Ötelemesi Önlenmemiş Çok Katlı Yapılarda Kolon Burkulma Boyları 1

Transkript

1 İMO Teknik Dergi, , Yazı 44 Ötelemesi Önlenmemiş Çok atlı Yapılarda olon Burkulma Boyları 1 Günay ÖZMEN * onuralp GİRGİN ** ÖZ Yapı tasarımı ile ilgili çeşitli yönetmeliklerde, çerçeve kolonlarının burkulma boylarının esabı için, basitleştirilmiş formül, abak veya nomogramlar verilmiştir. Bu basitleştirilmiş yaklaşımların bazı durumlarda oldukça atalı sonuçlar verebildikleri gözlenmektedir. Bu atalar yönetmelik yaklaşımlarının sadece yerel rijitlik dağılımlarını göz önüne almalarından ve çerçeve genel davranışını imal etmelerinden kaynaklanmaktadır. Bu çalışmada, çok katlı çerçevelerin burkulma yüklerini yaklaşık olarak tayin etmek amacıyla basitleştirilmiş bir yöntem geliştirilmiştir. Bu yöntemde çerçevelerin yatay yük analizinden elde edilen sonuçlar kullanılmakta ve % 10 dan az, yani pratik amaçlar için yeterli sayılabilecek oranda atalı sonuçlar elde edilmektedir. Önerilen yöntem çeşitli sayısal örneklere uygulanmış ve tüm ataların kabul edilebilir mertebede ve güvenli yönde oldukları gösterilmiştir. ABSTRACT Effective Lengts of Columns in Unbraced Multi-Storey Frames n several design codes and specifications, simplified formulae, diagrams or carts are given for determining te effective lengts of frame columns. t is possible to sow tat tese simplified approaces may yield rater erroneous results in certain cases. Tis is due to te fact tat, te code formulae utilise only local stiffness distributions, tus ignoring te general beaviour of te system. n tis paper, a simplified procedure for determining approximate values for te buckling loads of multi-storey frames is developed. Te procedure utilises lateral load analysis of frames and yields errors less tan 10 %, wic may be considered suitable for practical purposes. Te proposed procedure is applied to several numerical examples and it is sown tat all te errors are in te acceptable range and on te safe side. Not: Bu yazı - Yayın urulu na günü ulaşmıştır Aralık 005 gününe kadar tartışmaya açıktır. * Bilsar A. Ş., İstanbul gunayozmen@otmail.com ** İstanbul Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi, İstanbul kgirgin@srv.ins.itu.edu.tr

