İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

Transkript

1 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58

2 Önermeler ve İspat Yöntemleri p q p q Lamba Yanar Yanar Yanar Yanmaz A) Doğrudan İspat: p q önermesinde p nin doğruluğundan hareketle q nun da doğru olduğunun gösterilmesine doğrudan ispat yöntemi denir. Örnek: x tek sayı ise x 2 de tek sayıdır. Teoremini doğrudan ispat yöntemiyle ispatlayalım. AKSİYOM ve TEOREM İspat edilmeye gerek duyulmadan kabul edilen önermelere aksiyom, doğruluğu ispatlanması gereken önermelere de teorem denir. Teorem, hipotez ve hükümden oluşur. p q koşullu önermesinde (teoreminde) p önermesi varsayım (hipotez), q önermesi de hüküm (yargı) dür. İSPAT Hipotez (p): x tek sayı Hüküm (q): x 2 tek sayı x tek sayı ise x = 2k + 1 (k Z) x 2 = 4k 2 + 4k + 1 x 2 = 2. (2k 2 + 2k) + 1, n Z n Bir teoremin hipotezi doğru iken hükmünün de doğru olduğunun gösterilmesine ispat denir. x 2 = 2n + 1 olduğundan x 2 de tek sayıdır. B) Dolaylı İspat: 1) Olmayana Ergi Yöntemiyle İspat: p q q' p' denkliğinden yararlanarak p q yerine q' p' teoreminin ispatlanmasına olmayana ergi (karşıt ters) yöntemi ile ispat denir. Diğer bir ifadeyle hükmün olumsuzundan hareketle hipotezin Tümevarım: Özel bir önermeden genel bir önermeye doğru yapılan ispattır. Tümdengelim: Genel bir önermeden özel bir önermeye doğru yapılan ispattır. olumsuzunun elde edilmesidir. Örnek: x Z olmak üzere x 2 tek sayı ise x de tek sayıdır. Önermesinin doğruluğunu olmayana ergi yöntemiyle ispatlayalım. 8

3 Önermeler ve İspat Yöntemleri Hipotez (p): x 2 tek sayı (p q)' p q' 0 ise p q 1 olur. Buradan Hüküm (q): x tek sayı İspat: x tek sayı değilse x 2 de tek sayı değildir. x tek sayı değilse x = 2k (k Z) biçiminde bir çift sayıdır. x 2 = (2k) 2 x 2 = 4k 2 = 2. (2k 2 ) = 2n (n = 2k 2 ) olduğundan x 2 tek sayı değildir. q ' p ' : x tek sayı değilse x 2 de tek sayı değildir. önermesi doğru olduğundan p q önermesi de doğrudur. 2) Çelişki Yöntemiyle İspat: (p q)' p q' denkliğinden yararlanarak ispatlama çelişki yöntemiyle ispattır. Diğer bir ifadeyle hipotezin doğru olduğu kabul edilip hükmün olumsuzunun hipotez ile çeliştiğinin gösterilmesidir. 3x + 2 = 8 (2x ) önermesinin doğruluğu çelişki yöntemiyle ispatlanmış olur. 3) Deneme Yöntemi İle İspat: Değişkeni farklı değerler alan bir önermede, değişkenin farklı değerleri ayrı ayrı yerine yazılarak teoremin doğru olduğunun gösterilmesine deneme yöntemiyle ispat denir. Deneme yöntemiyle ispat, daha çok durum sayısı sınırlı olan önermelerde kullanılır. Sonsuz sayıda elemana sahip kümelerde birkaç durum için teoremin ispatının doğru olması gerekmez. Örnek: İki tam sayının çarpımı çift ise bu iki tam sayıdan en az biri çifttir. önermesinin doğruluğunu deneme yöntemiyle gösterelim. a, b Z olsun. I. Durum: a ve b tek tam sayı ise a.b de tek tam sayıdır. Örnek: 3x + 2 = 8 (2x ) önermesini çelişki yöntemiyle ispatlayalım. II. Durum: a tek, b çift tam sayı ise a.b de çift tam sayıdır. III. Durum: a çift, b tek tam sayı ise a.b de çift tam sayıdır. IV. Durum: a ve b çift tam sayı ise a.b de çift tam sayıdır. Tam sayılardan ikisi de tek iken çarpımın tek, en az biri çift iken çarpımın çift olduğu sonucuna deneme yöntemiyle ulaşılmış olur. Hipotez (p): 3x + 2 = 8 Hüküm (q): 2x p : 3x + 2 = 8 3x = 6 x = 2 q' : 2x + 5 = 13 önermesi x = 2 için yanlış olduğundan q' 0 ve p q' 0 (çelişki) elde edilir. 9

