Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin. Matris Metotları. Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞEN Doç.Dr. Ercan YÜKSEL Bahar Yarıyılı

Transkript

1 Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları Bahar Yarıyılı Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞEN Doç.Dr. Ercan YÜKSEL

2 BÖLÜM VIII HAREKET DENKLEMİ ZORLANMIŞ TİTREŞİMLER SERBEST TİTREŞİMLER

3 Bu bölümün hazırlanmasında aşağıdaki kaynaktan yararlanılmıştır. Yapı Dinamiğine Giriş Vedat Yerlici ve Hilmi Luş, Boğaziçi Üniversitesi Yayınevi,

4 Hareket Denklemi (Dinamik Denge Denklemi) Statik denge denklemine atalet kuvvetleri eklenerek hareket denklemi (Dinamik Denge Denklemi) elde edilir. [ ][ ] [ ] [ ] S d + P 0 = q... [ ][ ] + [ ] = [ ] [ ] [ ] S d ( t ) P 0 ( t ) q ( t ) M d ( t ) c d ( t ) Atalet Kuvvetleri Sönüm Kuvvvetleri 4

5 ... [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] d ( t ), d ( t ), d ( t ), M, c, S, P 0 ( t ), q ( t ) Yerdeğiştirme, hız, ivme, kütle, sönüm, rijitlik, eleman ve düğüm noktası yük matris ve vektörleri [ ]... d ( t ) d ( t ) [ d ( t ) ] d d ( ) [ d ( t ) d t ], d ( t ) [ d ( t ) ] d ( t ) = = =, d ( t ) = [ d ( t ) ] = d ( t ) i dt i dt i [ d ( t ) ] n... d ( t ) d ( t ) n n Yerdeğiştirme Vektörü Hız Vektörü İvme Vektörü 5

6 , [ P ( t ) ] 0 [ P ( t ) ] 0 [ P ( t ) ] = 0 i [ P ( t ) ] 0 n Eleman Uç Kuvvetleri Vektörü (3) [ q ( t ) ] [ q ( t ) ] [ q ( t ) ] = i [ q ( t ) ] n Düğüm Noktası Yükleri Vektörü 6

7 Düzlem Çubuk Sistemler D ( t ) d ( t ) D ( t ) [ ] i = D ( t ) 3 i İki Boyutlu Elastisite Problemlerinde [ d ( t ) ] i D ( t ) = (4) i D ( t ) Q ( t ) q ( t ) Q ( t ) [ ] i = Q ( t ) 3 i [ q ( t ) ] i Q ( t ) = Q ( t ) i 7

8 Üç Boyutlu Elastisite Problemlerinde D ( t ) d ( t ) D ( t ) [ ] i = D ( t ) 3 i Plak Problemlerinde (6) D ( t ) d ( t ) D ( t ) [ ] i = i D ( t ) 3 Q ( t ) q ( t ) Q ( t ) [ ] i = Q ( t ) 3 i Q ( t ) q ( t ) Q ( t ) [ ] i = Q ( t ) 3 i 8

9 D ( t ) d ( t ) D ( t ) [ ] = D ( t ) 3 Q ( t ) q ( t ) Q ( t ) [ ] = Q ( t ) 3 Sistemin bazı yerdeğiştirmeleri bağımsız yerdeğiştirme bileşenleri olarak alınırsa, [q(t)] matrisinin elemanları bu yerdeğiştirme bileşenleri doğrultusundaki yüklerden oluşur. 9

10 Sistemin Düğüm Noktaları Kütle Matrisi [M] M =m () +m () +m (3) +m (4) d x d x d x d x d x d xn kütlesi elemanları üzerinde yayılı kütlesi düğüm noktalarında yığılı (Çubuk boy kısalmaları yok sayılıyor) kütlesi kat düzeylerinde yığılı 0

11 () () (3) (4) ( m + m + m + m ) () m (5) (6) ( m + m )

12 [ M ] [ M ] 0 [ M ] = [ M ] i 0 [ M ] n Düğüm Noktalarının Kütle Matrisi Düğüm noktalarının yerdeğiştirmeleri doğrultusunda atalet kuvveti meydana getiren kütlelerden oluşmaktadır.

