SAYISAL AKIŞKANLAR MEKANİĞİNDE YENİ BİR YAKLAŞIM : GAZ-KİNETİK METOTLAR

Transkript

1 SAYISAL AKIŞKANLAR EKANİĞİNDE YENİ BİR YAKLAŞI : GAZ-KİNETİK ETOTLAR urat ILGAZ ehmet Ali AK e-osta: murat.ilgaz@sage.tubitak.gov.tr e-osta: maliak@sage.tubitak.gov.tr İsmail H. TUNCER e-osta: tuncer@ae.metu.edu.tr TÜBİTAK Savunma Sanayii Araştırma ve Geliştirme Enstitüsü, 66, Ankara ODTÜ Havacılık ve Uzay ühendisliği Bölümü, 653, Ankara ÖZET Gaz-kinetik metotlar son on yıl içerisinde hızlı bir gelişim göstererek akış çözümlemelerinde kullanılan sayısal akışkanlar mekaniği yöntemlerinden birisi haline gelmiştir. Bu makalede, gaz-kinetik metotlar olan gaz-kinetik akı vektörü ayırma ve gaz-kinetik BGK metotları -boyutlu şok-tüü roblemlerine uygulanmıştır. Bu metotlar kullanılarak elde edilen sonuçlar, klasik akı vektörü ve akı farkı ayırma metotlarıyla karşılaştırılmış ve değerlendirilmiştir. Gaz-kinetik akı vektörü ayırma metodunun Steger- Warming akı vektörü ayırma metoduyla hemen hemen aynı sonuçları verdiği görülmüştür. Gaz-kinetik BGK metodu ise Steger-Warming ve gaz-kinetik akı vektörü ayırma metotlarından daha doğru, nun akı farkı ayırma metoduyla da aynı doğrulukta sonuçlar vermiştir. Elde edilen sonuçlar, teorik dayanağı da göz önüne alındığında özellikle gaz-kinetik BGK metodunun klasik metotlara önemli bir alternatif olduğunu ve şok gibi süreksizlikler içeren yüksek hızlı akışların çözümlemelerinde kullanılabileceğini göstermektedir. I. GİRİŞ Gazların akışı, iki farklı yaklaşımla incelenebilir. Bunlardan birincisinde, Euler ve Navier-Stokes denklemleriyle yönlendirilen kütle, momentum ve eneri yoğunluğu gibi makroskoik niceliklerin değişimi önemlidir. İkinci yaklaşım ise mikroskoik nicelikleri içeren gaz-kinetik teorisine dayanır. Bu tanımlamada temel nicelik arçacık dağılım fonksiyonudur ve bu fonksiyonun değişimi Boltzmann denklemiyle hesalanır. Fiziksel olarak, ikinci tanımlama gaz akışı hakkında daha fazla bilgi içerir. Bilgisayar teknoloisinin gelişimiyle birlikte gaz akışlarının sayısal akışkanlar mekaniği çözümlemeleri önem kazanmış ve yukarıda bahsedilen birinci tanımlama kasamında Euler ve Navier-Stokes denklemlerinin çözümüyle ilgili özellikle 98 li yılların başında çeşitli metotlar geliştirilmiştir [-]. İkinci yaklaşım ise genellikle Euler ve Navier-Stokes denklemlerinin geçerli olmadığı düşük yoğunluklu akışların benzetiminde kullanılmış [3,4] ve bununla ilgili çeşitli metotlar ortaya çıkmıştır [5,6]. Gaz-kinetik teorinin sürekli akışlar için ilk uygulamaları 96 lı yıllara kadar uzansa da bu teoriye dayanan sayısal akışkanlar mekaniği metotları 99 lı yıllarda olgunlaşmaya başlamıştır. andal ve Desande [7] denge durumu için (çarışmasız Boltzmann denklemi) awell dağılım fonksiyonunu iki kısma ayırmış ve kütle, momentum ve eneri akılarını elde etmiştir. Bu metoddaki yaklaşım, akı vektörü ayırma metoduna çok benzediği için bu metoda gaz-kinetik akı vektörü ayırma adı verilmiştir. Aynı dönemde, Prendergast ve Xu [8] çarışma oeratörünü Bhatnagar-Gross-Krook (BGK) modeliyle [9] ifade ederek arçacık dağılım