4 Önermeler ve İspat Yöntemleri 4) Aksine Örnek Verme Yöntemiyle İspat: Örnek: Verilen bir önermenin doğru olmadığını gösteren en az bir örnek vererek yapılan ispata aksine örnek verme yöntemiyle ispat denir. Bu yöntem genellikle p q şeklindeki bir önermenin doğru olmadığını ispatlamak için kullanılır. Örnek: a < 2 a 2 < 4 tür. Önermesi a = -3 için (-3) 2 < 4 yanlış olduğundan verilen önermenin doğru olmadığı aksine bir örnek verilerek ispatlanmış olur. NİCELEME MANTIĞI Tanım: İçerisinde en az bir değişken bulunan ve değişkenin aldığı değerlere göre doğru ya da yanlış bir hüküm bildiren ifadelere açık önerme veya önerme fonksiyonu denir. p(x), q(x),. bir değişkenli, p(x, y), q(x, y),. iki değişkenli açık önermelerdir. Açık önermeyi sağlayan değerler kümesi, açık önermenin doğruluk kümesidir. Örnek: p(x) : x N, 3x + 2 < 15 açık önermesinin doğruluk kümesini bulalım. p(x, y) : x, y N +, 2x + 3y = 24 açık önermesinin doğruluk kümesini bulalım. 2x + 3y = olduğundan doğruluk kümesi, D = (3, 6), (6, 4), (9,2) dir. NİCELEYİCİLER Tanım: Önüne geldiği elemanların miktarını belirten en az bir, her, bir tek ve hiçbir terimlerine niceleyiciler denir. 1. Evrensel Niceleyici (Her): simgesine evrensel niceleyici denir ve her diye okunur. p(x), A kümesinde tanımlı bir açık önerme olsun. x A, p(x) önermesi A nın her x elemanı için p(x) ten elde edilen önermelerin her biri için doğru ise doğru, aksi halde yanlıştır. 3x + 2 < x 3 Örnek: x N, x + 2 > 1 önermesinin doğruluk değerini bulalım. x N olduğundan doğruluk kümesi, D = 0,1,2,3,4 olarak bulunur. x + 2 > 1 açık önermesinin doğruluk kümesi N olduğundan verilen önerme doğru bir önermedir ve doğruluk değeri 1 dir. 10

