satılmış ATAĞ Bu tezde, Standart Model(SM) ötesi parçacıklar olan ve lepton sayısı L = değerine sahip bileptonların gözlenebilirlik sınırları LEP verileri kullanılarak incelenmiştir. Önce lepton sayısını koruyan bilepton-lepton-lepton etkileşme köşesi dikkate alınarak GeV enerji aralığında e + e e + e Bhabha saçılması tesir kesiti verileri yardımıyla bileptonların SM leptonlarıyla bağlaşım sabitlerinin üst sınırları elde edilmiştir. Daha sonra, e + e µ + µ, τ + τ süreçleri yoluyla lepton çeşnisi korunumunu bozan bilepton-lepton-lepton bağlaşımı için üst sınırlar bulunmuştur. LEP deneylerinin yüksek duyarlıklı olması sebebi ile tesir kesitlerinin teorik hesaplamalarında ışımasal katkıları içeren ZFITTER bilgisayar programı kullanılmıştır. Bu analizin bir sonucu olarak, söz konusu bağlaşım sabitlerinin bilepton kütlelerine oranı için %95 güvenilirlik düzeyinde (C.L. de) λ /ML < O(10 5 ), O(10 6 )GeV üst sınırları hesaplanmıştır. 005, 146 sayfa ANAHTAR KELİMELER: Standart Model, Bileptonlar, LEP Verileri, Işımasal Düzeltmeler, ZFITTER, Üst Limit. i

4 ABSTRACT Ph.D.Thesis BILEPTONS AT PRESENT AND FUTURE HIGH ENERGIES Korkut Okan OZANSOY Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı Supervisor: Prof. Dr. Satılmış ATAĞ In this thesis, the observability limits on bileptons which are particles beyond Standard Model(SM) and have lepton number L = have been scrutinized using LEP data. First, taking into account the lepton flavor conserving bilepton-lepton-lepton interaction vertex for the energy range GeV the upper limits on the coupling constants of bileptons with the SM leptons have been provided using the cross section data of e + e e + e Bhabha scattering. Second, for the lepton flavor violating bilepton-lepton-lepton coupling through e + e µ + µ, τ + τ processes, the upper limits have been found. Due to the high precision of LEP experiments, the fortran code ZFITTER has been used to calculate the theoretical cross sections including radiative corrections. As a result of this analysis, upper limits on the ratio of the bilepton coupling constants to their masses λ /M L < O(10 5 ), O(10 6 )GeV, have been obtained at the 95% confidence level(c.l.). 005, 146 sayfa Key Words: Standard Model, Bileptons, LEP Data, Radiative Corrections, ZFIT- TER, Upper Limit. ii

5 TEŞEKKÜR Tez konusunun belirlenmesinden itibaren bu tezin hazırlanmasında her konuda sabırla desteğini ve ilgisini eksik etmeyen danışmanım Sayın Prof. Dr. Satılmış ATAĞ a teşekürlerimi sunarım. Korkut Okan OZANSOY Ankara, Mayıs 005 iii

6 İÇİNDEKİLER ÖZET ABSTRACT TEŞEKKÜR ŞEKİLLER DİZİNİ ÇİZELGELER DİZİNİ i ii iii viii ix 1 GİRİŞ 1 STANDART MODEL(SM) ve ÖTESİ 3.1 Elektrozayıf Etkileşmelerin Standart Modeli Tek-Lepton Ailesinin Ayar İnvaryant Modeli Global Simetri Ayar değişmezliği Kendiliğinden simetri kırılması ve Higgs mekanizması Standart Model Alanları Skaler alan lagranjyeni ve ayar alanları Ayar Alanları Leptonlar Tek-Lepton Ailesi için SM Feynman Kuralları iv

7 .5 Çeşitli SM Süreçleri için Tesir Kesiti Hesapları Bhabha Saçılması(e + e e + e ) Möller Saçılması(e e e e ) Fiziksel Parametreler ve SM Fenomenolojisi Işımasal katkılar ve regülarizasyon ZFITTER Çeşitli ZFITTER Tesir Kesitleri Işımasal Katkılar e e + f f süreci için ilk durum ışıma katkıları Özet ve SM Ötesi Bazı SM Ötesi Teoriler BİLEPTONLAR Bileptonları İçeren Bazı Modeller Kütleli Nötrino Modelleri Büyük Birleştirme Teorileri Bileptonların Modelden Bağımsız Olarak İncelenmesi Bileptonların leptonlarla bağlaşım matrisleri Bileptonların yüksüz ayar bozonlarıyla etkileşmeleri Kütle özdurumları Bileptonların Düşük-Enerjilerdeki Sınırları Müon Fiziği Tau Fiziği v

8 3.4 Bileptonlar için Yüksek Enerji Sınırları Z 0 bozunumumundan elde edilen limitler Dolaylı sınırlar Doğrudan sınırlar İstatistik hesaplar CERN LEP Verileri için Bileptonların Dolaylı Sınırları Bhabha saçılmasından gelen sınırlar e + e µ + µ, τ + τ süreçlerinden gelen sınırlar SONUÇ ve TARTIŞMA 113 KAYNAKLAR 115 EKLER 119 EK 1 10 EK 143 vi

9 SİMGELER DİZİNİ CERN Avrupa Nükleer Araştırma Merkezi LEP Büyük Elektron Pozitron Çarpıştırıcısı SLAC Stanford Doğrusal Hızlandırıcı Merkezi SM Standart Model KM Kütle-Merkezi C.L. Güvenilirlik Seviyesi KED(QED) Kuantum Elektrodinamiği KRD(QCD) Kuantum Renk Dinamiği e e + Elektron Pozitron µ Müon µ + Karşımüon veya Antimüon τ Tau µ + Karşıtau γ Foton alanı Z 0 (Z) Z bozonu W ± M Z γ µ L 1 L µ L 3 λ i (g i ) M L (m L ) s G F ψ(x) ψ (x) ψ c (x) ψ T (x) sin θ W α e L, L W bozonları Z bozonunun kütlesi Dirac gama matrisi Tekli-skaler bilepton İkili-vektör bilepton Üçlü-bilepton Bilepton bağlaşım sabitleri Bilepton kütlesi Mandelstam s-değişkeni, KM-enerjisi Fermi Sabiti Fermiyon alanı Fermiyon alanının Hermityen eşleniği Fermiyon alanının yük eşleniği Fermiyon alanının transpozu Weinberg açısının sinüsü İnce yapı sabiti Elektronun yükü Tek- ve iki-yüklü bilepton alanlarları vii

10 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil.1. Propagatörler Şekil.. Etkileşme köşeleri Şekil.3. Bhabha saçılması için SM Feynman diyagramları Şekil.4. Bhabha saçılması için SM tesir kesitinin KM enerjisine göre değişimi 37 Şekil.5. SM tesir kesitinin KM enerjisine göre değişimi Şekil.6. Möller saçılması için SM tesir kesitinin KM enerjisine göre değişimi. 41 Şekil.7. Vakum polarizasyonu Şekil.8. Born mertebesi yaklaşıklığı Şekil.9. Foton propagatörünün öz-enerjisine gelen katkılar Şekil.10. Etkileşme köşesi düzeltmeleri Şekil.11. Kutu diyagramı Şekil.1. Tesir kesitinin KM enerjisine göre değişimi Şekil.13. Tesir kesitinin KM enerjisine göre değişimi Şekil.14. Tesir kesitinin KM enerjisine göre değişimi Şekil.15. e + e f f süreci için ışımasal düzeltme katkıları Şekil.16. Şekil.17. İlk-durum ışımasal katkılarının tesir kesitine etkisi İlk-durum ışımasal katkılarının tesir kesitine etkisi Şekil 3.1. Egzotik müon bozunumuna bilepton katkısı Şekil 3.. µ 3e nadir müon bozunumu için bilepton katkısı Şekil 3.3. µ eγ sürecine bilepton katkıları Şekil 3.4. (g ) µ diyagramları Şekil 3.5. Müonyum-Karşımüunyum dönüşümü Şekil 3.6. Γ Z nin m L ye göre değişimi Şekil 3.7. Bhabha saçılması için bilepton katkıları Şekil 3.8. Tesir kesiti oranlarının gl /m L nin bir fonksiyonu olarak değişimi Şekil 3.9. e + e µ + µ, τ + τ saçılmalarına bilepton katkısı Şekil g L nin m L ye göre göre değişimi Şekil g L nin m L ye göre değişimi Şekil 3.1. g L nin m L ye göre değişimi Şekil g L nin m L ye göre değişimi viii

