T.C. TRAKYA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ. KESĠDĠ ÜSTEL OLARAK DEĞĠġEN KĠRĠġLERĠN SERBEST TĠTREġĠM ANALĠZĠ ĠSMAĠL VARSERĠN YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

Transkript

1 T.C. TRAKYA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ KESĠDĠ ÜSTEL OLARAK DEĞĠġEN KĠRĠġLERĠN SERBEST TĠTREġĠM ANALĠZĠ ĠSMAĠL VARSERĠN YÜKSEK LĠSANS TEZĠ MAKĠNE MÜHENDĠSLĠĞĠ ANABĠLĠM DALI TEZ DANIġMANI: Yrd.Doç.Dr. Vedat TAġKIN EDĠRNE-2015

2

3

4 Yüksek Lisans Tezi Kesidi Üstel Olarak DeğiĢen KiriĢlerin Serbest TitreĢim Analizi T.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Makine Mühendisliği Anabilim Dalı ÖZET Bu çalıģmada değiģken kesitli izotropik kiriģ incelenmiģtir. Seçilen kiriģ geniģliği üstel olarak değiģken olduğundan yönetici denklemler uzay koordinatlarında benzer kesit geometrileri için adi diferansiyel denklemler haline indirgenmiģtir. KiriĢ titreģimine ait analitik çözümler ankastre, basit mesnetli ve serbest uçlu olmak üzere bütün sınır koģulları için ayrı ayrı hesaplanmıģtır. Mod Ģekilleri ve doğal frekanslar her bir sınır Ģartı için bulunmuģtur. Sonuçlar kiriģ kesitindeki değiģimin mod Ģekillerini ve doğal frekansları etkilediğini göstermektedir. TitreĢim büyüklüğü geniģleyen kesitlerde artmakta daralan kesitlerde ise azalmaktadır. Yıl : 2015 Sayfa Sayısı : 59 Anahtar Kelimeler : KiriĢ; TitreĢim; DeğiĢken Kesit; Mod ġekilleri; Doğal Frekanslar i

5 Master's Thesis Free Vibration Analysis of Beam with Exponantially Varying Width Trakya University Institute of Natural Sciences Department of Mechanical Engineering ABSTRACT In this study vibration of an isotropic beam whose cross section is variable is investigated. Governing equations is reduced to an ordinary diffrential equations in spatial coordinates for a familiar cross section geometries by choosing the beam with exponantially varying width. Analytical solutions of the vibration of the beam are obtained for all boundry conditions associated with clamped, simply supported and free ends. Mode shapes and natural frequencies are determined for each boundry conditions. Results show that non-uniformity in the cross section influences the mode shapes and the natural frequencies. Amplituded of vibrations is increased for widening beams and decreased for narrowing beams. Year : 2015 Number of Pages : 59 Keywords : Beam; Vibration; Variable cross-section; Mode Shapes; Natural Frequencies ii

6 ÖNSÖZ KiriĢler yapı elemanı olarak çeģitli mühendislik uygulamalarında kullanılan bir taģıyıcı elemandır. GeliĢmekte olan teknoloji ile birlikte kullanım alanı geniģleyen kiriģler yeni kullanım yerlerine göre farklı geometrilere ve buna bağlı olarak farklı davranıģlara ihtiyaç duymaktadır. KiriĢlerdeki bu geometrik değiģimlerden kaynaklı mekanik özelliklerinde meydana gelen değiģikliklerin belirlenmesi önem teģkil etmektedir. Bu çalıģmada geniģliği üstel olarak değiģim gösteren kiriģlerin serbest titreģimi incelenmiģtir. Yüksek lisans tezi danıģmanlığımı üstlenerek gerek konu seçimi gerekse çalıģmalarımın yürütülmesi sırasında desteğini ve bilgisini esirgemeyen ve her zaman teģvik edici olan tez danıģmanım Sayın Yrd.Doç.Dr. Vedat TAġKIN a teģekkür ederim. Yüksek lisans tezini hazırlarken, benden desteklerini esirgemeyen aileme ve bu çalıģmanın düzenlenmesinde büyük yardımları olan arkadaģım Dilek ÖNER e teģekkür ederim. iii

7 ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET i ABSTRACT ii ÖNSÖZ iii ĠÇĠNDEKĠLER iv SĠMGELER DĠZĠNĠ vii BÖLÜM 1. GĠRĠġ 1.1. Problem ve Önemi Önceki ÇalıĢmalar ÇalıĢmanın Amacı 3 BÖLÜM 2. ANALĠZ 2.1. Yönetici Denklemlerin Elde Edilmesi Yönetici Denklemlerin Sınır KoĢullarında Uygulanması ve Katsayıların Elde 8 Edilmesi Ankastre-Ankastre Sınır KoĢulları (C-C) Ankastre-Basit Sınır KoĢulları (C-S) Ankastre-Serbest Sınır KoĢulları (C-F) Basit-Basit Sınır KoĢulları (S-S) Basit-Serbest Sınır KoĢulları (S-F) Serbest-Serbest Sınır KoĢulları (F-F) 24 BÖLÜM 3. SONUÇLAR 3.1. Sınır KoĢullarına Ait TitreĢim Değerleri C-C Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri C-C Mod C-C Mod C-C Mod C-C Mod C-S Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri C-S Mod C-S Mod C-S Mod C-S Mod 8 32 iv