5 Önermeler ve İspat Yöntemleri Örnek: x N, x + 3 > 7 Örnek: x Z, (x - 3). (2x + 1) = 0 önermesinin doğruluk değerini bulalım. önermesinin doğruluk değerini bulalım. x + 3 > 7 açık önermesinin doğruluk kümesi 5, 6, 7,. dir. Bu küme N kümesinden farklı olduğundan verilen açık önerme yanlıştır. Yani önermenin doğruluk değeri 0 dır. (x - 3). (2x + 1) = 0 önermesi x = 3 için doğru bir önerme olduğundan doğruluk değeri 1 dir. Niceleyicilerde Olumsuzlama Teorem (De Morgan): p(x), A kümesinde tanımlı bir açık önerme olsun. 2. Varlıksal Niceleyici (En az bir): simgesine i) [ x A, p(x)]' [ x A, p'(x)] varlıksal niceleyici denir ve en az bir ya da bazı diye okunur. ii) [ x A, p(x)]' [ x A, p'(x)] p(x), A kümesinde tanımlı bir açık önerme olsun. Niceleyicilerin Dağıtıcılığı x A, p(x) önermesi A nın en az bir x elemanı için p(x) ten elde edilen önerme doğru ise doğru, aksi halde yanlıştır. Teorem: p(x) ve q(x), A kümesinde tanımlı iki açık önerme olsun. i) [ x A, (p(x) q(x))] [( x A, p (x)) ( x A, q(x))] Örnek: x R, x 2 < 0 önermesinin doğruluk değerini bulalım. ii) [ x A, (p(x) q(x))] [( x A, p (x)) ( x A, q(x))] x 2 < 0 açık önermesinin doğruluk kümesi boş küme olduğundan verilen önerme yanlıştır. Yani önermenin doğruluk değeri 0 dır. 11

6 KONU TESTİ Önermeler ve İspat Yöntemleri 1. [(p q') (r q')] q A) 0 B) 1 C) p D) q E) p q' 4. p (q' r) 0 olduğuna göre, p, q, r önermelerinin doğruluk değerleri sırası ile aşağıdakilerden A) 0, 1, 0 B) 1, 1, 0 C) 1, 0, 0 D) 0, 1, 1 E) 1, 0, 1 5. [p (q (q' r))] r' 1 2. (p q) (p q') A) 1 B) p' C) p D) q' E) q olduğuna göre, aşağıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri sıfırdır? A) q r B) r p C) q' p D) p q E) q p 6. p (p q) 3. (p q) (p q') ' A) p' q B) p q' C) p q' D) 0 E) 1 A) p q B) p' q C) p' q' D) p' q E) p q' 12

7 KONU TESTİ Önermeler ve İspat Yöntemleri 7. (p q)' q bileşik önermesinin değili aşağıdaki önermelerden hangisine A) p q B) p' q' C) q p D) p q E) p q 10. I. p (p q) p II. p p 1 III. p p' 1 IV. p 0 0 V. p p p Yukarıdaki bileşik önermelerden kaç tanesi doğrudur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Aşağıdaki önermelerden hangisi verildiğinde p q önermesinin doğruluk değeri her zaman 1 olur? A) (p q') 0 B) (q p) 1 r s C) (q' p') 0 D) (p' q) 1 E) (p' q') 0 p, q, r ve s anahtarları ile oluşturulan şekildeki elektrik devresine ait önerme aşağıdakilerden A) p (q r) s B) p (q r) s C) (p q s) r D) (p r s) q E) p [(q r) s] 9. p' (q p') bileşik önermesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) q önermesine denktir. B) p' önermesine denktir. C) Çift gerektirmedir. D) Çelişkidir. E) Totolojidir. 12. a, b R olmak üzere, aşağıdaki önermelerden hangileri mantıksal olarak denk önermelerdir? I. a = 2 b < 5 II. a 2 b < 5 III. b 5 a 2 IV. b > 5 a = 2 A) I ve II B) I ve III C) I ve IV D) II ve III E) II ve IV 13

