TÜBĠTAK-BĠDEB. Lise Öğretmenleri (Fizik, Kimya, Biyoloji, Matematik) Proje DanıĢmanlığı Eğitimi ÇalıĢtayı Lise-1 (ÇalıĢtay 2011) π Grubu Proje Raporu

Transkript

1 Katkılarıyla TÜBĠTAK-BĠDEB Lise Öğretmenleri (Fizik, Kimya, Biyoloji, Matematik) Proje DanıĢmanlığı Eğitimi ÇalıĢtayı Lise-1 (ÇalıĢtay 2011) π Grubu Proje Raporu PROJENĠN ADI PERMÜTASYON FONKSĠYONLARDA GÜÇ KAVRAMI ve HESAPLANMASI PROJE DANIġMANLARI Doç. Dr. Erdal EKĠCĠ Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Doç. Dr. Necla TURANLI Hacettepe Üniversitesi-ANKARA PROJE EKĠBĠ Özcan TEKÇE Süleyman DEMĠREL Fen Lisesi / EDĠRNE Çiğdem EKĠCĠ H.Avni ĠNCEKARA Fen Lisesi / NEVġEHĠR Ġlhami DOĞAN Haydar ALĠYEV Fen Lisesi / IĞDIR Kepez/ÇANAKKALE TEMMUZ 2011

2 ĠÇĠNDEKĠLER PROJENĠN AMACI...3 GĠRĠġ...3 MATERYAL VE YÖNTEM...4 BULGULAR VE YORUM...10 ÖNERĠLER...16 KAYNAKÇA

3 PROJENĠN ADI: Permütasyon Fonksiyonlarda Güç Kavramı ve Hesaplanması PROJENĠN AMACI: 1. 4 elemanlı bir kümede tanımlı tüm permütasyon fonksiyonların bulunması. 2. Permütasyon fonksiyonlarda güç kavramının tanımlanması elemanlı bir kümede tanımlı tüm permütasyon fonksiyonların güçlerinin hesaplanması. 4. Güçleri farklı iki permütasyon fonksiyonun bileģkesinin gücü ile bileģkeyi oluģturan fonksiyonların güçleri arasındaki iliģkinin incelenmesi. GĠRĠġ: Bu proje daha önce ulusal matematik olimpiyatlarında (UMO) çıkmıģ bir problemden esinlenerek hazırlanmıģtır. Bu problem aģağıda verilmiģtir. Problem (UMO,1993): A={1,2,3,4} kümesinin her a elemanı için fof a = a koģulunu sağlayan kaç tane f: A A fonksiyonu vardır (Alizade, 2006). Verilen problemde istenilen, bileģkesi birim fonksiyonu veren permütasyon fonksiyonların sayısıdır. Bu durum genellenerek 4 elemanlı bir kümede tanımlı tüm permütasyon fonksiyonların kendileri ile kaçıncı bileģkesinde birim permütasyon fonksiyonu verebileceği düģünülmüģ ve bu kavram permütasyon fonksiyonunun gücü olarak tanımlanmıģtır. AĢağıda, projede kullanılan tanımlar ve lemma verilmiģtir. Tanım 1: A sayma sayılar kümesinin bir alt kümesi olmak üzere A dan A ya tanımlı birebir ve örten fonksiyonlara permütasyon fonksiyon denir (MEB ders kitabı, Kisacanin, 2002). Tanım 2: f: A A bir permütasyon fonksiyon olmak üzere, a A için f a = a Ģartını sağlayan f fonksiyonuna birim permütasyon fonksiyon denir. Birim permütasyon fonksiyon I ile gösterilir (MEB ders kitabı, Kisacanin, 2002). Lemma 1: s(a)=n olmak üzere A dan A ya tanımlı permütasyon fonksiyonların sayısı n! dir (Alizade, Ufuktepe, 2006). Tanım 3: f: A A bir permütasyon fonksiyon olmak üzere; fofof of = I n kez bile şke Ģartını sağlayan en küçük n sayısına f permütasyon fonksiyonunun gücü denir ve G(f) ile gösterilir. 3