fonksiyonunu elde etmiş ve akıları hesalamıştır. Bu metot gaz-kinetik BGK olarak isimlendirilmiştir. Bu metodun geliştirilmesindeki amaç, arçacık çarışmalarını da göz önüne alarak gaz akışını daha doğru modellemektir. Bu makalede, gaz-kinetik metotlar anlatılmış ve sayısal akışkanlar mekaniği uygulamalarına yer verilmiştir. Önce gaz-kinetik teoriye kısaca değinilmiş ve bu teoriye dayanan gaz-kinetik metotlardan bahsedilmiş, daha sonra da bu metotların şok-tüü roblemleri uygulamaları gösterilmiş ve sonuçlar yorumlanmıştır. II. GAZ-KİNETİK TEORİ Gaz-kinetik teoride gazlar küçük arçacıkların birleşmesiyle oluşmuştur. Her bir arçacığın bir kütlesi ve hızı vardır. Genellikle çok küçük hacimlerde çok miktarda arçacık bulunduğu için (örneğin standart şartlarda cm 3 hacimde yaklaşık 9 hava molekülü), bütün bu arçacıkların hareketini izlemek imkansızdır. Bu yüzden, hız uzayında arçacıkların belirli bir hız aralığında bulunma

2 olasılığını göz önüne alan arçacık dağılım fonksiyonu tanımlanmıştır: f () ( i, t, ui ) Bu fonksiyonda i = (,y,z) arçacık konumu, t zaman ve u i = (u,v,w) arçacık hızıdır. Gazın makroskoik özellikleri bu fonksiyonun momentleri şeklinde gösterilebilir. Örneğin gaz yoğunluğu = m () i şeklinde yazılabilir. Burada m arçacık kütlesi, n i ise birim hacimdeki arçacık sayısıdır. Parçacık dağılım fonksiyonu tanım olarak birim hız hacmindeki arçacık yoğunluğu olduğundan sonucuna varılır. n i m ni = f ( i, t, ui ) (3) = f dudvdw (4) Parçacık dağılım fonksiyonunun zaman içerisinde değişimi ise Boltzmann denklemi tarafından kontrol edilir []: ft ui f + ai f = Q( f, f ) + (5) i u i Burada a i i yönündeki arçacık üzerine etkiyen dış kuvveti, Q(f,f) ise çarışma oeratörünü göstermektedir. Boltzmann denkleminde çarışma oeratörü sıfıra eşit olduğunda çarışmasız Boltzmann denklemini elde edilir ve bu denklemin çözümü awell denge dağılımını vermektedir: N + 3 λ λ [ ( u i ) + ξ = ] i U f e (6) π awell denge dağılımında ξ i = (ξ, ξ,...ξ N ) arçacık iç hızlarını, N iç serbestlik derecesini, U i = (U,V,W) gazın makroskoik hızlarını ifade etmektedir. λ ise sıcaklık, arçacık kütlesi ve Boltzmann sabitine bağlı bir değişkendir. III. GAZ-KİNETİK ETOTLAR Gaz-kinetik teoriye dayanan metotlardan en yaygın olanları gaz-kinetik akı vektörü ayırma metodu ile gaz-kinetik BGK metotlarıdır. Bu bölümde -boyutlu Euler çözümlemeleri için birinci derece doğrulukta gaz-kinetik akı vektörü ayırma ve gaz-kinetik BGK metotları anlatılmıştır. İkinci derece doğruluktaki formüller özellikle gaz-kinetik BGK metodu için çok daha kasamlı olduğu için burada bahsedilmemiştir. Gaz-Kinetik Akı Vektörü Ayırma etodu : Gaz-kinetik akı vektörü ayırma metodu, çarışmasız Boltzmann denklemine dayanır. Denge durumunda dış kuvvetleri ihmal edersek -boyutlu Boltzmann denklemi f (7) t + u f = şeklini alır. Başlangıç koşulları göz önüne alındığında bu denklemin, örneğin = etrafındaki çözümü, f = f ( ut) = f [ H ( ) ] + f H ( ) (8) o l şeklindedir. Burada l ve r alt indisleri sırasıyla = noktasının solundaki ve sağındaki durumları, H() ise Heaviside