8 KONU TESTİ Önermeler ve İspat Yöntemleri 13. p q koşullu önermesinin olmayana ergi yöntemiyle ispatı aşağıdaki önermelerden hangisinin doğru olduğunu göstermekle yapılır? A) q p B) p' q' C) p' q D) p q' E) q p' 14. Bir doğal sayının karesi çift sayı ise kendisi de çift sayıdır. İspat: Hipotez (p) : x 2 çift sayıdır. Hüküm (q) : x çift sayıdır. q' : x çift sayı değilse x = 2k + 1 (k N) şeklinde tek sayıdır. p' : x 2 çift sayı değilse bu durumda x 2 = (2k + 1) 2 x 2 = 4k 2 + 4k + 1, (n N) 2n x 2 = 2n + 1 tek sayı olduğundan Bir doğal sayının kendisi çift sayı değilse karesi de çift sayı değildir. önermesi ispatlanmış olur. Buna göre, yukarıda yapılan ispat türü aşağıdakilerden A) Doğrudan ispat B) Olmayana ergi yöntemiyle ispat C) Çelişki yöntemiyle ispat D) Deneme yöntemiyle ispat E) Aksine örnek verme yöntemiyle ispat 16. x Z +, x 2 = 9 2x -1 7 önermesini ispatlayalım. Hipotez (p) : x 2 = 9 Hüküm (q) : 2x p : x 2 = 9 x = 3 q' : 2x -1 = 7 önermesi x = 3 için yanlış olduğundan p q' 0 olur. Buradan (p q)' 0 ise p q 1 olur. Buradan x 2 = 9 2x önermesinin doğruluğu ispatlanmış olur. Buna göre, yukarıda yapılan ispat türü aşağıdakilerden A) Doğrudan ispat B) Olmayana ergi yöntemiyle ispat C) Çelişki yöntemiyle ispat D) Deneme yöntemiyle ispat E) Aksine örnek verme yöntemiyle ispat 17. x Z, x 2-4 = 0 önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden A) x Z, x B) x Z, x 2-4 = 0 C) x Z, x D) x Z, x 2-4 < 0 E) x Z, x 2-4 > ( x R, x 2 + 2x + 1 0) ( x R, x < -1) 15. Aşağıdak açık önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır? A) x R, x = -x B) x R, x 3 = -x C) x R, x - 1 < x x D) x R, 1 x E) x R, x 2 0 bileşik önermesinin değili aşağıdakilerden A) ( x R, x 2 + 2x + 1 < 0) ( x R, x -1) B) ( x R, x 2 + 2x + 1 < 0) ( x R, x -1) C) ( x R, x 2 + 2x + 1 < 0) ( x R, x -1) D) ( x R, x 2 + 2x + 1 > 0) ( x R, x > -1) E) ( x R, x 2 + 2x + 1 0) ( x R, x -1) CEVAP ANAHTARI 1. B 2. B 3. E 4. C 5. D 6. B 7. D 8. A 9. E 10. B 11. A 12. B 13. E 14. B 15. D 16. C 17. C 18. E 14

9 KONU TARAMI SINAVI - 1 Önermeler ve İspat Yöntemleri 1. (p q') (q p') A) p q B) p q C) p' q D) p p' E) p p' 5. ( x R, x > 1) ( x R, x 2-4x + 4 0) koşullu önermesinin değili aşağıdakilerden A) ( x R, x > 1) ( x R, x 2-4x + 4 < 0) B) ( x R, x 1) ( x R, x 2-4x + 4 < 0) C) ( x R, x 1) ( x R, x 2-4x + 4 < 0) 2. p (q r) bileşik önermesinin doğruluk tablosunda kaç tane 1 vardır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 3. p q koşullu önermesinin çelişki yöntemiyle ispatı aşağıdaki önermelerden hangisinin yanlış olduğunu göstermekle yapılır? A) p q' B) p q' C) p' q D) p' q E) p q D) ( x R, x > 1) ( x R, x 2-4x + 4 < 0) E) ( x R, x > 1) ( x R, x 2-4x + 4 < 0) 6. p (p' q) A) p q' B) p q' C) p' q D) p q E) p q 7. x, y R olmak üzere, aşağıdaki önermelerden hangileri mantıksal olarak I. x = 3 y < 4 II. x 3 y > 4 III. y < 4 x = 3 4. p : x R, x 2 > 0 q : x Z, 2x 2 - x - 1 = 0 r : x R, x x 1 önermelerinin doğruluk değerleri aşağıdakilerden A) p 1 B) p 0 C) p 0 q 1 q 1 q 1 r 1 r 0 r 1 D) p 0 E) p 1 IV. y 4 x 3 A) I ve II B) I ve III C) II ve III D) I ve IV E) II ve IV 8. I. p (p q) p II. p p 1 III. p 1 p IV. p 0 p' Yargılarından hangileri doğrudur? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 q 0 q 0 r 1 r 1 CEVAP ANAHTARI 1. E 2. E 3. A 4. B 5. D 6. A 7. D 8. E 15