4 MATERYAL VE YÖNTEM Permütasyon fonksiyonunun gücü tanımlandıktan sonra, 4 elemanlı bir kümenin bütün permütasyon fonksiyonları bulunarak güçleri hesaplanmıģtır. f 1 = (f 1 of 1 ) = o = G f 1 = 1 f 2 = (f 2 of 2 ) = o = G f 2 = 1 f 3 = (f 3 of 3 ) = o = (f 3 of 3 )of 3 = o = G f 3 = 2 f 4 = (f 4 of 4 ) = o = G f 4 = 1 f 5 = (f 5 of 5 ) = o = G f 5 = 1 4

5 f 6 = (f 6 of 6 ) = o = (f 6 of 6 )of 6 = o = G f 6 = 2 f 7 = (f 7 of 7 ) = o = G f 7 = 1 f 8 = (f 8 of 8 ) = o = G f 8 = 1 f 9 = (f 9 of 9 ) = o = (f 9 of 9 )of 9 = o = [(f 9 of 9 )of 9 ]of 9 = o = G f 9 = 3 5

6 f 10 = (f 10 of 10 ) = o = (f 10 of 10 )of 10 = o = G f 10 = 2 f 11 = (f 11 of 11 ) = o = (f 11 of 11 )of 11 = o = [(f 11 of 11 )of 11 ]of 11 = o = G f 11 = 3 f 12 = (f 12 of 12 ) = o = (f 12 of 12 )of 12 = o = G f 12 = 2 f 13 = (f 13 of 13 ) = o = (f 13 of 13 )of 13 = o = G f 13 = 2 6

7 f 14 = (f 14 of 14 ) = o = (f 14 of 14 )of 14 = o = [(f 14 of 14 )of 14 ]of 14 = o = G f 14 = 3 f 15 = (f 15 of 15 ) = o = (f 15 of 15 )of 15 = o = G f 15 = 2 f 16 = (f 16 of 16 ) = o = G f 16 = 1 f 17 = (f 17 of 17 ) = o = G f 17 = 1 7

8 f 18 = (f 18 of 18 ) = o = (f 18 of 18 )of 18 = o = [(f 18 of 18 )of 18 ]of 18 = o = G f 18 = 3 f 19 = (f 19 of 19 ) = o = (f 19 of 19 )of 19 = o = [(f 19 of 19 )of 19 ]of 19 = o = G f 19 = 3 f 20 = (f 20 of 20 ) = o = (f 20 of 20 )of 20 = o = G f 20 = 2 f 21 = (f 21 of 21 ) = o = (f 21 of 21 )of 21 = o = G f 21 = 2 8

9 f 22 = (f 22 of 22 ) = o = G f 22 = 1 f 23 = (f 23 of 23 ) = o = (f 23 of 23 )of 23 = o = [(f 23 of 23 )of 23 ]of 23 = o = G f 23 = 3 f 24 = (f 24 of 24 ) = o = G f 24 = 1 9

10 BULGULAR VE YORUM Yapılan hesaplamalar göz önüne alınarak permütasyon fonksiyonları güçlerine göre aģağıdaki Ģekilde gruplara ayrılmıģ, gruplar içinde ve gruplar arası iliģkiler incelenerek genellemeler elde edilmiģtir. Gücü 1 olan Permütasyon Ponksiyonlar f 1 = f 2 = f 7 = G f 1 = 1 G f 2 = 1 f 4 = G f 4 = 1 f 5 = G f 5 = 1 G f 7 = 1 f 8 = G f 8 = 1 f 16 = G f 16 = 1 f 17 = G f 17 = 1 f 22 = G f 22 = 1 f 24 = G f 24 = 1 10 tane Gücü 2 olan Permütasyon Ponksiyonlar f 3 = G f 3 = 2 f 6 = G f 6 = 2 f 10 = G f 10 = 2 f 12 = G f 12 = 2 f 13 = G f 13 = 2 f 15 = G f 15 = 2 f 20 = G f 20 = 2 f 21 = G f 21 = 2 Gücü 3 olan Permütasyon Ponksiyonlar 8 tane f 9 = G f 9 = 3 f 11 = G f 11 = 3 f 14 = G f 14 = 3 f 18 = G f 18 = 3 f 19 = G f 19 = 3 f 23 = G f 23 = 3 6 tane 10

