T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GRAVİTENİN BAZI JEODEZİK PROBLEMLERDE KULLANIMI Evren ÇANKAYA TONGUR YÜKSEK LİSANS TEZİ HARİTA MÜHENDİSLİĞİ JEODEZİ ANABİLİM DALI KONYA, 010

2

3 ÖZET Yüksek Lisans Tezi GRAVİTENİN BAZI JEODEZİK PROBLEMLERDE KULLANIMI Evren ÇANKAYA TONGUR Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Harita Mühendisliği Jeodezi Anabilim Dalı Danışman: Yrd.Doç.Dr. Bayram TURGUT 010, 53 sayfa Jüri: Yrd.Doç.Dr. Bayram TURGUT Doç.Dr. Galip OTURANÇ Yrd.Doç.Dr. Aydın ÜSTÜN Jeodezinin amacı, yeryuvarının çekim alanını belirlemektir. Yeryuvarının şeklinin belirlenmesinde esas olan jeoidin bulunmasıdır. Jeoidi belirlemek için gravite değerinin bilinmesi gerekir. Gravite, çekim kuvvetinin ve merkezkaç kuvvetinin bileşkesi olan toplam kuvvettir. Bu çalışmada gravitenin temel ilkelerinden, indirgeme ve ölçme yöntemlerinden bahsedilmiştir. Jeodezide gravitenin en önemli uygulama alanları açıklanmıştır. Uygulama olarak Konya, Karaman, Niğde ve Aksaray illerinin kuşatan bir bölgede enlem, boylam ve deniz yüksekliği bilinen noktalarda EGM08 modeli kullanılarak gravite değerleri belirlenmiştir. Bulunan gravite değerine boşlukta gravite ve Bouguer indirgemesi yapıldıktan sonra grid enterpolasyonu yapılarak grid bölgesinde tekrar boşlukta gravite anomalilerine dönüş yapılmış ve haritalandırılmıştır. Anahtar Kelimeler: Jeoit, Gravite, Gravite indirgemeleri, Gravite ölçme yöntemleri, Bouguer indirgemesi, Boşlukta gravite indirgemesi. i

4 ABSTRACT Master Thesis GRAVITY USE SOME GEODESIC PROBLEMS Evren ÇANKAYA TONGUR Selçuk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Geodesy Supervisor: Yrd.Doç. Dr. Bayram TURGUT 010, 53 Pages Jury: Yrd.Doç.Dr. Bayram TURGUT Doç.Dr. Galip OTURANÇ Yrd.Doç.Dr. Aydın ÜSTÜN Aim of Geodesy is to determine the gravity of earth in order to determine the shape of the earth, mathematical earth, geodesy, should be known. For Geoid total force of the gravity and centrifugal force joining should be found. In this study, measurement techniques of gravity force is examined and necessary reduction techniques are explained. In Geodesy, most important appliation of gravity is explained. Application as Konya, Karaman, Niğde and Aksaray in the surrounding area, latitude, longitude and height of the sea at points of known gravity values were determined using the EGM08 model. Bougner gravity values and the reduction of gravity in a space after the interpolation grid to grid in back and in space has been converted to gravity anomalies have been mapped. Key words: Geoid, Gravity, Gravity reduction, Gravity measurement methods, Bouguer reduction, Free air reduction. ii

5 ÖNSÖZ Tezin hazırlanması sırasında bana destek olan danışmanım Yrd.Doç.Dr. Bayram TURGUT a, yardımlarını esirgemeyen Yrd.Doç.Dr. Aydın ÜSTÜN e ve hep yanımda olan çok değerli eşim Vahit TONGUR a teşekkürlerimi sunarım. iii

6 İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii ÖNSÖZ... iii ŞEKİL LİSTESİ... vi ÇİZELGE LİSTESİ... viii 1.GİRİŞ GRAVİTENİN TEMEL İLKELERİ Newton Kanunu Potansiyel Kuramının Temelleri Fiziksel Yeryüzü ve Yüzeyler Jeoit ve Elipsoit GRAVİTE Gerçek Gravite ve Bileşenleri Seviye Yüzeyleri Yükseklik Kavramı Normal Gravite GRAVİTE İNDİRGEMESİ Gravite Ölçülerine Yapılan Düzeltmeler Sürüklenme düzeltmesi Enlem etkisi düzeltmesi Yükseklik (Kot) etkisi ve düzeltmesi Boşlukta gravite indirgemesi Bouguer indirgemesi Arazi düzeltmesi İzostatik etki ve düzeltmesi Dolaylı etki...5 iv

7 5. GRAVİTE ÖLÇÜM YÖNTEMLERİ Yersel Yöntemler Mutlak gravitenin ölçülmesi Sarkaç yardımıyla mutlak gravitenin ölçülmesi Düşen cisim yardımıyla mutlak gravitenin ölçülmesi Bağıl gravitenin ölçülmesi Sarkaç yöntemi Burulma terazisi Gravimetre Uzaysal Yöntemler JEODEZİDE GRAVİTENİN UYGULAMA ALANLARI Stokes İntegrasyonu Çekül Sapması Bileşenleri Yükseklik Sistemleri SAYISAL UYGULAMA Sayısal Uygulama Alanı GMT (Generic Mapping Tools) Gravite ve Anomalilerin Hesaplanması SONUÇ ve ÖNERİLER...50 KAYNAKLAR...5 v

8 ŞEKİL LİSTESİ Şekil.1: Gravitasyon kuvveti...3 Şekil.: Çekim kuvveti...4 Şekil.3: Referans elipsoidi ve jeoit arasındaki farklılıklar...7 Şekil.4: Referans yüzeyler...7 Şekil.5: Ortalama yeryuvarı elipsoidi...8 Şekil 3.1: Merkezkaç kuvvet...9 Şekil 3.: Gravite vektörü...11 Şekil 3.3: Seviye yüzeyleri ve çekül eğrileri...1 Şekil 3.4: Nivo yüzeyleri ve çekül eğrileri...13 Şekil 3.5: Jeoit yüksekliği...14 Şekil 3.6: Jeoit, kuasi-jeoit ve elipsoit...15 Şekil 3.7: Jeopotansiyel ve sferopotansiyel yüzeyler...17 Şekil 3.8: Jeopotansiyel ve sferopotansiyel yüzeyler...18 Şekil 4.: Enlem etkisi...0 Şekil 4.3: Boşlukta gravite etkisi...1 Şekil 4.4: Bouguer etkisi... Şekil 4.5: Arazi etkisi...4 Şekil 4.6: Pratt-Hayford sistemi...5 Şekil 5.1: Sarkaç yöntemi...8 Şekil 5.: Serbest düşme yöntemi...9 Şekil 5.3: Gravimetre...31 Şekil 5.4: Gravimetre...3 Şekil 5.5: Kararlı denge durumu...33 vi

9 Şekil 5.6: Kararsız denge durumu...33 Şekil 5.7: Worden gravimetresi...34 Şekil 5.8: Lacoste-Romberg gravimetresi...34 Şekil 5.9: CHAMP, GRACE ve GOCE uyduları...35 Şekil 6.1: Çekül sapması...38 Şekil 6.: Geometrik nivelman...40 Şekil 7.1: Ölçü noktalarında boşlukta gravite anomali haritası...45 Şekil 7.: Grid noktalarında Bouguer anomali haritası...46 Şekil 7.3: Grid noktalarında Bouguer den boşlukta gravite anomaliye geçiş..48 vii

10 ÇİZELGE LİSTESİ Çizelge 3.1: Gravite sembolleri Çizelge 4.1: Türkiyenin yer aldığı enlemlere ait enlem indirgemesi katsayıları... 0 Çizelge 4.: Boşlukta gravite indirgemesi katsayıları... 1 viii