2 Ötelemesi Önlenmemiş Çok atlı Yapılarda olon Burkulma Boyları 1. GİRİŞ olonların burkulma (etkili) boylarının tayini, çerçeve tasarımının önemli aşamalarından biridir. uramsal olarak, boyutlandırmada kullanılacak olan burkulma boyları, tüm sistemin burkulma yükü elde edildikten sonra bu değere bağlı olarak esaplanmalıdır. Tüm sistemin burkulma yükünün esabı, uzun ve yorucu esapları veya özel olarak geliştirilmiş yazılımların kullanılmasını gerektirdiğinden, tasarım yönetmeliklerinin çoğunda basitleştirilmiş formül, abak veya nomogramlar verilmiştir. Yurdumuzda kullanılmakta olan TS 648 deki nomogramlar ASC (1988) yönetmeliğinden, TS 500 deki formüller de AC (1989) yönetmeliğinden alınmış bulunmaktadır, [1], [], [3], [4]. Bu formül ve nomogramlar orijinal olarak Galambos tarafından geliştirilmiş olan ve Bağımsız Alt Sistem Yaklaşımı olarak adlandırılan formülasyona dayanmaktadır. Bu formülasyonda çerçeve kolonları bağımsız olarak ele alınmakta ve burkulma boyu sadece alt ve üst uçlarındaki rijitlik dağılımına bağlı olarak esaplanmaktadır, [5]. Yaygın olarak kullanılmakta olan diğer bazı yönetmeliklerde de benzer kabullere dayanan formül ve diyagramlar verilmektedir, [6], [7]. Bağımsız alt sistem yaklaşımının önemli kusuru, kolonun burkulma boyunun esabında iki uçlarındaki çubukların dışındaki çubukların etkileşiminin iç esaba katılmamasıdır. Hellesland ve Bjorovde bu yaklaşımın bazı durumlarda önemli oranda atalara neden olabileceğini göstermişlerdir, [8]. Alt sistem yaklaşımının verdiği sonuçları düzeltmek amacıyla çeşitli çalışmalar yapılmış bulunmaktadır, [9], [10], [11]. Sonuçların düzeltilmesi için geliştirilmiş olan ilginç yöntemler arasında, at Burkulması Yaklaşımı adı verilen ve bir kattaki kolonların yatay yöndeki etkileşimini göz önüne alan yöntemler bulunmaktadır, [1], [13]. Wite ve Hajjar bu yaklaşımın simetrik olmayan sistemlerde oldukça atalı sonuçlar verebildiğini göstermişlerdir, [14]. Son yıllarda, kat burkulması yaklaşımı konusunda çok sayıda araştırma yapılmış bulunmaktadır, [15], [16], [17]. Bunlar arasında Aristizabal-Ocoa ve Ceong-Siat-Moy daa genel formülasyonlar geliştirerek, ötelemesi önlenmiş ve önlenmemiş çerçevelerle birlikte, ötelemesi kısmen önlenmiş çerçeveler için de çözümler üretmişlerdir, [15], [16]. Her kat için trigonometrik bir denklemin çözümünü içeren Aristizabal-Ocoa yöntemi daa sonra üç boyutlu yapıları da kapsayacak biçimde geliştirilmiş bulunmaktadır, [18], [19]. Bir başka ilginç yaklaşım da Hellesland ve Bjorovde tarafından geliştirilen ve burkulma boylarının ağırlıklı ortalamalar kullanılarak düzeltilmesini öngören bir yöntemdir, [0]. Bu yaklaşım da genel olarak az atalı fakat güvensiz yönde sonuçlar vermekte ve daa geniş kapsamlı modeller üzerinde sayısal uygulamalar yapılarak geçerliliğinin kanıtlanması gerektiği belirtilmektedir. Yönetmeliklerdeki son gelişmelerde ise, Bağımsız Alt Sistem Yaklaşımı ndan vaz geçilmesi eğilimi ağırlık kazanmaktadır. Nitekim ASC (1999) yönetmeliğinde, bu yaklaşım terk edilmiş ve burkulma boylarının yapısal analiz yardımı ile tayin edilmesi gerektiği belirtilmiştir, [1]. Ancak, ala yaygın olarak kullanılmakta olan bazı yönetmeliklerde bağımsız alt sistem yaklaşımının benimsenmesine devam edildiği gözlenmektedir, [1], [7], []. Bu çalışmada, ötelenmesi önlenmemiş çok katlı çerçeveler için, geniş kapsamlı uygulama olanakları içeren ve ata oranı kabul edilebilir mertebede olan pratik bir yöntem geliştirilmiş bulunmaktadır. Bu yöntem fiktif bir yatay yükleme sonuçlarını kullanarak tüm sistemin burkulma yükünü basit bir formül yardımı ile esaplama esasına dayanmaktadır. 3696

3 Günay ÖZMEN, onuralp GİRGİN. ÖTELENMESİ ÖNLENMEMİŞ ÇO ATL YALARN BURULMA YÜLERİ Lineer elastik malzemeden yapılmış kolon ve kirişlerden oluşan ve düşey yüklerin etkisi altında bulunan çok katlı bir çerçeve Şekil 1a da gösterilmiştir. i j i 1 j 1 a) Sistem ve Yükleme b) Burkulma Modu - Yerdegistirmeleri Şekil 1: Çok katlı çerçeve ve Burkulma modu Şekilde gösterilen düşey yükler altında, sistem ararlı Denge konumundadır ve uzama şekil değiştirmeleri imal edilirse, tüm şekil değiştirmeler ve yerdeğiştirmeler sıfırdır. olon eksenel kuvvetleri dışındaki tüm iç kuvvetler de sıfır olmaktadır. olon eksenel kuvvetleri Nij = nij (1) olarak ifade edilebilir. Burada gelişigüzel seçilebilen bir yük parametresini, n ij de boyutsuz bir katsayıyı göstermektedir. Yük parametresi belirli bir k kritik değerine eriştiğinde bir başka ararsız Denge konumu oluşabilir. Bu yeni konumda oluşan ve Şekil 1b de şematik olarak gösterilen yatay yerdeğiştirmelere Burkulma Modu adı verilmektedir. k burkulma yükü parametresi esaplandıktan sonra erangi bir kolonun k,ij burkulma boyu k,ij Eij = π () n ij k. bağıntısı ile bulunabilir,[3], [4]. Burada E ij kolonun eğilme rijitliğini göstermektedir. Az sayıda çubuğu ve düğüm noktası olan bazı sistemlere ait burkulma yükü parametresi, Stabilite fonksiyonları nı veya İkinci mertebe birim deplasman sabitleri ni kullanarak esaplanabilir, [3], [4], [5]. Daa genel (çok çubuklu) sistemler için özel olarak 3697