fonksiyonunu göstermektedir:, ( ) =, > H (9) Bu durumdaki awell denge arçacık dağılımı ise aşağıda verilmiştir: N + 3 λ λ [ ( u U ) + ξ f = e ] () π Şimdi -boyutlu hesalama alanını hücrelere bölelim ve hücre merkezlerini (..., -,,,...) ile, hücre arayüzlerini ise (..., -3/, -/, /, 3/,...) ile gösterelim. Bu durumda birinci dereceden gaz-kinetik akı vektörü ayırma metodu şu şekilde özetlenebilir: Başlangıç kütle, momentum ve eneri yoğunlukları herbir hücresinde n W = U ε olsun. Bu durumda awell denge dağılımı halini alır. Burada λ N + 3 r () λ λ [ ( u U ) + ξ ] f = e () π N + 3 λ = (3) 4 ε U şeklinde yazılabilir. Hücre arayüzü / noktası etrafındaki başlangıç koşulu [ H ( )] + f H ( ) o = f / / f (4) göz önüne alındığında / noktasındaki dağılım fonksiyonu f, u > f ( + /, t) = fo( ut) = = + / f <, u (5) elde edilir. Bu dağılım fonksiyonu kullanılarak hücre arayüzünden geçen kütle, momentum ve eneri akıları bulunabilir: F FW ) Fε /, / = FU = u ψ f ( /, t dudξ (6)

3 Burada ψ dağılım fonksiyonunun momentlerini hesalamada kullanılan vektörü göstermektedir: T = u ( u + ξ ) ψ (7) Bir sonraki zaman diliminde kütle, momentum ve eneri yoğunlukları ise n+ n F, / F, / t U = U + FU, / FU, / ε ε Fε, / Fε, / (8) şeklinde hesalanır. Burada t zaman aralığını, ise hücre boyutunu göstermektedir. Gaz-Kinetik BGK etodu : Gaz-kinetik BGK metodu, Boltzmann BGK denklemi üzerine kurulmuştur. Dış kuvvetleri ihmal edersek bu durumda -boyutlu Boltzmann denklemi f f ft + u f = (9) τ şeklini alır. Burada τ çarışmalar sırasında geçen süreyi göstermektedir. Başlangıç koşulları göz önüne alındığında ve zaman ve konum olarak sabit bir denge durumu varsayımı yaıldığında bu denklemin, örneğin = etrafındaki çözümü, f = ( e / o / τ τ ) f + e [ f [ H ( ) ] + fr H ( ) ] l () şeklindedir. Burada gaz-kinetik akı vektörü ayırma metodunda bulunmayan ilave terim ise (=,t) boyunca gaz-kinetik teori uyumluluk denklemi yazılarak bulunur: ψ fo dudξ = ψ fo ut) dud ( ξ () Yine H(), awell denge dağılımı ve ψ sırasıyla eşitlik (9), () ve (7) de verilenlerle aynıdır. Gaz-kinetik akı vektörü ayırma metodunda olduğu gibi -boyutlu hesalama alanını hücrelere bölelim ve hücre merkezlerini (..., -,,,...) ile, hücre arayüzlerini ise (..., -3/, -/, /, 3/,...) ile gösterelim. Bu durumda birinci dereceden gaz-kinetik BGK metodu şu şekilde özetlenebilir: Gaz-kinetik BGK metodu için Eşitlik (), (), (3) ve (4) değişmemektedir. Ancak çarışma etkileri ilave edildiğinden hücre arayüzünden geçen kütle, momentum ve eneri akıları iki kısma ayrılarak hesalanır. Bu akıların ilk kısmı başlangıç koşulları göz önüne alındığında elde edilen dağılım fonksiyonuyla bulunur ve Eşitlik (6) ile aynıdır: F F, / = FU = u ψ f ( /, t dudξ () W ) F ε / Hücre arayüzünde çarışmadan dolayı oluşan tolam kütle, momentum ve eneri yoğunlukları / U / ε / / / = ψ f u> dudξ + ψ f u< dudξ (3) denklemiyle hesalanır ki bunlar kullanılarak sabit denge dağılımı belirlenir. Akıların ikinci kısmı ise yukarıda belirtilen sabit akı denge dağılımı kullanılarak bulunur: F W ) F ε / F, / = FU = u ψ fo ( /, t dudξ (4) Hücre