11 1 1.GİRİŞ Jeodezi kısaca yeryüzünün ölçülmesi ve referans alınan yüzeye yani hesap yapılan yüzeye izdüşürülmesidir. Amaç çekim alanlarını hesaplamak ve parametreler yardımıyla ortalama yer elipsoidi belirlemektir. Yeryuvarının ölçmesi geometrik kısmını, çekim alanlarıysa fiziksel kısmını oluşturur. Yeryuvarının şeklini, fiziksel yeryüzü ve matematiksel yeryüzü olmak üzere iki kavramda düşünebiliriz. Fiziksel yeryüzünün karmaşık yapıya sahip olması sebebiyle matematiksel ifadesi imkansızdır (Yerci,1999). Ölçülerin değerlendirilmesi ve hesaplanması için basit yüzeyler kullanılır. Fiziksel yeryüzünün kara kısmı konum ve yükseklik belirlenerek oluşturulur. Fiziksel yeryüzünün denizlerde kalan kısmıysa yaklaşık bir nivo yüzeyidir. Bunun karaların altından da devam ettiği düşünülürse jeoit elde edilir. Bu da matematiksel yeryüzüdür. Yeryuvarının şeklinin belirlenmesinde esas olan jeoidin bulunmasıdır. Jeoidi belirlemek için gravite değerinin bilinmesi gerekir. Gravite, çekim kuvvetinin ve merkezkaç kuvvetinin bileşkesi olan toplam kuvvettir (Turgut, 1996). Yeryüzünde ölçülen gerçek gravite değeri ile hesaplanan gravite değeri doğrudan karşılaştırılamaz. Deniz yüzeyine indirgemesi gerekir. Fiziksel yeryüzünde ölçülen gravite üzerindeki etkiler kaldırılarak gravite değerini hesaplamış oluruz. Gravite ölçüm yöntemleri yersel(mutlak ve bağıl yöntem ) ve uzaysal yöntem olarak ikiye ayrılır. Türkiye Temel Gravite Ağı nda (TUTGA-99), mutlak ve bağıl ölçüm yöntemleri kullanılmıştır. Gravite ölçüleri jeodezik, jeolojik ve mühendislik amaçlı çalışmalarda kullanılmaktadır. Jeodezide gravite ölçüleri her alanda kullanılmaktadır. En önemli uygulama alanları; Stokes integrasyou, çekül sapması bileşenlerinin hesabı ve yükseklik sistemlerinde potansiyel farkının hesaplanmasıdır. Bu çalışmada, graviteyle ilgili kavramlar belirtilmiş olup uygulama kısmı ile ilgili sonuçlar sunulmaktadır. Sayısal uygulama Konya, Karaman, Niğde ve Aksaray illerinin kuşatan bir bölgede enlem, boylam ve deniz yüksekliği bilinen noktalarda EGM08 modeli kullanılarak gravite değerleri belirlenmiştir. Uygulama sırasıyla aşağıdaki adımlardan oluşmuştur.

12 Noktalardaki gravite değerlerinin hesaplanması Noktalardaki boşlukta gravite anomali değerlerinin hesaplanması Noktalardaki Basit Bouguer anomali değerlerinin hesaplanması 3 lık aralıklarla grid oluşturulması Her grid noktasındaki Basit Bouguer anomalilerinin hesaplanması Her grid noktasında Basit Bouguer anomaliden boşlukta gravite anomalilerine geri dönülmesi

13 3. GRAVİTENİN TEMEL İLKELERİ.1. Newton Kanunu Gravite, temeli Newton Kanunu ndan oluşan çekim kuvvetidir. Newton un birinci kanunu çekim kuvvetinin büyüklüğü, doğrultusu ve yönü hakkında bilgi verir. F çekim kuvveti, m ve m gibi iki kütlenin bir biri üzerine uyguladığı kuvvet olup, kütlelerin çarpımıyla doğru, aralarındaki uzaklığın karesiyle ters orantılıdır. Şekil.1: Gravitasyon kuvveti F mm k (.1) r k: Gravitasyon sabiti = cm -3 /gr.sn Newton un ikinci kanununda ise; F çekim kuvveti, meydana getirdiği hareketin ivmesiyle kütlenin çarpımına eşittir. F ma (.a) m a k (.b) r Bir X,Y,Z koordinat sistemi alınırsa ve m, çeken kütlenin koordinatlarına ζ, n, ε; çekilen nokta koordinatlarına da x y z denirse kuvvet büyüklüğü F olan F vektörünün bileşenleri aşağıdaki gibidir.

14 4 Z z P(x,y,z) F m(ζ,η,ξ) y x Y X Şekil.: Çekim kuvveti F X F Y F Z x km 3 r (.3a) y n km 3 r (.3b) z km (.3c) 3 r x y n z r (.4).. Potansiyel Kuramının Temelleri Gravite ve manyetik alanın temeli potansiyeldir. Bir kütlenin oluşturduğu çekim alanı büyüklüğünü hesaplamak için potansiyellerin göz önüne alınan noktada türevleri alınır (Sanver ve İşseven, 007). Bir nokta kütlenin m 0 =1 birim kütleli A (x y z) noktasına etki ettiği F çekim kuvvetinin bileşenleri; F x km km x, F ( y) 3 y 3 r r, z F z km dir. (.5) 3 r

15 5 İlk olarak Lagrange 1773 yılında bu üç bileşenin bir V(x,y,z) fonksiyonunun kısmi türevleri olduğunu belirlemiş ve Gauss da bu V fonksiyonunu potansiyel olarak adlandırmıştır (Erden, 1979). m V k (.6) r skaler fonksiyonunun x y z ye göre kısmi türevleri; V x x km 3 r V x F x (.7a) V y y km 3 r V y F y (.7b) V z z km 3 r V z F z (.7c) V fonksiyonu m kütleli bir nokta kitlenin m 0 =1 birim kütleli A(x,y,z) noktası çekim potansiyelidir. Potansiyel birim kitleyi sonsuzda belli bir konuma getirmek için yapılır. F V x V i y V j z k gradv V (.8).3. Fiziksel Yeryüzü ve Yüzeyler Yeryuvarı karmaşık bir yapıdadır. Yeryuvarının şekli denilince fiziksel yeryüzü, elipsoit, jeoit, küre ve düzlem yüzeyler akla gelir. Jeodezik uygulamalarda üç temel referans yüzeyi kullanılır. Bunlar; fiziksel yeryüzü, dönel elipsoit ve jeoittir. Fiziksel yeryüzü, yeryuvarı kütlesinin katı veya sıvı kısmının atmosfer ile olan sınırıdır. Girinti ve çıkıntılarından dolayı düzgün bir yüzey değildir. Bu nedenle bu yüzey, matematiksel olarak açıklanamaz. Yeryuvarı yüzeyindeki parametrelerin hesaplanması için matematiksel bir referansa ihtiyacımız vardır. Referans yüzeyi olarak alınacak yüzeyin nivo yüzeyi (durgun

16 6 su yüzeyi) ve kapalı bir fonksiyonla hesabı yapılacak bir yüzey olmalıdır. En uygun referans dönel elipsoittir. Dönel elipsoit, elipsin küçük ekseni etrafında döndürüldüğünde meydana gelir Hayford elipsoidi Uluslararası Jeodezi ve Jeofizik Birliği (IUGG) kongresinde Uluslararası Elipsoit olarak kabul edilmiştir (Bilgin, 1974). Diğer bir referans elipsoidi GRS80 elipsoididir. GRS80 elipsoidi bir eşpotansiyelli yüzeydir.yapmış olduğumuz sayısal uygulamada GRS80 referans elipsoidi için formüller kullanılarak değerler elde edilmiştir..4. Jeoit ve Elipsoit Durgun her su yüzeyi yani nivo yüzeyi ağırlık kuvvetine diktir. Akıntıların, gel git olayının, rüzgarın etkisinde olmayan deniz yüzeyinin, karaların altından devam ettirilerek bulunacak olan yüzey dünyanın matematiksel şekli olarak alınabilir. Bu yüzeyde J.B.Listing JEOİT adını vermiştir (Ulusoy,1977). Ortalama deniz yüzeyindeki kütleleri kaldırırsak kısa mesafede eşit yükseklikteki noktalar düz çizgi şekilde görülür. Uzak mesafelerde ise çizgi eğri şeklindedir. Yeryüzü kapalı bir şekil olarak düşünüldüğünde bu çizgiler her bakışta değişik yönlerdedir. Yüzeyleri normalleri yardımıyla incelendiğinde bu doğrultuların ağırlık kuvvetinin doğrultuları olduğu görülür. Ağırlık kuvveti ise çekim ve merkezkaç kuvvetinin bileşkesidir. Böylece jeoidin denklemi ağırlık kuvveti ve potansiyeliyle açıklanabilir. Jeoidin eğriliği ise sürekli bir fonksiyon şeklinde olmadığından hesap yüzeyi olarak en yakın basit yüzeyler kullanılır. Dönel elipsoit yeryüzünü yaklaşık olarak belirtir. Potansiyeli eşit olan noktaların oluşturduğu yüzeye eşpotansiyelli yüzey veya nivo yüzeyi denir. Jeoit, sıfır yüksekliğine sahip bir nivo yüzeyidir. Bir eş potansiyel yüzeyi olan sferoit yüzeyi ortalama deniz seviyesini gösterir.