4 Ötelemesi Önlenmemiş Çok atlı Yapılarda olon Burkulma Boyları azırlanmış yazılımları kullanma zorunluluğu vardır, [5]. SA000 gibi genel amaçlı yazılımların kullanılması alinde de, burkulma yüklerinin gerçeğe yakın değerlerini elde etmek için, kolonları parçalara bölmek gerekmektedir. Bu çalışmada burkulma yüklerinin yaklaşık olarak tayini için geliştirilmiş olan pratik ve genel amaçlı bir yöntemin ana atları açıklanacak sayısal örnekler üzerinde uygulaması yapılacaktır. Çakıroğlu, [8] tarafından 1977 yılında geliştirilmiş olan yöntem, kısmen bilgisayar destekli olarak uygulanmakta ve yatay yüklere göre esap sonuçlarının basit bir formül ile değerlendirilmesi esasına dayanmaktadır. 3. YÖNETMELİLERE GÖRE BURULMA BOYLAR Birçok yönetmelikte çerçeve kolonlarının burkulma boylarının esabı için, basitleştirilmiş formül, abak veya nomogramlar verilmiştir. Böylece tasarımcıların gerçek burkulma boylarının esabı için gereken uzun ve yorucu esaplardan (veya özel yazılımlara başvurmaktan) kurtarılması amaçlanmaktadır. Bu bölümde yurdumuzda geçerli olan TS 648 Çelik Yapıların Hesap ve Yapım uralları ndaki esap esasları özetlenecektir. Bu yönetmeliğin 3. Merkezi Basınca Çalışan Çubuklar bölümünde belirtildiğine göre önce, kolonların er iki ucunda Dağıtma katsayıları adı verilen 3698 c c G = (3) katsayıları esaplanmaktadır. Burada c : olon atalet momentini, c : olon boyunu g : iriş atalet momentini, L g : iriş açıklığını göstermektedir. olonun er iki ucundaki G A ve G B değerleri (3) formülüne göre esaplandıktan sonra L g g x GAGB 36 x f (x) = = 0 (4) 6(G + G ) tan x A Galambos denklemini sağlayan x değişkeninin esaplanması gerekmektedir, [5]. Daa sonra B = π (5) x k = c (6) formülleri ile k kolon burkulma boyu esaplanır. TS 648 de, (4) denkleminin çözülmesi işleminden kurtulmak amacı ile, ötelemesi önlenmiş ve önlenmemiş çerçeveler için

5 Günay ÖZMEN, onuralp GİRGİN nomogramlar verilmiştir. Ötelemesi önlenmiş çerçeve kolonları bu çalışmanın kapsamı dışında bırakılmıştır. Ötelemesi önlenmemiş çerçeveler için verilmiş olan nomogram Şekil de gösterilmiştir. Şekil : Ötelemesi önlenmemiş çerçeveler için nomogram Böylece değerleri, trigonometrik denklem çözmeye gerek kalmadan, G A ve G B değerlerine bağlı olarak bu nomogramdan alınabilmektedir. Önceleri TS 500 de de kullanılmakta olan bu nomogram, sonradan kaldırılmış ve yaklaşık değerlerinin esabı için formüller verilmiştir. Betonarme sistemlerde atalet momentlerinin esabı, çatlamış kesitler kullanılarak yapılmaktadır. Aşağıda nomogramlar (veya formüller) ile elde edilen değerlerinin ne kadar atalı sonuçlar verebildiği, sayısal örnekler üzerinde gösterilecektir. 3.1 Örnek 1 İlk örnek olarak seçilen 5 katlı simetrik çerçevenin şematik kesiti ve yükleri Şekil 3 te gösterilmiştir. 3699

6 Ötelemesi Önlenmemiş Çok atlı Yapılarda olon Burkulma Boyları Şekil 3 : Örnek 1 şematik kesiti esin burkulma yükünün değeri özel bir yazılım kulanılarak elde edilmiştir. Bu yazılımda eksenel kuvvetlerin katkıları göz önünde tutularak sistem çubuklarının. Mertebe rijitlik matrisleri esaplanmakta ve determinant kriteri kullanılıp bir ardışık yaklaşım düzeni uygulanmaktadır, [6]. Buna göre göz önüne alınan sistemin kesin burkulma yükü değeri E k = (7) olarak bulunmuştur. Tüm kolonlar için n ij = 1 olduğu göz önünde tutularak () formülü yardımı ile k = 1.54 (8) bulunur. Bu değer tüm kolonlar için aynıdır. TS 648 deki formüller ve nomogram kullanılarak elde edilen değerler ile kesin değerlerin karşılaştırılması Çizelge 1 de gösterilmiştir. Seçilebilecek en düzenli örnek olarak nitelendirilebilen bu örnek için ata oranlarının pek yüksek olmadığı görülmektedir. Ancak bu örnekte bile en alt kat için, önemli oranda ve güvensiz yönde atalı sonuç elde edilmiş olması ilgi çekicidir. 3. Örnek İkinci örnek olarak seçilen çerçevenin şematik kesiti ve yükleri Şekil 4 te gösterilmiştir. Bu örnekte de boyutlar ve kesitler Örnek 1 gibidir. Tek fark yüklerinin tüm düğüm noktalarına etkimesidir.