11 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge.1. Elektron ailesinin kuantum sayıları Çizelge.1. u-d kuark ailesinin kuantum sayıları Çizelge.3. Elektrozayıf Etkileşmelerin Standart Modelinde içerilen parçacıklar 63 Çizelge.4. Ayar parametreleri Çizelge.5. Yukawa bağlaşımları Çizelge 3.1. Elektron ailesinin kuantum sayıları Çizelge 3.. Bileptonların kuantum sayıları Çizelge 3.3. λ /m L için üst sınırların mertebesi Çizelge 3.4. λ /m L için üst sınırların mertebesi Çizelge 3.5. m L için yüksek enerji sınırları Çizelge 3.6. Tesir kesiti değerleri Çizelge 3.7. g /m L üzerine üst limitler Çizelge 3.8. g /m L üzerine üst limitler Çizelge 3.9. Tesir kesiti değerleri Çizelge Tesir kesiti değerleri Çizelge g /m L üzerine üst limitler Çizelge 3.1. Tesir kesiti değerleri Çizelge 3.1. Tesir kesiti değerleri Çizelge 3.1. g /m L üzerine üst limitler Çizelge g /m L üzerine üst limitler Çizelge g /m L üzerine üst limitler Çizelge g /m L üzerine üst limitler ix

12 1. GİRİŞ Standart Model(SM), doğada bilinen dört tür etkileşmeden üçü olan elektromagnetik, zayıf ve güçlü etkileşmeleri SU(3) c SU() L U(1) Y ayar grubu altında birleştiren, ve deney sonuçları ile büyük ölçüde uyuşumlu öngörüler sağlayabilen bir modeldir. Deney sonuçları ile çok hassas bir biçimde uyuşumlu öngörülerde bulunmayı sağlamasına karşın SM, çeşitli problemlerin cevaplanmasında yetersiz kalmaktadır. Bu problemlerin başında, SM de parçacıkların kütlelerini ifade etmek için kullanılan kendiliğinden simetri kırılması mekanizmasının en temel öğesi olan Higgs bozonunun henüz deneysel olarak gözlenmemesi gelmektedir. Bunun dışında, SM de nötrinolar kütlesiz olarak varsayılmasına karşın güncel deney sonuçları nötrinoların kütleli olduklarını göstermektedir. Dört tür etkileşmeden biri olan kütleçekimi etkileşmesi de SM çerçevesinde içerilmemektedir. SM ayrıca parçacık ailelerinin sayısı hakkında bir öngörüde bulunmamaktadır. Bunlar ve benzeri problemlerin varlığı, SM in ulaşılabilecek son teori olmadığı yönünde ipuçları vermektedir. SM ötesi yeni teoriler, hem SM de cevap bulunamayan problemlerin cevaplanması için hem de TeV mertebesinden yüksek enerjilerdeki deneylerle açığa çıkabilecek olası yeni fizik etkilerine ışık tutabilmesi için geliştirilmektedir. Bu amaçla geliştirilen çeşitli SM ötesi teorilerde, SM de içerilmeyen süpersimetrik parçacıklar, leptokuarklar, dikuarklar, bileptonlar, egzotik Higgs bozonları, uyarılmış parçacıklar, preonik parçacıklar, ve benzeri yeni parçacıklar veya W W γ, Zγγ v.b. yeni etkileşme türleri öngörülmektedir. SM ötesi çeşitli teorilerde ortaya çıkan parçacık sınıflarından bir tanesi bileptonlardır. Bileptonlar SM leptonları ile etkileşen ancak kuarklarla etkileşmeyen lepton sayısı L = 0 veya L = olan bozonlar olarak tanımlanmaktadır(frampton 1996, Cuypers and Davidson 1998). Bu tezde bileptonların tanıtılması ve güncel ve gelecekteki çarpıştırıcılardaki gözlenebilirlik sınırlarının araştırılması amaçlanmıştır. Tezde konular şu şekilde sıralanmışlardır.. Bölüm ün ilk kesimleri SM in temel ilkelerinin tanıtılmasına ayrılmıştır. Bu kesimlerde, tek-lepton ailesinin elektrozayıf etkileşmeleri SU() L U(1) Y ayar simetrisine uygun olarak ifade edilmiş ve 1

13 kendiliğinden simetri kırılması yoluyla SM parçacıklarının kütle kazanması mekanizması tanıtılmıştır. Daha sonra, SM deki fiziksel parametrelerin renormalizasyon ilkesine göre tanıtılması incelenmiş ve ışımasal(radyatif) katkıların önemi vurgulanmıştır. Kesim(.5) de bu tezde kullanılan SM süreçleri için tesir kesiti hesapları yapılmıştır. Kesim(.7) de SM de e + e f f süreçleri için LEP enerjilerinde ışımasal düzeltme katkılarını hesaplayan ZFITTER programı tanıtılmıştır. Kesim(.8) de, e + e f f süreçleri için ilk-durum gerçel foton ışıması katkılarının yapı fonksiyonları yöntemi ile hesaplanması incelenmiştir. Son olarak, SM in çeşitli özellikleri, SM deki parçacıklar ve parametreler ifade edilerek verilmiştir. Bileptonların tanıtılması ile güncel ve gelecekteki gözlenebilirlik sınırları için incelemeler 3. Bölüm de işlenmiştir. Bu bölümün ilk kesimlerinde bileptonlar tanıtılmış ve bileptonların literatürde ortaya çıktığı çeşitli modeller gözden geçirilmiştir. Bileptonların SM leptonları ile etkileşmesini ifade eden en genel model bağımsız lagranjyen SM in simetrilerine uygun olarak ifade edilmiştir. Daha sonra, müon bozunumu ve tau bozunumu gibi düşük enerjili süreçler için ve LEP enerjileri veya daha yüksek enerjiler seviyesindeki yüksek enerjiler için literatürdeki bileptonların SM leptonları ile bağlaşım terimlerine sınırlar gözden geçirilmiştir. Son olarak, LEP verileri kullanılarak lepton çeşnisini koruyan ve korumayan bilepton-leptonlepton köşelerini ifade eden bağlaşım sabitleri için ZFITTER yardımıyla elde edilen sınırlar sunulmuştur (Atağ and Ozansoy 003, 004). (EK 1) de Relativistik Kuantum Mekaniğinin temel özellikleri tanıtılarak, Dirac denkleminin serbest durum çözümleri standart yöntemle ve Weyl temsilinde incelenmiştir. (EK ) de tesir kesiti hesaplarında kullanılan helisite özdurumları ifade edilmiştir.

14 . STANDART MODEL(SM) ve ÖTESİ.1 Elektrozayıf Etkileşmelerin Standart Modeli Standart Model(SM) elektromagnetik ve zayıf etkileşmelerin kuvvet taşıyıcı parçacıklarının korunumlu yüklerini ifade eden ayar gruplarını birleştirme anlamında birleştiren ve SU() L U(1) Y yerel ayar simetrisi üzerine kurulan bir modeldir(weinberg 1967, Salam 1968). Bu ayar grubuna güçlü etkileşmelerin SU(3) c grubu da eklenerek genelleştirilmiş Standart Model veya kısaca Standart Model oluşturulur. Bu tezde aksi belirtilmedikçe, SM elektrozayıf etkileşmelerin Standart Modeli olarak kabul edilecektir. Bu kesimde, elektromagnetik ve zayıf etkileşmelerin Standart Modelinin temel ilkelerini tanıtmak amaçlanmaktadır lerin ikinci yarısında, elektromagnetik teorilerin yanı sıra zayıf etkileşmeler de deneyle tutarlı olarak formüle edilmişti. Buna göre, leptonların elektromagnetik etkileşmeleri fotona karşılık gelen bir kütlesiz spin-1 vektör alanı ile ifade edilirken, leptonların yüklü zayıf etkileşmeleri ise vektör eksi aksiyal vektör özelliğindeki kütleli spin-1 alanlarıyla ifade ediliyordu ların ilk yarısından itibaren, deneysel olarak leptonlar sadece fotonlarla ve zayıf etkileşmelerin aracı bozonlarıyla etkileşen madde parçacıkları olarak biliniyordu. Diğer taraftan, leptonların hem elektromagnetik hem de zayıf etkileşmelerini birlikte ifade edebilecek bir birleştirme modeli kurmak için çeşitli çalışmalar yapılmaktaydı. Böyle bir birleştirme için, etkileşmelerin aracı parçacıklarını ayar alanlarının bir çoklusunda birleştirerek elektromagnetik ve zayıf etkileşmeleri bir arada ifade edebilmek, o zamanın bazı fizikçileri tarafından mümkün görünüyordu. Bu yolla birleştirme teorisi kurmak için önemli zorluklardan bir tanesi fotonlar ve yüklü zayıf etkileşmelerin aracı parçacıklarının kütleleri ve bağlaşım sabitlerinin farklılığını formüle edebilmekti. Bu zorluğun üstesinden gelmek için bir yol, elektromagnetik ve zayıf etkileşmeleri birbirine bağlayan simetrilerin Lagranjyenin tam simetrileri olduğunu ancak bunların vakum tarafından kırıldığını varsaymaktır. Bu yol kütlesiz Goldstone bozonları denilen fiziksel olmayan parçacıkların varlığını gerektirdiğinden 3