17 7 Şekil.3: Referans elipsoidi ve jeoit arasındaki farklılıklar Potansiyeli eşit olan yüzeyleri normal olarak kesen eğriler tam doğru olmayıp hafifçe eğridirler. Bunlar çekül eğrileridir ve serbestçe sallandırılan bir çekülün ipiyle çakıştığında çekül doğrultusu elde edilir. Ağırlık kuvvetinin doğrultusunu çekül ile gösterildiğinde elipsoidin normalleri ile çekül doğrultularının çakışmadığı görülür. Oluşan fark çekül sapmasıdır (θ). Çekül sapmaları kullanılan referans yüzeylerine göre değişir. Referans olarak seçilen elipsoide bağlı olan çekül sapmasına Bağıl Çekül Sapmaları, ortalama yeryuvarı elipsoidine göre bulunan çekül sapmalarına Mutlak Çekül Sapmaları denir (Gürkan, 1979). Şekil.4: Referans yüzeyler Şekilde görüldüğü üzere P 1 noktasında çekül doğrultusu ile elipsoit normali çakışık olduğu için çekül sapmaları sıfırdır. P de çakışma dolayısıyla, θ çekül sapması görülmektedir. Seçilen referans elipsoidinin, gerek parametreleri gerekse konumunu

18 8 değiştirerek daha uygun elipsoitlerin bulunması, yeryuvarı ölçmesinde temel problemdir. Bu nedenle, bir bölgeye en iyi uyan elipsoit ve ortalama yeryuvarı elipsoidi kavramları ortaya çıkmaktadır. Ortalama yeryuvarı elipsoidi dünyayı hacim olarak en iyi belirten elipsoittir. Yüksekliklerin belirtilmesinde ise esas yüzey olarak jeoit yüzeyinden yararlanılır (Kurt, 1998). Şekil.5: Ortalama yeryuvarı elipsoidi

19 9 3. GRAVİTE 3.1. Gerçek Gravite ve Bileşenleri Yeryüzünde cisme etki eden kuvvet olan kitlesel çekim kuvveti ile merkezkaç kuvvetinin bileşkesi olan toplam kuvvet gravite denir. Şekil 3.1: Merkezkaç kuvvet Bir birim kitle üzerindeki merkezkaç kuvvet ƒ, yeryuvarının kendi ekseni etrafında dönüşünün açısal hızı ω ve kitlenin dönme ekseninden uzaklığı p x y (3.1) olmak üzere f=ω p (3.) ile bellidir. Bu kuvvete ait f vektörü p x, y,0 vektörü ile aynı doğrultuda olup f p x, y,0 (3.3) şeklindedir.

20 10 Merkezkaç kuvvet aynı zamanda 1 x y (3.4) şeklinde bir potansiyel de üretilebilir. f grad,, (3.5) x y z Gravitenin W potansiyeli, çekim kuvvetinin V potansiyeli ile merkezkaç kuvvetinin Ф potansiyelinin toplamına eşittir. Yani; W W 1 x, y, z V k dv x y v (3.6) olup integral tüm yeryuvarını kapsamaktadır. Türevi x y z (3.7) eşitliğini verir. Eğer bu, V için olan Poisson denklemi ile ele alınırsa W gravite potansiyeli için W 4k (3.8) olan genelleştirilmiş Poisson denklemi elde edilir. W W W g gradw,, (3.9) x y z Yerin gravite alanında; yoğunluğun sabit olduğu ve kütlenin bulunmadığı yerlerde Laplace denklemi, kütlenin bulunduğu yerlerde ise Poisson denklemi geçerlidir. Herhangi bir noktada gravite potansiyeli W, belirlenebiliyorsa yeryuvarının gravite alanı biliniyor demektir. Gravite potansiyelinin belirlemek için V nin bulunması gerekir. Yer çekim potansiyeli, n n max n GM a V,, r 1 C nm cosm S nm sin mp nmsin (3.10) r n r m0

21 11 şeklinde sonlu küresel harmonik serilerle gösterilir. (Rapp, 1997),λ,r : Sırasıyla jeosentrik enlem, boylam ve yarıçap n max : Küresel harmonik açınımın maksimum derecesi GM : Newton nun evrensel çekim sabiti ve yeryuvaranın kütlesi çarpımı a : Ekvatoral yarıçap C nm, S nm : Tam normalleştirilmiş küresel harmonik katsayılar P nm : Tam normalleştirilmiş birinci tür Legendre fonksiyonudur. Şekil 3.: Gravite vektörü Yeryüzünde bir noktaya kitle çekim kuvveti F ve yerin kendi ekseni etrafında sabit ve açısal hızı ile dönmesinden dolayı merkezkaç kuvveti etki eder. Yeryuvarının ağırlık kuvveti g nin doğrultusuna çekül doğrultusu denir. Boyutu gal ile ölçülür. (1 gal=1cm/sn ). g nin sayısal değeri yaklaşık olarak ekvatorda 978 gal, kutuplarda 983 gal dir.

22 1 3.. Seviye Yüzeyleri Potansiyelinin sabit olduğu yüzeylere eşpotansiyel yüzeyler olup, eşpotansiyelli yüzeylerin normali de gravite vektörüdür. Tüm eşpotansiyelli yüzeyleri normal olarak kesen eğrilere çekül eğrileri denir. Şekil 3.3: Seviye yüzeyleri ve çekül eğrileri Bir P noktasındaki çekül eğrisinin uzunluğu jeoit yüzünden itibaren yüksekliği deniz yüzeyinden olan ortometrik yüksekliktir. dw=-gdh (3.11) g değeri hiçbir zaman sıfır olmayacağından, dw de sabit olduğundan dh da sıfır olamaz. Yani nivo yüzeyleri kesişmezler. Nivo yüzeylerinin her noktasında potansiyel değeri sabit olduğundan bunlara eş potansiyelli yüzeyler de denilir. Ayrıca g değişken olduğu için dh da değişken olur. Çarpımları sabit olduğundan nivo yüzeyleri de birbirlerine paralel değildir.

23 13 Şekil 3.4: Nivo yüzeyleri ve çekül eğrileri Jeodezik ölçüler seviye yüzeyleri ve çekül eğrilerine göre yapılır. Burada amaç yeryuvarındaki gravite alanına ait seviye yüzeylerinin belirlemektir Yükseklik Kavramı Yükseklik noktanın konumun belirtir. Bir noktanın yüksekliği çekül eğrisi boyunca uzanan mesafedir. Yeryüzündeki bir noktadan sarkıtılan çekül eğrisinin jeoide değdiği nokta ile fiziksel yeryüzündeki nokta arasındaki çekül eğrisi boyuna yükseklik denir. Bir noktanın yüksekliğinin bulunması için referans yüzeyinin belirlenmesi gerekir (Turgut,1996). Jeopotansiyel sayı (c ), yeryüzündeki bir noktadan geçen nivo yüzeyinin potansiyeli w p ile jeoidin potansiyeli w o kgalmetre birimindeki farktır. Jeopotansiyel sayı; nokta c W W gdh (3.1) o jeoid dh diferansiyel yükseklik farkı, g gerçek gravitedir. Jeopotansiyel sayı (c) ve G ortalama gravite olmak üzere yükseklik; c Yükseklik (3.13) G elde edilir.

24 Elipsoidal yükseklik, yeryüzündeki bir noktadan elipsoide inilen uzunluktur. Gravite alanından bağımsız olup geometrik olarak kullanılan bir büyüklüktür. 14 Şekil 3.5: Jeoit yüksekliği Elipsoit yükseklikleri ile jeoit yükseklikleri arasındaki ilişki ise; N=h-H (3.14) Jeoit ile elipsoit arasındaki N uzaklığına jeoit yüksekliği veya jeoit ondülasyonu denir. Elipsoidal yüksekliklerden ortometrik yüksekliklere geçiş için N jeoit yüksekliği kullanılır. Bunun yanı sıra; jeoidin dışındaki kitlelerin yoğunluğunun bilinmesi ya da bazı kabuller yapılması zorunluluğu olduğundan Molodensky 1945 te farklı br yaklaşım önermiştir (Kartal,1998).

