MATEMATİK VE HAYAT 2

Transkript

1

2 MATEMATİK VE HAYAT 2

3 MATEMATİK NEDİR? MATEMATİK VE HAYAT 3

4 Hayatımızda matematiğin yerini, matematiğin ne işe yaradığını, nerelerde kullanabileceğimizi düşünmeden önce matematiğin tanımını seçip; tanımlayabildiğimiz matematiğe uygun bir düşünce sistemi oluşturmamız gerekir. Matematiğin tanımını seçmek denilince akıllarda bir ikilem oluşması olasıdır. Matematiğin tek bir tanımı yoktur ne yazık ki. Aslında size tavsiyem kendi tanımınızı oluşturmanızdır MATEMATİK VE HAYAT 4

5 Matematik nedir? sorusuna bugüne kadar sayı, şekil, ölçü ve bunlara bağlı kavramlara dayalı olarak pek çok cevaplar verilmiştir (Göker 1993) MATEMATİK VE HAYAT 5

6 Matematiğin özellikleri, doğası ve öğeleri dikkate alındığında ise, bu soruyu tek bir tanımla cevaplamanın güç olduğu gerçeği ortaya çıkmaktadır MATEMATİK VE HAYAT 6

7 Çünkü, cevaplar insanların matematiğe başvurmadaki amaçlarına, belli bir amaç için kullandıkları matematik konularına, matematikteki tecrübelerine, matematiğe karşı tutumlarına ve matematiğe olan ilgi derecelerine göre değişim göstermektedir (Baykul 1995) MATEMATİK VE HAYAT 7

8 En yalın anlatımla matematik bir örüntüler ve düzen bilimi olarak tanımlanmaktadır. (Goldenberg, Couco ve Mark, 1998) MATEMATİK VE HAYAT 8

9 Matematik, çevresini bağımsız olarak düzenleyen, organize eden ve denetleyen işlemlerin özellikleri ile ilgilidir. (Peel) MATEMATİK VE HAYAT 9

10 Matematik; şekil, sayı ve çokluklar ile matematiksel konu ve kavramların yapılarını, özelliklerini ve aralarındaki ilişkileri, farklı yaklaşım ve yorumlarla bir mantık sistemi içinde inceleyen bilim dalıdır. (Çakmak 1988) MATEMATİK VE HAYAT 10

11 Matematiğin özelliklerini şu şekilde sıralamak mümkündür; Matematik bir disiplindir, Matematik varlıkların kendisiyle değil, aralarındaki ilişkilerle ilgilenir, Matematik birçok bilim dalının kullandığı bir araçtır, Matematik matematikçilerin oynadığı bir oyundur, Matematik mantıksal bir sistemdir, Matematik insan beyninin ortaya çıkardığı bir soyutlamadır MATEMATİK VE HAYAT 11

12 Bu kadar çeşitli tanımlar içerisinde matematiğin nasıl görüldüğü konusundaki düşünceleri şöyle gruplayabiliriz; 1) Matematik, günlük hayattaki problemleri çözmede başvurulan sayma, hesaplama, ölçme ve çizmedir 2) Matematik, bazı sembolleri kullanan bir dildir 3) Matematik, insanda mantıklı düşünmeyi geliştiren mantıklı bir sistemdir 4) Matematik, dünyayı anlamamızda ve yaşadığımız çevreyi geliştirmede başvurduğumuz bir yardımcıdır MATEMATİK VE HAYAT 12

13 Günümüzde matematik; Ardışık soyutlama ve genellemeler süreci olarak geliştirilen fikirler (yapılar) ve bağıntılardan (ilişkilerden) oluşturulan bir sistem olarak görülmektedir. (Australian Council for Educational Research) MATEMATİK VE HAYAT 13

14 Bu tanımda üç nokta dikkat çekicidir. Bunlar; Matematiğin bir sistem oluşu Matematiğin yapılardan ve bağıntılardan oluşturulduğu Yapılan oluşturulma sürecinin ardışık ve genellemeler olduğudur MATEMATİK VE HAYAT 14

