Süpersimetriye giriş : 1 boyutta süpersimetri, süpercebir ve süperuzay

Transkript

1 Süpersimetriye giriş : 1 boyutta süpersimetri, süpercebir ve süperuzay Kayhan ÜLKER Abbasağa Mah., İstanbul UluYef 12 Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef 12 1 / 32

2 Süpersimetriye giriş : 1 boyutta süpersimetri, süpercebir ve süperuzay Kayhan ÜLKER Abbasağa Mah., İstanbul UluYef 12 Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef 12 2 / 32

3 SİMETRİ Kısa Tarih: Süpersimetrinin Gelişimi Simetri fizikte önemli bir yer tutar ve matematiksel olarak simetri grup teorisi ile formüle edilir! Örneğin (3+1) boyutlu uzay zamanda kuantum alan teorisinin simetri grubu Poincare dönme (J µν ) + öteleme (P µ ), µ, ν = 0, 1, 2, 3) grubudur. Bu grup üreteçleri bir Lie cebri oluşturur : [J µν, J ρσ ] = i(η νρ J µσ η µρ J νσ η νσ J µρ + η µσ J νρ ) [P µ, J ρσ ] = i(η ρµ P σ η σµ P ρ ), [P µ, P ν ] = 0 Diğer taraftan diğer ek simetriler (yük, isospin gibi iç simetriler) skaler üreteçler (Ω) tarafından üretilebilir 1967 Coleman-Mandula no-go teoremi: Poincare grubunu (P µ, J µν ) trivial olmayan bir şekilde genişletmek mümkün değil trivial (değersiz) olan yöntem : [P µ, Ω] = 0 = [J µν, Ω]) Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef 12 3 / 32

4 SÜPERSİMETRİ Kısa Tarih: 1971 Golfand-Likhtman - SUSYnin doğuşu Eğer bir Lie grubu dereceli (graded) yapıya sahipse Poincare grubunu genişletmek mümkün olur Süpercebir (Z 2 dereceli yapı ) SUSY : Fermiyon Bozon, Bozon Fermiyon 1974 Wess-Zumino Modeli 4-boyutta ilk renormalize edilebilir teori SUSY popüler olmaya başlıyor! 1975 Haag-Lopusanski-Sohnius Relativistik Kuantum Alan Teorisinin 4-boyutta mümkün olan tutarlı tek genişletilmesi sadece Poincare + SUSY cebri ile mümkündür.. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef 12 4 / 32

5 SÜPERSİMETRİ Kısa tarih : Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef 12 5 / 32

6 SÜPERSİMETRİ Kısa tarih : find k yaklaşık makale! (Sadece 2012 de Şubat başına kadar 115 makale.). Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef 12 5 / 32

7 SÜPERSİMETRİ Kısa tarih : find k yaklaşık makale! (Sadece 2012 de Şubat başına kadar 115 makale.) LHC???. (LHC : Large Hadron Collider - Büyük Hadron Çarpıştırıcısı) Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef 12 5 / 32

8 SÜPERSİMETRİ Diğer uygulamalar Süpersimetrinin Diğer Uygulamaları Süpersimetri fikri sadece yüksek enerji fiziğine özgü değildir! Özellikle 1981 de Witten ın 1-boyutlu supersimetrik modeli inşa etmesinden sonra süpersimetri kuantum mekaniği, istatistik fizik, yoğun madde fiziği konularının günümüzde de yoğun olarak çalışılan en temel araçlarından biri olmuştur. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef 12 6 / 32

9 SÜPERSİMETRİ Diğer uygulamalar Süpersimetrinin Temel Özellikleri Süpersimetrik bir kuantum alan teorisi süpersimetri altında dönüşen alanlar ve bu simetri altında değişmez kalan bir Eylem ile tutarlı olarak ifade edilebilir. Dolayısıyla süpersimetrik teorilerin yapıları oldukça kısıtlanmıştır : Bozonlar ve fermionlar sadece spin-1/2 fermiyonik simetri operatorleri Q ile birbirlerine dönüştürülebilir. Q fermiyon >= bozon >, Q bozon >= fermiyon > Sadece süpersimetri sayesinde birbirlerine dönüşen farklı spinli fermiyon ve bozonlar tek bir (süper) simetri çoklusunun elemanları olarak yazılabilir. Herhangi bir süperçokluda fermiyon ve bozon sayıları eşittir. Aynı çokluya ait olan tüm fermiyon ve bozon alanları aynı kütleye ve aynı bağlanma sabitine sahiptir. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef 12 7 / 32