25 15 H n : Normal yükseklik H o : Ortometrik yükseklik ζ : Yükseklik anomalisi Şekil 3.6: Jeoit, kuasi-jeoit ve elipsoit P noktasının çekül eğrisi boyunca jeoide uzaklığı ortometrik yükseklik, normal çekül eğrisi boyunca uzaklığı normal yüksekliktir. Geometrik yükseklik (h) ve ortometrik yükseklik (H) yerine normal yükseklik H n ve jeoit ondülasyonu N yerine yükseklik anomalisi konarak, h (3.15) H n ile belirlenir (Gürkan,1984). U Q =W P olacak şekilde bir yüzey düşünülürse bu yüzeye tellüroit denir. Elipsoitten tellüroide kadar olan düşey uzaklık H n normal yüksekliktir. Buna karşılık geometrik yükseklik h, elipsoitten yeryüzüne kadar olan düşey uzaklıktır. Bu iki yükseklik arasındaki fark N=h H jeoit ondülasyonuna karşılık gelen;

26 h H n (3.16) yükseklik anomalisidir. Yükseklik sistemleri birbirinden gravite değerinin seçimine bağlı olarak farklılık gösterirler ve kullanılan referans elipsoidine bağlıdırlar. Ortometrik yükseklikler deniz düzeyinden yani jeoit yüzeyden olan doğal yüksekliklerdir. Noktanın coğrafi enlemine ve gravite değerine bağlıdır. Dinamik yükseklikler, jeopotansiyel sayılar g ağırlık değerine bölündüğünde elde edilen yükseklik dinamik yüksekliktir. Dinamik yüksekliğin herhangi bir geometrik anlamı yoktur. Okyanuslarda jeoit ile çakışan ve karada farklılık gösteren yüzey Kuasi-jeoit olup normal yüksekliklerin (Molodensky) başlangıç yüzeyidir Normal Gravite Gerçek gravite alanına benzer, matematiksel temelleri kolay olan normal gravite alanı tanımlanır. Jeoide karşılık oluşan yüzey sferoit olup U=U 0 =sabitdir. Bu bir dönel elipsoitdir. Birbirinin karşılığı olan bir jeop ile bir sferopun farklı geometrisi olmasına karşın üzerindeki jeopotansiyel sayılar aynıdır (Turgut, 1996).

27 17 Şekil 3.7: Jeopotansiyel ve sferopotansiyel yüzeyler Normal gravite alanının potansiyel fonksiyonu u=u(x,y,z); bir sferopun denklemi u(x,y,z)=u=sabit; gerçek gravite vektörü g den hem büyüklük hem de doğrultu bakımından farklı olan normal gravite vektörü U U U gradu,, (3.17) x y z olur. Yeryüzünün gerçek gravite alanına ilişkin her büyüklüğe karşılık normal gravite alanında da büyüklük vardır. Normal gravite alanı; her türlü matematik işlem olabildiğince basit ve kapalı ifadelerde yapılabilmelidir. Yeraltında yoğunlukların değişik olmasından dolayı jeoit yüzeyi sferoitten farklıdır. Sferoit (dönme elipsoidi) bir elipsin küçük ekseni boyunca kesilip bu eksen boyunca döndürülmesiyle elde edilir. Sferoit yüzeyi kıtalarda jeoidin altından, okyanuslarda ise üstünden geçer. Jeoit ile sferoit yükseklik farkının ve jeoit normali ile sferoit normali arasındaki çekül kapsamının bilinmesiyle birinden diğeri hesaplanabilir. Gerçek gravite alanının normal alanından sapmaları oldukça küçüktür. Yeryuvarının gravite alanını normal ve geriye kalanı bozucu alana ayırmak hesapları kolaylaştırır. W p U p W(x,y,z) = U(x,y,z) + T(x,y,z) (3.18)

28 18 Çizelge 3.1 Gravite sembolleri Gravite Gravite Vektörü Potansiyeli Büyüklük Doğrultu Gerçek Gravite Alanı W g Ф, Λ Normal Gravite Alanı U γ φ,λ Bozucu Gravite Alanı T δg, Δg θ, ά, ή, ξ Bir P noktasına ait gerçek ve normal gravite vektörlerinin büyüklük farkı; δg = g p γ p (3.19) δg gravite bozukluğudur. Bir P noktasındaki gerçek gravite vektörünün büyüklüğü ile bu noktadan geçen jeopun karşılığı sferop üzerinde P nin izdüşümü olan θ noktasındaki normal gravite vektörünün büyüklüğü farkı; Δg= g p - γ θ (3.0) olarak bulunur. Δg gravite anomalisidir. Gravite anomalileri yer altı jeolojisindeki yoğunluk farkından ileri gelir... Jeoit Yüzeyi Sferoit Yüzeyi g z Q g g x g p Şekil 3.8: Jeopotansiyel ve sferopotansiyel yüzeyler g gravite anomalisi; P noktasındaki g p gerçek gravite vektörü (jeoit yüzeyine dik) ve Q noktasındaki normal gravite vektörü (sferoit yüzeyine dik) arasındaki Q farktır.

29 19 4. GRAVİTE İNDİRGEMESİ Topografik kitlelerden dolayı yeryüzünde ölçülen gerçek gravite (g) ile elipsoit yüzeyine ait normal gravite (γ) değeriyle karşılaştıramayacağından gerçek gravitenin deniz yüzeyine indirgenmesi gerekir. Şekil 4.1: Gravite indirgemesi 4.1. Gravite Ölçülerine Yapılan Düzeltmeler 1. Sürüklenme düzeltmesi. Enlem etkisi düzeltmesi 3. Yükseklik (kot) etkisi düzeltmesi a. Serbest hava indirgemesi b. Bouguer indirgemesi 4. Arazi düzeltmesi 5. İzostasi etkisi ve düzeltmesi Sürüklenme düzeltmesi Gravite aletlerinin zamanla yaylarında oluşan hatadır. Bu hatanın düzeltilmesi için ölçmelere başlanmadan önce gravite aleti bir baz noktasında kurulmalı, ölçmeler yapıldıktan sonra tekrar aynı baz noktasında ölçüm yapılmalıdır. İki baz noktası arasındaki fark diğer ölçü noktalarına dağıtılır.

30 Enlem etkisi düzeltmesi Yerkürenin şeklinden kaynaklanır. Baz noktasının enlem değeri belirlenir. Diğer noktaların enlem düzeltmesi bu değere göre hesaplanır. Kuzey yarımkürede bulunan noktalar için düzeltme eksi, güneyinde bulunan ölçü noktaları için artı işaretlidir(erden,1979). Şekil 4.: Enlem etkisi Çizelge 4.1 Türkiyenin yer aldığı enlemlere ait enlem indirgemesi katsayıları Φ 0.81 sinφ mgal/km mgal/km mgal/km mgal/km mgal/km mgal/km mgal/km Yükseklik (Kot) etkisi ve düzeltmesi Değişik yükseklikte olan ölçü noktalarının referans yüzeyine indirgenmeleri gerekir. Bu referans yüzeyine datum denir. Datum bir noktanın konumunu belirlemek için alınan referans yüzeyidir. Koordinatlar için alınan yüzey yatay datum, yükseklik-

31 1 ler için alınan yüzey düşey datumdur. İndirgenen noktalar eş yükseklikte olacağından ölçü değerine yükseklik farkından gelen bir düzeltme yapılır. Yükseklik düzeltmesi iki kısımda incelenir Boşlukta gravite indirgemesi Sadece yükseklikten kaynaklanan etkilerin giderildiği düzeltme şeklidir. Her ölçü noktasının yükseklik değerinin bilinmesi gerekir. Boşlukta gravite anomalileri küçüktür ve topografyaya bağlıdırlar. Şekil 6.3 te olduğu gibi P 0 ile P h noktaları arasındaki gravite değerlerinin farkı boşlukta gravite etkisini verir. Deniz düzeyinin üzerinde hiç kütle yokmuş gibi kabul edilir. Şekil 4.3: Boşlukta gravite etkisi Çizelge 4.: Boşlukta gravite indirgemesi katsayıları Enlem Derece Gradyen (m gal/m)

32 Türkiye için boşlukta gravite düzeltmesi katsayının olarak alınır. Boşlukta gravite indirgemesi; F h H h (4.1) h Bouguer indirgemesi Şekil 4.4: Bouguer etkisi Jeoit ile fiziksel yeryüzü arasındaki kitleler graviteye etki eder. Yumuşak değişimli anomalilerdir. Jeoidin dışında kalan kitlelerin tümüyle kaldırılması amacıyla bir Bouguer plakası kullanılır. P h noktasından geçen nivo yüzeyi ile jeoit arasındaki kütle gravite değerlerine etki eder. A B = πkρh (4.) A B = ρh (4.3) ρ =.67 g/cm 3 ve h metre olmak üzere, A B = h mgal (4.4) Plakanın kaldırılması demek ölçülen gravitenin çıkarılması demektir. Bu indirgemeden sonra, boşlukta gravite indirgemesiyle jeoite (P o ) indirilmesi gerekir.