7 Çizelge 1: Örnek 1 için burkulma boyu katsayıları Günay ÖZMEN, onuralp GİRGİN at n (esin) (TS 648) Göreli Hata (%) Bu örnek için kesin burkulma yükü değeri Şekil 4 : Örnek şematik kesiti E k = (9) olarak bulunmuştur. Buna göre elde edilen kesin kolon burkulma boyları ile TS 648 e göre bulunanlar Çizelge de gösterilmiştir. Görüldüğü gibi, bazı kolonlar için aşırı oranda atalı sonuçlar elde edilmektedir. İlgi çekici olan usus, er iki örnek için de TS 648 ile bulunan burkulma boyları özdeş olduğu alde, gerçek burkulma boylarının önemli oranda farklı bulunmasıdır. Bunun nedeni TS 648 de (ve bağımsız alt sistem yaklaşımına dayanan diğer yönetmeliklerde) sistemin tüm çubuklarına ait davranışın ve özellikle eksenel kuvvet dağılımının göz önüne alınmamış olmasıdır. 3701

8 Ötelemesi Önlenmemiş Çok atlı Yapılarda olon Burkulma Boyları 3.3 Örnek 3 Çizelge : Örnek için burkulma boyu katsayıları at n (esin) (TS 648) Göreli Hata (%) Son örnek olarak seçilen katlı çerçevenin şematik kesiti ve yükleri Şekil 5 te gösterilmiştir. Simetrik olmayan bu örnek aynak [15] den alınmış bulunmaktadır Bu örnek için kesin burkulma yükü değeri Şekil 5 : Örnek 3 şematik kesiti E k = (10) olarak esaplanmıştır. Buna göre () formülü ile bulunan k boylarından elde edilen kesin değerleri, TS 648 e göre esaplanan değerleri ve göreli ata oranları Çizelge 3 te gösterilmiştir. Beklendiği gibi, kolonların çoğu için yönetmeliğe göre bulunan burkulma boyu çarpanları önemli oranda atalıdır. Öncekilere göre daa genel karakterli olan bu örnek için, bağımsız alt sistem yaklaşımı ile ilgili kabullerin çoğu geçersiz olduğundan bu sonuç doğal karşılanmalıdır. 370

9 Çizelge 3: Örnek 3 için burkulma boyu katsayıları Günay ÖZMEN, onuralp GİRGİN at olon n (esin) (TS 648) Göreli Hata (%) Sol Orta Sağ Sol Orta Sağ Diğer Yönetmelikler ve Değerlendirme Burkulma boyu çarpanlarının esaplanması için, diğer bazı yönetmeliklerde de benzer formül ve abaklar verilmiş bulunmaktadır. Yukarıdaki örnekler, TS 500 de verilen formüller ve Eurocode 3 (DN 18800) de verilen abaklar yardımı ile de çözülmüş ve benzer sonuçlar elde edilmiştir. Burkulma boyu çarpanlarına ait göreli ata sınırları Çizelge 4 te özetlenmiş bulunmaktadır. Çizelge 4: Burkulma boyu çarpanları için göreli ata sınırları (%) Örnek 1 Örnek Örnek 3 TS ~ ~ ~ 4.4 TS ~ ~ ~ 6.7 Eurocode 3 DN ~ ~ ~ 19.8 Göz önüne alınan tüm yönetmeliklerin benzer mertebede atalı sonuçlar verdikleri açıkça görülmektedir. Bunun nedeni bu yönetmeliklerin tümündeki formülasyonun, sadece yerel rijitlik dağılımını göz önüne alan bağımsız alt sistem yaklaşımına dayanmasıdır. Oysa çeşitli sayısal örnekler üzerinde yapılan incelemeler, burkulma boylarının yerel rijitlik dağılımı ile birlikte Eksenel kuvvet dağılımı, at kolon ve kirişlerinin rijitlik dağılımı, at sayısı, Göz önüne alınan kolonun çerçeve içindeki konumu gibi çeşitli faktörlere de bağlı olduğunu göstermiştir. Sonuç olarak, burkulma boylarının tayini için sadece yerel rijitlik dağılımının değil, çerçevenin tümüne ait karakteristiklerin göz önüne alınmasının gerekli olduğu söylenebilir. Aşağıda, yaklaşık da olsa, bu karakteristiklerin tümünü göz önüne alan bir yöntemin ana atları ve uygulaması açıklanacaktır. 4. Çakıroğlu Formülleri Çakıroğlu tarafından, çerçevelerin fiktif yatay yüklere göre esabından yararlanılarak geliştirilen bir yöntemde, çerçeve burkulma yüklerinin yaklaşık değerleri ve yaklaşık kolon 3703