15 kullanışlı değildir. Weinberg ve Salam birbirinden bağımsız olarak, elektromagnetik ve yüklü zayıf etkileşmeler arasındaki simetrinin kendiliğnden kırıldığını, ancak foton ve aracı bozon alanlarının ayar alanları olarak tanıtılmasıyla fiziksel olmayan Goldstone bozonlarından sakınılan bir modeli geliştirmiştirler(weinberg 1967, Salam 1968). Bu model, leptonların elektromagnetik ve zayıf etkileşmelerini birarada içermektedir. Daha sonra, çekirdek parçacıklarını oluşturan kuarklar da göz önüne alınarak elektromagnetik ve zayıf etkileşmelerin birleştirildiği bu model, Elektrozayıf Etkileşmelerin Standart Modeli ya da kısaca Standart Model(SM) olarak adlandırılmıştır. SM nin renormalize edilebilir bir teori olduğu 1971 de Veltman ve t Hooft tarafından gösterilmiştir(veltman ve t Hooft 197).. Tek-Lepton Ailesinin Ayar İnvaryant Modeli Bu kesimde, elektron ve elektron nötrinosunun oluşturduğu bir lepton ailesi için bir ayar modelinin kuruluşu (Weinberg 1967) ye benzer bir yolla ifade edilmektedir. Böyle bir model, birleşik elektrozayıf etkileşme teorisinin ana özelliklerinin çoğunu içerir. Bu ayar modelini kurmak için önce, leptonların hem elektromagnetik hem de zayıf etkileşmelerinin anahtar özelliklerini açığa çıkaran ayar grubunu belirlemek gerekir. Daha sonra, leptonları ve leptonlarla bozonlara kütle kazandıran skaler alanları(higgs alanlarını) içeren ayar invaryant modeli ifade edilecektir. Son olarak, madde ve ayar alanlarının kütle kazanma mekanizması olan kendiliğinden simetri kırılması tartışılacaktır. Burada, kurulacak ayar teorisi birtek lepton ailesi içerilecek şekilde kısıtlanmıştır. Bu kısıtlama, modelin diğer leptonlara genişletilmesinde engel olmaz çünkü bilinen etkileşmelerde elektron-türü lepton ailesi için korunum yasasına göre; e elekron sayısı artı ν e nötrino sayısı eksi bunların karşı parçacıkları olan e + ve ν e sayısı (lepton-aile sayısı), korunumludur. Bu korunum yasası, µ ve τ türü leptonlar için de ayrı ayrı geçerlidir 1. Bu kesim boyunca, aksi belirtilmedikçe parçacıklara karşılık gelen alan operatörleri parçacığın bilinen sembolü ile gösterilecektir: örneğin, elektronun spinör alanı için e ve nötrinonun spinör alanı için ν e. Zayıf etkileşen parçacıkların deneysel olarak bilinen belirleyici özelliklerinin başında 1 Çeşitli SM ötesi modellerde lepton aile çeşnisi korunmayabilmektedir. Bu tez çerçevesinde böyle lepton çeşnisinin korunmadığı durumlar bileptonların incelendiği Bileptonlar bölümünde ele alınmaktadır 4

16 paritenin korunmayışı gelmektedir. Zayıf etkileşmeler teorisinin açıklanmasında keskin virajlardan bir tanesi, Lee ve Yang ın(1956) zayıf yüklü akımların bir Lorentz vektörü değil, pariteyi korumayan vektör eksi aksiyal vektör yapısına sahip olduğunu ifade eden zayıf etkileşme teorisini ortaya koymalarıyla dönülmüştür. Bu çalışmadan hemen sonra, Wu nun(wu et al. 1957) ve ondan bağımsız olarak Lederman ın(lederman et al. 1957) deney gruplarının deneylerinde yüklü zayıf etkileşmelerin pariteyi korumadığı ve V-A yapısı kanıtlanmıştır. Bu modele göre etkileşme durumunda leptonların, yüklü-zayıf akım etkileşmelerinde daima sol-elli helisite durumunda bulundukları ve karşı-leptonların sağ-elli helisiteye sahip oldukları belirlenmiştir. Dolayısıyla, zayıf etkileşmelerin incelenmesinde, lepton alanlarının bu polarizasyon seçimi göz önünde bulundurulmalıdır. Polarizasyon seçimini hesaplarda kullanmak için lepton alanlarını ifade eden ikili Dirac spinörleri aşağıdaki gibi sol- ve sağ-elli bileşenlerine ayrıştırılabilir χ(x) = χ L (x) + χ R (x) (.1) bu ayrılşımda, aşağıdaki tanımlar dikkate alınmıştır χ L (x) = a L χ(x), χ R (x) = a R χ(x) (.) burada γ 5 matrisi Weyl(elli-) temsilindeki köşegen yapıda olmak üzere, sol- ve sağelli izdüşüm operatörleri aşağıdaki gibi tanımlanır(ek 1) a L 1 (1 γ 5) (.3) a R 1 (1 + γ 5) Elli-spinörlerin adjoint eşlenikleri aşağıdaki gibidir χ L = χ L γ 0 = χ a L γ 0 = χa R (.4) χ R = χ R γ 0 = χ a R γ 0 = χa L 5

17 Kütleli alanlar için (.) denklemi ile verilen elli-bileşenler Lorentz invaryant değildirler. Buna karşın, alanın kütlesi sıfır ise her bir elli-bileşen bir helisite özdurumuna karşılık gelir. Zayıf etkileşmelerin elli-alanlar yapısında deneysel olarak anahtar rolü oynayan görüngü zayıf bozunum spektrumunda n p + e + ν e, µ e + ν e + ν µ ve π µ + ν µ gibi süreçlerde daima sol-elli leptonların ve sağ-elli karşı(anti)leptonların görünmesidir. Böylece, bozunum genlikleri aşağıdaki gibi alanların sadece sol-elli bileşenlerini içeren bir yüklü akım cinsinden ifade edilebilir L µ (x) = ē L (x)γ µ ν el (x) + (diğer lepton türleri) (.5) = ē(x)γ µ (1 γ 5 )ν e (x) +... Sol-elli bir elektron veya sağ-elli bir pozitron alanının katıldığı bilinen tüm zayıf etkileşme süreçlerinde mutlaka bir sol-elli elektron nötrinosu veya sağ-elli karşınötrino bulunmaktadır (sağ-elli nötrinolar deneysel olarak gözlenmemiştir). Solelli polarizasyona sahip elektron ve onun nötrinosu zayıf etkileşmelerde birlikte göründüklerinden, zayıf etkileşmeler için ν el ve e L alanlarının oluşturduğu iki bileşenli bir vektör kullanılarak zayıf etkileşmeleri ifade eden bir model kurulabilir. Böyle bir ikili vektöre, izospin vektörü(izospinör) adı verilir. İzospin vektörünün simetrileri, kompleks elemanlardan oluşan bir ikili temsile sahip en basit grup olan SU() grubu ile ifade edilebilir. Bunun dışında, sağ-elli bileşenler ν er ve e R başka parçacıklarla etkileşmemektedirler dolayısıyla bir-boyutlu temsillerle ilişkilendirilebilirler. Sağ-elli bir elektron, sol-elli bir elektronla aynı kütleye ve yüke sahip olduğundan oluşturulacak modelde yer almalıdır ancak sağ-elli nötrinolar, deneysel olarak gözlenmediğinden; elektriksel olarak yüksüz olduğundan ve kütlesi sıfır kabul edildiğinden modelde yer almaz. Sonuç olarak, elektron ailesinin zayıf etkileşmelerini ifade edecek bir modelde lepton alanları aşağıdaki biçimde gösterilen bir ψ L ikilisi ve bir ψ R teklisi ile ifade edilebilir ψ L = [ νel e L ], ψ R = e R e (.6) SU() grubunun elemanları determinantı bir olan kompleks elemanlı matrislerdir. Böyle bir matris, daima τ i (i = 1,, 3) Pauli spin matrisleri ve li birim matris cinsinden ifade edilebilir. 6