33 3 F g h (4.5) h g F h ~ h mgal (4.6) h Jeoitde Bouguer gravitesi; g B = g A B +F (4.7) g B = g h h = g h (4.8) g: gravite A B : Bouguer plakası F: Boşlukta gravite indirgemesi g B : Bouguer gravitesi Bouguer anomalisi, Bouguer gravitesi jeoidin yüzeyine indirildiğinden, elipsoidin yüzündeki gravite γ nin çıkarılmasıyla bulunur. g g (4.9) B B Arazi düzeltmesi Ölçü noktasının etrafındaki saha engebeli ise, ölçülen gravite değeri için ayrıca topografik düzeltme yapmak gerekir. Bouguer düzeltmesi yaparken plaka varmış kabul ederek ve düzeltme değeri negatif olduğundan ölçü değerinden çıkarılmıştı. Topografik düzeltme ise yine kütle varmış kabul ederek önceden çıkartılan düzeltme değeri kadar pozitif olarak P noktasındaki ölçü değerine ilave edilir. Böylece Bouguer düzeltmesi ile ölçü değerinden çıkarılan etkisi arazi düzeltmesi ile ilave edilirse birbirini götürür. P noktasından geçen nivo yüzeyinin üstündeki ve altındaki kitlenin etkisinden ileri gelen düzeltme yapılmış olur.

34 4 P q Şekil 4.5: Arazi etkisi Arazi düzeltmesi miktarı genellikle azdır. 3000m yükseklikteki dağlarda arazi düzeltmesi yalnızca 50mgal dir (Erden, 1979). g B = g-a B + A t + F (4.10) Ölçülen gravite değerine boşlukta gravite indirgemesi ve bouguer indirgemesi yaptıktan sonra elde edilen değere arazi düzeltmeside eklenerek olgunlaştırılmış Bouguer gravitesi bulunur İzostatik etki ve düzeltmesi Yüksek dağ kütlelerinin ve yoğunlukları farklı parçaların arasındaki çekim kuvvetinin beklenenden az olmasıyla oluşan denge durumudur. İzostatik anomaliler küçüktür ve topografyadan bağımsızdırlar. Günümüzde Pratt ve Airy kuramları yaygın olarak kullanılmaktadır. Pratt-Hayford Sistemi (Denge Teorisi) de kütleleri kolonlar şeklinde düşünüldüğünde derinliği belli yerde dengede dururlar. Denge yüzeyinin altında yoğunluk aynı olur. Denge yüzeyinin üstünde ise yoğunluğu büyük olan yerler küçük olan kolonları, yoğunluğu küçük olan yerler büyük kolonları oluşturur.

35 5 Şekil 4.6: Pratt-Hayford sistemi değişiktir. Airy-Heiskanen sistemi ( Lokal Yüzme) de kolonlar aynı yoğunlukta olup kütleler Şekil 4.7: Airy-Heiskanen sistemi İzostatik indirgemeler sonucu elde edilen gravite; g I ile gösterilirse; g I = g-a t +A c +F (6.17) Toplam indirgeme; g o = g-f B +A t +A c +F (6.18) Dolaylı etki Gravite indirgemeleri jeoidi değişikliğe uğratır buna dolaylı etki denir. Gravite indirgemesiyle bulunan değerler ile Stokes formülüyle hesaplanan değerler kojeoit

36 6 yüksekliğidir. Jeoit yüksekliğinden farklıdır. Her gravite indirgemesi farklı bir jeoide karşılık gelir. Bouguer anomalilerinde dolaylı etki çok büyük olduğundan jeoidin belirlenmesinde kullanılmaz. İzostatik anomalilerde dolaylı etki küçüktür (Heiskanen ve Moritz, 1967).

37 7 5. GRAVİTE ÖLÇÜM YÖNTEMLERİ Gravite ölçümünde kullanılan yöntemler genel olarak yersel ve uzaysal olarak iki bölümde incelenebilir. Yersel Yöntemler 1. Mutlak gravite ölçümü. Bağıl gravite ölçümü Uzaysal Yöntemler 5.1. Yersel Yöntemler Mutlak gravitenin ölçülmesi Mutlak gravite ölçmeleri yalnızca karada yapılır. Ölçme doğruluğu en yüksek olan FG5 aletidir. Bir cismin boşlukta serbest düşüşü gözlenir. Üç düşme yol uzunluğu ve süreler ölçülür. Mutlak gravite ölçümü bir sarkaç yardımıyla veya serbest düşme, simetrik serbest hareket prensiplerine göre çalışan aletlerle yapılır. Genelde mutlak gravite ölçerler ağır ve büyüktürler. Bu aletlerin pahalı olmaları, ölçümlerin zaman alması, ölçülerin getirilen düzeltmelerin hesabının uzun olması gibi nedenlerden dolayı mutlak gravite ölçüsü yerine göreli gravite ölçüleri yapılır. Bu yöntemde hem yol hem de zaman değerlerinin ölçülmesi gerekir.

38 Sarkaç yardımıyla mutlak gravitenin ölçülmesi Bu yöntemde özel duyarlı sarkaçlar kullanılarak salınımları gözlenir. Şekil 5.1: Sarkaç yöntemi F mg x sin mg (5.1) L F x m (5.) t x değeri basit harmonik hareketle; T L (5.3) g olur. L, sarkacın uzunluğu olup periyodu aynı olan eşdeğer basit bir sarkacın uzunluğuna eşittir. Buradan yerçekimi ivmesi; g 4 (5.4) T L olur.

39 Düşen cisim yardımıyla mutlak gravitenin ölçülmesi Düşen cismin hızının zamanla değişimini ölçülerek doğrudan yerçekim ivmesi hesabına dayalı bir yöntemdir. g S t S t t t t t 1 1 Şekil 5.: Serbest düşme yöntemi 1 1 (5.5) t 1, t zamanları ve S 1 S düşüş yolu çok duyarlı olarak geliştirilmiş optik sistemlerle ölçülerek gravitenin mutlak değeri bulunabilir Bağıl gravitenin ölçülmesi Bağıl gravite ölçüleriyle iki nokta arasındaki gravite farkı belirlenir. Bağıl gravite ölçerlerin ayarlanmaları gerekir. Sıfır noktaları zamana bağlı olarak değişir. Bu yöntemde yol ve zaman değerlerinden sadece birini ölçmek yeterlidir. Bağıl gravitenin ölçülmesinde kullanılan aletler sarkaç, burulma terazisi, gravimetrelerdir Sarkaç yöntemi Sarkaç yöntemi belli bir noktadaki gravite değeri biliniyorsa diğer noktadaki gravite değeri sarkaç yardımıyla bulunabilir. Ölçmeler uzun zaman aldığı için kulla-

40 30 nılmamaktadır. A noktasındaki g A gravite değeri biliniyorsa, B noktasındaki g B gravite değeri sarkaç yardımıyla bulunabilir. Sarkaç önce A noktasına konularak salınımların periyodu ölçülüp ortalaması alınırsa (5.1) formülüne göre; g L A 4 (5.6) TA olur. Aynı aletle B noktasında ölçü yapılır. g L B 4 (5.7) TB İki formülün taraf tarafa oranlanması ile; T A g B g A (5.8) TB bulunur. Sarkaç ile yapılan ölçüler uzun zaman gerektirdiği için gravite etütlerinde kullanılmamaktadır. Biri Kandilli (İstanbul) gözlem evinde olmak üzere Türkiye de 8 adet sarkaç baz istasyonu vardır (Erden, 1979) Burulma terazisi R. Eötvös tarafından geliştirilen burulma terazisi ile, gravite potansiyelinin türevleri bulunur ve eş potansiyel yüzeyin eğriliği hesaplanabilmektedir. Hesaplanan büyüklükler W xz W x W W W, (5.9a) yz xz W yz W, (5.9b) y xx W yy W W xy dir. (5.9c) xy Bunlardan W xz ve W yz gravitenin yatay gradyanlarıdır. Toplam yatay gradyan grad g dir. (5.10) w xz wyz