10 Ötelemesi Önlenmemiş Çok atlı Yapılarda olon Burkulma Boyları burkulma boyları elde edilebilmektedir, [7], [8]. Bu bölümde bu yöntemin ana atları ve bilgisayar destekli uygulaması açıklanacaktır. Şekil 1 de gösterilen çerçeveye uygulanan fiktif bir yatay yükleme Şekil 6 da gösterilmiştir. Bu yüklemenin burkulma moduna özdeş (veya onunla orantılı) olan yatay yerdeğiştirmeler oluşturduğu kabul edilmektedir. H i - a) Fiktif Yatay Yükleme b) Yerdegistirmeler. Şekil 6: Çok katlı çerçevede fiktif yükleme aynak [8] de Şekil 1 ve Şekil 6 da gösterilen yüklemelere Betti karşıtlık teoremi uygulanmış ve k burkulma yükünün yaklaşık değerini veren Qiδi atlar k = (11) δi nij χij olonlar temel formülü elde edilmiştir. Burada Q i : at kesme kuvvetini (i. katın üstünde kalan yatay yüklerin toplamını), δ i : at göreli yerdeğiştirmesini, χ ij : Fiktif yükleme sonuçlarına bağlı boyutsuz bir katsayıyı göstermektedir. δ i kat göreli yerdeğiştirmesi δ i = i. kat kolonları Q k i ij i 1E ij 3 i. (1) formülü ile esaplanmaktadır. olon yatay rijitlik katsayısı olarak tanımlanan k ij katsayıları, çerçevelerin yatay yüklere göre esabı için geliştirilmiş olan yaklaşık yöntemlerde kullanılan katsayılardır, [9]. Bunlar G A ve G B oranlarına benzer olarak 3704

11 Günay ÖZMEN, onuralp GİRGİN esaplanan r o ve r u rijitlik oranlarına bağlı olarak düzenlenmiş olan abaklardan alınmaktadır, [30]. χ ij katsayısının esabı için de, r o rijitlik oranına bağlı olan bir abak verilmiştir, [8]. Bu katsayının irdelemesi aşağıda ayrıca yapılacaktır. aynak [8] de, (11) temel formülünün çeşitli özel durumlara ve sistemlere uygulanabilmesi için geliştirilmiş olan bir çok formül verilmiş bulunmaktadır. Seçilen fiktif yatay yüklere göre çerçevenin esabı yapıldıktan sonra, verilen abaklar kullanılıp, (1) ve (11) formülleri uygulanarak k burkulma yüküne ait yaklaşık bir değer kolayca elde edilebilmektedir. Daa sonra, kesin esapta kullanılan () formülü yardımı ile kolonlara ait burkulma boyları esaplanabilir. -10 katlı çok sayıda sayısal örnek üzerinde yapılan incelemeler, bu yöntemin er türlü özel duruma uygulanabildiğini ve burkulma yükleri için ata oranı sınırlarının -% ~ % 5 mertebesinde olduğunu göstermiştir. Burkulma boylarındaki atalar çok daa düşük oranda ve -% 11 ~ % 13 mertebesindedir. Çizelge 4 teki değerler ile karşılaştırıldığında, bu ata oranı sınırlarının oldukça düşük ve pratik uygulamalar bakımından kabul edilebilir mertebede oldukları söylenebilir. Yukarıda belirtildiği gibi, (11) formülünün çıkarılmasında, seçilen fiktif yatay yüklemeden oluşan yerdeğiştirmelerin burkulma modu ile orantılı oldukları kabul edilmiş bulunmaktadır. Başlangıçta, burkulma modu belli olmadığından, bir ardışık yaklaşım düzeni uygulanabilmektedir. Ancak er adımda δ i ve χ ij değerleri yaklaşık olarak esaplandığından, bu düzenin sonuçları çok fazla düzeltmesi beklenemez. Ayrıca çeşitli sayısal örnekler üzerinde yapılan incelemeler, sonuçların seçilen fiktif yüklemeye pek fazla bağımlı olmadığını göstermiştir, [8]. 5. Bilgisayar Destekli Uygulama (11) formülünün yaklaşık sonuç vermesindeki başlıca etkenler aşağıdaki gibi sıralanabilir: Burkulma modu ile orantılı yerdeğiştirmeler verecek olan fiktif yatay yükleme bilinmemektedir. Göreli kat yerdeğiştirmelerin esabında yaklaşık sonuç veren abaklar kullanılmaktadır. χ ij katsayılarının esabında da yaklaşık sonuç veren abak değerleri kullanılmaktadır. Yukarıda belirtildiği gibi, çeşitli sayısal örnekler üzerinde yapılan incelemeler, sonuçların seçilen fiktif yüklemeye pek fazla bağımlı olmadığını göstermiştir. Fiktif yatay yüklerin er düğüm notasındaki düşey yükler ile orantılı olarak seçilmesi alinde, ataların kabul edilebilir mertebede oldukları görülmüştür. Günümüz bilgisayar olanakları göz önünde tutulursa, yerdeğiştirmelerin yaklaşık olarak esaplanmasına gerek olmadığı, seçilen fiktif yüklemeden oluşan yerdeğiştirmelerin erangi bir standart yazılım kullanılarak kolayca esaplanabileceği söylenebilir. χ ij katsayılarının incelenmesinden de bunların 0.50 ~ 0.60 gibi oldukça dar bir aralıkta değiştikleri gözlenmektedir, [8]. Bu katsayılar için güvenli bir değer olarak χ ij = 0.60 = Sabit değeri alınırsa, burkulma yükü değerinin esabı için, (11) formülü yerine 3705