8 C-F Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri C-F Mod C-F Mod C-F Mod C-F Mod S-S Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri S-S Mod S-S Mod S-S Mod S-S Mod S-F Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri S-F Mod S-F Mod S-F Mod S-F Mod F-F Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri F-F Mod F-F Mod F-F Mod F-F Mod Sınır ġartlarına Ait Doğal Frekanslar C-C Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar C-S Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar C-F Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar S-S Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar S-F Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar F-F Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar Elde Edilen Doğal Frekansların Önceki ÇalıĢmalarla KarĢılaĢtırılması C-F Sınır ġartına Ait Doğal Frekansların Önceki ÇalıĢmalarla 41 KarĢılaĢtırılması C-C Sınır ġartına Ait Doğal Frekansların Önceki ÇalıĢmalarla 41 KarĢılaĢtırılması C-F Sınır ġartına Ait Doğal Frekansların Önceki ÇalıĢmalarla 42 KarĢılaĢtırılması 3.4. Sınır ġartlarına Ait Mod Grafikleri 43 v

9 C-C Sınır ġartına Ait Grafikler C-S Sınır ġartına Ait Grafikler C-F Sınır ġartına Ait Grafikler S-S Sınır ġartına Ait Grafikler S-F Sınır ġartına Ait Grafikler F-F Sınır ġartına Ait Grafikler Değerlendirme 55 KAYNAKLAR 56 ÖZGEÇMĠġ 59 vi

10 SĠMGELER DĠZĠNĠ A Kesit alanı A(x) KiriĢ boyuna bağlı kesit alanı fonksiyonu A * A or A - or A 0, B 0, C 0, D 0 C 1, C 2 e E KiriĢin boyutsuz kesit alanı KiriĢin sol ucundaki kesit alanı KiriĢin sol ucundaki boyutsuz kesit alanı KiriĢ boyuna bağlı yönetici denkleme ait katsayılar Zamana bağlı yönetici denkleme ait katsayılar Doğal logaritma tabanı KiriĢin elastisite modülü F, F(x) KiriĢ boyuna bağlı fonksiyon G, G(t) Zamana bağlı fonksiyon I KiriĢin atalet momenti I(x) KiriĢ boyuna bağlı atalet momenti fonksiyonu I * I or I * or L M(δ) ρ t w w(x, t) w * x * ölçüsü ω Ω δ KiriĢin boyutsuz atalet momenti KiriĢin sol ucundaki atalet momenti KiriĢin sol ucundaki boyutsuz atalet momenti KiriĢin boyu Eğrilik katsayısını bağlı olarak sınır Ģartına ait titreģim değeri KiriĢin yoğunluğu Zaman Herhangi bir referansa göre yer değiģtirme parametresi KiriĢ boyuna ve zamana bağlı fonksiyon Boyutsuz yer değiģtirme parametresi KiriĢ boyunca uzanan, kiriģin sol ucuna göre boyutsal koordinat Gerçek sabit Radyal frekans Eğrilik parametresi vii

11 BÖLÜM 1 GĠRĠġ Bu bölüm üç kısımdan oluģmaktadır. Kısım 1 de incelenen problem ve önemi açıklanmakta, Kısım 2 de konu ile ilgili daha önceden yapılmıģ çalıģmalar özetlenmektedir. Kısım 3 te bu çalıģmanın amacına yer verilmiģtir. 1.1.Problem ve Önemi Mühendislik uygulamalarında kullanılan taģıyıcı sistemler çubuk, kiriģ, mil, levha, plak, kafes sistem veya kabuk Ģeklindedir. Bu sistemlerin farklı zorlamalar altında statik ve dinamik davranıģlarının belirlenmesi, güvenli endüstriyel tasarım açısından çok önemlidir. Bu çalıģmada ele alınan yapı kiriģtir. KiriĢler boyu doğrultusundaki eksenine dik kuvvetlerin etkisi altında bulunan taģıyıcı elemanlardır. 1.2.Önceki ÇalıĢmalar KiriĢler, birçok mühendislik uygulamasında yapı bileģeni olarak kullanılır ve literatürde düzgün izotropik kiriģlerin çapraz titreģimi hakkında birçok araģtırma bulabilirsiniz [1]. Düzgün olmayan kiriģler, düzgün kiriģlere oranla kütlenin ve kuvvetin daha iyi ya da uygun Ģekilde dağılmasını sağlayabilir, dolayısıyla mimari, robot teknolojisi, havacılık ve diğer yenilikçi mühendislik uygulamalarındaki özel iģlevsel gereklilikleri sağlayabilir. Düzgün kiriģler, çeģitli çalıģmaların konusunu oluģturur. Cranch ve Adler [2], dört çeģit dikdörtgen en kesiti bulunan serbest düzgün olmayan kiriģlerin doğal frekansları ve mod Ģekilleri için (Bessel fonksiyonları ve/veya kuvvet 1

