6. SALĠH ZEKĠ MATEMATĠK ARAġTIRMA PROJELERĠ YARIġMASI PROJE ADI: OYUNLARLA KRĠPTOLOJĠ - BĠR SAVAġ ġġfrelemenġn GĠZEMĠYLE NASIL KAZANILIR?

Transkript

1 6. SALĠH ZEKĠ MATEMATĠK ARAġTIRMA PROJELERĠ YARIġMASI PROJE ADI: OYUNLARLA KRĠPTOLOJĠ - BĠR SAVAġ ġġfrelemenġn GĠZEMĠYLE NASIL KAZANILIR? EDA NUR KOCA-BEGÜM BĠBER DANIġMAN ÖĞRETMEN:DEMET SEZEN ÖZEL ÇEKMEKÖY AVRUPA KOLEJĠ LĠSESĠ,ĠSTANBUL 2015

2 1. PROJE ADI: OYUNLARLA KRĠPTOLOJĠ: BĠR SAVAġ ġġfrelemeyle NASIL KAZANILIR? 2. AMAÇ: Bu projenin amacı kriptolojinin en temel ve en eski algoritmalarından biri olan Sezar Algoritmasının temelini kavratmak amacı ile,popüler oyunlardan Clash of Clans üzerinde değişiklikler yaparak hem eğlenceli hem de öğretici bir oyun oluşturmak ve bu oyun sayesinde temel şifreleme bilgisini ve kriptoloji tarihinde önemli rol oynamış. Enigma makinesiyle savaşların tarihine yön vermiş Alan Turing in hayatını kriptolojinin tarihiyle birlikte kavratmak. 3. GĠRĠġ: Enigma gizli mesajların şifrelenmesi için geliştirilen bir kriptolama cihazıdır. Enigma 1918 yılında, 1. Dünya Savaşı sırasında icat edilmiştir. Enigma yapısı itibariyle rotor makine çeşitlerinden biridir. Ticari olarak kullanılmaya başlanan bu cihaz, hükümetler ve şirketler tarafından tercih edilmiştir. 2.Dünya Savaşı sırasında ise Alman Ordusu tarafından geliştirilerek tahmin edilemez derecede bir cihaza dönüştürülmüştür. Şifreleme kısaca, bir kişiye gönderdiğimiz mesajların, üçüncü bir kişi tarafından ele geçirilse bile anlaşılmamasını sağlayan mesaj gizleme tekniğidir. Bilinen tarihte ilk defa Sezar tarafından kullanılmıştır. Sezar müttefik veya komutanlarına mesaj gönderirken kullandığı harfi alfabede 3 harf kaydırarak yazmaya başlamıştır. Yöntem kriptolama amacı gütmekten çok aynı permütasyon şifresinde olduğu gibi orijinal metindeki karakterlerin yerlerini birbirleri ile karıştırarak anlamsız metinler üretmek üzerine kurulmuş ilkel bir şifreleme modelidir. Permütasyon şifresi (permutation cipher) ile arasındaki temel fark paragraf içerisindeki karakterlerin yerlerinin değişmesi belli bir matematiksel fonksiyona dayanıyor olmasıdır. Enigma Makinesi