15 MATEMATİĞİN YAPISINDAKİ ÖGELER Matematiğin yapısındaki öğeleri aşağıdaki diyagramda görüldüğü gibi temsil edebiliriz; Matematik Tanımsız kavramlar Tanımlar Aksiyomlar Teoremler MATEMATİK VE HAYAT 15

16 TANIMSIZ KAVRAMLAR?

17 TANIMSIZ KAVRAMLAR Matematikte varlığı kabul edilen ve tanımı yapılamayan kavramlara tanımsız kavram adı verilir. Tanımsız kavramlar tanımlanamamakla birlikte, insanın zihninde açık bir fikir oluştururlar. Örneğin nokta tanımsız bir kavram olmakla birlikte, zihnimizde ne olduğu hakkında açık bir fikir oluşmaktadır MATEMATİK VE HAYAT 17

18 Noktayı, Bir kalemin sivri ucunun kağıt üzerinde bıraktığı iz olarak açıklarız. Bu ifade noktanın tanımı değil, onun neye benzediği hakkında bir açıklamadır. Benzer şekilde düzlemde ve doğruda tanımsız kavramlara örnek olarak verilebilir MATEMATİK VE HAYAT 18

19 TANIM?

20 TANIM Buna göre; önceden tanımlanmış kavramlar ve tanımsız kavramlar yardımıyla açıklanan kavramları belirten ifadelere tanım denir. Bir ifadenin tanım olabilmesi için; Tanımsız elemanlara ve daha önce tanımlanmış kavramlara dayanmalıdır. Anlamlı ve açıkladığı kavramla anlam yönünden tutarlı olmalı. Açıkladığı kavramla ilgili olası bütün durumları içermeli. Efradına cami ağyarına mani bir tanım olmalıdır MATEMATİK VE HAYAT 20

21 AKSİYOM?

22 AKSİYOM Matematikte doğruluğunu ispata gerek kalmadan apaçık kabul ettiğimiz önermelere aksiyom denir. Öklid geometrisinin aksiyomları şunlardır: 1- Aynı şeye eşit olan şeyler birbirlerine de eşittirler. 2- Eğer eşit miktarlara eşit miktarlar eklenirse, elde edilenler de eşit olur MATEMATİK VE HAYAT 22

23 3- Eğer eşit miktarlardan eşit miktarlar çıkartılırsa, eşitlik bozulmaz. 4- Birbirine çakışan şeyler birbirine eşittir. 5- Bütün, parçadan büyüktür

24 Öklid geometrisinin postülatları ise şunlardır. 1- İki yol arasını birleştiren en kısa yol, doğrudur 2- Doğru doğru olarak sonsuza kadar uzatılabilir. 3- Bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri çemberdir MATEMATİK VE HAYAT 24

25 4- Bütün dik açılar birbirine eşittir. 5- İki doğru bir üçüncü doğru tarafından kesilirse, içte meydana gelen açıların toplamının 180 dereceden küçük olduğu tarafta bu iki doğru kesişir. 6- Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir. 7- Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir tek paralel çizilebilir MATEMATİK VE HAYAT 25

26 TEOREM?

27 TEOREM Doğru veya yanlış bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı verilir. Doğruluğu ispatlandıktan sonra kabul edilen önermelere ise teorem denir MATEMATİK VE HAYAT 27

28 Çoğu zaman neye inanacağınızı şaşırırsınız Bazen 3 ile 3 ün bazen 4 ile 2 nin toplamı 6 eder MATEMATİK VE HAYAT 28

29 Bazen hocaların bir dedikleri bir dediklerini tutmaz. Dün dündür bugün bugündür Öğretmenim dün x in ikiye eşit olduğunu söylemiştiniz MATEMATİK VE HAYAT 29

30 Matematiksel bilgi kavramsal ve işlemsel bilgi olmak üzere ikiye ayrılır

31 Kavram Nedir?

32 Kavram Kavram bir görüş veya düşüncenin, özellikle nesnelerin bir sınıfının genelleştirilmiş halidir. Kavram, psikolojide tanımlandığı şekliyle birbirinden bağımsız çeşitli elemanların bir bütün oluşturacak şekilde birleştirilmesinden doğan net bir fikirdir (Guralnik, 1986). Morris (1996) kavramı, bir düşüncenin zihindeki görüntüsü olarak tanımlamıştır. Altun a (2001) göre kavram; sözcük olarak belirli ortak özellikleri taşıyan nesne ve olayların adıdır. Açı, üçgen, yüzey, benzerlik, limit, türev vs. birer matematik kavramlarıdır.