10 SÜPERSİMETRİ Diğer uygulamalar Süpersimetrik bir teorinin eylemi iki farklı yolla yazılabilir. Bileşen (component) alan formülasyonu : Eylemin sahip olması istenen alanlar ve süperçoklular belirlenir. Eylem için standart kuantum alan teorisinden bilinen, kinetik terimler ve renormalize edilebilir en genel kütle ve etkileşme terimleri yazılır. Eylemdeki bu terimlerin katsayıları süpersimetri altında değişmez kalma şartıyla kısıtlanır. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef 12 8 / 32

11 SÜPERSİMETRİ Diğer uygulamalar Süpersimetrik bir teorinin eylemi iki farklı yolla yazılabilir. Bileşen (component) alan formülasyonu : Eylemin sahip olması istenen alanlar ve süperçoklular belirlenir. Eylem için standart kuantum alan teorisinden bilinen, kinetik terimler ve renormalize edilebilir en genel kütle ve etkileşme terimleri yazılır. Eylemdeki bu terimlerin katsayıları süpersimetri altında değişmez kalma şartıyla kısıtlanır. formülasyonu : QFT : Bildiğimiz 4 boyutlu uzay x µ Poincare/Lorentz koset uzayını parametrize ediyor. SUSY QFT : O zaman SuperPoincare/Lorentz koset uzayı (x µ, θ α, θ α ) 4+4 boyutlu SUPERUZAY ı parametrize eder! : Süpersimetrik eylemler doğrudan bu koordinatların fonksiyonları olan süperalanlar Φ(x, θ, θ) yardımıyla yazılır. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef 12 8 / 32

12 Eylem 1-Boyutlu Süpersimetrik Model t-ile parametrize edilen 1-boyutlu uzayda, φ(t) bir bozonik alan ψ(t) bir fermiyonik alan olsun. ψ(t), her bir t için bağımsız bir Grassmann değişkendir : ψ(t 1 )ψ(t 2 ) = ψ(t 2 )ψ(t 1 ) (ψ(t)) 2 = 0 Eğer dψ(t)/dt ψ(t) varsa benzer şekilde ψ(t 1 ) ψ(t 2 ) = ψ(t 2 ) ψ(t 1 ), ψ(t)ψ(t) = ψ(t) ψ(t) ψ ve φ alanlarının matematiksel olarak birbirinden farkı dtψ(t) ψ(t) dt d dt (ψ(t)(ψ(t)) ifadesinden görülebilir. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef 12 9 / 32

13 Modeli basitleştirmek için φ ve ψ yi reel alalım : (φ) = φ, (ψ) = ψ Bu modelin eylemi, ( 1 I = dt 2 φ 2 + i ) 2 ψ ψ şeklinde yazılır. Eylemin hermitsel olduğu (I = I ) kolayca görülebilir. Fiziksel intermezzo : Bu eylemde 1 2 φ 2 terimi, 4-boyutta Klein-Gordon eyleminin (x, y, z) den bağımsız bir alana indirgenmesi, i 2 ψ ψ terimi, reel Majarona spinorü için yazılan Dirac eyleminin bu spinörün bir bileşenine indirgenmesi gibi düşünülebilir! Doğal birim sisteminde ( = c = 1) eylem boyutsuz ([I ] = 0) ve [t] = 1 olduğundan eylemdeki alanların boyutları Eylem olur. [φ] = 1 2, [ψ] = 0 Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

14 Süpersimetri dönüşümleri δ ξ, parametresi reel SABİT Grassmann bir değişken ξ olan süpersimetri dönümü olsun. Tanım olarak, olmalı. δ ξ (bozonik bir ifade) = ξ(fermionik bir ifade) δ ξ (fermionik bir ifade) = ξ(bozonik bir ifade) δ ξ φ = iξψ olsun. O zaman [ξ] = 1/2 olmalıdır. Ancak benzer şekilde boyutsal nedenlerden δ ξ ψ = iξφ yazılamaz. Dolayısıyla δ ξ ψ = ξf (φ) yazalım. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