18 SU() grubu zayıf etkileşmelere giren bir lepton ailesinin sadece sol-elli bileşenlerine aşikar olmayan bir biçimde etki ettiğinden genel olarak bu grup SU() L biçiminde gösterilir ve zayıf-izospin grubu olarak adlandırılır...1 Global Simetri Bu kesimde, kütlesiz kabul edilen bir elektron ailesi için serbest lagranjyen ifade edilerek bu lagranjyenin global simetrileri incelenecektir ve bu simetrilere karşılık gelen korunumlu yükler elde edilecektir. Elektron ailesini temsil eden kütlesiz lepton ikilisi için etkileşme terimi içermeyen serbest lagranjyen aşağıdaki gibidir L 0 = ψ L iγ λ λ ψ L + ψ R iγ λ λ ψ R (.7) = ν L iγ λ λ ν L + ēiγ λ λ e (.8) Kuruluşunun bir koşulu olarak (.8) denklemi ile ifade edilen L 0 serbest lagranjyeni aşağıdaki gibi ifade edilen SU() dönüşümleri altında invaryanttır U (w) = e igw it i, i = 1,, 3 (.9) burada w i ler sabit dönüşüm parametreleridir ve t i ler ψ L ye etki ettiklerinde SU() nin li temsilinde t il = 1τ i biçiminde bilinen Pauli matrislerine ψ R ye etki ettiklerinde t ir = 0 biçiminde sıfır sayısına eşittirler 3. SU() nin sonsuz küçük dönüşümleri aşağıdaki biçimde ifade edilebilir U ψ L = ψ L + δψ L, δψ L i 1 gw iτ i ψ L ; (.10) U ψ R = ψ R + δψ R, δψ R = 0. Noether teoremine göre, eylem niceliğinin her bir sürekli dönüşüm altındaki simetrisi korunumlu bir akıma karşılık gelir(bkz. Huang 1998 veya Ho-Kim and Pham 1998). 3 (.8)denklemi ile ifade edilen serbest alan-lagranjyeninde eğer mēe = m(ē R e L + ē L e R ) gibi bir kütle terimi içerilseydi o zaman SU() L ayar invaryantlığı bozulurdu. Buna göre, L 0 serbest alan lagranjyeninin zayıf-izospin simetrisine sahip olması için elektron ve nötrino kütlesiz olmalıdır. 7

19 Sürekli değerler alan α i reel parametreleri ile parametrize edilen sürekli global simetrilere karşılık korunumlu akımlar genel olarak aşağıdaki gibi tanımlanır (bkz. Ho-Kim, and Pham 1998, Böl. ) j µ i = L δφ a + L δxµ (.11) ( µ φ a ) δα i δα i burada φ a temsili bir alanı göstermektedir. Parçacıkların iç özgün özelliklerinin ifade edildiği iç-uzaydaki dönüşümler için eşitliğin sağ tarafındaki son terim δx µ = 0 olduğundan sıfırdır. α i = gw i seçilirse aşağıdaki ifadeler bulunur δψ L δ(gw i ) = iτ i ψ L, δψ R δ(gw i ) = 0. (.1) Bu ifadeler aşağıdaki biçimde ifade edilen korunumlu akıma yol açar j µ i = ψ L γ µ τ i ψ L, i = 1,, 3 (.13) Buradaki parçacıkları temsil eden alan operatörlerinin hepsi sol-ellidir. Bu akımlara karşılık gelen korunumlu yükler aşağıdaki biçimde ifade edilen zayıf-izospin operatörleridir T i = d 3 xji 0 (x) = d 3 xψ τ i L ψ L (.14) daha açık bir ifade ile zayıf-izospin operatörünün bileşenlşeri aşağıdaki biçimdedir T 1 = 1 d 3 x(ν Le L + e L ν L) (.15) T = i d 3 x(ν L e L e L ν L) (.16) T 3 = 1 d 3 x(ν L ν L + e L e L). (.17) 8

20 Böylece, elektron ailesinin zayıf etkileşmelerini ifade eden zayıf-izospin simetrisi SU() L ye karşılık gelen korunumlu zayıf-izospin akımları ve korunumlu zayıf-yükler elde edilmiş oldu. Korunumlu zayıf-izospin yüklerinin komütasyon bağıntıları fermiyon alanlarının eşit zamanlardaki komütasyon bağıntıları 4 ve Pauli spin matrislerinin komütasyon bağıntıları ([τ i, τ j ] = iɛ ijk τ k ) kullanılarak aşağıdaki biçimde bulunur. [T i, T j ] = iɛ ijk T k. (.18) Bu ifade aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir [T (+), T ( ) ] = T 3, [T (±), T 3 ] = T (±) (.19) burada T (±) T 1 ± it biçimindedir. Elektron ailesinin elektromagnetik etkileşmelerini ifade etmek için elektromagnetik etkileşmeleri ifade eden U(1) üniter grubunu dikkate almak gerekir 5. L 0 lagranjyeni zayıf-izospin dönüşümlerinin yanı sıra, aşağıdaki gibi ifade edilen ve üniter dönüşümlere karşılık gelen genel faz dönüşümleri altında invaryanttır U(w) = e iwff (.0) bu ifade, üretici olarak verilen bir kuantum sayı matrisi F için bir U(1) grubu oluşturur. Bağlaşım sabiti olarak tanımlanacak olan sabit bir f sabitidir ve, bu sabit, w parametresinden farklıdır. Sonsuz küçük üniter dönüşümler(veya faz dönüşümleri) için, U 1 iwff olur ve aşağıdaki ifade elde edilir ψ ψ = U(w)ψ ψ + δψ, (.1) δψ = iwff ψ. (.) 4 fermiyon alanları için eşit-zaman komütasyon bağıntıları şu şekilde ifade edilir: {e a (t, x), e b (t, x )} = δ ab δ(x y), {e a (t, x), e b (t, x )} = {e a(t, x), e b (t, x )} = 0 5 U(1) grubunun elemanları determinantı bir olan 1 1 li kompleks matrislerdir: diğer bir deyişle boyu bir olan kompleks sayılardır. 9

21 F matrisinin mertebesi ψ temsilinin boyutuyla verilir. gibidir Türev ifadeleri aşağıdaki δψ L δ(fw) = if ψ L, δψ R δ(fw) = if ψ R. (.3) Bu ifadeler, (.11) denkleminde yerine koyulursa aşağıdaki korunumlu akım bulunur j F µ = ψ L γ µ F ψ L + ψ R γ µ F ψ R (.4) Bu korunumlu akıma karşılık gelen korunumlu yük operatörü, aşağıdaki gibi ifade edilir F = d 3 xj0 F (x) = d 3 x(ψ L F ψ L + ψ R F ψ R) (.5) Elektron ailesinin elektromagnetik etkileşmelerini ifade etmek için Q elektrik yük operatörü olmak üzere F = Q alınır. (.4) ve (.5) denklemleri elektron ve nötrinonun bilinen elektrik yükleri(q e = 1, Q ν = 0) dikkate alınarak elektron ailesi için elektromagnetik akım ve (elektromagnetik-)yük operatörleri sırasıyla aşağıdaki gibi elde edilirler j em µ = Q e (ē L γ µ e L + ē R γ µ e R ); (.6) Q = d 3 xj0 em (x) = d 3 xe e. (.7) Elektron ailesinin elektromagnetik ve zayıf etkileşmelerinin birlikte ifade edilebilmesi için U Q (1) grubu ile SU L () grubunun birlikte içerildiği ayar grubunda yük operatörleri ile izospin operatörlerinin komütasyonları sıfır olmalıdır. ψ L ikilisinin iki bileşeninin yükleri farklı olduğundan SU L () simetrisi altında yük sayısı iyi bir kuantum sayısı değildir. Diğer bir deyişle, Q Q L + Q R (.8) = d 3 xψ 1 L (1 τ 3)ψ L d 3 xe R e R 10