13 Düzlem Çubuk Sistemler Im 0 0 M = 0 M 0 i 0 0 M [ ] i M = 0 M i 0 i 0 0 M i [ ] Küçük kolon-kiriş birleşim bölgesi durumunda Im~0 İki Boyutlu Elastisite Problemlerinde [ M ] i M 0 = 0 M m r : birim alanın kütlesi : kütle merkezine uzaklık M = m dx dy I m = mr dxdy 3

14 Üç Boyutlu Elastisite Problemlerinde M 0 0 M M [ ] i = M 3 İnce Plak Problemlerinde [ M ] i M 0 0 =

15 VIII. Zorlanmış Titreşim VIII... Genel Hal (Rastgele Dış Etki Hali) a) Sayısal İntegrasyon Yöntemleri b) Modların Süperpozisyonu Yöntemi VIII... Özel Hal (Harmonik Zor Hali) a) Genel Yol b) Yaklaşık Yol VIII.3. Serbest Titreşim a) Genel Yol b) Determinant kriteri yöntemi c) Vianello-Stodola yöntemi d) Rayleigh yöntemi 5

16 Sayısal İntegrasyon Yöntemleri Kütle, rijitlik ve sönüm özellikleri bilinirse oluşacak dinamik hareket sayısal hesap yöntemleriyle belirlenebilir. Bu yöntemler çok küçük zaman ve durum dilimleri için geliştirilen temel bazı denklemleri ardışık dilimler için tekrarlayıp, istenen zaman aralığında aranan davranışı bulmaya dayanır. Bunun için her bir zaman diliminde incelenen yapının belirli rijitlik ve sönüm özelliklerine sahip olduğu, dış etkilerin de bilindiği varsayılır. Sayısal hesaplardan anlamlı sonuç alabilmek için, kullanılacak zaman aralığının, hem yapının doğal titreşim periyodundan yeterince küçük, hem de rijitlik ve sönüm fonksiyonları ile yüklerde olabilecek değişiklikleri yeterince doğru biçimde yansıtacak kadar kısa olması gerekir. Kullanılacak zaman aralığının yapı periyodunun /0 dan uzun olmaması önerilmektedir. 6

17 Sayısal İntegrasyon Yöntemleri Yapıların dinamik hareketlerini belirleyebilmek için uygulamada genelde SAYISAL HESAP yöntemlerinden yararlanılır. Doğrusal olmayan sistemlerde dinamik hesap ancak bu yolla yapılabilir.dinamik hesaplarda kullanılabilen birçok sayısal analiz yöntemi mevcuttur. Sayısal hesap yöntemlerinin çoğu, her hesap adımında yerdeğiştirme ve hız için Taylor seri açılımının kullanılmasına dayanır. Taylor seri açılımına göre, türevleri göreceli olarak düzgün olan sürekli bir fonksiyonun bir noktadaki değeri, fonksiyonun kendisi ve türevlerinin başka bir noktadaki değerlerine bağlı olarak ifade edilebilir. Örneğin, zamana bağlı g(t) fonksiyonunun t anındaki değeri g(t ), t=t anandaki Taylor açılımına göre aşağıdaki gibi hesaplanabilir. 7

18 Taylor Seri Açılımı 3 ( t t ) ( t t ) g ( t ) = g ( t ) + gɺ ( t )( t t ) + gɺɺ ( t ) + ɺɺɺ g ( t ) +...! 3! Herhangi bir t zamanına n. adımda gelindiyse ve her adım t zaman aralığı kadarsa t=n t olur. Zamanı belirlemek üzere sadece adım sayısı kullanıldığında, fonksiyonun t anındaki değeri g[n] ile gösterilirse 3 t t g [ n + ] = g [ n ] + gɺ [ n ] t + gɺɺ [ n ] + ɺɺɺ g ( t ) +...! 3! 3 t t g [ n ] = g [ n ] gɺ [ n ] t + gɺɺ [ n ] ɺɺɺ g ( t ) +...! 3! 8

19 denklemiyle hesaplanır. Taylor açılımında yüksek mertebeden terimler ihmal edilirse ( ) g t g [ n + ] = g [ n ] + gɺ [ n ] t + gɺɺ [ n ] t! t t ( n ) t ( n ) t ( n + ) t ( t ) 9

20 Sayısal İntegrasyon Yöntemlerinden Başlıcaları;. Merkezi Farklar Yöntemi. Sabit İvme Yöntemi 3. Ortalama İvme Yöntemi 4. Doğrusal İvme Yöntemi 5. Newmark Yöntemleri Merkezi Farklar Yöntemi Herhangi bir adımdaki türev ifadelerini Taylor seri açılımı yardımıyla yaklaşık olarak hesaplamaya dayanır. Yerdeğiştirmenin t+ t ve t- t anlarındaki değerleri t anında Taylor seri açılımı ile ifade ediilirse 0