12 Ötelemesi Önlenmemiş Çok atlı Yapılarda olon Burkulma Boyları Qiδi atlar k = (13) δi 1.0 nij olonlar kullanılabileceği anlaşılır. Buna göre, çerçeve kolonlarının burkulma boylarının tayini için izlenecek yol aşağıdaki gibi özetlenebilir: Düğüm noktalarına mevcut düşey yüklerle orantılı yatay yükler uygulanır. Herangi bir standart yazılım kullanılarak göreli kat yerdeğiştirmeleri esaplanır. k burkulma yükü değeri (13) formülü ile esaplanır. olon burkulma boyları, () formülü ile esaplanır. -10 katlı çok sayıda sayısal örnek üzerinde yapılan incelemeler, yukarıda özetlenen yöntemin er türlü özel duruma uygulanabildiğini ve burkulma yükleri için ata oranı sınırlarının -% 1.5 ~ % 6.8 mertebesinde olduğunu göstermiştir. Burkulma boylarındaki atalar çok daa düşük oranda ve -% 3. ~ % 6.9 mertebesindedir. Ayrıca, ataların büyük çoğunluğunun güvenli yönde oldukları gözlenmiştir. Bu ata oranı sınırlarının gerek yönetmeliklere, gerekse Çakıroğlu formülü ile (yaklaşık katsayılar kulanılarak) elde edilenlere oranla oldukça düşük mertebede oldukları anlaşılmaktadır. 6. SAYSAL ÖRNELER Bu bölümde, yukarıda açıklanan yöntemin çeşitli sayısal örnekler üzerinde uygulaması açıklanacaktır. 6.1 Örnek 1 İlk sayısal örneğin boyutları ve yükleri Bölüm 3.1 de ele alınan örneğin aynıdır. Bu örnek için seçilen fiktif yatay yükleme Şekil 7 de gösterilmiştir. Yatay yüklere göre çözüm yapılıp δ göreli kat yerdeğiştirmeleri elde edildikten sonra, (13) formülünün uygulanması ile ilgili terimlerin esabı Çizelge 5 üzerinde gösterilmiştir. i 3706 Şekil 7 : Örnek 1 için fiktif yükleme

13 Çizelge 5 : Örnek 1 için burkulma yükü esabı Günay ÖZMEN, onuralp GİRGİN ( E) at Q E E δ Qδ δ 3 3 n n Toplam Buna göre, (13) formülü ile.1910 E E k = = bulunur. Bu değer -% 11.1 atalıdır. () formülü ile elde edilen kolon burkulma boyları k = 1.63 olarak esaplanmaktadır. Bu değerin göreli atası % 6.1 dir. Belirtmek gerekir ki, burkulma boyları yaklaşık k değeri kullanılarak kesin () formülü ile esaplandığı için, burkulma boyları (ve göreli ataları) için bulunan değerler tüm kolonlar için aynı olmaktadır. Aynı örnek için rüzgar ve deprem yüklemeleri kullanılarak ayrı ayrı yapılan burkulma yükü esapları sonunda, burkulma boyları için, sırası ile, % 1.5 ve % 4.5 göreli ata değerleri elde edilmiştir. Bu sonuçlar, yaklaşık burkulma yükü esabı için erangi bir yatay yüklemeden elde edilen göreli yerdeğiştirmelerin kullanılmasının, sonuçları önemli oranda etkilemediğini göstermektedir. 6. Örnek İkinci sayısal örneğin boyutları ve yükleri, Bölüm 3. de ele alınan örneğin aynıdır. Bu örnek için seçilen fiktif yatay yükleme Şekil 8 de gösterilmiştir. Şekil 8 : Örnek için fiktif yükleme 3707