15 Süpersimetri dönüşümleri δ ξ, parametresi reel SABİT Grassmann bir değişken ξ olan süpersimetri dönümü olsun. Tanım olarak, olmalı. δ ξ (bozonik bir ifade) = ξ(fermionik bir ifade) δ ξ (fermionik bir ifade) = ξ(bozonik bir ifade) δ ξ φ = iξψ olsun. O zaman [ξ] = 1/2 olmalıdır. Ancak benzer şekilde boyutsal nedenlerden δ ξ ψ = iξφ yazılamaz. Dolayısıyla δ ξ ψ = ξf (φ) yazalım. Boyutsal analiz yapılırsa [f (φ)] = 1/2 olmalıdır. Ancak eğer süpersimetri dönüşümü lineer alınırsa olası tek çözüm f (φ) ξ φ şeklinde bulunur. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

16 Süpersimetri dönüşümleri δ ξ, parametresi reel SABİT Grassmann bir değişken ξ olan süpersimetri dönümü olsun. Tanım olarak, olmalı. δ ξ (bozonik bir ifade) = ξ(fermionik bir ifade) δ ξ (fermionik bir ifade) = ξ(bozonik bir ifade) δ ξ φ = iξψ olsun. O zaman [ξ] = 1/2 olmalıdır. Ancak benzer şekilde boyutsal nedenlerden δ ξ ψ = iξφ yazılamaz. Dolayısıyla δ ξ ψ = ξf (φ) yazalım. Boyutsal analiz yapılırsa [f (φ)] = 1/2 olmalıdır. Ancak eğer süpersimetri dönüşümü lineer alınırsa olası tek çözüm f (φ) ξ φ şeklinde bulunur. Aradaki orantı sabiti δ ξ I = 0 olacak şekilde seçilirse elde edilir. δ ξ ψ = ξ φ Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

17 Süpersimetri dönüşümleri Özet olarak : δ ξ φ = iξψ, δ ξ ψ = ξ φ süpersimetri dönüşümleri. I = ( dt 1 φ ) i 2 ψ ψ bu dönüşümler altında değişmez kalan (süpersimetrik) eylem. (φ, ψ) reel skaler süpersimetri multipleti elde edilir. Dikkat edilirse süpersimetrik bu modeldeki bozon sayısı (1) fermiyon sayısına (1) eşittir. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

18 Süpersimetri cebri Süpersimetri Cebri Süpersimetri cebrini elde etmek için iki kez süpersimetri dönüşümü uygulanırsa, [δ η, δ ξ ]φ = (δ η δ ξ δ ξ δ η )φ = 2iηξ φ [δ η, δ ξ ]ψ = 2iηξ ψ elde edilir.dolayısıyla yukarıdaki komutatörler en genel bir ifade için ( ) d [δ η, δ ξ ] = 2iηξ dt şeklinde yazılabilir. Görüldüğü gibi komütatörün sağ tarafı t-uzayında mesafesi t 0 = 2iηξ olan ötelemelere karşılık gelmektedir! Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

19 Süpersimetri cebri Süpersimetri cebrini jeneratörler cinsinden kısa yoldan görmek için bir hile yapalım : i d dt H, δ ξ iξq, δ η iηq olsun. Burada H ve Q sırasıyla öteleme ve süpersimetri jeneratörlerini temsil etmektedir. Yukarıdaki komutatör [δ η, δ ξ ] = (ξqηq ηqξq) = ξη(qq + QQ) = ξη{q, Q} şeklinde Q ların anti-komütatörü olarak yazılabilir.bu anti-komütatör yukarıdaki tanımlar yardımıyla {Q, Q} = 2H yazılır ve daha sonra Jacobi özdeşliği kullanılırsa komütatör bağıntısı elde edilir. [Q, H] = 0 Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

20 Süpersimetri cebri Dolayısıyla 1-boyutta süpersimetri cebri şeklinde yazılır. {Q, Q} = 2H, [H, Q] = 0, [H, H] = 0 Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

21 Süpersimetri cebri Dolayısıyla 1-boyutta süpersimetri cebri şeklinde yazılır. {Q, Q} = 2H, [H, Q] = 0, [H, H] = 0 Cebir ancak hem komütatörler hem de anti-komütatörler kullanılarak yazılabilir Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

22 Süpersimetri cebri Dolayısıyla 1-boyutta süpersimetri cebri şeklinde yazılır. {Q, Q} = 2H, [H, Q] = 0, [H, H] = 0 Cebir ancak hem komütatörler hem de anti-komütatörler kullanılarak yazılabilir Dolayısıyla Q ve H jeneratörleri kapalı dereceli (graded) Lie cebri oluşturur. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