12 serileri açısından) kapalı yapıda çözümler sunmuģtur. Convay ve Dubil [3], kesik koni kiriģleri ve için benzer kapalı yapı çözümleri elde etmiģtir. Heidebrecht [4], Fourier sinüs serilerini kullanarak frekans denkleminden benzer olmayan destekli kiriģlerin ortalama doğal frekanslarını ve mod Ģekillerini belirlemiģtir. Branch [5], ikincil alan momentinin lineer olarak alanla bağlantılı olmasını sağlayacak Ģekilde farklılık göstermesine izin verilen değiģken en kesiti bulunan kiriģlerin enine salınımının temel frekansını optimize etmiģtir. Mabie ve Rogers [6], kiriģin en kesit alanının çok terimli değiģimini ve eylemsizlik momentini dikkate alarak, ikili konik kiriģin doğal frekansını elde etmiģtir. Bailey [7], düzgün olmayan dirsekli kiriģin doğal frekansını elde etmek amacıyla Hamilton Yasası ndan elde edilen frekans denklemini sayısal olarak çözmüģtür. Olhoff ve Parbery [8], iki bitiģik doğal frekans arasındaki farkı maksimize etmek için tasarım değiģkeni olarak en kesit alanını kullanmıģtır. Gupta [9], sonlu eleman yöntemini kullanmak suretiyle konik kiriģlerin doğal frekansını ve mod Ģeklini sayısal olarak tespit etmiģtir. Jategaonkar ve Chehil [10], uzunlukları boyunca sürekli ve süreksiz olarak farklılık gösteren en kesitli düzgün olmayan kiriģler üzerine çalıģmalar yapmıģtır. Naguleswaran [11,12], Frobenius yöntemine dayalı doğrudan mod Ģekli çözümüyle tekli konik kiriģlerin ve ikili konik kiriģlerin ortalama doğal titreģimlerini tespit etmiģtir. Naguleswaran [13], ayrıca bir kenarı eksenel koordinatın karekökü kadar farklılık gösteren düzgün kiriģin dikdörtgen en kesitini incelemiģtir. Laura ve ekibi [14], geniģliği sabit olan ve kalınlığı çift doğrusal olarak farklılık gösteren Bernoulli kiriģlerinin doğal frekansını belirlemek için ortalama sayısal yaklaģımlardan faydalanmıģtır. Datta ve Sil [15], geniģliği sabit olan ve derinliği doğrusal olarak farlılık gösteren konsol kiriģlerinin doğal frekansını sayısal olarak belirlemiģtir. Caruntu [16], dikdörtgen en kesitli kiriģlerin doğrusal olmayan titreģimlerini ve parabolik kalınlık değiģimini incelemiģtir. Yakın zamanda, Elishakoff ve Johnson [17], eksenel olarak düzgün olmayan malzeme özellikleri bulunan bir kiriģin titreģim sorunlarını irdelemiģtir. Jang ve Bert [18,19], kademeli kiriģlerin serbest titreģimine ilgi göstermiģ ve bu konuda kapsamlı bir incelemede bulunmuģtur. Bu sonuçlardan bazılarını Elishakoff [20] tarafından hazırlanan makalede bulabilirsiniz. Son olarak Ece, Aydoğdu ve TaĢkın [21], en kesiti sürekli değiģen izotropik kiriģlerin doğal frekanslarını ve mod 2

13 Ģekillerini (ilk 5 mod) 3 sınır Ģartı için ( ankastre-ankastre, basit mesnet-basit mesnet, ankastre-serbest uç) incelemiģlerdir ÇalıĢmanın Amacı Dinamik yük altındaki makine elemanları veya yapılar için doğal frekanslar ve mod Ģekilleri önemli parametrelerdir. Bir makine elemanı veya bir yapının tasarlanırken doğal frekansları ve mod Ģekillerinin ve dolayısıyla titreģimin genliğinin bilinmesiyle bu karakteristikler istenen sınırların dıģında ise makine elemanının tasarımı değiģtirilerek karakteristiklerin istenen sınırların içinde kalması sağlanabilir. Önceki çalıģmalar, en kesiti sürekli değiģen izotropik kiriģlerin titreģim karakteristiklerinin önemli özellikleri olduğunu ve sadece Ece, Aydoğdu ve TaĢkın (2006) tarafından kısmi olarak incelendiği görülmektedir. Mevcut çalıģmada, geniģliği üssel olarak farklılık gösteren izotropik kiriģin serbest titreģimi incelenmektedir. ÇalıĢmanın amacı, kiriģin bütün sınır koģulları için titreģim davranıģını tanımlayan analitik çözümler elde etmek ve sürekli değiģen en kesitin doğal frekans ile mod Ģekilleri üzerindeki etkilerini tespit etmektir. 3