11 Sonuç olarak; 1. Gücü 1 olan permütasyon fonksiyonlar için aşağıdaki genellemeler elde edilmiştir: a. ) f 1 = 4 elemandan tümünü kendisi ile eşleyen permütasyon fonksiyon sayısı 1 olup, sayısal olarak 4 4 şeklinde hesaplanabilir. b. ) f 2 = , f 4 = , f 5 = , f 7 = , f 16 = , f 22 = elemandan 2 sini kendisi ile diğerlerini birbiri ile eşleyen permütasyon fonksiyon sayısı 6 olup, sayısal olarak 4 2 1! şeklinde hesaplanabilir. c. ) f 8 = , f 17 = , f 24 = elemandan herhangi iki elemanını kendi aralarında eşleyen permütasyon fonksiyon sayısı, 4 elemandan birinin kendisi hariç 3 elemandan biri ile eşleşmesi halinde diğer ikisi de kendi aralarında eşleşeceğinden 3 tanedir. Böylece gücü 1 e eşit olan toplam 10 tane permütasyon fonksiyon vardır. 2. Gücü 2 olan permütasyon fonksiyonlar için aşağıdaki genellemeler elde edilmiştir: f 3 = , f 6 = , f 10 = , f 12 = f 13 = , f 15 = , f 20 = , f 21 = elemandan 1 ini kendisi ile diğer 3 elemanı, herhangi ikisi çapraz eşleşmeyecek şekilde bir elemana eşleyen permütasyon fonksiyon sayısı 8 olup, bu da sayısal olarak Böylece gücü 2 ye eşit olan 8 tane permütasyon fonksiyon vardır şeklinde hesaplanabilir. 3. Gücü 3 olan permütasyon fonksiyonlar için aşağıdaki genellemeler elde edilmiştir: f 9 = , f 11 = , f 14 = , f 18 = , f 19 = , f 23 = elemanının tümünü herhangi ikisi çapraz eşleşmeyecek şekilde kendisinden farklı bir elemana eşleyen permütasyon fonksiyon sayısı 6 olup ; bu da 4 elemandan biri alındığında bu eleman diğer 3 ünden biri ile eşleşeceğinden ve çapraz eşleşme olamayacağından bu elemanın eşleştiği eleman için 2 seçenek vardır. Yani çarpmanın temel ilkesine göre (3.2) şeklinde hesaplanabilir. Böylece gücü 3 e eşit olan 6 tane permütasyon fonksiyonu vardır. 11

12 Sonraki aģamada gruplar içinde ve gruplar arasında bileģkeler alınarak güçleri hesaplanmıģ ve iliģkiler incelenerek genellemeler elde edilmiģtir. (1b) grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü, f 2 o f 4 = o = = f 6, G f 6 = 2 f 4 o f 2 = o = = f 3, G f 3 = 2 f 5 of 22 = o = = f 12, G f 3 = 2 f 22 of 5 = o = = f 20, G f 20 = 2 Benzer şekilde bu gruptan alınan herhangi iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücünün de 2 olduğu görülmüştür. (1c) grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü, f 17 of 24 = o = = f 8, G f 8 = 1 f 24 of 17 = o = = f 8, G f 8 = 1 f 8 of 24 = o = = f 17, G f 17 = 1 Benzer şekilde bu gruptan alınan herhangi iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücünün de 1 olduğu görülmüştür. 2. gruptan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü, f 13 of 15 = o = = f 8, G f 8 = 1 f 15 of 13 = o = = f 24, G f 24 = 1 f 6 of 20 = f 20 of 6 = o = = f 13, G f 13 = o = = f 21, G f 21 = 2 Benzer şekilde bu gruptan alınan herhangi iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücünün 1 veya 2 olduğu görülmüştür. 12