21 x [ n + ] = x [ n ] + xɺ [ n ] t + ɺɺ x [ n ] t! x [ n ] = x [ n ] xɺ [ n ] t + ɺɺ x [ n ] t! Bu iki açılımın toplamından [ ] [ ] [ ] [ ] x n + + x n = x n + ɺɺ x n t Bu iki açılımın farkından [ ] [ ] [ ] x n + x n = xɺ n t

22 t yeterince küçük seçildiğinde t anındaki hız ve ivme x [ n + ] x [ n ] ɺ [ ] = ɺɺ x [ n ] x n t = [ + ] [ ] + [ ] x n x n x n t Bu yöntemle, sönümlü tek serbestlik dereceli sistemin hesabı kolaylıkla yapılabilir. [ ] [ ] [ ] [ ] mx ɺɺ n + cxɺ n + kx n = F n [ + ] [ ] + [ ] [ + ] [ ] x n x n x n x n x n m c kx + + [ n ] = F [ n ] t t

23 Eğer n. adım ve önceki adımlarda kütlenin yerdeğiştirmesi hesaplanmış ise bu denklemdeki tek bilinmeyen x[n+] dir. Benzer terimler ortak parantezde toplanacak olursa ifadenin alacağı biçim [ ] [ ] [ ] [ ] x n + = B x n + B x n + B 3 F n Yöntemden anlamlı sonuçlar elde edilmesi için m B = B 3 k t c m B = B 3 t t B 3 = m c + t t T t < 0.38 T π olmalıdır. 3

24 Örnek Sistem yatay rijitlik matrisinin deneysel olarak belirlendiği Benzeşik Dinamik Deney (Pseudo dynamic test) uygulaması Yük Ölçerden Kuvvet Okuması Analog/Sayısal (A/D) Dönüşümü Yatay Rijitlik Matrisinin Kurulması Servo Kontrol Ünitesinin Komutlanması Dinamik Denge Denkleminin Çözümü Yerdeğiştirme Kontrolü Sayısal/Analog (D/A) Dönüşümü Hedef Yerdeğiştirmenin Hesabı mm b b a a φ 8 φ 6/40 4 φ 8 φ 6/40 Deney numunesi Kullanılan ivme kaydı

25 Örnek (devam) Yerdeğiştirme, Kuvvet Değişimleri 0 5 c'=3.0 e'=.0 f'=0. d'=0. a'>0.0 b>3.5 h'=0. d=.8 f=0. e=0. c=0.7 b'>5.0 mm a>3.5 ITME ÇEKME 5

26 Sabit İvme Yöntemi Bu yöntemde her bir adım başındaki kütle ivmesinin t zaman dilimi boyunca sabit kaldığı varsayılır. İlerleyen adımlarda sonuçlar gerçekten uzaklaşabilir. Hassas bir yöntem değildir. Ortalama İvme Yöntemi n ve n+ adımlar arasında ivme değeri sabit kabul edilir. ɺɺ x ( t ) = ɺɺ ( ) + ɺɺ ( + ) x n x n Bir sonraki adımdaki yerdeğiştirme ve hızı hesaplamak için, o adımdaki ivmeyi bilmek gerekir. Yöntemin kullanılması için döngüsel bir yaklaşım gerekir. 6

27 Doğrusal İvme Yöntemi ɺɺ x ( n ) ɺɺ x ( n + ) n ve n+ adımlar arasında ivmenin, değerleri arasında doğrusal değiştiği varsayılır. ɺɺ x ( n+ ) Adım başında bilinmeyen değerini tahmin etmek için döngüsel bir yaklaşım kullanılır. 7

28 .... Harmonik Yükleme Durumu 8

29 .... 9

30 Serbest Titreşim Analizi (Dış Etkisiz Sistemin Titreşimi) Hareket denkleminde çubuk ve düğüm noktası yük matrisleri yerine 0 konulduğunda S d ( t ) M d ( t ) c d ( t ) 0... [ ][ ] [ ] [ ] Genel Yol + + =. d (0), d (0) [ ] Başlangıç koşulları verildiğinde verilirse rastgele dinamik dış etki hali için genel yollardan biri uygulanarak çözüm elde edilir. 30