14 BÖLÜM 2 ANALĠZ Bu bölüm iki kısımdan oluģmaktadır. Ġlk kısımda değiģken kesitli izotropik kiriģe ait yönetici denklemlerin elde edilmesi, ikinci kısımda ise bu denklemlere ait katsayıların her bir sınır Ģartı için belirlenmesi yer almaktadır. 2.1 Yönetici Denklemlerin Elde Edilmesi KiriĢlere ait en temel teori Euler-Bernoulli Teorisidir. KiriĢlere ait hareket denkleminin elde edilmesi için küçük bir kiriģ parçası seçilerek hesaplamalar yapılır. KiriĢ kesitinin dönmesi, kiriģ ötelenmesine göre çok küçük bir değer olduğundan kesitin dönmesi ihmal edilir. Aynı Ģekilde açısal burulma kayma deformasyonuna oranla çok küçük olduğundan açısal burulma da ihmal edilir. KiriĢin orta ekseninin yer değiģtirmesi w olmak koģulu ile; düzlem parçalarının, kiriģ orta kısmına göre düzlem olarak kaldığı varsayılarak, kesit alanındaki herhangi bir noktanın yer değiģtirme bileģenleri Ģu Ģekilde ifade edilebilir., v = 0, w = w(x, t) (2.1) 4

15 ġekil 1: ġekil değiģikliği altında kiriģe ait yer değiģtirmeler Yer değiģtirmeler çok küçük olduğu için tan α α kabul edilebilir. Bu yer değiģtirmelere göre gerilme ve deformasyon bileģenleri Ģu Ģekildedir. Gerilme enerjisi Ģu Ģekilde yazılabilir; (2.2) (2.3) Kinetik enerji Ģu Ģekilde yazılabilir; (2.4) Enine yük f(x,t) tarafından yapılan iģ; (2.5) 5

16 Hamilton Prensibi ne göre; (2.6) Burada t 1 ve t 2 anları arasındaki varyasyondur. Denklem 2.3, 2.4 ve 2.5 denklem 2.6da yerine yazılırsa; ( ) Denklem 2.7 düzenlenerek kiriģe ait enine titreģim denklemleri elde edilir. (2.7) ( ) (2.8) DeğiĢken kesitli izotropik kiriģ için boyutsuzlaģtırılmıģ değiģken parametreleri Ģu Ģekildedir:,,,,, (2.9) Burada t zaman, L kiriģin boyu, E kiriģin elastisite modülü, A or ve I 0r x= 0 konumdaki (yani kiriģin sol ucundaki) kesit alanı ve atalet momenti, w herhangi bir referans uzaklık, ρ kiriģin yoğunluğu ve x kiriģin sol ucuna olan uzaklık Ģeklinde tanımlanmaktadır. * iģareti ait olduğu simgelerin boyutsuz haldeki değerlerini ifade etmektedir. Mevcut çalıģmada E ve ρ sabit olup serbest titreģim inceleneceği için f(x,t)=0 olacaktır. Buna göre denklem 2.8 çözülürse; (2.10) Boyutsuz formda yönetici denklem elde edilir numaralı denklemin çözümü Ģu Ģekilde kabul edilebilir: (2.11) 6

17 Denklem 2.10 ve denklem 2.11 in toplamı iki tane diferansiyel denklem takımından oluģur. (2.12) (2.13) Burada ω gerçek sabittir ve ω 2 = (Ω 2 ρl 4 /EI or ) Ģeklinde tanımlanır. Ω radyal frekanstır. Denklem 2.13 ün çözümü bilindiği üzere Ģu Ģekilde yazılır: (2.14) 2.12 numaralı denklemin çözümü için kiriģin kesit geometrisinin belirlenmesi gerekmektedir. Bu çalıģmada hem kesit alanı hem de atalet momenti, geniģliğin karakteristiği ile doğru orantılı olacak Ģekilde ele alınmıģtır. KiriĢin yüksekliği ve kalınlığına ait karakteristik özellikler sabit alınıp, geniģliğe ait karakteristik özellik kiriģin uzunluğu boyunca eksponansiyel olarak değiģtiği varsayılmıģtır. Böylece A(x) = e δx ve I(x) = e δx Ģeklinde ifade edilir. Burada δ eğrilik parametresidir. Bu koģullara göre 2.12 numaralı denklem Ģu hali alır: (2.15) Düzenlersek: (2.16) Denklem 2.16nın çözümü Ģu Ģekilde elde edilir: (2.17) Burada: dır. 7

18 2.17 numaralı denklem yönetici denklemdir. Sınır koģulları bu denklem üzerinden uygulanarak gerekli sınır Ģartlarına ait sabitlerin bulunmasıyla serbest titreģim denklemleri her bir sınır koģulu elde edilir. Bu çalıģmada kiriģ mesnet çeģitleri basit(s), ankastre(c) ve serbest (F) olarak ele alınmıģtır. Bu sınır koģullarının kombinasyonları olan 6 çeģit sınır Ģartı için katsayıların bulunmasına iliģkin çözümler aģağıdaki Ģekildedir Yönetici Denklemlerin Sınır KoĢullarında Uygulanması ve Katsayıların Elde Edilmesi Ankastre-Ankastre Sınır KoĢulları (C-C) F(0) = 0 F(1) = 0 F (0) = 0 (sol mesnet) F (1) = 0 (sağ mesnet) [ ] [ [ ]] (2.18) [ ] (2.19) F(0) = 0 (2.20) * + (2.21) 8

19 = - (2.22) F (0) = 0 (2.23) [ ] (2.24) Denklem 2.22 denklem 2.25de yerine yazılırsa: (2.25) Denklem 2.26da katsayısı çözdürülürse: (2.26) F(1) = 0 (2.27) (2.28) [ ] (2.29) ( ) (2.30) Denklem 2.22 ve 2.27 denklem 2.30 da yerine yazılırsa: 9