41 31 Gravitenin yatay gradyanı ve potansiyel yüzeyin eğrilikleri her noktada belli olur. Bunların anomali haritaları çizilerek değerlendirme yapılır. Burulma terazisinde de bir noktada ölçü almak uzun zaman gerektirdiğinden bugün gravite projeksiyon etütlerinde gravimetre aletleri kullanılmaktadır ( Gravimetre Gravimetre ile iki noktaya ait çekim ivmeleri arasındaki fark ölçülür. Kolay taşınır ve hızlı ölçü yapılır. Gravimetreler bir kütle üzerine etki eden kuvveti yay veya burulma telindeki elastik gerilmelerle denge durumuna getirme yoluyla ölçü yapan aletlerdir. Gravimetrelerde denge durumu, kararlı ve kararlı olmayan olarak ikiye ayrılır. Gravimetreler çekim ivmesi nedeniyle yay ucuna asılan kütleye etki eden gravite kuvveti belli bir oranla yayı gerer ve yay boyunun değişimine neden olur ( Şekil 5.3: Gravimetre

42 3 Yaydaki gerilme ile yerçekimi ivmesi arasında; mg x (5.11) k bağıntısı vardır. Şekil 5.4: Gravimetre g deki değişim Δg, z deki değişim Δz kadar olursa; z g 4 T Kütlenin dönme momenti M m (g, φ) ve yayın dönme momenti M f (τ, φ) ise (τ=yay sabiti), toplam moment M=M m -M f olur. Denge halinde M=0 dolayısıyla M m =M f olur. M Eğer 0 ise denge durumu kararlıdır. Askania, Nörgaard, Hartley, Gulf vb. gravimetreleri kararlı denge durumunda olan aletlerdir.

43 33 Şekil 5.5: Kararlı denge durumu M Eğer 0 ise denge durumu kararsızdır. Thyssen, LaCoste-Romberg, Worden, World-Wide vb. gravimetreleri kararsız denge durumunda olan aletlerdir. Şekil 5.6: Kararsız denge durumu En çok kullanılan gravimetreler LaCoste-Romberg, Worden, World-Wide vb. gravimetreleridir.

44 34 Şekil 5.7: Worden gravimetresi. Şekil 5.8: Lacoste-Romberg gravimetresi

45 Uzaysal Yöntemler Gps ile elde edilen elipsoidal yüksekliklerin ortometrik yüksekliklere dönüştürülmesi için ortalama deniz yüzeyi olan jeoit kullanılır. Jeodezik amaçlı uygulamalarda gravimetrik yöntemle belirlenen jeoit istenilen doğruluğu vermeyebilir. Bunun için lokal bölgede ortometrik yüksekliği bilinen noktaların aynı zamanda elipsoidal yükseklikleri belirlenerek bir model oluşturulabilir. Böyle bir model için gravite alanı belirleme amaçlı uydulardan alınan veriler kullanılarak bulunan değerlerle sonuçlar karşılaştırılır. Gravite alanı belirlemede kullanılan yakın yer uyduları CHAMP, GOCE ve GRACE dır. Bu kapsamda gerçekleştirilen ilk uydu 000 tarihinde CHAMP (Challenging Mini-Satellite Payload for Geophysical Research and Application) olup, 00 tarihinde yörüngeye giren GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment) ve 006 tarihinde GOCE (The Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer) dur ( CHAMP ve GOCE gravite alanının belirlenmesinde ve GRACE ise bunun yanında zamana bağlı değişimleride göstermektedir (Karslıoğlu, 005; Üstün, 006). CHAMP uydusu; manyetik, atmosferik ve graviteyle ilgili veriler sunmaktadır. GRACE uydusundan alınan verilerle elde edilen statik gravite alanın çözünürlüğü diğerlerine göre yüksek olup önemli derecede katkı sağlamaktadır. GOCE uydusu ile global gravite alanı çözünürlüğünün artırılması amaçlanmıştır (Üstün, 006). Şekil 5.9: CHAMP, GRACE ve GOCE uyduları Yerin uzaydan gravite alanının belirlenmesine önemli rol oynayan bu uydular CHAMP, GRACE, GOCE yörünge belirleme işlemini GPS ile gerçekleşmektedir.

46 36 6. JEODEZİDE GRAVİTENİN UYGULAMA ALANLARI Yeryuvarındaki gerçek gravite alanının bilinmesi için çok sayıda ölçüye ihtiyaç vardır. Bugünün imkanları ile çok sayıda ölçü almak yetersiz kalkmaktadır. Bu ve benzeri nedenlerle gerçek gravite alanına bir yaklaşım olmak üzere matematiksel temelleri kolay bir normal gravite alanı tanımlanır. Gravite ölçülerine etki eden bozucu etmenlerin hesaplanıp ölçülen değerlerin düzeltilmesi gerekir. Günümüzde uydular yardımıyla çok sayıda gravite verisi elde edilmektedir. Bunun sayesinde çözümdeki doğruluklar artmıştır. Gravitenin genel olarak kullanıldığı alanlar; 1. Ölçülen değerlerin jeoitden, referans yüzeyi olan dönel elipsoide indirgenmesinde,. Astro-Jeodezik çekül sapmalarının sıklaştırılması ve Astronomik koordinatlardan jeodezik koordinatlara geçmede, 3. Jeopotansiyel sayının belirlenmesinde 4. Gravimetrik jeoidin belirlenmesinde 5. Yükseklik sistemlerinde kullanılır. Gravitenin en önemli uygulamaları; Stokes integrasyou, Çekül sapması bileşenlerinin hesabı ve yükseklik sistemlerinde potansiyel farkının hesaplanmasıdır Stokes İntegrasyonu. Stokes formülünün kullanılması, jeoit üzerindeki her nokta için verilen gravite anomalilerinden bir potansiyelin hesaplanmasıyla ilgilidir (Sideris, 1994). Yeryüzünde ölçülen gerçek gravite, elipsoit yüzeyine ait normal gravite değeri birbiriyle doğrudan karşılaştırılamayacağından gerçek gravite değerinin jeoide indirgenmesi gerekir. Jeoit dışındaki topografik kitleler tümüyle kaldırılır.

47 R N gs d (6.1) 4 G N: Jeoit Yüksekliği R: Yeryuvarı ortalama yarıçapı G: Yeryüzü üzerindeki gravite için ortalama bir değer S : Stokes fonksiyonu Δg : Gravite farkı dσ : Yüzey elemanı Stokes fonksiyonu, yeryuvarını kapsayan gravite verilerinden gravimetrik yöntemle jeoit belirlenmesini sağlar jeoit yüzeyi oluşturulacak bölgelerde seçilen noktalarda ölçmeler yapılır. Gerekli düzeltmeler yapıldıktan sonra gravimetrik değerler hesaplanır. Stokes fonksiyonuyla ölçümler yapılan noktanın jeoit yükseklikleri hesaplanır. Stokes fonksiyonunun çözülmesi için kalıp ve ıskara yöntemleri kullanılır. Kalıp yönteminde iç daireler ve yarıçaplarıyla bir bölümlendirme oluşturulur. Bu altlık aynı ölçekli bir gravite haritasının üstüne konur ve aynı anda merkezi harita üstündeki hesap noktası ile çakışacak şekilde yerleştirilir. Iskara çizgileri yönteminde ise dikdörtgen şeklinde bölmeler oluşturulur. Standart büyüklükteki bölmelerden bulunacak ortalama anomaliler bilgisayarda hesaplanır. 37

48 Çekül Sapması Bileşenleri Şekil 6.1: Çekül sapması Gerçek ve normal gravite alanlarına ait gravite vektörlerinin doğrultuları farkına çekül sapması denir. Çekül sapması jeodezik ölçülerin elipsoit yüzeyine indirgenmesinde ve jeoit modellemede kullanılır. Astro-jeodezik yöntemde, astronomik koordinatlar ve jeodezik koordinatlarla hesaplanır. Gravimetrik yöntemde, gravite anomalileri kullanılarak stokes integralinden hesaplanır. Çekül sapmasını bileşenlerine ayırırsak; doğu-batı bileşeni için (η) ve kuzey-güney bileşeni içinse (ξ) kullanılır. Çekül eğrisinin doğrultusu η nin coğrafik koordinatları astronomik olarak belirlenebilir. Astronomik koordinatlar Φ, Λ, jeoit normali n Coğrafik koordinatlar φ, λ, elipsoit normali n ξ = Φ φ (6.) η= (Λ - λ)cosφ (6.3) U p =U Q γ N (6.4) olduğundan; W p =U p +T p = U Q = γ N + T (6.5) W p = U Q = W 0 olduğundan; N= T/γ (6.6) bulunur ( Gürkan, 1979).