13 3. gruptan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü, f 3 of 21 = o = = f 10, G f 10 = 2 f 14 of 18 = o = = f 21, G f 21 = 2 f 11 of 18 = o = = f 3, G f 3 = 2 Benzer şekilde bu gruptan alınan herhangi iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücünün de 2 olduğu görülmüştür. 1a grubunda sadece birim permütasyon fonksiyon olduğundan bileşkenin gücü, bu fonksiyon ile bileşkeye giren fonksiyonun gücüne eşittir. f 1 of 2 = o = = f 2, G f 2 = 1 1b ile 1c grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü, f 16 o f 17 = o = = f 5, G f 5 = 1 f 16 o f 8 = o = = f 9, G f 9 = 3 f 16 of 24 = o = = f 19, G f 19 = 3 f 22 o f 8 = o = = f 11, G f 11 = 3 f 22 of 17 = o = = f 14, G f 14 = 3 f 22 of 24 = o = = f 4, G f 4 = 1 f 17 o f 16 = o = = f 5, G f 5 = 1 f 17 of 22 = o = = f 11, G f 11 = 3 f 24 of 2 = o = = f 23, G f 23 = 3 Benzer şekilde bu gruplardan alınan herhangi iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü 1 veya 3 tür. 13

14 1b ile 2 grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü, f 2 of 3 = o = = f 5, G f 5 = 1 f 3 of 2 = o = = f 4, G f 4 = 1 f 7 of 21 = o = = f 19, G f 19 = 3 f 5 of 20 = o = = f 7, G f 7 = 1 Benzer şekilde bu gruplardan alınan herhangi iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücünün 1 veya 3 olduğu görülmüştür. 1b ile 3 grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü, f 4 of 11 = o = = f 17, G f 17 = 1 f 11 of 4 = o = = f 8, G f 8 = 1 f 16 of 18 = o = = f 6, G f 6 = 2 f 18 of 16 = o = = f 12, G f 12 = 2 Benzer şekilde bu gruplardan alınan herhangi iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücünün 1 veya 2 olduğu görülmüştür. 1c ile 2 grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü, f 8 of 15 = o = = f 20, G f 20 = 2 f 24 of 6 = o = = f 20, G f 20 = 2 f 17 of 13 = o = = f 3, G f 3 = 2 f 20 o f 8 = o = = f 6, G f 6 = 2 Benzer şekilde bu gruplardan alınan herhangi iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücünün 2 olduğu görülmüştür. 14

15 1c ile 3 grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü, f 24 of 9 = o = = f 16, G f 16 = 1 f 17 of 18 = o = = f 2, G f 2 = 1 f 8 of 23 = o = = f 18, G f 18 = 3 f 14 of 24 = o = = f 11, G f 11 = 3 f 11 o f 8 = o = = f 22, G f 22 = 1 Benzer şekilde bu gruplardan alınan herhangi iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücünün 1 veya 3 olduğu görülmüştür. 2 ile 3 grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü, f 3 of 9 = o = = f 18, G f 18 = 3 f 3 of 11 = o = = f 16, G f 16 = 1 f 3 of 14 = o = = f 19, G f 19 = 3 f 3 of 18 = o = = f 22, G f 22 = 1 f 3 of 19 = o = = f 7, G f 7 = 1 f 3 of 23 = o = = f 11, G f 11 = 3 f 14 of 3 = o = = f 18, G f 18 = 3 f 14 of 6 = o = = f 16, G f 16 = 1 f 14 of 10 = o = = f 5, G f 5 = 1 f 14 of 12 = o = = f 2, G f 2 = 1 15