20 * + * + ( ) (2.31) Denklem 2.31 de katsayısı çözdürülerek: [ ] [ ] (2.32) F (1) = 0 (2.33) [ ] (2.34) Denklem 2.22, 2.27 ve 2.31 denklem 2.34de yerine yazılarak c-c sınır koģulu için titreģim denklemi katsayısına bağlı olarak elde edilir. [ [ ] ] [ ] (2.35) 10

21 Ankastre-Basit Sınır KoĢulları (C-S) F(0) = 0 F(1) = 0 F (0) = 0 (sol mesnet) F (1) = 0 (sağ mesnet) [ ] [ [ ]] (2.36) [ ] [ [ ]] (2.37) ** + * + + (2.38) F(0) = 0 (2.39) [ ] (2.40) 11

22 = - (2.41) F (0) = 0 (2.42) [ ] (2.43) Denklem 2.41 denklem 2.44de yerine yazılırsa: (2.44) Denklem 2.45de katsayısı çözdürülürse: (2.45) F(1) = 0 (2.46) (2.47) [ ] (2.48) ( ) (2.49) 12

23 Denklem 2.41 ve 2.46 denklem 2.49da yerine yazılırsa: * + * + ( ) Denklem 2,50 de katsayısı çözdürülerek: (2.50) [ ] [ ] (2.51) F (1) = 0 (2.52) [* + * + ] (2.53) Denklem 2.41, 2.46 ve 2.51 denklem 2.53de yerine yazılarak c-s sınır koģulu için titreģim denklemi katsayısına bağlı olarak elde edilir. [ * + ] [ ] = 0 (2.54) 13

24 Ankastre-Serbest Sınır KoĢulları (C-F) F(0) = 0 F (1) = 0 F (0) = 0 (sol mesnet) F (1) = 0 (sağ mesnet) [ ] [ [ ]] (2.55) [ ] (2.56) [ [ ]] (2.57) [* + * + ] (2.58) [ [ ]] (2.59) 14

25 ( ) ( ) [ ( ) ] (2.60) F(0) = 0 (2.61) [ ] (2.62) = - (2.63) F (0) = 0 (2.64) [ ] (2.65) (2.66) 15

26 Denklem 2,63 Denklem 2,66 da yerine yazılırsa: Denklem 58de katsayısı çözdürülürse: (2.67) (2.68) F (1) = 0 (2.69) [* + * + ] Denklem 2.63 ve 2.68 denklem 2.70de yerine yazılırsa: (2.70) ( ) [ ( ) ] (2.71) 16

27 Denklem 2.71de katsayısı çözdürülerek: [ * + ] [ * + ] (2.72) F (1) = 0 (2.73) ( ) ( ) [ ( ) ] (2.74) Denklem 2.63, 2.68 ve 2.72 denklem 2.74de yerine yazılarak c-f sınır koģulu için titreģim denklemi katsayısına bağlı olarak elde edilir. [ [ ] ( ) [ ( ) ]] [ [ ] ] (2.75) 17

28 Basit-Basit Sınır KoĢulları (S-S) F(0) = 0 F(1) = 0 F (0) = 0 (sol mesnet) F (1) = 0 (sağ mesnet) [ ] * * ++ (2.76) [* + * + ] F(0) = 0 (2.77) (2.78) [ ] (2.79) = - (2.80) F (0) = 0 (2.81) 18

29 [* + * + ] (2.82) Denklem 2.80 denklem 2.83de yerine yazılırsa: (2.83) Denklem 2.84 de D 0 katsayısı çözdürülürse: (2.84) (2.85) F(1) = 0 (2.86) [ ] (2.87) ( ) Denklem 2.80 ve 2.85 denklem 2.88 de yerine yazılırsa: (2.88) * + * + ( ) (2.89) 19

30 Denklem 2.89 da katsayısı çözdürülerek: [ ] F (1) = 0 (2.90) (2.91) [* + * + ] (2.92) Denklem 2.80, 2.85 ve 2.90 denklem 2.92de yerine yazılarak s-s sınır koģulu için titreģim denklemi katsayısına bağlı olarak elde edilir. [ * + ] (2.93) 20

31 2.2.5.Basit-Serbest Sınır KoĢulları (S-F) F(0) = 0 F (1) = 0 F (0) = 0 (sol mesnet) F (1) = 0 (sağ mesnet) [ ] [ [ ]] (2.94) [* + * + ] (2.95) [ [ ]] (2.96) ( ) ( ) [ ( ) ] (2.97) F(0) = 0 (2.98) 21

32 [ ] (2.99) = - (2.100) F (0) = 0 (2.101) [* + * + ] (2.102) Denklem denklem 2.103de yerine yazılırsa: (2.103) (2.104) Denklem 2.104de D 0 katsayısı çözdürülürse: (2.105) F (1) = 0 (2.106) 22

33 [* + * + ] (2.107) Denklem ve denklem 2.107de yerine yazılırsa: *( ) ( Denklem 2.108de ) + katsayısı çözdürülerek: (2.108) [ ( ) ] ( ) (2.109) F (1) = 0 (2.110) 23