49 39 Jeoit ondülasyonu ile bozucu potansiyel arasındaki bağlantı Bruns Formülü dür. Çekül sapmalarının hesaplama yöntemleri konumlarına göre adlandırırlırlar. Astrojeodezik çekül sapması Gravimetrik çekül sapması Topografik izostatik çekül sapması Astrojeodezik çekül sapması: Hesaplama işleminde astronomik ve jeodezik veriler kullanılır. Ortalama yer elipsoidi referans elipsoidi olarak alınır. Gravimetrik çekül sapması: Çekül sapması bileşenlerinin gravite ölçülerinden yararlanarak hesaplanmasıdır. Bunun için; 1 4G g ds Sin d d Cos (6.7) Vening Meinesz integralleri kullanılır. G: yeryüzü için ortalama bir gravite değeridir. τ: Tüm yeryüzü dτ: Yüzey elemanı ψ: Yüzey elemanının bulunan noktaya olan küresel uzaklığı α: Azimut Vening Meinesz fonksiyonu, Stokes fonksiyonunun ψ ya göre türevidir Topografik izostatik çekül sapması: Topografik haritalardan elde edilen değerlere göre hesaplanır. Elde edilen yoğunluklara ilişkin varsayımlar yapılır Yükseklik Sistemleri Bir noktanın yüksekliğinin bulunması için referans alınan yüzeyinin belirlenmesi gerekir. Yeryuvarının homojen bir yapıda olmamasından dolayı, farklı yollarla yapılacak aynı nokta yükseklikleri de farklı olur.

50 40 Bu bize nivelman sonuçlarının yola bağlı olduğunu gösterir. Noktaların yükseklikleri belirtilirken sadece yükseklik farklarını ölçmek yeterli olmayıp, yol boyunca gravite değerlerinin de ölçülmesi gerekir. l l 1 δh AB Şekil 6.: Geometrik nivelman δ H yükseklik farkını ölçmek için A ve B noktaları arasındaki noktalara miralar düşey olarak tutulup arada bir yere nivo kurulur. A ve B arasındaki nivelmandan bulunan yükseklik farkının toplamı H A ve H B deki yükseklik farkına eşit olmayacaktır. Nivelmanın verdiği δ n miktarları seviye yüzeylerinin paralel olmaması nedeniyle H B deki δh B miktarında farklıdır. W potansiyelindeki artma miktarı δ W ile gösterilerek, δ W = -g δh B g, nivonın bulunduğu yerdeki gravite g : B den geçen çekül eğrisi üzerindeki δh B deki gravite H B g n n (6.8) g δ W = -gδ n (6.9) B W W gdn (6.10) B A A Potansiyel farklar nivelman sonuçlarının gravite ölçüleriyle birleştirilmesinden doğar.

51 Bölüm 3.3 te bahsedildiği üzere, yükseklik sistemleri birbirinden gravite değerinin seçimine bağlı olarak farklılık gösterirler. G Sabit g o 45 o c Dinamik Yükseklik H d (6.11) g o G=g p + 0,044H Yay parçası boyunca g ağırlık değerlerinin ortalamasıdır, (Helmert) Ortalama Yükseklik c Ho (6.1) g m G=γ m = Çekül eğrisi boyunca olan ortalama gravite değerleri, (Molodensky) Yada; G o Normal Yükseklik m 41 c H n (6.13) H n H n 1 1 f m f sin (6.14) a a g p, P yeryüzü noktasında ölçülen gravite; γ, Elipsoit üzerinde normal gravite; φ, Jeodezik enlem; γ 45, φ=45 o için normal gravite ; f, Basıklık dır. ab m (6.15) km Ω, Yerin açısal dönme hızı; a,b Elipsoidin büyük ve küçük yarı eksenleri km : Newton çekim sabiti ile yerin kitlesinin çarpımıdır

52 4 7. SAYISAL UYGULAMA 7.1. Sayısal Uygulama Alanı Uygulama Konya, Karaman, Niğde, Aksaray illerini kuşatan bir bölgede 37<φ<39,5 ve 31<λ<34,5 enlem ve boylama sahip, deniz seviyesinden yüksekliği bilinen 68 noktada gerçekleştirilmiştir. Uygulama sırasıyla aşağıdaki adımlardan oluşmuştur. Noktalardaki gravite değerlerinin hesaplanması Noktalardaki boşlukta gravite anomali değerlerinin hesaplanması Noktalardaki Basit Bouguer anomali değerlerinin hesaplanması 3 lık aralıklarla grid oluşturulması Her grid noktasındaki Basit Bouguer anomalilerinin hesaplanması Her grid noktasında Basit Bouguer anomaliden boşlukta gravite anomalilerine geri dönülmesi 7.. GMT (Generic Mapping Tools) Uygulamada gridleme, grid üzerinde dayanak noktalarına göre (ölçülmüş noktalar) yükseklik hesabı ve haritaların çiziminde GMT programından faydalanılmıştır. Bu yazılım veri değerlendirme, filtreleme, iki üç boyutlu verilere dayalı matematiksel işlemleri gerçekleştirebilen, hacim ve trend yüzeyi hesaplayabilen zengin bir çeşitliliği sunmaktadır. Sadece belirli bir uygulamaya yönelik olmayan bu yazılımın çeşitliliği kullanıcıların da müdahalede bulunabilmelerinden kaynaklanır. Açık kaynak kodu olan işletim sistemi LINUX da olduğu gibi ihtiyaç duyulduğunda kullanıcı programa ilave yazılımlar ekleyebilmektedir. Her ne kadar UNIX üzerinde geliştirilse de diğer ortamlarda da rahatlıkla kullanılabilmektedir. Bu çalışma da LINUX üzerinde gerçekleştirilmiştir.

53 Gravite ve Anomalilerin Hesaplanması 7.1 başlığındaki belirtilen noktalarda EGM08 modeli kullanılarak gravite değerleri ( g ) elde edilmiştir. Gravite değerleri yer şekline göre değişim gösterebilmektedir. Ölçüm yapılan noktanın konumuna, örneğin deniz seviyesinden yüksekliğine bağlı olarak hesaplanan gravite değerleri değişebilmektedir. Yeryüzünün biçimi ile ilgili olan bu etkilerin hesap edilip, bulunan gravite değerlerine eklenmesi veya çıkarılması gerekmektedir. Genellikle küçük farklarla ve düzgün bir değişim gösteren gravite verileri üzerindeki bu etkilerin giderilmesi sağlık bir değerlendirmeyi amaçlamakta ve yanlış yorumlamayı engellemektedir. Bu sebeplerden dolayı gravite verileri üzerinde bazı düzeltmelerin yapılması zorunludur. Uygulamada kullanılan ölçü noktalarının değişik yükseklikte olmalarından dolayı ölçüler arasında yükseklikle ilgili bir ayrım olur. Bundan dolayı hesaplanan gravite ölçülerinin datum adı verilen düzeye indirgenmesi gerekir. Bu indirgemeyle, ölçü noktaları eş yükseklikte alınmış gibi olur ve her gravite değerine ölçü noktasının datumdan olan yükseklik farkı ile orantılı bir düzeltme yapılır. Bu düzeltmeye yükseklik düzeltmesi denir. Bu çalışmada hesap edilen gravite değerleri üzerinde yükseklik düzeltmesi adı altında boşlukta gravite indirgemesi ve Bouguer indirgemesi uygulanmıştır. Deniz seviyesinden yukarıya doğru çıkıldıkça gravite değerinde bir azalma olur. Bu etkinin giderilmesi için ölçü noktası ile deniz seviyesi arasında kütlenin bulunmadığı varsayılır. Ölçü noktaları aynı seviyede olmayacağı için ölçü noktalarını aynı seviyeye indirgemek gerekir. Bu indirgemeye boşlukta gravite indirgemesi denir. Eldeki mevcut ve hesaplanmış veriler C++ ortamında geliştirilmiş fanomol isimli yazılımla boşlukta gravite indirgemesine dahil edilmiş olup sonuçlar bir dosyada tutulmuştur.