33 Kavram Bilgisi Nedir?

34 Kavramsal Bilgi Kavramlar bilgi yapılarının ve anlam yapılandırmalarının temel elemanlarıdır. Kavramsal bilgi ise iyi yapılandırılmış ve sağlam ilişkilendirilmiş bilgi ağıdır. Kavramsal bilgi, depolanmış ve izole bir bilgi parçası değil, geniş ve iyi yapılanmış bir ağın parçasıdır. Buna göre kavramsal bilgi düzeyi; öğrencinin konuyu ya da kavramı bilme, hakkında fikir yürütebilme düzeyidir (Rittle-Johnson ve Koedinger, 2002; Star, 2002). Dolayısıyla kavram bilgisi matematiksel kavramların kendilerini ve bunlar arasındaki ilişkileri kapsar.

35 Diğer bir deyişle matematiksel kavramların kendileri birer ilişkidirler, bu ilişkiler başka kavramlarla ilişkilidir. Örneğin; doğru tanımsız elemandır, fakat noktalardan oluşmuştur. O halde doğru kavramı nokta kavramıyla ilişkilidir. Daha iyi bir deyişle doğru kavramı, bir noktalar ilişkisidir. Sayılar arasındaki büyüklük, küçüklük kavramları da sayılar arasında birer ilişkidir. Bu örnekler matematikteki bütün kavramlara genellenebilir (Hiebert, 1992).

36 Kavramın tanımı ve özellikleri ile ilgili düşünme biçimini değişik şekillerde ortaya koyabilme, bunu yaparken terim, sembol ve işaretleri yerinde kullanma, tanım ve uygulamalarda matematiksel ilkeleri kullanabilme, kavramları örnekleme-karşı örnek verebilme, kavram ve ilkelerin ortak ve ayrık yanlarını belirleyerek karşılaştırma yapabilme, kavramların değişik biçimlerinin ve kullanım alanlarının matematiksel model ve yapılar ile bağlantılarını kurabilme, sonucu tahmin etme ve açıklayabilme gibi kazanımları içermektedir (NCTM, 2000).

37 İşlem Bilgisi Nedir?

38 İşlem Bilgisi İşlem bilgisi, onu meydana getiren iki ayrı kısımla birlikte açıklanmaktadır. İşlem bilgisinin birinci kısmını matematiğin sembolleri ve dili oluşturur. İşlem bilgisinin ikinci kısmı ise kuralları, matematiksel problemi çözmek için kullanılan bağıntıları, somut nesneler üzerindeki işlemleri, görsel diyagramları, zihinsel hayalleri veya matematiksel sistemimizin standart olmayan diğer nesnelerini içerir (Hiebert ve Lefevre, 1986).

39 Öğrenciler işlemsel bilgilerini; uygun işlemi seçip doğru biçimde uygulama; sembolik yöntemler ve somut modeller kullanarak işlemin doğruluğunu ispatlama; problem durumun gerektirdiği ölçüde işlemi değiştirme veya genişletme davranışlarıyla sergilerler. İşlemsel bilgi genellikle öğrencinin problem durumu uygun bir algoritmik süreçle ilişkilendirmesi, bu süreci doğru şekilde uygulaması ve sonuçları bu problem durum açısından açıklayabilmesi ile yansır (Porter ve Masingila, 2000; Camacho, 2002).