14 Ötelemesi Önlenmemiş Çok atlı Yapılarda olon Burkulma Boyları Bu örnek için burkulma yükünün esabı ile ilgili terimler Çizelge 6 üzerinde gösterilmiştir. Çizelge 6 : Örnek için burkulma yükü esabı E at Q δ 3 E Qδ 3 n ( E) 5 δ n Toplam (13) formülü yardımı ile E E k = = bulunmaktadır. Bu değer -% 6.3 atalıdır. () formülü ile elde edilen burkulma boyu katsayıları, kesin değerleri ve ata oranları ile birlikte, Çizelge 7 de gösterilmiştir. Çizelge 7 : Örnek burkulma boyu katsayıları at (esin) (Önerilen Yön.) Göreli Hata (%) Görüldüğü gibi, burada da göreli ata değerleri tüm kolonlar için aynı olmaktadır. Aynı örnek için rüzgar ve deprem yüklemeleri kullanılarak ayrı ayrı yapılan burkulma yükü esapları sonunda burkulma boyları için, sırası ile, % 4.1 ve % 1.6 göreli ata değerleri elde edilmiştir. Bu örnek için de, fiktif yatay yükleme seçiminin sonuçları önemli oranda etkilemediği saptanmış bulunmaktadır. 6.3 Örnek 3 Son olarak Bölüm 3.3 te ele alınan örnek aynı yöntem ile çözülecektir. Bu örnek için de düğüm noktalarındaki düşey yükler ile orantılı olarak seçilen fiktif yatay yükler Şekil 9 da gösterilmiştir. 3708

15 Günay ÖZMEN, onuralp GİRGİN Şekil 9 : Örnek 3 için fiktif yükleme (13) formülünün uygulanması ile ilgili terimlerin esabı Çizelge 6 üzerinde gösterilmiştir. Çizelge 8 : Örnek 3 için burkulma yükü esabı E at Q i δ 3 E Qδ 3 olon n ( E) 5 δ n Sol Orta Sağ Sol Orta Sağ Toplam (13) formülü yardımı ile.715 E E cr = = elde edilmektedir. Bu değer sadece % 0.6 atalıdır. () formülü ile elde edilen burkulma boyu katsayıları, kesin değerleri ile birlikte, Çizelge 9 da gösterilmiştir. Çizelge 9 : Örnek 3 burkulma boyu katsayıları i at 1 olon (esin) (Önerilen Yön.) Sol Orta Sağ Sol Orta Sağ

16 Ötelemesi Önlenmemiş Çok atlı Yapılarda olon Burkulma Boyları Tüm burkulma boylarındaki göreli ata oranları -% 0.3 olarak esaplanmaktadır. Aynı örnek için rüzgar ve deprem yüklemeleri kullanılarak ayrı ayrı yapılan burkulma yükü esapları sonunda burkulma boyları için, sırası ile, % 0.4 ve %.3, göreli ata değerleri elde edilmiştir. 7. SONUÇLAR Bu çalışmada ötelemesi önlenmemiş çok katlı yapı kolonlarının burkulma boylarının esabı için geliştirilmiş olan basit fakat genel amaçlı bir yöntemin ana atları açıklanmış ve sayısal örnekler üzerinde uygulaması yapılmıştır. Çalışmada elde edilmiş olan başlıca sonuçlar aşağıdaki gibi sıralanabilir. 1. Çeşitli yönetmeliklerde çerçeve kolonlarının burkulma boylarının esabı için verilmiş olan basitleştirilmiş formül, abak ve nomogramların, bazı düzenli yapılar için bile, aşırı atalı sonuçlar verebildikleri gösterilmiştir. Bunun başlıca nedeni, yönetmeliklerin bağımsız alt sistem yaklaşımını benimsemiş olmaları ve sistemin tümünün davranışını göz önüne almamalarıdır.. Çerçevelerin burkulma yüklerinin yaklaşık olarak tayini için geliştirilmiş olan basit bir yöntemin ana atları açıklanmıştır. Burkulma yükü elde edildikten sonra, kolon burkulma boyları kolayca esaplanabilmektedir. 3. Fiktif bir yatay yüklemenin sonuçlarını kullanarak uygulanan yöntem, tüm örnekler için % 10 un altında atalı sonuçlar vermektedir. Bu ata oranının pratik uygulamalar bakımından yeterli bir yaklaşım olduğu kabul edilebilir. 4. Elde edilen burkulma yükünün yaklaşık değeri, seçilen fiktif yatay yüklemeye geniş ölçüde bağımlı değildir. Yani, yeni bir yükleme yapılmaksızın, mevcut yatay yüklemelerden erangi biri (rüzgar veya deprem yüklemeleri) fiktif yükleme olarak kullanılabilmektedir. 5. Önerilen yöntem çok sayıda çerçeve üzerinde test edilmiş ve sonuçların çoğunun güvenli yönde ve tümünün kabul edilebilir ata sınırları içinde olduğu görülmüştür aynaklar [1] TS 648, Çelik Yapıların Hesap ve Yapım uralları, Türk Standartları Enstitüsü, Ankara, [] ASC, Specification for Structural Steel Buildings, American nstitute of Steel Construction, Cicago, llinois, [3] TS 500, Betonarme Yapıların Hesap ve Yapım uralları, Türk Standartları Enstitüsü, Ankara, [4] AC , Building Code Requirements for Reinforced Concrete wit Design Applications, ortland Cement Association, Skokie, llinois, [5] Galambos, T.V., Structural Members and Frames, rentice-hall, nc., New York, [6] Eurocode 3, Design of Steel Structures, CEN, Brussels, Belgium, 199. [7] DN 18800, art: "Analysis of Safety Against Buckling of Linear Members and Frames", Beut Verlag GmbH, Berlin, [8] Hellesland, J. and Bjorovde, R., Restraint demand factors and effective lengts of braced columns, J. Struct. Engrg., ASCE, 1(10), , 1996.