23 Süpersimetri cebri Dolayısıyla 1-boyutta süpersimetri cebri şeklinde yazılır. {Q, Q} = 2H, [H, Q] = 0, [H, H] = 0 Cebir ancak hem komütatörler hem de anti-komütatörler kullanılarak yazılabilir Dolayısıyla Q ve H jeneratörleri kapalı dereceli (graded) Lie cebri oluşturur. Bu basit modelde cebrin kapanması için alanların hareket denklemlerinin kullanılmasına gerek yoktur (off-shell susy). Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

24 Kohomolojik yapı Kohomolojik yapı d Karesi sıfır olan bir operatör olsun. d 2 = 0 Böyle bir operatörü sıfır yapan çözüm kümesi, örneğin da = 0, bir kohomoloji problemi oluşturur. Bu problemin enteresan çözümleri da = 0, A db şeklinde olan çözümlerdir. Benzer tarzda problemler fizikte de önemli bir yer tutar. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

25 Kohomolojik yapı Benzer yapı 1-boyutlu basit modelde de görülebilir. Süpersimetri cebrinde {Q, Q} = 2H = 2id/dt olduğundan QQ = i d dt elde edilir. Eğer Q nun etki ettiği uzay integre edilmiş alan polinomlarına, örneğin A = dtf (φ, ψ) kısıtlanırsa Q nun bu uzayda karesi sıfır (nilpotent) olduğu görülür : QQ dtf (φ, ψ) = i dt d (F (φ, ψ)) 0 dt Modelin eylemi ise bir tam Q dönüşümü olarak yazılabilir. ( 1 I = dt 2 φ 2 + i ) 2 ψ ψ = 12 ( ) 1 Q dt 2 φψ 4-boyutta benzer ifadeler topolojik alan teorilerine karşılık gelmektedir. Bir boyutta bu sonucun yoğun madde fiziğinde nasıl bir uygulaması olacağının araştırılması ilginç olabilir! Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

26 Grassmann Cebri θ i, i = 1, 2 n n Grassmann sayısı olsun. Grassmann sayıları Grassmann cebrini θ i θ j + θ j θ i = 0, i, j θ i θ i = 0 sağlar. Türev ve integral θ i θ j = δ ij, dθ 1 dθ 2 dθ n θ n θ 2 θ 1 = 1 şeklinde tanımlanır. Görüldüğü gibi integral türev gibi çalışmaktadır! Tek bir Grassmann parametresi θ için yukarıdaki ifadeler oldukça basitleşir : dθθ = 1, dθc = 0 dθ d dθ Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

27 SuperPoincare/Lorentz koset uzayinin parametrizasyonu. Bu ne demek? SuperPoincare grubu süpersimetri+dönme + ötelemeleri içerir. Lorentz ise sadece dönmeleri içerir. İkisinin koseti alınırsa sadece süpersimetri + öteleme kalır. Dolayısıyla bir boyutta sadece Q ve H olduğundan bu uzay θ ve t koordinatları ile parametrize edilebilir. Burada θ nin antikomüt eden (Grassmann) bir koordinat olduğu aşikardır. TANIM: Koordinatları t ve θ olan uzaya SÜPERUZAY denir. t ve θ nın bir fonksiyonu olan herhangi bir alana (örneğin Φ(t, θ)) SÜPERALAN denir. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

28 O zaman θ 2 = 0 olduğundan bizim modelimizde en basit süperalan, şeklinde yazılabilir. Φ(t, θ) = φ(t) + iθψ(t) Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

29 O zaman θ 2 = 0 olduğundan bizim modelimizde en basit süperalan, Φ(t, θ) = φ(t) + iθψ(t) şeklinde yazılabilir. φ(t) reel skaler bir alan olduğundan uniform bir süperalan yazmak için Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

30 O zaman θ 2 = 0 olduğundan bizim modelimizde en basit süperalan, şeklinde yazılabilir. Φ(t, θ) = φ(t) + iθψ(t) φ(t) reel skaler bir alan olduğundan uniform bir süperalan yazmak için Φ nin tüm bileşenleri skaler olmalıdır. θ Grassmann sayısı olduğundan ψ komüt etmeyen bir alan olmalıdır. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