22 operatörü, T i = 1 τ i, (i = 1, ) operatörleri ile sıra değişmez [Q, T i ] = [T 3, T i ] = iɛ 3ij T j. (.9) Buna göre, U Q (1) ve SU L () grupları L 0 ın aynı anda simetri grupları olamaz. Buna karşın, (.9) denklemi α(q T 3 ) operatörünün her bir i için ve keyfi α sabiti için tüm T i lerle sıradeğişeceğini göstermektedir. Böylece, α(q T 3 ) operatörü SU L () ile sıra değişen bir U(1) grubunun üreticisi olarak görülebilir. deneysel gözlemlere uygun olarak α = seçilerek (Q T 3 ) operatörüne zayıf-hiperyük operatörü adı verilir ve Y ile gösterilir. Aşağıdaki ifade, amprik bir ifadedir ve elektromagnetik etkileşmelerle zayıf etkileşmeler arasındaki ilişkiyi sağlamaktadır Q = T Y (.30) bu denklemdeki Y için daha açık bir ifade aşağıdaki gibi verilebilir Y = = d 3 xψ L (1 τ 3)ψ L d 3 xψ R ψ R d 3 xψ L ψ L d 3 xψ R ψ R d 3 xψ L τ 3ψ L (.31) Bu sonuç, (.5) denklemi ile özdeşleştirilirse, F = Y, o zaman elektron ailesi için aşağıdaki sayılar elde edilir Y L = 1 ve Y R = (.3) Verilen bir eşçoklu(isomultiplet) için Y = (Q T 3 ) = (Q) olur yani hiperyük çoklunun ortalama yükünün iki katıdır. Buna karşılık gelen korunumlu akım aşağıdaki gibi ifade edilir j Y µ = Y L ψl γ µ ψ L + Y R ψr γ µ ψ R (.33) 11

23 bu akım elektromagnetik akım ve izospin akımına aşağıdaki denklemle bağlıdır j em µ = j 3 µ + 1 jy µ. (.34) Özet olarak, serbest alan lagranjyeni L 0, elemanları aşağıdaki gibi verilen, global dönüşümlerin direkt çarpım grubu SU L () U Y (1) altında invaryanttır SU L () : U (w) = e igw i 1 τ i (.35) U Y (1) : U 1 (w) = e i 1 g wy (.36) burada g ve g ensonunda elektromagnetik ve zayıf etkileşmelerin bağlaşım sabitleri ile özdeşleştirilirler. Böylece, elektron ailesinin elektromagnetik ve zayıf etkileşmelerinin ayar grubu olarak SU L () U Y (1) grubuna ulaşılmış olur. Elektron ailesinin kuantum sayıları çizelge.1 de verilmiştir. Çizelge.1: Elektron ailesinin kuantum sayıları ( νel e L ) T T 3 Y Q 1 ± 1 1 ( 0 1 ) e R Ayar değişmezliği Bu kesimde, bir serbest parçacık lagranjyeni olan L 0 için, ayar değişmezliği ya da ayar invaryantlığı ilkesi uygulanarak ayar alanları ile etkileşen parçacığın etkileşme lagranjyeninin elde edilişi incelenmektedir. Buna göre, elektrozayıf etkileşmelerin SU() U(1) ayar grubunun dört üreticisine karşılık gelen dört ayar vektör bozon alanı ortaya koyulacaktır. Bu dört alandan bir tanesi kütlesiz olup elektromagnetik etkileşmelerin kuvvet taşıyıcı parçacığı olan foton alanına karşılık gelecektir ve diğer üç vektör bozon alanı Higgs mekanizması ile kütle kazanarak deneysel 1

24 olarak gözlenen kısa menzilli zayıf kuvvetleri ifade edeceklerdir. Bu mekanizmanın düzgün olarak işlemesi için kompleks skaler alanların oluşturduğu bir zayıf izospin ikilisine gereksinim vardır ve bu alanlardan birinin elektriksel olarak yüksüz olması gerekir. Bu alanlar birbiriyle, öz-bağlaşım biçiminde etkileşirler. Böylece, gizli ayar değişmezliği sağlanır ve bu alanlar elektronla etkileşerek ona kütle kazandırırlar. Bu kesimin incelenmesinde (Ho-Kim and Pham 1998) esas alınmıştır. Bir elektron ailesini ifade eden serbest lagranjyen L 0 ayar değişmez biçimde aşağıdaki ifadeye dönüştürülür L l = ψ L iγ µ D L µψ L + ψ R iγ µ D R µ ψ R (.37) burada normal(adi) türev işlemi aşağıdaki biçimde kovaryant türevle değiştirilmiştir D L µψ L = ( µ + iga iµ τ i + ig B µ Y L )ψ L (.38) D R µ ψ R = ( µ + ig B µ Y R )ψ R (.39) Burada, A µi ler, SU L () ye karşılık gelen vektör ayar alanlarıdır ve B µ ise U Y (1) in ayar alanıdır. Bu alanların dinamiği aşağıdaki lagranjyende içerilmektedir L G = 1 4 W i µνw µν i 1 4 B µνb µν (.40) burada aşağıdaki ifadeler kullanılmıştır W i µν = µ A i ν ν A i µ gɛ ijk A j µa k ν (.41) B µν = µ B µ ν B µ (.4) L l ve L G lagranjyenleri uzay-zaman koordinatlarına bağlı U [w(x)] ve U 1 [w(x)] yerel dönüşümlerinin tanımladığı SU L () U Y (1) grubu altında değişmez kalır. Dönüştürülmüş alanlar aşağıdaki biçimde gösterilirler 13

25 ψ L = U U 1 ψ L, ψ R = U 1 ψ R ; (.43) B µ = B µ + µ w; (.44) A µ = U Aµ U + i g ( µu )U A µ + µ w + ig[a µ, w] (.45) burada A µ = 1 τ ia i µ hermityen ayar alanı matrisidir...3 Kendiliğinden simetri kırılması ve Higgs mekanizması Standart Model in en önemli başarılarından bir tanesi ayar alanlarının ve leptonların kütlelerini ifade edebilen bir model olmasıdır. Kütle terimlerini ifade etmek için higgs mekanizması denilen yöntem kullanılır. Bu, mekanizmaya göre boşluk(vakum) Higgs alanı denilen bir skaler alanla doldurulmuştur. Bu alanın, ayar alanlarıyla ve lepton alanlarıyla etkileşmeleri alanların kütleleri olarak ifade edilebilmektedir. Higgs alanı zayıf hiperyükü Y H olan bir SU() ikilisi oluşturan iki kompleks skaler alan ile ifade edilir φ = ( φ + φ 0 ) (.46) Bu alanların dinamiği aşağıdaki ayar-değişmez lagranjyende öz-bağlaşımlı bir potansiyelle temsil edilir L s = (D µ φ) (D µ φ) V (φ) (D µ φ) (D µ φ) µ φ φ λ(φ φ) (.47) burada skaler alanın kovaryant türevleri aşağıdaki biçimde tanımlanmıştır (D µ φ) = ( µ + iga µ + ig B µ Y H )φ (.48) (D µ φ) = ( µ φ igφ A µ ig B µ Y H φ (.49) 14