arayüzünden geçen kütle, momentum ve eneri akıları ise / / τ FW, / = ( e ) Fw, / + e Fw, / τ (5) denklemiyle hesalanır. Bir sonraki zaman diliminde kütle, momentum ve eneri yoğunlukları ise Eşitlik (8) kullanılarak bulunur. IV. TESTLER VE DEĞERLENDİRELER Testlerde -boyutlu standart La şok-tüü roblemi [] ile Sod şok-tüü roblemi [] kullanılmıştır. Bu iki roblem için başlangıç koşulları Tablo de verilmiştir. Tablo. Test roblemleri için başlangıç koşulları. L U L L R U R R La Sod...5. Tabloda L ve R alt indisleri sağ ve sol durumları göstermektedir. Testlerde şok-tüü uzunluğu birim olarak alınmış ve sağ ve sol durumları tüün orta noktasında ayrılmıştır. Test roblemlerinde Steger- Warming () ve gaz-kinetik () akı vektörü ayırma metotlarıyla akı farkı ayırma ve gazkinetik BGK () metotları kullanılmıştır. Farklı hücre sayıları kullanılarak elde edilen yoğunluk, basınç ve ach sayısı sonuçları teorik sonuçlarla birlikte Şekil -4 de gösterilmiştir. Şekil ve incelendiğinde hücre sayısı az olduğu durumda gaz-kinetik akı vektörü ayırma metodunun Steger-Warming akı vektörü ayırma metoduyla yaklaşık aynı sonuçlar verdiği ve bu sonuçların diğer metotlarla elde edilen sonuçlara göre teorik değerlere

4 (b) ach sayısı değişimi (b) ach sayısı değişimi Şekil. La şok-tüü roblemi (N=5) Şekil. Sod şok-tüü roblemi (N=5)

5 (b) ach sayısı değişimi (b) ach sayısı değişimi Şekil 3. La şok-tüü roblemi (N=5) Şekil 4. Sod şok-tüü roblemi (N=5)

6 daha uzak olduğu görülmektedir. Bunun temel sebebi ise gaz-kinetik akı vektörü ayırma metodunun dayanağı olan çarışmasız Boltzmann denklemiyle Euler denkleminin farklı fiziksel dinamiklerinin olmasıdır. Birinci derece metotların, fiziksel denklemlerin çözüldüğü gelişim ve akış değişkenlerinin hücrelerde korunum kanunları kullanılarak ortalamalarının alındığı yansıma evrelerinden oluştuğu düşünülürse yansıma evresi olmaması durumunda gaz-kinetik akı vektörü ayırma metoduyla Euler denklemi sonuçlarını elde etmenin imkansız olduğu görülür. Çünkü gelişim evresinde gazlar fiziksel çarışmaya uğramadan serbestçe hareket etmekte ve böylece arçacık dağılım fonksiyonu awell denge dağılımından uzaklaşmaktadır. Euler denklemlerinin Boltzmann denkleminden sadece awell denge durumunda türetildiği göz önüne alındığında gaz-kinetik akı vektörü ayırma metodu sonuçlarının teorik değerleri neden iyi yakalayamadığı anlaşılabilir. Gaz-kinetik BGK metodu için ise durum farklıdır. Bu metodun dayanağı Boltzmann BGK denklemi olduğu için gelişim evresinde gazlar arasında fiziksel çarışmalar meydana gelmektedir. Bu durumda arçacık dağılım fonksiyonu denge olmayan durumdan denge awell durumuna yaklaşmaktadır. Bu ise gaz-kinetik BGK metoduyla elde edilen sonuçların Euler denklemi sonuçlarına çok yakın olacağını gösterir. Zaten kinetik BGK metoduyla elde edilen sonuçlar incelendiğinde bu sonuçların akı vektörü ayırma metotları sonuçlarına göre teorik değerlere daha yakın olduğu görülmektedir. Ayrıca, akı farkı ayırma metodu sonuçlarıyla karşılaştırıldığında kinetik BGK sonuçlarının (bazı durumlarda daha iyi olmasına