31 O zaman θ 2 = 0 olduğundan bizim modelimizde en basit süperalan, şeklinde yazılabilir. Φ(t, θ) = φ(t) + iθψ(t) φ(t) reel skaler bir alan olduğundan uniform bir süperalan yazmak için Φ nin tüm bileşenleri skaler olmalıdır. θ Grassmann sayısı olduğundan ψ komüt etmeyen bir alan olmalıdır. Φ nin tüm bileşenleri reel olmalıdır. Dolayısıyla θψ teriminin başında i olmalıdır. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

32 O zaman θ 2 = 0 olduğundan bizim modelimizde en basit süperalan, şeklinde yazılabilir. Φ(t, θ) = φ(t) + iθψ(t) φ(t) reel skaler bir alan olduğundan uniform bir süperalan yazmak için Φ nin tüm bileşenleri skaler olmalıdır. θ Grassmann sayısı olduğundan ψ komüt etmeyen bir alan olmalıdır. Φ nin tüm bileşenleri reel olmalıdır. Dolayısıyla θψ teriminin başında i olmalıdır. [Φ] = [φ] = 1/2 olmalıdır. Dolayısıyla [ψ] = 0 olduğundan [θ] = 1/2 olmalıdır. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

33 Süpesimetri dönüşümleri süperuzayda, Q = θ + iθ t operatörü yardımıyla üretilir : ( ξqφ = ξ θ + iθ ) Φ = iξψ + iθ( ξ φ) = δφ + iθδψ t Bu operatör süpersimetri cebrini sağlar : {Q, Q} = 2i t H, [Q, H] = 0, [H, H] = 0 Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

34 Süpersimetri donüşümleri Q ile üretildiğinden bir süper eylemin bu dönüşümler altında değişmez kalma şartı δi = dtdθξq[ ] = 0 olarak elde edilir. Dolayısıyla ξq ile komüt eden diğer operatörlerin yazılması önemlidir. Bunlardan bir tanesi d/dt dir. Bir başka türev operatörü ise kovaryant türev D dir: D = θ iθ t Tanımdan da doğrudan görülebileceği gibi D, ilişkisini sağlar. [ξq, D] = ξ{q, D} = 0 Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

35 Eylemi oluşturmak için olsa olsa ne olur yöntemini kullanalım. Eylem en genelde, I = dtdθf (, D, Φ) t olarak yazılabilir. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

36 Eylemi oluşturmak için olsa olsa ne olur yöntemini kullanalım. Eylem en genelde, I = dtdθf (, D, Φ) t olarak yazılabilir. Boyut analizi yaparsak [dtdθ] = 1/2 olduğu görülebilir. Dolayısıyla eylemin boyutsuz olması icin [F ] = 1/2 olmalıdır. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

37 Eylemi oluşturmak için olsa olsa ne olur yöntemini kullanalım. Eylem en genelde, I = dtdθf (, D, Φ) t olarak yazılabilir. Boyut analizi yaparsak [dtdθ] = 1/2 olduğu görülebilir. Dolayısıyla eylemin boyutsuz olması icin [F ] = 1/2 olmalıdır. Fiziksel olarak enteresan bir eylem en azından alanlar cinsinden kuadratik olmalıdır. Böylelikle gibi yazılabilir. F = K( t, D).Φ2 Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

38 Eylemi oluşturmak için olsa olsa ne olur yöntemini kullanalım. Eylem en genelde, I = dtdθf (, D, Φ) t olarak yazılabilir. Boyut analizi yaparsak [dtdθ] = 1/2 olduğu görülebilir. Dolayısıyla eylemin boyutsuz olması icin [F ] = 1/2 olmalıdır. Fiziksel olarak enteresan bir eylem en azından alanlar cinsinden kuadratik olmalıdır. Böylelikle F = K( t, D).Φ2 gibi yazılabilir. [Φ] = 1/2 olduğundan K nın boyutu ancak [K] = 3/2 olabilir. Görüldüğü gibi sadece boyut analizi ile K nın TEK çözümü olmalıdır. K t.d Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

39 1-boyutta, 4-boyuttan farklı olarak yine boyut analizi kullanarak türev içermeyen ayrı bir potansiyel teriminin (Φ 3, Φ 4 gibi) yazılamayacağı görülür! Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