26 Son olarak, elektron kütlesinin üretilişini ifade etmek için skaler alanlar ve fermiyon alanları arasındaki ayar invaryant Yukawa bağlaşımları aşağıdaki lagranjyenle ifade edilir L ly = C e [ ψ R (φ ψ L ) + ( ψ L φ)ψ R ] (.50) burada, C e Yukawa bağlaşımının şiddetini ifade eden bir parametredir. L ly lagranjyeni SU L () dönüşümleri altında açık bir biçimde invaryanttır(bu, niçin skaler alanlardan oluşan bir ikiliye gerek olduğunu göstermektedir.). Buna karşın, U Y (1) dönüşümleri altında invaryant olabilmesi için φ alanının zayıf hiperyükünün Y H = Y L Y R yani Y H = 1 olması gerekir. Zayıf izospinin bu şekilde belirlenmesinden ve Q = T 3 + Y/ ifadesinden dolayı, φ + alanı Q = +1 elektrik yüklü ve φ 0 alanı Q = 0 yüklü olarak belirlenir. Bu yolla, elektrik yükü sıfır olan bir alanının bulunması φ için U Q (1) invaryant bir beklenen değerin bulunmasına ve kütlesiz bir ayar bozonuna yol açar Kendiliğinden simetri kırılması Skaler alanın dinamiğini ifade eden V (φ) potansiyelinin, λ pozitif bir sayı ve µ negatif bir sayı olmak üzere ( V/ φ) = 0 için aşağıdaki denklemle ifade edilen sonsuz sayıda minimumu vardır φ = µ λ v (.51) Fiziksel vakumun sadece bir tane minimum değerinin olması beklenir. Böylece, vakumu doldurduğu varsayılan alanı ifade eden skaler ikili aşağıdaki gibi bir beklenen değer kazandığında minimum değerlerin sağladığı dönme simetrisi kırılmış olur 0 φ 0 = v = ( 0 v/ ) (.5) burada v = µ /λ beklenen değeri reel bir sabittir. v ikilisi, simetri kırıldıktan sonra skaler alanın vakum beklenen değerini göstermektedir. Bu değerin, Higgs alanı 15

27 için T i = τ i ve Y = T 3 şeklinde ifade edilen operatörler altında sıfıra dönüşmediği aşağıdaki biçimde görülebilir T 3 v = 1 v,... (.53) Y v = Y H v = v (.54) Buna karşın, T i ve Y operatörlerinin karışımı olan aşağıdaki dönüşüm v ikilisini sıfır ikilisine dönüştürür Qv = (T Y )v = 0 (.55) Böylece, SU() L ve U(1) Y simetrileri ayrı ayrı olarak kendiliğinden tamamen kırılmış olur. Buna karşın, SU() L U(1) Y simetrisi hala tam olarak kırılmamıştır: simetri kırıldıktan sonra elektromagnetik yük Q tarafından üretilen bir kalıntı simetri vardır. Bu simetri kırılması süreci, aşağıdaki indirgenme denklemi ile ifade edilir SU() L U Y (1) U Q (1) (.56) Orjinal φ + ve φ 0 kompleks skaler alanları aşağıdaki biçimde fiziksel ξ 1, ξ, ξ 3 ve H alanları cinsinde ifade edilebilirler φ = ( φ + φ 0 ) = exp(i ξ i T i ) ( 0 1 (v + H) ) (.57) tüm bu reel alanların beklenen değerleri sıfıra eşittir 0 ξ i 0 = 0 H 0 = 0 (.58) Bu aşamada, fiziksel olmayan üç kütlesiz bozon alanını (Goldstone bozonlarını) ifade eden ξ i alanlarını ortadan kaldırarak geriye kalan fiziksel alanların spektrumunu ve 16

28 birbirleriyle etkileşmelerini daha açık bir biçimde ifade etmeyi sağlayan dönüşüm üniter ayar seçilerek model yeniden ifade eilebilir. Bunun için, önce tüm alanlara aşağıdaki gibi üniter bir dönüşüm uygulamak gerekir S = exp( i ξ i T i ) (.59) v i Böylece, dönüşmüş alanlar aşağıdaki gibi ifade edilirler φ = Sφ = 1 [v + H(x)]χ; ( ) 0 χ = 1 (.60) ψ l = Sψ L ; ψ R = ψ R ; (.61) B µ = B µ ; (.6) A µ = SA µ S + i g ( µs)s. (.63) Oluşturulan modelin lagranjyeni tüm bu dönüşümler altında doğal olarak değişmez kalır. Yeni alanlar cinsinden, lagranjyenin farklı kısımları aşağıdaki biçimde ifade edilirler L s = (D µφ ) (D µ φ ) µ φ φ λ(φ φ ) ; (.64) L G = 1 4 W µ µνw µν i 1 4 B µνb µν ; (.65) L l = ψ Liγ µ D L µ ψ L + ψ Riγ µ D R µ ψ R (.66) L ly = C e [ ψ R(φ )ψ L + ψ L(φ )ψ R] (.67) Burada, L s, skaler alanın kendi kendine ve ayar alanlarıyla; L G ayar alanlarının birbirleri ile; L l lepton alanlarının ayar alanlarıyla, L ly leptonların skaler alanla Yukawa etkileşmesini ifade etmektedir. Aksi belirtilmedikçe alanların üzerindeki üs işareti bu noktadan sonra kullanılmayacaktır. 17

29 .3 Standart Model Alanları.3.1 Skaler alan lagranjyeni ve ayar alanları Skaler alanların modeldeki ana işlevi ayar bozonlarının ve elektronun kütlesini üretmektir. Ayar alanı matrisi aşağıdaki açık biçimde yazılabilir A µ 1 τ ia iµ = 1 (τ 1A 1µ + τ A µ + τ 3 A 3µ ) = 1 (τ + W µ + τ W µ) + 1 τ 3A 3µ (.68) burada, + ve alt etiketli operatörler τ ± = 1 (τ 1 ± iτ ) ve W µ = 1 (A 1µ ia µ ) şeklinedir. Böylece, skaler alanın kovaryant türevi aşağıdaki biçimde verilir D µ φ = ( µ + ig A µ + ig B µ Y H )v + H χ ( = 1 1 igw µ (v + H) µ H 1 i(ga 3µ g B µ )(v + H) ) (.69) Vektör bozon kütleleri, skaler alan lagranjyenindeki kinetik terimde içerilirler (D µ φ) (D µ φ) = = 1 4 g (v + H) W µw µ + 1 [ µh µ H (v + H) (ga 3µ g B µ ) ] 1 4 g v W µw µ v (ga 3µ g B µ ) + 1 µh µ H (vh + H )[g W µw µ + 1 (ga 3µ g B µ ) ] (.70) Genel olarak, bir kompleks vektör alanı için beklenen kütle terimi M W W µw µ biçimindedir. Böylece, yüklü vektör bozonları için kütle terimi (.70) denkleminden aşağıdaki gibi ifade edilir M W = 1 gv (.71) 18

30 Diğer taraftan, yüksüz alanlara göre kareli terimler şu şekildedir 1 8 v (ga 3µ g B µ ) (.7) Bu ifadeden aşağıdaki köşegen olmayan matris ifadesi bulunur ( 1 g gg 8 v gg g ) (.73) Bu matrisi köşegenleştirmek için iki yüksüz alanın kütle özdurumlarını verecek olan aşağıdaki ortogonal dönüşümler dikkate alınabilir A µ = sin θ W A 3µ + cos θ W B µ (.74) Z µ = cos θ W A 3µ sin θ W B µ (.75) veya bunun tersi olarak aşağıdaki dikkate alınabilir A 3µ = sin θ W A µ + cos θ W Z µ (.76) B µ = cos θ W A µ sin θ W Z µ (.77) bu denklemlerde θ W, Weinberg açısı olarak adlandırılan ve değeri daha sonra belirlenecek olan bir karışım açısıdır. Bu ifadeler, (.7) denkleminde yerine yazılırsa aşağıdaki eşitlik bulunur 1 8 v (ga 3µ g B µ ) = 1 8 v [A µ(g sin θ W g cos θ W ) + Zµ(g cos θ W + g sin θ W ) + A µ Z µ (g sin θ W g cos θ W )(g cos θ W + g sin θ W )] (.78) SU() L U(1) Y U(1) Q indirgenme denkleminden görüldüğü biçimde U Q (1) simetrisi kırılmamıştır dolayısıyla buna karşılık gelen ayar bozonu(foton) kütlesiz 19