54 44 Boşlukta gravite indirgemesi, indirgeme düzeyi ile ölçü noktaları arasındaki kütlenin bulunmadığı varsayılarak yapılmıştır. Ancak iki düzey arasında kalan kütlenin yoğunluğu düşünüldüğünde kütleden kaynaklanan gravite etkisinin de giderilmesi gerekmektedir. Kütleden kaynaklanan bu düzeltmeye Bouguer indirgemesi denir. Jeoit ile fiziksel yeryüzü arasındaki kitleler graviteyi etkilediğinden jeoit dışında kalan kitlelerin kaldırılması için Bouguer indirgemesi yapılması gerekir.her noktada hesaplanan boşlukta gravite anomali ve yükseklik değerleri yine C++ ortamında geliştirilen bir yazlımla, Δg b = ΔF A h (7.1) formülünde yerine yazılarak Bouguer anomali değerleri hesaplanmıştır. Yüzey enterpolasyonu için GMT yazılımı kullanılarak Surface komutu ile 68 nokta 3 lık arayla gridlendirilerek 361 nokta oluşturulmuştur. Boşlukta gravite anomali değerlerini haritalamak için daha önce hesaplanan boşlukta gravite anomali değerleri grid noktalarında yeniden hesaplanarak Şekil 7.1 deki harita elde edilmiştir.bu işlem için GMT resmi sitesi adresindeki örnek bir script dosyası seçilerek, bash kabuk programlama ile toplu işlem dosyası oluşturulmuş ve boşlukta gravite anomali değerleri harita üzerinde gösterilmiştir.

55 45 Şekil 7.1: Ölçü noktalarında boşlukta gravite anomali haritası Aynı komut yapısında boşlukta gravite değerleri yerine Bouguer gravite anomali değerleri yazılarak işlem tekrar edildiğinde grid noktalarında Bouguer gravite anomali değerleri hesaplanmış olur. Grid alanında Bouguer gravite anomali değerlerine ait harita ise Şekil 7. deki gibidir.

56 46 Şekil 7.: Grid noktalarında Bouguer anomali haritası İki harita arasındaki farktan da görüldüğü üzere jeoit ile fiziksel yeryüzü arasındaki kitleler kaldırıldığında Şekil 7. deki gibi gravite yoğunluğunun olduğu bölgeler çok daha belirgin bir şekilde karşımıza çıkmaktadır. Bouguer gravite anomali haritaları MTA başta olmak üzere birçok kuruluş maden, petrol ve buna benzer yer altı kaynakların tespitinde kullanmaktadırlar. Bouguer anomali değerleri hesaplandıktan sonra grid noktalarındaki anomali değerlerinin jeoit hesaplarında kullanılabilmesi için düzenli bir anomali değerleri elde edilmesi gerekmektedir. Bu nedenle grid noktalarındaki bouguer anomali değerlerini hesap düzeyine çekmek için tekrar boşlukta gravite anomali değerlerine geçiş yapılmıştır.

57 47 Grid noktalarında Bouguer anomali değerlerinden tekrar boşlukta gravite anomali değerlerine geri dönülebilmesi için grid noktalarında yükseklik değerleri hesap edilmiştir. Ölçülmüş yükseklik değerleri GMT yazılımı içerisindeki surface komutu ile 3 lık grid bölgelerinde yükseklik enterpolasyonu yapılmıştır. Elde edilen yükseklik değerleri ve grid noktalarındaki bouguer anomali değerleri C++ ortamında geliştirilen bir yazılımla, ΔF A = Δg b h (7.) formülünde yerine yazılarak her grid noktasındaki boşlukta gravite anomali değerleri hesaplanmıştır. Grid noktalarındaki boşlukta gravite anomali değerleri GMT yazılımı yardımıyla Şekil 7.3 teki gibi harita oluşturulmuştur.

58 48 Şekil 7.3: Grid noktalarında Bouguer den boşlukta gravite anomaliye geçiş Uygulamada yüzey enterpolasyonu olarak multikuadrik enterpolasyon yöntemiyle GMT içerisinde bulunan surface komutu kullanılarak elde edilen enterpolasyon kıyaslamaya çalışılmıştır. Bunun için Bildirici vd.(008) de ele alınan radyal bazlı multikuadrik fonksiyon kullanılmıştır. z n i1 c i x x y y i i (7.3) Burada n ölçülmüş nokta sayısı (dayanak noktaları) x i ve y i bu noktaların koordinatlarını, x ve y ise grid noktaların koordinatlarını c i ise ağırlık katsayılarını göstermektedir.

59 Formülü uygulayabilmek için bilinmeyenlerin bulunması gereklidir. Öncelikle Δ hesabı için yine Bildirici vd.(008) de kullanılan eşitlikten yararlanılmıştır n n 1 i1 j 1 n n xi x j yi y j (7.4) Enterpolasyon için geliştirilen kodlamada Δ hesabı için C++ ortamında yazılan fonksiyon sonucunu vermiştir. c i ağırlık katsayılarını bulabilmek için dayanak noktalarından oluşan doğrusal denklemin çözülmesi gerekmektedir. z a c a c z 1 z a a c a 1 c a c a 13 a 3 68 c c 3 c a 3 a a c 68 c 68 c a 6868 c 68 (7.5) Böyle bir doğrusal denklem sistemi matris yöntemleriyle çözüme ulaştırılmak istenirse matrisin elemanlarını oluşturan a ij değerlerinin bilinmesi gerekmektedir. Bildirici vd. (008) de bu değerler aşağıdaki formülden elde edilmiştir. x x y y a (7.6) ij i j i j z=ac ise c=a -1 z (7.7) c katsayılarının bulunabilmesi için A matrisinin tersini almak gereklidir. Bunun için Gauss Eleminasyon yöntemi, Gauss-Jordan yöntemi ve LU(ayrıştırma, Cholesky) yöntemleri denenmiştir. Ancak matrisin boyutunun çok büyük olması (68x68) matrisin kondisyonunun bozulmasına doğal olarak da çözüme ulaşılmasına engel olmuştur. Matrisi kararlı hale getirmek için tam pivotlama yapılarak yukarıdaki yöntemlerin denenmesine rağmen doğrusal denklemin çözümüne ulaşılamamıştır. Bu nedenle surface kullanılarak elde edilen değerler kıyaslanamamıştır.

60 50 8. SONUÇ ve ÖNERİLER Gravite ölçüleri jeodezik, jeolojik ve mühendislik amaçlı çalışmalarda kullanılmaktadır. Jeodezide gravite ölçüleri her alanda kullanılmaktadır. En önemli uygulama alanları; Stokes integrasyou, çekül sapması bileşenlerinin hesabı ve yükseklik sistemlerinde potansiyel farkının hesaplanmasıdır. Jeoloji alanında ise gravite değerleri ele alınıp değişimleri incelenerek yeraltında bu değişimlere sebep olan kütle dağılışı bulunmaya çalışılır. Yeryüzünde ölçülen gerçek gravite değeri ile hesaplanan gravite değeri doğrudan karşılaştırılamaz. Deniz yüzeyine indirgemesi gerekir. Fiziksel yeryüzünde ölçülen gravite üzerindeki etkiler kaldırılarak gravite değeri hesaplanır. İndirgeme yöntemlerinin neler olduğuna kısa değinilmiştir. Bu yöntemlerinden birisi de yükseklik (kot) düzeltmesidir. Bu çalışmada; Konya, Karaman, Niğde, Aksaray illerini kuşatan bir bölgede 37<φ<39,5 ve 31<λ<34,5 enlem ve boylama sahip, deniz seviyesinden yüksekliği bilinen 68 nokta üzerinden EGM08 modeli kullanılarak gravite değerleri bulunmuş ve yükseklik düzeltmesi uygulanmıştır. Deniz seviyesinden yukarıya doğru çıkıldıkça gravite değerinde bir azalma olur. Bu etkinin giderilmesi için ölçü noktası ile deniz seviyesi arasında kütlenin bulunmadığı varsayılır. Ölçü noktaları aynı seviyede olmayacağı için ölçü noktalarını aynı seviyeye indirgemek gerekir. 68 nokta için boşlukta gravite indirgemesi yapılarak ölçü noktaları aynı seviyeye getirilmiştir. Boşlukta gravite indirgemesinde ölçü noktalarıyla indirgeme seviyesi arasında hesaba katılmayan kütlelerin yoğunluğu düşünüldüğünde kütleden kaynaklanan gravite etkisinin de giderilmesi gerekmektedir. Yine tüm noktalar için bouguer indirgemesi yapılarak ölçü noktalarıyla indirgeme seviyesi arasındaki kütlelerin graviteye etkisi kaldırılmıştır. Belirtilen enlem ve boylam bölgeleri içerisinde GMT yazılımı yardımıyla 3 lık grid enterpolasyonu yapılarak bölgenin bouguer anomali haritası çıkartılmıştır. Grid noktalarındaki anomali değerlerinin jeoit hesaplarında kullanılabilmesi için düzenli bir anomali değerleri elde edilmesi gerekmektedir. Bu nedenle grid noktalarındaki bouguer anomali değerlerini hesap düzeyine çekmek için tekrar boşlukta gravite ano-