karşın) genel olarak aynı olduğu söylenebilir. Şekil 3 ve 4 te görüldüğü gibi hücre sayısı arttığında yukarıda bahsedilen farklar oldukça azalmakta ve tüm metotların sonuçları birbirine ve teorik değerlere yaklaşmaktadır. Çözümleme zamanları göz önüne alındığında ise gazkinetik metotların diğer klasik metotlara göre daha yavaş olduğu ortaya çıkmıştır. Örneğin akı farkı ayırma metoduna göre gaz-kinetik akı vektörü ayırma metodu kat, gaz-kinetik BGK metodu ise 3 kat daha yavaştır. V. SONUÇ Bu makalede, sayısal akışkanlar mekaniğinde yeni bir yaklaşım olan gaz-kinetik metotlar anlatılmıştır. Önce gaz-kinetik metotlar olan gaz-kinetik akı vektörü ayırma ve gaz-kinetik BGK dan bahsedilmiş, daha sonra bu metotlar kullanılarak -boyutlu şok-tüü roblemleri çözülmüş ve sonuçlar klasik akı vektörü ve akı farkı ayırma metotlarıyla karşılaştırılarak değerlendirilmiştir. Şok-tüü roblemleri için gazkinetik metotların klasik metotlara önemli bir üstünlüğü ortaya çıkmamış ve sonuçları daha uzun sürede elde edilmiş olsa da bu metotların sayısal akışkanlar mekaniği çözümlemelerinde alternatif olarak kullanılabileceği açıktır. Gaz-kinetik metotlarda, özellikle yüksek hızlı akışlar için klasik metotlarda karşılaşılan roblemler (örn. carbuncle olayı [3]) bulunmamaktadır. Bu durum göz önüne alınarak gaz-kinetik metotların sayısal akışkanlar mekaniği uygulamalarıyla ilgili bu araştırma - ve -boyutlu hiersonik kimyasaltekimeli akışlar için devam edecektir. KAYNAKLAR [] J. L. Steger and R. F. Warming, Flu Vector Slitting of the Inviscid Gas-Dynamic Equations with Alications to Finite Difference ethods, J. Comut. Phys., v. 4, , 98. [] P. L., Aroimate Riemann Solvers, Parameter Vectors and Difference Schemes, J. Comut. Phys., v. 43, , 98. [3] G. A. Bird, Nonuilibrium Radiation During Re- Entry at km/s, AIAA Paer No , 987. [4]. C. Çelenligil and J. N. oss, Hyersonic Rarefied Flow About a Delta Wing- Direct Simulation and Comarison with Eeriment, AIAA Journal, v. 3,. 7-3, 99. [5] B. J. Alder and T. E. Wainwright, Studies in olecular Dynamics, J. Chem. Phys., v. 7,. 8-9, 957. [6] G. A. Bird, Aroach to Translational Equilibrium in a Rigid Shere Gas, Phys. Fluids, v. 6, , 963. [7] J. C. andal and S.. Deshande, Kinetic Flu Vector Slitting for Euler Equations, Comuters and Fluids, v. 3-,. 47, 994. [8] K. H. Prendergast and K. Xu, Numerical Hydrodynamics from Gas-Kinetic Theory, J. Comut. Phys., v. 9,. 53, 993. [9] P. L. Bhatnagar, E. P. Gross and. Krook, A odel for Collision Processes in Gases I: Small Amlitude Processes in Charged and Neutral One-Comonent Systems, Phys Rev., v. 94,. 5-55, 954. [] C. Cercignani, The Boltzmann Equation and Its Alications, Sringer-Verlag, 988. [] P. D. La, Weak Solutions of Non-Linear Hyerbolic Equations and Their Numerical Comutations, Commun. Pure Al. ath., v. 7, , 954. [] G. A. Sod, A Survey of Several Finite Difference ethods for Systems of Non-Linear Hyerbolic Conservation Laws, J. Comut. Phys., v. 7,. -3, 978. [3] K. Xu, Gas-Kinetic Schemes for Unsteady Comressible Flow Simulations, LS 998-3, VKI, 998.