34 ( ) ( ) [ ( ) ] (2.111) Denklem 2.100, ve denklem 2.111de yerine yazılarak s-f sınır koģulu için titreģim denklemi katsayısına bağlı olarak elde edilir. [ * ( ) ( ( ) ) + * ( ( )) ( ) +] [ * *( ) + +] 0 (2.112) 24

35 2.2.6.Serbest-Serbest Sınır KoĢulları (F-F) F (0) = 0 F (1) = 0 F (0) = 0 (sol mesnet) F (1) = 0 (sağ mesnet) [ ] [ [ ]] (2.113) [* + * + ] (2.114) [ [ ]] (2.115) 25

36 ( ) ( ) [ ( ) ] (2.116) F (0) = 0 (2.117) [* + * + ] (2.118) (2.119) (2.120) F (0) = 0 (2.121) 26

37 ( ) ( ) [ ( ) ] (2.122) Denklem denklem de yerine yazılarak: (2.123) Denklem 2.124de D 0 katsayısı çözdürülerek: (2.124) (2.125) F (1) = 0 (2.126) 27

38 [* + * + ] Denklem ve denklem 2.127de yerine yazılırsa: (2.127) ( ( )) ( ( )) [* + ( ) ] Denklem 2.128de A 0 katsayısı çözdürülürse: [ * + ] ( ) * + F (1) = 0 (2.130) ( ) * ( ) ( ) + (2.131) Denklem 2.120, ve denklem 2.131de yerine yazılarak f-f sınır koģulu için titreģim denklemi katsayısına bağlı olarak elde edilir. [ * + ] ( ) * + = 0 (2.132) 28

39 BÖLÜM 3 SONUÇLAR Bu bölüm beģ kısımdan oluģmaktadır. Birinci kısımda sınır Ģartlarına ait farklı eğrilik katsayıları için (-0.5, 0, 0.5) frekans değerleri listelenmiģ, ikinci kısımda sınır Ģartlarına ait doğal frekanslar listelenmiģtir. Üçüncü kısımda doğal frekansların geçmiģ çalıģmalardaki verilerle karģılaģtırılması yapılmıģtır. Dördüncü kısımda birinci kısımda listelenen frekans değerlerinin genlik derecesi 1 olacak Ģekilde normalizasyonu yapılarak sınır Ģartlarına ait grafikler gösterilmiģtir. BeĢinci kısımda ise elde edilen değerler ıģığında eksponansiyel olarak sürekli değiģken kesitli kiriģin düzgün kiriģe göre avantaj ve dezavantajları açıklanmıģtır Sınır KoĢullarına Ait TitreĢim Değerleri C-C Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri C-C Mod 1 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir. 29

40 C-C Mod 2 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir C-C Mod 5 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir C-C Mod 8 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir. 30

41 C-S Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri C-S Mod 1 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir C-S Mod 2 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir C-S Mod 5 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir. 31

42 C-S Mod 8 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir C-F Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri C-F Mod 1 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir C-F Mod 2 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir. 32

43 C-F Mod 5 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir C-F Mod 8 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir S-S Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri S-S Mod 1 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir. 33

44 S-S Mod 2 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir S-S Mod 5 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir S-S Mod 8 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir. 34

45 S-F Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri S-F Mod 1 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir S-F Mod 2 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir S-F Mod 5 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir. 35

46 S-F Mod 8 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir F-F Sınır ġartı Ġçin TitreĢim Değerleri F-F Mod 1 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir F-F Mod 2 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir. 36

47 F-F Mod 5 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir F-F Mod 8 x M(0.5) M(0) M(-0.5) M(δ) ilgili sınır Ģartına ait mod Ģekli için titreģim değerlerini ifade etmektedir Sınır ġartlarına Ait Doğal Frekanslar C-C Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar Mod 0 0, δ 37

48 C-S Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar δ Mod 0 0, C-F Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar δ Mod 0 0,

49 S-S Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar δ Mod 0 0, S-F Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar δ Mod 0 0,

50 F-F Sınır ġartına Ait Doğal Frekanslar δ Mod 0 0,

51 3.3. Elde Edilen Doğal Frekansların Önceki ÇalıĢmalarla KarĢılaĢtırılması Bu kısımda çalıģma sonucunda sınır Ģartlarına ait modlar için elde edilen doğal frekansların, literatürdeki benzer çalıģmalar sonucu elde edilmiģ doğal freakanslar ile karģılaģtırılması yapılmıģtır. [2,21,22] C-F Sınır ġartına Ait Doğal Frekansların Önceki ÇalıĢmalarla KarĢılaĢtırılması Mod Cranch ve Adler (1956) δ= -1 Tong ve Tabarrok (1995) Ece, Aydoğdu ve Taşkın(2006) Şimdiki Çalışma C-C Sınır ġartına Ait Doğal Frekansların Önceki ÇalıĢmalarla KarĢılaĢtırılması δ= -1 Mod Ece, Aydoğdu ve Taşkın(2006) Şimdiki Çalışma

52 S-S Sınır ġartına Ait Doğal Frekansların Önceki ÇalıĢmalarla KarĢılaĢtırılması δ= -1 Mod Ece, Aydoğdu ve Taşkın(2006) Şimdiki Çalışma