10 GENEL TARAMA SINAVI 1. I. p (p r) p II. p q q' p' III. p q q p IV. p q p' q' V. p p' 1 4. (p q) q A) p q' B) p' q C) p q' D) 0 E) 1 Yukarıdaki bileşik önermelerden kaç tanesi doğrudur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5. p: x R, x 3 > x 2 q: x R, x 3 = -x r: x R, x 2 > 0 önermelerinin doğruluk değerleri aşağıdakilerin 2. p q koşullu önermesinin olmayana ergi yöntemiyle ispatı aşağıdaki önermelerden hangisinin doğru olduğunu göstermekle yapılır? A) p q' B) p' q C) p' q' D) (p q)' E) q' p' A) p 1 B) p 1 C) p 0 q 1 q 1 q 1 r 1 r 0 r 0 D) p 0 E) p 0 q 0 q 0 r 1 r 0 3. (p' q)' q' bileşik önermesi aşağıda verilen önermelerden hangisine A) p q B) p' q C) p q' D) p q E) p' q 6. I. p q önermesinin tersi q p II. p q önermesinin karşıtı p q III. p q önermesinin karşıt tersi q p yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I ve III C) Yalnız III D) II ve III E) I, II ve III 58

11 GENEL TARAMA SINAVI ve 2, A kümesi üzerinde tanımlı iki bağıntı ve 1 2 olsun. I. 1 yansıyan ise 2 de yansıyandır. II. 1 simetrik ise 2 de simetriktir. III. 1 geçişken ise 2 de geçişkendir. Yargılarından hangileri daima doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III 40. A, B iki küme ve A B olsun. I. A sonsuz bir küme ise B de sonsuz bir kümedir. II. B sonlu bir küme ise A da sonlu bir kümedir. III. A sonlu bir küme ise A B de sonlu bir kümedir. Yargılarından hangileri daima doğrudur? A) Yalnız I B) I ve II C) Yalnız III D) I ve III E) I, II ve III 38. A = a, b, c kümesi üzerinde değişme özelliği olan kaç farklı işlem tanımlanabilir? A) 18 B) 27 C) 162 D) 216 E) I. Asal sayılar kümesi sayılabilir sonsuz kümedir. II. Tam sayılar kümesi sayılabilir sonsuz kümedir. III. Reel sayılar kümesi sayılabilir sonsuz kümedir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III 39. Düzlemdeki d 1 ve d 2 doğruları = (d 1, d 2) d 1 d 2 bağıntısıyla veriliyor. Buna göre, I., yansıyandır. II., simetriktir. III., ters simetriktir. IV., geçişkendir. Yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve II D) II ve IV E) III ve IV 42. A = 1, 2, 3 kümesi üzerinde = (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1) bağıntısı tanımlanıyor. Buna göre, 1 in denklik sınıfı aşağıdakilerden A) 1 B) 1, 2 C) 1, 3 D) 2, 3 E) 2 CEVAP ANAHTARI 1. D 2. E 3. B 4. A 5. C 6. C 7. D 8. E 9. C 10. B 11. E 12. A 13. E 14. E 15. B 16. C 17. B 18. E 19. D 20. A 21. A 22. C 23. D 24. C 25. A 26. B 27. E 28. C 29. B 30. E 31. E 32. E 33. C 34. A 35. B 36. E 37. A 38. E 39. A 40. E 41. C 42. B 64