17 Günay ÖZMEN, onuralp GİRGİN [9] Duan, L. and Cen, W.F., Effective lengt factors for columns in braced frames, J. Struct. Engrg., ASCE, 114(10), , [10] Duan, L. and Cen, W.F., Effective lengt factors for columns in unbraced frames, J. Struct. Engrg., ASCE, 115(1), , [11] Bridge, R.Q. and Fraser, D.J., mproved G-factor metod for evaluating effective lengts of columns, J. Struct. Engrg., ASCE, 113(6), , [1] Yura, J.A., Effective lengt of columns in unbraced frames, Engrg. J., ASC, 8(), 37-4, [13] LeMessurier, W.J., A practical metod of second-order analysis, :Rigid frames, Engrg. J., ASC, 14(), 49-67, [14] Wite, D.W. and Hajjar, J.F., Buckling models and stability design of steel frames: A unified approac, J. Construct. Steel Res., 4(3), , [15] Lui, E. M., A Novel Approac for Factor Determination ; Engrg. J., ASC, 9(4), , 199. [16] Aristizabal-Ocoa, J. D., Braced, artially Braced and Unbraced Frames: Classical Approac, J. Struct. Engrg., ASCE, 13(6), , [17] Ceong-Siat-Moy, F., An mproved -Factor Formula, J. Struct. Engrg., ASCE, 15(), , [18] Aristizabal-Ocoa, J. D., Classic Buckling of Tree-Dimensional Multi-Column Systems under Gravity Loads, J. Engrg. Mecs., ASCE, 18(6), , 00. [19] Aristizabal-Ocoa, J. D., Elastic Stability and Second-Order Analysis of Tree- Dimensional Frames: Effects of Column Orientation, J. Engrg. Mecs., ASCE, 19(11), , 003. [0] Hellesland, J. and Bjorovde, R., mproved frame stability analysis wit effective lengts, J. Struct. Engrg., ASCE, 1(11), , [1] ASC, Load and Resistance Factor Design Specification for Structural Steel Buildings, American nstitute of Steel Construction, Cicago, llinois, [] Eurocode 3, Design of Steel Structures, Final Draft, CEN, Brussels, Belgium, 00. [3] Horne, M.R., and Mercant, W., Te Stability of Frames, ergamon ress, London, [4] Çakıroğlu, A., Hiperstatik Sistemlerin Hesap Metotları, İ.T.Ü. İnşaat Fakültesi Matbaası, İstanbul, [5] Çakıroğlu, A., Özden, E., Özmen, G., Yapı Sistemlerinin Hesabı için Matris Metotları ve Elektronik Hesap Makinası rogramları, Cilt, Matbaa Teknisyenleri Basımevi, İstanbul, [6] Girgin,., Betonarme Yapı Sistemlerinde İkinci Mertebe Limit Yükün ve Göçme Güvenliğinin Belirlenmesi için Bir Yük Artımı Yöntemi, (Doktora Tezi), İstanbul Teknik Üniversitesi, stanbul, [7] Çakıroğlu, A., Çok katlı çerçevelerin burkulma esabı, Türkiye İnşaat Müendisleri Teknik ongresi, Ankara, 196. [8] Çakıroğlu, A., Çubuk Sistemlerin Burkulma Hesabı, Matbaa Teknisyenleri Basımevi, stanbul, [9] Muto,., Aseismic Design Analysis of Buildings, Maruzen Co. Ltd., Tokyo, [30] Çakıroğlu, A. et Özmen G., Calcul des ortiques a Etages Soumis a des Carges Horizontales, La Tecnique des Travaux, Sept-Oct