3 Enigma nın askeri amaçlarla kullanılmaya başlanması 2. Dünya Savaşı na büyük etki etmiştir. Almanlar rahat bir şekilde gizli mesajlar gönderip haberleşmiş ve her gün makine ayarlarını değiştirdikleri için kırılamayacağından son derece emin şekilde savaş planlarını sorunsuz şekilde işletmeye devam etmişlerdir. Enigma içinde rotor çarkları, elektriksel kablolar ve fişler barındırır. Rotor çarkları sayesinde anahtar dizgesi(deseni) denilen başlangıç harfleri belirlenir. Buradaki her harf alfabedeki sıra sayısını ifade eder. Savaş sırasında,bu dizge her gün yeniden belirleniyor ve Alman Ordusu nun kullandığı tüm Enigma cihazları aynı dizge ile başlıyordu. Bu sayede şifreleri çözmek mümkün oluyordu. Eğer düşman bu ilk dizgeyi(desen) bilirse, şifreyi ters mühendislik ile çözebilirdi. Her gün bu ayarların değişmesi (fişler dahil) Enigma yı kırmayı imkansızlaştırıyordu. Elektriksel kablolar yansıtma yöntemi ile girdiden elde edilen çıktıyı, girdi olarak kullanınca ilk harfi elde etmeyi almayı sağlar. Örneğin G harfi girdi olarak verildiğinde makine bize L harfini verdiyse makineye L harfini verdiğinizde G harfini çıktı olarak alırsınız. Yalnız bunun bir şartı vardır; çarkların yerinin değişebilme özelliği vardır. Bu yüzden aynı girdiyi geri almak için rotorlar aynı konumda olmalıdır. Fişler ise anlık harf değişimini sağlar. Mesela A harfinin fişi T ye bağlı ise her A harfi anında T ile değiştirilir. Bu fişler sayesinde tahmin edilebilme olasılığı daha da düşmektedir. Basit bir şekilde makinenin çalışma prensibini açıklamaya çalışalım. Çarklarda ilk olarak (A, F, C) sayıları olduğunu varsayalım. Bunların toplamı 10 olur. Eğer siz klavyeden A harfine basarsanız (11. sıradaki) K harfinin ışığı yanacaktır. Ve son çarkın değeri 4 olacaktır. Bu şekilde her basışta son çark dönecek, hem son sayı hem de toplam değişecek. Ve aynı harfe bile bassanız farklı bir harf çıktısı elde edeceksiniz. Son çark 26 defa döndükten sonra 2. çark bir tur dönecektir. Aynı şekilde 2. çark 26 tur sonunda 1. çarkı bir defa döndürecektir. Dolayısıyla ilk dizgeyi tahmin etmek ihtimali 1/26*26*26 kadardır. Çarkların değiştirilebilme özelliği de bu tahmin olasılığını 6 kat zorlaştırmaktadır. (3 çark 3!=6 kombinasyon elde edilir.)

4 Projemizi hazırlarken hem eğlendiren hem de öğreten bir yol bulmaya çalıştık. Projemizde en çok oynanan oyunlardan biri olan Clash of Clans oyununu bazı yönlerden değiştirerek bir matematik oyunu haline getiriyoruz. Oyunumuz 2.Dünya savaşının başlangıcından itibaren kriptolojinin gelişimini ve yerini gözler önüne serer. Oyunda temel amaç önce kendi basit enigma makinemizi oluşturup bazı şifreleme yöntemlerini kullanarak karşı tarafın kendi aralarında kullandığı şifreleri çözmek,buna uygun olarak strateji geliştirmek ve kendi ordunuzla haberleşmek amacıyla şifreleme yöntemlerini kullanarak yeni bir dil oluşturmak ve bu şekilde ordu içinde gerekli iletişimi sağlayıp,karşı tarafın da şifrelerini kırarak savaşı bize verilen süre içinde kazanmaya çalışmak.aynı zamanda bu oyunla birlikte matematiğin ne kadar derin olduğu ve bir dünya savaşının dönüm noktasını nasıl etkilediği sonucuna da varıyoruz. 4. YÖNTEM: Örneğin Sezar kelimesini bu temel Ģifreleme yöntemiyle Ģu Ģekilde yazarız: (İngiliz Alfabesine Göre): S > V E > H Z > C A > D R > U Enigma Diyagramı

5 ġġfre OLUġTURMA 1.ADIM:İngiliz alfabesini A-Z ye teker teker yazarız. 2.ADIM:1 ve 26 arasında bir sayı seçeriz. Bu sayı bizim kendimiz için oluşturacağımız şifreli alfabedeki boşluk sayısını niteleyecek.(normal alfabe hiza alınarak boşluk bırakılacak.)

6 3.ADIM: Örneğin 3 sayısını seçtik. A harfinden itibaren 3 harf kaydırarak alfabeyi yeniden yazarız. 4.ADIM: Üç harfimiz boşta kalır ve bunları da başa dönerek boş kalan yerlere yazarız.

7 5.ADIM: Şimdi ise göndermek istediğimiz mesajı seçelim. 6.ADIM: Gerçek alfabedeki harfler, sonradan hazırladığımız alfabede hangi harfe denk geliyorsa bu şekilde kodlamamızı yapalım.örneğin şekilde gösterilen mesajda T harfi Q harfine denk gelmektedir. 7.ADIM: Aynı şekilde son harfe gelene kadar kodlamamızı yapalım. Ve son olarak mesajımızı şifrelemiş olduk.