31 kalır. Bu bozon A µ ile gösterilirse (.78) denkleminin köşegenleştirilmesi ile aşağıdaki ifade sağlanır g sin θ W = g cos θ W (.79) Böylece, θ W karışım açısı SU() L ve U(1) Y grup çarpanlarının birbirine göre şiddetlerinin bir ölçüsünü vermektedir; bu ölçü aşağıdaki bağıntılarla hesaplanabilir cos θ W = g g + g ; sin θ W = g. (.80) g + g Bu fonksiyonlarla bundan sonrki işlemlerde sıksık karşılaşılacağından aşağıdaki basitleştirilmiş gösterimler kullanılabilir c W cos θ W, s W sin θ W (.81) Alanların karelerini içeren (.78) denklemi yüksüz bir vektör alanı için beklenen kütle terimi M W Z µz µ terimine indirgenmelidir böylece Z µ nün kütlesi aşağıdaki ifadeyle verilir M Z = 1 v(gc W + g s W ) = 1 v g + g = gv c W (.8) Burada, iki zayıf ayar alanının kütleleri aşağıdaki özdeşiği sağlamaktadırlar M W = c W M Z (.83) Diğer taraftan, potansiyel ifadesi simetri kırıldıktan sonra aşağıdaki hali alır V (φ) = 1 µ (v + H) (χ χ) λ(v + H)4 (χ χ) = 1 4 µ v µ H + λ(vh H4 ) (.84) 0

32 burada, vakum beklenen değeri v = µ /λ ifadesini sağlamaktadır. Bu eşitlikten yararlanarak geriye kalan skaler alanın kütlesi aşağıdaki eşitlikle belirlenir M H = µ (.85) Böylece, L s lagranjyeni üniter ayarda aşağıdaki biçimde ifade edilir L s = (D µ φ) (D µ φ) V (φ) = 1 ( µh µ H MHH ) gm H H 3 g MH H 4 4M W 3MW + gm W (H + g H )W 4M µw µ + MW W µw µ W + 1 gm Z (H + c W g 4c W M Z H )Z µ Z µ + 1 M ZZ µ Z µ (.86) Bu denklemde, orjinal parametreler aşağıdaki ifadelerde olduğu gibi, parçacık kütleleri ile değiştirilmişlerdir v = M W g = M Z ; λ = µ g + g v = M H v = g M H 8M W (.87) Buradaki H alanı elektrik olarak yüksüz olduğundan elektromagnetik alanla bağlaşmaz ancak L s yine de U Q (1) invaryanttır..3. Ayar Alanları Ayar alanlarını ifade eden lagranjyen L G ile verilir. Bu lagranjyen serbest ve etkileşen alanlar için aşağıdaki biçimde ayrıştırılır L G = L 0 G + L 1 G + L G; (.88) L 0 G = 1 4 Ai µνa µν i 1 4 B µνb µν, (.89) L 1 G = 1 gɛ ijka j µa k νa µν i, (.90) L G = 1 4 g ɛ ijk ɛ ilm A j µa k νa µ l Aν m. (.91) 1

33 İki etkileşen alan terimi SU() cebrinin yapı sabitleri ile birlikte Abelyen olmayan teorilerin karakteristik özelliğidir. Burada alan şiddetleri için kullanılan semboller aşağıdaki gibidir A i µν µ A i ν A i µ, B µν µ B ν ν B µ (.9) L G ayar alanlarını ifade eden lagranjyenin A µ, W µ ve Z µ nün kütle özdurumlarında yeniden ifade edilişi ile birlikte standart modelde bu alanların birbiriyle etkileşmeleri ifade edilir. Kütle özdurumuna geçiş için önce bu ayar alanlarının alan şiddetleri aşağıdaki gibi tanımlanır A µν = µ A ν ν A µ, W µν = µ W ν ν W µ, Z µν = µ Z ν ν Z µ (.93) Lagranjenin kinetik kısmı, böylece, aşağıdaki gibi yazılabilir L 0 G = 1 W µνw µν 1 Z µνz µν 1 A µνa µν (.94) burada aşağıdaki ifadeler dikkate alınmıştır A 1 µνa µν 1 + A µνa µν = W µνw µν A 3 µνa µν 3 + B µν B µν = A µν A µν + Z µν Z µν (.95) Üç alanın birbiriyle bağlaşımını ifade eden lagranjyen L 1 G ile gösterilebilir. Bu lagranjyen iki çarpandan oluşur: bunlardan biri olan ɛ ijk A j µa k ν çarpanı aşağıdaki terimleri içerir

34 ɛ 1jk A j µa k ν = A µ A 3ν A ν A 3µ i [(W µ W µ )(s W A ν + c W Z ν ) (W ν W ν )(s W A µ + c W Z µ )] ɛ jk A j µa k ν = A 3µ A 1ν A 3ν A 1µ 1 [ (W µ + W µ )(s W A ν + c W Z ν ) + (W ν + W ν )(s W A µ + c W Z µ )] ɛ 3jk A j µa k ν = A 1µ A ν A 1ν A µ = i(w µw ν W ν W µ ) (.96) L 1 G lagranjyeninin ikinci çarpanı Aµν i aşğıdaki gibidir A 1 µν = 1 (W µν + W µν ) A µν = i (W µν W µν ) A µν = c W Z µν + s W A µν (.97) Bu iki çarpanla birlikte üçlü ayar bağlaşımını içeren lagranjyen aşağıdaki biçimde yazılır L 1 G = 1 gɛ ijka jµ A kν A µν i = igw µ W ν (s W A µν + c W Z µν ) + ig(w µ W µν W µ W µν )(s W A ν + c W Z ν ) (.98) Dört-alanın bağlaşımını ifade eden L G lagranjyeni için aşağıdaki eşitliğin gözönünde bulundurulması yeterlidir A jµ A jν = A 1µ A 1ν + A µ A ν + A 3µ A 3ν = W µw ν + W µ W ν + (s W A µ + c W Z µ )(s W A ν + c W Z ν ) (.99) Böylece, L G aşağıdaki biçimde yazılabilir 3

35 L G = 1 4 g ɛ ijk ɛ ilm A j µa k νa µ l Aν m = 1 4 g [(A jµ A µ j )(A kνa ν k) (A jµ A ν j )(A kν A µ k )] = 1 g (W µw µ W ν W ν W µ W µw µw ν W µ ) g W µw µ (s W A µ A ν + c W Z ν Z ν + s W c W A ν Z ν ) +g W µw ν (s W A µ A ν + c W Z µ Z ν + s W c W (A µ Z ν + A ν Z µ ) (.100) Sadece yüksüz alanlara bağlı terimler (A Z, Z, vb. gibi) birbirini yok ederler ve böylece L G sadece yüklü bozonları içerir. Bu yüklü bozonlar A µ ye U Q (1)- invaryant bir yolla bağlaşmak zorundadırlar. Bunun gerçekten bu şekilde olduğunu görmek için aşağıdaki terimler toplanabilir 1 W µνw µν L 0 Gdan igs W A ν (W µνw µ W µ W µν ) L 1 Gden g s W (W µw µ A ν A ν W µw ν A µ A ν ) L Gden (.101) Bu ifadelerin toplamı şöyledir 1 [W µνw µν igs W A ν (W µνw µ W µ W µν ) + g s W (W µw µ A ν A ν W µa µ W ν A ν )] = 1 (D µw ν D ν W µ ) (D µ W ν D ν W µ ) (.10) Burada W µ nün kovaryant türevi aşağıdaki gibi tanımlıdır D µ W ν = ( µ + igs W A µ )W ν. (.103) Buna göre, W µ alanının U Q (1)-invaryant bir biçimde elektromagnetik alanla etkileşirken gs W şeklinde bir pozitif elektrik yükü taşıdığı açığa çıkmış olur. Beklendiği gibi, A µ ve Z µ alanları elektriksel olarak yüksüzdürler. 4