53 M(δ) M(δ) 3.4. Sınır ġartlarına Ait Mod Grafikleri Sınır Ģartlarına ait mod grafikleri, ilgili frekans genliklerinin sınır Ģartına ait en büyük genliğe oranlanmak koģulu ile en yüksek genlik değeri 1 olacak Ģekilde normalize edilerek oluģturulmuģtur C-C Sınır ġartına Ait Grafikler 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 C-C x Mod 1 M(0,5) M(0) M(-0,5) 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 C-C M(0,5) M(0) M(-0,5) 0 0,25 0,5 0,75 1 x Mod 2 43

54 M(δ) M(δ) C-C Sınır ġartına Ait Grafikler(Devamı) 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 C-C 0 0,25 0,5 0,75 1 x M(0,5) M(0) M(-0,5) Mod 5 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 C-C M(0,5) M(0) M(-0,5) 0 0,25 0,5 0,75 1 x Mod 8 44

55 M(δ) M(δ) C-S Sınır ġartına Ait Grafikler 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 C-S 0 0,25 0,5 0,75 1 x M(0,5) M(0) M(-0,5) Mod 1 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 C-S 0 0,25 0,5 0,75 1 x M(0,5) M(0) M(-0,5) Mod 2 45

56 M(δ) M(δ) C-S Sınır ġartına Ait Grafikler(Devamı) 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 C-S 0 0,25 0,5 0,75 1 x M(0,5) M(0) M(-0,5) Mod 5 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 C-S 0 0,25 0,5 0,75 1 x M(0,5) M(0) M(-0.5) Mod 8 46

57 M(δ) M(δ) C-F Sınır ġartına Ait Grafikler 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 C-F 0 0,25 0,5 0,75 1 x M(0,5) M(0) M(-0,5) Mod 1 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 C-F 0 0,25 0,5 0,75 1 x M(0,5) M(0) M(-0,5) Mod 2 47

58 M(δ) M(δ) C-F Sınır ġartına Ait Grafikler (Devamı) 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 C-F 0 0,25 0,5 0,75 1 x M(0,5) M(0) M(-0,5) Mod 5 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 C-F 0 0,25 0,5 0,75 1 x M(0,5) M(0) M(-0,5) Mod 8 48

59 M(δ) M(δ) S-S Sınır ġartına Ait Grafikler 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 S-S 0 0,25 0,5 0,75 1 x M(0,5) M(0) M(-0,5) Mod 1 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 S-S 0 0,25 0,5 0,75 1 x M(0,5) M(0) M(-0,5) Mod 2 49

60 M(δ) M(δ) S-S Sınır ġartına Ait Grafikler(Devamı) 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 S-S 0 0,25 0,5 0,75 1 x M(0,5) M(0) M(-0,5) Mod 5 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 S-S M(0,5) M(0) M(-0,5) 0 0,25 0,5 0,75 1 x Mod 8 50

61 M(δ) M(δ) S-F Sınır ġartına Ait Grafikler 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 S-F 0 0,25 0,5 0,75 1 x M(0,5) M(0) M(-0,5) Mod 1 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 S-F 0 0,25 0,5 0,75 1 x M(0,5) M(0) M(-0,5) Mod 2 51

62 M(δ) M(δ) S-F Sınır ġartına Ait Grafikler (Devamı) 1,5 1,25 S-F 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 0 0,25 0,5 0,75 1 x M(0,5) M(0) M(-0,5) Mod 5 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 S-F 0 0,25 0,5 0,75 1 x M(0,5) M(0) M(-0,5) Mod 8 52

63 M(δ) M(δ) F-F Sınır ġartına Ait Grafikler 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 F-F 0 0,25 0,5 0,75 1 x M(0,5) M(0) M(-0,5) Mod 1 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 F-F 0 0,25 0,5 0,75 1 x M(0,5) M(0) M(-0,5) Mod 2 53

64 M(δ) M(δ) F-F Sınır ġartına Ait Grafikler (Devamı) 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 F-F 0 0,25 0,5 0,75 1 x M(0,5) M(0) M(-0,5) Mod 5 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25 0-0,25-0,5-0, ,25-1,5 F-F 0 0,25 0,5 0,75 1 x M(0,5) M(0) M(0,5) Mod 8 54