8 ĠSPAT: ġifreleme Plaintext: tarihcesurdanyanadır Plaintext uzunluğu : 20 En Yakın Tam Kare : 25 Dolayısıyla 5 5 lik Sezar kutusu oluşturma işlemine geçilebilir. Tablo 1.1 Plaintext ten oluşturulmuş Sezar Kutusu t c d n NULL a e a a NULL r s n d NULL i u y ı NULL h r a r NULL Tabloyu oluşturmadaki temel prensip plaintext teki her karakter birbirini takip edecek şekilde sütunsal olarak boyutu daha önce belirlenmiş olan 5 5 lik tabloya yerleştirilir. Şifreli metin tablodaki karakterlerin satırsal olarak yan yana yazılmasıyla gerçekleşmektedir. Dolayısıyla, Ciphertext: TCDNAEAARSNDİUYIHRAR olur.

9 DeĢifreleme Şifreleme sırasında kullandığımız kare matris transpoze edildikten sonra matrisin satırsal olarak yan yana yazılmasıyla deşifreleme işlemi gerçekleşir. MATRĠS TRANSPOZE Matematikte özellikle de doğrusal cebirde (linear algebra) bir matrisin satır ve sütünlarının yer değiştirmesi anlamını taşır. Örneğin aşağıdaki matrisi (masfufe yi) ele alalım: Yukarıdaki bu matrisin tersyüzü (transpoze) : olarak bulunur. Görüldüğü üzere satır ve sütünlar yer değiştirmiştir. Ayrıca aşağıdaki kurallar tanımlanabilir: Bir matrisin tersyüzünün tekrar tersyüz edilmiş hali kendisidir. (A T ) T = A Bir matrisin bir sabitle (scalar) çarpımının tersyüzü, tersyüzünün çarpımına eşittir: s A T = (sa) T İki matrisin toplamlarının tersyüzü, tersyüzlerinin toplamına eşittir : ( A + B) T = A T + B T Bir matrisin tersinin tersyüzü, tersyüzünün tersine (Inverse) eşittir: (A-1) T = (A T ) -1

10 Matris tersyüz iģleminin kodlanmsı Yukarıda izah edilen ve bir masfufun (matrix) tersyüzünü alan (Transpose) işlemin, C dilinde kodlanması aşağıda gösterilmiştir. Yukarıdaki kodun, 5. satırında, a isminde iki boyutlu (3 3 boyutlarında) bir dizi tanımlanmış ve içerisine aşağıdaki matris yerleştirilmiştir:

11 5. SONUÇLAR VE TARTIġMA Bu matrisin ters yüz edilmesi aslında köşegenin (diagon), üst ve altındaki değerlerin simetrik olarak yer değiştirmesi ile mümkündür. Bu durumu anlamak için aşağıdaki şekilde matrisin iki boyutlu indislerini inceleyelim: a[0][0] a[0][1] a[0][2] a[1][0] a[1][1] a[1][2] a[2][0] a[2][1] a[2][2] Yukarıdaki matrisin tersyüzü aşağıdaki şekilde yazılabilir: a[0][0] a[1][0] a[2][0] a[0][1] a[1][1] a[2][1] a[0][2] a[1][2] a[2][2] Görüldüğü üzere, tabloda, köşegen değerleri yani a[i][j] olarak kodlanan bir matris için, i=j durumundaki değerler sabit kalmış bunun dışındaki değerler için a[i][j] = a[j][i] olarak değişmiştir. Yani matristeki satır değerleri sütun ve sütun değerleri satır ile değiştirilmiştir. Yukarıda verilen kodun 8-10 satırları arasında da bu yer değiştirme işlemi yapılmaktadır (Swap) Kodda dikkat edilecek bir diğer husus ise 7 satırda bulunan döngünün j<i kadar dönmesidir. Bunun sebebi a[i][j] değerini a[j][i] ile yer değiştirdikten sonra değişen i ve j değerleri ile işlemin geri alınmasını engellemektir.

12 Diğer bir deyişle i değeri 0-3 ve j değeri 0-3 aralığında değişiyor olsaydı örneğin a[1][2] değeri önce a[2][1] ile yer değiştirecek sonra da i ve j değerleri ilerleyip a[2][1] değerini geri a[1][2] ile değiştirecekti. Sonuçta matris hiç değişmeden çıkmış olacaktı. Okuyucu, dilerse yukarıdaki kodun 7. satırını j<3 olarak değiştirerek bu durumu deneyebilir. Son olarak kodumuzun satırları arasında dizinin içeriği ekrana bastırılmaktadır. Kodun ekran çıktısı aşağıda verilmiştir: Tablo 1.2 Matris Transpoze Edildikten Sonra T A R İ H C E S U R D A N Y A N A D I R NULL NULL NULL NULL NULL Ciphertext: TCDNAEAARSNDİUYIHRAR Plaintext: tarihcesurdanyanadır.

13 6. KAYNAKLAR: VICTORY-The-Imitation-Game