40 Dolayısıyla özet olarak işlemsel bilgi; temel aritmetik işlemleri uygulayabilmek, gereken işlemi uygun olarak seçmek ve kullanmak, herhangi bir durum ile ilgili muhakeme yapabilmek, karşılaşılan bir problem durumun çözüm basamakları arasında bağlantıları kurmak, karşılaştırmak ve ilişkilendirmek, çevrede görülen ya da sunulan bir durumu hesap yapmadan tahmin etmek ve yorumlamak; geometrik yapı oluşturmak, grafik çizebilmek, onları okuyabilmek, sıralayabilmek; problem çözümünde verileri değiştirebilmek ve genişletebilmek, sembolik ya da somut modeller kullanarak yöntemin doğruluğunu ispatlayabilmek gibi kazanımları içermektedir.

41 Kavramsal ve İşlemsel Bilgiler Arasındaki İlişkiler Kavramsal ve işlemsel ilişkiler arasındaki bağı kurma, uygun kavramları temsil etmede ve açıklamada kurallar ve işlemler bilgisini kavramlara uygun, anlamlı bir akıl yürütme ve semboller temeline oturtmadır. (Hiebert ve Levefre, 1986). İşlemsel bilgide, bir kavram ya da işlemin nedenini bilmeye gerek görmeden yalnızca nasıl kullanılacağını bilmek durumu söz konusu iken, kavramsal bilgide kavrama durumu öne çıkmaktadır (Baki 1998).

42 Matematik öğretiminde hem işlemsel bilgi hem de kavramsal bilgi önemli rol oynamaktadır. Ancak okullardaki matematik öğretimine bakıldığında daha çok işlemsel bilgi üzerinde durulmaktadır. İşlemsel bilgi ile kavramsal bilgi arasındaki ilişkiyi oluşturamayan öğrenciler matematiksel kavramları yanlış algılamakta ve matematik öğretiminde çeşitli güçlükler yaşamaktadır (Ersoy & Erbaş, 2003).

43 MATEMATİĞİN ÖNEMİ Hızla gelişen ve değişen dünyamızda, genellikle öğrencilere sıkıcı, sevilmeyen ve soyut, (öğrenci diliyle zor, kabus,...) bir disiplin olarak görülen Matematiğin yeri ve önemi giderek artmaktadır MATEMATİK VE HAYAT 43

44 Bir Düşünce biçimi ve evrensel bir dil olan matematik günümüzün gelişen dünyasında birey, toplum, bilim ve teknoloji için vazgeçilmez bir alandır. Günlük yaşamda, iş ve meslekte gerekli olan çözümleyebilme, usavurabilme,iletişim kurabilme, genelleştirme yapabilme, yaratıcı ve bağımsız düşünebilme gibi üst düzey davranışları geliştiren bir alan olarak matematiğin öğrenilmesi kaçınılmazdır MATEMATİK VE HAYAT 44

45 Günümüz toplumunun, sorunların üstesinden gelebilecek, problem çözebilecek bireylere gereksinmesi vardır. Matematik öğretiminin her aşamasında matematik öğretiminin amaçları ve öğretimde kullanılacak genel ilkeler göz önünde bulundurulmalıdır. Matematik her biri üzerine kurularak gelişen bir alan olduğundan, ön öğrenmelerin önemi büyüktür. Bu durum her zaman hatırlanmalı ve her aşamada ölçme ve değerlendirme yapılmalıdır MATEMATİK VE HAYAT 45

46 Ayrıca, matematik öğretiminde duyuşsal özellikler dikkate alınmalı ve öğrencilerin matematiğe ve matematik dersine karşı olumlu tutumlar geliştirmelerine yardımcı olunmalıdır. Planlı öğretimin tüm ilkelerine matematik öğretiminde de uyulmalıdır MATEMATİK VE HAYAT 46

47 Okulda Matematik Eğitimi, çocukların gerçek hayat durumlarındaki matematiği algılayabilmelerini, onu somut nesneler ve resimlerle ifade edebilmelerini ve nihayet onu zamanı geldikçe sembolik dile aktarabilmelerini, bir yandan da her zaman bu bilgileri sözel dili kullanarak açıklayabilmelerini sağlamaya çalışır MATEMATİK VE HAYAT 47