36 .3.3 Leptonlar Bu kesimde, L l ve L ly lagranjyenleri gözönüne alınmaktadır. Simetri kırıldıktan sonra, skaler alanla bağlaşımdan dolayı elektronun kütle kazanması beklenir. Gerçekten elektron simetri kırıldıktan sonra kütle kazanmaktadır ( ψ L φ = ν L ē L ) ( 0 1 ) v + H = v + H ē L (.104) Yukawa bağlaşımları aşağıdaki gibi bulunur L ly = C e [ ψ R (φ ψ L ) + ( ψ L φ)ψ R ] = C e (v + H)(ē R e L + ē L e R ) = C e (v + H)ēe (.105) bu terim elektron alanının ikinci kuvvetini içermektedir ve dolayısıyla elektron için m e ēe ifadesindeki Dirac kütlesi olarak dikkate alınmalıdır m e = C ev (.106) Bu ifadenin Yukawa bağlaşımının şiddetini ifade etmek için tersi alınabilir C e = me v = gm e (.107) MW Böylece, skaler-elektron bağlaşımı aşağıdaki biçimde ifade edilir L ly = m e ēe gm e M W Hēe (.108) Son olarak, elektron ve elektron nötrinosu için ayar-invaryant kısım aşağıdaki biçimde ifade edilir 5

37 L l = ψ L iγ µ D L µψ L + ψ R iγ µ D R µ ψ R (.109) Bu ifadenin sağ-tarafındaki ilk terim aşağıdaki biçimde yeniden ifade edilebilir ψ L iγ µ D L µψ L = ψ L iγ µ ( µ + iga µ i g B µ )ψ L = ψ L iγ µ [ µ + i g(w µ τ + + W µτ ) i (ga 3µτ 3 g B µ )]ψ L (.110) (.109) denkleminin sağ-tarafındaki ikinci terim de aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilir ψ R iγ µ D R µ ψ R = ψiγ µ ( µ + ig Y R B µ)ψ R = ē R iγ µ µ e R + g ē R γ µ e R B µ (.111) (.110) ve (.111) denklemleri leptonların bozonlarla etkileşmelerini ifade ettiği gibi iki lepton için beklenen kinetik terimleri de içermektedirler ψ L iγ µ L µ ψ L + ψ R iγ µ R µ ψ R = ν L iγ µ µ ν L + ēiγ µ µ e (.11) Leptonlarla bozonların etkileşmelerini ifade eden bağlaşımlardan yük-değiştiren bağlaşımlar aşağıdaki biçimde bulunur L l cc = g [( ψ L γ µ τ + ψ L )W µ + ( ψ L γ µ τ ψ L )W µ] = g (J µ W µ + J µ W µ) (.113) Bu lagranjyende yüklü akımlar aşağıdaki gibi tanımlanır 6

38 J µ = j 1 µ ij µ = ψ L γ µ τ ψ L = ē L γ µ ν L ; (.114) J µ = j 1 µ + ij µ = ψ L γ µ τ + ψ L = ν L γ µ e L (.115) Yüksüz ayar alanı ile lepton bağlaşımını ifade eden terimler, benzer olarak, aşağıdaki gibi ifade edilir L l nc = ga 3µ ( ψ L γ µ τ 3 ψ L) 1 g B µ ( ψ L γ µ ψ L ψ R γ µ ψ R ) = gj 3 µa µ 3 1 g j Y µ B µ (.116) burada j µ i = ψ L γ µ τ i ψ L (i = 1,, 3) ve jµ Y = Y L ψl γ µ ψ L + Y R ψr γ µ ψ R ifadeleri kullanılmıştır. Ayar grubu özdurumları olan A 3 µ ve B µ ifadeleri kütle özdurumları olan A µ ve Z µ ifadeleri cinsinden yazılırsa bağlaşımlar aşağıdaki hali alırlar L l nc = (gs W j 3 µ + 1 g c W j Y µ )A µ (gc W j 3 µ 1 g s W j Y µ )Z µ (.117) Farklı yüksüz akımlar birbirine j em µ = j 3 µ + 1 jy µ eşitliği ile bağlı olduğundan A µ nün bağlaştığı vektör akımı aşağıdaki biçimde yazılabilir gs W j 3 µ + 1 g c W j Y µ = g c W j em µ + (gs W g c W )j 3 µ = gs W j em µ + 1 (g c W gs W )j Y µ (.118) Son iki eşitliğin sağ-tarafındaki ikinci terimler g sin θ W = g cos θ W eşitliğinden dolayı birbirini yok ederler ve ilk terimler ej em µ elektromagnetik olarak elealınır. Buna göre, orjinal simetrilerle kalıntı simetrilere karşılık gelen bağlaşım sabitleri arasındaki bir ilişki aşağıdaki biçimde ifade edilir e = gs W = g c W, ya da 7 1 e = 1 g + 1. (.119) g

39 Diğer taraftan, Z µ ye bağlaşan vektör alanı aşağıdaki gibidir gc W j 3 µ 1 g s W j Y µ = gc 1 W (j3 µ s W j em µ ) gc 1 W jz µ (.10) L l nc = (gs W j 3 µ + 1 g c W j Y µ )A µ (gc W j 3 µ 1 g s W j 3 µ) (.11) Burada, zayıf-yüksüz akım aşağıdaki biçimde tanımlanmıştır j Z µ = j 3 µ s W j em µ = ψ L γ µ T 3 ψ L s W [Q e (ē L γ µ e L + ē R γ µ e R )] = ψ L γ µ Z L ψ L + ψ R γ µ Z R ψ R (.1) burada elektrik yüküyle benzer olarak zayıf-yükler aşağıdaki denklemlerle tanımlanmıştır Z L = T 3L Qs W, Z R = Qs W. (.13) Zayıf-yüksüz akım birleştirilmiş modelin kendine has bir özelliğidir. Bu akım, yüklü akımdan birçok yönden farklıdır: karakteristik yükü T 3 Qs W köşegen bir matristir ve elektronun hem sol hem de sağ-elli bileşenlerini içerir. Bu akım elektromagnetik akımdan da hem yüksüz hem de yüklü lepton alanlarını içermesi bakımından farklıdır. Tüm bu dönüşümlerden sonra yüksüz akım bağlaşımlarının tamamı aşağıdaki kompakt ifadeye indirgenirler L l nc = ej em µ A µ g c W j Z µ Z µ. (.14) ej em µ A µ e.m. (elektromagnetik) bağlaşımı (.11) deki kinetik terimlerle birlikte şu şekildedir 8

40 ν L iγ µ µ ν L + ē L iγ µ µ e L + eēγ µ ea µ = ν L iγ µ µ ν L + ē L iγ µ ( m u iea µ )e (.15) Bu ifade, bilinen minimal bağlaşım ile lepton lagranjyeninin U Q (1) ayar değişmezliğini ifade etmektedir..4 Tek-Lepton Ailesi için SM Feynman Kuralları Elektrozayıf etkileşmelerin Standart Modeli ne göre Feynman kurallarının ifade edilişi bu kesimde incelenmektedir. Bunun için modelin lagranjyeni, L s lagranjyeninden elde edilen W ± ve Z alanlarının kütle terimleri L G lagranjyeni ile birleştirilerek ayar alanları için aşağıdaki ifadeler elde edilir L 0 G = 1 W µνw µν + MW W µw µ 1 W µνw µν Z µz µ 1 4 A µνa µν ; (.16) L 1 G = igs W (W µ W ν A µν + W µνw µ A ν W µν W µ A ν ) +igc W (W µ W ν Z µν + W µνw µ Z ν W µν W µ Z µ ); (.17) L G = (gs W ) (W µw µ A ν A ν W µw ν A µ A ν ) (.18) (gc W ) (W µw µ Z ν Z ν W µw ν Z µ Z ν ) (.19) (gs W )(gc W )[W µw µ A ν Z ν W µw ν (A µ Z ν + A ν Z µ )] (.130) + 1 g (W µw µ W ν W ν W µw µ W ν W ν ) (.131) Skaler alanın orjinal lagranjyeninden yukarıda ifade edilen W ± ve Z nin kütle terimleri çıkarılırsa Higgs alanı ve onun vektör bozonları ile etkileşmelerini ifade eden lagranjyene ulaşılır L s = 1 ( µh µ H MHH ) 1 3gMH 3! +gm W (H + g M W H 3 1 4! 3g MH H 4 (.13) 4MW 4M W H )W µw µ (.133) + gm Z g (H + H )Z µ Z µ ) (.134) c W 4c W M Z 9