65 3.5. Değerlendirme Bu çalıģmada değiģken kesitli izotropik kiriģler ele alınmıģtır. Analizde Euler-Bernoulli KiriĢ Teorisi kullanılmıģtır. Kesit değiģimi üstel olarak seçilmiģtir. Kesit geometrisinden yararlanılarak yönetici denklemler belirlendi, Bu denklemlerdeki katsayılar farklı sınır Ģartları için hesaplandı ve sınır Ģartlarına ait titreģim değerleri hesaplandı. TitreĢim değerleri doğrultusunda sınır Ģartlarına ait birinci, ikinci, beģinci ve sekizinci mod Ģekilleri çizildi. Bu veriler ıģığında düzgün kesitli bir kiriģin davranıģına kıyasla sonuçlar elde edildi. Yapılan hesaplamalar sonucu sınır Ģartlarına ait elde edilen doğal frekanslar, daha önceden yapılmıģ çalıģmaların sonuçlarıyla karģılaģtırıldı ve sonuçların eski çalıģmalardaki sonuçlarla uyum içerisinde olduğu görüldü [2,21,22]. 1995) KiriĢ eğiminin artan ya da azalan olması durumunun mod Ģekillerini etkilediği gözlemlenmiģtir. Eğrilik katsayısının pozitif olduğu(kesit kalınlığının üstel olarak arttığı durunda) durumlarda mod Ģekillerindeki genliğin(yani titreģim değeri) arttığı, negatif olduğu(kesit kalınlığının üstel olarak azaldığı) durumlarda ise azaldığı görülmüģtür. Bu çalıģma diğer yapı elemanları için(örneğin plakalar, kabuklar) ya da kompozitler veya fonksiyonel derecelendirilmiģ malzemeler için geniģletilebilir. 55

66 KAYNAKLAR 1- GORMAN, D.J., Free vibration analysis of beams and shafts. Wiley, New York. 2- CRANCH, E.T., Adler, A.A., Bending vibration of variable section beams. Journal of Applied Mechanics, American Society of Mechanical Engineers 23 (1), CONWAY, H.D., Dubil, J.F., Vibration frequencies of truncated-cone and wedge beams. Journal of Applied Mechanics, American Society of Mechanical Engineers 32 (4), HEĠDEBRECHT, A.C., Vibration of non-uniform simply supported beams. Journal of the Engineering Mechanics Division, Proceedings of the American Society of Civil Engineers 93 (EM2), BRANCH, R.M., On the extremal fundamental frequencies of vibrating beams. Journal of Sound and Vibration 4, MABĠE, H.H., ROGERS, C.B., Transverse vibration of double-tapered cantilever beams. Journal of the Acoustical Society of America 51 (5 part 2), BAĠLEY, C.D., Direct analytical solution to non-uniform beam problems. Journal of Sound and Vibration 56 (4),

67 8- OLHOFF, N., PARBERY, R., "Designing vibrating beams and rotating shafts for maximum difference between adjacent natural frequencies", International Journal of Solids and Structures, 20, GUPTA, A.K., Vibration of tapered beams. Journal of Structural Engineering 111 (1), JATEGAONKAR, R., CHEHĠL, D.S., Natural frequencies of a beam with varying section properties. Journal of Sound and Vibration 133, NAGULESWARAN, S., Vibration of an Euler Bernoulli beam of constant depthand withlinearly varying breadth. Journal of Sound and Vibration 153 (3), NAGULESWARAN, S., 1994a. A direct solution for the transverse vibration of Euler Bernoulli wedge and cone beams. Journal of Sound and Vibration 172 (3), NAGULESWARAN, S., 1994b. Vibration in Two Princible Planes of a Nonuniform Beam of Rectangular Cross-Section, One Side of Which Varies as a Square Root of the Axial Coordinate. Journal of Sound and Vibration 172 (3), Laura, P.A.A., GUTĠERREZ, R.H., ROSSĠ, R.E., Free vibration of beams of bi-linearly varying thickness. Ocean Engineering 23 (1), DATTA, A.K., SĠL, S.N., An analysis of free undamped vibration of beams of varying cross-section. Computers and Structures 59 (3), CARUNTU, D., On nonlinear vibration of non-uniform beam with rectangular cross-section and parabolic thickness variation. Solid Mechanics and its Applications, 73. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, pp

68 17- ELĠSHAKOFF, I., JOHNSON, V., Apparently the first closed-form solution of vibrating inhomogeneous beam with a tip mass. Journal of Sound and Vibration 286 (4-5), JANG, S.K., BERT, C.W., 1989a. Free vibration of stepped beams: Exact and numerical solutions. Journal of Sound and Vibration 130, JANG, S.K., BERT, C.W., 1989b. Free vibration of stepped beams: Higher mode frequencies and effects of steps on frequencies. Journal of Sound and Vibration 32, ELĠSHAKOFF, I., Eigenvalues of inhomogeneous structures: unusual closed-form solutions. CRC Press, Boca Raton. 21- ECE MC, AYDOĞDU M, TAġKIN V, 2006, Vibration of variable crosssection beam. Mechanics Research Communications 34 (2007) TONG, X., TABAROK, B., Vibration analysis of Timeshenko beams with non-homogeneity ans varying cross-section, Journal of Sound and Vibration 186 (5),

69 ÖZGEÇMĠġ Ġsmail VARSERĠN 23 Temmuz 1986 yılında Edirne de doğmuģtur. Ortaokul ve lise eğitimini yılları arasında Edirne Anadolu Lisesi nde tamamlamıģtır yılları arasında Trakya Üniversitesi Mimarlık ve Mühendislik Fakültesi Makine Mühendisliği Bölümü nde lisans eğitimini tamamlamıģtır yılında Trakya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Makine Mühendisliği Ana Bilim Dalı nda baģladığı lisansüstü eğitimini halen sürdürmektedir. Satranç sporunda il çapında, ortaokul ve lise kapsamında Edirne Anadolu Lisesi adına ve ferdi branģlarda çok sayıda derecesi bulunmaktadır. 59