40 1-boyutta, 4-boyuttan farklı olarak yine boyut analizi kullanarak türev içermeyen ayrı bir potansiyel teriminin (Φ 3, Φ 4 gibi) yazılamayacağı görülür! Eger eylemde ikiden fazla türev içeren terimler istenmiyorsa eylem için α bir sabit olmak üzere sadece TEK BİR ÇÖZÜM elde edilebilir. I = α dtdθ ( Φ t ). (DΦ) Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

41 1-boyutta, 4-boyuttan farklı olarak yine boyut analizi kullanarak türev içermeyen ayrı bir potansiyel teriminin (Φ 3, Φ 4 gibi) yazılamayacağı görülür! Eger eylemde ikiden fazla türev içeren terimler istenmiyorsa eylem için α bir sabit olmak üzere sadece TEK BİR ÇÖZÜM elde edilebilir. I = α dtdθ ( Φ t ). (DΦ) Bu ifadede α = i/2 için I = i ( ) ( dtdθ φ + iθ ψ iψ iθ 2 φ ) = 0 + i 2 ( 1 = dtdθ 2 θ φ φ + i ) 2 ψ ψ ( dtdθ iθ φ φ + θψ ψ ) + 0 Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

42 1-boyutta, 4-boyuttan farklı olarak yine boyut analizi kullanarak türev içermeyen ayrı bir potansiyel teriminin (Φ 3, Φ 4 gibi) yazılamayacağı görülür! Eger eylemde ikiden fazla türev içeren terimler istenmiyorsa eylem için α bir sabit olmak üzere sadece TEK BİR ÇÖZÜM elde edilebilir. I = α dtdθ ( Φ t ). (DΦ) Bu ifadede α = i/2 için I = i ( ) ( dtdθ φ + iθ ψ iψ iθ 2 φ ) = 0 + i 2 ( 1 = dtdθ 2 θ φ φ + i ) 2 ψ ψ ( dtdθ iθ φ φ + θψ ψ ) + 0 Bu ifade ise daha once superuzay tekniklerini kullanmadan bulduğumuz süpersimetrik eylemdir. Ancak görüldüğü gibi süperuzayda eylem çok daha basitçe elde edilebildi! Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

43 Genişletilmiş Süpersimetri Bir boyutta birden çok süpersimetri olduğunu düşünelim. Eğer N tane süpersimetri varsa her bir süpersimetriye karşılık bir süpersimetri üreteci olmalı : Q i, i = 1, 2,, N. Bu durumda δ ξ φ = ξ i Q i φ = i N ξ i ψ i, δ ξ ψ j = ξ i Q i ψ j = ξ j φ (1) i=1 Elde edilir ve aşağıdaki eylem I = dt ( 1 2 φ φ i 2 ) N ψ i ψ i i=1 (2) bu genişletilmiş süpersimetri altında değişmez kalır. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

44 Ancak dikkat edilirse Q i üreteçleri bir skaler alandan N tane fermiyon alanı ψ i üretmekte yani model bu haliyle bir bozona karşılık N fermiyon içermekte. N=2 durumunda süpersimetri cebirini inceleyelim. İki süpersimetri üretecinin komütatörü φ ye etki ettiğinde N=1 durumunda olduğu gibi yine ötelemeler üzerine kapanır : [δ ξ, δ η ]φ = 2i(ξ 1 η 1 + ξ 2 η 2 ) φ Ancak, örneğin aynı işlemi ψ 1 e uygularsak [δ ξ, δ η ]ψ 1 = 2iξ 1 η 1 ψ 1 + i(ξ 1 η 2 + ξ 2 η 1 ) ψ 2 (3) elde edilir. Görüldüğü gibi cebrin sadece ötelemeler üzerine kapanmasını istersek ψ 2 = 0 (4) olmalıdır. Bu ise (2) ile verilen eylemden görülebileceği gibi ψ 2 alanının hareket denklemidir. Benzer ilişki ψ 2 alanı için ψ 1 = 0 şartı kullanılarak elde edilir. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

45 Tanım : Eğer süpersimetri cebri sadece hareket denklemleri kullanılarak ötelemeler üzerine kapanıyorsa, bu süpersimetri kabuk üstü (on-shell) süpersimetri olarak adlandırılır. Yukarıda verilen kabuk üstü süpersimetrik modelde iki fermiyon alanı ψ 1, ψ 2 ve bir bozon alanı var. Her ne kadar hareket denklemleri yardımıyla bir fermiyonik serbestlik derecesinden kurtularak fermiyon ve bozon sayılarının eşit olduğunu düşünebilirsek, eğer hareket denklemlerini kullanmadan süpersimetri cebirinin kapanmasını hem de fermiyon bozon sayılarını eşitlemek istersek, bir adet bozonik alanı teoriye sokmak zorunda olduğumuz görülür. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