16 f 14 of 13 = o = = f 23, G f 23 = 3 f 14 of 15 = o = = f 19, G f 19 = 3 f 14 of 20 = o = = f 9, G f 9 = 3 f 14 of 21 = o = = f 7, G f 7 = 1 f 20 of 19 = o = = f 11, G f 11 = 3 f 23 of 20 = o = = f 11, G f 11 = 3 Benzer şekilde bu gruplardan alınan herhangi iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücünün 1 veya 3 olduğu görülmüştür. SONUÇLAR: Bu çalıģmadan elde edilen sonuçlar aģağıda liste halinde verilmiģtir. 1. 1a grubunda sadece birim permütasyon olduğundan kendisi ile bileşkesinin gücü de daima 1 dir. 2. 1b grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü daima 2 dir. 3. 1c grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü daima 1 dir gruptan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü 1 veya 2 dir gruptan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü daima 2 dir. 6. 1b ile 1c grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü 1 veya 3 tür. 7. 1b ile 2 grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü 1 veya 3 tür. 8. 1b ile 3 grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü 1 veya 2 dir. 9. 1c ile 2 grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü daima 2 dir c ile 3 grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü 1 veya 3 tür ile 3 grubundan seçilen iki permütasyon fonksiyonunun bileşkesinin gücü 1 veya 3 tür. ÖNERĠLER: Bu problemde kullanılan yöntem temel alınarak aynı güce sahip bileģke permütasyon fonksiyonların sayıları ile ilgili genellemeler tespit edilerek verilebilir. Ayrıca kümenin eleman sayısı 4 den fazla olması durumu benzer yöntem kullanılarak incelenebilir. 16

17 TEġEKKÜR ÇalıĢtay Koordinatörü Prof. Dr. Mehmet AY a, tüm destekleri için TÜBĠTAK/BĠDEB e, sunuları ve çalıģmalarıyla bizi aydınlatan ve yönlendiren danıģmanlarımız Doç.Dr. Erdal EKĠCĠ ve Doç.Dr. Necla TURANLI ya, matematik alanı sorumlu teknisyeni Gözde GÜLġĠN e, tüm çalıģtay ekibine, AOTML çalıģanlarına ve tüm katılımcı arkadaģlara teģekkür ederiz. KAYNAKÇA 1. B. Kisacanin, Combinatorics, Number teory and geometry, Kluwer Academic Publisher, R. Alizade,Ü. Ufuktepe,Sonlu Matematik,TÜBĠTAK, MEB ders kitabı, 9. sınıf matematik MEB ders kitabı. ÖZGEÇMĠġLER Özcan TEKÇE: 2 Ocak 1967 yılında Edirne de doğdu. Lisans eğitimini Trakya Üniversitesi, Fen Fakültesi matematik bölümünde, Lisans üstü eğitimini aynı üniversitenin Fen Bilimleri Enstitüsünde tamamladı yılında ġanlıurfa Lisesinde matematik öğretmenliğine baģladı yılında Edirne Süleyman Demirel Fen Lisesine atandı. Halen aynı okulda matematik öğretmenliğine devam etmektedir. Çiğdem EKĠCĠ: 17 Ocak 1983 yılında NevĢehir de doğdu. Lisans eğitimini Gazi Üniversitesi, Eğitim Fakültesi Matematik Öğretmenliği bölümünde tamamladı yılında Kayseri/Yahyalı Necati Kurmel Lisesinde matematik öğretmenliğine baģladı yılında NevĢehir H.Avni Ġncekara Fen Lisesine atandı. Halen aynı okulda matematik öğretmenliğine devam etmektedir. Ġlhami DOĞAN: 5 Nisan 1978 yılında Ağrı da doğdu yılında Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümünü bitirdi yılında atandığı Iğdır Haydar Aliyev Fen Lisesinde matematik öğretmeni olarak çalıģmaktadır. 17