31 Determinant Kriteri Yöntemi Serbest titreşimi ait hareket denkleminde [c]=0 alınırsa (sönümsüz titreşim), [ ][ ] [ ] S d d ( t ) + M dɺɺ ( t ) = 0 [ ] = [ ] d ( t ) d sin ω t [ ][ ] [ ][ ] S d sin ω t ω M d sin ω t + 0 = 0 [d] Özel modun şekli (özel vektör) ω özel açısal frekans (özel değer) [ S ][ d ] ω [ M ][ d ] = [ S ] ω [ M ] [ d ] = 0 0 Homogen denklemi elde edilir. Bu denklemin sıfırdan farklı köklerinin olabilmesi için, yani titreşim oluşması için, katsayılar matrisinin determinantı sıfıra eşit olmalıdır. 3

32 [ ] [ ] = det( S ω M ) Karakteristik denklem Özel Değerlerin Bulunması Karakteristik denklem çözülerek (küçük sistemlerde) veya determinantfrekans ilişkisi çizilerek (büyük sistemlerde) çözüme ulaşılır. [ d ] i D i D i. =.. D ni i. Mod şekli 3

33 Özel Vektörlerin Bulunması ω i özel açısal frekansına karşı gelen yerdeğiştirme vektörüne i. titreşim moduna ait özel vektör (mod şekli) adı verilir. Özel vektörün hesabı için, ω i özel açısal frekans değerinin yerine konulduğu [ S ] ω [ M ] [ d ] = 0 Denkleminde örneğin D i seçilir. Bu durumda, artık homojen olmayan (n- ) bilinmeyenli (n) denklemden biri çıkarılarak elde edilen (n-) denklemin çözümü ile diğerleri (D i,...,d ni ) bulunur. 33

34 .... Özel değerler Özel Vektörler Mod Biçimleri ω ω ω n D D D D [ d ] [ d ] [ d ] D n D n... = =.... n = D D D n n nn Özel Vektörlerin sayısı sistemin dinamik serbestlik sayisi kadardır. Bu da bağımsız atalet kuvvetlerinin sayısına eşittir. Özel vektör yerdeğiştirmeleri kendi mutlak değerleri ile değil, aralarındaki oranlar ile tanımlanır. 34

35 Örnek

36

37 Vianello-Stodola Yöntemi Özel değer ve özel vektörlerin belirlenmesi için uygulanan bir ardışık yaklaşık yöntemidir. [ S ][ d ] = w [ M ] [ d ] bağıntısının iki tarafı da [ S ] ile çarpıldığında; [ ] [ ][ ] S S d = w [ S ] [ M ][ d ] [ S ] = [ F ] F M d d w [ ][ ][ ] [ ] = Elde edilir. 37

38 . Modun Belirlenmesi [ d ] ( ) Özel vektörü için birinci seçim (yerdeğiştirmelerin oranları seçilebilir.) [ F ][ M ][ d ] ( ) = [ d ] ( ) [ F ][ M ][ d ] ( ) = [ d ] ( 3 ) [ F ][ M ][ d ] ( ) [ d ] k [ d ] n ( n ) ( n ) = k oranı sabit olduğunda yani ardışık iki adımda elde edilen [d] vektörlerinin terimleri arasında sabit bir oran olduğunda ardışık yaklaşıma son verilir. 38

39 Bu durumda; Özel vektör [ d ] ( n ) k ω Özel değer de = şeklinde hesaplanır. Bu moda. mod T ω = π ω adı verilir. Pratikte en çok ihtiyaç duyulan moddur. İkinci Modun Belirlenmesi [ d ] ( ) İkinci Mod için seçilen özel vektör Ardışık yaklaşımın ikinci moda yakınsamasını sağlamak için, her adımda, seçilen vektörden birinci modun katkısını çıkarmak gerekir. Buna süpürme işlemi denir. 39

40 [ ] [ ] 3 [ ] 3 d = α d + α d + α d +... T [ d ] [ M ] İle soldan çarpıldığında T [ d ] T [ M ] d α [ d ] T [ M ][ d ] α [ d ] T [ M ][ d ] α [ d ] T [ M ][ d ] = = =... Modların diklik özelliğinden T [ d ] [ M ][ d ] = 0 i j i j α T [ d ] [ M ] d yeni = [ ] T [ d ] [ M ][ d ] d d = α d Her adımda bu şekilde seçilen vektör kullanılır. 40

41 Diğer modlar için yeni n n [ ] [ ]... [ ] d d = α d α d α d n n α = T [ d ] [ M ] d T [ d ] [ M ][ d ] α = n T T [ d ] [ M ] d [ d ] [ M ][ d ] n n n n 4

42 .... Örnek (Dosyadan) 4

43 Rayleigh Oranı

44

45 .... Örnek (Dosyadan) 45

46 .... Özel Modların Özellikleri 46

47

48