46 Bu amaçla bir bozonik alan F i modele eylem ( 1 I k = dt 2 φ φ i 2 ψ i ψ i + 1 ) 2 F 2 (5) olacak şekilde ekleyelim. Dikkat edilirse, F için bir kinetik terim olmadığından, F nin hareket denklemi F = 0 şeklindedir. Yani denklem türev içermeyen cebirsel bir denklemdir. Bu cins alanlar dış (auxiliary) alan olarak adlandırılır. ÖDEV Yukarıdaki örnek bir (φ, ψ 1 ) olan diğeri (ψ 2, F ) olana iki ayrı çokludan elde edilebilir. Bu iki çoklu için süpersimetri dönüşümlerini bulun. Her bir çoklu için ayrı ayrı eylemleri bulun ve bu iki eylemin toplamının Denk.(5) i verdiğini gösterin. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

47 Bir boyutta elde edilen N=2 süpersimetrik modeli doğrudan da inşa etmek mümkündür. N=1 durumunda olduğu gibi alanların boyutları incelenerek aşağıdaki dönüşümler yazılabilir : δφ = iξ i ψ i, δψ i = ξ i φ + α ij ξ j F, δf = iξ i β ij ψ j (6) Burada α ve β gerçel (reel) matrislerdir. Komütatör cebri yazılırsa [δ ξ, δ η ]φ = 2iη i ξ i φ + (iηi (α ij + α ji )ξ j F ) [δ ξ, δ η ]ψ i = i(η i ξ j ξ i η j ) ψ j + iα ij β kl (η j ξ k ξ j η k ) ψ l [δ ξ, δ η ] nın ötelemeler üzerine kapanması için olması gerektiği bulunur. α ij + α ji = 0, α ij β jk = δ ik Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

48 ÖDEV: 1-Boyutta Süpersimetri (5) ile verilen I k eyleminin (??) dönüşümleri altında değişmez olduğunu gösterin. m alanların kütlesi ise I m = m dt (F φ + iψ 1 ψ 2 ) şeklinde bir kütle terimi yazılabileceğini gösterin. g bir etkileşme (çiftlenim coupling) sabiti ise ( ) 1 I g = g dt 2 F φ2 + iψ 1 ψ 2 φ şeklinde bir etkileşme terimi yazılabileceğini gösterin. I = I k + I m + I g ile verilen eylemde F dış alanını hareket denklemleri yardımı ile yok ederek kabuk-üstü eylemi bulun. Bu eylemin kabuk üstü süpersimetri dönüşümleri altında değişmez kalacağını gösterin. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

49 ÖDEV: Bir boyutta N=2 süpersimetri dönüşümleri δ ξ = ξ 1 Q 1 + ξ 2 Q 2 şeklinde yazılabilir. Q = Q 1 + iq 2 2, Q = Q 1 iq 2 2, ψ = ψ 1 + iψ 2 2, ψ = ψ 1 iψ 2 2 şeklinde yeni bir tanım yaparak, φ, ψ, ψ, F çoklusunun elemanlarının Q ve Q dönüşümlerini yazın. Alanların ve parametrelerin boyut analizini kullanarak kinetik, kütle ve etkileşme terimlerini içeren eylemin [ ( m I = dt ( QQ) 2 φ 2 + QQ 2 φ2 + g 3! φ3)] şeklinde elde edilebileceğini gösterin. Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32

50 Kaynaklar : 1-boyutta süpersimetri için anlatılanların hemen hemen tamamı için P. van Nieuwenhuizen Supersymmetry, Supergravity, Superspace and BRST Symmetry in a Simple Model arxiv: hep-th/ boyut için standart kaynak : Wess and Bagger, Supersymmetry and Supergravity, (1992). Görece daha yeni ve güncel kitaplar : Dine, SUPERSYMMETRY AND STRING THEORY Beyond the Standard Model (2007). Terning, Modern Supersymmetry Dynamics and Duality (2006). Güzel bir giriş kitabı : Aitchison, SUPERSYMMETRY IN PARTICLE PHYSICS An Elementary Introduction (2007). Kayhan ÜLKER (AbbasAğa) Süpersimetriye giriş UluYef / 32